Реализация некоторых методов видоизменения гистограмм в системе Matlab

Как уже не раз отмечалось, одной из важнейших характеристик изображения является гистограмма распределения яркостей его элементов. Ранее мы уже кратко рассматривали теоретические основы видоизменения гистограмм, поэтому в этой работе больше внимания уделим практическим аспектам реализации некоторых методов преобразования гистограмм в системе Matlab. При этом отметим, что видоизменение гистограмм является одним из методов улучшения визуального качества изображений.

Шаг 1: Считывание исходного изображения.

Считаем из файла исходное изображение в рабочее пространство Matlab и выведем его на экран монитора.

L=imread("lena.bmp");

figure, imshow(L);

Так как исследуемое исходное изображение полутоновое, то будем рассматривать только одну составляющую многомерного массива .

Рис. 1. Исходное изображение.

Поскольку в работе рассматриваются гистограммные методы преобразования, то построим также гистограмму исходного изображения.

Рис.2. Гистограмма исходного изображения.

Шаг 2: Равномерное преобразование гистограммы.

Равномерное преобразование гистограммы осуществляется по формуле

где ,- минимальное и максимальное значения элементов массива интенсивностейисходного изображения;

Функция распределения вероятностей исходного изображения, которая аппроксимируется гистограммой распределения . Другими словами, речь идет о кумулятивной гистограмме изображения.

В среде Matlab это можно реализовать следующим образом. Вычисляем кумулятивную гистограмму исходного изображения

CH=cumsum(H)./(N*M);

Вектор значений гистограммы исходного изображения, а ,- размеры данного изображения, которые определяются с помощью функции size

L1(i,j)=CH(ceil(255*L(i,j)+eps));

figure, imshow(L1);

Значение eps используется вместе с функцией ceil для того, чтобы избежать присвоения индексам кумулятивной гистограммы нулевых значений. Результат применения метода равномерного преобразования гистограммы представлен на рис. 3.

Рис. 3. Исходное изображение, обработанное методом равномерного преобразования гистограммы.

Гистограмма, преобразованного согласно формуле (1) изображения, представлена на рис. 4. Она действительно занимает почти весь динамический диапазон и является равномерной.

Рис. 4. Гистограмма изображения, представленного на рис. 3.

О равномерной передаче уровней интенсивностей элементов изображения свидетельствует также и его кумулятивная гистограмма (рис. 5).

Рис.5. Кумулятивная гистограмма изображения, представленного на рис. 3.

Шаг 3: Экспоненциальное преобразование гистограммы.

Экспоненциальное преобразование гистограммы осуществляется по формуле

где - некоторая константа, характеризующая крутизну экспоненциального преобразования.

В Matlab преобразования по формуле (2) можно реализовать следующим образом.

L2(i,j)=-(1/alfa1)*log10(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)));

figure, imshow(L2);

Рис. 6. Исходное изображение после обработки методом экспоненциального преобразования гистограммы.

Гистограмма изображения, обработанного методом экспоненциального преобразования, представлена на рис. 7.

Рис. 7. Гистограмма изображения, обработанного методом экспоненциального преобразования.

Наиболее четко экспоненциальный характер преобразований проявляется на кумулятивной гистограмме обработанного изображения, которая представлена на рис. 8.

Рис. 8. Кумулятивная гистограмма изображения, обработанного методом экспоненциального преобразования.

Шаг 4: Преобразование гистограммы по закону Рэлея.

Преобразование гистограммы по закону Рэлея осуществляется согласно выражению

где - некоторая константа, характеризующая гистограмму распределения интенсивностей элементов результирующего изображения.

Приведем реализацию данных преобразований в среде Matlab.

L3(i,j)=sqrt(2*alfa2^2*log10(1/(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))));

figure, imshow(L3);

Рис. 9. Исходное изображение, обработанное методом преобразования гистограммы по закону Рэлея.

Гистограмма изображения, обработанного методом преобразования по закону Рэлея, представлена на рис. 10.

Рис. 10. Гистограмма изображения, обработанного методом преобразования по закону Рэлея.

Кумулятивная гистограмма изображения, обработанного методом преобразования по закону Рэлея, представлена на рис. 11.

Рис. 11. Кумулятивная гистограмма изображения, обработанного методом преобразования по закону Рэлея.

Шаг 5: Преобразование гистограммы по закону степени .

Преобразование гистограммы изображения по закону степени реализуется согласно выражению

В среде Matlab этот метод можно реализовать следующим образом.

L4(i,j)=(CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))^(2/3);

figure, imshow(L4);

Рис. 12. Исходное изображение, обработанное методом преобразования гистограммы по закону степени .

Гистограмма распределения интенсивностей элементов обработанного изображения представлена на рис. 13.

Рис. 13. Гистограмма изображения, обработанного методом преобразования гистограммы по закону степени .

Кумулятивная гистограмма обработанного изображения, которая наиболее четко демонстрирует характер передачи уровней серого, представлена на рис. 14.

Рис. 14. Кумулятивная гистограмма изображения, обработанного методом преобразования по закону степени .

Шаг 6: Гиперболическое преобразование гистограммы.

Гиперболическое преобразование гистограммы реализуется согласно формуле

где - некоторая константа, относительно которой осуществляется гиперболическое преобразование гистограммы. Фактически параметрравен минимальному значению интенсивности элементов изображения.

В среде Matlab этот метод может быть реализован следующим образом

L5(i,j)=.01^(CH(ceil(255*L(i,j)+eps))); % в данном случае А=0,01

figure, imshow(L5);

Рис. 15. Исходное изображение, обработанное методом гиперболического преобразования.

Гистограмма распределения интенсивностей элементов обработанного таким образом изображения представлена на рис. 16.

Рис. 16. Гистограмма изображения, обработанного методом гиперболического преобразования.

Кумулятивная гистограмма, форма которой соответствует характеру проводимых преобразований, представлена на рис. 17.

Рис. 17. Кумулятивная гистограмма изображения, обработанного методом гиперболического преобразования.

В данной работе были рассмотрены некоторые методы видоизменения гистограмм. Результатом применения каждого метода является то, что гистограмма распределения яркостей элементов обработанного изображения принимает определенную форму. Такого рода преобразования могут применяться для устранения искажений при передаче уровней квантирования, которым были подвергнуты изображения на этапе формирования, передачи или обработки данных.

Отметим также, что рассмотренные методы могут быть реализованы не только глобально, но и в скользящем режиме. Это приведет к усложнению вычислений, поскольку нужно будет анализировать гистограмму на каждом локальном участке. Однако, с другой стороны, такие преобразования, в отличие от глобальной реализации, позволяют увеличивать детальность локальных участков.

Плотность вероятности в законе Рэлея (см. рис. 3.4) имеет следующий вид

где  - параметр распределения Рэлея (равен моде этого распределения ). Его не нужно смешивать со среднеквадратическим отклонением:

Интенсивность отказов равна:

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика  (t), начинающаяся с начала координат.

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

. (3.12)

Средняя наработка до отказа

. (3.13)

3.4. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

, (3.14)

где m x ,  x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

При анализе надежности электроустановок в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m x и  x .

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

, (3.15)

а интенсивность отказов - по формуле

На рис. 3.5 изображены кривые (t), Р(t) и (t) для случая  t  m t , характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления .

В данном пособии показаны только наиболее распространенные законы распределения случайной величины. Известен целый ряд законов, так же используемых в расчетах надежности : гамма-распределение, -распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.

Следует отметить, что если неравенство  t  m t не соблюдается, то следует использовать усеченное нормальное распределение .

Для обоснованного выбора типа практического распределения наработки до отказа необходимо большое количество отказов с объяснением физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах электроустановок, во время эксплуатации или испытаний на надежность, отказывает лишь незначительная часть первоначально имеющихся объектов. Поэтому значение числовых характеристик, найденное в результате обработки опытных данных, сильно зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. Как показано в , при различных законах наработки до отказа, значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, могут отличаться в сотни раз. Поэтому вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа необходимо уделять особое внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений (см. разд. 8).

3.5. Примеры использования законов распределения в расчетах надежности

Определим показатели надежности для наиболее часто используемых законов распределения времени возникновения отказов.

3.5.1. Определение показателей надежности при экспоненциальном законе распределения

Пример . Пусть объект имеет экспоненциальное распределение времени возникновения отказов с интенсивностью отказов  = 2,5  10 -5 1/ч.

Требуется вычислить основные показатели надежности невосстанавливаемого объекта за t = 2000 ч.

Вероятность безотказной работы за время t = 2000 ч равна

Вероятность отказа за t = 2000 ч равна

 (2000) = 1 - Р (2000) = 1 - 0,9512 = 0,0488.

Используя выражение (2.5), вероятность безотказной работы в интервале времени от 500 ч до 2500 ч при условии, что объект проработал безотказно 500 ч равна

Средняя наработка до отказа

ч.

Распределение Рэлея введено Дж. У. Рэлеем (1880) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со спиральными фазами. Закон Рэлея применяется для описания неотрицательных величин, в частности, когда случайная величина является радиусом - вектором при двухмерном гауссовом распределении. В ткацком производстве закон Рэлея широко применяется для анализа геометрической формы, например некруглости, нецилиндричности, эксцентриситета намотки на сновальных валах и ткацких навоях. Также встречается в применениях теории вероятностей, например к радиотехнике.

Распределение является геометрической суммой случайных величин , подчиненных закону Гаусса с параметрами: .

Плотность вероятности распределения Рэлея имеет вид:

(2.3.1)

где - среднее квадратическое отклонение исходного двухмерного распределения =). Значение является параметром закона Рэлея.

Максимальное значение плотности равно и достигается при (на рис.2.3.1 даны графики плотности распределения Рэлея при различных ).

Рис.2.3.1 графики плотности распределения Рэлея при различных

Функция распределения имеет вид: (2.3.2)

При замене новой переменной получим плотность вероятности и функцию распределения нормированного закона Рэлея:

(2.3.3)

(2.3.4)

Графики нормированной плотности вероятности и функции распределения показаны на рис. 2.3.2.

Дифференциальная кривая (рис. 2.3.2,а) имеет положительную асимметрию и более острую вершину, чем гауссово распределение.

Рис.2.3.2. Плотность вероятности (а) и функция распределения (б) нормированного закона Рэлея.

Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

1. Математическое ожидание.

Следовательно, (2.3.5)

2.Дисперсия.

Следовательно,

(2.3.6)

3.Среднее квадратическое отклонение.

(2.3.7).

Вычислим асимметрию и эксцесс:

1.Ассиметрия.

, где .

Следовательно,

(2.3.8)

2.Эксцесс.

, где .

Следовательно,

(2.3.9)

Нормированное рэлеевское распределение не зависит от параметра и легко табулируется.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Доклады по дисциплине дополнительные главы математической статистики. Регрессионный анализ

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Виды регрессионного анализа
Многошаговая регрессия (ШРА) - последовательность шагов РА, выполняемая в направлении увеличения или уменьшения количества учитываемых коэффициентов линейной модели регрессии.

Линейная регрессия
Регрессионный анализ - раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами по статистическим данным. Проблема

Исследование линейной зависимости между ЧСС и мощностью выполняемой работы на основе РА
Рассчитать и построить график уравнения линейной регрессии для относительных значений PWC170 (1) и времени челночного бега 3х10 м у 13 исследуемых и сделать вывод о точности расчета урав

Описание объекта
В нашем случае объектом исследования является совокупность наблюдений за посещаемостью WEB сайта Комитета по делам семъи и молодежи Правительства г. Москвы www.telekurs.ru/ismm. Тематика сайта – эт

Факторы формирующие моделируемое явление
Отбор факторов для модели осуществляется в два этапа. На первом идет анализ, по результатам которого исследователь делает вывод о необходимости рассмотрения тех или иных явлений в качестве переменн

Построение уравнения регрессии
Используя программное обеспечение «ОЛИМП» (которое в свою очередь использует для расчетов указанные выше принципы и формулы чем значительно облегчает нам жизнь), найдем искомое урав

Смысл модели
При увеличении количества вакансий в день, количество посетивших сайт людей будет увеличиваться. Это означает что в настоящий момент сайт не полностью удовлетворяет запросы пользователей, что необ

Общее назначение
Любой закон природы или общественного развития может быть выражен в конечном счете в виде описания характера или структуры взаимосвязей (зависимостей), существующих между изучаемыми явлениями или

Оценивание линейных и нелинейных моделей
Формально говоря, Нелинейное оценивание является универсальной аппроксимирующей процедурой, оценивающей любой вид зависимости между переменной отклика и набором независимых переменных. В общ

Регрессионные модели с линейной структурой
Полиномиальная регрессия. Распространенной “нелинейной” моделью является модель полиномиальной регрессии. Термин нелинейная заключен в кавычки, поскольку эта модель линейна

Существенно нелинейные регрессионные модели
Для некоторых регрессионных моделей, которые не могут быть сведены к линейным, единственным способом для исследования остается Нелинейное оценивание. В приведенном выше примере для скорости

Регрессионные модели с точками разрыва
Кусочно - линейная регрессия. Нередко вид зависимости между предикторами и переменной отклика различается в разных областях значений независимых переменных. Например,

Методы нелинейного оценивания
Метод наименьших квадратов Функция потерь Метод взвешенных наименьших квадратов Метод максимума правдоподобия Максимум правдоподобия и логит/пробит мод

Начальные значения, размеры шагов и критерии сходимости
Общим моментом всех методов оценивания является необходимость задания пользователем некоторых начальных значений, размера шагов и критерия сходимости алгоритма. Все методы начинают свою работу с ос

Оценивание пригодности модели
После оценивания регрессионных параметров, существенной стороной анализа является проверка пригодности модели в целом. Например, если вы определили линейную регрессионную модель, а реальная зависим

Распределения Пирсона (хи – квадрат), Стьюдента и Фишера
В приложениях статистики очень часто используют связанные с нормальным распределения: распределение (хи-квадрат

Распределения Вейбулла - Гнеденко
Экспоненциальные распределения - частный случай так называемых распределений Вейбулла - Гнеденко. Они названы по фамилиям инженера В. Вейбулла, введшего эти распределения в практику анализа результ

Факторный анализ как метод редукции данных
Под редукцией понимается переход от многих исходных количественных признаков к пространству факторов, число которых значительно меньше числа исходных количественных признаков. Например, от исходных

Общий обзор методов факторного анализа
В основе каждого метода факторного анализа лежит математическая модель, описывающая соотношения между исходными признаками и обобщенными факторами. Перейдем к краткой характеристике этих моделей дл

Метод главных компонент
В основе модели для выражения исходных признаков через факторы здесь лежит предположение о том, что число факторов равно числу исходных признаков (k=m), а характерные факторы вообще отсутств

Центроидный метод
Этот метод основан на предположении о том, что каждый из исходных признаков aj(j = 1...m) может быть представлен как функция небольшого числа общих факторов F1

Метод экстремальной группировки параметров
Данный метод также основан на обработке матрицы коэффициентов корреляции между исходными признаками. В основе этого метода лежит гипотеза о том, что совокупность исходных признаков может быть разби

Критерии рационального выбора числа факторов
Сколько факторов следует выделять?Напомним, что анализ главных компонент является методом сокращения или редукции данных, т.е. методом сокращения числа переменных. Возникает естест

Проверка качественных характеристик выборки
Будем рассматривать критерии однородности. Любой статистически критерий проверки гипотез представляет собой средство измерения. Поэтому пользоваться им следует также квалифицированно, как

Критерий Смирнова
Предполагается, что функции распределения и

Критерий однородности Лемана-Розенблатта
Критерий однородности Лемана-Розенблатта представляет собой критерий типа. Критерий был предложен

Метод минимального расстояния
Равномернаяметрика,или метрика Колмогорова, - одна из наиболее старых и наиболее часто используемых вероятностных метрик. Термин «метрика Колмогорова» в отечественной литературе ис

Проверка количественных характеристик выборки
В §1 были определены характеристики генеральной совокупности, т.е. принадлежность к одной генеральной выборке, а также среднее и первый момент. На данном этапе имеется функция распределени

Кластерный анализ в задачах социально-экономического прогнозирования
Кластерный анализ может быть успешно использован в задачах социально-экономического прогнозирования. При анализе и прогнозировании социально-экономических явлений исследователь довольно часто стал

Кластерный анализ как инструмент подготовки эффективных маркетинговых решений
Причины неудач или недостаточно быстрого роста бизнеса в нашей стране часто списываются на несовершенную систему кредитования, пробелы в законодательстве, общую экономическую нестабильность и, нако

Иерархические методы кластерного анализа
Суть иерархической кластеризации состоит в последовательном объединении меньших кластеров в большие или разделении больших кластеров на меньшие. Иерархические аглом

Меры сходства
Для вычисления расстояния между объектами используются различные меры сходства (меры подобия), называемые также метриками или функциями расстояний. Для придания больших весов более отдале

Методы объединения или связи
Когда каждый объект представляет собой отдельный кластер, расстояния между этими объектами определяются выбранной мерой. Возникает следующий вопрос - как определить расстояния между кластерами? С

Иерархический кластерный анализ в SPSS
Рассмотрим процедуру иерархического кластерного анализа в пакете SPSS (SPSS). Процедура иерархического кластерного анализа в SPSS предусматривает группировку как объектов (строк матрицы данных), т

Определение количества кластеров
Существует проблема определения числа кластеров. Иногда можно априорно определить это число. Однако в большинстве случаев число кластеров определяется в процессе агломерации/разделения множества об

Итеративный процесс
Вычисляются центры кластеров, которыми затем и далее считаются покоординатные средние кластеров. Объекты опять перераспределяются. Процесс вычисления центров и перераспределения объектов п

Проверка качества кластеризации
После получений результатов кластерного анализа методом k-средних, следует проверить правильность кластеризации (т.е. оценить, насколько кластеры отличаются друг от друга). Для этого рассчитывают

Сравнительный анализ иерархических и неиерархических методов кластеризации
Перед проведением кластеризации у аналитика может возникнуть вопрос, какой группе методов кластерного анализа отдать предпочтение. Выбирая между иерархическими и неиерархическими методами, необход

Новые алгоритмы и некоторые модификации алгоритмов кластерного анализа
Методы, которые мы рассмотрели, являются «классикой» кластерного анализа. До последнего времени основным критерием, по которому оценивался алгоритм кластеризации, было качество кластеризации: пола

Алгоритм BIRCH
(Balanced Iterative Reducing and Clustering using Hierarchies) Алгоритм предложен Тьян Зангом и его коллегами. Благодаря обобщенным представлениям кластеров, скорость кластеризаци

Алгоритм WaveCluster
WaveCluster представляет собой алгоритм кластеризации на основе волновых преобразований. В начале работы алгоритма данные обобщаются путем наложения на пространство данных многомерной решетки. Н

Алгоритмы Clarans, CURE, DBScan
Алгоритм Clarans (Clustering Large Applications based upon RANdomized Search) формулирует задачу кластеризации как случайный поиск в графе. В результате работы этого алгоритма совокупность узлов гр

Однофакторный дисперсионный анализ
Однофакторная дисперсионная модель имеет вид: xij = μ + Fj + εij, (1) где х

Многофакторный дисперсионный анализ
Следует сразу же отметить, что принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным ДА нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику ДА, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме у

Использование дисперсионного анализа при изучении миграционных процессов
Миграция - сложное социальное явление, во многом определяющее экономическую и политическую стороны жизни общества. Исследование миграционных процессов связано с выявлением факторов заинтересованнос

Принципы математико-статистического анализа данных медико-биологических исследований
В зависимости от поставленной задачи, объема и характера материала, вида данных и их связей находится выбор методов математической обработки на этапах как предварительного (для оценки характера рас

Биотестирование почвы
Многообразные загрязняющие вещества, попадая в агроценоз, могутпретерпевать в нем различные превращения, усиливая при этом свое токсическое действие. По этой причине оказались необх

Дисперсионный анализ в химии
ДА – совокупность методов определения дисперсности, т. е. характеристики размеров частиц в дисперсных системах. ДА включает различные способы определения размеров свободных частиц в жидких и газовы

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»

Факультет дизайна и компьютерных технологий

Кафедра компьютерных технологий

по дисциплине «Надежность, эргономика и качество АСОиУ»

на тему «Основные математические модели, используемые в теории надежности »

Выполнил:

студент гр. зДиКТ-25-08

Люсенков И.В.

Проверил:

Григорьев В.Г.

Чебоксары

Введение

Основные математические модели, используемые в теории надежности……. 3

Распределение Вейбулла…………………………………………………………. 3

Экспоненциальное распределение………………………………………………. 4

Распределение Рэлея……………………………………………………………… 5

Нормальное распределение (распределение Гаусса)………………………….. 5

Определение закона распределения ……………………………………………. 6

Выбор числа показателей надежности …………………………………………. 7

Точность и достоверность статистической оценки показателей надежности… 10

Особенности программ на надежность………………………………………… 11

Литература……………………………………………………………………… 13

Основные математические модели, используемые в теории надежности

В приведенных выше математических соотношениях зачастую использовалось понятие плотности вероятности и закон распределения.

Закон распределения - устанавливаемая определенным образом связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими их вероятностями.

Плотность распределения (вероятностей) - широко распространенный способ описания закона распределения

Распределение Вейбулла

Распределение Вейбула является двухпараметрическим распределением. Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа

где δ - параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных, δ > 0);

λ - параметр масштаба,

От значения коэффициента формы во многом зависит график функции плотности вероятности.

Интенсивность отказов определяется по выражению

(2)

Вероятность безотказной работы

(3)

Отметим, что при параметре δ = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при δ = 2 - в распределение Рэлея.

При δ <1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при δ >1 монотонно возрастает (период износа). Следовательно, путем подбора параметра δ можно получить, на каждом из трех участков, такую теоретическую кривую λ(t), которая достаточно близко совпадает с экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.

Экспоненциальное распределение

Как было отмечено экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы является частным случаем распределения Вейбулла, когда параметр формы δ = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи расчетного выражения достаточно одного параметра λ = const . Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону:

(4)

Среднее время безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала безотказной работы выражается формулой:

(5)

Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т 1 (или постоянную интенсивность отказов λ), можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения объекта до любого заданного момента t.

Распределение Рэлея

Плотность вероятности в законе Рэлея имеет следующий вид

(6)

где δ * - параметр распределения Рэлея.

Интенсивность отказов равна:

. (7)

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика λ(t), начинающаяся с начала координат.

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

(8)

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

(9)

где m x , σ x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

При анализе надежности РЭСИ в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m x и s x .

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

(10)

а интенсивность отказов - по формуле

(11)

В данном пособии показаны только наиболее распространенные законы распределения случайной величины. Известен целый ряд законов, так же используемых в расчетах надежности: гамма-распределение, χ 2 -распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.

Большинство факторов, оказывающих влияние на производственный процесс, не остаются неизменными. Поэтому числовые данные, собранные в результате наблюдения, не могут быть одинаковыми, но обязательно подчиняются определенным закономерностям, называемым распределением.

Если измерять контролируемый параметр непрерывно, можно построить его график плотности распределения. Однако на практике проводят измерения только в определенные промежутки времени и не всех изделий, а только некоторых. Поэтому по результатам измерений строят обычно гистограмму - ступенчатую фигуру, контуры которой дают приблизительное представление о графике плотности, то есть о характере распределения изучаемого параметра.

Гистограмма – это столбиковая диаграмма, служащая для графического представления имеющейся количественной информации.

Обычно основой для построения гистограммы служит интервальная таблица частот, в которой весь диапазон измеренных значений случайной величины разбит на некоторое число интервалов, и для каждого интервала указано количество значений, попавших на данный интервал.

Последовательность построения гистограммы следующая.

1. Находят наибольшее (X max ) и наименьшее (X min ) значения случайной величины и вычисляют размах изменения R

R = X max – X min .

2. Задают некоторое число разрядов k . При n < 100 можно принять k = 6.

3. Определяют ширину разряда h = . Для упрощения расчётов полученное значение h округляют в любую сторону.

4. Устанавливают границы разрядов и подсчитывают число измерений в каждом из них. При подсчёте значения Х , находящегося на границе разряда, его следует всегда относить к разряду, расположенному слева или справа.

5. Устанавливают m i – число значений Х , попавших в данный разряд.

6. Определяют частоту появления величины p i в данном разряде

p i = ,

где n – общее число всех опытных данных.

7. В системе координат p i = f (X ) на ширине разряда h откладывают величину p i как высоту и строят прямоугольник.

Результат заносят в таблицу

Таблица. Гистограмма распределения

Интер валы
m i
p i =

Очевидно, что площадь элементарного прямоугольника

s i = hy i = p i ,

а площадь всей гистограммы

S = = = 1.

Таким образом, гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников.

Рис. Гистограмма (1 ) и полигон (2 ) распределения величины Х

Анализ гистограммы сводится к её сравнению с типовыми случаями.

Обычный тип (симметричный или колоколообразный). Наивысшая частота оказывается в середине основания гистограммы (и постепенно снижается к обоим концам). Форма симметрична. Такая гистограмма по внешнему виду приближается к нормальной (гауссовской) кривой, и можно предполагать, что ни один из факторов, влияющих на исследуемый процесс, не преобладает над другими.

Эта форма гистограммы встречается чаще всего. В этом случае среднее значение случайной величины (применительно к технологической операции – это показатель уровня настроенности) близко к середине основания гистограммы, а степень ее рассеяния относительно среднего значения (для технологических операций – это показатель точности) характеризуется крутизной снижения столбцов.

Рис. Обычный тип гистограммы

Гребенка (мультимодальный тип). Классы через один имеют более низкие частоты.

Такая форма гистограммы встречается, кода число единичных наблюдении, попадающих в класс, колеблется от класса к классу или когда действует определенное правило округления данных Возможно требуется осуществить расслоение данных, то есть определить дополнительные признаки для группировки наблюдаемых значений.

Рис. Гребёнка

Положительно (отрицательно) скошенное распределение . Среднее значение гистограммы локализуется справа (слева) от середины основания гистограммы. Частоты довольно резко спадают

При движении влево (вправо) и, наоборот, медленно вправо (влево). Форма асимметрична.

Такая форма гистограммы встречается, когда нижняя (верхняя) граница регулируется либо теоретически, либо по значению допуска или когда левое (правое) значение недостижимо. В этом случае также можно предполагать, что на процесс оказывает преобладающее влияние какой-либо фактор, в частности, подобная форма встречается, когда имеет место замедленный (ускоренный) износ режущего инструмента.

Подобная гистограмма характерна также для распределения Рэлея, которое характеризует форму либо несимметричность изделия.

Рис. Положительно скошенное распределение

Распределение с обрывом слева (справа). Среднее арифметическое гистограммы локализуется далеко слева (справа) от середины основания. Частоты резко спадают при движении влево (вправо) и, наоборот, медленно вправо (влево). Форма асимметрична.

Рис. Распределение с обрывом слева

Это одна из тех форм, которые часто встречаются при 100 %-ном просеивании изделий из-за плохой воспроизводимости процесса, а также когда проявляется резко выраженная положительная (отрицательная) асимметрия.

Плато (равномерное и прямоугольное распределения). Частоты в разных классах образуют плато, поскольку все классы имеют более или менее одинаковые ожидаемые частоты.

Рис. Плато

Такая форма встречается в смеси нескольких распределений, имеющих различные средние, но может также указывать на какой-либо преобладающий фактор, например, равномерный износ режущего инструмента.

Двухпиковый тип (бимодальный тип). В окрестностях середины основания частота низкая, зато есть по пику с каждой стороны.

Такая форма встречается, когда смешиваются два распределения с далеко отстоящими средними значениями, то есть имеет смысл провести расслоение данных. Такую же форму гистограммы можно наблюдать и в случае, когда какой-либо преобладающий фактор меняет свои характеристики, например, если режущий инструмент имеет сначала ускоренный, а затем замедленный износ.

Рис. Двухпиковый тип

Распределение с изолированный пиком . Наряду с распределением обычного типа появляется маленький изолированный пик.

Рис. Распределение с изолированным пиком

Такая форма появляется при наличии малых включений данных из другого распределения или ошибки измерения. При получении подобной гистограммы следует прежде всего проверить достоверность данных, а в том случае, когда результаты измерений не вызывают сомнения, продумать обоснованность выбранного способа разбиения наблюдаемых значений на интервалы.

Кроме того, по гистограмме можно провести оценку процесса.

При использовании гистограмм для оценки качества процесса на шкале значений наблюдаемого параметра отмечают нижнюю и верхнюю границы поля допуска (поля спецификации) и через эти точки проводят две прямые параллельные столбцам гистограммы.

Если вся гистограмма оказывается внутри границ поля допуска, процесс статистически устойчив и не требует никакого вмешательства.

Если левая и правая границы гистограммы совпадают с границами поля допуска, то желательно уменьшить разброс процесса, так как любое воздействие может привести к появлению изделий, не удовлетворяющих допуску.

Если часть столбцов гистограммы оказывается за границами поля допуска, то необходимо провести регулировку процесса так, чтобы сместить среднее ближе к центру поля допускаили уменьшить вариации, чтобы добиться меньшего разброса.