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Grado y sus propiedades. La guía completa (2019)

¿Por qué se necesitan títulos? ¿Dónde los necesitarás? ¿Por qué deberías tomarte el tiempo para estudiarlos?

Para aprender todo sobre los títulos, para qué sirven y cómo utilizar sus conocimientos en la vida cotidiana, lea este artículo.

Y, por supuesto, el conocimiento de las carreras te acercará a aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado o Examen Estatal Unificado y a ingresar a la universidad de tus sueños.

Vamos... (¡Vamos!)

¡Nota importante! Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Para hacer esto, presione CTRL+F5 (en Windows) o Cmd+R (en Mac).

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La exponenciación es una operación matemática como la suma, la resta, la multiplicación o la división.

Ahora explicaré todo en lenguaje humano usando ejemplos muy simples. Ten cuidado. Los ejemplos son elementales, pero explican cosas importantes.

Comencemos con la suma.

No hay nada que explicar aquí. Ya lo sabes todo: somos ocho. Todos tienen dos botellas de cola. ¿Cuánta cola hay? Así es, 16 botellas.

Ahora multiplicación.

El mismo ejemplo con cola se puede escribir de otra manera: . Los matemáticos son personas astutas y perezosas. Primero notan algunos patrones y luego descubren una manera de “contarlos” más rápido. En nuestro caso, notaron que cada una de las ocho personas tenía la misma cantidad de botellas de cola y idearon una técnica llamada multiplicación. De acuerdo, se considera más fácil y rápido que.

Entonces, para contar más rápido, más fácil y sin errores, solo necesitas recordar tabla de multiplicación. ¡Por supuesto que puedes hacer todo más lento, más difícil y con errores! Pero…

Aquí está la tabla de multiplicar. Repetir.

Y otra más bonita:

¿Qué otros ingeniosos trucos de conteo se les han ocurrido a los matemáticos perezosos? Bien - elevar un número a una potencia.

Elevar un número a una potencia.

Si necesitas multiplicar un número por sí mismo cinco veces, los matemáticos dicen que debes elevar ese número a la quinta potencia. Por ejemplo, . Los matemáticos recuerdan que dos elevado a la quinta potencia es... Y resuelven esos problemas mentalmente: más rápido, más fácilmente y sin errores.

Todo lo que necesitas hacer es recuerda lo que está resaltado en color en la tabla de potencias de números. Créame, esto le hará la vida mucho más fácil.

Por cierto, ¿por qué se llama segundo grado? cuadrado números, y el tercero - cubo? ¿Qué significa? Muy buena pregunta. Ahora tendrás cuadrados y cubos.

Ejemplo de la vida real n.° 1

Empecemos por el cuadrado o la segunda potencia del número.

Imaginemos una piscina cuadrada de un metro por un metro. La piscina está en tu casa de campo. Hace calor y tengo muchas ganas de nadar. Pero... ¡la piscina no tiene fondo! Es necesario cubrir el fondo de la piscina con baldosas. ¿Cuántas fichas necesitas? Para determinar esto, es necesario conocer el área del fondo de la piscina.

Simplemente puedes calcular señalando con el dedo que el fondo de la piscina está formado por cubos de metro a metro. Si tienes baldosas de un metro por un metro, necesitarás piezas. Es fácil... ¿Pero dónde has visto esos azulejos? Lo más probable es que el mosaico sea cm por cm y luego te torturarán “contando con el dedo”. Entonces hay que multiplicar. Así, en un lado del fondo de la piscina encajaremos baldosas (trozos) y en el otro también baldosas. Multiplica por y obtendrás mosaicos ().

¿Te diste cuenta que para determinar el área del fondo de la piscina multiplicamos el mismo número por sí mismo? ¿Qué significa? Como estamos multiplicando el mismo número, podemos utilizar la técnica de la “exponenciación”. (Por supuesto, cuando solo tienes dos números, aún necesitas multiplicarlos o elevarlos a una potencia. Pero si tienes muchos, elevarlos a una potencia es mucho más fácil y también hay menos errores en los cálculos. . Para el Examen Estatal Unificado, esto es muy importante).
Entonces, treinta elevado a la segunda potencia será (). O podemos decir que será treinta al cuadrado. En otras palabras, la segunda potencia de un número siempre se puede representar como un cuadrado. Y viceversa, si ves un cuadrado, SIEMPRE es la segunda potencia de algún número. Un cuadrado es una imagen de la segunda potencia de un número.

Ejemplo de la vida real #2

Aquí tienes una tarea: cuenta cuántas casillas hay en el tablero de ajedrez usando el cuadrado del número... En un lado de las celdas y en el otro también. Para calcular su número, necesitas multiplicar ocho por ocho o... si notas que un tablero de ajedrez es un cuadrado con un lado, entonces puedes elevar al cuadrado ocho. Obtendrás células. () ¿Entonces?

Ejemplo de la vida real #3

Ahora el cubo o la tercera potencia de un número. La misma piscina. Pero ahora necesitas saber cuánta agua habrá que verter en esta piscina. Necesitas calcular el volumen. (Los volúmenes y los líquidos, por cierto, se miden en metros cúbicos. Inesperado, ¿no?) Dibuja una piscina: el fondo tiene un tamaño de un metro y un metro de profundidad, y trata de calcular cuántos cubos que miden un metro por un metro encajar en su piscina.

¡Solo señala con el dedo y cuenta! Uno, dos, tres, cuatro... veintidós, veintitrés... ¿Cuántos obtuviste? ¿No estás perdido? ¿Es difícil contar con el dedo? ¡Eso es todo! Tomemos un ejemplo de los matemáticos. Son perezosos, por eso se dieron cuenta de que para calcular el volumen de la piscina es necesario multiplicar su largo, ancho y alto entre sí. En nuestro caso, el volumen de la piscina será igual a cubos... Más fácil, ¿no?

Ahora imagina lo perezosos y astutos que serían los matemáticos si también simplificaran esto. Reducimos todo a una sola acción. Se dieron cuenta de que el largo, el ancho y el alto son iguales y que el mismo número se multiplica por sí mismo... ¿Qué significa esto? Esto significa que puedes aprovechar el título. Entonces, lo que antes contabas con el dedo, ellos lo hacen en una sola acción: tres al cubo es igual. Está escrito así: .

Todo lo que queda es recuerda la tabla de grados. A menos, por supuesto, que seas tan vago y astuto como los matemáticos. Si te gusta trabajar duro y cometer errores, puedes seguir contando con el dedo.

Bueno, para convencerte finalmente de que los títulos fueron inventados por personas astutas y que dejaron de fumar para resolver los problemas de su vida y no para crearte problemas, aquí tienes un par de ejemplos más de la vida.

Ejemplo de la vida real #4

Tienes un millón de rublos. Al principio de cada año, por cada millón que ganas, ganas otro millón. Es decir, cada millón tuyo se duplica al principio de cada año. ¿Cuánto dinero tendrás en años? Si ahora estás sentado y "cuentas con el dedo", entonces eres una persona muy trabajadora y... estúpida. Pero lo más probable es que des una respuesta en un par de segundos, ¡porque eres inteligente! Entonces, en el primer año - dos multiplicado por dos... en el segundo año - qué pasó, por dos más, en el tercer año... ¡Para! Notaste que el número se multiplica por sí mismo. ¡Así que dos elevado a la quinta potencia es un millón! Ahora imagina que tienes una competencia y el que sepa contar más rápido se llevará estos millones… Vale la pena recordar los poderes de los números, ¿no crees?

Ejemplo de la vida real #5

Tienes un millón. Al principio de cada año, por cada millón que ganas, ganas dos más. Genial ¿no? Cada millón se triplica. ¿Cuánto dinero tendrás en un año? Contemos. El primer año: multiplica por, luego el resultado por otro... Ya es aburrido, porque ya entendiste todo: tres se multiplica por sí mismo. Entonces elevado a la cuarta potencia es igual a un millón. Sólo hay que recordar que tres elevado a la cuarta potencia es o.

Ahora ya sabes que elevando un número a una potencia te harás la vida mucho más fácil. Echemos un vistazo más a fondo a lo que puede hacer con los títulos y lo que necesita saber sobre ellos.

Términos y conceptos... para no confundirse

Entonces, primero, definamos los conceptos. ¿Crees que que es un exponente? Es muy simple: es el número que está "en la parte superior" de la potencia del número. No es científico, pero es claro y fácil de recordar...

Bueno, al mismo tiempo, ¿qué tal base de grado? Aún más simple: este es el número que se encuentra debajo, en la base.

Aquí hay un dibujo por si acaso.

Bueno, en términos generales, para generalizar y recordar mejor... Un grado con base “ ” y exponente “ ” se lee “al grado” y se escribe de la siguiente manera:

Potencia de un número con exponente natural.

Probablemente ya lo habrás adivinado: porque el exponente es un número natural. si pero que es número natural? ¡Elemental! Los números naturales son aquellos números que se utilizan al contar cuando se enumeran objetos: uno, dos, tres... Cuando contamos objetos, no decimos: "menos cinco", "menos seis", "menos siete". Tampoco decimos: “un tercio”, ni “cero punto cinco”. Estos no son números naturales. ¿Qué números crees que son estos?

Números como “menos cinco”, “menos seis”, “menos siete” se refieren a números enteros. En general, los números enteros incluyen todos los números naturales, los números opuestos a los números naturales (es decir, tomados con un signo menos) y los números. El cero es fácil de entender: es cuando no hay nada. ¿Qué significan los números negativos (“menos”)? Pero se inventaron principalmente para indicar deudas: si tiene un saldo en su teléfono en rublos, significa que le debe rublos al operador.

Todas las fracciones son números racionales. ¿Cómo surgieron, crees? Muy sencillo. Hace varios miles de años, nuestros antepasados ​​descubrieron que carecían de números naturales para medir la longitud, el peso, el área, etc. Y se les ocurrió numeros racionales... Interesante, ¿no?

También hay números irracionales. ¿Cuáles son estos números? En resumen, es una fracción decimal infinita. Por ejemplo, si divides la circunferencia de un círculo por su diámetro, obtienes un número irracional.

Reanudar:

Definamos el concepto de grado cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).

1. Cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo:
2. Cuadrar un número significa multiplicarlo por sí mismo:
3. Convertir un número al cubo significa multiplicarlo por sí mismo tres veces:

Definición. Elevar un número a una potencia natural significa multiplicar el número por sí mismo por:
.

Propiedades de los grados

¿De dónde vinieron estas propiedades? Te lo mostraré ahora.

Veamos: ¿qué es? Y ?

Por definición:

¿Cuántos multiplicadores hay en total?

Es muy simple: sumamos multiplicadores a los factores y el resultado son multiplicadores.

Pero por definición, esta es una potencia de un número con exponente, es decir: , que es lo que había que demostrar.

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución:

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución: Es importante señalar que en nuestra regla Necesariamente¡Debe haber las mismas razones!
Por lo tanto, combinamos las potencias con la base, pero sigue siendo un factor separado:

¡sólo para el producto de potencias!

Bajo ninguna circunstancia puedes escribir eso.

2. eso es todo ésima potencia de un número

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición de grado:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

En esencia, a esto se le puede llamar “sacar el indicador de paréntesis”. Pero nunca podrás hacer esto en total:

Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviadas: ¿cuántas veces quisimos escribir?

Pero, después de todo, esto no es cierto.

Potencia con base negativa

Hasta este punto, sólo hemos discutido cuál debería ser el exponente.

Pero ¿cuál debería ser la base?

en poderes de indicador natural la base puede ser cualquier numero. De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares.

Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán grados de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número es positivo o negativo? ¿A? ? Con el primero todo está claro: por muchos números positivos que multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero las negativas son un poco más interesantes. Recordamos la regla simple del sexto grado: "menos por menos da un más". Eso es, o. Pero si multiplicamos por, funciona.

Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:

¿Lo lograste?

Aquí están las respuestas: En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo quede claro. Simplemente miramos la base y el exponente y aplicamos la regla adecuada.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: después de todo, no importa a qué base sea igual: el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo.

Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es igual ¿verdad? Obviamente no, desde (porque).

¡El ejemplo 6) ya no es tan sencillo!

6 ejemplos para practicar

Análisis de la solución 6 ejemplos.

Si ignoramos el octavo poder, ¿qué vemos aquí? Recordemos el programa de 7mo grado. Entonces, ¿te acuerdas? ¡Esta es la fórmula para la multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados! Obtenemos:

Miremos detenidamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? El orden de los términos es incorrecto. Si se invirtieran, la regla podría aplicarse.

¿Pero cómo hacer esto? Resulta que es muy fácil: el grado par del denominador nos ayuda aquí.

Mágicamente los términos cambiaron de lugar. Este “fenómeno” se aplica a cualquier expresión en grado uniforme: podemos cambiar fácilmente los signos entre paréntesis.

Pero es importante recordar: todos los signos cambian al mismo tiempo!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Entero Llamamos a los números naturales, a sus opuestos (es decir, tomados con el signo " ") y al número.

entero positivo, y no es diferente de lo natural, entonces todo se ve exactamente como en la sección anterior.

Ahora veamos nuevos casos. Comencemos con un indicador igual a.

Cualquier número elevado a cero es igual a uno.:

Como siempre, preguntémonos: ¿por qué es así?

Consideremos algún grado con base. Tomemos, por ejemplo, y multipliquemos por:

Entonces, multiplicamos el número por y obtuvimos lo mismo que era: . ¿Por qué número debes multiplicar para que nada cambie? Así es, adelante. Medio.

Podemos hacer lo mismo con un número arbitrario:

Repitamos la regla:

Cualquier número elevado a cero es igual a uno.

Pero hay excepciones a muchas reglas. Y aquí también está allí: este es un número (como base).

Por un lado, debe ser igual en cualquier grado; no importa cuánto multiplique cero por sí mismo, igual obtendrá cero, esto está claro. Pero por otro lado, como cualquier número elevado a cero, debe ser igual. Entonces, ¿cuánto de esto es cierto? Los matemáticos decidieron no involucrarse y se negaron a elevar el cero a la potencia cero. Es decir, ahora no solo podemos dividir por cero, sino también elevarlo a la potencia cero.

Sigamos adelante. Además de los números naturales y los números enteros, también se incluyen los números negativos. Para entender qué es una potencia negativa, hagamos como la última vez: multiplicar algún número normal por el mismo número a una potencia negativa:

Desde aquí es fácil expresar lo que buscas:

Ahora extendamos la regla resultante a un grado arbitrario:

Entonces, formulemos una regla:

Un número con potencia negativa es el recíproco del mismo número con potencia positiva. Pero al mismo tiempo La base no puede ser nula:(porque no se puede dividir por).

Resumamos:

I. La expresión no está definida en el caso. Si entonces.

II. Cualquier número elevado a cero es igual a uno: .

III. Un número distinto de cero elevado a una potencia negativa es el inverso del mismo número elevado a una potencia positiva: .

Tareas para solución independiente:

Bueno, como siempre, ejemplos de soluciones independientes:

Análisis de problemas para solución independiente:

Lo sé, lo sé, los números dan miedo, ¡pero en el Examen Estatal Unificado hay que estar preparado para cualquier cosa! Resuelve estos ejemplos o analiza sus soluciones si no pudiste resolverlos y aprenderás a afrontarlos fácilmente en el examen.

Sigamos ampliando el rango de números "adecuados" como exponente.

Ahora consideremos números racionales.¿Qué números se llaman racionales?

Respuesta: todo lo que se puede representar como una fracción, donde y son números enteros, y.

Para entender lo que es "grado fraccionario", considere la fracción:

Elevemos ambos lados de la ecuación a una potencia:

Ahora recordemos la regla sobre "grado a grado":

¿Qué número hay que elevar a una potencia para obtenerlo?

Esta formulación es la definición de la raíz del décimo grado.

Permítanme recordarles: la raíz de la enésima potencia de un número () es un número que, elevado a una potencia, es igual a.

Es decir, la raíz de la potencia ésima es la operación inversa de elevar a una potencia: .

Resulta que. Evidentemente, este caso especial puede ampliarse: .

Ahora sumamos el numerador: ¿qué es? La respuesta es fácil de obtener usando la regla de potencia a potencia:

¿Pero puede la base ser cualquier número? Después de todo, la raíz no se puede extraer de todos los números.

¡Ninguno!

Recordemos la regla: cualquier número elevado a una potencia par es un número positivo. Es decir, ¡es imposible extraer raíces pares de números negativos!

Esto significa que tales números no se pueden elevar a una potencia fraccionaria con un denominador par, es decir, la expresión no tiene sentido.

¿Qué pasa con la expresión?

Pero aquí surge un problema.

El número se puede representar en forma de otras fracciones reducibles, por ejemplo, o.

Y resulta que existe, pero no existe, pero son solo dos registros diferentes del mismo número.

U otro ejemplo: una vez, luego puedes escribirlo. Pero si anotamos el indicador de otra manera, nuevamente nos meteremos en problemas: (es decir, ¡obtuvimos un resultado completamente diferente!).

Para evitar tales paradojas, consideramos único exponente base positivo con exponente fraccionario.

Entonces si:

• — número natural;
• - número entero;

Ejemplos:

Los exponentes racionales son muy útiles para transformar expresiones con raíces, por ejemplo:

5 ejemplos para practicar

Análisis de 5 ejemplos para la formación

Bueno, ahora viene la parte más difícil. Ahora lo resolveremos grado con exponente irracional.

Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con exponente racional, con la excepción

Después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir, los números irracionales son todos números reales excepto los racionales).

Al estudiar grados con exponentes naturales, enteros y racionales, cada vez creamos una determinada “imagen”, “analogía” o descripción en términos más familiares.

Por ejemplo, un grado con exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces;

...número elevado a la potencia cero- este es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no han comenzado a multiplicarlo, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía - por lo tanto, el resultado es solo un cierto "número en blanco" , es decir, un número;

...grado entero negativo- es como si se hubiera producido algún “proceso inverso”, es decir, el número no se multiplicaba por sí mismo, sino que se dividía.

Por cierto, en ciencias se suele utilizar un grado con exponente complejo, es decir, el exponente ni siquiera es un número real.

Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades; tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

¡DONDE ESTAMOS SEGUROS QUE IRÁS! (si aprendes a resolver tales ejemplos :))

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

Análisis de soluciones:

1. Comencemos con la regla habitual para elevar una potencia a una potencia:

Ahora mira el indicador. ¿No te recuerda a nada? Recordemos la fórmula para la multiplicación abreviada de diferencia de cuadrados:

En este caso,

Resulta que:

Respuesta: .

2. Reducimos fracciones en exponentes a la misma forma: ambos decimales o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo:

Respuesta: 16

3. Nada especial, utilizamos las propiedades habituales de los grados:

NIVEL AVANZADO

Determinación del grado

Un título es una expresión de la forma: , donde:

• — base de grado;
• - exponente.

Titulación con indicador natural (n = 1, 2, 3,...)

Elevar un número a la potencia natural n significa multiplicar el número por sí mismo:

Grado con exponente entero (0, ±1, ±2,...)

Si el exponente es entero positivo número:

Construcción al grado cero:

La expresión es indefinida, porque, por un lado, en cualquier grado es esto, y por otro lado, cualquier número hasta el grado ésimo es esto.

Si el exponente es entero negativo número:

(porque no se puede dividir por).

Una vez más sobre los ceros: la expresión no está definida en el caso. Si entonces.

Ejemplos:

Potencia con exponente racional

• — número natural;
• - número entero;

Ejemplos:

Propiedades de los grados

Para que sea más fácil resolver los problemas, intentemos comprender: ¿de dónde vienen estas propiedades? Demostrémoslos.

Veamos: ¿qué es y?

Por definición:

Entonces, en el lado derecho de esta expresión obtenemos el siguiente producto:

Pero por definición es una potencia de un número con exponente, es decir:

Q.E.D.

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : .

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : Es importante señalar que en nuestra regla Necesariamente debe haber las mismas razones. Por lo tanto, combinamos las potencias con la base, pero sigue siendo un factor separado:

Otra nota importante: esta regla - solo para producto de potencias!

Bajo ninguna circunstancia puedes escribir eso.

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición de grado:

Reagrupemos este trabajo así:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

En esencia, a esto se le puede llamar “sacar el indicador de paréntesis”. Pero nunca podrás hacer esto en total: !

Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviadas: ¿cuántas veces quisimos escribir? Pero, después de todo, esto no es cierto.

Potencia con base negativa.

Hasta este punto sólo hemos discutido cómo debería ser indicador grados. Pero ¿cuál debería ser la base? en poderes de natural indicador la base puede ser cualquier numero .

De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares. Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán grados de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número es positivo o negativo? ¿A? ?

Con el primero todo está claro: por muchos números positivos que multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero las negativas son un poco más interesantes. Recordamos la regla simple del sexto grado: "menos por menos da un más". Eso es, o. Pero si multiplicamos por (), obtenemos - .

Y así hasta el infinito: con cada multiplicación posterior el signo cambiará. Se pueden formular las siguientes reglas simples:

1. incluso grado, - número positivo.
2. Número negativo elevado a extraño grado, - número negativo.
3. Un número positivo en cualquier grado es un número positivo.
4. Cero elevado a cualquier potencia es igual a cero.

Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:

¿Lo lograste? Aquí están las respuestas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo quede claro. Simplemente miramos la base y el exponente y aplicamos la regla adecuada.

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: después de todo, no importa a qué base sea igual: el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo. Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es igual ¿verdad? Obviamente no, desde (porque).

El ejemplo 6) ya no es tan sencillo. Aquí necesitas saber cuál es menos: ¿o? Si recordamos eso, queda claro que lo que significa que la base es menor que cero. Es decir, aplicamos la regla 2: el resultado será negativo.

Y nuevamente usamos la definición de grado:

Todo es como de costumbre: anotamos la definición de grados y los dividimos entre sí, los dividimos en pares y obtenemos:

Antes de ver la última regla, resolvamos algunos ejemplos.

Calcula las expresiones:

Soluciones :

Si ignoramos el octavo poder, ¿qué vemos aquí? Recordemos el programa de 7mo grado. Entonces, ¿te acuerdas? ¡Esta es la fórmula para la multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados!

Obtenemos:

Miremos detenidamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? El orden de los términos es incorrecto. Si se revocaran, se podría aplicar la Regla 3, pero ¿cómo? Resulta que es muy fácil: el grado par del denominador nos ayuda aquí.

Si lo multiplicas por, nada cambia, ¿verdad? Pero ahora resulta así:

Mágicamente los términos cambiaron de lugar. Este “fenómeno” se aplica a cualquier expresión en grado uniforme: podemos cambiar fácilmente los signos entre paréntesis. Pero es importante recordar: ¡Todos los signos cambian al mismo tiempo!¡No puedes reemplazarlo cambiando solo una desventaja que no nos gusta!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Ahora la última regla:

¿Cómo lo demostraremos? Eso sí, como siempre: ampliemos el concepto de titulación y lo simplifiquemos:

Bueno, ahora abramos los corchetes. ¿Cuántas letras hay en total? veces por multiplicadores: ¿a qué te recuerda esto? Esto no es más que una definición de la operación. multiplicación: Allí solo había multiplicadores. Es decir, esto, por definición, es una potencia de un número con exponente:

Ejemplo:

Grado con exponente irracional

Además de la información sobre grados para el nivel medio, analizaremos el grado con exponente irracional. Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con un exponente racional, con la excepción: después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir , los números irracionales son todos números reales excepto los números racionales).

Al estudiar grados con exponentes naturales, enteros y racionales, cada vez creamos una determinada “imagen”, “analogía” o descripción en términos más familiares. Por ejemplo, un grado con exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces; un número elevado a cero es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no han comenzado a multiplicarlo, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía; por lo tanto, el resultado es solo un cierto “número en blanco”, es decir, un número; un grado con un exponente entero negativo: es como si hubiera ocurrido algún "proceso inverso", es decir, el número no se multiplicó por sí mismo, sino que se dividió.

Es extremadamente difícil imaginar un grado con un exponente irracional (al igual que es difícil imaginar un espacio de 4 dimensiones). Es más bien un objeto puramente matemático que los matemáticos crearon para extender el concepto de grado a todo el espacio de los números.

Por cierto, en ciencias se suele utilizar un grado con exponente complejo, es decir, el exponente ni siquiera es un número real. Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades; tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

Entonces, ¿qué hacemos si vemos un exponente irracional? ¡Estamos haciendo todo lo posible para deshacernos de él!

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

Respuestas:

1. Recordemos la fórmula de diferencia de cuadrados. Respuesta: .
2. Reducimos las fracciones a la misma forma: ambos decimales o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo: .
3. Nada especial, utilizamos las propiedades habituales de los grados:

RESUMEN DE LA SECCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Grado llamada expresión de la forma: , donde:

Grado con exponente entero

un grado cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).

Potencia con exponente racional

grado, cuyo exponente son números negativos y fraccionarios.

Grado con exponente irracional

un grado cuyo exponente es una fracción o raíz decimal infinita.

Propiedades de los grados

Características de los grados.

• Número negativo elevado a incluso grado, - número positivo.
• Número negativo elevado a extraño grado, - número negativo.
• Un número positivo en cualquier grado es un número positivo.
• Cero es igual a cualquier potencia.
• Cualquier número elevado a la potencia cero es igual.

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Continuando con la conversación sobre la potencia de un número, es lógico descubrir cómo encontrar el valor de la potencia. Este proceso se llama exponenciación. En este artículo estudiaremos cómo se realiza la exponenciación, mientras tocaremos todos los exponentes posibles: natural, entero, racional e irracional. Y según la tradición, consideraremos en detalle soluciones a ejemplos de elevación de números a varias potencias.

Navegación de páginas.

¿Qué significa "exponenciación"?

Empecemos explicando qué se llama exponenciación. Aquí está la definición relevante.

Definición.

exponenciación- esto es encontrar el valor de la potencia de un número.

Por lo tanto, encontrar el valor de la potencia de un número a con exponente r y elevar el número a a la potencia r son lo mismo. Por ejemplo, si la tarea es "calcular el valor de la potencia (0,5) 5", entonces se puede reformular de la siguiente manera: "Eleva el número 0,5 a la potencia 5".

Ahora puedes ir directamente a las reglas mediante las cuales se realiza la exponenciación.

Elevar un número a una potencia natural.

En la práctica, la igualdad basada en se suele aplicar en la forma . Es decir, al elevar un número a a una potencia fraccionaria m/n, primero se toma la raíz enésima del número a, después de lo cual el resultado resultante se eleva a una potencia entera m.

Veamos soluciones a ejemplos de elevación a una potencia fraccionaria.

Ejemplo.

Calcula el valor del grado.

Solución.

Mostraremos dos soluciones.

Primera manera. Por definición de grado con exponente fraccionario. Calculamos el valor del grado bajo el signo de la raíz y luego extraemos la raíz cúbica: .

Segunda vía. Según la definición de grado con exponente fraccionario y basándose en las propiedades de las raíces, se cumplen las siguientes igualdades: . Ahora extraemos la raíz. , finalmente lo elevamos a una potencia entera .

Evidentemente, los resultados obtenidos al elevar a una potencia fraccionaria coinciden.

Respuesta:

Tenga en cuenta que un exponente fraccionario se puede escribir como una fracción decimal o un número mixto, en estos casos se debe reemplazar con la fracción ordinaria correspondiente y luego elevarlo a una potencia.

Ejemplo.

Calcula (44,89) 2,5.

Solución.

Escribamos el exponente en forma de fracción ordinaria (si es necesario, consulte el artículo): . Ahora realizamos la elevación a una potencia fraccionaria:

Respuesta:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

También hay que decir que elevar números a potencias racionales es un proceso bastante laborioso (especialmente cuando el numerador y el denominador del exponente fraccionario contienen números suficientemente grandes), que generalmente se lleva a cabo utilizando tecnología informática.

Para concluir este punto, nos centraremos en elevar el número cero a una potencia fraccionaria. Le dimos el siguiente significado a la potencia fraccionaria de cero de la forma: cuando tenemos , y en cero elevado a la potencia m/n no está definido. Entonces, cero elevado a una potencia fraccionaria positiva es cero, por ejemplo, . Y cero en una potencia fraccionaria negativa no tiene sentido, por ejemplo, las expresiones 0 -4,3 no tienen sentido.

Elevando a un poder irracional

A veces se hace necesario averiguar el valor de la potencia de un número con exponente irracional. En este caso, a efectos prácticos suele ser suficiente obtener el valor del grado con precisión hasta un determinado signo. Observemos de inmediato que en la práctica este valor se calcula utilizando computadoras electrónicas, ya que elevarlo manualmente a una potencia irracional requiere una gran cantidad de cálculos engorrosos. Pero aún describiremos en términos generales la esencia de las acciones.

Para obtener un valor aproximado de la potencia de un número a con exponente irracional, se toma alguna aproximación decimal del exponente y se calcula el valor de la potencia. Este valor es un valor aproximado de la potencia del número a con un exponente irracional. Cuanto más precisa sea la aproximación decimal de un número inicialmente, más preciso será el valor del grado al final.

Como ejemplo, calculemos el valor aproximado de la potencia de 2 1.174367... . Tomemos la siguiente aproximación decimal del exponente irracional: . Ahora elevamos 2 a la potencia racional 1,17 (describimos la esencia de este proceso en el párrafo anterior), obtenemos 2 1,17 ≈2,250116. De este modo, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Si tomamos una aproximación decimal más precisa del exponente irracional, por ejemplo, obtenemos un valor más preciso del exponente original: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Referencias.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Libro de texto de matemáticas para 5to grado. instituciones educativas.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para 7º grado. instituciones educativas.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para octavo grado. instituciones educativas.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para noveno grado. instituciones educativas.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).

Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.

Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.

Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:

En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero llamar la atención especialmente es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.

miércoles, 4 de julio de 2018

Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.

Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.

Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.

No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.

Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.

En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...

Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.

Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cuál es correcto? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.

Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".

domingo, 18 de marzo de 2018

La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.

¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.

Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número determinado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.

1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.

2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.

3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.

4. Suma los números resultantes. Ahora esto son matemáticas.

La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” de chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.

Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con el gran número 12345, no quiero engañarme, consideremos el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.

Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.

El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.

El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a diferentes resultados después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.

¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?

Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.

Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,

Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:

Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grado). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sabe física. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.

1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.

Cuando el numero se multiplica sobre ti mismo, trabajar llamado grado.

Entonces 2.2 = 4, cuadrado o segunda potencia de 2
2.2.2 = 8, cubo o tercera potencia.
2.2.2.2 = 16, cuarto grado.

Además, 10,10 = 100, la segunda potencia de 10.
10.10.10 = 1000, tercera potencia.
10.10.10.10 = 10000 cuarta potencia.

Y a.a = aa, segunda potencia de a
a.a.a = aaa, tercera potencia de a
a.a.a.a = aaaa, cuarta potencia de a

El número original se llama. raíz poderes de este número porque es el número a partir del cual se crearon los poderes.

Sin embargo, no es del todo conveniente, sobre todo en el caso de potencias altas, anotar todos los factores que componen las potencias. Por tanto, se utiliza un método de notación abreviada. La raíz del grado se escribe solo una vez, y a la derecha y un poco más arriba cerca de ella, pero en una fuente un poco más pequeña, se escribe cuántas veces. la raíz actúa como factor. Este número o letra se llama exponente o grado números. Entonces, a 2 es igual a a.a o aa, porque la raíz a debe multiplicarse por sí misma dos veces para obtener la potencia aa. Además un 3 significa aaa, es decir, aquí se repite a tres veces como multiplicador.

El exponente de primer grado es 1, pero no suele escribirse. Entonces, un 1 se escribe como a.

No debes confundir grados con coeficientes. El coeficiente muestra con qué frecuencia se toma el valor como Parte el conjunto. La potencia muestra con qué frecuencia se toma una cantidad como factor en el trabajo.
Entonces, 4a = a + a + a + a. Pero un 4 = a.a.a.a

El esquema de notación de potencia tiene la peculiar ventaja de permitirnos expresar desconocido grado. Para ello se escribe el exponente en lugar de un número. carta. En el proceso de resolución de un problema, podemos obtener una cantidad que sabemos que es alguno grado de otra magnitud. Pero hasta el momento no sabemos si se trata de un cuadrado, un cubo u otro grado superior. Entonces, en la expresión a x, el exponente significa que esta expresión tiene alguno grado, aunque indefinido que grado. Entonces, b m y d n se elevan a las potencias de my n. Cuando se encuentra el exponente, número se sustituye en lugar de una letra. Entonces, si m=3, entonces b m = b 3 ; pero si m = 5, entonces b m =b 5.

El método de escribir valores usando potencias también es una gran ventaja cuando se usa expresiones. Así, (a + b + d) 3 es (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), es decir, el cubo del trinomio (a + b + d) . Pero si escribimos esta expresión después de elevarla a un cubo, se verá así
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Si tomamos una serie de potencias cuyos exponentes aumentan o disminuyen en 1, encontramos que el producto aumenta en multiplicador común o disminuye en divisor común, y este factor o divisor es el número original que se eleva a una potencia.

Entonces, en la serie aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
o un 5, un 4, un 3, un 2, un 1;
los indicadores, si se cuentan de derecha a izquierda, son 1, 2, 3, 4, 5; y la diferencia entre sus valores es 1. Si empezamos bien multiplicar por a, obtendremos con éxito múltiples valores.

Entonces a.a = a 2 , segundo término. Y un 3 .a = un 4
a 2 .a = a 3 , tercer término. a 4 .a = a 5 .

si empezamos izquierda dividir a un,
obtenemos a 5:a = a 4 y a 3:a = a 2 .
un 4: un = un 3 un 2: un = un 1

Pero este proceso de división puede continuar y obtener un nuevo conjunto de valores.

Entonces, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

La fila completa sería: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

O un 5, un 4, un 3, un 2, un, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Aquí están los valores. bien de uno hay contrarrestar valores a la izquierda de uno. Por lo tanto estos grados pueden llamarse potencias inversas a. También podemos decir que las potencias de la izquierda son las inversas de las potencias de la derecha.

Entonces, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Y 1:(1/a 3) = a 3.

El mismo plan de grabación se puede aplicar a polinomios. Entonces, para a + b, obtenemos el conjunto,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Por conveniencia, se utiliza otra forma de escribir poderes recíprocos.

Según esta forma, 1/a o 1/a 1 = a -1. Y 1/aaa o 1/a 3 = a -3.
1/aa o 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa o 1/a 4 = a -4 .

Y para hacer una serie completa con 1 como diferencia total con exponentes, se considera a/a o 1 como algo que no tiene grado y se escribe como un 0.

Luego, teniendo en cuenta las potencias directa e inversa
en lugar de aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
puedes escribir un 4, un 3, un 2, un 1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
O un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.

Y una serie de títulos individuales se verá así:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

La raíz de un grado puede expresarse con más de una letra.

Así, aa.aa o (aa)2 es la segunda potencia de aa.
Y aa.aa.aa o (aa)3 es la tercera potencia de aa.

Todas las potencias del número 1 son iguales: 1.1 o 1.1.1. será igual a 1.

La exponenciación consiste en encontrar el valor de cualquier número multiplicándolo por sí mismo. Regla de exponenciación:

Multiplica la cantidad por sí misma tantas veces como indica la potencia del número.

Esta regla es común a todos los ejemplos que puedan surgir durante el proceso de exponenciación. Pero es correcto dar una explicación de cómo se aplica a casos particulares.

Si sólo se eleva un término a una potencia, entonces se multiplica por sí mismo tantas veces como indique el exponente.

La cuarta potencia de a es un 4 o aaaa. (Artículo 195.)
La sexta potencia de y es y 6 o yyyyyy.
La enésima potencia de x es x n o xxx..... n veces repetidas.

Si es necesario elevar a una potencia una expresión de varios términos, se aplicará el principio de que la potencia del producto de varios factores es igual al producto de estos factores elevado a una potencia.

Entonces (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Pero ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Entonces, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Por lo tanto, para encontrar la potencia de un producto, podemos operar con el producto completo a la vez o podemos operar con cada factor por separado y luego multiplicar sus valores por las potencias.

Ejemplo 1. La cuarta potencia de dhy es (dhy) 4, o d 4 h 4 y 4.

Ejemplo 2. La tercera potencia es 4b, hay (4b) 3, o 4 3 b 3, o 64b 3.

Ejemplo 3. La enésima potencia de 6ad es (6ad) no 6 n a n d n.

Ejemplo 4. La tercera potencia de 3m.2y es (3m.2y) 3, o 27m 3 .8y 3.

El grado de un binomio, formado por términos conectados por + y -, se calcula multiplicando sus términos. Sí,

(a + b) 1 = a + b, primer grado.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, segunda potencia (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, tercera potencia.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, cuarta potencia.

El cuadrado de a - b es a 2 - 2ab + b 2.