Limitleri hesaplama örnekleri. Bir fonksiyonun limiti – tanımlar, teoremler ve özellikler

Yukarıdaki makaleden sınırın ne olduğunu ve neyle yenildiğini öğrenebilirsiniz - bu ÇOK önemlidir. Neden? Determinantların ne olduğunu anlayamayabilir ve başarılı bir şekilde çözemeyebilirsiniz; türevin ne olduğunu hiç anlayamayabilir ve bunları “A” ile bulabilirsiniz. Ancak sınırın ne olduğunu anlamıyorsanız pratik görevleri çözmek zor olacaktır. Ayrıca örnek çözümlere ve tasarım önerilerime aşina olmanız da iyi bir fikir olacaktır. Tüm bilgiler basit ve erişilebilir bir biçimde sunulmaktadır.

Ve bu dersin amaçları doğrultusunda aşağıdaki öğretim materyallerine ihtiyacımız olacak: Harika Sınırlar Ve Trigonometrik formüller. Sayfada bulunabilirler. Kılavuzların çıktısını almak en iyisidir; çok daha kullanışlıdır ve ayrıca bunlara sıklıkla çevrimdışı olarak başvurmanız gerekecektir.

Olağanüstü sınırları bu kadar özel kılan ne? Bu sınırların dikkat çekici yanı, ünlü matematikçilerin en büyük beyinleri tarafından kanıtlanmış olmaları ve minnettar torunların, bir yığın trigonometrik fonksiyon, logaritma ve kuvvetle ilgili korkunç sınırlardan muzdarip olmak zorunda olmamasıdır. Yani limitleri bulurken teorik olarak kanıtlanmış hazır sonuçları kullanacağız.

Birkaç harika sınır vardır, ancak pratikte vakaların %95'inde yarı zamanlı öğrencilerin iki harika sınırı vardır: İlk harika sınır, İkinci harika sınır. Bunların tarihsel olarak belirlenmiş isimler olduğunu ve örneğin "ilk dikkate değer sınır"dan bahsettiklerinde bununla tavandan alınan rastgele bir sınırı değil, çok spesifik bir şeyi kastettiklerini belirtmek gerekir.

İlk harika sınır

Aşağıdaki sınırı göz önünde bulundurun: (yerel harf “he” yerine Yunanca “alfa” harfini kullanacağım, bu materyalin sunumu açısından daha uygundur).

Limit bulma kuralımıza göre (bkz. makale Sınırlar. Çözüm örnekleri) fonksiyonun yerine sıfır koymaya çalışıyoruz: payda sıfır alıyoruz (sıfırın sinüsü sıfırdır) ve paydada da açıkça sıfır var. Bu nedenle, neyse ki açıklanması gerekmeyen bir biçim belirsizliğiyle karşı karşıyayız. Matematiksel analiz sırasında aşağıdakiler kanıtlanmıştır:

Bu matematiksel gerçeğe denir İlk harika sınır. Limitin analitik kanıtını vermeyeceğim ama geometrik anlamına derste bakacağız. sonsuz küçük fonksiyonlar.

Çoğu zaman pratik görevlerde işlevler farklı şekilde düzenlenebilir, bu hiçbir şeyi değiştirmez:

- aynı ilk harika sınır.

Ancak pay ve paydayı kendiniz yeniden düzenleyemezsiniz! Eğer formda bir limit verilmişse, hiçbir şeyi yeniden düzenlemeden aynı formda çözülmesi gerekir.

Pratikte sadece bir değişken değil, aynı zamanda bir temel fonksiyon veya karmaşık bir fonksiyon da parametre olarak hareket edebilir. Sadece sıfıra yönelmesi önemlidir.

Örnekler:
, , ,

Burada , , , ve her şey yolunda - ilk harika sınır geçerlidir.

Ancak aşağıdaki girdi sapkınlıktır:

Neden? Polinom sıfıra yönelmediği için beşe yönelir.

Bu arada kısa bir soru: Limit nedir? ? Cevabı dersin sonunda bulabilirsiniz.

Pratikte her şey o kadar düzgün değildir; neredeyse hiçbir zaman bir öğrenciye ücretsiz bir limit çözmesi ve kolay bir geçiş yapması teklif edilmez. Hmmm... Bu satırları yazıyorum ve aklıma çok önemli bir fikir geldi - sonuçta, "özgür" matematiksel tanımları ve formülleri ezbere hatırlamak daha iyidir, bu, soru ne zaman sorulacaksa testte paha biçilmez bir yardım sağlayabilir. “iki” ve “üç” arasında karar verilir ve öğretmen öğrenciye basit bir soru sormaya veya basit bir örnek çözmeyi teklif etmeye karar verir (“belki hala neyi biliyordur?!”).

Pratik örnekleri ele almaya devam edelim:

Örnek 1

Sınırı bulun

Limitte bir sinüs fark edersek, bu bizi hemen ilk dikkate değer limiti uygulama olasılığı hakkında düşünmeye sevk etmelidir.

Öncelikle limit işaretinin altındaki ifadeye 0'ı koymaya çalışıyoruz (bunu zihinsel olarak veya taslak halinde yapıyoruz):

Yani formda bir belirsizlik var mutlaka belirtin bir karar verirken. Limit işaretinin altındaki ifade ilk harika limite benzer ama bu tam olarak o değil, sinüsün altında ama paydada.

Böyle durumlarda ilk dikkat çeken limiti yapay bir teknik kullanarak kendimiz düzenlememiz gerekiyor. Akıl yürütme çizgisi şu şekilde olabilir: "sahip olduğumuz sinüsün altında, bu da demek oluyor ki paydaya da girmemiz gerekiyor."
Ve bu çok basit bir şekilde yapılır:

Yani bu durumda payda yapay olarak 7 ile çarpılır ve aynı yediye bölünür. Artık kaydımız tanıdık bir şekil aldı.
Görev elle çizildiğinde, ilk dikkate değer sınırın basit bir kalemle işaretlenmesi tavsiye edilir:

Ne oldu? Aslında daire içine alınmış ifademiz eserde bir birime dönüşerek yok oldu:

Şimdi geriye kalan tek şey üç katlı kesirden kurtulmak:

Çok seviyeli kesirlerin basitleştirilmesini kim unuttu, lütfen referans kitabındaki materyali yenileyin Okul matematik dersi için sıcak formüller .

Hazır. Son cevap:

Kurşun kalemle işaret kullanmak istemiyorsanız çözüm şu şekilde yazılabilir:

“

İlk harika limiti kullanalım

“

Örnek 2

Sınırı bulun

Limitte yine bir kesir ve bir sinüs görüyoruz. Pay ve paydanın yerine sıfır koymaya çalışıyoruz:

Aslında belirsizlik var ve bu nedenle ilk harika sınırı düzenlemeye çalışmamız gerekiyor. sınıfta Sınırlar. Çözüm örnekleri Belirsizliğimiz olduğunda pay ve paydayı çarpanlara ayırmamız gerektiği kuralını dikkate aldık. Burada da aynı şey var, dereceleri çarpım (çarpan) olarak temsil edeceğiz:

Önceki örneğe benzer şekilde, dikkat çekici sınırların çevresine bir kalem çiziyoruz (burada bunlardan iki tane var) ve birlik eğiliminde olduklarını belirtiyoruz:

Aslında cevap hazır:

Aşağıdaki örneklerde Paint'te sanat yapmayacağım, bir defterde bir çözümün nasıl doğru bir şekilde çizileceğini düşünüyorum - zaten anlıyorsunuz.

Örnek 3

Sınırı bulun

Limit işaretinin altındaki ifadeye sıfır koyarız:

Açıklanması gereken bir belirsizlik elde edildi. Limitte bir teğet varsa, o zaman hemen hemen her zaman iyi bilinen trigonometrik formül kullanılarak sinüs ve kosinüse dönüştürülür (bu arada, kotanjant ile yaklaşık olarak aynı şeyi yaparlar, metodolojik materyale bakın) Sıcak trigonometrik formüller sayfada Matematiksel formüller, tablolar ve referans materyalleri).

Bu durumda:

Sıfırın kosinüsü bire eşittir ve bundan kurtulmak kolaydır (bire eğilimli olduğunu işaretlemeyi unutmayın):

Bu nedenle, eğer kosinüs limitte bir ÇARPAN ise, o zaman kabaca konuşursak, üründe kaybolan bir birime dönüştürülmesi gerekir.

Burada her şey çarpma ve bölme olmadan daha basit hale geldi. Çarpımda dikkat çeken ilk limit de bire dönüşerek yok oluyor:

Sonuç olarak sonsuzluk elde edilir ve bu olur.

Örnek 4

Sınırı bulun

Pay ve paydanın yerine sıfır koymayı deneyelim:

Belirsizlik elde edilir (hatırladığımız gibi sıfırın kosinüsü bire eşittir)

Trigonometrik formülü kullanıyoruz. Not alın! Bazı nedenlerden dolayı bu formülün kullanıldığı sınırlamalar çok yaygındır.

Sabit faktörleri sınır simgesinin ötesine taşıyalım:

İlk harika sınırı düzenleyelim:

Burada dikkat çekici tek bir limitimiz var, o da üründe bire dönüşüyor ve yok oluyor:

Üç katlı yapıdan kurtulalım:

Limit aslında çözüldü, kalan sinüsün sıfıra doğru yöneldiğini belirtiyoruz:

Örnek 5

Sınırı bulun

Bu örnek daha karmaşıktır, kendiniz çözmeye çalışın:

Bazı limitler, bir değişken değiştirilerek 1. dikkat çekici limite indirilebilir, bunu makalenin biraz ilerisinde okuyabilirsiniz. Sınırları çözme yöntemleri.

İkinci harika sınır

Matematiksel analiz teorisinde şu kanıtlanmıştır:

Bu gerçeğe denir ikinci harika sınır.

Referans: irrasyonel bir sayıdır.

Parametre sadece bir değişken değil aynı zamanda karmaşık bir fonksiyon da olabilir. Önemli olan sonsuzluk için çabalamasıdır.

Örnek 6

Sınırı bulun

Limit işaretinin altındaki ifadenin derece olması, ikinci harika limiti uygulamaya çalışmanız gerektiğinin ilk işaretidir.

Ama önce, her zaman olduğu gibi, ifadeye sonsuz büyük bir sayı koymaya çalışıyoruz, bunun nasıl yapıldığına dair prensip derste tartışılıyor. Sınırlar. Çözüm örnekleri.

Bunu fark etmek kolaydır derecenin tabanı ve üs ise yani formda belirsizlik var:

Bu belirsizlik ikinci dikkat çekici limitin yardımıyla tam olarak ortaya çıkıyor. Ancak çoğu zaman olduğu gibi, ikinci harika sınır gümüş bir tabakta yatmıyor ve yapay olarak düzenlenmesi gerekiyor. Şu şekilde mantık yürütebilirsiniz: Bu örnekte parametre dır, bu da göstergede de düzenleme yapmamız gerektiği anlamına gelir. Bunu yapmak için tabanı kuvvete yükseltiyoruz ve ifadenin değişmemesi için kuvvete yükseltiyoruz:

Görev elle tamamlandığında kalemle işaretliyoruz:

Hemen hemen her şey hazır, korkunç derece güzel bir mektuba dönüştü:

Bu durumda limit simgesinin kendisini göstergeye taşıyoruz:

Örnek 7

Sınırı bulun

Dikkat! Bu tür limitlere çok sık rastlanır, lütfen bu örneği çok dikkatli inceleyin.

Limit işaretinin altındaki ifadeye sonsuz büyük bir sayı koymaya çalışalım:

Sonuç belirsizliktir. Ancak ikinci dikkate değer sınır, biçimin belirsizliğiyle ilgilidir. Ne yapalım? Derecenin tabanını dönüştürmemiz gerekiyor. Şöyle mantık yürütüyoruz: paydada , yani payda da düzenleme yapmamız gerekiyor.

Limit bulma problemlerini çözmek Limit bulma problemlerini çözerken, her seferinde tekrar hesaplamamak için bazı limitleri hatırlamanız gerekir. Bu bilinen limitleri birleştirerek § 4'te belirtilen özellikleri kullanarak yeni limitler bulacağız. Kolaylık sağlamak için, en sık karşılaşılan limitleri sunuyoruz: Limitler 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), eğer f(x) sürekli ise x a Fonksiyonun sürekli olduğu biliniyorsa limiti bulmak yerine fonksiyonun değerini hesaplarız. Örnek 1. lim (x*-6l:+ 8)'i bulun. Çok terimli X->2 terim fonksiyonu sürekli olduğundan lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Örnek 2. Bul lim -G. . Öncelikle paydanın limitini buluyoruz: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; X-Y1 sıfıra eşit değildir, bu da 4 § 4 özelliğini uygulayabileceğimiz anlamına gelir, o zaman x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Limiti payda X X sıfıra eşittir, bu nedenle § 4'ün 4 özelliği uygulanamaz. Pay sabit bir sayı olduğundan ve x - - 1 için payda [x2x) -> -0 olduğundan, kesrin tamamı süresiz olarak artar. mutlak değerde, yani lim " 1 X - * - - 1 x* + x Örnek 4. lim\-ll*'yi bulun"!"" "Paydanın limiti sıfırdır: lim (xr-6lg+ 8) = 2* -6-2 + 8 = 0, dolayısıyla X özelliği 4 § 4 uygulanamaz. Ancak payın limiti de sıfıra eşittir: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Yani pay ve paydanın limitleri aynı anda sıfıra eşittir. Ancak 2 sayısı hem payın hem de paydanın kökü olduğundan kesir x-2 farkı kadar azaltılabilir (Bezout teoremine göre). Aslında, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" dolayısıyla, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Örnek 5. lim xn'yi (n tamsayı, pozitif) bulun. X ile elimizde xn = X* X var. . X, n kere Her faktör sınırsız büyüdüğü için ürün de sınırsız büyür, yani lim xn=oo. x oo Örnek 6. lim xn(n tamsayı, pozitif)'i bulun. X -> - CO Elimizde xn = x x... x var. Her faktör negatif kalırken mutlak değerde büyüdüğü için, çift derece olması durumunda ürün süresiz olarak büyüyecek ve pozitif kalacaktır, yani lim *n = + oo (çift n için). *-* -о Derecenin tek olması durumunda çarpımın mutlak değeri artar ancak negatif kalır, yani lim xn = - oo (n tek için). p -- 00 Örnek 7. Lim'i bulun. x x-*- co * Eğer m>pu ise şunu yazabiliriz: m = n + kt burada k>0. Dolayısıyla xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu 6. örneğe geldik. Eğer ti uTL xm I lim lim t. X - O x-* yu A X ->co Burada pay sabit kalır ve payda mutlak değerde büyür, yani lim -ь = 0. X-*oo X* Bu örneğin sonucunun aşağıdaki şekilde hatırlanması önerilir. aşağıdaki form: Üs büyüdükçe kuvvet fonksiyonu daha hızlı büyür. $хв_Зхг + 7 Örnek 8. lim g L -г-='yi bulun. Bu örnekte x-*® «J* "Г bХ -ох-о ve pay ve payda sınırsız olarak artıyor. Hem payı hem de değeri bölelim. paydayı x'in en büyük kuvvetine göre, yani xb'de 3 7_ Örnek 9. Lira'yı bulun. Dönüşümleri yaparak lira ^ = lim X CO + 3 7 3 elde ederiz, çünkü lim -5 = 0, lim -, = 0. , o zaman paydanın limiti 1'e eşit olur. Dolayısıyla kesirin tamamı limitsiz artar, yani t. lim Cos* fonksiyonunun sürekli olduğunu hatırlayarak paydanın limiti S'yi hesaplayalım: lira (2 + cos x) = 2 + cosy =2 O halde x->- S lim (l-fsin*) Örnek 15. lim *'i bulun.<*-e>2 ve kireç "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO basın (l: - a)2 = z; (n;-a)2 her zaman negatif olmayan bir şekilde ve x ile sınırsız olarak büyüdüğünden, x- ±oo'da yeni değişken z-*oc olur. Bu nedenle qt £ elde ederiz<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (bkz. §5 notu). g -*■ co Benzer şekilde, lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, çünkü x ± oo g m - (x- a)z x ->±oo olarak sınırsız olarak azalır (bkz. § notu)

Bazı açıklayıcı örneklere bakalım.

X sayısal bir değişken olsun, X değişim alanı olsun. X'e ait her x sayısı belli bir y sayısıyla ilişkilendiriliyorsa, X kümesi üzerinde bir fonksiyonun tanımlı olduğunu söylerler ve y = f(x) yazarlar.
Bu durumda X kümesi iki koordinat ekseninden (0X ve 0Y) oluşan bir düzlemdir. Örneğin y = x 2 fonksiyonunu tanımlayalım. 0X ve 0Y eksenleri X'i oluşturur - değişim alanı. Şekil, fonksiyonun nasıl davrandığını açıkça göstermektedir. Bu durumda y = x 2 fonksiyonunun X kümesinde tanımlı olduğunu söylüyorlar.

Bir fonksiyonun tüm kısmi değerlerinin Y kümesine f(x) değerler kümesi denir. Başka bir deyişle değerler kümesi, fonksiyonun tanımlandığı 0Y ekseni boyunca aralıktır. Gösterilen parabol açıkça f(x) > 0 olduğunu göstermektedir, çünkü x2 > 0. Dolayısıyla değerlerin aralığı olacaktır. Birçok değere 0Y ile bakıyoruz.

Tüm x'lerin kümesine f(x)'in tanım kümesi denir. Birçok tanıma 0X ile bakıyoruz ve bizim durumumuzda kabul edilebilir değer aralığı [-; +]

Bir a noktasına (a ait veya X), eğer a noktasının herhangi bir komşuluğunda X kümesinin a'dan farklı noktaları varsa, X kümesinin sınır noktası olarak adlandırılır.

Bir fonksiyonun limitinin ne olduğunu anlamanın zamanı geldi mi?

x, a sayısına doğru yönelirken fonksiyonun yöneldiği saf b'ye denir fonksiyonun sınırı. Bu şu şekilde yazılmıştır:

Örneğin f(x) = x 2. Fonksiyonun x 2'de neye eğilimli olduğunu (eşit olmadığını) bulmamız gerekiyor. İlk önce limiti yazıyoruz:

Grafiğe bakalım.

0X ekseni üzerindeki 2 noktasından geçerek 0Y eksenine paralel bir çizgi çizelim. Grafiğimizle (2;4) noktasında kesişecektir. Bu noktadan 0Y eksenine bir dikme bırakıp 4 noktasına gelelim. Fonksiyonumuzun x 2'de yapmaya çalıştığı şey budur. Şimdi 2 değerini f(x) fonksiyonunda yerine koyarsak cevap aynı olacaktır. .

Şimdi devam etmeden önce limitlerin hesaplanması, temel tanımları tanıtalım.

19. yüzyılda Fransız matematikçi Augustin Louis Cauchy tarafından tanıtıldı.

f(x) fonksiyonunun x = A noktasını içeren belirli bir aralıkta tanımlandığını, ancak f(A) değerinin tanımlanmasının hiç de gerekli olmadığını varsayalım.

O halde Cauchy'nin tanımına göre, fonksiyonun sınırı Her C > 0 için bir D > 0 sayısı varsa f(x), x'in A'ya yöneldiği belirli bir B sayısı olacaktır;

Onlar. x A'daki f(x) fonksiyonu B limitiyle sınırlıysa, bu şu şekilde yazılır:

Sıra sınırı Herhangi bir keyfi küçük pozitif sayı B > 0 için, n > N durumundaki tüm değerlerin eşitsizliği karşıladığı bir N sayısı varsa, belirli bir A sayısı çağrılır

Bu sınır şuna benziyor.

Limiti olan bir diziye yakınsak, değilse ıraksak diyeceğiz.

Daha önce fark ettiğiniz gibi, limitler, değişken için bazı koşulların yazıldığı lim simgesiyle gösterilir ve ardından fonksiyonun kendisi yazılır. Böyle bir küme “bir fonksiyonun limiti...” olarak okunacaktır. Örneğin:

- x 1'e doğru giderken fonksiyonun limiti.

"1'e yaklaşıyor" ifadesi, x'in art arda 1'e sonsuz yaklaşan değerleri alması anlamına gelir.

Artık bu sınırı hesaplamak için x yerine 1 değerini koymanın yeterli olduğu açıkça ortaya çıkıyor:

Belirli bir sayısal değere ek olarak, x aynı zamanda sonsuza da yönelebilir. Örneğin:

X ifadesi, x'in sürekli arttığını ve sonsuza kadar sonsuza yaklaştığını ifade eder. Bu nedenle, x'in yerine sonsuzu koyarsak, 1-x fonksiyonunun ters işaretle yöneleceği açık hale gelir:

Böylece, limitlerin hesaplanması spesifik değerini veya limitle sınırlanan fonksiyonun düştüğü belirli bir alanı bulmaya gelir.

Yukarıdakilere dayanarak, limitleri hesaplarken birkaç kuralın kullanılmasının önemli olduğu anlaşılmaktadır:

Anlamak sınırın özü ve temel kurallar sınır hesaplamaları, bunları nasıl çözeceğiniz konusunda önemli bilgiler edineceksiniz. Herhangi bir sınır size zorluk çıkarıyorsa, yorumlara yazın, size kesinlikle yardımcı olacağız.

Not: Hukuk, çatışmalara ve diğer yaşam zorluklarına yardımcı olan hukuk bilimidir.

Konu 4.6 Limitlerin hesaplanması

Bir fonksiyonun limiti, limit noktasında tanımlı olup olmamasına bağlı değildir. Ancak temel fonksiyonların sınırlarını hesaplama pratiğinde bu durum büyük önem taşımaktadır.

1. Eğer fonksiyon temel ise ve argümanın sınırlayıcı değeri onun tanım alanına aitse, o zaman fonksiyonun limitinin hesaplanması, argümanın sınırlayıcı değerinin basit bir şekilde değiştirilmesine indirgenir, çünkü temel fonksiyonun limiti f(x) x için çabalıyoruzA Tanım tanım kümesinde yer alan , fonksiyonun x = noktasındaki kısmi değerine eşittir. A yani lim f(x)=f( A) .

2. Eğer x sonsuza eğilimlidir veya argüman fonksiyonun tanım alanına ait olmayan bir sayıya yöneliyorsa, bu tür her durumda fonksiyonun limitini bulmak özel araştırma gerektirir.

Formül olarak kullanılabilecek limitlerin özelliklerine göre en basit limitler aşağıda verilmiştir:

Bir fonksiyonun limitini bulmanın daha karmaşık durumları:

her biri ayrı ayrı değerlendirilir.

Bu bölümde belirsizlikleri açıklamanın ana yolları özetlenecektir.

1. Durum ne zaman x için çabalıyoruzA f(x) fonksiyonu iki sonsuz küçük miktarın oranını temsil eder

a) Öncelikle fonksiyonun limitinin doğrudan ikame ile bulunamayacağından ve argümanda belirtilen değişiklikle iki sonsuz küçük miktarın oranını temsil ettiğinden emin olmanız gerekir. Kesirin 0'a yaklaşan bir faktör kadar azaltılması için dönüşümler yapılır. Bir fonksiyonun limit tanımına göre, x argümanı kendi limit değerine doğru yönelir, asla onunla çakışmaz.

Genel olarak, eğer bir fonksiyonun limitini arıyorsak x için çabalıyoruzA o zaman x'in bir değer almadığını hatırlamanız gerekir. A yani x a'ya eşit değil.

b) Bezout teoremi uygulanır. Pay ve paydası x = limit noktasında sıfır olan polinomlar olan bir kesrin limitini arıyorsanız A, bu durumda yukarıdaki teoreme göre her iki polinom da x- ile bölünebilir A.

c) Pay veya paydanın irrasyonel ifadenin eşleni ile çarpılmasıyla pay veya paydadaki irrasyonellik yok edilir, daha sonra kesir basitleştirildikten sonra azaltılır.

d) 1. dikkate değer limit (4.1) kullanılır.

e) Sonsuz küçüklerin denkliği teoremi ve aşağıdaki ilkeler kullanılır:

2. Durum ne zaman x için çabalıyoruzA f(x) fonksiyonu iki sonsuz büyük miktarın oranını temsil eder

a) Bir kesrin pay ve paydasını bilinmeyenin en büyük kuvvetine bölmek.

b) Genel olarak kuralı kullanabilirsiniz

3. Durum ne zaman x için çabalıyoruzA f(x) fonksiyonu sonsuz küçük bir miktar ile sonsuz büyük bir miktarın çarpımını temsil eder

Kesir, payı ve paydası aynı anda 0 veya sonsuza giden bir forma dönüştürülür; durum 3, durum 1 veya durum 2'ye indirgenir.

4. Durum ne zaman x için çabalıyoruzA f(x) fonksiyonu iki pozitif sonsuz büyük niceliğin farkını temsil eder

Bu durum aşağıdaki yollardan biriyle tip 1 veya 2'ye indirgenir:

a) kesirleri ortak bir paydaya getirmek;

b) bir fonksiyonu kesire dönüştürmek;

c) Mantıksızlıktan kurtulmak.

5. Durum ne zaman x için çabalıyoruzA f(x) fonksiyonu, tabanı 1'e ve üssü sonsuza uzanan bir kuvveti temsil eder.

Fonksiyon 2. dikkate değer limiti (4.2) kullanacak şekilde dönüştürülür.

Örnek. Bulmak .

Çünkü x 3'e eğilimlidir, bu durumda kesrin payı 3 2 +3 *3+4=22 sayısına, paydası ise 3+8=11 sayısına yönelir. Buradan,

Örnek

Burada kesrin payı ve paydası bulunur. x 2'ye yöneliyor 0'a eğilimliyse (tür belirsizliği), pay ve paydayı çarpanlara ayırırız, lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5) elde ederiz

Örnek

Pay ve paydayı payın eşlenik ifadesi ile çarparsak, şunu elde ederiz:

Paydaki parantezleri açarak şunu elde ederiz:

Örnek

Seviye 2. Örnek. Bir fonksiyonun limiti kavramının ekonomik hesaplamalarda uygulanmasına bir örnek verelim. Sıradan bir finansal işlemi ele alalım: bir miktar borç verme S 0 şu şartla ki bir süre sonra T tutar iade edilecektir S T. Değerini belirleyelim R göreceli büyüme formül

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Nispi büyüme, elde edilen değer çarpılarak yüzde olarak ifade edilebilir R 100'e kadar.

Formül (1)'den değeri belirlemek kolaydır S T:

S T= S 0 (1 + R)

Birkaç tam yılı kapsayan uzun vadeli kredileri hesaplarken bileşik faiz planı kullanılır. Bu, eğer 1. yıl için tutarın S 0 (1 +)'a yükselir R) kez, ardından ikinci yıl için (1 + R) çarpı toplam artar S 1 = S 0 (1 + R), yani S 2 = S 0 (1 + R) 2. Benzer şekilde çıkıyor S 3 = S 0 (1 + R) 3. Yukarıdaki örneklerden, miktarın büyümesini hesaplamak için genel bir formül türetebilirsiniz. N bileşik faiz planı kullanılarak hesaplandığında yıllar:

Sn= S 0 (1 + R) N.

Finansal hesaplamalarda, bileşik faizin yılda birkaç kez hesaplandığı şemalar kullanılır. Bu durumda öngörülen yıllık oran R Ve yıllık tahakkuk sayısı k. Kural olarak tahakkuklar eşit aralıklarla, yani her aralığın uzunluğu kadar yapılır. tk yılın bir bölümünü oluşturur. Daha sonra dönem için T yıllar (burada T mutlaka bir tam sayı olması gerekmez) miktar S T formülle hesaplanır

(2)

örneğin sayının kendisi ile çakışan sayının tamsayı kısmı nerede? T? tamsayı.

Yıllık oran şöyle olsun R ve üretilir N düzenli aralıklarla yıllık tahakkuklar. Daha sonra yıl için miktar S 0, formül tarafından belirlenen bir değere yükseltilir

(3)

Finansal faaliyetin teorik analizinde ve uygulamasında “sürekli tahakkuk eden faiz” kavramıyla sıklıkla karşılaşılmaktadır. Sürekli tahakkuk eden faize geçmek için sırasıyla formül (2) ve (3)'teki sayıları süresiz olarak artırmanız gerekir. k Ve N(yani yönlendirmek için) k Ve N sonsuza kadar) ve fonksiyonların hangi sınıra doğru yöneleceğini hesaplayın S T Ve S 1. Bu prosedürü formül (3)'e uygulayalım:

Süslü parantez içindeki limitin ikinci dikkate değer limitle örtüştüğüne dikkat edin. Yani yıllık oranda R sürekli tahakkuk eden faiziyle birlikte tutar S 1 yılda 0 değeri artar S 1 *, formülden belirlenir

S 1 * = S 0 e r (4)

Şimdi toplamı alalım S 0 faiz tahakkuk eden bir kredi olarak verilmektedir N düzenli aralıklarla yılda bir kez. Haydi belirtelim tekrar yıl sonundaki tutarın yıllık oranı S 0 değerine artırıldı S 1 * formül (4)'ten. Bu durumda şunu söyleyeceğiz tekrar- Bu yıllık faiz oranı N yılda bir kez, yıllık faize eşdeğer R sürekli tahakkuk ile. Formül (3)'ten şunu elde ederiz:

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Son formülün ve formül (4)'ün sağ taraflarını eşitlemek, ikincisini varsaymak T= 1, miktarlar arasındaki ilişkileri türetebiliriz R Ve tekrar:

Bu formüller finansal hesaplamalarda yaygın olarak kullanılmaktadır.

İşlev sınırı- sayı A Değişim sürecinde bu değişken miktar süresiz olarak yaklaşırsa, bazı değişken miktarların limiti olacaktır. A.

Veya başka bir deyişle sayı A fonksiyonun sınırıdır y = f(x) bu noktada x 0, eğer fonksiyonun tanım kümesindeki herhangi bir nokta dizisi eşit değilse x 0 ve bu noktaya yakınlaşan x 0 (lim x n = x0), karşılık gelen fonksiyon değerlerinin sırası sayıya yakınsar A.

Sonsuza giden bir argüman verildiğinde limiti şuna eşit olan bir fonksiyonun grafiği: L:

Anlam Aöyle fonksiyonun limiti (sınır değeri) f(x) bu noktada x 0 herhangi bir nokta dizisi olması durumunda , yakınsayan x 0, ancak içermeyen x 0 unsurlarından biri olarak (yani delinmiş bölgede) x 0), fonksiyon değerleri dizisi yakınsar A.

Cauchy fonksiyonunun limiti.

Anlam A olacak fonksiyonun sınırı f(x) bu noktada x 0 negatif olmayan herhangi bir sayı için önceden alınmışsa ε karşılık gelen negatif olmayan sayı bulunacaktır δ = δ(ε) öyle ki her argüman için X, koşulu karşılayan 0 < | x - x0 | < δ eşitsizlik giderilecek | f(x)A |< ε .

Limitin özünü ve onu bulmanın temel kurallarını anlarsanız çok basit olacaktır. Fonksiyonun limiti nedir F (X) en X için çabalamak A eşittir A, şu şekilde yazılır:

Ayrıca değişkenin yöneldiği değer X, sadece bir sayı değil aynı zamanda sonsuz (∞) olabilir, bazen +∞ veya -∞ olabilir ya da hiç limit olmayabilir.

Nasıl olduğunu anlamak için bir fonksiyonun sınırlarını bulmaÇözüm örneklerine bakmak en iyisidir.

Fonksiyonun limitlerini bulmak gerekiyor F (x) = 1/Xşurada:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

İlk limite bir çözüm bulalım. Bunu yapmak için basitçe değiştirebilirsiniz X eğilimi olan sayı, yani 2, şunu elde ederiz:

Fonksiyonun ikinci limitini bulalım. Burada bunun yerine saf 0'ı kullanın X bu imkansız çünkü 0'a bölemezsiniz. Fakat sıfıra yakın değerler alabiliriz örneğin 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 vb. ve fonksiyonun değeri F (X) artacak: 100; 1000; 10000; 100.000 vb. Böylece, ne zaman olduğu anlaşılabilir. X→ 0 limit işaretinin altındaki fonksiyonun değeri sınırsız olarak artacaktır yani. sonsuzluğa doğru çabala. Bunun anlamı:

Üçüncü sınıra gelince. Önceki durumda olduğu gibi aynı durum, ikame edilemez ∞ en saf haliyle. Sınırsız artış durumunu dikkate almamız gerekiyor X. 1000'i birer birer yerine koyuyoruz; 10000; 100000 ve benzeri, fonksiyonun değerine sahibiz F (x) = 1/X azalacak: 0,001; 0,0001; 0,00001; vb. sıfıra doğru yöneliyor. Bu yüzden:

Fonksiyonun limitini hesaplamak gerekir

İkinci örneği çözmeye başladığımızda belirsizlik görüyoruz. Buradan pay ve paydanın en yüksek derecesini buluyoruz - bu x 3, pay ve paydadaki parantezlerden çıkarırız ve sonra şu şekilde azaltırız:

Cevap

İlk adım bu sınırı bulmak, bunun yerine 1 değerini değiştirin X bu da belirsizliğe yol açıyor. Bunu çözmek için payı çarpanlarına ayıralım ve bunu ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma yöntemini kullanarak yapalım. x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ d=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x 2= 1.

Yani pay şöyle olacaktır:

Cevap