Перейдем теперь к выводу основного уравнения кинетической теории газов - уравнения, определяющего функцию распределения .

Если столкновениями молекул можно было бы пренебречь вовсе, то каждая молекула газа представляла бы собой замкнутую подсистему и для функции распределения молекул была бы справедлива теорема Лиувилля, в силу которой

(см. V, § 3). Полная производная означает здесь дифференцирование вдоль фазовой траектории молекулы, определяемой ее уравнениями движения. Напомним, что теорема Лиувилля имеет место для функции распределения, определенной именно как плотность в фазовом пространстве (т. е. в пространстве переменных, являющихся канонически сопряженными обобщенными координатами и импульсами).

Это обстоятельство не мешает. Конечно, тому, что сама функция f может быть затем выражена и через любые другие переменные.

В отсутствие внешнего поля величины Г свободно движущейся молекулы остаются постоянными и меняются только ее координаты ; при этом

Если же газ находится, например, во внешнем поле , действующем на координаты центра инерции молекулы (скажем, в поле тяжести), то

где - сила, действующая на молекулу со стороны поля.

Учет столкновений нарушает равенство (3,1); функция распределения перестает быть постоянной вдоль фазовых траекторий. Вместо (3,1) надо писать

где символ означает скорость изменения функции распределения благодаря столкновениям: есть отнесенное к единице времени изменение за счет столкновений числа молекул в фазовом объеме Написанное в виде

уравнение (3,4) (с из (3,2)) определяет полное изменение функции распределения в заданной точке фазового пространства; член есть убыль (в 1 с) числа молекул в заданном элементе фазового пространства, связанная с их свободным движением.

Величину называют интегралом столкновений, а уравнения вида (3,4) называют вообще кинетическими уравнениями. Разумеется, кинетическое уравнение приобретает реальный смысл лишь после установления вида интеграла столкновений. К этому вопросу мы сейчас и перейдем.

При столкновении двух молекул значения их величин Г меняются. Поэтому всякое столкновение, испытанное молекулой, выводит ее из заданного интервала о таких столкновениях говорят как об актах ухода.

Полное число столкновений с переходами со всеми возможными значениями ; при заданном Г, происходящих в единицу времени в объеме dV, равно интегралу

Происходят, однако, и такие столкновения («приход»), в результате которых молекулы, обладавшие первоначально значениями величин Г, лежащими вне заданного интервала попадают в этот интервал. Это столкновения с переходами снова со всеми возможными при заданном Г. Полное число таких столкновений (в единицу времени в объеме dV) равно

Вычтя число актов ухода из числа актов прихода, найдем таким образом, что в результате всех столкновений рассматриваемое число молекул увеличивается в 1 с на

где для краткости обозначено

Таким образом, находим следующее выражение для интеграла столкновений:

Во втором члене в подынтегральном выражении интегрирование по относится только к функции w, множители от этих переменных не зависят. Поэтому эту часть интеграла можно преобразовать с помощью соотношения унитарности (2,9). В результате интеграл столкновений примет вид

в котором оба члена входят с одинаковым коэффициентом .

Установив вид интеграла столкновений, мы тем самым получили возможность написать кинетическое уравнение

Это интегро-дифференциальное уравнение называют также уравнением Больцмана. Оно было впервые установлено основателем кинетической теории Людвигом Больцманом в 1872 г.

Равновесное статистическое распределение должно удовлетворять кинетическому уравнению тождественным образом. Это условие действительно выполняется. Равновесное распределение стационарно и (в отсутствие внешнего поля) однородно; поэтому левая сторона уравнения (3,8) тождественно обращается в нуль. Равен нулю также и интеграл столкновений: в силу равенства (2,5) обращается в нуль подынтегральное выражение. Удовлетворяет кинетическому уравнению, конечно, и равновесное распределение для газа во внешнем поле. Достаточно вспомнить, что левая сторона кинетического уравнения есть полная производная df/dt, тождественно обращающаяся в нуль для всякой функции зависящей только от интегралов движения; равновесное же распределение выражается только через интеграл движения - полную энергию молекулы .

В изложенном выводе кинетического уравнения столкновения молекул рассматривались по существу как мгновенные акты, происходящие в одной точке пространства. Ясно поэтому, что кинетическое уравнение позволяет в принципе следить за изменением функции распределения лишь за промежутки времени, большие по сравнению с длительностью столкновений, и на расстояниях, больших по сравнению с размерами области столкновения. Последние порядка величины радиуса действия молекулярных сил d (для нейтральных молекул совпадающего с их размерами); время же столкновения порядка величины . Эти значения и устанавливают нижний предел расстояний и длительностей, рассмотрение которых допускается кинетическим уравнением (к происхождению этих ограничений мы вернемся еще в § 16). Но фактически обычно нет необходимости (да и возможности) в столь детальном описании поведения системы; для этого понадобилось бы, в частности, и задание начальных условий (пространственного распределения молекул газа) с такой же точностью, что фактически неосуществимо. В реальных физических вопросах существуют характерные параметры длины L и времени Т, навязываемые системе условиями задачи (характерные длины градиентов макроскопических величин газа, длины и периоды распространяющихся в нем звуковых волн и т. п.). В таких задачах достаточно следить за поведением системы на расстояниях и за времена, малые лишь по сравнению с этими L и Т. Другими словами, малыми лишь по сравнению с L и Т должны быть физически бесконечно малые элементы объема и времени. Усредненными по таким элементам задаются и начальные условия задачи.

Для одноатомного газа величины Г сводятся к трем компонентам импульса атома , а согласно (2,8) функция w в интеграле столкновений может быть заменена функцией

Выразив затем эту функцию через дифференциальное сечение столкновений согласно см. (2,2)), получим

Функция нею и сечение определенное согласно (2,2), содержат в себе -функционные множители, выражающие законы сохранения импульса и энергии, в силу которых переменные (при заданном ) в действительности не независимы. Но после того, как интеграл столкновений выражен в виде (3,9), можно считать, что эти -функции уже устранены соответствующими интегрированиями; тогда будет обычным сечением рассеяния, зависящим (при заданном иотн) только от угла рассеяния.

Которая описывает системы, далёкие от термодинамического равновесия, например, в присутствии градиентов температур и электрического поля). Уравнение Больцмана используется для изучения переноса тепла и электрического заряда в жидкостях и газах , и из него выводятся транспортные свойства, такие как электропроводность , эффект Холла , вязкость и теплопроводность . Уравнение применимо для разреженных систем, где время взаимодействия между частицами мало (гипотеза молекулярного хаоса).

Формулировка

Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени (t ) функции распределения плотности f (x , p , t ) в одночастичном фазовом пространстве , где x и p - координата и импульс соответственно. Распределение определяется так, что

пропорционально числу частиц в фазовом объёме d³x d³p в момент времени t . Уравнение Больцмана

Здесь F (x , t ) - поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m - масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. Этот случай часто называют уравнением Лиувилля . Если поле сил F (x , t ) заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения f , то получим уравнение Власова , описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле. Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы , а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, т.е. переноса заряда или тепла, в электронной жидкости).

Вывод уравнения Больцмана

Микроскопический вывод уравнения Больцмана из первых принципов (исходя из точного уравнения Лиувилля для всех частиц среды) производится путём обрыва цепочки уравнений Боголюбова на уровне парной корреляционной функции для классических и квантовых систем. Учёт в цепочке кинетических уравнений корреляционных функций более высокого порядка позволяет находить поправки к уравнению Больцмана .

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Уравнение Больцмана" в других словарях:

уравнение Больцмана - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN Boltzmann equation … Справочник технического переводчика

Уравнение Больцмана (кинетическое уравнение Больцмана) уравнение, названное по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел, и описывающее статистическое распределение частиц в газе или жидкости. Является одним из самых важных… … Википедия

Интегродифференциальное уравнение, к рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения систем из большого числа ч ц, напр. ф ция распределения f(v, r, t) молекул газа по скоростям v и координатам r, ф ции распределения эл нов в … Физическая энциклопедия

Интегродифференц. ур ние, к рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из большого числа частиц, напр, ф ция распределения молекул газа по скоростям и координатам r, ф ции распределения электронов в металле,… … Физическая энциклопедия

Уравнение для функции распределения f (ν, r, t) молекул газа по скоростям ν и координатам r (в зависимости от времени t), описывающее неравновесные процессы в газах малой плотности. Функция f определяет среднее число частиц со скоростями… … Большая советская энциклопедия

Уравнение Власова система уравнений, описывающих динамику плазмы заряженных частиц с учётом дальнодействующих кулоновских сил посредством самосогласованного поля. Впервые предложена А. А. Власовым в статье и позднее излагается… … Википедия

Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера Планка. Уравнение Фоккера Планка одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и… … Википедия

Уравнение Больцмана, известное также как кинетическое уравнение Больцмана, названо по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел. Оно описывает статистическое распределение частиц в газе или жидкости и является одним из самых важных… … Википедия

В математической физике, теорема Лиувилля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в статистической и гамильтоновой механике. Она гласит, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна… … Википедия

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(технический университет)

ФАКУЛЬТЕТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ

РЕФЕРАТ ПО ТЕМЕ

К ИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ Б ОЛЬЦМАНА.

ВЫПОЛНИЛ:

Коркин С.В.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

Шеркунов Ю.Б.

Вторая половина работы набита достаточно сложной математикой . Автор ([email protected], [email protected])не считает этот курсовой идеальным, он может служить лишь отправной точкой для написания более совершенной (и понятной) работы. Текст не является копией книги. Вспомогательную литературу см. в конце.

Курсовой принят с отметкой ОТЛ. (Окончательный вариант работы немножко затерялся. Предлагаю воспользоваться предпоследней «версией»).

Введение……………………………………………………………………………… 3

Условные обозначения………………………………………………………………. 4

§1 Функция распределения.

§2 Столкновение частиц.

§3 Определение вида интеграла столкновений

и уравнения Больцмана.

§4. Кинетическое уравнение для слабо неоднородного газа.

Теплопроводность газа.

Некоторые условные обозначения:

n - концентрация частиц;

d - среднее расстояние между частицами;

V - некоторый объём системы;

P - вероятность некоторого события;

f - функция распределения;

Введение.

Разделы физики термодинамика, статистическая физика и физическая кинетика занимаются изучением физических процессов, происходящих в макроскопических системах - телах, состоящих из большого числа микрочастиц. В зависимости от вида системы такими микрочастицами могут являться атомы, молекулы, ионы, электроны, фотоны или иные частицы. На сегодняшний день существуют два основных метода исследования состояний макроскопических систем - термодинамический, характеризующий состояние системы через макроскопические легко измеряемые параметры (например, давление, объём, температура, количество молей или концентрация вещества) и, по сути, не учитывающий атомно-молекулярную структуру вещества, и статистический метод, основанный на атомно-молекулярной модели рассматриваемой системы. Термодинамический метод не будет затрагиваться в данной работе. По известным законам поведения частиц системы статистический метод позволяет установить законы поведения всей макросистемы в целом. С целью упрощения решаемой задачи при статистическом подходе делается ряд предположений (допущений) о поведении микрочастиц и, следовательно, результаты, полученные статметодом, справедливы лишь в пределах сделанных допущений. Статистический метод использует вероятностный подход к решению задач, для использования этого метода система обязана содержать достаточно большое количество частиц. Одна из задач, решаемая статметодом, - вывод уравнения состояния макроскопической системы. Состояние системы может быть неизменным во времени (равновесная система) либо может изменяться с течением времени (неравновесная система). Изучением неравновесных состояний систем и процессов, происходящих в таких системах, занимается физическая кинетика.

Уравнение состояния развивающейся во времени системы представляет собой кинетическое уравнение, решение которого определяет состояние системы в любой момент времени. Интерес к кинетическим уравнениям связан с возможностью их применения в различных областях физики: в кинетической теории газа, в астрофизике, физике плазмы, механике жидкостей. В данной работе рассматривается кинетическое уравнение, выведенное одним из основоположников статистической физики и физической кинетики австрийским физиком Людвигом Больцманом в 1872 году и носящее его имя.

§1 Функция распределения.

Частицы газа неразличимы (одинаковы);

Частицы сталкиваются только попарно (пренебрегаем столкновением одновременно трех и более частиц);

Непосредственно перед столкновением частицы движутся по одной прямой навстречу друг другу;

Столкновение молекул есть прямой центральный упругий удар;

и. Обозначим через

Поступательное движение классической частицы описывается координатами

Уравнение Больцмана

Людвиг Больцман, австрийский физик-теоретик, член Ав­стрийской Академии наук, один из основоположников класси­ческой кинетической теории.

Учтем теперь, что подобным же образом ведут при соприкос­новении и два различно нагретых газа, имеющих температуры T 1 и T 2 > T 1 . Один из них нагревается, другой - охлаждается и через некоторое время их температуры сравняются (T). Газы приходят в состояние теплового равновесия и теплообмен пре­кращается. Изобразим сказанное схемой.

Итак, W и Т ведут себя совершенно одинаково: при сопри­косновении газов обе эти характеристики одинаковым образом изменяются и затем сравниваются, что соответствует состояни­ям энергетического или теплового равновесия. Как показыва­ют строгие расчеты, эти характеристики связаны между собой пропорциональной зависимостью: Т ~ W.

Можно было бы даже измерять температуру газа значением кинетической энергии его молекул. Однако это было бы не­удобным, так как тогда пришлось бы измерять температуру в джоулях, что, во-первых, непривычно и, во-вторых, выражало бы температуру очень малыми числами. Например, темпера­тура таяния льда, равная 273К, выражалась бы 5,7 10 -21 Лж. Чтобы сохранить за температурой привычные кельвины (или °С), удобнее всего принять

где размерный множитель к ([к] - Дж/К) обеспечивает изме­рение температуры в единицах К, а числовой коэффициент 2/3 введен потому, что он стоит при W к в уравнении Клаузиуса. Измеряемую таким способом температуру будем обозначать Т и называть термодинамической температурой:

Из последнего выражения следует уравнение Больцмана:

где к = 1,38 10 -23 Дж/К - постоянная Больцмана (ее числовое значение позднее получим теоретически). Из уравнения Больц­мана вытекает физический смысл нуля термодинамической тем­пературы (0 К): при Т = 0 будет W к = 0, т.е. при нуле Кельвина прекращается движение молекул (т.е. тепловое движение).

Статистическое описание газа осуществляется функцией распределения молекул газа в их фазовом пространстве, где — совокупность обобщенных координат молекулы, – совокупность обобщенных импульсов, соответствующих координатам, – время (функция распределения зависит от времени в нестационарном состоянии). Довольно часто символом Г обозначают совокупность всех переменных, от которых зависит функция распределения, за исключением координат молекулы и времени . Величины обладают важным свойством: это движения, остающиеся постоянными для каждой молекулы в течение ее свободного движения.

Так, для одноатомного газа величинами являются три компоненты атома . Для двухатомной молекулы в входит импульс и вращательный момент.

Основное кинетическое уравнение

Основное уравнение кинетической теории газов (или кинетической уравнение) – это уравнение определяющее функцию распределения .

Уравнение:

где — интеграл столкновений, уравнение (1) называют кинетическим уравнением. Символ — означает скорость изменения функции распределения благодаря столкновениям молекул. Кинетическое уравнение приобретает реальный смысл лишь после установления интеграла столкновений. Тогда кинетическое уравнение приобретает вид (2). Это интегро-дифференциальное уравнение также, называют уравнением Больцмана:

Требуется пояснить, что такое правая часть уравнения (2).

При столкновении двух молекул значения их величин меняются. Поэтому всякое столкновение, испытанное молекулой, выводит ее из заданного интервала d. Полное число столкновений с переходами со всеми возможными значениями при заданном Г, происходящих в единицу времени в объеме dV, равно интегралу:

(уходящие частицы)

Некоторые молекулы благодаря столкновениям попадают в интервал dГ (столкновения с переходами ). Полное число таких столкновений (в единицу времени в объеме dV) равно:

(приходящие частицы).

Если вычесть число актов ухода их числа актов прихода, понятно, что в результате всех столкновений рассматриваемое число молекул увеличивается в 1с на

Для качественного рассмотрения кинетических явлений в газе используется грубая оценка интеграла столкновений с помощью понятия длины свободного пробега l (некоторого среднего расстояния, проходимого молекулой между двумя последовательными столкновениями). Отношение называют временем свободного пробега. Для грубой оценки интеграла столкновений полагают:

Разность в числителе (3) учитывает, что интеграл столкновений обращается в 0 для равновесной функции распределения. Знак минус выражает тот факт, что столкновения являются механизмом установления статистического равновесия.

Кинетическое уравнение Больцмана

Кинетическое уравнение Больцмана даёт микроскопическое описание эволюции состояния газа малой . Кинетическое уравнение — это уравнение первого порядка по времени, оно описывает необратимый переход системы из некоторого начального неравновесного состояния с функцией распределения в конечное равновесное состояние с наиболее вероятной функцией распределения.

Решение кинетического уравнения весьма сложно с математической точки зрения. Трудности его решения обусловлены многомерностью функции, зависящей от семи скалярных переменных, и сложным видом правой части уравнения.

Если функция распределения зависит только от координаты x и составляющей скорости кинетическое уравнение Больцмана имеет вид:

где и функции распределения молекул до столкновения и после столкновения; – скорости молекул; — дифференциальное эффективное сечение рассеяния в телесный угол dW, зависящее от взаимодействия молекул. — изменение функции распределения в следствии столкновений. -изменение плотности числа частиц. — сила, действующая на частицу.

Если газ состоит из частиц одного сорта, кинетическое уравнение можно записать в виде:

где – среднее число частиц в элементе фазового объема около точки (-изменение плотности числа частиц около точки ( в момент времени t за единицу времени.

Уравнение Больцмана справедливо если:

Если система находится в состоянии статистического равновесия, то интеграл столкновений обращается в ноль и решением уравнения Больцмана будет распределение . Решение уравнения Больцмана для соответствующих условий позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопические уравнения для различных процессов переноса ( , вязкости, ). В поле тяготения земли решение уравнения Больцмана есть известная барометрическая формула.

На Основе решений уравнения Больцмана объясняется макроскопическое поведение газа, вычисление коэффициентов вязкости, теплопроводности.

Кинематическое уравнение является основным уравнением динамики разреженных газов и применяется для аэродинамического расчёта летательных аппаратов на больших высотах полёта.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1