Pirámide inscrita en un cono
Se dice que una pirámide está inscrita en un cono si su base está inscrita en la base del cono y su vértice coincide con el vértice del cono. En este caso se dice que el cono está circunscrito a la pirámide.
Un cono se puede describir alrededor de una pirámide si y sólo si se puede describir un círculo alrededor de su base.
En el modo diapositiva, las respuestas y soluciones aparecen después de hacer clic con el mouse.
Ejercicio 1
Encuentre el lado de la base de una pirámide triangular regular inscrita en un cono cuyo radio de base es 1.
Ejercicio 2
Encuentre el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular inscrita en un cono cuyo radio de base es 1.
Ejercicio 3
Encuentre el lado de la base de una pirámide hexagonal regular inscrita en un cono cuyo radio de base es 1.
Pirámide circunscrita alrededor de un cono.
Se dice que una pirámide está circunscrita a un cono si su base está circunscrita a la base del cono y su vértice coincide con el vértice del cono. En este caso se dice que el cono está inscrito en la pirámide.
Un cono puede inscribirse en una pirámide si y sólo si en su base se puede inscribir un círculo.
Ejercicio 1
Encuentre el lado de la base de una pirámide triangular regular circunscrita a un cono cuyo radio de base es 1.
Ejercicio 2
Encuentre el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular circunscrita a un cono cuyo radio de base es 1.
Ejercicio 3
Encuentre el lado de la base de una pirámide hexagonal regular circunscrita a un cono cuyo radio de base es 1.
Esfera inscrita en un cono.
Se dice que una esfera está inscrita en un cono si toca su base y superficie lateral (toca cada generatriz). En este caso se dice que el cono está circunscrito a la esfera.
Una esfera se puede inscribir en cualquier cono (recto, circular). Su centro está a la altura del cono y su radio es igual al radio del círculo inscrito en el triángulo, que es la sección axial del cono.
Recuerde que el radio r La circunferencia inscrita en un triángulo se encuentra mediante la fórmula.
Dónde S- cuadrado, pag– semiperímetro de un triángulo.
Ejercicio 1
Una esfera está inscrita en un cono cuyo radio base es 1 y cuya generatriz es 2. Encuentra su radio.
Solución. Triángulo S.A.B. equilátero. Altura SH igual al área S igual a semiperímetro pag es igual a 3. Según la fórmula r = S/p obtenemos
Ejercicio 2
Una esfera de radio 1 está inscrita en un cono cuyo radio base es 2. Calcula la altura del cono.
Solución. denotemos h altura SH cono De la fórmula r = S/p tenemos:
Dónde r= 1, a=FG= 4, pag =
Resolviendo la ecuación
Ejercicio 3
El radio de la base del cono es 1. La generatriz está inclinada con respecto al plano de la base en un ángulo de 45 grados. Encuentra el radio de la esfera inscrita.
Solución. Altura SH cono es igual a 1. Generador.
semiperímetro pag es igual
Según la fórmula r = S/p, tenemos
Ejercicio 4
La altura del cono es 8, formando 10. Encuentra el radio de la esfera inscrita.
Solución. El radio de la base del cono es 6. Área del triángulo SFG es igual a 48, semiperímetro 16. Según la fórmula r = S/p tenemos r= 3.
Respuesta: r= 3.
Ejercicio 5
¿Es posible encajar una esfera en un cono inclinado?
Respuesta: No.
Esfera inscrita en un cono truncado
Se dice que una esfera está inscrita en un cono truncado si toca su base y superficie lateral (toca cada generatriz). En este caso se dice que el cono truncado está circunscrito a la esfera.
Una esfera puede inscribirse en un cono truncado si en su sección axial se puede inscribir una circunferencia. El radio de este círculo será igual al radio de la esfera inscrita.
Ejercicio 1
Una esfera está inscrita en un cono truncado cuyos radios base son 2 y 1. Encuentra el radio de la esfera y la altura del cono truncado.
Solución. Tenemos: A 1 B=A 1 oh 1 = 2, A 2 B=A 2 oh 2 = 1. Por lo tanto, A 1 A 2 = 3 , A 1 C= 1.
De este modo,
Ejercicio 2
Una esfera de radio 1 está inscrita en un cono truncado cuyo radio de una base es 2. Encuentre el radio de la segunda base.
Solución. Dejar A 1 oh 1 = 2. Denotemos r=A 2 oh 2 . Tenemos: A 1 A 2 = 2+ r , A 1 C= 2 – r. Según el teorema de Pitágoras, existe una igualdad de la que se deduce que se cumple la igualdad Resolviendo la ecuación resultante para. r, encontramos
Ejercicio 3
En un cono truncado, el radio de la base más grande es 2, la generatriz está inclinada con respecto al plano de la base en un ángulo de 60 grados. Encuentra el radio de la esfera inscrita.
Solución. Tenga en cuenta que la sección axial del cono del que se obtiene el cono truncado es un triángulo equilátero de lado 2. Radio r de una esfera inscrita en un cono truncado es igual al radio de un círculo inscrito en este triángulo equilátero, es decir
Ejercicio 4
La generatriz del cono truncado es 2, el área de la sección axial es 3. Encuentra el radio de la esfera inscrita.
Solución. Usemos la fórmula r = S/p, Dónde S– área de sección axial, pag – semiperímetro En nuestro caso S= 3. Para encontrar el semiperímetro, recuerda que para un cuadrilátero circunscrito a un círculo, las sumas de los lados opuestos son iguales. Esto significa que el semiperímetro es igual al doble de la generatriz del cilindro, es decir pag = 4. Por lo tanto, r= ¾.
Ejercicio 5
¿Es posible encajar una esfera en un cono truncado inclinado?
Respuesta: No.
Esfera circunscrita a un cono.
Se dice que una esfera está circunscrita a un cono si el vértice y la circunferencia de la base del cono se encuentran sobre la esfera. En este caso se dice que el cono está inscrito en la esfera.
Alrededor de cualquier cono (recto, circular) se puede describir una esfera. Su centro está a la altura del cono y su radio es igual al radio del círculo descrito alrededor del triángulo, que es la sección axial del cono.
Recuerde que el radio R El círculo circunscrito de un triángulo se encuentra mediante la fórmula.
Dónde S- cuadrado, a , b , do- lados del triángulo.
Ejercicio 1
Una esfera está circunscrita alrededor de un cono cuyo radio base es 1 y generatriz es 2. Encuentra su radio.
Solución. Triángulo S.A.B. equilátero con lado 2. Altura SH igual al área S igual a Según la fórmula R = abc /4 S obtenemos
Ejercicio 2
Una esfera de radio 5 está circunscrita alrededor de un cono cuyo radio base es 4. Encuentre la altura h cono
Solución. Tenemos OB = 5 , HB = 4. Por lo tanto, OH = 3. Considerando que Entonces=OB= 5, obtenemos h = 8.
Respuesta: h = 8.
Ejercicio 3
El radio de la base del cono es 1. La generatriz está inclinada con respecto al plano de la base en un ángulo de 45 grados. Encuentra el radio de la esfera circunscrita.
Solución. Triángulo S.A.B.– rectangular, isósceles. Por lo tanto, el radio R de la esfera circunscrita es igual al radio de la base del cilindro, es decir R= 1.
Respuesta: R= 1.
Ejercicio 4
La altura del cono es 8, formando 10. Encuentra el radio de la esfera circunscrita.
Solución. en un triangulo S.A.B. tenemos: SA=SB= 10, SH= 8. Según el teorema de Pitágoras, Ah = 6 y por lo tanto S= 48. Usando la fórmula R = abc /4 S, obtenemos
Ejercicio 5
¿Es posible describir una esfera alrededor de un cono inclinado?
Respuesta: Sí.
Esfera circunscrita a un cono truncado.
Se dice que una esfera está circunscrita a un cono truncado si la circunferencia y las bases del cono truncado se encuentran sobre la esfera. En este caso, la carga truncada se llama escrita en la esfera.
Se puede describir una esfera alrededor de un cono truncado, si se puede describir un círculo alrededor de su sección axial. El radio de este círculo será igual al radio de la esfera circunscrita.
Ejercicio 1
Alrededor de un cono truncado se describe una esfera, cuyos radios son iguales a 2 y 1, y cuya generatriz es igual a 2. Encuentra su radio.
Solución. Tenga en cuenta que A 1 oh 1 B 2 oh 2 y oh 1 B 1 B 2 A 2 – rombos. Triángulos A 1 oh 1 A 2 , oh 1 A 2 B 2 , oh 1 B 1 B 2 – equilátero y, por tanto, A 1 B 1 – diámetro. Por eso, R= 2.
Respuesta: R= 2,
Ejercicio 2
El radio de la base menor del cono truncado es 1, la generatriz es 2 y forma un ángulo de 45° con el plano de la otra base. Encuentra el radio de la esfera circunscrita.
Solución. Tenemos A 2 oh 2 = 1, A 1 A 2 = 2, oh 1 oh 2 = , O.O. 1 = oh 1 C= 1. Por lo tanto, O.O. 2 = 1 + y, por tanto,
Ejercicio 3
El radio de una base del cono truncado es 4, la altura es 7, el radio de la esfera circunscrita es 5. Encuentra el radio de la segunda base del cono truncado.
Solución. Tenemos O.O. 1 = 3 , O.O. 2 = 4 y por lo tanto oh 2 A 2 = 3.
Ejercicio 4
Encuentre el radio de una esfera circunscrita a un cono truncado cuyos radios de base son 2 y 4 y cuya altura es 5.
Solución. denotemos R Radio de la esfera circunscrita. Entonces
considerando que oh 1 oh 2 = 6, tenemos igualdad
Resolviéndolo relativamente R, encontramos
Ejercicio 5
¿Es posible describir una esfera alrededor de un cono truncado inclinado?
Una pirámide inscrita en un cono Una pirámide se dice inscrita en un cono si su base está inscrita en la base del cono y su vértice coincide con el vértice del cono. En este caso se dice que el cono está circunscrito a la pirámide. Una pirámide inscrita en un cono Un cono se puede describir alrededor de una pirámide si y sólo si se puede describir un círculo alrededor de su base. Ejercicio 1 Encuentra el lado de la base de una pirámide triangular regular inscrita en un cono cuyo radio de base es igual a 1. Respuesta: 3. Ejercicio 2 Encuentra el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular inscrita en un cono cuyo diámetro de base es igual a 1. Respuesta: 2 2. Ejercicio 3 Encuentra el lado de la base de una pirámide hexagonal regular inscrita en un cono cuyo radio de base es 1. Respuesta: 1. Una pirámide circunscrita a un cono Se dice que una pirámide está circunscrita a un cono si su base está circunscrita a un cono base del cono y su vértice coincide con el vértice del cono. En este caso se dice que el cono está inscrito en la pirámide. Una pirámide circunscrita alrededor de un cono Un cono puede inscribirse en una pirámide si y sólo si se puede inscribir un círculo en su base. Ejercicio 1 Encuentra el lado de la base de una pirámide triangular regular circunscrita a un cono cuyo radio de base es igual a 1. Respuesta: 2 3. Ejercicio 2 Encuentra el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular circunscrita a un cono cuyo radio de base es 1. Respuesta: 2. Ejercicio 3 Encuentra el lado de la base de una pirámide hexagonal regular circunscrita a un cono cuyo radio de base es 1. Respuesta: 2 3 3. Una esfera inscrita en un cono Una esfera se dice inscrita en un cono si toca su base y superficie lateral (toca cada generatriz). En este caso se dice que el cono está circunscrito a la esfera. Una esfera inscrita en un cono Una esfera se dice inscrita en un cono si toca su base y superficie lateral (toca cada generatriz). En este caso se dice que el cono está circunscrito a la esfera. Una esfera se puede inscribir en cualquier cono (recto, circular). Su centro está a la altura del cono y su radio es igual al radio del círculo inscrito en el triángulo, que es la sección axial del cono. Recuerde que el radio r de un círculo inscrito en un triángulo se encuentra S mediante la fórmula r, p donde S es el área, p es el semiperímetro del triángulo. Ejercicio 1 Una esfera está inscrita en un cono cuyo radio base es 1 y su generatriz es 2. Encuentra su radio. Solución. El triángulo SAB es equilátero. La altura de SH es 3. El área S es igual a El semiperímetro p es igual a 3. Usando la fórmula r = S/p obtenemos r 3 3 . 3. Ejercicio 2 Una esfera de radio 1 está inscrita en un cono cuyo radio base es 2. Calcula la altura del cono. Solución. Sea h la altura SH del cono. De la fórmula r = S/p tenemos: 2 rp h, a donde r = 1, a = FG = 4, p = 2 Resolviendo la ecuación encontramos h 8 3 2h 2. 4h. 2 4 h, 2 Ejercicio 3 El radio de la base del cono es igual a 1. La generatriz está inclinada respecto al plano de la base en un ángulo de 45°. Encuentra el radio de la esfera inscrita. Solución. La altura SH del cono es igual a 1. Generador.2 El semiperímetro p es igual a 1 Por la fórmula r = S/p, tenemos r 1 1 Respuesta: r 2 1. 2 2 1. 2. Ejercicio 4 La altura del cono es 8, generando 10. Encuentra el radio de las esferas inscritas. Solución. El radio de la base del cono es 6. El área del triángulo SFG es 48, el semiperímetro es 16. Usando la fórmula r = S/p, tenemos r = 3. Respuesta: r = 3. Ejercicio 5 ¿Es posible inscribir una esfera en un cono inclinado? Respuesta: No. Una esfera inscrita en un cono truncado Se dice que una esfera está inscrita en un cono truncado si toca sus bases y superficie lateral (toca cada generatriz). En este caso se dice que el cono truncado está circunscrito a la esfera. Una esfera puede inscribirse en un cono truncado si en su sección axial se puede inscribir una circunferencia. El radio de este círculo será igual al radio de la esfera inscrita. Ejercicio 1 Una esfera está inscrita en un cono truncado cuyos radios base son 2 y 1. Encuentra el radio de la esfera y la altura del cono truncado. Solución. Tenemos: A1B = A1O1= 2, A2B = A2O2= 1. Por lo tanto, A1A2 = 3, A1C = 1. O 1O 2 A 2 C A1 A 2 A1 C 2 Por lo tanto, r 2, h 2 2. 2 2 2. Ejercicio 2 Una esfera de radio 1 está inscrita en un cono truncado, siendo el radio de una de sus bases 2. Calcula el radio de la segunda base. Solución. Sea A1O1= 2. Denotemos r = A2O2. Tenemos: A1A2 = 2+r, A1C = 2 – r. Según el teorema de Pitágoras, se cumple la igualdad O 1 O 2 2 A1 A 2 2 A1 C 2, de lo que se deduce que se cumple 2 2 4 (r 2) (2 r). Resolviendo la igualdad de la ecuación resultante para r, encontramos 1 r. 2 Ejercicio 3 En un cono truncado, el radio de la base mayor es 2, la generatriz está inclinada respecto al plano de la base en un ángulo de 60°. Encuentra el radio de la esfera inscrita. Solución. Tenga en cuenta que la sección axial del cono del que se obtiene el cono truncado es un triángulo equilátero de lado 2. El radio r de la esfera inscrita en el cono truncado es igual al radio del círculo inscrito en este triángulo equilátero, es decir 3r. 3 Ejercicio 4 La generatriz del cono truncado es 2, el área de la sección axial es 3. Encuentra el radio de la esfera inscrita. Solución. Usemos la fórmula r = S/p, donde S es el área de la sección transversal axial, p es el semiperímetro. En nuestro caso, S = 3. Para encontrar el semiperímetro, recordemos que para un cuadrilátero circunscrito a un círculo, las sumas de los lados opuestos son iguales. Esto significa que el semiperímetro es igual al doble de la generatriz del cilindro, es decir p = 4. Por lo tanto, r = ¾. Respuesta: r 3 4 . Ejercicio 5 ¿Es posible encajar una esfera en un cono oblicuo truncado? Respuesta: No. Una esfera circunscrita a un cono Se dice que una esfera está circunscrita a un cono si el vértice y la circunferencia de la base del cono se encuentran sobre la esfera. En este caso se dice que el cono está inscrito en la esfera. Una esfera circunscrita alrededor de un cono Una esfera se puede describir alrededor de cualquier cono (recto, circular). Su centro está a la altura del cono y su radio es igual al radio del círculo descrito alrededor del triángulo, que es la sección axial del cono. Recuerde que el radio R de un círculo circunscrito alrededor de un triángulo se encuentra mediante la fórmula R a b c , 4S donde S es el área, a, b, c son los lados del triángulo. Ejercicio 1 Se describe una esfera alrededor de un cono cuyo radio base es 1 y generatriz es 2. Encuentra su radio. Solución. El triángulo SAB es equilátero con lado 2. La altitud SH es 3. El área de S es 3. Usando la fórmula R = abc/4S obtenemos R 2 3 3 . Ejercicio 2 Una esfera de radio 5 está circunscrita alrededor de un cono cuyo radio base es 4. Calcula la altura h del cono. Solución. Tenemos, OB = 5, HB = 4. Por lo tanto, OH = 3. Considerando que SO = OB = 5, obtenemos h = 8. Respuesta: h = 8. Ejercicio 3 El radio de la base del cono es igual a 1. La generatriz está inclinada con respecto al plano de la base bajo un ángulo de 45o. Encuentra el radio de la esfera circunscrita. Solución. El triángulo SAB es un triángulo rectangular isósceles. En consecuencia, el radio R de la esfera circunscrita es igual al radio de la base del cilindro, es decir R = 1. Respuesta: R = 1. Ejercicio 4 La altura del cono es 8, formando 10. Calcula el radio de la esfera circunscrita. Solución. En el triángulo SAB tenemos: SA = SB = 10, SH = 8. Por el teorema de Pitágoras, AH = 6 y por tanto S = 48. Usando la fórmula R = abc/4S, obtenemos R 25 6. Ejercicio 5 ¿Es posible describir una esfera alrededor de un cono inclinado? Respuesta: Sí. Una esfera circunscrita a un cono truncado Se dice que una esfera está circunscrita a un cono truncado si los círculos de las bases del cono truncado se encuentran sobre la esfera. En este caso se dice que el cono truncado está inscrito en una esfera. Se puede describir una esfera alrededor de un cono truncado, si se puede describir un círculo alrededor de su sección axial. El radio de este círculo será igual al radio de la esfera circunscrita. Ejercicio 1 Alrededor de un cono truncado se describe una esfera cuyos radios son iguales a 2 y 1, y la generatriz es igual a 2. Encuentra su radio. Solución. Tenga en cuenta que A1O1B2O2 y O1B1B2A2 son rombos. Los triángulos A1O1A2, O1A2B2, O1B1B2 son equiláteros y, por tanto, A1B1 es el diámetro. Por lo tanto, R =2. Respuesta: R = 2, Ejercicio 2 El radio de la base menor del cono truncado es 1, la generatriz es 2 y forma un ángulo de 45° con el plano de la otra base. Encuentra el radio de la esfera circunscrita. Solución. Tenemos A2O2 = 1, A1A2 = 2, O1O2 = 2, OO1 = O1C = 1. Por tanto, OO2 = 1 + 2 y, por tanto, R AO2 4 2 2. Ejercicio 3 El radio de una base de un cono truncado es 4 , la altura es 7, el radio circunscrito a la esfera 5. Calcula el radio de la segunda base del cono truncado. Solución. Tenemos OO1 = 3, OO2 = 4 y por tanto O2A2 = 3. Respuesta: 3. Ejercicio 4 Calcula el radio de una esfera circunscrita a un cono truncado cuyos radios de base son 2 y 4 y cuya altura es 5. Solución. Sea R el radio de la esfera circunscrita. Entonces O O1 R 2 4 , OO2 R 2 1. Teniendo en cuenta que O1O2 = 6, tenemos la igualdad 5 R 2 4 R 2 1. Resolviendo para R, encontramos R 221 5. Ejercicio 5 ¿Es posible describir una esfera alrededor de un cono truncado inclinado? Respuesta: No.
Esfera y bola Una esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio que se encuentran a una distancia determinada de un punto determinado. El punto O se llama centro de la esfera. Cualquier segmento que conecte el centro de la esfera con cualquier punto de la esfera se llama radio de la esfera (R). La recta AB se llama eje, y los puntos A y B de su intersección con la esfera son los polos de. la esfera. Una cuerda de una esfera es un segmento que conecta dos puntos de una esfera (KN). El diámetro de una esfera es una cuerda que pasa por su centro (AB) R N K.
Bola Una bola con centro en el punto O y radio R es el conjunto de todos los puntos del espacio situados desde el punto O a una distancia no superior a R. Una bola es un cuerpo delimitado por una esfera. Una bola se forma haciendo girar un semicírculo alrededor de su diámetro fijo (AB). Este diámetro se llama eje de la bola, y ambos extremos del diámetro especificado son los polos de la bola. La superficie de una pelota se llama esfera. RAB
La parte de una bola (esfera) separada de ella por algún plano (ABC) se llama segmento esférico. El círculo ABC se llama base del segmento esférico. El segmento perpendicular MN trazado desde el centro N del círculo ABC hasta la intersección con la superficie esférica se llama altura del segmento esférico. El punto M se llama vértice del segmento esférico. Fórmula del segmento de bola: V=1/3P 2 H(3R-H)
Capa esférica La parte de la esfera encerrada entre dos planos paralelos ABC y DEF que se cruzan con la superficie esférica se llama capa esférica. La superficie curva de la capa esférica se llama cinturón esférico. Los círculos ABC y DEF son las bases del cinturón esférico. La distancia NK entre las bases del cinturón esférico es su altura.
Una esfera inscrita en un cono Se dice que una esfera está inscrita en un cono si toca a todos los constituyentes del cono y a su base. Puedes encajar una esfera en cualquier cono. El centro de la esfera se encuentra en el eje del cono y es el centro de un círculo inscrito en la sección axial del cono. Fórmulas para el radio de una bola inscrita en un cono: R - radio de la bola inscrita, r - radio de la base del cono, l - longitud de la generatriz del cono, H - altura del cono, A - ángulo de inclinación de la generatriz del cono a su base. l H l r Fórmulas: R=rtgA/2 R=Hr/(l+r) L r R R O1 A A/2
Problema 1 Problema 1. Una bola de radio r está inscrita en un cono. Encuentra el volumen del cono si su altura es h. Solución: La sección axial de esta combinación de bola y cono es un triángulo isósceles PAB, circunscrito alrededor de un círculo con centro O y radio R, PC = h – altura del cono, OD PB. Volumen del cono Desde entonces o de dónde Por tanto, respuesta:
Problema 2 Un cono de altura N está inscrito en una bola de radio R. Encuentre el ángulo entre la generatriz del cono y el plano de la base. Considere la sección diametral de la pelota, como se muestra en la Figura b). Como sabes, el ángulo entre una recta y un plano es el ángulo entre esta recta y su proyección sobre este plano. En nuestro caso, AB es una línea recta y AP es una proyección. OR = BP-OV = H-R (donde H es la altura del cono, R es el radio de la esfera) Del triángulo rectángulo OAR, determinamos el cateto AR usando el teorema de Pitágoras: R H Respuesta: O
Konas Konas es un cuerpo que se obtiene combinando todos los rayos que emanan de un punto (el vértice de las konas) y atraviesan una superficie plana. A veces, una konas es parte de dicho cuerpo, que se obtiene combinando todos los segmentos que conectan el vértice y los puntos de una superficie plana (esta última en este caso se llama base de la konas, y la konas se llama apoyada sobre esta base). Si la base de las konas es un polígono, las konas se convierten en una pirámide. Un cuerpo geométrico creado al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
Elementos y partes de una konas El vértice es un punto en un ángulo agudo fijo de un triángulo rectángulo giratorio que forma una konas. La base es un círculo que limita el cono, descrito por el cateto móvil del triángulo que se forma. La altura de un segmento perpendicular a la base, que pasa por el vértice, el cateto fijo del triángulo que se forma, así como la longitud de este segmento. Formando un segmento que conecta el vértice y un punto del círculo que limita la base, la hipotenusa del triángulo circunscrito. La superficie lateral es una superficie cónica que limita el cono, formada por la hipotenusa del triángulo generador. o p SUPERFICIE LATERAL QUE FORMA LA BASE DEL CONO RADIO ÁPICE EJE
Cono truncado Un cono truncado es un cuerpo de revolución formado por la rotación de un trapezoide rectangular cerca del lado perpendicular a las bases. Los círculos O y O1 son sus bases, sus constituyentes AA1 son iguales entre sí, la recta OO1 es el eje, el segmento OO1 es la altura. Su sección axial es un trapezoide isósceles.
Definiciones relacionadas Un segmento que cae perpendicularmente desde la parte superior hasta el plano de la base (así como la longitud de dicho segmento) se llama altura del cono. La línea recta que conecta la parte superior y el centro de la base se llama eje del cono. Konas circulares una konas cuya base es un círculo. Un cono que descansa sobre una elipse, parábola o hipérbola se llama cono elíptico, parabólico e hiperbólico, respectivamente (los dos últimos tienen volumen infinito). La parte del cono que se encuentra entre la base y un plano paralelo a la base y situada entre la parte superior y la base se llama cono truncado.
Un cono inscrito en un círculo. Una bola se llama circunscrita alrededor de un poliedro, y un poliedro inscrito en una bola si la superficie de la bola pasa por todos los vértices del poliedro. Una pelota se llama circunscrita a un cono truncado (cono) si los círculos de las bases (círculo base y vértice) pertenecen a la superficie de la pelota. El centro de una bola circunscrita a un poliedro se encuentra en el punto de intersección de los planos perpendiculares a todas las aristas del poliedro y que pasan por sus puntos medios. Puede ubicarse dentro, en la superficie o fuera del poliedro. Un cono está inscrito en una esfera (una esfera se describe alrededor de un cono) si su vértice pertenece a la esfera y su base es una sección de una esfera (AOC) delimitada por una esfera determinada. Una esfera siempre se puede describir alrededor de un cono. . Su centro se encuentra en el eje del cono y coincide con el centro del círculo descrito alrededor del triángulo, que es la sección axial del cono. A B AC O Fórmulas: R 2 =(H-R) 2 +r 2 R-radio de la bola r-radio de la base del cono H-altura del cono
Definición. La esfera se llama inscrito en un cilindro, cono, cono truncado, si cada generatriz de un cilindro, cono, cono truncado es tangente a la esfera, y cada plano de la base del cilindro, cono, cono truncado toca la esfera en un punto que se encuentra dentro de la base.
En este caso se dice que alrededor de una esfera se describe un cilindro, un cono o un cono truncado.
Teorema 1. Hay una esfera inscrita en un cono.
Necesitamos demostrar que una esfera se puede inscribir en un cono. Como sabemos que un cono es simétrico con respecto a cualquier sección que pase por su altura, entonces si demostramos que un círculo se puede inscribir en cualquier sección (el centro de todos los círculos es el mismo), entonces demostraremos que un círculo se puede inscribir en una esfera cónica.
Considere una sección de un cono que pasa por la altura del cono.
La sección transversal del cono será un triángulo isósceles con base BC. La altura OA también será una bisectriz. Por lo tanto, el centro del círculo inscrito O 1 estará ubicado en OA (como se sabe, un círculo puede inscribirse en cualquier triángulo). Y dado que todas las demás secciones consideradas serán iguales a ABC, entonces, en consecuencia, los centros de los círculos inscritos coincidirán. Esto significa que en el cono se puede inscribir una esfera con centro O 1 y radio O 1.
Teorema 2.Una esfera puede inscribirse en un cilindro si y sólo si su altura es igual al diámetro de sus bases.
Aquí consideramos secciones que serán rectángulos. Un círculo sólo puede inscribirse en un cuadrado, de ahí la condición de que la altura sea igual al diámetro de la base.
Teorema 3. Una esfera puede inscribirse en un cono truncado si y sólo si su generatriz es igual a la suma de los radios de las bases.
Tareas clave.
Tarea 1. Hay dos bolas idénticas con radio R, que se tocan externamente y en un plano. Encuentra la distancia entre los puntos de contacto de las bolas y el avión.
Consideremos una sección perpendicular al plano en el que se encuentran las bolas. Como estas bolas se tocan, hay un plano que se tocan en el punto K. Este plano será perpendicular al primer plano. Por tanto, los ángulos AO 1 K y KO 2 B son ángulos rectos y, por tanto, ABO 2 O 1 es un rectángulo. Por lo tanto, AB=2R.
Tarea 2. Dos bolas con radios R 1 y R 2 se encuentran en el plano y se tocan externamente. Encuentra la distancia entre los puntos de contacto de las bolas y el avión.
Consideremos una sección perpendicular al plano en el que se encuentran las bolas. Los puntos A y B son los puntos de contacto entre las bolas y el avión. Bajemos la perpendicular O 2 K a AO 1. KO 1 = AO 1 -KA. Si tenemos en cuenta que KA = O 2 B = R 2, y O 1 O 2 = R 1+ R 2, entonces según el teorema de Pitágoras 
. Y como KABO 2 es un rectángulo, entonces KA = AB, por lo tanto 
