Формула сферического зеркала

Найдем связь между расстоянием d светящейся точки от зеркала, расстоянием f изображения этой точки от зеркала и радиусом R сферы, частью которой является зеркало. Рассмотрим сначала вогнутое зеркало (рис. 3.26).

Пусть светящаяся точка S расположена на главной оптической оси ОР вогнутого зеркала. Из точки S на зеркало падает множество лучей, один из которых SP после отражения в точке Р идет вдоль главной оси. Для этого луча угол падения, а следовательно, и угол отражения равен нулю, так как радиус ОР является перпендикуляром (нормалью) к сферической поверхности. Построим ход произвольного луча SB , вышедшего из точки S и отразившегося от зеркала в точке В . Будем рассматривать лишь узкие, приосевые пучки лучей. Тогда точка В окажется на небольшом расстоянии h от главной оптической оси (h << R ).

При выполнении этого условия падающий луч SB и отраженный луч BS 1 , а также радиус ОВ , проведенный в точку падения В , составляют с главной осью углы столь малые, что их синусы можно заменить тангенсами, а также самими углами, выраженными в радианах. В точке S 1 луч BS 1 пересечется с лучом PS 1 , отразившимся в полюсе зеркала. Если остальные лучи после отражения также пройдут через точку S 1 , то эта точка будет являться действительным изображением точки S .

Радиус ОВ перпендикулярен к отражающей поверхности. По закону отражения угол падения a равен углу отражения g. Для треугольника SBO можно по теореме о внешнем угле треугольника записать:

Точно так же для треугольника OBS 1:

Учитывая, что g = a, из (2) получим

Найдем связь между углами g, b и q. Для этого выразим угол a из (1) и подставим в (3):

a = b – j Þ q = b + (b – j) Þ

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники SBM , OBM и S 1 ВМ и выразим значения углов j, b и q через катеты этих треугольников:

DSBM : ;

DОBM : ;

DS 1 BM : .

Подставляя эти значения g, b и q в формулу (4), получим

Формула (3.2) называется формулой сферического зеркала.

Поскольку h не входит в формулу (3.2), то получается, что любой луч, вышедший из точки S и отразившийся от зеркала, пройдет через точку S 1 , т.е. точка S 1 является действительным изображением точки S .

Если в формуле (3.2) положить d ® ¥, т.е. источник бесконечно удаляется от зеркала, и лучи, падающие на зеркало, параллельны главной оптической оси (рис. 3.27, а ), то из формулы (3.2) получим

.

Эта величина является фокусным расстоянием зеркала, т.е. расстоянием зеркала до главного фокуса, и обозначается буквой F :

Другими словами, фокусное расстояние равно половине радиуса! Мы с вами теоретически обосновали формулу (3.1), которую в начале параграфа приняли к сведению как экспериментальный факт. С учетом того, что F = R/ 2, формула (3.2) имеет вид

Из принципа обратимости световых лучей следует, что если в главном фокусе вогнутого зеркала расположить точечный источник, то лучи, выходящие из этого источника, после отражения от зеркала будут параллельны главной оптической оси (рис. 3.27, б ).

А вот когда все вроде бы стало ясно, давайте посмотрим, как пойдут отраженные от вогнутого зеркала лучи в случае, показанном на рис. 3.27, б ), если рассматривать не только малые, а все возможные углы, которые падающие лучи составляют с главной оптической осью.

Рис. 3.28

Рассмотрим луч SB , падающий на зеркало из точки S , расположенной в главном фокусе (рис. 3.28). Луч SB составляет с главной оптической осью угол 90°. В прямоугольном DSBO катет SO = R /2, а гипотенуза ОВ = R , следовательно, ÐSBO = a лежит против катета, который в 2 раза меньше гипотенузы, а значит, a = 30°. Тогда, как видно из рис. 3.28, отраженный луч ВО вовсе не параллелен главной оптической оси, а пересекает ее под углом BS 1 О = 90° – 2×30° = 30°.

Читатель : Из формулы (3.3) следует, что , значит, если d < F , то и , т.е. f < 0. Что бы это значило?

Для удобства дальнейших расчетов договоримся, что величину f в формуле (3.3) будем считать алгебраической. Если f > 0, то изображение действительное, а если f < 0 – изображение мнимое.

Задача 3.6. Вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 1,0 м дает мнимое изображение предмета, расположенное на расстоянии 3,0 м от зеркала. На каком расстоянии d от зеркала находится предмет?

Ответ : 0,43 м.

СТОП! Решите самостоятельно: А7, А8, В9, С4, С5, D1.

Читатель : А как быть, если зеркало выпуклое? Ведь формула (3.3) получена для вогнутого зеркала?

Рис. 3.29

Автор : Когда зеркало выпуклое, то главный фокус расположен за зеркалом (рис. 3.29). Можно показать (мы это делать не будем), что формула сферического зеркала в этом случае также будет справедлива, если величину F в формуле (3.3) взять со знаком «минус». А это значит, что величину F в формуле (3.3) тоже следует рассматривать как величину алгебраическую:

1) если зеркало вогнутое, то ;

2) если зеркало выпуклое, то .

Задача 3.7. Радиус кривизны выпуклого зеркала R = 1,6 м. На каком расстоянии d перед зеркалом должен находиться предмет, чтобы его изображение получилось в п = 1,5 раза ближе к зеркалу, чем сам предмет?

чи , а с учетом того, что f < 0, получаем

. (1)

Формула зеркала в данном случае имеет вид

Подставим (1) в (2):

м.

Ответ : м.

СТОП! Решите самостоятельно: А9, А10, В10, С6, D2.

Мнимый источник

Рис. 3.30

Читатель : Допустим, в вогнутом зеркале 1 получено действительное изображение (рис. 3.30). Если мы поставим второе сферическое зеркало (выпуклое или вогнутое) на пути сходящихся лучей, то, наверное, эти лучи, отразившись от второго зеркала, дадут изображение (действительное или мнимое). Как нам тогда узнать, где находится это изображение?

18-06-2012, 13:01

Описание

В настоящее время наиболее широкое распространение в практике имеют сферические и параболические вогнутые зеркала , которые могут быть применены и для создания некоторых оптических иллюзий.

Сферическое зеркало , тонкое стеклянное или металлическое, имеет единый центр кривизны, совпадающий с центром окружности, образующей отражающую поверхность, а фокус осевых лучей находится на половине радиуса, совмещенного с оптической осью зеркала.

Параболическое зеркало образуется чаще всего вращением ветви параболы вокруг оси, являющейся в этом случае оптической осью зеркала. На этой оси на расстоянии, равном половине параметра параболы от ее вершины, находится фокус отражателя. Если у сферического зеркала различные участки его поверхности или кольцевые зоны имеют фокус в разных точках (явление сферической аберрации), то у параболического зеркала (теоретически без-аберрационного) точка фокуса является единственной для всех элементов его поверхности.

Если перед сферическим зеркалом на расстоянии, большем, чем его фокусное расстояние, но меньшем, чем радиус кривизны, поместить какой-нибудь хорошо освещенный предмет, то на некотором удалении от зеркала в воздухе без экрана с определенного места можно будет видеть действительное, увеличенное, перевернутое изображение предмета . Это изображение будет тем дальше от зеркала и тем более увеличено, чем ближе будет находиться предмет к фокусу зеркала.

Простейшие сферические зеркала из металла умели изготовлять еще в Древней Греции и в древнем Риме и указанным выше свойством этих зеркал пользовались жрецы, показывая чудо «явления богов» народу.

Из исторических документов известно, что в 1700 г. имел распространение религиозный фокус - явление младенца Христа. Его описание гласит: «Перед вогнутым зеркалом, представлявшим собой большой сферический сегмент, была подвешена за ногу на волосе хорошо вылепленная восковая фигура младенца Христа таким образом, что она не была заметна для публики - для чего непосредственно за местом изображения фигуры (в пространстве) была установлена мраморная колонна. При рассматривании с известного места можно было видеть изображение младенца, стоящего на колонне. Однако при попытках дотронуться до изображения вместо фигуры ощущали воздух, что еще более увеличивало удивление непосвященных» .

На рис. 164

Рис. 164. Получение действительного изображения с помощью вогнутого зеркала. Цветок, «висящий в воздухе».

приведен случай применения вогнутого стекла для получения висящего в воздухе изображения цветка или букета цветов; пытаясь взять этот букет рукой, человек «хватается» за воздух.

На Выставке достижений народного хозяйства СССР в павильоне «Радиоэлектроника» можно видеть висящий в воздухе радиоприемник. Конструктор этой установки Я. А. Коробов для того, чтобы надежнее и менее заметно замаскировать приемник от наблюдателей, применил еще и полупрозрачное плоское зеркало . Здесь (рис. 165)

Рис. 165. Схема демонстрации «висящего в воздухе» радиоприемника на ВДНХ.

приемник помещен в нише, стенки которой обтянуты черным бархатом, сферическое зеркало находится сверху, а полупрозрачное зеркало расположено под углом в 45° к горизонту. Приемник хорошо освещается от арматур направленного излучения, и световой поток, отраженный от плоского зеркала, усиливает это освещение. Изображение приемника отчетливо видят все наблюдатели, а сам приемник, стенки ниши и осветительные арматуры сквозь полупрозрачное зеркало не видны.

Устройства подобного типа находят применение в рекламных установках . В этих случаях изображение рекламируемого предмета может появляться в витрине магазина и вдруг исчезать, когда освещение предмета выключается. По желанию изображение одного предмета может сменяться изображением другого, если основание, на котором укреплены рекламируемые предметы, будет поворачиваться.

Вогнутое параболическое зеркало может быть применено для этих целей с еще большим успехом, так как оно является более точным в оптическом отношении и, как правило, амальгамируется чистым серебром.

Изображение предмета, удаленного от зеркала на значительное расстояние, как у сферического, так и у параболического зеркала получается уменьшенное, действительное и перевернутое между точкой фокуса и центром кривизны. Изображение бесконечно удаленного предмета теоретически должно получиться в фокальной плоскости зеркала.

Если предмет будет находиться близко к оптической оси и на двойном фокусном расстоянии от сферического или параболического зеркала, то изображение, равное по величине предмету, перевернутое и действительное, будет находиться в той же плоскости, что и предмет .

Если предмет находится на расстоянии менее двойного фокусного , то изображение у обоих типов зеркал (действительное, перевернутое, увеличенное) будет дальше двойного фокусного расстояния.

Если предмет ближе к зеркалу, чем фокус , то образуется увеличенное прямое и мнимое изображение (за зеркалом); поэтому небольшое сферическое или параболическое зеркало может быть использовано для бритья. Изображение будет более четким, если лицо, а не зеркало будет освещаться лучше.

Интересными случаями применения вогнутых зеркал являются различные трюковые киносъемки. Не имея возможности рассмотреть здесь множество известных и уже применявшихся оптических схем трюковых киносъемок с вогнутыми зеркалами, рассмотрим следующую схему.

Пусть АВ (рис. 166)

Рис. 166. Схема демонстрации или киносъемки миниатюрной балерины или другого артиста, танцующего «на клавишах рояля».

Предмет (или человек); перед ним находятся два плоских зеркала s1 и s2, расположенные под прямым углом друг к другу. Зеркало s1 дает изображение А"В"; от него лучи падают на зеркало s2 и образуют перевернутое изображение А "В". Далее лучи падают на вогнутое зеркало s, которое дает изображение А ""В"", вторично его переворачивая. Таким образом, изображение в вогнутом зеркале оказывается уже прямым. Оно находится около фокальной плоскости зеркала. Зрителю, от которого края вогнутого зеркала скрыты, кажется, что он видит предмет свободно реющим в воздухе.

Чтобы определить необходимый размер зеркал, надо построить лучи, идущие от изображения в глаз наблюдателя, т. е. «действующие» лучи. Это производится следующим образом : от конечных точек изображения А""В"" проведем лучи к крайним действующим точкам вогнутого зеркала.

Таким образом, мы получаем световой пучок z1z2. Изображение в зеркале будет видно лишь в том случае, если глаз наблюдателя находится внутри угла, стянутого дугой z1z2. Если глаз находится вне этого угла, отраженные от зеркала к изображению лучи не могут попасть в глаз, и поэтому изображение не будет видно.

Следовательно, расположение мест для зрителей или мест установки съемочного аппарата определяется расположением зеркал . Если крайние места для зрителей, которые могут быть еще использованы, заданы, можно путем построения лучей к вогнутому зеркалу и отраженных от него на плоские зеркала, определить необходимые размеры всех зеркал.

При помощи такого приспособления можно снимать, например, в любом уменьшении людей, находящихся среди предметов, имеющих натуральную величину . Очевидно, подобные оптические приспособления применены при съемках фильма «Кащей Бессмертный», а также короткометражного фильма «Яблочко» художников И. и В. Никитченко, где матрос танцует на клавишах и крышке рояля и даже на портсигаре в руках пианиста.

По схеме, которая аналогична приведенной на рис. 166, в Германии в начале нашего века устраивались зеркальные театры живых миниатюр.

Выпуклые зеркала . Выпуклые зеркала встречаются реже, так как находят менее широкое применение в практике. Они почти не используются в технике освещения, световой сигнализации и кинопроекции.

Изображение в этом случае (рис. 167)

Рис. 167. Схема образования изображения в выпуклом зеркале.

всегда находится за зеркало м, следовательно, оно мнимое, прямое и тем меньше, чем дальше предмет находится от зеркала.

Наиболее широкое применение выпуклые зеркала имеют в автотранспорте .

Водители автобусов и автомобилей с помощью выпуклого зеркала, обращенного назад, видят догоняющие их автомашины и могут не опасаться неожиданного обгона.

В быту иногда приходится встречаться с выпуклыми зеркальными поверхностями, например никелированные или хромированные поверхности кофейника, самовара, ложки, зеркального елочного шара, шарообразного или цилиндрического графина с водой и т. п.

Рассматривая свое изображение в таком зеркале, мы видим его необычно искаженным и уродливым - то непропорционально вытянутым или расплюснутым, то с искривленными и размытыми чертами. Дело в том, что такие зеркальные поверхности, двойной и, как правило, неодинаковой кривизны, дают искаженные изображения предметов вследствие разной степени увеличения в разных плоскостях , различной резкости изображения, пространственного смещения изображения одних деталей относительно других и т. п. При этом оказывает свое влияние на качество изображения и низкая оптическая точность этих зеркальных поверхностей.

Многим известны «комнаты смеха», устраиваемые в парках культуры и отдыха или в домах культуры. В этих комнатах устанавливается ряд кривых зеркал , вогнутых и выпуклых, сферических, цилиндрических, конических, имеющих поверхности двойной кривизны (например, параболо-цилиндрические, параболо-эллиптические и др.), волнистые и составные. На рис. 168

Рис. 168. Несколько возможных форм кривых зеркал "комнаты смеха"

приведено несколько возможных форм кривых зеркал, которые могут быть, во-первых , вогнутыми или выпуклыми и, во-вторых , могут быть подвешены на стенах или установлены в рамах на полу так, что ось их может быть вертикальна или горизонтальна. Таким образом, на рис. 168 можно насчитать 16 типов кривых зеркал, кроме волнистых и составных. Посетители «комнаты смеха», медленно проходя вдоль фронта зеркал, видят, как их фигуры, изображенные в зеркалах, претерпевают самые удивительные превращения. Ваша фигура то чудовищно устремляется вверх, сужаясь и растягиваясь, то превращается в приземистого маленького человечка с брюшком и нелепо укороченными кривыми ногами. При переходе от зеркала к зеркалу весьма неожиданно и крайне причудливо меняется форма головы и черты лица. Неожиданность и нелепость этих превращений не могут не вызвать улыбки, и в комнате царит громкий смех.

Эти свойства кривых зеркал были известны достаточно давно и первые шаги к их изучению начались с получения так называемых анаморфоз , т. е. неправильных, искаженных определенным образом рисунков, изображения которых в некоторых кривых зеркалах представляют собой правильные по форме и известные всем фигуры.

Так, в 1657 г. профессор математики Каспар Шотт издал трактат по оптике, где, между прочим, привел ряд рисунков-анаморфоз и показал, как с помощью кривых зеркал можно получить отражение их в виде правильных фигур. В трактате особенно интересными были анаморфозы для конических зеркал . Например, некоторое непонятное сочетание линий на периферических участках (рис. 169)

Рис. 169. Анаморфоза бабочки.

в коническом зеркале, поставленном в центре рисунка, создает изображение красивой бабочки, видимое сверху. На рис. 170

Рис. 170. Анаморфоза ножниц в коническом зеркале (слева) и клоуна в цилиндрическом зеркале (справа).

слева приведен рисунок-анаморфоза, дающая в коническом зеркале изображение ножниц, а справа - анаморфоза, позволяющая в цилиндрическом зеркало видеть изображение клоуна.

Профессор К. Шотт, приводя анаморфозы, не мог изложить геометрическую теорию их образования. Только в результате развития оптики и начертательной геометрий в XIX в. появилась возможность производить теоретический анализ любой анаморфозы и получать их геометрическим построением для любых зеркал.

Так, например, нарисовав окружность несколько большего радиуса, чем радиус зеркального конуса (рис. 171,левый),

Рис. 171. Анаморфоза круга (слева) и квадрата (справа) в коническом зеркале.

пририсуем к ней извне восемь радиальных отрезков прямых. Поставив на этот рисунок зеркальный конус, мы увидим, что на изображении отрезки прямых будут направлены к центру окружности.

Изображение вывернулось наизнанку, как перчатка . Еще более интересное превращение получит квадрат в коническом зеркале. В этом случае (рис. 171, правый) каждая из сторон квадрата будет видна как правильная незамкнутая дуга окружности. Прямоугольник и ромб дадут на изображении несимметричные дуги. Если сегменты круга, описывающего квадрат или ромб, окрасить, то и внутренние области дугообразных изображений будут окрашены.

Таким образом, в настоящее время можно, пользуясь известными законами оптики и начертательной геометрии, заранее определить анаморфозу любого графика или фигуры с целью использования этого интересного явления не только для развлечения, но и для практики.

При съемках широкоэкранных кинофильмов пользуется иногда той же киносъемочной аппаратурой, что и в обычных условиях. В этом случае с помощью особого оптического прибора - анаморфозной приставки (основой которой является плоско-цилиндрическая линза) - изображение сужается до размеров обычного кадра. При демонстрации фильма (рис. 172)

Рис. 172. Пример применения анаморфозной приставки при съемках Большого театра и при демонстрации его изображения на экране.

подобная же приставка устанавливается на кинопроекционный аппарат и развертывает кадр по ширине, доводя его до требуемых размеров.

Выпуклые и особенно вогнутые зеркала имеют широкое применение в практике театрального освещения и киносъемок , где в очень многих случаях от формы зеркала зависит форма светового пятна на сцене или на декорации. Из элементарной оптики известно, что выпуклое гиперболическое зеркало является идеальным рассеивателем светового потока.

Получение различных по очертанию пятен возможно благодаря применению именно двухпрофильных зеркал . Так, например, для получения веерообразных пучков лучей, простирающихся в горизонтальной плоскости от 90 до 120° и более и относительно узких в вертикальной плоскости, лучше всего применять параболо-цилиндрические отражатели (см. рис. 168) с софитными или трубчатыми лампами, расположенными вдоль фокальной линии. Для получения горизонтальных или вертикальных полос большой яркости удобнее всего применять параболо-эллиптические отражатели (см. рис. 168).

Для образования еще более сложных форм световых пятен используют специальные линзы или призмы , так как применение любых по форме диафрагм на световых отверстиях приборов прожекторного типа с рефлекторами не может принести желаемых результатов. Таковы особые законы формирования изображения источника света оптической системой этих приборов.

Любую окраску световому пятну или изображению, сформированному кривым зеркалом, можно придать, если между предметом и его изображением в зеркале поместить соответствующий цветной светофильтр .

Сферические зеркала могут давать различные изображения предметов. Для построения изображения одной точки А, создаваемого сферическим зеркалом, пользуются любыми двумя из трех лучей , показанных на рис. 29.13. Луч 1 из точки А проводится параллельно главной оптической оси.

После отражения он проходит через главный фокус зеркала Ф. Луч 2 из точки А проводится через главный фокус Ф. После отражения от зеркала он идет параллельно главной оптической оси зеркала. Луч 3 проводится через сферический центр С зеркала. После отражения он идет обратно к точке А по т ой же прямой.

Примеры изображений предметов, создаваемых сферическими зеркалами, показаны на рис. 29.14. Заметим, что выпуклое зеркало всегда дает мнимое изображение предметов.

Выясним, как найти положение изображения светящейся точки А, расположенной на главной оптической оси ОС зеркала (рис. 29.15). Ясно, что изображение точки должно быть на этой же оси (объясните, почему).

Проведем из точки А произвольный луч АВ. В точку его падения В проведем радиус СВ. Он является нормалью (перпендикуляром) к поверхности зеркала, поэтому <1 = <2, что и определяет положение отраженного луча BA1. В точке A1 и получится изображение точки А. Положение точки А1 однозначно определяется положением самой точки А. Поэтому точки А и А1 называют сопряженными.

Обозначим расстояние АО через d, А1О - через f и ОС - через R. Для зеркал, поверхность которых составляет малую часть поверхности сферы, приближенно можно считать, что BA ≈ ОA = d и ВА1 ≈ OA1 = f. Так как <1 = <2, то линия ВС в треугольнике ABA1 является биссектрисой угла АВА1, а это означает, что отрезки АС и А1С пропорциональны сторонам треугольника АВА1.

А1С/АС = ВА1/ВА, или (R-f)/(d-R) = f/d.

Преобразуем последнее соотношение:

Rd – fd = fd – Rf; Rf + Rd = 2fd.

После деления на Rfd получим 1/d + 1/f = 2/R. Заменяя R его значением, получим формулу сопряженных точек зеркала:

1/d + 1/f = 1/F. (29.2)

Эта формула справедлива как для вогнутых, так и для выпуклых зеркал, но числовые значения действительных величин следует подставлять с плюсом, а мнимых - с минусом. Например, главное фокусное расстояние вогнутых зеркал берется со знаком плюс, а выпуклых - со знаком минус. Отрицательный ответ показывает, что соответствующая ему величина - мнимая.

Сферические зеркала подразделяются на выпуклые и вогнутые или соответственно отрицательные и положительные, которые разли­чаются между собой лишь знаком радиуса кривизны. Фокус вогнутого зеркала – действительный, а фокус выпуклого – мни­мый. Точка главного фокуса сферического зеркала расположена на середине между центром сферы и ее вершиной, т.е. при равенстве показателей преломления пространства предметов и пространства изображений: ƒ‌‌ = ƒ"= r/2 . Главные плоскости Н и Н" при этом совпадают и касательны к сферической поверхности. Построение изображения сферическим зеркалом можно выполнить графическим методом. Для такого построения изображения исполь­зуют лучи, ход которых заранее известен:

Луч, идущий в про­странстве предметов параллельно оптической оси;

Луч, про­ходящий через передний фокус;

Луч, направленный по радиусу кривизны.

Первый луч, отразившись от зеркала, пройдет через его фокус, второй – выйдет параллельно оптической оси, третий отразится в том же направлении.

Рассмотрим построение изображения предмета в вогнутом зеркале для нескольких вариантов положений предмета:

Вариант 1. При этом, как и для сферической линзы (случай 1), предмет бесконечно удален от сферического зеркала (находится на расстоянии намного большем, чем фокусное расстояние зеркала), т.е. а ® ¥ (рис. 11). В этом случае действительное изображение предмета в виде точки будет находится в главном фокусе зеркала. Покажем на этом же рисунке наличие продольной сферической аберрации в вогнутом зеркале, т.е. когда точки F 1 , F 2 , F 3 , F 4 являются фокусами лучей I, II, III, IV, а чем ближе луч к главной оптической оси зеркала, тем ближе его фокус к главному фокусу зеркала. При отсутствии сферической аберрации все лучи сойдутся в точке главного фокуса F.

Рис. 11. Построение изображения сферическим зеркалом при размещении предмета на расстоянии намного большем, чем фокусное расстояние а ® ∞.

Вариант 2. В этом случае предмет находится на конечном расстоянии от оптического центра О сферического зеркала (Рис. 12), т. е. 2f < a < ¥. Изображение предмета будет действительным, перевернутым, уменьшенным и находится между фокусом и оптическим центром зеркала.

Рис. 12. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии 2f < a < ¥.

Вариант 3. Предмет находится в точке оптического центра сферического зеркала (Рис. 13), т. е. a = 2f . Изображение предмета – действительное, перевернутое, равное предмету и находится также в оптическом центре зеркала.

Рис. 13. Построение изображения при размещении предмета АВ на расстоянии a = 2f .

Вариант 4. Предмет находится между оптическим центром вогнутого сферического зеркала и точкой главного фокуса (Рис. 14), т.е. f < a < 2f . Изображение предмета будет действительным, перевернутым, увеличенным и находится за оптическим центром зеркала.

Рис. 14. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии f < a < 2f .

Вариант 5. Предмет находится в точке фокуса сферического зеркала (Рис.15), т.е. a = f . Изображение предмета – перевернутое и находится в бесконечности.

Рис. 15. Построение изображения при размещении предмета АВ на расстоянии a = f .

Вариант 6. Предмет находится между главным фокусом и главной плоскостью сферического зеркала, т.е. a < f . Изображение предмета – мнимое, прямое, увеличенное.

Рис. 16. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии a < f .

Аналогично вогнутому зеркалу можно построить изображения предмета в выпуклом зеркале.

Рис. 17. При расположении предмета АВ перед зеркалом на любом расстоянии не равном нулю изображение А"В" получается мнимым и находится за зеркалом.

Рис. 18. Если предмет АВ находится в вершине зеркала, то изображение А"В" также будет в вершине (предмет находится в главной плоскости Н, следовательно, изоб­ражение будет в этой же плоскости, так как у зеркала главные плоскости Н и Н" совмещены).

Рис. 19. Предмет АВ - за зеркалом, между верши­ной и точкой F, изображение А"В" – перед зеркалом (в этом случае предмет - мнимый, а изображение - действительное).

Рис.20. Предмет АВ в точке главного фокуса F, изображение – в бесконечности.

Рис. 21. Предмет АВ за точ­кой главного фокуса F, изображение А"В" – за зеркалом (предмет и изображение мнимые).

Разновидностью сферических линз являются концентрические линзы, у которых центры кривизны поверхностей находятся в одной точке, и телескопические линзы (Рис. 22), преобразующие параллельные лучи, падающие на них, также в параллельные при их выходе из линзы.

Рис. 22. Разновидности телескопических линз.

Телескопическая двояковыпуклая линза переворачивает пучек лучей (простейшая система Кеплера), а выпукло-вогнутая телескопическая линза является простейшей системой Галилея, не переворачивающая пучек параллельных лучей. Для этих линз справедливы следующие соотношения:

ƒ" 1 = nr 1 / (n-1); ƒ" 2 = nr 2 / (n-1); ƒ" 1 - ƒ" 2 = d.

Мы рассмотрели оптическое действие отдельно для каждого элемента со сферическими поверхностями. Но еще есть волоконные, несферические, нецентрированные и растровые оптические элементы и системы, которые широко применятся в современных оптических и светотехнических приборах и о которых недостаточно информирован читатель. Мы постараемся восполнить этот пробел в следующей публикации.

Цель работы: ознакомление с принципом определения фокусного расстояния сферического зеркала.

Оборудование: оптическая скамья со шкалой, осветителем, экраном, ползунками; набор сферических зеркал, плоское зеркало, спица, линейка.

Теория метода.

Сферическим называют зеркало, отражающая поверхность которого имеет форму части сферы.

Рис 1. Сферическое зеркало

Радиус сферы (рис.1) является радиусом кривизны зеркала. Круг, ограничиваемый краями зеркала, называют апертурой. Прямая MN, проходящая через центр апертуры B и центр кривизны C зеркала, называется

главной оптической осью зеркала. Другие прямые, проходящие через центр кривизны, но не проходящие через центр апертуры, называются побочными оптическими осями зеркала. Точка A пересечения зеркала с главной оптической осью называют вершиной зеркала. Если отражающей является вогнутая поверхность зеркала, то его называют вогнутым, если же выпуклая – выпуклым. Вогнутое зеркало может дать как действительное, так и мнимое изображение, выпуклое - только мнимое. Главным фокусом вогнутого зеркала называют точку F, лежащую на главной оптической оси, в которой пересекаются после отражения от зеркала лучи, падающие на него параллельно главной оптической оси.

Расстояние AF от главного фокуса до вершины зеркала называют главным фокусным расстоянием зеркала. Приблизительно оно равно половине радиуса кривизны зеркала.

Непосредственное измерение фокусного расстояния зеркала оказывается недостаточно точным, так как создание точечного источника или вполне параллельного пучка лучей трудно осуществимо.

Для более точного определения фокусного расстояния сферического зеркала пользуются либо соотношением:

где F - фокусное расстояние,

f - расстояние от предмета до зеркала,

d – расстояние от изображения до зеркала,

либо формулой:

(2),

связывающей отношение размера предмета и его изображения с F; d и f. Формулы (1) и (2) справедливы только в тех случаях, когда падающие лучи составляют с осью зеркала лишь небольшие углы.

1.Определение главного фокусного расстояния вогнутого сферического зеркала.

Описание установки.

Вогнутое зеркало и экран для получения действительного изображения предмета укрепляются каждый на специальном держателе. Держатель может передвигаться по оптической скамье. Имеется шкала или линейка, дающая возможность довольно точно фиксировать положение держателя.

В качестве предмета можно использовать стрелку, начерченную на матовом стекле, а в качестве источника – электрическую лампочку.

не преграждал лучам путь к зеркалу (рис.2).

Рис.2 Схема хода лучей.

Порядок выполнения работы.

1. Поставив предмет на расстоянии от зеркала заведомо большем, чем удвоенное фокусное расстояние, подбирают такое положение экрана, чтобы изображение было наиболее резким.

2. Отсчитав на шкале расстояния d и f и измерив линейкой величину стрелки (её длину) – x и величину её изображения на экране y, вносят данные в отчетную таблицу.

3. Изменив d на 1,0-1,5 см, вновь находят положение экрана, соответствующее наибольшей резкости и измеряют d, f, и x, y, и т.д.

4. Из данных каждого опыта вычисляют F, воспользовавшись выражениями:

вытекающими из равенств (1) и (2).

Таблица 1.

Таблица 2.

6. Сравнить полученные результаты.

2.Определение главного фокусного расстояния выпуклого сферического зеркала.

Описание установки.

Выпуклое зеркало не дает действительного изображения, главный фокус его является мнимым. Чтобы найти главное фокусное расстояние такого зеркала можно снова воспользоваться формулой зеркала (1), учтя при этом, что F , f будут мнимыми, т.е. войдут в формулу (1) со знаком «-». Основную трудность использования формулы (1) составляет определение величины f – расстояния от зеркала до мнимого изображения предмета. Определить f можно с помощью плоского зеркала методом отсутствия параллакса, сущность которого состоит в следующем: если два предмета не наложены друг на друга, а разделены пространственно, то, рассматривая их и перемещая при этом голову вправо или влево, можно обнаружить смещение одного предмета относительно другого (параллактическое смещение). Если же предметы наложены друг на друга, то такого смещения нет.

Если между рассматриваемым предметом и выпуклым зеркалом поместить еще плоское зеркало так, чтобы его верхний край был ниже верхней части выпуклого зеркала, то можно одновременно рассматривать изображение одного и того же предмета сразу в двух зеркалах: плоском и выпуклом.

Перемещая плоское зеркало, можно добиться такого его положения, при котором мнимые изображения предмета в плоском и выпуклом зеркалах при перемещении головы наблюдателя вправо или влево не будут смещаться друг относительно друга, т.е. будут находиться в одной плоскости. Так как изображение в плоском зеркале находится на таком же расстоянии от зеркала, что и предмет, то, измерив расстояние между рассматриваемым предметом и плоским зеркалом (рис.3) найдем, что

f + d = 2b ; f = 2b – d. (3)

Рис.3 Ход лучей и построение изображения, даваемое выпуклым зеркалом.

Порядок выполнения работы.

1.Расположить на оптической скамье рассматриваемый предмет (спицу), выпуклое и плоское зеркало. Измерить расстояние от спицы до выпуклого зеркала.

2.Перемещая плоское зеркало, определить местоположение мнимого изображения спицы. Повторить измерение не менее пяти раз и результаты внести в таблицу.

Таблица 3.

Контрольные вопросы.

1.Каковы основные характеристики сферических зеркал?

2.Почему при проведении опытов нужно предмет ставить на расстоянии, превышающем 2F?

3.Какое и где получилось бы изображение при F

4.Где надо поместить перед вогнутым зеркалом предмет, чтобы обратное и действительное изображение его было в 3 раза больше предмета?

5.Вывести соотношения данные в равенствах (2).

Список литературы:

1. Матвеев А.Н. Оптика: Учебное пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1985.-351с.

2.Савельев И.В. Курс общей физики 3-е изд., испр.-м.: Наука, - т.2: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. 1988. 496с.

3. Элементарный учебник физики: в трех томах, т.3:Колебание и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика./Под ред. Г.С.Ландсберга – 12-е изд.-М.: ФИЗМАТХИТ, 2000.-656с.