Равно значение дисперсии числа 5. Урок по математике "дисперсия чисел"

Теория вероятности - особый раздел математики, который изучают только студенты высших учебных заведений. Вы любите расчёты и формулы? Вас не пугают перспективы знакомства с нормальным распределением, энтропией ансамбля, математическим ожиданием и дисперсией дискретной случайной величины? Тогда этот предмет вам будет очень интересен. Давайте познакомимся с несколькими важнейшими базовыми понятиями этого раздела науки.

Вспомним основы

Даже если вы помните самые простые понятия теории вероятности, не пренебрегайте первыми абзацами статьи. Дело в том, что без четкого понимания основ вы не сможете работать с формулами, рассматриваемыми далее.

Итак, происходит некоторое случайное событие, некий эксперимент. В результате производимых действий мы можем получить несколько исходов - одни из них встречаются чаще, другие - реже. Вероятность события - это отношение количества реально полученных исходов одного типа к общему числу возможных. Только зная классическое определение данного понятия, вы сможете приступить к изучению математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин.

Среднее арифметическое

Ещё в школе на уроках математики вы начинали работать со средним арифметическим. Это понятие широко используется в теории вероятности, и потому его нельзя обойти стороной. Главным для нас на данный момент является то, что мы столкнемся с ним в формулах математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Мы имеем последовательность чисел и хотим найти среднее арифметическое. Всё, что от нас требуется - просуммировать всё имеющееся и разделить на количество элементов в последовательности. Пусть мы имеем числа от 1 до 9. Сумма элементов будет равна 45, и это значение мы разделим на 9. Ответ: - 5.

Дисперсия

Говоря научным языком, дисперсия - это средний квадрат отклонений полученных значений признака от среднего арифметического. Обозначается одна заглавной латинской буквой D. Что нужно, чтобы её рассчитать? Для каждого элемента последовательности посчитаем разность между имеющимся числом и средним арифметическим и возведем в квадрат. Значений получится ровно столько, сколько может быть исходов у рассматриваемого нами события. Далее мы суммируем всё полученное и делим на количество элементов в последовательности. Если у нас возможны пять исходов, то делим на пять.

У дисперсии есть и свойства, которые нужно запомнить, чтобы применять при решении задач. Например, при увеличении случайной величины в X раз, дисперсия увеличивается в X в квадрате раз (т. е. X*X). Она никогда не бывает меньше нуля и не зависит от сдвига значений на равное значение в большую или меньшую сторону. Кроме того, для независимых испытаний дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

Теперь нам обязательно нужно рассмотреть примеры дисперсии дискретной случайной величины и математического ожидания.

Предположим, что мы провели 21 эксперимент и получили 7 различных исходов. Каждый из них мы наблюдали, соответственно, 1,2,2,3,4,4 и 5 раз. Чему будет равна дисперсия?

Сначала посчитаем среднее арифметическое: сумма элементов, разумеется, равна 21. Делим её на 7, получая 3. Теперь из каждого числа исходной последовательности вычтем 3, каждое значение возведем в квадрат, а результаты сложим вместе. Получится 12. Теперь нам остается разделить число на количество элементов, и, казалось бы, всё. Но есть загвоздка! Давайте её обсудим.

Зависимость от количества экспериментов

Оказывается, при расчёте дисперсии в знаменателе может стоять одно из двух чисел: либо N, либо N-1. Здесь N - это число проведенных экспериментов или число элементов в последовательности (что, по сути, одно и то же). От чего это зависит?

Если количество испытаний измеряется сотнями, то мы должны ставить в знаменатель N. Если единицами, то N-1. Границу ученые решили провести достаточно символически: на сегодняшний день она проходит по цифре 30. Если экспериментов мы провели менее 30, то делить сумму будем на N-1, а если более - то на N.

Задача

Давайте вернемся к нашему примеру решения задачи на дисперсию и математическое ожидание. Мы получили промежуточное число 12, которое нужно было разделить на N или N-1. Поскольку экспериментов мы провели 21, что меньше 30, выберем второй вариант. Итак, ответ: дисперсия равна 12 / 2 = 2.

Математическое ожидание

Перейдем ко второму понятию, которое мы обязательно должны рассмотреть данной статье. Математическое ожидание - это результат сложения всех возможных исходов, помноженных на соответствующие вероятности. Важно понимать, что полученное значение, как и результат расчёта дисперсии, получается всего один раз для целой задачи, сколько бы исходов в ней не рассматривалось.

Формула математического ожидания достаточно проста: берем исход, умножаем на его вероятность, прибавляем то же самое для второго, третьего результата и т. д. Всё, связанное с этим понятием, рассчитывается несложно. Например, сумма матожиданий равна матожиданию суммы. Для произведения актуально то же самое. Такие простые операции позволяет с собой выполнять далеко не каждая величина в теории вероятности. Давайте возьмем задачу и посчитаем значение сразу двух изученных нами понятий. Кроме того, мы отвлекались на теорию - пришло время попрактиковаться.

Ещё один пример

Мы провели 50 испытаний и получили 10 видов исходов - цифры от 0 до 9 - появляющихся в различном процентном отношении. Это, соответственно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Напомним, что для получения вероятностей требуется разделить значения в процентах на 100. Таким образом, получим 0,02; 0,1 и т.д. Представим для дисперсии случайной величины и математического ожидания пример решения задачи.

Среднее арифметическое рассчитаем по формуле, которую помним с младшей школы: 50/10 = 5.

Теперь переведем вероятности в количество исходов «в штуках», чтобы было удобнее считать. Получим 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Из каждого полученного значения вычтем среднее арифметическое, после чего каждый из полученных результатов возведем в квадрат. Посмотрите, как это сделать, на примере первого элемента: 1 - 5 = (-4). Далее: (-4) * (-4) = 16. Для остальных значений проделайте эти операции самостоятельно. Если вы всё сделали правильно, то после сложения всех вы получите 90.

Продолжим расчёт дисперсии и математического ожидания, разделив 90 на N. Почему мы выбираем N, а не N-1? Правильно, потому что количество проведенных экспериментов превышает 30. Итак: 90/10 = 9. Дисперсию мы получили. Если у вас вышло другое число, не отчаивайтесь. Скорее всего, вы допустили банальную ошибку при расчётах. Перепроверьте написанное, и наверняка всё встанет на свои места.

Наконец, вспомним формулу математического ожидания. Не будем приводить всех расчётов, напишем лишь ответ, с которым вы сможете свериться, закончив все требуемые процедуры. Матожидание будет равно 5,48. Напомним лишь, как осуществлять операции, на примере первых элементов: 0*0,02 + 1*0,1… и так далее. Как видите, мы просто умножаем значение исхода на его вероятность.

Отклонение

Ещё одно понятие, тесно связанное с дисперсией и математическим ожиданием - среднее квадратичное отклонение. Обозначается оно либо латинскими буквами sd, либо греческой строчной «сигмой». Данное понятие показывает, насколько в среднем отклоняются значения от центрального признака. Чтобы найти её значение, требуется рассчитать квадратный корень из дисперсии.

Если вы построите график нормального распределения и захотите увидеть непосредственно на нём квадратичного отклонения, это можно сделать в несколько этапов. Возьмите половину изображения слева или справа от моды (центрального значения), проведите перпендикуляр к горизонтальной оси так, чтобы площади получившихся фигур были равны. Величина отрезка между серединой распределения и получившейся проекцией на горизонтальную ось и будет представлять собой среднее квадратичное отклонение.

Программное обеспечение

Как видно из описаний формул и представленных примеров, расчеты дисперсии и математического ожидания - не самая простая процедура с арифметической точки зрения. Чтобы не тратить время, имеет смысл воспользоваться программой, используемой в высших учебных заведениях - она называется «R». В ней есть функции, позволяющие рассчитывать значения для многих понятий из статистики и теории вероятности.

Например, вы задаете вектор значений. Делается это следующим образом: vector <-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

В заключение

Дисперсия и математическое ожидание - это без которых сложно в дальнейшем что-либо рассчитать. В основном курсе лекций в вузах они рассматриваются уже в первые месяцы изучения предмета. Именно из-за непонимания этих простейших понятий и неумения их рассчитать многие студенты сразу начинают отставать по программе и позже получают плохие отметки по результатам сессии, что лишает их стипендии.

Потренируйтесь хотя бы одну неделю по полчаса в день, решая задания, схожие с представленными в данной статье. Тогда на любой контрольной по теории вероятности вы справитесь с примерами без посторонних подсказок и шпаргалок.

Это разность математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее мат ожидания.

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

Дисперсия характеризует степень рассеяния значение случайной величины относительно ее мат ожидания. Если все значения тесно сконцентрированы около ее мат ожидания и больше отклонения от мат ожид, то такая случайная величина имеет малую дисперсию, а если рассеяны и велика вероятность больших отклонений от М, то случ величина имеет большую дисперсию.

Свойства:

1.Дисперсия постоянно равна 0 D(C)=0

2.Дисперсия произведения случ величины на постоянную С равна произ десперсии случ велич Х на квадрат постоянной D(CX)=C^2D(X)

3.Если случ велич X and Y независимы, дисперсия их суммы (разности) равна сумме дисперсий

D(X Y)=D(X)+D(Y)

4.Дисперсия случ велич не изменится если к ней прибавить постоянную

Теорема:

Дисперсия числа появление соб А в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления соб постоянна и равна p, равна произведению числа испытания на вероятность появления и вероятности непоявления соб в одном испытании

Среднее квадратичское отклонение.

Средним квадрат отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсия

Непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства.

Случайная величина, значение которой заполняет некоторый промежуток, называется непрерывной .

Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными.

Функция распред св.

Способы задания ДСВ неприменимы для непрерывной. В этой связи вводиться понятие функции распределение вероятностей.

Функция распределения называют функцию F(x) определяющую для каждого значения х вероятность того что случ велич Х примет значение меньшее х т.е

Функция распределения ДСВ принимающие значение (x1,x2,x3) с вероятностью (p1,p2,p3) определяется

Так, например функция распределения биномиального распределения определяется формулой:

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, частично-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства:

1.значение функции принадлежит

2. функция распределения есть неубывающая функция F(x2)

3.Вероятность того что случайная величина X примет значение заключенное в интервале (α,β) равна приращению функции распределения на этом интервале P(α

Следствие. Вероятность того что случ велич примет одно значение равно 0.

4.Если все возможные значение случ велич Х принадлежит (a,b) то F(x)=0 при x a и F(x)=1 при x b

5.Вероятность того, что случ велич Х примет значение большее чем x равно разности между единицей и функцией распределения

1. 
   Пусть событие А={1,2,3},а событие В={1,2,3,4,5,6}. Укажите верное высказывание.
2. 
   Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (-2X)
3. 
   При обследовании отдельного региона фирмой , предоставляющей интернет-услуг, выявлено, что (в среднем) из каждых 100 семей, 80 имеют компьютер, подключенный к интернет. Оценить вероятность того , что из 400 семей данного микрорайона, от 300 до 360 семей имеют компьютер, поключенный к интернет.
4. 
   Рассматриваются две случайные величины X и Y. Их математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М (X) =3; D (X) =2; M (Y) =2; D (Y) =1. Укажите верные соотношения.

Какая из следующих формул используется для вычисления числа размещения?

5. 
   Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите по какой формуле вычисляется дисперсия D (X).
6. 
   Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите по какой формуле вычисляется математическое ожидание M (X)

Брошены две игральные кости. Какая из следующих совокупностей полученного числа образует полную группу событий?

Монета бросается 2 раза, какова вероятность P выпадения подряд двух гербов?

7. 
   На рисунке представлены графики нормальных распределений N1, N2, N3.Расположите эти распределения в порядке возрастания их математического ожидания.
8. 
   На рисунке представлены графики нормальных распределений N1, N2, N3.Расположите эти распределения в порядке возрастания их дисперсии.
9. 
   Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной следующим законом распределения

Различаются ли понятия «перестановки из трех элементов» и «размещения из трех элементов по три»?

10. 
    
11. 
    Установить последовательность ответов
12. 
    Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, соответственно,равны М (Х) =3; D (X) =2. Расположите следующие выражения в порядке возрастания их значений.
13. 
    Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (X-1)
14. 
    Чему равно математическое ожидание M (X-Y) разности двух случайных величин X и Y,а если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) =3; M (Y) =4?
15. 
    Укажите названия вероятностей, входящих в формулу Байеса.
16. 
    Пусть событие А={1,2.3.4,5}, а событие В={5,4,3,2,1}. Укажите верное высказывание.
17. 
    
18. 
    Что значат записанные ниже формулы.
19. 
    Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (3X+6)

Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (Х-1) ?

Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (-2Х) ?

20. 
    В серии из n независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли , наблюдается наступление события А. Что означают указанные ниже компоненты формулы Бернулли? Pm,n=Cmnpmqn-m, где q=1-p. Что означают в этой формуле: 1) Pm,n 2) Cmn 3) p
21. 
    Пусть А –случайное событие, вероятность которого отлична от нуля и 1; ? –достоверное и O – невозможное событие. События B, C, и D определены как: B=A+A; C=A+ ?; D=A* O

Чему равно значение среднего квадратического отклонения числа 4?

Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) =5. Чему равно значение дисперсии D (-2X) ?

Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (3Х+6) ?

Понятие факториала. Какое из следующих выражений неверно?

Сравните два числа и укажите правильный ответ. Сравните два числа. Какое из них больше? Какое из чисел больше 10! или 1010?

22. 
    Сравните два числа и укажите правильный ответ.
23. 
    Охарактеризуйте событие: 2х2=5

Чему равна сумма противоположных событий?

Чему равно произведение противоположных событий?

Брошены две игральные кости. Какая из следующих совокупностей полученного числа очков образует полную группу событий?

24. 
    События образуют полную группу если они:

Чему равна сумма случайных событий, образующих полную группу?

25. 
    Пусть событие А=1, 2, 3, а событие B=1, 2, 3, 4, 5, 6. Укажите верное высказывание.
26. 
    Пусть событие А=1,2,3,4,5, а событие B=5,4,3,2,1. Укажите верное высказывание.

Сколько элементов содержит множество элементарных событий, описывающих результат бросания игрального кубика?

Какая из следующих формул используется для вычисления числа размещений?

27. 
    Размещения и перестановки. Пусть P – число возможных перестановок из n элементов, и А- число размещений из n элементов по m (n>m). Каково соотношение между величинами P и А? Укажите верный ответ:

Различаются ли понятия "перестановки из трех элементов" и "размещения из трех элементов по три" ?

28. 
    Свойства сочетаний. Пусть C – число сочетаний из n элементов по m

Монета бросается два раза. Какова вероятность P выпадения подряд двух гербов?

Монета бросается три раза. Какова вероятность P выпадения подряд трех гербов?

29. 
    Пусть А и В - случайные события. Сравните величины P (A+B) и Р (А) +Р (В) и укажите правильный ответ.

Чему равна вероятность суммы противоположных событий?

Чему равна вероятность произведения противоположных событий?

Пусть А - случайное событие, вероятность которого - Р (А) =0,3. Чему равна вероятность события Р (А+А) ?

Пусть А - случайное событие, вероятность которого - Р (А) =0,3. Чему равна вероятность произведения событий Р (А*А) ?

30. 
    Вероятность произведения достоверного и случайного событий. Пусть
31. 
    Вероятность суммы невозможного и случайного событий. Пусть
32. 
    Вероятность произведения невозможного и случайного событий. Пусть

Чему равна вероятность Р суммы событий , образующих полную группу?

33. 
    Вероятность суммы достоверного и случайного событий. Пусть
34. 
    Формула Бернулли. Формула Бернулли имеет вид:

Каковы причины использования асимптотических приближений формулы Бернулли?

35. 
    Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите, по какой формуле вычисляется дисперсия D (X):
36. 
    Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите, по какой формуле вычисляется математическое ожидание M (X):

Что означает в этой формуле P?

37. 
    Законом редких явлений называют:

Что означает в этой формуле P?

38. 
    Укажите свойство функции Гаусса. (см. ниже):
39. 
    Укажите критерий использования интегральной теоремы (формулы) Муавра-Лапласа. Интегральная формула Муавра-Лапласа имеет вид:
40. 
    Свойства функции Лапласа (см. ниже):

Какая характеристика случайной величины имеет смысл ее среднего значения?

41. 
    Чему равно математическое ожидание M (X+Y) суммы двух случайных величин X и Y, если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) = 3 и M (Y) = 4 ?
42. 
    Чему равно математическое ожидание M (X-Y) разности двух случайных величин X и Y, если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) = 3 и M (Y) = 4 ?

Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (X-1) ?

Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (-2X) ?

Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (3X+6) ?

Какая характеристика случайной величины определяет степень ее рассеяния?

43. 
    Чему равна дисперсия суммы D (X+Y) двух независимых случайных величин X и Y, если известны значения дисперсий каждой из них: D (X) =3 и D (Y) =4?

Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (X-1) ?

Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (-2X) ?

Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (3X+6) ?

Чему равно значение дисперсии числа 5: D (5) = ?

44. 
    Среднее квадратическое отклонение равно:
45. 
    Охарактеризуйте множество значений дискретной случайной величины (укажите наиболее полный ответ):
46. 
    Задача: Случайная величина X принимает три возможных значения x=2; x=5; x=8. Известны вероятности первых двух возможных значений: p=0,4 и p=0,15. Найти вероятность значения x; p=?
47. 
    Множество значений непрерывной случайной величины является:

Какое значение непрерывной случайной величины Х определяет ее медиана Ме (Х) ?

48. 
    Мода Mo (X) случайной величины Х характеризует (укажите верный ответ):

Функция распределения. Вероятность какого события определяет функция распределения F (X) cлучайной величины X?

49. 
    Наименьшее значение функции распределения. Непрерывная случайная величина X определена на всей числовой оси. Чему равно предельное значение ее функции распределения F (x) при x->
50. 
    Наибольшее значение функции распределения. Непрерывная случайная величина X определена на всей числовой оси. Чему равно предельное значение ее функции распределения F (x) при x->-? (укажите верный ответ среди ниже перечисленных) ?

Каким из перечисленных ниже свойств обладает функция распределения случайной величины?

51. 
    Какие значения может принимать биномиально распределенная случайная величина Х? P (X=m) =Cpq, где: 0
52. 
    Чему равно математическое ожидание M (X) случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону: P (X=m) =Cpq, где: 0
53. 
    Чему равна дисперсия D (X) случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону: P (X=m) =Cpq, где: 0

Какие значения может принимать случайная величина Х, описываемая законом распределения Пуассона?

54. 
    Математическое ожидание случайной величины X, имеющей Пуассоновский закон распределения, равно 4: M (X) = 4. Чему равна дисперсия D (X) этой случайной величины?
55. 
    Геометрическое распределение дискретной случайной величины. Согласно распределению: случайная дискретная величина X, имеет геометрическое распределение с параметром p, принимает бесконечное (но счетное) множество значений 1,2, …, m, … с вероятностями: P (X=m) =pq, где 0
56. 
    Равномерное распределение. Охарактеризуйте плотность вероятности случайной величины, равномерно распределенной на отрезке :
57. 
    Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Какова вероятность - P того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты?
58. 
    Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Определить математическое ожидание M (X) случайной величины X - времени ожидания поезда.
59. 
    Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке . Чему равно ее математическое ожидание M (X) ?
60. 
    Смысловое значение параметра "a" нормального закона распределения случайной величины (см. ниже) это:
61. 
    Смысловое значение параметра "сигма квадрат" нормального распределения (закона Гаусса).
62. 
    Влияние математического ожидания (параметра "a") на график плотности вероятности нормального закона (закона Гаусса) распределения случайной величины (см. ниже) характеризуется:
63. 
    Сравнение математических ожиданий. M (X) и М (Х) нормально распределенных случайных величин Х и Х (см. рисунок ниже).
64. 
    Уменьшение дисперсии (параметра "сигма квадрат") нормального закона (закона Гаусса) распределения случайной величины (см. ниже) приводит к следующему изменению графика кривой распределения:
65. 
    Сравнение дисперсий D (X) и D (X) нормально распределенных случайных величин X и X (см. рисунок ниже).
66. 
    Стандартным (нормированным) законом распределения N (0; 1) называется:
67. 
    Правило трех сигм.
68. 
    Значение закона больших чисел.
69. 
    Значение несобственного интеграла от плотности вероятности. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен:

К чему стремится частость наблюдаемого события при неограниченном увеличении числа испытаний в схеме Бернулли?

70. 
    Из генеральной совокупности отобраны десять элементов по принципу: брался каждый восьмой по порядку элемент генеральной совокупности. Как называется такой способ отбора?

Как называется варианта, характеризующая наибольшую частоту в выборке?

Уровень значимости при проверке статистической гипотезы задан в 10%. Какова возможность ошибки первого рода?

Какая из следующих числовых характеристик выборки является смещенной оценкой?

К каким соединениям относится свойство симметрии?

71. 
    Укажите, какое из перечисленных ниже свойств числовых характеристик случайной величины записано неправильно (предполагая, что X и Y - независимые случайные величины) ?

Чему равно значение математического ожидания числа 5: M (5) = ?

72. 
    Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной следующим законом распределения:
73. 
    Чему равна дисперсия разности D (X-Y) двух независимых случайных величин X и Y, если известны значения дисперсий каждой из них: D (X) =3 и D (Y) =4?
74. 
    Распределение Пуассона. Математическое ожидание. Чему равно математическое ожидание M (X) случайной величины X
75. 
    распределенной по закону Пуассона:
76. 
    Распределение Пуассона. Дисперсия. Чему равно D (X) случайной величины X распределенной по закону Пуассона:
77. 
    Укажите какова смысловая интерпретация такой случайной величины Х:
78. 
    Найти моду для генеральной совокупности заданной вариационным рядом:
79. 
    Найти генеральную среднюю генеральной совокупности , заданной следующим вариационным рядом:
80. 
    Найти медиану для генеральной совокупности заданной вариационным рядом:
81. 
    Определить выборочную среднюю для следующей выборки:
82. 
    Найти выборочную среднюю следующей выборки из генеральной совокупности:

https://pandia.ru/text/78/381/images/image002_82.jpg" width="192 height=55" height="55"> 0 Значение полигона, построенного по данному выборочному распределению, в точке 1280 и моды равны

DX = 1.5. Используя свойства дисперсии , найдите D(2X+5).

MX = 1.5. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X+5).

MX = 5, MY = 2. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X - 3Y).

x – стандартная нормальная случайная величина. Случайная величина x 2 имеет распределение

X и Y – независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y).

Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадет герб?

Бросается 6 монет. Вероятность того, что герб выпадет более четырех раз равна:

Гистограмма" href="/text/category/gistogramma/" rel="bookmark">гистограмму . Она имеет вид

DIV_ADBLOCK234">

В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Выборочная средняя результатов измерений, выборочная и исправленная дисперсии ошибок прибора равны соответственно

В круг радиусом 10 помещен меньший круг радиусом 5. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональ­на площади круга и не зависит от его расположения.

В круг радиусом 20 см помещен меньший круг радиусом 10 см так, что их центры совпадают. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки – 0.7. Стрелок наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

В среднем каждое сотое изделие, производимое предприятием, дефектное. Если взять два изделия, какова вероятность, что оба окажутся исправными?

В таблице статистического распределения, построенного по выборке, на одно число попала клякса Это число

Эта цифра

В таблице статистического распределения, построенного по выборке, одна цифра написана неразборчиво Эта цифра

В ящике в 5 раз больше красных шаров, чем черных. Найти вероятность p того, что вынутый наугад шар окажется красным.

Вариационный ряд выборки: -7, 2, 4, 0, 3, 2, 1, -5 имеет вид

–7, -5, 0, 1, 2, 2, 3, 4

Величина x имеет распределение N(a, s ). Вероятность p{| x -a|<2 s } равна

Величина x имеет распределение N(a, s ). Вероятность p{ x s }равна