Для количественной оценки качества построенной триангуляции определим два типа критериев топологический и геометрически .

Топологический критерий основан на ближайших соседях точки из множества. В идеальном случае точка имеет для двумерной области 6 соседей, для трехмерной 12 соседей. Топологическую оценку получим с помощью формулы (1), где - общее количество точек в области, - степень или количество соседних точек с вязаных с внутренней точкой.

Геометрический критерий основан на разнице вписанной и описанной окружности вокруг расчетного треугольного элемента. Геометрическую оценку получим с помощью формулы (2), где - количество треугольников, - радиус вписанной окружности, - радиус описанной окружности.

Алгоритмы построения триангуляции

Для построения триангуляции существует большое количество алгоритмов. Они различаются между собой трудоёмкостью, сложностью реализации на ЭВМ, подходами к построению. Подробнее об алгоритмах можно узнать в книге А.В. Скворцова . Рассмотрим некоторые алгоритмы.

Одним из первых был предложен жадный алгоритм построения триангуляции. Триангуляция Делоне называется жадной, если она построена с помощью жадного алгоритма. Трудоемкость работы жадного алгоритма при некоторых его улучшениях составляет . В связи со столь большой трудоемкостью на практике он почти не применяется. Рассмотрим алгоритм по шагам:

Шаг 1. Генерируется список всех возможных отрезков, соединяющих пары исходных точек, и он сортируется по длинам отрезков.

Шаг 2. Начиная с самого короткого, последовательно выполняется вставка отрезков в триангуляцию. Если отрезок не пересекается с другими ранее вставленными отрезками, то он вставляется, иначе он отбрасывается.

Заметим, что если все возможные отрезки имеют разную длину, то результат работы этого алгоритма однозначен, иначе он зависит от порядка вставки отрезков одинаковой длины.

Итеративный алгоритм имеют в своей основе очень простую идею последовательного добавления точек в частично построенную триангуляцию Делоне. Сложность данного алгоритма складывается из трудоёмкости поиска треугольника, в который на очередном шаге добавляется точка, трудоёмкости построения новых треугольников, а также трудоёмкости соответствующих перестроений структуры триангуляции в результате неудовлетворительных проверок пар соседних треугольников полученной триангуляции на выполнение условия Делоне. Рассмотрим алгоритм по шагам:

Шаг 1. На первых трех исходных точках строим один треугольник.

Шаг 2. В цикле по для всех остальных точек выполняем шаги 3-5.

Шаг 3. Очередная -я точка добавляется в уже построенную структуру триангуляции следующим образом. Вначале производится локализация точки, т.е. находится треугольник (построенный ранее), в который попадает очередная точка. Либо, если точка не попадает внутрь триангуляции, находится треугольник на границе триангуляции, ближайший к очередной точке.

Шаг 4. Если точка попала на ранее вставленный узел триангуляции, то такая точка обычно отбрасывается, иначе точка вставляется в триангуляцию в виде нового узла. При этом если точка попала на некоторое ребро, то оно разбивается на два новых, а оба смежных с ребром треугольника также делятся на два меньших. Если точка попала строго внутрь какого-нибудь треугольника, он разбивается на три новых. Если точка попала вне триангуляции, то строится один или более треугольников.

Шаг 5. Проводятся локальные проверки вновь полученных треугольников на соответствие условию Делоне и выполняются необходимые перестроения.

При построении новых треугольников возможны две ситуации, когда добавляемая точка попадает либо внутрь триангуляции, либо вне её. В первом случае строятся новые треугольники и число выполняемых алгоритмом действий фиксировано. Во втором необходимо построение дополнительных внешних к текущей триангуляции треугольников, причём их количество может в худшем случае равняться? 3. Однако за все шаги работы алгоритма будет добавлено не более треугольников, где - общее число исходных точек. Поэтому в обоих случаях общее затрачиваемое время на построение треугольников составляет.

Цепной алгоритм один из первых эффективных алгоритмов построения триангуляции основан на процедуре регуляризации планарного графа и триангуляции монотонных многоугольников . Трудоемкость этого алгоритма составляет, где - количество исходных отрезков. Рассмотрим алгоритм по шагам:

Шаг 1. Из множества исходных структурных отрезков формируем связанный планарный граф (Рисунок 4,а).

Шаг 2. Выполняется регуляризация графа, т.е. добавляются новые рёбра, не пересекающие другие, так что каждая вершина графа становится смежной хотя бы с одной вершиной выше неё и одной ниже. Регуляризация выполняется в два прохода с помощью вертикального плоского заметания . В первом проходе снизу вверх последовательно находятся все вершины, из которых не выходят рёбра, ведущие вверх. Например, на (Рисунок 4,б) такой является вершина B. Проводя горизонтальную линию, обнаруживаем ближайшие пересекаемые ею слева и справа рёбра графа AD и EF. Затем в четырехугольнике DEHG находим самую низкую вершину и проводим в неё ребро из B. Аналогично выполняется второй проход сверху вниз (Рисунок 4,в). В результате работы этого шага каждая область планарного графа становится монотонным многоугольником.

Шаг 3. Каждую область графа необходимо разбить на треугольники. Для этого можно воспользоваться алгоритмом невыпуклого слияния двух триангуляций (Рисунок 4,г).

Рисунок 4. Схема работы цепного алгоритма триангуляции: а) - исходные отрезки; б - проход снизу вверх регуляризации графа; в) - проход сверху вниз; г) - триангуляция монотонных многоугольников

Для реализации цепного алгоритма лучше всего использовать структуры данных, в которых рёбра представляются в явном виде, например «Двойные рёбра» или «Узлы, рёбра и треугольники» .

Недостатком цепного алгоритма является то, что о форме получаемой триангуляции ничего заранее сказать нельзя. Это не оптимальная триангуляция, не жадная и не триангуляция Делоне с ограничениями. В цепном алгоритме могут получаться очень длинные вытянутые треугольники.

Для улучшения качества полученной триангуляции можно проверить все пары смежных треугольников, не разделенных структурным ребром, на выполнение условия Делоне и при необходимости произвести перестроения. В результате будет получена триангуляция Делоне с ограничениями.

ТЕПЛОВ А.А. , бакалавр, МГТУ имени Н.Э. Баумана, кафедра «Программное обеспечение ЭВМ и информационные технологии», Москва, [email protected]

МАЙКОВ К.А. , д.т.н., профессор, МГТУ имени Н.Э. Баумана, кафедра «Программное обеспечение ЭВМ и информационные технологии», Москва, [email protected]

Модифицированный алгоритм
триангуляции Делоне

Приведены результаты сравнительного анализа методов триангуляции Делоне, обладающих высоким быстродействием и низкой ресурсоемкостью. Обосновывается выбор прототипа для последующей модернизации применительно кпостроению динамических трехмерных объектов в реальном времени с практически необходимой степенью детализации. Предложен алгоритм интервального разбиения массива точек триангуляции в соответствии с плотностью распределения, позволяющий избежать ошибок при аппаратной реализации. Проведен анализ предложенного модифицированного алгоритма триангуляции Делоне

Введение

Одним из этапов, определяющих ресурсоемкость построения динамических 3D объектов с заданной степенью детализации, является триангуляция . На практике возникает необходимость определения прототипа метода триангуляции, удовлетворяющего требованию высокого быстродействия и низкой ресурсоемкости с последующей модификацией для конкретного класса задач.

Постановка решаемых задач

Ряд практических задач характеризуется необходимостью моделирования 3D объектов, описанных соответствующим набором точек с неизвестным законом распределения. Примером подобных задач является моделирование горной гряды или сложных и нерегулярных поверхностных структур, значения высот которых заранее получены средствами дистанционного зондирования. В этом случае необходимо произвести триангуляцию на исходном наборе точек, обеспечивающую наибольшую «степень правильности» треугольников, для которой характерно исключение построения «тонких» треугольников с минимальным значением суммы радиусов описанных окружностей.

Проблема «степени правильности» треугольников решается триангуляцией, удовлетворяющей условию Делоне .

Известные алгоритмы триангуляции Делоне можно разделить на следующие четыре категории : итеративные алгоритмы, алгоритмы слияния, двухпроходные алгоритмы и пошаговые; основные особенности указанных алгоритмов рассматриваются ниже.

Итеративные алгоритмы построения триангуляции Делоне

В итеративных алгоритмах реализуется последовательное добавление точек в частично построенную триангуляцию Делоне . Трудоемкость итеративных алгоритмов Делоне определяется как O(N2) , а для случая равномерного распределения точек – O(N) . Недостатками итеративных алгоритмов Делоне являются большое число итеративных циклов, зависимость алгоритма сортировки от структуры исходных данных, а также необходимость проверки на условие Делоне в каждом цикле. Преимущества итеративных алгоритмов Делоне – простота реализации и высокое быстродействие выбора эффективного алгоритма сортировки, основывающегося на определенном наборе входных данных .

Алгоритмы построения триангуляции Делоне слиянием

Алгоритмы слияния реализуют разбиение исходного множества точек на ряд подмножеств, в которых производится построение триангуляций с последующим объединением ряда решений . Трудоемкость алгоритмов слияния составляет всреднем O(N) . Алгоритмам слияния свойственна избыточность, определяемая необходимостью построения выпуклых областей для «узких» полос , а следовательно, формированием длинных, «узких» треугольников , перестраиваемых при слиянии. Алгоритмы слияния обладают высоким быстродействием, что обуславливает их практическое преимущество.

Двухпроходные алгоритмы построения триангуляции Делоне

Преимущественная особенность двухпроходных алгоритмов состоит в том, что на первом цикле строится некоторая триангуляция без учета условия Делоне, которая на втором этапе модифицируется согласно условию Делоне . Трудоемкость двухпроходных алгоритмов составляет в среднем O(N) , а в наименее благоприятном случае – O(N 2) . Недостатком двухпроходных алгоритмов Делоне является необходимость в большом количестве сортировок длякаждой полосы. В то же время данный алгоритм характеризуется высоким быстродействием, т.к. очередной треугольник, попадающий в триангуляцию, не подвергается проверке на удовлетворение условию Делоне, требующему значительных аппаратных ресурсов.

Пошаговые алгоритмы построения триангуляции Делоне

Алгоритмы пошагового построения реализуют лишь треугольники, удовлетворяющие условию Делоне в конечной триангуляции, а поэтому не требуют перестроения . При большой концентрации точек применение пошагового клеточного алгоритма является нецелесообразным. Трудоемкость данного алгоритма в среднем составляет O(N), а в худшем случае – O(N 2).

Выбор прототипа для модификации триангуляции Делоне

Практические особенности задачи построения динамических 3D-объектов в реальном времени определяют такие требования к алгоритмам триангуляции Делоне, как высокое быстродействие и низкая ресурсоемкость. Как следует изприведенных выше результатов анализа, рассмотренные алгоритмы не удовлетворяют в полной мере этим требованиям. Поэтому возникает необходимость построения алгоритма, который не зависит от разбиения области триангуляции напримитивы, содержащие точки самой триангуляции, и не требует проверки условия Делоне на каждой итерации добавления текущего треугольника в исходную триангуляцию.

Из приведенных выше результатов сравнительного анализа следует, что двухпроходные алгоритмы триангуляции Делоне, в частности двухпроходной веерный алгоритм , лишь частично удовлетворяют критериям высокого быстродействия и низкой ресурсоемкости.

Однако алгоритмы данного типа нуждаются в модификации в целях повышения быстродействия применимо к задачам реального времени. Двухпроходной веерный алгоритм избыточен в определении центра масс точек. Определяя координату точки центр масс по OX или OY, при большом количестве точек нецелесообразно вычислять значение среднего арифметического, и при больших значениях координат точек может произойти переполнение данных, что повлечет за собой ошибку или сбой программы. Поэтому целесообразно все значения точек триангуляции разделить на интервалы по оси X на Δх 1 , Δх 2 , Δх 3 ... Δх n и по оси Y на Δy 1 , Δy 2 , Δy 3 ... Δy n . Также необходимо определить количество точек, принадлежащих соответствующим интервалам по осям X и Y. Результирующие формулы получения центра координат масс точек имеют следующий вид:

• х c – x-координата точки центра масс;
• Δх i – i-й интервал на оси X;
• X max – максимальное значение по оси X среди всех точек триангуляции;
• X min – минимальное значение по оси X среди всех точек триангуляции;

• y c – y-координата точки центра масс;
• n i – количество точек на i-м интервале;
• Δy i – i-й интервал на оси Y;
• Y max – максимальное значение по оси Y среди всех точек триангуляции;
• Y min – минимальное значение по оси Y среди всех точек триангуляции.

Последующие этапы триангуляции реализуются согласно классическому веерному алгоритму . Схема разработанного модифицированного веерного алгоритма триангуляции Делоне представлена на рис. 1.

Наиболее трудоемкими этапами в представленной схеме являются этапы сортировки и построения триангуляции до выпуклой. В качестве алгоритма сортировки был выбран алгоритм слияния , а в качестве алгоритма построения выпуклой триангуляции – алгоритм Грэхема . Оба алгоритма работают за приемлемое время и являются наиболее предпочтительными в практическом аспекте среди своих представителей.

Анализ модифицированного веерного алгоритма триангуляции Делоне

Из приведенной на рис. 1 схемы видно, что значение времени построения триангуляции модифицируемым веерным алгоритмом определяется выражением:

• T 1 ,T 2 – значения времени вычислений оптимального числа интервалов по осям X и Y соответственно;
• T 3 ,T 4 – значения времени вычислений X min и X max соответственно;
• T 5 ,T 6 – значения времени вычислений Y min и Y max соответственно;
• T 7 ,T 8 – значения времени вычислений величин интервалов по осям X и Y соответственно;
• T 9 – значение времени вычисления величин полярного угла каждой точки массива относительно точки A(X c ,Y c);
• T 10 – значение времени сортировки слиянием всех точек по полярному углу относительно точки A(X c ,Y c);
• T 11 – значение времени построения ребра от каждой точки массива к точке A(X c ,Y c);
• T 12 – значение времени достроения триангуляции до выпуклой;
• T 13 – значение времени перестроения триангуляции, удовлетворяющей условию Делоне;
• n – массив значений координат точек.

Рассмотрим каждую временную зависимость отдельно.

При определении оптимального числа интервалов по оси X и Y, воспользуемся правилом Стерджеса , согласно которому количество интервалов n определяется как:

• N – общее число наблюдений величины;
• [x] – целая часть числа x.

Очевидно, что временные зависимости T 1 и T 2 имеют константные представления c 1 и c 2 .

На этапах определения значений X min , X max , Y min , Y max псевдокод будет выглядеть следующим образом:

Xmin ← M

for i ← 1 to lenght(M) – 1

If Xmin › M[i]

Xmin ← M[i]

Xmax ← M

for i ← 1 to lenght(M) – 1

If Xmax < M[i]

Xmax ← M[i]

Ymin ← M

for i ← 1 to lenght(M) – 1

If Ymin › M[i]

Ymin ← M[i]

Ymax ← M

for i ← 1 to lenght(M) – 1

If Ymax < M[i]

Ymax ← M[i]

Из вышеуказанного псевдокода отчетливо видно, что время нахождения максимального или минимального значения величин x или y имеет линейную зависимость O(N), следовательно, T 3 (n), T 4 (n),T 5 (n),T 6 (n), имеют временную характеристику O(N) соответственно.

Схема определения значений интервалов по оси X представлена на рис. 2.

Из выше представленной схемы также видна линейная временная зависимость O(N), т.к. в определении величин участвует весь набор координат значений массива точек. Схема определения величин интервалов по оси Y имеет аналогичную структуру и временные характеристики, следовательно, временная зависимость для T 7 (n) и T 8 (n) имеет вид O(N).

Схема определения значений полярного угла для исходного массива точек представлена на рис. 3.

В виде псевдокода данная схема будет выглядеть следующим образом:

for points to points

# Если точка лежит на оси координат между I и IV четвертями

If point.x ≥ Xc and point.y = Yc

Point.angle ← 0

# Если точка лежит строго в I четверти

Else if point.x > Xc and point.y > Yc

Foundation ← |point.x – Xc|

Point.angle ← arctg(perpendicular/foundation)

# Если точка лежит на оси координат между I и II четвертями

Else if point.x = Xc and point.y > Yc

Point.angle ← p/2

# Если точка лежит строго в II четверти

Else if point.x < Xc and point.y > Yc

Foundation ← |point.y – Yc|

Point.angle ← p/2 + arctg(perpendicular/foundation)

# Если точка лежит на оси координат между II и III четвертями

If point.x < Xc and point.y = Yc

Point.angle ← p

# Если точка лежит строго в III четверти

If point.x < Xc and point.y > Yc

Foundation ← |point.x – Xc|

Perpendicular ← |point.y – Yc|

Point.angle ← p + arctg(perpendicular/foundation)

# Если точка лежит на оси координат между III и IV четвертями

If point.x = Xc and point.y < Yc

Point.angle ← 3p/2

# Если точка лежит строго в IV четверти

If point.x > Xc and point.y < Yc

Foundation ← |point.y – Yc|

Perpendicular ← |point.x – Xc|

Point.angle ← 3p/2 + arctg(perpendicular/foundation)

Очевидно, что временная характеристика определения значений полярного угла для исходного массива координат точек имеет вид O(N), следовательно, T 9 (n) = O(N).

Как показано в , сортировка слиянием имеет временную зависимость вида O(N), следовательно, T 10 (n) = O(NlnN).

Схема построения ребра, соединяющего точки исходного массива, представлена на рис. 4.

Псевдокод вышеуказанной схемы будет иметь вид:

for i ← 0 to length(Points) – 1

Draw(Xc,Yc,Points[i].x, Points[i].y)

Временная характеристика также линейна, следовательно, T 11 (n) = O(N).

Достроение получившейся триангуляции до выпуклой осуществляется согласно алгоритму Грэхема . В качестве входных данных процедуры выступает множество точек Q, где |Q|≥3. В ней вызывается функция Top(S), которая возвращает точку, находящуюся на вершине стека S, не изменяя при этом его содержимое. Кроме того, используется также функция NextToTop(S), которая возвращает точку, расположенную в стеке S, на одну позицию ниже от верхней точки; стек S при этом не изменяется.

Graham(Q)

Пусть p 0 – точка из множества Q с минимальной координатой.

Пусть ‹p 1 , p 2 ,...,p N › – точки множества Q, отсортированные

В порядке возрастания полярного угла.

Push(p 0 ,S)

Push(p 1 ,S)

for i=2 to N do

While угол, образованный точками NextToTop(S), Top(S) и pi,

Образуют не левый поворот

# при движении по ломаной, образованной этими

# точками, движение осуществляется прямо или вправо

Do Pop(S)

Push(pi,S)

return S

Время работы процедуры Graham равно O(NlnN), где N=length(Q). Как несложно показать, что циклу while потребуется время O(N), а сортировка полярных углов займет O(NlnN) времени, откуда и следует общая асимптотика процедуры Graham, следовательно, T 12 (n) = O(NlnN).

Временная характеристика перестроения триангуляции, удовлетворяющей условию Делоне, как показано в , имеет линейную зависимость O(N), таким образом, T 13 (n) = O(N).

Если подставить все найденные временные характеристики в выражение (3), то результирующая временная зависимость будет иметь вид:

T(n) = c 1 +c 2 +O(N)+O(N)+O(N)+O(N)+O(N)+O(N)+O(N)+ +O(NlnN)+O(N)+O(NlnN)+O(N)

T(n) = O(NlnN)

Проведенный теоретический анализ временных характеристик модифицированного алгоритма триангуляции Делоне подтверждает работоспособность и высокое быстродействие предложенного алгоритма.

Выводы

В результате проведенного сравнительного анализа практически востребованных алгоритмов триангуляции Делоне, показано, что рассмотренные методы не удовлетворяют требованиям построения в реальном времени динамических трехмерных объектов с заранее определенной степенью детализации, а следовательно, возникает практическая необходимость их модификации. Предложена модификация веерного двухпроходного алгоритма триангуляции Делоне, функциональной особенностью которого является вычисление значений центра масс массива координат точек триангуляции посредством разбиения массива точек на подмножества по оси X и Y. Произведен анализ временных характеристик модифицированного алгоритма триангуляции Делоне. Указанные вычисления позволяют существенно выиграть в производительности на большом массиве точек при определении координат точки центра масс и избежать переполнения данных, а следовательно, ошибки при программной реализации.

1. Кнут Д.Э. Искусство программирования. Том 1. Основные алгоритмы. – М.: Вильямс, 2008. – 680 с.
2. Кнут Д.Э. Искусство программирования. Том 3. Сортировка и поиск. – М.: Вильямс, 2008. – 800 с.
3. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с.
4. Скворцов А. В. Триангуляция Делоне и ее применение. – Томск: Изд-во Томского университета, 2002. – 128 с.
5. Скворцов А.В. Построение триангуляции Делоне за линейное время. – Томск: Изд-во Томского университета, 1999. – С.120-126.
6. Скворцов А.В., Мирза Н.С. Алгоритмы построения и анализа триангуляции. – Томск: Изд-во Томского университета, 2006. – 168 с.
7. Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн. Алгоритмы: построение и анализ, 3-е изд.: Пер. с англ. – М.: Вильямс, 2013. – 1328 с.
8. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. – М.: Наука, 1989. – 288 с.
9. Sturges H. (1926). The choice of a class-interval. J. Amer. Statist. Assoc., 21, 65-66.

Ключевые слова: виртуальная реальность, триангуляция на заданном массиве точек, триангуляция Делоне, построение динамических трехмерных объектов.

The modified Delaunay’s triangulation algorithm

Teplov A.A. , Bachelor, MSTU Bauman, Department of "Software and Information Technologies", Moscow, [email protected]

Maikov K.A. , Doctor of Technical Sciences, Professor, MSTU Bauman, Department of "Software and Information Technologies", Moscow, [email protected]

Abstract: The results of the comparative analysis of the virtually popular methods of the Delaunay’s triangulation with high performance and low resource consumption are described in this article. The choice of the method for further modernization with the aim of building of dynamic 3-D objects in real time with a certain degree of detail is justified. One of the main stages of a fibered the two-pass algorithm of the Delaunay’s triangulation is modified. There is the proposal of the algorithm for the interval partitioning of the cell array of the triangulation in accordance with the density of distribution, allowing to avoid the errors in the hardware implementation.

Keywords: virtual reality, triangulation on a given cell array, Delaunay’s triangulation, building of dynamic 3-D objects.

Вконтакте

Пространственная триангуляция Делоне

Задача построение сети неперекрывающихся треугольников является одной из базовых в вычислительной геометрии и широко используется в машинной графике и геоинформационных системах для моделирования поверхности и решения пространственных задач.

Впервые задача построения сети неперекрывающихся треуголь­ников была поставлена в 1934 году в работе советского математика Б. Н. Делоне, который сформулировал и соответствующие условия.

В математике задачей построения триангуляции по заданным точкам называют задачу их попарного соединений непересекающимися отрезками так, чтобы образовалась сеть треугольников. Основными ее элементами являются (рис.5.3): узлы (вершины треугольников), ребра (стороны) и грани (собственно треугольники). Построенная три­ан­гуляция может быть выпуклой (если таковым будет минимальный многоугольник, охватывающий область моделирования), невыпуклой (если триангуляция не является выпуклой) и оптимальной (если сумма длин всех ребер минимальна).

Сеть таких треугольников называется триангуляцией Делоне, если она удовлетворяет некоторым условиям:

Внутрь окружности, описанной вокруг любого треугольника, не попадает ни одна из исходных точек (рис. 5.3);

Триангуляция является выпуклой и удовлетворяет сформулиро­ванному выше условию Делоне;

Сумма минимальных углов всех треугольников максимальна из всех возможных триангуляций;

Сумма радиусов окружностей, описанных около треугольников, минимальна среди всех возможных триангуляций .

Первый из названных выше критериев построения триангуляции Делоне, называемый круговым, является одним из основных и проверяется для любой пары треугольников с общими гранями. Математическая интерпретация критерия вытекает из рис. 5.3:

(5.2)

Существует множество способов построения триангуляции Делоне, которая является одним из самых популярных в последнее время способов построения триангуляционной сетки. Она применяется во многих ГИС системах для построения моделей рельефа.

В приложении к двумерному пространству она формулируется следующим образом: система взаимосвязанных неперекрывающихся треугольников имеет наименьший периметр, если ни одна из вершин не попадает внутрь ни одной из окружностей, описанных вокруг образованных треугольников (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Триангуляция Делоне

Это означает, что образовавшиеся треугольники при такой триангуляции максимально приближаются к равносторонним, а каждая из сторон образовавшихся треугольников из противолежащей вершины видна под максимальным углом из всех возможных точек соответствующей полуплоскости. Это именно та оптимальная триангуляция, по ребрам которой делается обычно линейная интерполяция для построения изолиний.

Многие алгоритмы построения триангуляции Делоне используют следующую теорему .

Теорема 1. Триангуляцию Делоне можно получить из любой другой триангуляции по той же си­стеме точек, последовательно перестраивая пары соседних треугольников ABC и BCD, не удовлетво­ряющих условию Делоне, в пары треугольников ABD и ACD (рис. 5.5).

Рис. 5.5.. Перестроение треугольников, не удовлетворяющих условию Делоне

Такую операцию перестроения часто называют флипом. Данная теорема позволяет строить три­ангуляцию Делоне последовательно, вначале строя некоторую триангуляцию, а потом последовательно улучшая ее в смысле условия Делоне. При проверке условия Делоне для пар соседних треугольников можно использовать непосредственно определение, но иногда используются другие способы, основанные на условиях, перечисленных выше.

В данных условиях фигурирует суммарная характеристика всей триангуляции (сумма мини­мальных углов или сумма радиусов), оптимизируя которую можно получить триангуляцию Делоне.

Как было сказано выше одна из важнейших операций, выполняемых при построении три­ангуляции, является проверка условия Делоне для заданных пар треугольников. На основе определения триангуляции Делоне и соответствующих условий на практике обычно используют несколько способов проверки:

– проверка через уравнение описанной окружности;

– проверка с заранее вычисленной описанной окружностью;

– проверка суммы противолежащих углов;

– модифицированная проверка суммы противолежащих углов.

В многих системах выполняется проверка с заранее вычисленной описанной окружностью. Основная идея алгоритма проверки через за­ранее вычисленные окружности заключается в предварительном вычислении для каждого построенного треугольника центра и радиуса описанной вокруг него окружности, после чего проверка условия Делоне будет сводиться к вычислению расстояния до центра этой окружности и сравнению результата с ради­усом. Центр и радиус r окружности, описанной вокруг можно найти как , , , r 2 = (b 2 + с 2 - 4аd)/4а 2 , где значения а, b, с, d определены по формулам (5.3)

(5.3)

Другая запись уравнения этой окружности имеет вид:

(5.5.)

(5.6)

Тогда условие Делоне для будет выполняться только тогда, когда для любой другой точки триангуляции будет:

(x 0 – x C) 2 + (y 0 – y C) 2 ≥ r 2 . (5.7)

В настоящее время существует множество алгоритмов построения триангуляции Делоне. Многие из известных алгоритмов используют определение триангуляции Делоне как вторичный признак триангуляции. Поэтому в таких алгоритмах отмечаются следующие слабости:

– алгоритмы используют постоянно вычисляемые тригонометрические функции, что резко замедляет процесс;

– при исследовании взаимоотношения точек и базового отрезка возникают очень малые углы, и при использовании тригонометрических функций постоянно появляется опасность исчезновения порядка и деления на 0 в связи с ограниченной точностью представлений данных в компьютере, эта ситуация требует постоянной дополнительной обработки .

Наиболее известные программные продукты строят триангуляцию Делоне, используя теорему о пустом шаре как основной, первичный принцип построения треугольников. Алгоритм выглядит так:

– все множество точек делится на треугольники, т.е. создаются комбинации из трех точек;

– для каждой комбинации находится описанная окружность и координаты ее центра;

– если внутри окружности текущей комбинации не находится ни одной точки из оставшихся то эта комбинация есть треугольник – часть триангуляции Делоне.

К достоинствам этого алгоритма можно отнести:

– отсутствие использования тригонометрических функций, что не замедляет процесс построений;

– непосредственное построение триангуляции Делоне, без каких – либо предварительных построений;

– простота всех вычислений и преобразований;

– в итоге триангуляционная сетка представлена множеством треугольников, а не отдельных линий.

Построенная таким образом триангуляция является геометрической основой для построения изолиний.

Алгоритмы построения триан­гу­ляции Делоне можно разделить на ряд групп, различающиеся структурой используемых входных данных, объемом вычис­ли­тель­ных операций, исходными пред­по­сылками и др. Рассмотрим некоторые из них.

Алгоритмы слияния предполагают разбиение множества исход­ных точек на подмножества, построение на каждом из них триан­гуляции и последующее их объединение в единую сеть. Сущ­ность одного из таких алгоритмов сводится к следующему.

Множество исходных точек делится вертикальными линиями на две или более частей, после чего каждая из них разделяются горизонтальными и вертикаль­ными линиями на примерно равные части. В результате вся область исходных точек оказывается разделенной на примитивы по три – четыре точки (рис. 2.4), по которым строятся один – два треугольника.

Слияние этих треугольников в единую сеть выполняется путем построения двух базовых линий (P 0 P 1 и P 2 P 3 , рис. 5,7.а), проведении окружностей переменного радиуса с центром на серединном перпендикуляре к базовой линии (рис. 5.7, б), поиску попадающего на окружность узла (точка A , рис. 5.7. в) и построению нового треугольника (P 0 P 1 A). При этом может возникнуть необходимость удаления уже существующего треугольника (например, P 0 AB) .

Итеративные алгоритмы основаны на идее последовательного добавления точек в частично построенную триангуляцию с одновременным ее улучшением и перестроением в соответствии с критериями Делоне. В общем виде они включают несколько шагов и сводятся к построению треугольника на первых трех исходных точках и исследованию нескольких вариантов размещения очередной точки. В частности, рассматриваются варианты ее попадания за границу области моделирования, на существующий узел или ребро, внутрь построенного треугольника и др. Каждый из этих вариантов предполагает выполнение определенной операции: разбивки ребра на два, грани – на три и т.д.; после чего выполняется проверка полученных треу­голь­ников на соответствие условию Делоне и необходимые перестроения.

Двухпроходные алгоритмы, предусматривают вначале построение некоторой триангуляции, игнорируя условия Делоне, а затем – ее перестроение в соответствии с этими условиями. Пример при­менения алгоритма приведен на рис. 5.8.

Для приближения создаваемой модели рельефа к реальной в нее внедряются дополнительные элементы, обеспечивающие учет и отображение ее линейных и площадных структурных элементов. Такими дополнительными элементами являются широко используе­мые в топографии структурные линии, определяющие «скелет рельефа»: водоразделы, тальвеги, хребты, обрывы, уступы, озера, овраги, береговые линии, границы искусственных сооружений и др., совокупность которых создает как бы каркас триангуляции Делоне. Эти структурные линии внедряются в триангуляцию в качестве ребер треугольников, чем и достигается моделирование реальных элементов рельефа на фоне общих неровностей земной поверхности. Такие ребра называются структурными (фиксированными, неперестраиваемыми), не пересекают ребра других треугольников и в последующем не изменяются.

Задача построения модели поверхности с учетом структурных линий называется триангуляцией Делоне с ограничениями, если условия Делоне выполняются для любой пары смежных треугольников, которые не разделяются структурными линиями. Наиболее эффективно, считают исследователи, выполняется построение такой триангуляции с помощью итеративных алгоритмов.

Алгоритмы построения триангуляции Делоне реализуются с вещественным или целочисленным представлением координат узлов, что позволяет существенно повысить скорость и точность обработки, но порождает проблемы поиска и исключения совпадающих узлов.

Модель TIN легко редактируется путем перемещения узлов, вставки новых, удаления имеющихся, изменения положения одного или нескольких ребер, внедрения новых структурных линий и др. Такие изменения всегда затрагивают небольшую группу смежных треугольников, не требуют перестроения всей сети и осуществляются в режиме on-line, по указанию курсором на соответствующий элемент .

О точности:

Располагая пикеты на характерных элементах рельефа (например, водоразделах и тальвегах), мы игнорируем более мелкие элементы в промежутках. При построении горизонталей1 по таким ребрам треугольников возникает ошибка, которая зависит от величины неровности рельефа и угла наклона местности. Например, средняя погрешность съемки рельефа, не должна превышать 1/3 сечения рельефа при углах наклона поверхности от 2 до 10 градусов. Можно рассчитать, что при сечении рельефа 0,5 м предельная величина пропущенной неровности (то есть отклонения поверхности земли от прямой, проходящей через соседние пикеты) не должна превышать (0,5/3)*cos10°=0,16 м.

Для точности определения объема перемещаемого грунта важна также площадь, занимаемая не учитываемой деталью рельефа. Допустим, в квадрате 20х20 м между двумя парами пикетов имеется цилиндрическая выпуклость с максимальной высотой 0,15 м. Нетрудно подсчитать, что ее неучет при представлении данной поверхности только двумя треугольниками приведет к ошибке приблизительно в 40 м3. Не так уж много, но для участка в 1 га, расположенного на холме или верхней (как правило, выпуклой) части склона, получится уже 40*25=1000 м3 лишнего грунта. Если же брать пикеты в два раза чаще (то есть через 10 м), ошибка уменьшится вчетверо и составит 250 м3 на гектар. Этот фактор можно учесть заранее, поскольку положительные формы равнинного рельефа обычно имеют выпуклую форму, а отрицательные – вогнутую. Если на подлежащий съемке участок имеются приближенные данные о рельефе, то радиус кривизны поверхности и необходимую густоту пикетов легко рассчитать по величинам заложения горизонталей или отдельным высотным отметкам.

Основные определения и свойства

Триангуляцией называется планарный граф, все внутренние области которого являются треугольниками.

Свойства:

· Триангуляция Делоне взаимно однозначно соответствует диаграмме Вороного для того же набора точек.

· Как следствие: если никакие четыре точки не лежат на одной окружности, триангуляция Делоне единственна.

· Триангуляция Делоне максимизирует минимальный угол среди всех углов всех построенных треугольников, тем самым избегаются "тонкие" треугольники.

· Триангуляция Делоне максимизирует сумму радиусов вписанных шаров.

· Триангуляция Делоне минимизирует дискретный функционал Дирихле.

· Триангуляция Делоне минимизирует максимальный радиус минимального объемлющего шара.

· Триангуляция Делоне на плоскости обладает минимальной суммой радиусов окружностей, описанных около треугольников, среди всех возможных триангуляций.

Рис 1. Триангуляция.

Выпуклой триангуляцией называется такая триангуляция, для которой минимальный многоугольник, охватывающий все треугольники, будет выпуклым. Триангуляция, не являющаяся выпуклой, называется невыпуклой.

Задачей построения триангуляции по заданному набору двумерных точек называется задача соединения заданных точек непересекающимися отрезками так, чтобы образовалась триангуляция.

Говорят, что триангуляция удовлетворяет условию Делоне, если внутрь окружности, описанной вокруг любого построенного треугольника, не попадает ни одна из заданных точек триангуляции.

Триангуляция называется триангуляцией Делоне, если она является выпуклой и удовлетворяет условию Делоне.

Рис 2. Триангуляция Делоне.

Метод пустого шара Делоне. Построение в общем случае

Воспользуемся пустым шаром, который мы будем перемещать, изменяя его размер так, чтобы он мог касаться точек системы {А}, но всегда оставался пустым.

Итак, поместим в систему точек {А} пустой шар Делоне. Это всегда возможно, если выбрать шар достаточно малым. Начнем увеличивать его радиус, оставляя центр шара на месте. В какой-то момент поверхность шара встретит некоторую точку i системы {А}. Это обязательно произойдет, ибо в нашей системе нет неограниченно больших пустот. Будем продолжать увеличивать радиус пустого шара так, чтобы точка i оставалась на его поверхности. Для этого придется двигать центр шара от точки i. Рано или поздно шар достигнет своей поверхностью другой точки системы {А}.

Рис.3

Симплексы Делоне заполняют пространство без щелей и наложений.

Описанная сфера любого симплекса не содержит внутри себя других точек системы.

Пусть это будет точка j. Продолжим увеличивать радиус нашего шара, сохраняя уже обе точки на его поверхности. Увеличиваясь, шар достигнет какой-то третьей точки системы, точки k. В двумерном случае наш "пустой круг" в этот момент зафиксируется, т.е. станет невозможным дальнейшее увеличение его радиуса при сохранении круга пустым. При этом мы выявляем элементарную двумерную конфигурацию трех точек (i,j,k), определяющую некий треугольник, особенностью которого является то, что внутри его описанной окружности нет других точек системы {А}. В трехмерном пространстве шар не определяется тремя точками. Продолжим увеличивать его радиус, сохраняя все три найденные точки на его поверхности. Это будет возможно до тех пор, пока поверхность шара не встретится с четвертой точкой l системы. После этого движение и рост пустого шара станут невозможными. Найденные четыре точки (i,j,k,l) определяют вершины тетраэдра, который характерен тем, что внутри его описанной сферы нет других точек системы {А}. Такой тетраэдр называется симплексом Делоне.

Симплексом в математике называют простейшую фигуру в пространстве данной размерности: тетраэдр - в трехмерном пространстве; треугольник - в двумерном. Произвольная тройка (четверка) точек системы, не лежащих в одной плоскости, всегда определяет некий симплекс. Однако он будет симплексом Делоне только с том случае, если его описанная сфера пуста. Другими словами, симплексы Делоне определяются особым выбором троек (четверок) точек в системе {А}.

Мы построили один симплекс Делоне, однако, помещая пустой шар в различные места и повторяя ту же процедуру, можно определить и другие. Утверждается, что совокупность всех симплексов Делоне системы {А} заполняет пространство без наложений и щелей, т.е. реализует разбиение пространства, но на этот раз на тетраэдры. Это разбиение называется разбиением Делоне (рис.3).

Применение триангуляции Делоне

Часто триангуляции Делоне применяются в евклидовом пространстве. Минимальное евклидово остовное дерево гарантированно располагается на триангуляции Делоне, поэтому некоторые алгоритмы пользуются триангуляцией. Также через триангуляцию Делоне приближённо решается евклидова задача о коммивояжёре.

В двумерной интерполяции триангуляция Делоне разбивает плоскость на самые "толстые" треугольники, насколько это возможно, избегая слишком острых и слишком тупых углов. По этим треугольникам можно строить, например, билинейную интерполяцию.

Еще одной часто возникающей в геоинформатике задачей является построение экспозиций склонов. Здесь требуется определить доминирующие направления склонов по странам света и разбить поверхность на регионы, в которых доминирует некоторое определенное направление. Так как для горизонтальных участков поверхности определение экспозиции не имеет смысла, то в отдельный регион выделяют области, являющиеся горизонтальными или имеющие незначительный уклон, например б<5 о. По странам света деление обычно выполняется на 4, 8 или 16 частей.

Рис.4.

Задача расчета экспозиций склонов обычно используется для анализа освещенности Земли. В связи с этим часто возникает потребность дополнительного учета текущего положения Солнца, т.е. экспозиция вычисляется как направление между нормалью к треугольнику и направлением на Солнце.

Таким образом, каждый треугольник триангуляции может быть проклассифицирован по принципу принадлежности к тому или иному региону. После этого нужно просто вызвать алгоритм выделения регионов.

Структура лекции Определения Определения Области применения Области применения Свойства триангуляции Делоне Свойства триангуляции Делоне Методы построения триангуляции Делоне Методы построения триангуляции Делоне Методы пошагового ввода Методы пошагового ввода Методы пошаговой выборки Методы пошаговой выборки Методы декомпозиции Методы декомпозиции Методы сканирования Методы сканирования Двухпроходные методы Двухпроходные методы

Триангуляция Триангуляция – планарный граф все внутренние области которого являются треугольниками. Триангуляция – планарный граф все внутренние области которого являются треугольниками. Термин «Триангуляция» - это Термин «Триангуляция» - это граф; граф; процесс построения графа. процесс построения графа. Задача триангуляции набора точек S – задача соединения всех точек набора S непересекающимися отрезками для получения графа триангуляции. Задача триангуляции набора точек S – задача соединения всех точек набора S непересекающимися отрезками для получения графа триангуляции. Определение триангуляции Набор точек S

Оптимальная триангуляция – триангуляция с минимальной суммой длин всех ребер графа. Оптимальная триангуляция – триангуляция с минимальной суммой длин всех ребер графа. ! Востребованная, но очень трудоемкая задача O(2 n) ! На практике используют аппроксимации (приближения к) оптимальной триангуляции: «Жадная» триангуляция O(N 2 *logN) «Жадная» триангуляция O(N 2 *logN) Триангуляция Делоне O(N*logN) Триангуляция Делоне O(N*logN) Определение оптимальной триангуляции

Триангуляция Делоне (DT(S)) – выпуклая триангуляция удовлетворяющая условию Делоне: Триангуляция Делоне (DT(S)) – выпуклая триангуляция удовлетворяющая условию Делоне: внутрь окружности описанной вокруг любого ее треугольника недолжна попадать ни одна из вершин графа. внутрь окружности описанной вокруг любого ее треугольника недолжна попадать ни одна из вершин графа. Определение триангуляции Делоне У словие Делоне выполняется У словие Делоне не выполняется Б.Н. Делоне ()

Применение триангуляции Делоне В других задачах ВГ В других задачах ВГ Минимальный остов набора точек Минимальный остов набора точек Построение буферных зон Построение буферных зон Построение диаграммы Вороного (зон близости) Построение диаграммы Вороного (зон близости) Нахождение максимальной пустой окружности Нахождение максимальной пустой окружности и др. и др. В приложениях в КГ, ГИС, ГМ в САПР В приложениях в КГ, ГИС, ГМ в САПР Полигональные модели поверхностей Полигональные модели поверхностей Рельефы в ГИС, скульптуры, пром.модели, модели в играх, Рельефы в ГИС, скульптуры, пром.модели, модели в играх, Численный анализ моделей Численный анализ моделей Изолинии, Изоклины, МКЭ. Изолинии, Изоклины, МКЭ.

Свойства любой выпуклой триангуляции 1. Для набора n точек из которых m - внутренние Количество треугольников триангуляции = n + m – 2 Количество треугольников триангуляции = n + m – 2 Количество ребер триангуляции 3n – 6 Количество ребер триангуляции 3n – 6Пример: Точек (n) – 13 Точек (n) – 13 Внутренних (m) – 4 Внутренних (m) – 4 Треугольников – 15 = Треугольников – 15 = Ребер – 26 3*13-6 = 33 Ребер – 26 3*13-6 = 33

Свойства триангуляции Делоне 2. Триангуляция Делоне обладает максимальной суммой минимальных углов всех треугольников среди всех возможных триангуляций. 3. Триангуляция Делоне обладает минимальной суммой радиусов окружностей, описанных около треугольников, среди всех возможных триангуляций. Триангуляция Делоне НЕ триангуляция Делоне

Методы построения триангуляции Делоне Методы пошагового ввода Методы пошагового ввода Итеративные алгоритмы () Итеративные алгоритмы () Методы пошаговой выборки Методы пошаговой выборки Алгоритмы прямого (пошагового) построения (3) Алгоритмы прямого (пошагового) построения (3) Методы декомпозиции Методы декомпозиции Алгоритмы слияния (2) Алгоритмы слияния (2) Методы сканирования Методы сканирования Итеративные алгоритмы с измененным порядком добавления точек (1.4) Итеративные алгоритмы с измененным порядком добавления точек (1.4) Двухпроходные алгоритмы (4) Двухпроходные алгоритмы (4)

Методы пошагового ввода Итеративные алгоритмы () Общая схема итеративных алгоритмов построения триангуляции Делоне 1. На первых трех точках построить один треугольник 2. Цикл по всем оставшимся точкам p i набора S 3. Найти ближайший к точке p i треугольник t j текущей триангуляции 4. Если точка p i снаружи треугольника t j, то построить треугольники к ближайшему ребру. 5. Если точка p i внутри треугольника t j, то разбить треугольник на три. 6. Если точка p i на ребре, то разбить прилегающие треугольники на пары. 7. Если условие Делоне для соседей нарушилось, то перестроить соседние треугольники. Варианты ускорения поиска треугольников: Индексирование треугольников (деревья) – O(log n) Индексирование треугольников (деревья) – O(log n) Кэширование треугольников (сетки) – O(с) Кэширование треугольников (сетки) – O(с)

Методы пошаговой выборки Алгоритмы прямого (пошагового) построения (3) Строить сразу нужные треугольники, не перестраивая что уже построено. Общая схема алгоритмов прямого построения триангуляции Делоне Удобно использовать стек еще необработанных ребер. 1. Найти любое ребро q выпуклой оболочки набора точек S. 2. Занести ребро q в стек необработанных ребер. 3. Цикл пока стек необработанных ребер не пуст. 4. Извлечь ребро v из стека. 5. Для ребра v найти точку p, удовлетворяющую условию Делоне (соседа Делоне) 6. Если сосед Делоне p найден, то 7. Построить треугольник от ребра v к точке p. 8. Занести новые ребра нового треугольника в стек необработанных ребер. Варианты ускорения поиска соседа Делоне: Индексирование точек k-D-деревом – O(log n) Индексирование точек k-D-деревом – O(log n) Клеточное индексирование точек – O(с) Клеточное индексирование точек – O(с)

Процесс работы жадного алгоритма триангуляции Делоне

Методы декомпозиции Алгоритмы слияния (2) Разбиение на подмножества, независимая обработка, слияние результатов. Общая схема алгоритмов слияния 0. Если точек в наборе S не более 3 шт, построить непосредственно иначе 1. Разбить набор точек S на примерно равные подмножества. 1. Разбить набор точек S на примерно равные подмножества. 2. Построение триангуляции для подмножеств. 2. Построение триангуляции для подмножеств. 3. Слияние полученных триангуляций в одну. 3. Слияние полученных триангуляций в одну. Способы разделения на подмножества Ортогональными прямыми Ортогональными прямыми По диаметру выпуклой оболочки По диаметру выпуклой оболочки Полосами Полосами

Алгоритмы слияния (2) Способы слияния триангуляций «Удаляй и строй» (проверка до построения) «Удаляй и строй» (проверка до построения) «Строи и перестраивай» (проверка после построения) «Строи и перестраивай» (проверка после построения) «Строй, перестраивая» (проверка во время построения) «Строй, перестраивая» (проверка во время построения)

Общая схема итеративных методов с измененным порядком добавления точек 1. Упорядочить точки (построить перечень точек событий) 2. Цикл сканирования по всем точкам-событиям 3. Для каждой точки p i построить треугольники к предыдущему треугольнику. 4. Если условие Делоне для соседей нарушилось, то перестроить соседние треугольники. Методы сканирования Итеративные алгоритмы с измененным порядком добавления точек (1.4)

Методы сканирования Способы упорядочивания точек событий Прямолинейное Прямолинейное Полярное (круговое, веерообразное) Полярное (круговое, веерообразное) Полосовое Полосовое Квадратное Квадратное По кривой Гильберта По кривой Гильберта По Z-коду По Z-коду Цели: Сразу строить максимум хороших треугольников Сразу строить максимум хороших треугольников Минимизировать число перестроений Минимизировать число перестроений

Сводные характеристики методов триангуляции Делоне Метод триангуляции Время в среднем Время в худшем Время сек / т Простотареализац. Методы пошагового ввода Методы пошагового ввода Итеративные алгоритмы () Итеративные алгоритмы ()O(n)- O(n 3/2) O(n 2) 1,5-9,2 2-5 Методы пошаговой выборки Методы пошаговой выборки Метод прямого построения (3) Метод прямого построения (3) O(n)- O(n 2) O(n 2) -2 Методы декомпозиции Методы декомпозиции Методы слияния (2) Методы слияния (2) O(n)- O(nlogn) O(nlogn)- O(n 2) 2,5-4,52-3 Методы сканирования Методы сканирования Итеративные с измененным порядком добавления точек (1.4) Итеративные с измененным порядком добавления точек (1.4)O(n) O(n 2) 1,9-5,34-5 Двухпроходные методы (4) Двухпроходные методы (4) O(n)- O(n 2) O(nlogn)- O(n 2) 2,2-15,41-5 Скворцов рекомендует: итеративный алгоритм с динамическим кэшированием

А сегодня о чем? О триангуляции Делоне! Определение Определение Области применения Области применения Свойства триангуляции Делоне Свойства триангуляции Делоне Методы построения триангуляции Делоне Методы построения триангуляции Делоне Методы пошагового ввода Методы пошагового ввода Методы пошаговой выборки Методы пошаговой выборки Методы декомпозиции Методы декомпозиции Методы сканирования Методы сканирования Двухпроходные методы Двухпроходные методы