ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI
§ l48. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
До сих пор, говоря о суммах, мы всегда предполагали, что число слагаемых в этих суммах конечно (например, 2, 15, 1000 и т. д.). Но при решении некоторых задач (особенно высшей математики) приходится сталкиваться и с суммами бесконечного числа слагаемых
S = a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Что же представляют из себя такие суммы? По определению суммой бесконечного числа слагаемых a 1 , a 2 , ..., a n , ... называется предел суммы S n первых п чисел, когда п -> ∞ :
S = S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Предел (2), конечно, может существовать, а может и не существовать. Соответственно этому говорят, что сумма (1) существует или не существует.
Как же выяснить, существует ли сумма (1) в каждом конкретном случае? Общее решение этого вопроса выходит далеко за пределы нашей программы. Однако существует один важный частный случай, который нам предстоит сейчас рассмотреть. Речь будет идти о суммировании членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пусть a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ...- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это означает, что | q |< 1. Сумма первых п членов этой прогрессии равна
Из основных теорем о пределах переменных величин (см. § 136) получаем:
Но 1 = 1, a q n = 0. Поэтому
Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии.
1) Сумма геометрической прогрессии 1, 1 / 3 , 1 / 9 , 1 / 27 , ... равна
а сумма геометрической прогрессии 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... равна
2) Простую периодическую дробь 0,454545 ... обратить в обыкновенную.
Для решения этой задачи представим данную дробь в виде бесконечной суммы:
Правая часть этого равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 45 / 100 , а знаменатель 1 / 100 . Поэтому
Описанным способом может быть получено и общее правило обращения простых периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38):
Для обращения простой периодической дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе - число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.
3) Смешанную периодическую дробь 0,58333 .... обратить в обыкновенную.
Представим данную дробь в виде бесконечной суммы:
В правой части этого равенства все слагаемые, начиная с 3 / 1000 , образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен 3 / 1000 , а знаменатель 1 / 10 . Поэтому
Описанным способом может быть получено и общее правило обращения смешанных периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38). Мы сознательно не приводим его здесь. Запоминать это громоздкое правило нет необходимости. Гораздо полезнее знать, что любую смешанную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и некоторого числа. А формулу
для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии нужно, конечно, помнить.
В качестве упражнения предлагаем вам, помимо приведенных ниже задач № 995-1000, еще раз обратиться к задаче № 301 § 38 .
Упражнения
995. Что называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии?
996. Найти суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий:
997. При каких значениях х прогрессия
является бесконечно убывающей? Найти сумму такой прогрессии.
998. В равносторонний треугольник со стороной а вписан посредством соединения середин его сторон новый треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности.
а) сумму периметров всех этих треугольников;
б) сумму их площадей.
999. В квадрат со стороной а вписан путем соединения середин его сторон новый квадрат; в этот квадрат таким же образом вписан квадрат и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих квадратов и сумму их площадей.
1000. Составить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, такую, чтобы сумма ее равнялась 25 / 4 , а сумма квадратов ее членов равнялась 625 / 24 .
Вводя в начале главы обозначение, мы ловко уклонились от вопроса о бесконечных суммах, в сущности, заявив: „Отложим это на потом. А пока можно считать, что все встречающиеся суммы имеют только конечное число ненулевых членов! Но пришло, наконец, время расплаты - мы обязаны признать тот факт, что
суммы могут быть и бесконечными. И, по правде говоря, бесконечные суммы сопровождаются как приятными, так и неприятными обстоятельствами.
Сперва о неприятном: оказывается, что те методы, которые мы применяли при обращении с суммами, не всегда справедливы для бесконечных сумм. А теперь о приятном: существует обширный просто устроенный класс бесконечных сумм, для которых вполне законны все те операции, что мы выполняли. Причины, кроющиеся за обоими обстоятельствами, станут ясны после того, как мы выясним подлинный смысл суммирования.
Все знают, что такое конечная сумма: мы добавляем к общему итогу все слагаемые, одно за другим, покуда все они не окажутся сложенными. Но бесконечную сумму следует определить более деликатно, чтобы не попасть впросак.
равна 2, поскольку при ее удвоении получаем
Но тогда, следуя той же логике, надо бы считать сумму
равной -1, ибо при ее удвоении получаем
Происходит нечто странное: как можно получить отрицательное число, суммируя положительные величины? По-видимому, лучше оставить сумму Т неопределенной, а, возможно, нам следует считать, что поскольку слагаемые в Т становятся больше любого фиксированного конечного числа. (Заметим, что величина является другим „решением" уравнения она также „решает" и уравнение
Попробуем дать надлежащее определение величины произвольной суммы где множество К может быть бесконечным. Для начала предположим, что все члены а неотрицательны. В этом случае подходящее определение найти нетрудно: если для любого конечного подмножества существует ограничивающая постоянная А, такая, что
то мы полагаем сумму наименьшей из всех таких А. (Как следует из хорошо известных свойств вещественных чисел, множество всех таких А всегда содержит наименьший элемент.) Но если такой ограничивающей постоянной А не существует, мы считаем, что это означает, что если А -
некоторое вещественное число, то найдется некоторое конечное число членов а, сумма которых превосходит А.
Определение в предыдущем абзаце сформулировано столь деликатно, что оно не зависит ни от какого порядка, который может существовать в индексном множестве К. Поэтому те доводы, которые мы собираемся привести, будут справедливы не только для сумм по множеству целых чисел, но и для кратных сумм со многими индексами
В частности, когда К - множество неотрицательных целых чисел, наше определение для неотрицательных членов а означает, что
И вот почему: любая неубывающая последовательность вещественных чисел имеет предел (возможно, равный Если этот предел равен, некоторое конечное множество неотрицательных целых чисел, все из которых то ; следовательно, либо либо А - ограничивающая постоянная. Но если А - некоторое число, меньшее установленной границы А, то найдется такое что довательно, конечное множество свидетельствует о том факте, что А не является ограничивающей постоянной.
А теперь можно легко вычислить величины конкретных бесконечных сумм в соответствии с только что данным определением. Например, если то
В частности, бесконечные суммы и Т, которые обсуждались минуту назад, равны, соответственно, 2 и - как мы и предполагали. Другой заслуживающий внимания пример:
Теперь рассмотрим тот случай, когда наряду с неотрицательными сумма может содержать отрицательные члены. Какой, к примеру, должна быть величина суммы
Если сгруппировать члены попарно, то получаем:
так что сумма оказывается равной нулю; но если начать группировку по парам шагом позже, то получаем
т. е. сумма равна единице.
Можно было бы также попробовать положить в формуле поскольку мы знаем, что эта формула справедлива при но тогда мы будем вынуждены признать, что данная бесконечная сумма равна ведь это сумма целых чисел!
Другим любопытным примером служит бесконечная в обе стороны сумма в которой при к 0 и при Ее можно записать как
Если мы вычисляем эту сумму, отталкиваясь от „центрального" элемента и двигаясь наружу,
то получаем 1; и мы получим ту же 1, если сдвинем все скобки на один элемент влево,
поскольку сумма всех чисел, заключенных в внутренних скобках, есть
Аналогичное рассуждение показывает, что величина суммы остается равной 1, если эти скобки передвинуть на любое фиксированное число элементов влево или вправо - это укрепляет нас во мнении, что сумма действительно равна 1. Но, с другой стороны, если сгруппировать члены следующим образом:
то пара внутренних скобок будет содержать числа
В гл. 9 будет показано, что следовательно, данный метод группировки приводит к мысли, что бесконечная в обе стороны сумма на самом деле должна равняться
Есть нечто бессмысленное в сумме, которая дает разные значения при сложении ее членов разными способами. В современных руководствах по анализу имеется целый ряд определений, с помощью которых подобным патологическим суммам приписываются осмысленные значения; но если мы позаимствуем эти определения, то не сможем оперировать с -обозначением так же свободно, как делали это до сих пор. Цели этой книги таковы, что нам не нужны рафинированные уточнения понятия „условной сходимости" - мы будем придерживаться такого определения бесконечных сумм, которое оставляет в силе все использованные нами в настоящей главе операции.
В сущности, наше определение бесконечных сумм достаточно просто. Пусть К - некоторое множество, а - вещественнозначный член суммы, определенный при каждом . (На самом деле, может означать несколько индексов так что само множество К может быть многомерным.) Всякое вещественное число х можно представить в виде разности его положительной и отрицательной частей,
(Либо либо Мы уже объясняли, как определять величины бесконечных сумм поскольку неотрицательны. Поэтому наше общее определение таково:
если только обе суммы в правой части не равны . В последнем случае сумма Хлек остается неопределенной.
Пусть Цкекак и Если суммы - конечны, то говорят, что сумма абсолютно сходится к . Если конечна, то говорят, что сумма расходится к Аналогично, если конечна, то говорят, что расходится к Если же то не говорят ничего.
Мы начинали с определения, которое „работало" при неотрицательных членах суммы, а затем распространили его на любые вещественнозначные члены. Если же члены суммы - комплексные числа, то очевидным образом наше определение можно распространить и на этот случай: сумма определяется как - вещественная и мнимая части а при условии, что обе эти суммы существуют. В противном случае сумма Хкек не определена. (См. упр. 18.)
Неприятное, как уже говорилось, заключается в том, что некоторые бесконечные суммы приходится оставлять неопределенными, поскольку операции, которые мы выполняем с ними, могут приводить к несуразностям. (См. упр. 34.) Приятное же заключается в том, что все операции из настоящей главы абсолютно справедливы всякий раз, когда мы имеем дело с суммами, которые абсолютно сходятся в только что установленном смысле.
Мы можем подтвердить это приятное обстоятельство, продемонстрировав, что каждое из наших правил преобразования сумм оставляет величину любой абсолютно сходящейся суммы неизменной. Более определенно, это означает, что следует проверить выполнение распределительного, сочетательного и переместительного законов, плюс правило, согласно которому можно начинать суммировать по любой переменной; все остальное, что мы выполняли в настоящей главе, может быть выведено из этих четырех основных операций с суммами.
Распределительный закон (2.15) можно сформулировать более строго следующим образом: если сумма Хкек а абсолютно сходится к и если с - некоторое комплексное число, то Лкек абсолютно сходится к Это можно доказать, разбивая сумму сначала на вещественную и мнимую, затем на положительную и отрицательную части, как разбивали прежде, и доказывая частный случай, когда и каждый член суммы неотрицателен. Доказательство в этом частном случае проходит в силу того, что для любого конечного множества последний же факт доказывается индукцией по размеру множества
Сочетательный закон (2.16) может быть сформулирован следующим образом: если суммы абсолютно сходятся соответственно к А и В, то сумма абсолютно сходится к Оказывается, что это является частным случаем более общей теоремы, которую мы вскоре докажем.
Переместительный же закон (2.17) в действительности нет нужды доказывать, поскольку при обсуждении формулы (2.35) мы показали, как выводить его в качестве частного случая общего правила изменения порядка суммирования.
Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда
Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия.
Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.
Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом
Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам.
Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди
Который тоже расходится, но известно, что метод суммирования Чезаро позволяет присвоить этому ряду конечное значение 1/2. Суммирование по Чезаро заключается в оперировании не частичными суммами ряда, а их арифметическими средними. Позволив себе порассуждать в вольном стиле, можно сказать, что то частичные суммы ряда Гранди осцилируют между 0 и 1, в зависимости от того какой член ряда является последним в сумме (+1 или -1), отсюда и значение 1/2, как арифметическое среднее двух возможных значений частичных сумм.
Другим интересным примером расходящегося ряда является знакопеременный ряд 1 - 2 + 3 - 4 +... , частичные суммы которого также осцилируют. Суммирование методом Абеля позволяет присвоить данному ряду конечное значение 1/4. Отметим, что метод Абеля является, своего рода, развитием метода суммирования по Чезаро, поэтому результат 1/4 несложно осмыслить с точки зрения интуиции.
Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.
Ни суммирование по Чезаро, ни метод Абеля, однако, не позволяют работать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +..., т. к. средние арифметические частичных сумм, равно как и средние арифметические средних арифметических, расходятся. Кроме того, если значения 1/2 или 1/4 ещё как-то можно принять и соотнести с соответствующими рядами, то -1/12 сложно связать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +..., представляющим собой бесконечную последовательность положительных целых чисел.
Существует несколько способов прийти к результату -1/12. В этой заметке я лишь кратко остановлюсь на одном из них, а именно регуляризации дзета-функцией . Введём дзета-функцию
Подставляя s = -1 , получим исходный числовой ряд 1+2+3+4+…. Проделаем над этой функцией ряд несложных математических действий
Где является эта-функцией Дирихле
При значении s = -1 эта-функция становится уже знакомым нам рядом 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -… «сумма» которого равна 1/4. Теперь мы можем легко решить уравнение
Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:
Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира .
Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией
Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии , где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке.
Дэвид Берман, Марианна Фрейбергер
Недавно обсуждался очень странный результат. Утверждается, что, когда вы сложите все натуральные числа
то сумма будет равна . Данная идея демонстрируется в видео Numberphile , где утверждается, что результат доказан, а также рассказывается, что он повсеместно используется в физике. Данная идея так поразила людей, что она даже попала в “Нью-Йорк Таймс’’ . Итак, что же все это значит?
Математика
Прежде всего, бесконечная сумма всех натуральных чисел не равна . Вы можете легко убедиться в этом, посчитав на калькуляторе частичные суммы
и так далее. становится все больше и больше с ростом , то есть с увеличением количества складываемых натуральных чисел. На самом деле, выбрав достаточно большим, вы можете сделать столь большой, как вам хочется. Например, при вы получите
А при вы получите
Поэтому математики говорят, что данный ряд расходится. Или, выражаясь более свободно, что сумма равна бесконечности.
Сриниваса Рамануджан
Так откуда же берется ? В действительности неправильный результат появился в работе знаменитого индийского математика Сринивасы Рамануджана в 1913 году. Но Рамануджан знал, что он делает, и у него была причина написать это. Он изучал так называемую дзета-функцию Эйлера. Чтобы понять, что это такое, рассмотрим сначала бесконечную сумму
Можно заметить, что эта сумма получается, когда вы складываете числа, обратные квадратам натуральных чисел:
Теперь эта сумма не расходятся. Если рассмотреть последовательность частичных сумм, как мы это делали выше,
то результаты, которые получаются, будут сколь угодно близкими к числу , но никогда его не превысят. Математики говорят, что ряд сходится к , или более свободно, что сумма ряда равна .
Теперь посмотрим, что произойдет, если вместо того, чтобы возводить натуральные числа в знаменателе в квадрат, возвести их в какую-нибудь другую степень ? Оказывается, что соответствующая сумма
сходится к конечному значению, если степень — число, большее . Для каждого title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь выдающегося математика XVII века Леонарда Эйлера.
До сих пор все хорошо. Но что произойдет, если рассмотреть числа, меньшие ? Например, что будет, если взять ? Давайте посмотрим.
Таким образом, мы получили нашу исходную сумму, которая, как мы знаем, расходится. То же самое верно для любых других значений меньше либо равных : сумма расходится.
Замечание. Продолжение дзета-функции Эйлера. Рассмотренная дзета-функция Эйлера определена для вещественных чисел , больших . Вещественные числа — это часть большего семейства чисел, называемых комплексными числами. И в то время как вещественные числа соответствуют всем точках числовой прямой, комплексные числа соответствуют всем точкам на плоскости, содержащей вещественную числовую прямую. Это плоскость называется комплексной плоскостью. Так же, как определяются функции, аргументами которых являются вещественные числа, можно определить функции, аргументами которых являются комплексные числа.
Одним удивительным фактом, относящимся к функциям комплексных переменных, является то, что если вы знаете значения функции на некотором множестве данных, то (с точностью до некоторых технических деталей) вы можете узнать значение функции в любой точке комплексной плоскости. Этот метод расширения области определения функции известен как аналитическое продолжение. Дзета-функция Эйлера определена для вещественных чисел, больших . Поскольку вещественные числа являются комплексными числами, мы можем рассматривать эту функцию как комплексную функцию, а затем использовать аналитическое продолжение для получения новой функции, определенной на всей плоскости, но согласованную с дзета-функцией Эйлера для вещественных чисел, больших . Это дзета-функция Римана.
Есть еще одна вещь, которую можно сделать. Используя мощную математику (комплексный анализ см. замечание), можно расширить область определения дзета-функции Эйлера так, чтобы для чисел меньше или равных эта функция принимала конечные значения. Другими словами, есть способ определения новой функции, назовем ее , так что для title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">
И для функция принимала бы определенные конечные значения. Этот метод называется аналитическим продолжением, и новая функция, которая при этом получается, называется дзета-функцией Римана в честь математика XVIII века Бернхарда Римана. (Создание этой новой функции, принимающей конечные значения для состоит в вычитании из расходящегося ряда другого расходящегося ряда, так что бесконечность, получающаяся из первой расходящейся суммы минус бесконечность, которую дает вторая расходящаяся сумма, равна чему-то конечному.)
Хорошо. Теперь у нас есть функция, которая для title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:
И если вы сделаете ошибку, считая, что для , то вы получите (неправильное) равенство
Это объясняет, почему Рамануджан записал данное таинственное выражение.
Хитрость
Итак, как же люди в видео “доказали’’, что сумма всех натуральных чисел равна ? На самом деле они этого не сделали. Смотреть данное видео — это как смотреть на фокусника и пытаться определить, когда кролика опускают в шляпу. Первый шаг “доказательства’’ пытается убедить вас в довольно глупой вещи, а именно в том, что бесконечная сумма
Видео долго не останавливается на этом и, кажется, подразумевает, что это очевидно. Но давайте посмотрим на это внимательнее, чтобы понять, имеет ли это смысл вообще. Пусть сумма равна конечному числу, назовем его . Прибавив к себе, получим бесконечную сумму
Но это всего лишь исходная сумма, откуда
Так как , то , что неверно. Таким образом, утверждение, что бесконечную сумму можно считать равной , не является правильным. На самом деле вы можете получить разные результаты, используя бесконечные суммы, которые расходятся. Это хитрость!
Физика
Но как этот любопытный неправильный результат попал в учебник физики, как показано в видео? Вот где все действительно становится интересным. Предположим, вы возьмете две проводящих металлических пластины и расположите их в вакууме так, чтобы они были параллельны друг другу. Согласно классической физике, не должно быть никакой силы, действующей между этими двумя пластинами.
Эффект Казимира
Но классическая физика не считается со странными эффектами, которые вы наблюдаете, когда смотрите на мир при очень малых масштабах. Чтобы их учесть, нужна квантовая физика, которая утверждает многие очень странные вещи. Одной из них является то, что вакуум не пуст, в нем кипит деятельность. Все время в нем появляются и исчезают так называемые виртуальные частицы. Эта деятельность дает так называемую нулевую энергию: наименьшая энергия, которую что-либо может иметь, никогда не равна нулю. Когда вы пытаетесь вычислить общую плотность энергии между двумя пластинами, используя математику или квантовую физику, вы получаете бесконечную сумму
Это бесконечная сумма является также тем, что вы получите, когда подставите значение в дзета-функцию Эйлера:
Это прискорбно, потому что данная сумма расходится (она делает это даже быстрее, чем ), что будет означать бесконечную плотность энергии. Это, очевидно, ерунда. Но что если вы нахально предположите, что бесконечная сумма равна дзета-функции Римана, а не дзета-функции Эйлера, при ? Ну, тогда вы получите конечную плотность энергии. Это означает, что должна быть сила притяжения между металлическими пластинами, что тоже кажется смешным, так как классическая физика предполагает, что не должно быть никаких сил.
Но вот сюрприз. Когда физики поставили эксперимент, они обнаружили, что сила действительно существует, и она соответствует плотности энергии, в точности равной !
Этот удивительный физический результат известен как эффект Казимира , названный в честь голландского физика Хендрика Казимира.
Найдите минутку, чтобы оценить это. Квантовая физика говорит, что плотность энергии должна быть равна
Это нонсенс, но эксперименты показывают, что если вы (ошибочно) считаете эту сумму равной значению дзета-функции при , вы получите правильный ответ. Так что, похоже, природа следует идеям Рамануджана. Она продлила дзета-функцию Эйлера, чтобы включить значения , которые меньше , искусно вычитая бесконечность, и так получилось конечное значение. Это замечательно!
Причина, по которой мы видим и в видео Numberphile, и в учебнике физики и , а не и в том, что когда вы представляете себе эффект Казимира происходящим в одном измерении (вдоль линии, а не в 3D), плотность энергии, которую вы считаете, равна , а не .
Так почему же люди из Numberphile пропагандируют этот странный “результат’’? Они, конечно, знают об аналитическом продолжении, которое делает функцию вполне определенной, но это слишком технические вещи для их видео. Зная аналитический метод продолжения, который делает окончательный результат разумным, скрывая его в заднем кармане, они ловко пошли вперед. При этом они получили более миллиона просмотров, и мир начал говорить о дзета-функции и математике. С этим их можно поздравить. Математика дзета-функции является фантастической, и то, что мы описали здесь — только начало длинного списка удивительных математических свойств. Когда мы популяризуем математику и физику, мы всегда должны делать выбор: что мы не рассказываем, а что объясняем. Где мы проводим эту черту, остается на нашей совести.
