Ecuaciones lineales: fórmulas y ejemplos. Desigualdades y su solución.

Las ecuaciones lineales son un tema bastante inofensivo y comprensible en las matemáticas escolares. Pero, curiosamente, la cantidad de errores inesperados al resolver ecuaciones lineales es solo un poco menor que en otros temas: ecuaciones cuadráticas, logaritmos, trigonometría y otros. Las causas de la mayoría de los errores son transformaciones banales idénticas de ecuaciones. En primer lugar, se trata de confusión de signos al transferir términos de una parte de la ecuación a otra, así como errores al trabajar con fracciones y coeficientes fraccionarios. ¡Sí, sí! ¡Las fracciones también aparecen en ecuaciones lineales! Por todos lados. A continuación definitivamente analizaremos esas ecuaciones malvadas).

Bueno, no jalemos al gato por la cola y empecemos a resolverlo, ¿vale? Luego lo leemos y profundizamos).

¿Qué es una ecuación lineal? Ejemplos.

Normalmente la ecuación lineal se ve así:

hacha + b = 0,

Donde a y b son números cualesquiera. De cualquier tipo: enteros, fraccionarios, negativos, irracionales: ¡puede haber cualquiera!

Por ejemplo:

7x + 1 = 0 (aquí a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (aquí a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (aquí a = 1/2, b = -1,1)

En general, espero que lo entiendas.) Todo es simple, como en un cuento de hadas. Por el momento... ¿Y si miras más de cerca la notación general ax+b=0 y piensas un poco? Después de todo, a y b son cualquier número! Y si tenemos, digamos, a = 0 y b = 0 (¡se puede tomar cualquier número!), entonces ¿qué obtendremos?

0 = 0

¡Pero eso no es todo lo divertido! ¿Qué pasa si, digamos, a = 0, b = -10? Entonces resulta ser una especie de tontería:

0 = 10.

Lo cual es muy, muy molesto y socava la confianza en las matemáticas que hemos ganado con sudor y sangre... Especialmente durante las pruebas y exámenes. Pero a partir de estas igualdades extrañas e incomprensibles, ¡también necesitas encontrar X! ¡Que no existe en absoluto! Y aquí, incluso los estudiantes bien preparados pueden a veces caer en lo que se llama estupor... ¡Pero no te preocupes! En esta lección también veremos todas esas sorpresas. Y definitivamente también encontraremos una X a partir de tales igualdades). Además, esta misma X se puede encontrar de manera muy, muy simple. ¡Sí, sí! Sorprendente pero cierto.)

Vale, eso es comprensible. Pero, ¿cómo puedes saber por la apariencia de la tarea que se trata de una ecuación lineal y no de otra ecuación? Desafortunadamente, no siempre es posible reconocer el tipo de ecuación simplemente por su apariencia. La cuestión es que no sólo se llaman lineales las ecuaciones de la forma ax+b=0, sino también cualquier otra ecuación que, mediante transformaciones idénticas, se reduzca, de una forma u otra, a esta forma. ¿Cómo saber si suma o no? Hasta que apenas puedas resolver el ejemplo, casi nada. Esto es perturbador. Pero para algunos tipos de ecuaciones, se puede saber inmediatamente con certeza de un vistazo si es lineal o no.

Para ello, veamos una vez más la estructura general de cualquier ecuación lineal:

hacha + b = 0

Tenga en cuenta: en la ecuación lineal Siempre sólo la variable x está presente en primer grado¡y algunos números! ¡Eso es todo! Nada más. Al mismo tiempo, no hay X en el cuadrado, en el cubo, debajo de la raíz, debajo del logaritmo y otras cosas exóticas. Y (¡lo más importante!) no hay fracciones con X en los denominadores! Pero las fracciones con números en los denominadores o división por numero- ¡fácilmente!

Por ejemplo:

Esta es una ecuación lineal. La ecuación contiene sólo X a la primera potencia y números. Y no hay X en potencias superiores: al cuadrado, al cubo, etc. Sí, aquí hay fracciones, pero al mismo tiempo los denominadores de las fracciones contienen sólo números. Es decir, dos y tres. En otras palabras, no hay división por x.

Y aquí está la ecuación.

Ya no se puede llamar lineal, aunque aquí también sólo hay números y X a la primera potencia. Porque, entre otras cosas, también hay fracciones. con x en los denominadores. Y después de simplificaciones y transformaciones, dicha ecuación puede convertirse en cualquier cosa: lineal, cuadrática, cualquier cosa.

¿Cómo resolver ecuaciones lineales? Ejemplos.

Entonces, ¿cómo se resuelven ecuaciones lineales? Sigue leyendo y sorpréndete.) La solución completa de ecuaciones lineales se basa solo en dos cosas principales. Enumeremoslos.

1) Un conjunto de acciones y reglas elementales de las matemáticas.

Estos son usar paréntesis, abrir paréntesis, trabajar con fracciones, trabajar con números negativos, tablas de multiplicar, etc. Estos conocimientos y habilidades son necesarios no sólo para resolver ecuaciones lineales, sino para todas las matemáticas en general. Y, si tienes problemas con esto, recuerda los grados inferiores. De lo contrario, lo pasarás mal...

2)

Sólo hay dos de ellos. ¡Sí, sí! Además, estas transformaciones de identidad muy básicas son la base de la solución no solo de ecuaciones lineales, sino también de cualquier ecuación matemática. En una palabra, la solución de cualquier otra ecuación: cuadrática, logarítmica, trigonométrica, irracional, etc. – por regla general, comienza con estas transformaciones muy básicas. Pero la solución de ecuaciones lineales, de hecho, termina con ellas (transformaciones). Respuesta lista.) Así que no seas perezoso y echa un vistazo al enlace.) Además, allí también se analizan en detalle las ecuaciones lineales.

Bueno, creo que es hora de empezar a mirar ejemplos.

Para empezar, a modo de calentamiento, veamos algunas cosas básicas. Sin fracciones ni otras campanas y silbidos. Por ejemplo, esta ecuación:

x – 2 = 4 – 5x

Esta es una ecuación lineal clásica. Todas las X están como máximo en la primera potencia y no hay división por X en ninguna parte. El esquema de solución en este tipo de ecuaciones es siempre el mismo y terriblemente simple: todos los términos con X deben colocarse a la izquierda y todos los términos sin X (es decir, números) deben colocarse a la derecha. Entonces comencemos a coleccionar.

Para ello, lanzamos la primera transformación de identidad. Necesitamos movernos -5x hacia la izquierda y -2x hacia la derecha. Con un cambio de signo, por supuesto.) Entonces transferimos:

x + 5x = 4 + 2

Aquí tienes. La mitad de la batalla está terminada: las X se han reunido en una pila, al igual que los números. Ahora presentamos los similares a la izquierda y los contamos a la derecha. Obtenemos:

6x = 6

¿Qué nos falta ahora para la felicidad completa? ¡Sí, para que la X pura quede a la izquierda! Y los seis se interponen en el camino. ¿Cómo deshacerse de él? Ahora ejecutamos la segunda transformación de identidad: dividimos ambos lados de la ecuación entre 6. Y ¡listo! La respuesta está lista.)

x = 1

Por supuesto, el ejemplo es completamente primitivo. Para tener una idea general. Bueno, decidamos algo más significativo. Por ejemplo, veamos esta ecuación:

Veámoslo en detalle.) Esta también es una ecuación lineal, aunque parecería que aquí hay fracciones. Pero en fracciones hay división entre dos y hay división entre tres, ¡pero no hay división entre una expresión con X! Así que decidamos. Usando las mismas transformaciones idénticas, sí.)

¿Qué debemos hacer primero? ¿Con X, a la izquierda, sin X, a la derecha? En principio esto es posible. Vuele a Sochi a través de Vladivostok). O puede tomar la ruta más corta, inmediatamente utilizando un método universal y poderoso. Si conoces las transformaciones de identidad, por supuesto).

Primero, hago una pregunta clave: ¿qué es lo que más te llama la atención y lo que más te disgusta de esta ecuación? 99 de cada 100 personas dirán: fracciones! Y tendrán razón.) Así que deshagámonos de ellos primero. Seguro para la ecuación en sí). Por lo tanto, comencemos de inmediato con segunda transformación de identidad- de la multiplicación. ¿Por qué debemos multiplicar el lado izquierdo para que el denominador se reduzca con éxito? Así es, un dos. ¿Qué pasa con el lado derecho? ¡Por un tres! Pero... Las matemáticas son una dama caprichosa. Ella, como ves, requiere multiplicar solo ambos lados. ¡Por el mismo número! Multiplicar cada parte por su propio número no funciona... ¿Qué vamos a hacer? Algo... Busque un compromiso. Para satisfacer nuestros deseos (deshacernos de las fracciones) y no ofender a las matemáticas.) ¡Multipliquemos ambas partes por seis!) Es decir, por el denominador común de todas las fracciones incluidas en la ecuación. ¡Entonces, de un solo golpe, tanto los dos como los tres se reducirán!)

Así que multipliquemos. ¡Todo el lado izquierdo y todo el lado derecho! Por lo tanto, utilizamos paréntesis. Así es como se ve el procedimiento en sí:

Ahora abrimos estos mismos corchetes:

Ahora, representando 6 como 6/1, multipliquemos seis por cada una de las fracciones de la izquierda y de la derecha. Esta es la multiplicación habitual de fracciones, pero que así sea, la describiré en detalle:

Y aquí - ¡atención! ¡Puse el numerador (x-3) entre paréntesis! Todo esto se debe a que al multiplicar fracciones, el numerador se multiplica por completo, ¡por completo! Y la expresión x-3 debe trabajarse como una estructura integral. Pero si escribes el numerador así:

6x – 3,

Pero lo tenemos todo bien y necesitamos finalizarlo. ¿Qué hacer a continuación? ¿Abrir los paréntesis en el numerador de la izquierda? ¡De ninguna manera! Tú y yo multiplicamos ambos lados por 6 para deshacernos de las fracciones y no preocuparnos por abrir los paréntesis. En esta etapa necesitamos reducir nuestras fracciones. Con un sentimiento de profunda satisfacción, reducimos todos los denominadores y obtenemos una ecuación sin fracciones, en una recta:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

Y ahora se pueden abrir los corchetes restantes:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

¡La ecuación sigue mejorando cada vez más! Ahora recordemos nuevamente la primera transformación idéntica. Con cara seria repetimos el hechizo de las clases junior: con X - a la izquierda, sin X - a la derecha. Y aplica esta transformación:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Presentamos similares a la izquierda y contamos a la derecha:

13x = 39

Queda por dividir ambas partes entre 13. Es decir, volver a aplicar la segunda transformación. Dividimos y obtenemos la respuesta:

x = 3

El trabajo está hecho. Como puedes ver, en esta ecuación tuvimos que aplicar la primera transformación (transferir términos) una vez y la segunda dos veces: al principio de la solución usamos la multiplicación (por 6) para deshacernos de las fracciones, y al final de la solución usamos la división (entre 13), para deshacernos del coeficiente delante de la X. Y la solución a cualquier (sí, ¡cualquiera!) ecuación lineal consiste en una combinación de estas mismas transformaciones en una secuencia u otra. Por dónde empezar exactamente depende de la ecuación específica. En algunos lugares es más rentable empezar con la transferencia, y en otros (como en este ejemplo) con la multiplicación (o división).

Trabajamos de lo simple a lo complejo. Consideremos ahora la crueldad absoluta. Con un montón de fracciones y paréntesis. Y te diré cómo no esforzarte demasiado).

Por ejemplo, aquí está la ecuación:

Miramos la ecuación por un minuto, nos horrorizamos, ¡pero aun así nos recuperamos! El principal problema es ¿por dónde empezar? Puedes sumar fracciones en el lado derecho. Puedes restar fracciones entre paréntesis. Puedes multiplicar ambas partes por algo. O dividir... Entonces, ¿qué es todavía posible? Respuesta: ¡todo es posible! Las matemáticas no prohíben ninguna de las acciones enumeradas. Y no importa qué secuencia de acciones y transformaciones elijas, la respuesta siempre será la misma: la correcta. A menos, por supuesto, que en algún momento violes la identidad de sus transformaciones y, por lo tanto, cometan errores...

Y, para no cometer errores, en ejemplos tan sofisticados como este, siempre es más útil evaluar su apariencia y pensar en lo que se puede hacer en el ejemplo para que máximo¿Simplificarlo en un solo paso?

Así que averigüémoslo. A la izquierda hay seises en los denominadores. Personalmente no me gustan y son muy fáciles de quitar. ¡Déjame multiplicar ambos lados de la ecuación por 6! Entonces los seis de la izquierda se reducirán con éxito, las fracciones entre paréntesis aún no irán a ninguna parte. Bueno, está bien. Nos ocuparemos de ellos un poco más adelante.) Pero a la derecha, tenemos los denominadores 2 y 3 anulándose. ¡Es con esta acción (multiplicar por 6) que logramos simplificaciones máximas en un solo paso!

Después de la multiplicación, toda nuestra ecuación del mal queda así:

Si no entiendes exactamente cómo surgió esta ecuación, entonces no has entendido bien el análisis del ejemplo anterior. Y lo intenté, por cierto...

Entonces, revelemos:

Ahora el paso más lógico sería aislar las fracciones del lado izquierdo y enviar 5x al lado derecho. Al mismo tiempo, presentaremos otros similares en el lado derecho. Obtenemos:

Mucho mejor ya. Ahora el lado izquierdo se ha preparado para la multiplicación. ¿Por qué debemos multiplicar el lado izquierdo para que tanto el cinco como el cuatro se reduzcan a la vez? ¡El 20! Pero también tenemos desventajas en ambos lados de la ecuación. Por lo tanto, lo más conveniente será multiplicar ambos lados de la ecuación no por 20, sino por -20. Luego, de un solo golpe, tanto los menos como las fracciones desaparecerán.

Entonces multiplicamos:

Quien todavía no entienda este paso quiere decir que el problema no está en las ecuaciones. ¡Los problemas están en lo básico! Recordemos nuevamente la regla de oro de abrir paréntesis:

Si un número se multiplica por alguna expresión entre paréntesis, entonces este número debe multiplicarse secuencialmente por cada término de esta misma expresión. Además, si el número es positivo, los signos de las expresiones se conservan después de la expansión. Si es negativo, cambie a lo contrario:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Nuestros contras desaparecieron después de multiplicar ambos lados por -20. Y ahora multiplicamos los paréntesis con fracciones de la izquierda por bastante numero positivo 20. Por tanto, al abrir estos corchetes se conservan todos los signos que había en su interior. Pero de dónde vienen los corchetes en los numeradores de fracciones, ya lo expliqué en detalle en el ejemplo anterior.

Ahora puedes reducir fracciones:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Abra los corchetes restantes. Nuevamente lo revelamos correctamente. Los primeros paréntesis se multiplican por el número positivo 4 y, por tanto, todos los signos se conservan al abrirlos. Pero los segundos corchetes se multiplican por negativo el número es -5 y, por tanto, todos los signos están invertidos:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Quedan meras bagatelas. Con X a la izquierda, sin X a la derecha:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

Eso es casi todo. A la izquierda necesitas una X pura, pero el número -35 está en el camino. Entonces dividimos ambos lados por (-35). Permítanme recordarles que la segunda transformación de identidad nos permite multiplicar y dividir ambos lados por lo que número. Incluidos los negativos.) ¡Siempre que no sea cero! Siéntete libre de dividir y obtener la respuesta:

X = 2/35

Esta vez la X resultó ser fraccionaria. Está bien. Un ejemplo así.)

Como vemos, el principio de resolución de ecuaciones lineales (incluso las más complicadas) es bastante sencillo: tomamos la ecuación original y, mediante transformaciones idénticas, la simplificamos sucesivamente hasta obtener la respuesta. ¡Con lo básico, por supuesto! Los principales problemas aquí son precisamente el incumplimiento de los conceptos básicos (por ejemplo, delante de los paréntesis hay un menos y se olvidaron de cambiar los signos al expandir), así como la aritmética banal. ¡Así que no descuides lo básico! ¡Son la base de todas las demás matemáticas!

Algunas cosas divertidas para hacer al resolver ecuaciones lineales. O ocasiones especiales.

Todo estaría bien. Sin embargo... Entre las ecuaciones lineales también hay perlas tan divertidas que, en el proceso de resolverlas, pueden llevarte a un fuerte estupor. Incluso un excelente estudiante.)

Por ejemplo, aquí hay una ecuación que parece inocua:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Bostezando ampliamente y un poco aburridos, recogemos todas las X de la izquierda y todos los números de la derecha:

7x-4x-3x = 5-2-3

Presentamos otros similares, contamos y obtenemos:

0 = 0

¡Eso es todo! ¡Di un ejemplo de un truco! Esta igualdad en sí misma no plantea ninguna objeción: cero es realmente igual a cero. ¡Pero falta X! ¡Sin dejar rastro! Y debemos escribir en la respuesta, ¿A qué es x igual?. De lo contrario, la decisión no cuenta, eso sí.) ¿Qué hacer?

¡No entrar en pánico! En casos tan atípicos, los conceptos y principios más generales de las matemáticas acuden al rescate. ¿Qué es una ecuación? ¿Cómo resolver ecuaciones? ¿Qué significa resolver una ecuación?

Resolver una ecuación significa encontrar Todo valores de la variable x, que, al sustituirse en original¡La ecuación nos dará la igualdad (identidad) correcta!

Pero tenemos verdadera igualdad. ya ha sucedido! 0 = 0, o mejor dicho, ¡en ninguna parte!) Sólo podemos adivinar en qué x obtenemos esta igualdad. ¿Qué tipo de X se pueden sustituir en original ecuación si, tras la sustitución, todos ellos ¿Seguirán siendo reducidos a cero?¿Aún no lo has descubierto?

Bueno, ¡por supuesto! Las X se pueden sustituir. cualquier!!! Absolutamente cualquiera. Envía lo que quieras. Al menos 1, al menos -23, al menos 2,7, ¡lo que sea! Seguirán siendo reducidos y, como resultado, la pura verdad permanecerá. Pruébelo, sustitúyalo y compruébelo usted mismo).

Aquí está tu respuesta:

x – cualquier número.

En notación científica esta igualdad se escribe de la siguiente manera:

Esta entrada dice así: "X es cualquier número real".

O de otra forma, a intervalos:

Diseñalo como más te guste. ¡Esta es una respuesta correcta y completamente completa!

Ahora voy a cambiar solo un número en nuestra ecuación original. Ahora resolvamos esta ecuación:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

Nuevamente transferimos los términos, contamos y obtenemos:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

¿Y qué opinas de este chiste? Había una ecuación lineal ordinaria, pero se convirtió en una igualdad incomprensible.

0 = 1…

Científicamente hablando, tenemos falsa igualdad. Pero en ruso esto no es cierto. Mierda. Tonterías.) ¡Porque cero no es de ninguna manera igual a uno!

Y ahora averigüemos nuevamente qué tipo de X, cuando se sustituyen en la ecuación original, nos dará ¿verdadera igualdad?¿Cual? ¡Pero ninguno! No importa qué X sustituyas, todo se acortará y todo seguirá siendo una mierda).

Aquí está la respuesta: sin soluciones.

En notación matemática, esta respuesta se escribe así:

Dice: "X pertenece al conjunto vacío".

Este tipo de respuestas también ocurren con bastante frecuencia en matemáticas: no siempre las ecuaciones tienen raíces en principio. Es posible que algunas ecuaciones no tengan raíz alguna. En absoluto.

Aquí hay dos sorpresas. Espero que ahora la repentina desaparición de las X de la ecuación no te deje perplejo para siempre. Esto es bastante familiar.)

Y luego escucho una pregunta lógica: ¿estarán en la OGE o en el Examen Estatal Unificado? Sobre el Examen Estatal Unificado en sí mismo como tarea, no. Demasiado simple. Pero en la OGE o en problemas planteados, ¡fácilmente! Así que ahora entrenemos y decidamos:

Respuestas (en desorden): -2; -1; cualquier número; 2; sin soluciones; 13/7.

¿Todo salió bien? ¡Excelente! Tienes buenas posibilidades en el examen.

¿Algo no cuadra? Hm... Tristeza, por supuesto. Esto significa que todavía hay lagunas en alguna parte. Ya sea en lo básico o en transformaciones idénticas. O es simplemente una cuestión de simple falta de atención. Lea la lección nuevamente. Porque este no es un tema del que se pueda prescindir tan fácilmente en matemáticas...

¡Buena suerte! Ella definitivamente te sonreirá, ¡créeme!)

Un sistema de ecuaciones lineales es una unión de n ecuaciones lineales, cada una de las cuales contiene k variables. Está escrito así:

Muchos, cuando se encuentran por primera vez con el álgebra superior, creen erróneamente que el número de ecuaciones debe coincidir necesariamente con el número de variables. En álgebra escolar esto suele suceder, pero en álgebra superior, en general, no es cierto.

La solución de un sistema de ecuaciones es una secuencia de números (k 1, k 2, ..., k n), que es la solución de cada ecuación del sistema, es decir al sustituir en esta ecuación en lugar de las variables x 1, x 2, ..., x n da la igualdad numérica correcta.

En consecuencia, resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones o demostrar que este conjunto está vacío. Dado que el número de ecuaciones y el número de incógnitas pueden no coincidir, son posibles tres casos:

1. El sistema es inconsistente, es decir. el conjunto de todas las soluciones está vacío. Un caso bastante raro que se detecta fácilmente sin importar qué método se utilice para resolver el sistema.
2. El sistema es consistente y determinado, es decir. tiene exactamente una solución. La versión clásica, muy conocida desde la escuela.
3. El sistema es consistente e indefinido, es decir. tiene infinitas soluciones. Ésta es la opción más difícil. No basta con indicar que “el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones”; es necesario describir cómo está estructurado este conjunto.

Una variable x i se considera permitida si está incluida en una sola ecuación del sistema y con un coeficiente de 1. En otras palabras, en otras ecuaciones el coeficiente de la variable x i debe ser igual a cero.

Si seleccionamos una variable permitida en cada ecuación, obtenemos un conjunto de variables permitidas para todo el sistema de ecuaciones. El sistema en sí, escrito de esta forma, también se denominará resuelto. En general, un mismo sistema original puede reducirse a diferentes permitidos, pero por ahora esto no nos preocupa. A continuación se muestran ejemplos de sistemas permitidos:

Ambos sistemas se resuelven respecto de las variables x 1 , x 3 y x 4 . Sin embargo, con el mismo éxito se puede argumentar que el segundo sistema se resuelve con respecto a x 1, x 3 y x 5. Basta con reescribir la última ecuación en la forma x 5 = x 4.

Ahora consideremos un caso más general. Tengamos k variables en total, de las cuales r están permitidas. Entonces son posibles dos casos:

1. El número de variables permitidas r es igual al número total de variables k: r = k. Obtenemos un sistema de k ecuaciones en el que r = k variables permitidas. Tal sistema es conjunto y definido, porque x 1 = segundo 1, x 2 = segundo 2, ..., x k = segundo k;
2. El número de variables permitidas r es menor que el número total de variables k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Entonces, en los sistemas anteriores, las variables x 2, x 5, x 6 (para el primer sistema) y x 2, x 5 (para el segundo) son libres. El caso en el que hay variables libres se formula mejor como un teorema:

Tenga en cuenta: ¡este es un punto muy importante! Dependiendo de cómo escriba el sistema resultante, la misma variable puede estar permitida o libre. La mayoría de los profesores de matemáticas superiores recomiendan escribir las variables en orden lexicográfico, es decir, índice ascendente. Sin embargo, usted no tiene ninguna obligación de seguir este consejo.

Teorema. Si en un sistema de n ecuaciones las variables x 1, x 2, ..., x r están permitidas, y x r + 1, x r + 2, ..., x k son libres, entonces:

1. Si establecemos los valores de las variables libres (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), y luego encontramos los valores x 1, x 2, ..., x r, obtenemos una de decisiones.
2. Si en dos soluciones coinciden los valores de las variables libres, entonces también coinciden los valores de las variables permitidas, es decir las soluciones son iguales.

¿Cuál es el significado de este teorema? Para obtener todas las soluciones de un sistema de ecuaciones resuelto, basta con aislar las variables libres. Luego, asignando diferentes valores a las variables libres, obtendremos soluciones listas para usar. Eso es todo: de esta manera podrá obtener todas las soluciones del sistema. No hay otras soluciones.

Conclusión: el sistema de ecuaciones resuelto es siempre consistente. Si el número de ecuaciones en un sistema resuelto es igual al número de variables, el sistema será definido; si es menor, será indefinido.

Y todo estaría bien, pero surge la pregunta: ¿cómo obtener uno resuelto a partir del sistema de ecuaciones original? Para esto hay

Una ecuación lineal con incógnitas x 1, x 2, ..., x n es una ecuación de la forma

A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;

los números a y a 2 , a 2 , ..., an se llaman coeficientes de las incógnitas, el número b es el término libre de la ecuación.

Las ecuaciones lineales con una incógnita se pudieron resolver en la antigua Babilonia y en Egipto hace más de 4 mil años. Citemos, por ejemplo, un problema del papiro de Rhind (también llamado papiro de Ahmes), conservado en el Museo Británico y que data del período 2000-1700. ANTES DE CRISTO e.: “Encontrar un número si se sabe que sumandole 2/3 del mismo y restándole su tercio a la suma resultante se obtiene el número 10”. La solución a este problema se reduce a resolver la ecuación lineal.

x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, de donde x = 9.

Presentemos también el problema de Metrodoro, de cuya vida no se sabe nada, salvo que fue autor de interesantes problemas compuestos en verso.

Aquí está enterrado Diofanto y la lápida
Con hábil conteo nos dirá
¿Cuánto duró su vida?
Por decreto de Dios fue niño durante una sexta parte de su vida;
En la duodécima parte pasó su brillante juventud.
Agreguemos la séptima parte de la vida: ante nosotros está el hogar del Himeneo.
Han pasado cinco años; y Himeneo le envió un hijo.
Pero ¡ay del niño! Apenas vivió la mitad
Esos años que murió el padre, el desgraciado.
Diofanto sufrió durante cuatro años la pérdida de tal tumba.
Y murió, habiendo vivido para la ciencia. Dime,
¿Qué edad tenía Diofanto cuando llegó a la muerte?

Resolver una ecuación lineal

(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,

encontramos que x = 84: estos son los años que vivió Diofanto.

El propio Diofanto prestó mucha atención a las ecuaciones indefinidas (este es el nombre que se les da a las ecuaciones algebraicas o sistemas de tales ecuaciones con dos o más incógnitas con coeficientes enteros, para las cuales se buscan soluciones enteras o racionales; el número de incógnitas debe ser mayor que el número de ecuaciones). Estas ecuaciones se llaman ecuaciones diofánticas. Es cierto que Diofanto, que vivió a finales de los siglos II y III, se preocupaba principalmente por ecuaciones indefinidas de grados superiores.

Un sistema de ecuaciones algebraicas, cada una de las cuales tiene la forma (1), se llama sistema lineal. Los coeficientes de las ecuaciones incluidas en el sistema generalmente se numeran con dos índices, el primero de los cuales es el número de la ecuación y el segundo (como en (1)) es el número de la incógnita. Por ejemplo, un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se escribe en la forma

$\izquierda. \begin(alineado) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))+\ldots+((a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1)), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_ (22))((x)_(2))+\ldots+((a)_(2n))((x)_(n))=((b)_(2)), \\ ((a )_(m1))((x)_(1))+((a)_(m2))((x)_(2))+\ldots+((a)_(mn))((x) _(n))=((b)_(m)). \\ \end(alineado) \right\)(2)$

Considere un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

$\izquierda. \begin(alineado) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))=((b)_(1 )), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_(22))((x)_(2))=((b)_(2 )), \\ \end(alineado) \right\)(3)$

Multipliquemos la primera ecuación del sistema (3) por un 22 y restemos de la ecuación resultante la segunda, multiplicada por un 12; de manera similar, multiplicamos la segunda ecuación del sistema (3) por un 11 y restamos la primera, multiplicada por un 21, de la ecuación resultante. Después de esto obtenemos el sistema:

$\izquierda. \begin(alineado) (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end(alineado) \right\)(4)$

$\izquierda. \begin(alineado) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \end(alineado) \right\)(4)$

que es consecuencia del sistema (3). El sistema (4) se puede escribir en la forma

$\izquierda. \begin(alineado) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end(alineado) \right\)(5)$

donde ∆ es el determinante de una matriz compuesta por los coeficientes del sistema (ver Determinante), ∆ i son los determinantes de matrices obtenidas del reemplazo previo de la i-ésima columna por una columna de términos libres, i = 1,2 . Además, si ∆ ≠ 0, entonces el sistema (5) tiene una solución única:

x 1 = ∆ 1 /∆, x 2 = ∆ 2 /∆.

La sustitución directa verifica que este par de números también es una solución al sistema (3). Usando la misma regla, se busca una solución para un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas: si el determinante del sistema ∆ es distinto de cero, entonces el sistema tiene una solución única, y

x yo = ∆ yo /∆

donde ∆ i es el determinante de la matriz obtenida de una matriz compuesta por los coeficientes del sistema reemplazando la i-ésima columna con una columna de términos libres. La regla descrita para resolver sistemas lineales se llama regla de Cramer. (G. Cramer - matemático suizo, 1704-1752).

Si ∆ = 0, entonces tanto ∆ 1 como ∆ 2 deben desaparecer (de lo contrario (5), y especialmente (3) no tienen soluciones). Si se cumple la condición ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0, si los coeficientes correspondientes a las incógnitas y los términos libres de la ecuación del sistema (3) son proporcionales, entonces el sistema tendrá infinitas soluciones; si al menos uno de los coeficientes de las incógnitas es diferente de cero (por ejemplo, si a 12 ≠ 0), entonces x 1 puede tomarse como cualquiera, entonces

x 2 = b 1 /a 12 − a 11 x 1 /a 12

Queda por analizar el caso cuando el sistema tiene la forma.

$\izquierda. \begin(alineado) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end(alineado) \right\)$

para lo cual la respuesta es obvia: si b 1 = b 2 = 0, entonces la solución es cualquier par de números, de lo contrario no hay soluciones.

En el caso general, para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas para ∆ ≠ 0, el sistema tiene una solución única que, como ya se mencionó, se puede encontrar usando la regla de Cramer. Si ∆ = 0 y al menos uno de los determinantes ∆ i es diferente de cero, el sistema es inconsistente (es decir, no tiene soluciones). En el caso de que ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, el sistema puede ser inconsistente o tener infinitas soluciones. Es bastante difícil establecer cuál de estos dos casos se realiza mediante determinantes, y no nos ocuparemos de ello. En la práctica, la regla de Cramer no suele utilizarse para resolver sistemas lineales. La mayoría de las veces se utiliza el método gaussiano para estos fines (consulte Excepción desconocida).

Como se sabe, la ecuación lineal a 1 x 1 + a 2 x 2 = b define una línea recta en el plano (x 1 ; x 2) en el caso de que al menos uno de los coeficientes a 1 y a 2 sea diferente de cero. Si tomamos dos rectas en un plano, entonces son posibles los siguientes casos (ver figura): 1) las rectas son paralelas y no tienen puntos comunes, y entonces el sistema no tiene soluciones; 2) las líneas se cruzan y luego el sistema tiene una solución; 3) las rectas coinciden y entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Pero dos líneas tomadas "al azar" "por regla general" se cruzarán, es decir, por regla general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables tendrá una solución. Cualquier punto en una determinada línea del plano corresponde a la solución de un "sistema" (que consta de una ecuación), es decir, por regla general, ocurre el caso 3 (el caso 2 es imposible y el caso 1 se realiza si tomamos la ecuación 0 x 1 + 0 x 2 = b, donde b ≠ 0, que no define una recta en el plano). Si tomamos 3 o más líneas en un plano, entonces, en términos generales, todas pueden coincidir o pasar por un punto, pero, por regla general, ocurre el primer caso: las líneas no tienen un punto común.

Primero necesitas entender qué es.

Hay una definición sencilla. ecuación lineal, que se da en una escuela normal: "una ecuación en la que la variable aparece sólo en la primera potencia". Pero no es del todo correcto: la ecuación no es lineal, ni siquiera se reduce a eso, se reduce a cuadrática.

Una definición más precisa es: ecuación lineal es una ecuación que, usando transformaciones equivalentes se puede reducir a la forma , donde title="a,b en bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

De hecho, para entender si una ecuación es lineal o no, primero hay que simplificarla, es decir, llevarla a una forma en la que su clasificación sea inequívoca. Recuerda, puedes hacer lo que quieras con una ecuación siempre que no cambie sus raíces; eso es lo que es. conversión equivalente. Las transformaciones equivalentes más simples incluyen:

1. paréntesis de apertura
2. trayendo similares
3. multiplicar y/o dividir ambos lados de una ecuación por un número distinto de cero
4. Sumar y/o restar de ambos lados del mismo número o expresión*

Ejemplo 1:
(abramos los corchetes)
(suma a ambas partes y resta/transfiere cambiando el signo del número a la izquierda y las variables a la derecha)
(démosle otros similares)
(divide ambos lados de la ecuación por 3)

Entonces obtenemos una ecuación que tiene las mismas raíces que la original. Recordemos al lector que "resolver la ecuación"- significa encontrar todas sus raíces y demostrar que no hay otras, y "raíz de ecuación"- este es un número que, cuando se sustituye por la incógnita, convertirá la ecuación en una verdadera igualdad. Bueno, en la última ecuación, encontrar un número que convierta la ecuación en una verdadera igualdad es muy simple: este es el número. Ningún otro número formará una identidad a partir de esta ecuación. Respuesta:

Ejemplo 2:
(multiplica ambos lados de la ecuación por , después de asegurarnos de que no estamos multiplicando por : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(abramos los corchetes)
(movamos los términos)
(démosle otros similares)
(dividimos ambas partes por )

Así es aproximadamente como se resuelven todas las ecuaciones lineales. Para los lectores más jóvenes, lo más probable es que esta explicación les parezca complicada, por eso ofrecemos una versión "ecuaciones lineales para el grado 5"

Ecuaciones lineales en dos variables.

Un escolar tiene 200 rublos para almorzar en la escuela. Un pastel cuesta 25 rublos y una taza de café cuesta 10 rublos. ¿Cuántos pasteles y tazas de café puedes comprar por 200 rublos?

Denotemos el número de pasteles por incógnita y el número de tazas de café hasta y. Entonces el costo de los pasteles se denotará por la expresión 25 incógnita, y el costo de las tazas de café en 10 y .

25x— precio incógnita pasteles
10y— precio y tazas de cafe

La cantidad total debe ser de 200 rublos. Luego obtenemos una ecuación con dos variables. incógnita Y y

25incógnita+ 10y= 200

¿Cuántas raíces tiene esta ecuación?

Todo depende del apetito del alumno. Si compra 6 pasteles y 5 tazas de café, entonces las raíces de la ecuación serán los números 6 y 5.

Se dice que el par de valores 6 y 5 son las raíces de la ecuación 25 incógnita+ 10y= 200 . Escrito como (6; 5), siendo el primer número el valor de la variable incógnita, y el segundo - el valor de la variable. y .

6 y 5 no son las únicas raíces que invierten la ecuación 25 incógnita+ 10y= 200 a la identidad. Si lo desea, por los mismos 200 rublos un estudiante puede comprar 4 pasteles y 10 tazas de café:

En este caso, las raíces de la ecuación 25 incógnita+ 10y= 200 es un par de valores (4; 10).

Además, un escolar no puede comprar café en absoluto, pero sí pasteles por los 200 rublos completos. Entonces las raíces de la ecuación 25 incógnita+ 10y= 200 serán los valores 8 y 0

O viceversa, no compre pasteles, compre café por los 200 rublos completos. Entonces las raíces de la ecuación 25 incógnita+ 10y= 200 los valores serán 0 y 20

Intentemos enumerar todas las raíces posibles de la ecuación 25. incógnita+ 10y= 200 . Acordemos que los valores incógnita Y y pertenecen al conjunto de los números enteros. Y sean estos valores mayores o iguales a cero:

incógnita∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Esto será conveniente para el propio alumno. Es más conveniente comprar tartas enteras que, por ejemplo, varias tartas enteras y media tarta. También es más conveniente tomar café en tazas enteras que, por ejemplo, varias tazas enteras y media taza.

Tenga en cuenta que por extraño incógnita es imposible lograr la igualdad bajo ninguna circunstancia y. Entonces los valores incógnita los siguientes números serán 0, 2, 4, 6, 8. Y sabiendo incógnita se puede determinar fácilmente y

Por lo tanto, recibimos los siguientes pares de valores (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Estos pares son soluciones o raíces de la Ecuación 25. incógnita+ 10y= 200. Convierten esta ecuación en una identidad.

Ecuación de la forma hacha + por = c llamado ecuación lineal con dos variables. La solución o raíces de esta ecuación son un par de valores ( incógnita; y), lo que lo convierte en identidad.

Tenga en cuenta también que si una ecuación lineal con dos variables se escribe en la forma hacha + segundo y = c , luego dicen que está escrito en canónico forma (normal).

Algunas ecuaciones lineales en dos variables se pueden reducir a forma canónica.

Por ejemplo, la ecuación 2(16incógnita+ 3y- 4) = 2(12 + 8incógnita − y) se puede recordar hacha + por = c. Abramos los corchetes a ambos lados de esta ecuación y obtengamos 32incógnita + 6y − 8 = 24 + 16incógnita − 2y . Agrupamos los términos que contienen incógnitas en el lado izquierdo de la ecuación y los términos libres de incógnitas en el lado derecho. Entonces obtenemos 32x- 16incógnita+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Presentamos términos similares en ambos lados, obtenemos la ecuación 16 incógnita+ 8y= 32. Esta ecuación se reduce a la forma hacha + por = c y es canónico.

Ecuación 25 discutida anteriormente incógnita+ 10y= 200 también es una ecuación lineal con dos variables en forma canónica. En esta ecuación los parámetros a , b Y do son iguales a los valores 25, 10 y 200, respectivamente.

En realidad la ecuación hacha + por = c Tiene innumerables soluciones. Resolviendo la ecuación 25incógnita+ 10y= 200, buscamos sus raíces sólo en el conjunto de números enteros. Como resultado, obtuvimos varios pares de valores que convirtieron esta ecuación en una identidad. Pero en el conjunto de los números racionales, la ecuación 25 incógnita+ 10y= 200 tendrá infinitas soluciones.

Para obtener nuevos pares de valores, es necesario tomar un valor arbitrario para incógnita, luego expresa y. Por ejemplo, tomemos la variable incógnita valor 7. Entonces obtenemos una ecuación con una variable 25×7 + 10y= 200 en el que se puede expresar y

Dejar incógnita= 15. Entonces la ecuación 25incógnita+ 10y= 200 se convierte en 25 × 15 + 10y= 200. A partir de aquí encontramos que y = −17,5

Dejar incógnita= −3 . Entonces la ecuación 25incógnita+ 10y= 200 se convierte en 25 × (−3) + 10y= 200. A partir de aquí encontramos que y = −27,5

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.

Para la ecuación hacha + por = c puedes tomar valores arbitrarios tantas veces como quieras incógnita y encontrar valores para y. Tomada por separado, una ecuación de este tipo tendrá innumerables soluciones.

Pero también sucede que las variables incógnita Y y conectados no por una, sino por dos ecuaciones. En este caso forman los llamados sistema de ecuaciones lineales en dos variables. Un sistema de ecuaciones de este tipo puede tener un par de valores (o en otras palabras: "una solución").

También puede suceder que el sistema no tenga solución alguna. Un sistema de ecuaciones lineales puede tener innumerables soluciones en casos raros y excepcionales.

Dos ecuaciones lineales forman un sistema cuando los valores incógnita Y y entrar en cada una de estas ecuaciones.

Volvamos a la primera ecuación 25. incógnita+ 10y= 200 . Uno de los pares de valores de esta ecuación fue el par (6; 5). Este es el caso en el que por 200 rublos se podían comprar 6 pasteles y 5 tazas de café.

Formulemos el problema de modo que el par (6; 5) se convierta en la única solución para la ecuación 25. incógnita+ 10y= 200 . Para hacer esto, creemos otra ecuación que conectaría el mismo incógnita pasteles y y tazas de café.

Expongamos el texto del problema de la siguiente manera:

“El estudiante compró varios pasteles y varias tazas de café por 200 rublos. Un pastel cuesta 25 rublos y una taza de café cuesta 10 rublos. ¿Cuantos pasteles y tazas de café compró el estudiante si se sabe que el número de pasteles es una unidad mayor que el número de tazas de café?

Ya tenemos la primera ecuación. Esta es la ecuación 25. incógnita+ 10y= 200 . Ahora creemos una ecuación para la condición. “el número de pasteles es una unidad mayor que el número de tazas de café” .

El número de pasteles es incógnita, y el número de tazas de café es y. Puedes escribir esta frase usando la ecuación. x-y= 1. Esta ecuación significará que la diferencia entre pasteles y café es 1.

x = y+ 1 . Esta ecuación significa que el número de pasteles es uno más que el número de tazas de café. Por tanto, para obtener la igualdad se suma una al número de tazas de café. Esto se puede entender fácilmente si utilizamos el modelo de escalas que consideramos al estudiar los problemas más simples:

Tenemos dos ecuaciones: 25 incógnita+ 10y= 200 y x = y+ 1. Desde los valores incógnita Y y, es decir, 6 y 5 están incluidos en cada una de estas ecuaciones, luego juntos forman un sistema. Anotemos este sistema. Si las ecuaciones forman un sistema, entonces están enmarcadas por el signo del sistema. El símbolo del sistema es una llave:

Resolvamos este sistema. Esto nos permitirá ver cómo llegamos a los valores 6 y 5. Existen muchos métodos para resolver este tipo de sistemas. Veamos los más populares de ellos.

Método de sustitución

El nombre de este método habla por sí solo. Su esencia es sustituir una ecuación por otra, habiendo expresado previamente una de las variables.

En nuestro sistema no es necesario expresar nada. En la segunda ecuación incógnita = y+ 1 variable incógnita ya expresado. Esta variable es igual a la expresión y+ 1 . Luego puedes sustituir esta expresión en la primera ecuación en lugar de la variable incógnita

Después de sustituir la expresión y+ 1 en la primera ecuación en su lugar incógnita, obtenemos la ecuación 25(y+ 1) + 10y= 200 . Esta es una ecuación lineal con una variable. Esta ecuación es bastante fácil de resolver:

Encontramos el valor de la variable. y. Ahora sustituyamos este valor en una de las ecuaciones y encontremos el valor. incógnita. Para ello es conveniente utilizar la segunda ecuación. incógnita = y+ 1 . Sustituyamos el valor y

Esto significa que el par (6; 5) es una solución del sistema de ecuaciones, como pretendíamos. Comprobamos y nos aseguramos que el par (6; 5) satisface el sistema:

Ejemplo 2

Sustituyamos la primera ecuación. incógnita= 2 + y en la segunda ecuación 3 x- 2y= 9. En la primera ecuación la variable incógnita igual a la expresión 2 + y. Sustituyamos esta expresión en la segunda ecuación en lugar de incógnita

Ahora encontremos el valor. incógnita. Para hacer esto, sustituyamos el valor. y en la primera ecuación incógnita= 2 + y

Esto significa que la solución del sistema es el valor del par (5; 3)

Ejemplo 3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Aquí, a diferencia de los ejemplos anteriores, una de las variables no se expresa explícitamente.

Para sustituir una ecuación por otra, primero necesitas.

Es recomendable expresar la variable que tiene un coeficiente de uno. La variable tiene un coeficiente de uno. incógnita, que está contenido en la primera ecuación incógnita+ 2y= 11. Expresemos esta variable.

Después de expresión variable incógnita, nuestro sistema tomará la siguiente forma:

Ahora sustituyamos la primera ecuación en la segunda y encontremos el valor. y

sustituyamos y incógnita

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (3; 4)

Por supuesto, también puedes expresar una variable. y. Esto no cambiará las raíces. Pero si expresas y, El resultado no es una ecuación muy simple y llevará más tiempo resolverla. Se verá así:

Vemos que en este ejemplo expresamos incógnita mucho más conveniente que expresar y .

Ejemplo 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Expresemos en la primera ecuación. incógnita. Entonces el sistema tomará la forma:

y

sustituyamos y en la primera ecuación y encontrar incógnita. Puedes usar la ecuación original 7. incógnita+ 9y= 8, o utilizar la ecuación en la que se expresa la variable incógnita. Usaremos esta ecuación porque es conveniente:

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (5; −3)

Método de suma

El método de la suma consiste en sumar las ecuaciones incluidas en el sistema término a término. Esta suma da como resultado una nueva ecuación con una variable. Y resolver tal ecuación es bastante simple.

Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones:

Sumemos el lado izquierdo de la primera ecuación con el lado izquierdo de la segunda ecuación. Y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación. Obtenemos la siguiente igualdad:

Veamos términos similares:

Como resultado, obtuvimos la ecuación más simple 3. incógnita= 27 cuya raíz es 9. Conociendo el valor incógnita puedes encontrar el valor y. sustituyamos el valor incógnita en la segunda ecuación x-y= 3 . Obtenemos 9 - y= 3 . Desde aquí y= 6 .

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (9; 6)

Ejemplo 2

Sumemos el lado izquierdo de la primera ecuación con el lado izquierdo de la segunda ecuación. Y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación. En la igualdad resultante presentamos términos similares:

Como resultado, obtuvimos la ecuación más simple 5. incógnita= 20, cuya raíz es 4. Conociendo el valor incógnita puedes encontrar el valor y. sustituyamos el valor incógnita en la primera ecuación 2 x+y= 11. Consigamos 8+ y= 11. Desde aquí y= 3 .

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (4;3)

El proceso de adición no se describe en detalle. Hay que hacerlo mentalmente. Al sumar, ambas ecuaciones deben reducirse a la forma canónica. Es decir ca + por = c .

De los ejemplos considerados, queda claro que el objetivo principal de sumar ecuaciones es deshacerse de una de las variables. Pero no siempre es posible resolver inmediatamente un sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma. En la mayoría de los casos, primero se lleva el sistema a una forma en la que se pueden sumar las ecuaciones incluidas en este sistema.

Por ejemplo, el sistema se puede resolver inmediatamente usando el método de la suma. Al sumar ambas ecuaciones, los términos y Y −y desaparecerá porque su suma es cero. Como resultado, se forma la ecuación más simple 11. incógnita= 22, cuya raíz es 2. Entonces será posible determinar y igual a 5.

y el sistema de ecuaciones El método de la suma no se puede resolver de inmediato, ya que esto no conducirá a la desaparición de una de las variables. La suma dará como resultado la ecuación 8. incógnita+ y= 28, que tiene un número infinito de soluciones.

Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número, distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Esta regla también es válida para un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. Una de las ecuaciones (o ambas) se puede multiplicar por cualquier número. El resultado será un sistema equivalente, cuyas raíces coincidirán con el anterior.

Volvamos al primer sistema, que describía cuántos pasteles y tazas de café compró un escolar. La solución a este sistema fue un par de valores (6; 5).

Multipliquemos ambas ecuaciones incluidas en este sistema por algunos números. Digamos que multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3.

Como resultado, obtuvimos un sistema.
La solución a este sistema sigue siendo el par de valores (6; 5)

Esto significa que las ecuaciones incluidas en el sistema se pueden reducir a una forma adecuada para aplicar el método de la suma.

Volvamos al sistema. , que no pudimos resolver usando el método de la suma.

Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por −2

Entonces obtenemos el siguiente sistema:

Sumemos las ecuaciones incluidas en este sistema. Agregar componentes 12 incógnita y −12 incógnita resultará en 0, suma 18 y y 4 y dará 22 y, y sumando 108 y −20 da 88. Luego obtenemos la ecuación 22 y= 88, desde aquí y = 4 .

Si al principio te resulta difícil sumar ecuaciones mentalmente, entonces puedes escribir cómo se suma el lado izquierdo de la primera ecuación con el lado izquierdo de la segunda ecuación, y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación:

Sabiendo que el valor de la variable y es igual a 4, puedes encontrar el valor incógnita. sustituyamos y en una de las ecuaciones, por ejemplo en la primera ecuación 2 incógnita+ 3y= 18. Entonces obtenemos una ecuación con una variable 2 incógnita+ 12 = 18. Movemos 12 hacia el lado derecho, cambiando el signo, obtenemos 2 incógnita= 6, desde aquí incógnita = 3 .

Ejemplo 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Multipliquemos la segunda ecuación por −1. Entonces el sistema tomará la siguiente forma:

Sumemos ambas ecuaciones. Agregar componentes incógnita Y −x resultará en 0, suma 5 y y 3 y dará 8 y, y sumando 7 y 1 da 8. El resultado es la ecuación 8 y= 8 cuya raíz es 1. Sabiendo que el valor y es igual a 1, puedes encontrar el valor incógnita .

sustituyamos y en la primera ecuación, obtenemos incógnita+ 5 = 7, por lo tanto incógnita= 2

Ejemplo 5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Es deseable que los términos que contengan las mismas variables estén ubicados uno debajo del otro. Por lo tanto, en la segunda ecuación los términos 5 y y −2 incógnita Intercambiemos lugares. Como resultado, el sistema tomará la forma:

Multipliquemos la segunda ecuación por 3. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora sumemos ambas ecuaciones. Como resultado de la suma obtenemos la ecuación 8. y= 16, cuya raíz es 2.

sustituyamos y en la primera ecuación obtenemos 6 incógnita− 14 = 40. Movamos el término −14 hacia el lado derecho, cambiando el signo, y obtenemos 6 incógnita= 54 . Desde aquí incógnita= 9.

Ejemplo 6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Deshagámonos de las fracciones. Multiplica la primera ecuación por 36 y la segunda por 12.

En el sistema resultante la primera ecuación se puede multiplicar por −5 y la segunda por 8

Sumemos las ecuaciones en el sistema resultante. Entonces obtenemos la ecuación más simple −13 y= −156 . Desde aquí y= 12. sustituyamos y en la primera ecuación y encontrar incógnita

Ejemplo 7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Llevemos ambas ecuaciones a su forma normal. Aquí conviene aplicar la regla de proporción en ambas ecuaciones. Si en la primera ecuación el lado derecho se representa como , y el lado derecho de la segunda ecuación como , entonces el sistema tomará la forma:

Tenemos una proporción. Multipliquemos sus términos extremo y medio. Entonces el sistema tomará la forma:

Multipliquemos la primera ecuación por −3 y abramos los corchetes en la segunda:

Ahora sumemos ambas ecuaciones. Como resultado de sumar estas ecuaciones, obtenemos una igualdad con cero en ambos lados:

Resulta que el sistema tiene innumerables soluciones.

Pero no podemos simplemente tomar valores arbitrarios del cielo para incógnita Y y. Podemos especificar uno de los valores, y el otro se determinará dependiendo del valor que especifiquemos. Por ejemplo, dejemos incógnita= 2 . Sustituyamos este valor en el sistema:

Como resultado de resolver una de las ecuaciones, el valor de y, que satisfará ambas ecuaciones:

El par de valores resultante (2; −2) satisfará el sistema:

Encontremos otro par de valores. Dejar incógnita= 4. Sustituyamos este valor en el sistema:

Puedes ver a simple vista que el valor y es igual a cero. Luego obtenemos un par de valores (4; 0) que satisfacen nuestro sistema:

Ejemplo 8. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por 12

Reescribamos lo que queda:

Multipliquemos la primera ecuación por −1. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora sumemos ambas ecuaciones. Como resultado de la suma, se forma la ecuación 6. b= 48, cuya raíz es 8. Sustituir b en la primera ecuación y encontrar a

Sistema de ecuaciones lineales con tres variables.

Una ecuación lineal con tres variables incluye tres variables con coeficientes, así como un término de intersección. En forma canónica se puede escribir de la siguiente manera:

hacha + por + cz = d

Esta ecuación tiene innumerables soluciones. Al dar valores diferentes a dos variables, se puede encontrar un tercer valor. La solución en este caso es un triple de valores ( incógnita; y; z) que convierte la ecuación en una identidad.

Si las variables x, y, z están interconectados por tres ecuaciones, entonces se forma un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables. Para resolver un sistema de este tipo, puedes utilizar los mismos métodos que se aplican a las ecuaciones lineales con dos variables: el método de sustitución y el método de suma.

Ejemplo 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Expresemos en la tercera ecuación. incógnita. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora hagamos la sustitución. Variable incógnita es igual a la expresión 3 − 2y − 2z . Sustituyamos esta expresión en la primera y segunda ecuaciones:

Abramos los corchetes en ambas ecuaciones y presentemos términos similares:

Hemos llegado a un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. En este caso, es conveniente utilizar el método de la suma. Como resultado, la variable y Desaparecerá y podremos encontrar el valor de la variable. z

Ahora encontremos el valor. y. Para hacer esto, es conveniente utilizar la ecuación: y+ z= 4. Sustituye el valor en él. z

Ahora encontremos el valor. incógnita. Para ello conviene utilizar la ecuación incógnita= 3 − 2y − 2z . Sustituyamos los valores en él. y Y z

Así, el triple de valores (3; −2; 2) es una solución a nuestro sistema. Al verificar nos aseguramos de que estos valores satisfagan el sistema:

Ejemplo 2. Resuelve el sistema usando el método de la suma.

Sumemos la primera ecuación con la segunda, multiplicada por −2.

Si la segunda ecuación se multiplica por −2, toma la forma −6incógnita+ 6y- 4z = −4 . Ahora sumémoslo a la primera ecuación:

Vemos que como resultado de transformaciones elementales, se determinó el valor de la variable. incógnita. Es igual a uno.

Volvamos al sistema principal. Sumemos la segunda ecuación con la tercera, multiplicada por −1. Si la tercera ecuación se multiplica por −1, toma la forma −4incógnita + 5y − 2z = −1 . Ahora sumémoslo a la segunda ecuación:

Tenemos la ecuación x- 2y= −1 . Sustituyamos el valor en él. incógnita que encontramos anteriormente. Entonces podemos determinar el valor. y

Ahora conocemos los significados. incógnita Y y. Esto le permite determinar el valor. z. Usemos una de las ecuaciones incluidas en el sistema:

Así, el triple de valores (1; 1; 1) es la solución de nuestro sistema. Al verificar nos aseguramos de que estos valores satisfagan el sistema:

Problemas de composición de sistemas de ecuaciones lineales.

La tarea de componer sistemas de ecuaciones se resuelve ingresando varias variables. A continuación, se compilan ecuaciones en función de las condiciones del problema. A partir de las ecuaciones compiladas forman un sistema y lo resuelven. Una vez resuelto el sistema, es necesario comprobar si su solución satisface las condiciones del problema.

Problema 1. Un coche Volga salió de la ciudad hacia la granja colectiva. Regresó por otro camino, 5 km más corto que el primero. En total, el coche recorrió 35 km ida y vuelta. ¿Cuántos kilómetros tiene la longitud de cada camino?

Solución

Dejar x— longitud del primer camino, y- duración del segundo. Si el automóvil viajó 35 km ida y vuelta, entonces la primera ecuación se puede escribir como incógnita+ y= 35. Esta ecuación describe la suma de las longitudes de ambos caminos.

Se dice que el coche regresó por un camino 5 kilómetros más corto que el primero. Entonces la segunda ecuación se puede escribir como incógnita− y= 5. Esta ecuación muestra que la diferencia entre las longitudes de las carreteras es de 5 km.

O la segunda ecuación se puede escribir como incógnita= y+ 5. Usaremos esta ecuación.

Porque las variables incógnita Y y en ambas ecuaciones denotamos el mismo número, entonces podemos formar un sistema a partir de ellas:

Resolvamos este sistema usando algunos de los métodos estudiados anteriormente. En este caso es conveniente utilizar el método de sustitución, ya que en la segunda ecuación la variable incógnita ya expresado.

Sustituye la segunda ecuación en la primera y encuentra y

Sustituyamos el valor encontrado. y en la segunda ecuacion incógnita= y+ 5 y encontraremos incógnita

La longitud del primer camino se indicó a través de la variable incógnita. Ahora hemos encontrado su significado. Variable incógnita es igual a 20. Esto significa que la longitud del primer camino es de 20 km.

Y la longitud del segundo camino estaba indicada por y. El valor de esta variable es 15. Esto significa que la longitud de la segunda carretera es de 15 km.

Comprobemos. Primero, asegurémonos de que el sistema esté resuelto correctamente:

Ahora comprobemos si la solución (20; 15) satisface las condiciones del problema.

Se dijo que el coche recorrió un total de 35 kilómetros ida y vuelta. Sumamos las longitudes de ambos caminos y nos aseguramos de que la solución (20; 15) cumpla esta condición: 20 kilómetros + 15 kilómetros = 35 kilómetros

La siguiente condición: El coche regresó por otra carretera, 5 km más corta que la primera. . Vemos que la solución (20; 15) también satisface esta condición, ya que 15 km es más corto que 20 km por 5 km: 20 kilómetros - 15 kilómetros = 5 kilómetros

Al componer un sistema, es importante que las variables representen los mismos números en todas las ecuaciones incluidas en este sistema.

Entonces nuestro sistema contiene dos ecuaciones. Estas ecuaciones a su vez contienen variables. incógnita Y y, que representan los mismos números en ambas ecuaciones, es decir, longitudes de carretera de 20 km y 15 km.

Problema 2. En la plataforma se cargaron traviesas de roble y pino, 300 traviesas en total. Se sabe que todas las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que todas las traviesas de pino. Determine cuántas traviesas de roble y de pino había por separado, si cada traviesa de roble pesaba 46 kg y cada traviesa de pino 28 kg.

Solución

Dejar incógnita roble y y Se cargaron traviesas de pino en la plataforma. Si hubiera 300 durmientes en total, entonces la primera ecuación se puede escribir como x+y = 300 .

Todas las traviesas de roble pesaban 46 incógnita kg, y los de pino pesaban 28 y kg. Dado que las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que las de pino, la segunda ecuación se puede escribir como 28y- 46incógnita= 1000 . Esta ecuación muestra que la diferencia de masa entre traviesas de roble y pino es de 1000 kg.

Las toneladas se convirtieron a kilogramos, ya que la masa de las traviesas de roble y pino se medía en kilogramos.

Como resultado, obtenemos dos ecuaciones que forman el sistema.

Resolvamos este sistema. Expresemos en la primera ecuación. incógnita. Entonces el sistema tomará la forma:

Sustituye la primera ecuación en la segunda y encuentra y

sustituyamos y en la ecuación incógnita= 300 − y y descubre que es incógnita

Esto significa que se cargaron en la plataforma 100 traviesas de roble y 200 de pino.

Comprobemos si la solución (100; 200) satisface las condiciones del problema. Primero, asegurémonos de que el sistema esté resuelto correctamente:

Se dijo que había 300 durmientes en total. Sumamos el número de traviesas de roble y pino y nos aseguramos de que la solución (100; 200) cumpla esta condición: 100 + 200 = 300.

La siguiente condición: todas las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que todas las traviesas de pino . Vemos que la solución (100; 200) también satisface esta condición, ya que 46 × 100 kg de traviesas de roble son más livianos que 28 × 200 kg de traviesas de pino: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problema 3. Tomamos tres piezas de aleación de cobre y níquel en proporciones de 2: 1, 3: 1 y 5: 1 en peso. De ellos se fundió una pieza que pesaba 12 kg con una proporción de contenido de cobre y níquel de 4:1. Encuentra la masa de cada pieza original si la masa de la primera es el doble de la masa de la segunda.