Бесконечно удаленные точки и их свойства. Бесконечно удалённая особая точка

Прежде всего отметим, что проективная плоскость в отличие от евклидовой плоскости не имеет бесконечной протяженности. Давайте выясним, в чем же различие между ними, а с другой стороны, как они между собой связаны? Для этого давайте уточним, какие положения евклидовой плоскости используются в проективной геометрии. В основе проективной геометрии лежит своя система аксиом. И хотя логические построения на аксиоматическом фундаменте являются замечательной иллюстрацией математического метода, однако, будучи при этом оторванным от евклидовой геометрии, такое изложение проективной геометрии излишне абстрактно. Поэтому для большей конкретности и наглядности целесообразно исходить из модели евклидовой плоскости.

Известно, что прямая на евклидовой плоскости продолжается в обе стороны бесконечно и что между точками прямой и всеми действительными числами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором естественной упорядоченности точек на прямой отвечает упорядоченность чисел но их величине.

Дополним теперь прямую «слева и справа» одной и той же условной точкой которую назовем бесконечно удаленной точкой.

Понятно, что возникает сомнение - а можно ли говорить о реальности несуществующих точек? Однако в современных теориях это встречается часто. Так, например, хотя среди действительных чисел нет бесконечно больших чисел, в математическом анализе применяется символ правда не в качестве числа, а для обозначения неограниченного роста. (В этом же смысле символ употребляется по отношению к тригонометрическим функциям.) После добавления к обычной прямой бесконечно удаленной точки «пополненная» прямая становится замкнутой. Давайте теперь прибавим к: каждой обычной прямой по бесконечно удаленной точке, причем условимся, что когда прямые параллельны, то добавляемые к ним точки совпадают, когда же прямые не параллельны, то их бесконечно удаленные точки различны.

Две пересекающиеся на евклидовой плоскости прямые пересекаются в обычной точке, причем бесконечно удаленные точки этих прямых не совпадают. Следовательно, в этой новой геометрии параллельных прямых не существует, каждые две прямые обязательно

пересекаются в одной точке. Семейство параллельных между собой в обычной геометрии прямых имеет одну общую бесконечно удаленную точку, разнонаправленные же прямые имеют разные бесконечно удаленные точки. В связи с этим бесконечно удаленных точек бесконечно много.

Множество этих бесконечно удаленных точек, опять-таки по определению, составляет одну так называемую бесконечно удаленную прямую

Таким образом мы получаем геометрию, в которой к евклидовой плоскости добавляется одна бесконечно удаленная прямая.

По существу, эта геометрия пока не очень отличается от евклидовой геометрии. Вместо положения о параллельности двух прямых вводится положение об их пересечении в бесконечно удаленной точке.

Основные аксиомы, принятые в проективной геометрии, утверждают, что две точки определяют одну прямую (если обе точки - бесконечно удаленные, то они определяют бесконечно удаленную прямую и что две прямые всегда пересекаются в одной точке. И хотя положения этих двух аксиом весьма важны, но до тех пор пока мы выделяем

некоторые точки в одну бесконечно удаленную прямую, мы практически не меняем сути евклидовой геометрии и не привносим в геометрию ничего нового.

Одной из областей наиболее эффективного применения 2-спи-норных методов оказалось исследование асимптотических проблем теории относительности. Примером таких проблем, имеющим важное значение, может служить определение полной величины энергии-импульса, содержащейся в асимптотически плоском пространстве-времени, и гравитационного излучения. В этом случае спинорные методы особенно эффективны в сочетании с методом , при котором путем конформного преобразования метрики «бесконечность делается конечной». При таком методе мы преобразуем метрику пространства-времени заменяя исходную физическую метрику новой, «нефизической» метрикой конформно-связанной с

где - достаточно гладкая и всюду положительная функция, определенная на Метрический тензор и обратный ему тензор преобразуются по формулам

Если обладает соответствующей асимптотической структурой и выбран подходящий конформный множитель то к можно «присоединить» некоторую граничную поверхность 3 [это обозначение читается «скрай» - аббревиатура от «script I»]. Эта поверхность вводится таким образом, что «нефизическая» метрика может быть продолжена до лежащих на границе новых точек без вырождения и с определенной степенью гладкости. Функция Й тоже может быть продолжена с соответствующей степенью гладкости, но на поверхности обращается в нуль. Это означает, что физическая метрика должна быть на границе У бесконечной, а потому не может быть на нее продолжена. Так что в плане физической метрики новые точки (а именно точки на поверхности бесконечно удалены от

соседних с ними точек. В физике это соответствует «точкам в бесконечности».

Присоединение поверхности к такого рода пространству-времени дает нам гладкое многообразие с границей, которое мы будем обозначать символом причем

Символ границы, - символ внутренней области многообразия). Преимущество предлагаемого подхода заключается в том, что теперь можно применить к мощные локальные методы дифференциальной геометрии и спинорной алгебры, которые будут давать информацию об асимптотике пространства-времени Таким образом, при исследовании важнейших законов убывания физических и геометрических величин, например в вопросах, связанных с излучением в асимптотически-плоском пространстве-времени, отпадает необходимость в сложных предельных переходах. Да и само определение асимптотической евклидовости в общей теории относительности может быть теперь дано в удобной «бескоординатной» форме. Конформные методы очень подходят для теории относительности по той простой причине, что многое в ней является конформноинвариантным: уравнения для безмассового свободного поля, конформный тензор Вейля, изотропные геодезические, изотропные гиперповерхности, релятивистская причинность и (особенно в случае пространства Минковского) теория твисторов. Предлагаемый метод подобен используемому в комплексном анализе, где для получения римановой сферы «точку на бесконечности» присоединяют к аргандовой плоскости (гл. 1, § 2), а также методу, используемому в проективной геометрии.

Описание в явно координатной форме

Сначала рассмотрим процедуру построения конформной бесконечности для пространства Минковского М. В этом случае физическая метрика в сферических координатах имеет вид

Для удобства введем два параметра времени: запаздывающий и опережающий Получим

Свобода в выборе конформного множителя довольно велика. Однако в случае интересующего нас здесь пространства-времени (а именно асимптотически-простого) из общих соображений [см. текст после формулы (9.7.22)] функцию нужно выбрать так, чтобы она вдоль любого луча стремилась к нулю (и в прошлом, и в будущем) как величина, обратная аффинному параметру луча А, (т. е. при при вдоль луча). Всякая гиперповерхность представляет собой световой конус будущего, построенный из лучей (изотропных прямых линий), для которых величины 0 и тоже остаются постоянными. Координата играет роль аффинного параметра будущего каждого из этих радиальных лучей. Аналогично координата и служит аффинным параметром прошлого этих лучей. Следовательно, нужно потребовать, чтобы выполнялись условия при и на луче при и на луче Если мы к тому же хотим, чтобы функция была гладкой на конечных кусках пространства-времени, то сам собой напрашивается выбор

(множитель 2 введен для удобства в дальнейшем), и тогда

Допустимы и многие другие формы функции , но эта, как мы скоро убедимся, оказывается особенно удобной.

Чтобы нашим «точкам на бесконечности» соответствовали конечные значения координат, следует и и о заменить параметрами такими, что

Пределы изменения переменных и указаны на рис. 9.1, где каждая точка представляет 2-сферу радиусом Вертикальная прямая соответствует пространственному началу координат и представляет всего лишь координатную сингулярность. Само же пространство-время на этой прямой (да и всюду), конечно, несингулярно. Наклонные прямые изображают (изотропную) бесконечность (обозначаемую символами соответственно) пространства Минковского (ибо этим прямым отвечают значения Но метрика (9.1.5), очевидно, идеально регулярна на этих прямых. Можно ожидать, что пространство-время

Рис. 9.1. Область пространства соответствующая пространству М. Прямая значит, и является осью сферической симметрии.

и его метрика будут несингулярными и вне этих областей. Вертикальная прямая тоже является координатной сингулярностью точно такого же типа, что и прямая Всю вертикальную полосу можно использовать для определения пространства-времени глобальная структура которого отвечает произведению пространственноподобной 3-сферы и бесконечной времениподобной прямой («статическая вселенная Эйнштейна»). Чтобы убедиться в этом, выберем новые координаты

Часть этой метрики, заключенная в фигурные скобки, есть метрика единичной 3-сферы.

Часть пространства-времени конформную исходному пространству Минковского, можно рассматривать как пространство, заключенное между световыми конусами точек Точка имеет координаты , а точка - координаты Эта часть «обертывается» вокруг

Рис. 9.2. Область на эйнштейновском цилиндре соответствующая пространству М.

и замыкается с «тыльной» стороны в единственной, точке с координатами Заметим, что в точке а это и говорит о том, что точку следует рассматривать как единственную точку, а не 2-сферу. Рассматриваемая ситуация изображена на рис. 9.2, где отброшены два измерения. Два-пространство Минковского конформно внутренней части квадрата (изображенного наклоненным на 45°). Этот квадрат обертывается вокруг цилиндра, который представляет собой двумерный вариант статической вселенной Эйнштейна. Учет недостающих измерений ничего существенно не изменяет. Вблизи точки интересующая нас область находится внутри светового конуса будущего, связанного с точкой Этот световой конус (т. е. точечное множество, «ометаемое» лучами, которые идут из точки в будущее) фокусируется на задней стороне вселенной Эйнштейна в одной точке (которая в пространственном отношении диаметрально противоположна точке Вблизи точки интересующая; нас область (пространства Минковского) простирается в пространственноподобных направлениях от Световой конус будущего для точки опять же фокусируется в одной точке пространственное положение

Мы определили окрестности этой точки как внешности кругов с центром в начале координат: U (∞, ε ) = {z ∈ | | z | > ε}. Точка z = ∞ является изолированной особой точкой аналитической функции w = f (z ), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной , при этом точка z = ∞ переходит в точку z 1 = 0, функция w = f (z ) примет вид . Типом особой точки z = ∞ функции w = f (z ) будем называть тип особой точки z 1 = 0 функции w = φ (z 1). Если разложение функции w = f (z ) по степеням z в окрестности точки z = ∞, т.е. при достаточно больших по модулю значениях z , имеет вид , то, заменив z на , получим . Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки z = ∞ определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням z в окрестности точки z = 0. Поэтому
1. Точка z = ∞ - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена A 0);
2. Точка z = ∞ - полюс n -го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым A n ·z n ;
3. Точка z = ∞ - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов.

При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению : если z = ∞ - устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если z = ∞ - полюс, то этот предел бесконечен, если z = ∞ - существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный) .

Примеры: 1. f (z ) = -5 + 3 z 2 - z 6 . Функция уже является многочленом по степеням z , старшая степень - шестая, поэтому z
Этот же результат можно получить по-другому. Заменим z на , тогда . Для функции φ (z 1) точка z 1 = 0 - полюс шестого порядка, поэтому для f (z ) точка z = ∞ - полюс шестого порядка.
2. . Для этой функции получить разложение по степеням z затруднительно, поэтому найдём : ; предел существует и конечен, поэтому точка z
3. . Правильная часть разложения по степеням z содержит бесконечно много слагаемых, поэтому z = ∞ - существенно особая точка. По другому этот факт можно установить исходя из того, что не существует.

Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке .

Для конечной особой точки a , где γ - контур, не содержащий других, кроме a , особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащая особую точку, остаётся слева (против часовой стрелке).

Определим аналогичным образом: , где Γ − - контур, ограничивающий такую окрестность U (∞, r ) точки z = ∞, которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (т.е. по часовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутри контура Γ − . Изменим направление обхода контура Γ − : . По основной теореме о вычетах , где суммирование ведётся по всем конечным особым точкам. Поэтому, окончательно,

т.е. вычет в бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетов по всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком .

Как следствие, имеет место теорема о полной сумме вычетов : если функция w = f (z ) аналитична всюду в плоскости С , за исключением конечного числа особых точек z 1 , z 2 , z 3 , …, z k , то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю.

Отметим, что если z = ∞ - устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от нуля. Так для функции , очевидно, ; z = 0 - единственная конечная особая точка этой функции, поэтому , несмотря на то, что , т.е. z = ∞ - устранимая особая точка.

Определение
Последовательность { β n } называется бесконечно большой последовательностью , если для любого, сколь угодно большого числа M , существует такое натуральное число N M , зависящее от M , что для всех натуральных n > N M выполняется неравенство
|β n | > M .
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности, или сходится к бесконечности .

Если , начиная с некоторого номера N 0 , то
( сходится к плюс бесконечности ).
Если же , то
( сходится к минус бесконечности ).

Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности:
(1) .
(2) .
(3) .

Последовательности с пределами (2) и (3) являются частными случаями бесконечно большой последовательности (1). Из этих определений следует, что если предел последовательности равен плюс или минус бесконечности, то он также равен и бесконечности:
.
Обратное, естественно, не верно. Члены последовательности могут иметь чередующиеся знаки. При этом предел может равняться бесконечности, но без определенного знака.

Заметим также, что если какое-то свойство выполняется для произвольной последовательности с пределом равным бесконечности, то это же свойство выполняется и для последовательности, чей предел равен плюс или минус бесконечности.

Во многих учебниках по математическому анализу, в определении бесконечно большой последовательности указывается, что число M является положительным: M > 0 . Однако это требование является лишним. Если его отменить, то никаких противоречий не возникает. Просто малые или отрицательные значения для нас не представляют никакого интереса. Нас интересует поведение последовательности при сколь угодно больших положительных значениях M . Поэтому, если возникнет необходимость, то M можно ограничить снизу любым, наперед заданным числом a , то есть считать, что M > a .

Когда же мы определяли ε - окрестность конечной точки, то требование ε > 0 является важным. При отрицательных значениях, неравенство вообще не может выполняться.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Когда мы рассматривали конечные пределы, то ввели понятие окрестности точки. Напомним, что окрестностью конечной точки является открытый интервал, содержащий эту точку. Также мы можем ввести понятия окрестностей бесконечно удаленных точек.

Пусть M - произвольное число.
Окрестностью точки "бесконечность" , , называется множество .
Окрестностью точки "плюс бесконечность" , , называется множество .
Окрестностью точки "минус бесконечность" , , называется множество .

Строго говоря, окрестностью точки "бесконечность" является множество
(4) ,
где M 1 и M 2 - произвольные положительные числа. Мы будем использовать первое определение, , поскольку оно проще. Хотя, все сказанное ниже, также справедливо и при использовании определения (4).

Теперь мы можем дать единое определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам.

Универсальное определение предела последовательности .
Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Таким образом, если предел существует, то за пределами окрестности точки a может находиться только конечное число членов последовательности, или пустое множество. Это условие является необходимым и достаточным. Доказательство этого свойства, точно такое, как для конечных пределов.

Свойство окрестности сходящейся последовательности
Для того, чтобы точка a (конечная или бесконечно удаленная) являлась пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
Доказательство .

Также иногда вводят понятия ε - окрестностей бесконечно удаленных точек.
Напомним, что ε - окрестностью конечной точки a называется множество .
Введем следующее обозначение. Пусть обозначает ε - окрестность точки a . Тогда для конечной точки,
.
Для бесконечно удаленных точек:
;
;
.
Используя понятия ε - окрестностей, можно дать еще одно универсальное определение предела последовательности:

Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N ε , зависящее от ε , что для всех номеров n > N ε члены x n принадлежат ε - окрестности точки a :
.

С помощью логических символов существования и всеобщности, это определение запишется так:
.

Примеры бесконечно больших последовательностей

Сначала мы рассмотрим три простых похожих примера, а затем решим более сложный.

Пример 1

.
Выпишем определение бесконечно большой последовательности:
(1) .
В нашем случае
.

Вводим числа и , связав их неравенствами:
.
По свойствам неравенств , если и , то
.
Заметим, что при это неравенство выполняется для любых n . Поэтому можно выбрать и так:
при ;
при .

Итак, для любого можно найти натуральное число , удовлетворяющее неравенству . Тогда для всех ,
.
Это означает, что . То есть последовательность является бесконечно большой.

Пример 2

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

(2) .
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.

Вводим числа и :
.
.

Тогда для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству , так что для всех ,
.
Это означает, что .

Пример 3

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Выпишем определение предела последовательности, равному минус бесконечности:
(3) .
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.

Вводим числа и :
.
Отсюда видно, что если и , то
.

Поскольку для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству , то
.

При заданном , в качестве N можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее следующему неравенству:
.

Пример 4

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Выпишем общий член последовательности:
.
Выпишем определение предела последовательности, равному плюс бесконечности:
(2) .

Поскольку n есть натуральное число, n = 1, 2, 3, ... , то
;
;
.

Вводим числа и M , связав их неравенствами:
.
Отсюда видно, что если и , то
.

Итак, для любого числа M можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Тогда для всех ,
.
Это означает, что .

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Определение. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости называетсяизолированной особой точкой однозначной аналитической функцииf (z ), есливне круга некоторого радиуса R ,

т.е. при , нет ни одной конечной особой точки функцииf (z ).

Для исследования функции в бесконечно удаленной точке сделаем замену
Функция

будет иметь особенность в точкеζ = 0, причем эта точка будет изолированной, так как

внутри круга
других особых точек по условию нет. Являясь аналитической в этом

круге (за исключением т. ζ = 0), функция
может быть разложена в ряд Лорана по степенямζ . Классификация, описанная в предыдущем параграфе полностью сохраняется.

Однако, если вернуться к исходной переменной z , то ряды по положительным и отрицательным степенямz ‘поменяются’ местами. Т.е. классификация бесконечно удаленных точек будет выглядеть следующим образом:

Примеры. 1.
. Точкаz = i − полюс 3-го порядка.

2.
. Точкаz = ∞ − существенно особая точка.

§18. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке.

Пусть точка z 0 является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции

f (z ) . Согласно предыдущему, в окрестности этой точкиf (z ) может быть представлена единственным образом рядом Лорана:
где

Определение. Вычетом аналитической функцииf (z ) в изолированной особой точкеz 0

называется комплексное число, равное значению интеграла
, взятому в положительном направлении по любому замкнутому контуру, лежащему в области аналитичности функции и содержащему внутри себя единственную особую точкуz 0 .

Вычет обозначается символом Res [f (z ),z 0 ].

Нетрудно видеть, что вычет в правильной или устранимой особой точке равен нулю.

В полюсе или существенно особой точке вычет равен коэффициенту с -1 ряда Лорана:

Пример. Найти вычет функции
.

{Пусть Легко видеть, что

коэффициент с -1 получится при умножении слагаемых приn = 0:Res[f (z ),i ] =
}

Часто удается вычислять вычеты функций более простым способом. Пусть функция f (z ) имеет в т.z 0 полюс первого порядка. В этом случае разложение функции в ряд Лорана имеет вид (§16):. Умножим это равенство на (z−z 0) и перейдем к пределу при
. В результате получим:Res[f (z ),z 0 ] =
Так, в