1. Sea una matriz de rangos. Introduzcamos la siguiente notación para los sucesivos menores principales de esta matriz:

Supongamos que se cumplen las condiciones para la viabilidad del algoritmo gaussiano:

Denotemos por la matriz de coeficientes el sistema de ecuaciones (18), al que se reduce el sistema de ecuaciones.

Método de eliminación gaussiano. La matriz tiene una forma triangular superior, y los elementos de sus primeras filas están determinados por las fórmulas (13), y los elementos de las últimas filas son todos iguales a cero:

La transición de una matriz a otra se realizó mediante un cierto número de operaciones del siguiente tipo: la enésima fila de la matriz se sumó a la enésima fila, previamente multiplicada por un determinado número. Esta operación equivale a multiplicar la matriz que se transforma a la izquierda por la matriz

. (31)

En esta matriz, la diagonal principal contiene unos y todos los demás elementos, con excepción del elemento , son iguales a cero.

De este modo

donde cada una de las matrices tiene la forma (31) y, por tanto, es una matriz triangular inferior con elementos diagonales iguales a 1.

. (32)

La matriz se denominará matriz de transformación para la matriz en el método de eliminación gaussiano. Ambas matrices, y, se determinan de forma única especificando la matriz. De (32) se deduce que es una matriz triangular inferior con elementos diagonales iguales a 1 (ver página 28).

Como es una matriz no singular, de (33) encontramos:

Representamos la matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior. La cuestión de factorizar una matriz de este tipo queda completamente aclarada por el siguiente teorema:

Teorema 1. Cualquier matriz de rango, para la cual los primeros ojos menores consecutivos sean distintos de cero,

, (34)

se puede representar como el producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior

. (35)

A los primeros elementos diagonales de las matrices se les pueden dar valores arbitrarios que satisfagan las condiciones (36).

Especifica los primeros elementos diagonales de las matrices y determina de forma única los elementos de las primeras columnas de la matriz y las primeras r filas de la matriz. Para estos elementos se aplican las siguientes fórmulas:

, (37)

En el caso de las últimas columnas de la matriz, puede establecer todos los elementos con ceros diferentes, y en las últimas filas de la matriz, dar a todos los elementos valores arbitrarios, o viceversa, llenar las últimas filas de la matriz con ceros. y tomar las últimas columnas de la matriz de forma arbitraria.

Prueba. La posibilidad de representar una matriz que satisfaga la condición (34) como un producto (35) se demostró anteriormente [ver (33")]

Ahora sean y matrices triangulares inferior y superior arbitrarias cuyo producto es igual a . Usando la fórmula para menores del producto de dos matrices, encontramos:

Dado que es una matriz triangular superior, las primeras columnas de la matriz contienen solo un menor distinto de cero de orden ésimo . Por tanto, la igualdad (38) se puede escribir de la siguiente manera:

Pongámoslo aquí primero. Entonces obtenemos:

de donde ya se siguen las relaciones (36).

Sin violar la desigualdad (35), podemos multiplicar la matriz de la derecha por una matriz diagonal especial arbitraria, mientras simultáneamente multiplicamos la matriz de la izquierda por . Esto equivale a multiplicar las columnas de la matriz por, respectivamente, y las filas de la matriz por . Por lo tanto, a los elementos diagonales , , se les puede dar cualquier valor que satisfaga las condiciones (36).

es decir, las primeras fórmulas (37). Las segundas fórmulas (37) para los elementos de la matriz se establecen de forma completamente similar.

Prestemos atención al hecho de que al multiplicar matrices, se multiplican entre sí tanto los elementos de las últimas columnas de la matriz como los elementos de las últimas filas de la matriz. Hemos visto que todos los elementos de las últimas filas de una matriz se pueden elegir para que sean cero. Entonces los elementos de las últimas columnas de la matriz se pueden elegir arbitrariamente. Está claro que el producto de matrices no cambiará si tomamos las últimas columnas de la matriz como cero y los elementos de las últimas filas de la matriz como arbitrarios.

El teorema está demostrado.

Del teorema demostrado se derivan varias consecuencias interesantes.

Corolario 1. Los elementos de las primeras columnas de la matriz y las primeras filas de la matriz están relacionados con los elementos de la matriz mediante relaciones de recurrencia:

(41)

Las relaciones (41) se derivan directamente de la igualdad matricial (35); son convenientes de usar para calcular realmente los elementos de las matrices y .

Corolario 2. Si es una matriz no singular que satisface la condición (34), entonces en la representación (35) las matrices y se determinan unívocamente tan pronto como los elementos diagonales de estas matrices se eligen de acuerdo con las condiciones (36).

Corolario 3. Si es una matriz simétrica de rango y

¿Dónde está la matriz triangular inferior en la que

2. Sea en la representación (35) que la matriz tenga elementos de las últimas columnas iguales a cero. Entonces puedes poner:

, , (43)

¿Dónde está la matriz triangular inferior y superior? Además, los primeros elementos diagonales de las matrices y son iguales a 1, y los elementos de las últimas columnas de la matriz y las últimas filas de la matriz se eligen de forma completamente arbitraria. Sustituyendo en (35) las expresiones (43) por y y usando igualdades (36), llegamos al siguiente teorema:

Teorema 2. Cualquier matriz de rango para la cual

Presentémoslo como el producto de una matriz triangular inferior, una matriz diagonal y una matriz triangular superior:

(44)

, (45)

a , son arbitrarios para ; .

3. Método de eliminación gaussiano, que se aplica a una matriz de rangos para la cual , nos da dos matrices: una matriz triangular inferior con elementos diagonales de 1 y una matriz triangular superior cuyos primeros elementos diagonales son iguales , y las últimas líneas están llenas de ceros. - forma gaussiana de la matriz, - matriz de transformación.

Para un cálculo específico de elementos matriciales, se puede recomendar la siguiente técnica.

Obtendremos una matriz si aplicamos a la matriz identidad todas las transformaciones (especificadas por matrices) que hicimos sobre la matriz en el algoritmo de Gauss (en este caso, en lugar de un producto igual a , tendremos un producto igual a ) . Por lo tanto, asignamos la matriz identidad a la matriz de la derecha:

. (46)

Aplicando todas las transformaciones del algoritmo gaussiano a esta matriz rectangular, obtenemos una matriz rectangular formada por dos matrices cuadradas y:

Por tanto, al aplicar el algoritmo gaussiano a la matriz (46) se obtienen tanto matriz como matriz.

Si es una matriz no singular, es decir, entonces y . En este caso, se sigue de (33). Dado que las matrices se definen mediante el algoritmo de Gauss, encontrar la matriz inversa se reduce a determinar y multiplicar por ., es decir, las columnas de la matriz, la matriz coincide con y la matriz coincide con la matriz, y por lo tanto las fórmulas ( 53) y (54) toman la forma

En este tema consideraremos el concepto de matriz, así como los tipos de matrices. Dado que hay muchos términos en este tema, agregaré un breve resumen para facilitar la navegación por el material.

Definición de una matriz y su elemento. Notación.

Matriz es una tabla de $m$ filas y $n$ columnas. Los elementos de una matriz pueden ser objetos de naturaleza completamente diferente: números, variables o, por ejemplo, otras matrices. Por ejemplo, la matriz $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ contiene 3 filas y 2 columnas; sus elementos son números enteros. La matriz $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ contiene 2 filas y 4 columnas.

Diferentes formas de escribir matrices: mostrar\ocultar

La matriz se puede escribir no solo entre paréntesis redondos, sino también entre paréntesis cuadrados o dobles. Es decir, las siguientes entradas significan la misma matriz:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 y 3 \\ 0 y -87 \\ 8 y 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 y 3 \\ 0 y -87 \\ 8 y 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 y 3 \\ 0 y -87 \\ 8 y 0 \end(array) \right \Vert $$

El producto $m\times n$ se llama tamaño de la matriz. Por ejemplo, si una matriz contiene 5 filas y 3 columnas, entonces hablamos de una matriz de tamaño $5\times 3$. La matriz $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ tiene un tamaño $3 \times 2$.

Normalmente, las matrices se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino: $A$, $B$, $C$, etc. Por ejemplo, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. La numeración de líneas va de arriba a abajo; columnas: de izquierda a derecha. Por ejemplo, la primera fila de la matriz $B$ contiene los elementos 5 y 3, y la segunda columna contiene los elementos 3, -87, 0.

Los elementos de las matrices suelen indicarse con letras minúsculas. Por ejemplo, los elementos de la matriz $A$ se denotan por $a_(ij)$. El doble índice $ij$ contiene información sobre la posición del elemento en la matriz. El número $i$ es el número de fila y el número $j$ es el número de columna, en cuya intersección está el elemento $a_(ij)$. Por ejemplo, en la intersección de la segunda fila y la quinta columna de la matriz $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elemento $a_(25)= $59:

De la misma forma, en la intersección de la primera fila y la primera columna tenemos el elemento $a_(11)=51$; en la intersección de la tercera fila y la segunda columna, el elemento $a_(32)=-15$ y así sucesivamente. Tenga en cuenta que la entrada $a_(32)$ dice "a tres dos", pero no "a treinta y dos".

Para abreviar la matriz $A$, cuyo tamaño es $m\times n$, se utiliza la notación $A_(m\times n)$. Puedes escribirlo con un poco más de detalle:

$$ A_(m\veces n)=(a_(ij)) $$

donde la notación $(a_(ij))$ denota los elementos de la matriz $A$. En su forma completamente expandida, la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ se puede escribir de la siguiente manera:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Introduzcamos otro término: matrices iguales.

Dos matrices del mismo tamaño $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se llaman igual, si sus elementos correspondientes son iguales, es decir $a_(ij)=b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1,n)$.

Explicación de la entrada $i=\overline(1,m)$: show\hide

La notación "$i=\overline(1,m)$" significa que el parámetro $i$ varía de 1 a m. Por ejemplo, la entrada $i=\overline(1,5)$ indica que el parámetro $i$ toma los valores 1, 2, 3, 4, 5.

Entonces, para que las matrices sean iguales se deben cumplir dos condiciones: coincidencia de tamaños e igualdad de los elementos correspondientes. Por ejemplo, la matriz $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ no es igual a la matriz $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ porque la matriz $A$ tiene un tamaño $3\times 2$ y la matriz $B$ tiene tamaño $2\veces $2. Además, la matriz $A$ no es igual a la matriz $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , ya que $a_( 21)\neq c_(21)$ (es decir, $0\neq 98$). Pero para la matriz $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ podemos escribir con seguridad $A= F$ porque tanto los tamaños como los elementos correspondientes de las matrices $A$ y $F$ coinciden.

Ejemplo No. 1

Determine el tamaño de la matriz $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Indique a qué son iguales los elementos $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Esta matriz contiene 5 filas y 3 columnas, por lo que su tamaño es $5\times 3$. También puedes usar la notación $A_(5\times 3)$ para esta matriz.

El elemento $a_(12)$ está en la intersección de la primera fila y la segunda columna, por lo que $a_(12)=-2$. El elemento $a_(33)$ está en la intersección de la tercera fila y la tercera columna, por lo que $a_(33)=23$. El elemento $a_(43)$ está en la intersección de la cuarta fila y la tercera columna, por lo que $a_(43)=-5$.

Respuesta: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Tipos de matrices según su tamaño. Diagonales principal y secundaria. Traza matricial.

Sea dada una determinada matriz $A_(m\times n)$. Si $m=1$ (la matriz consta de una fila), entonces la matriz dada se llama fila-matriz. Si $n=1$ (la matriz consta de una columna), entonces dicha matriz se llama columna-matriz. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ es una matriz de filas, y $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ es una matriz de columnas.

Si la matriz $A_(m\times n)$ satisface la condición $m\neq n$ (es decir, el número de filas no es igual al número de columnas), entonces a menudo se dice que $A$ es una matriz rectangular. matriz. Por ejemplo, la matriz $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ tiene tamaño $2\times 4 $, esos. contiene 2 filas y 4 columnas. Dado que el número de filas no es igual al número de columnas, esta matriz es rectangular.

Si la matriz $A_(m\times n)$ satisface la condición $m=n$ (es decir, el número de filas es igual al número de columnas), entonces se dice que $A$ es una matriz cuadrada de orden $ n$. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ es una matriz cuadrada de segundo orden; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ es una matriz cuadrada de tercer orden. En general, la matriz cuadrada $A_(n\times n)$ se puede escribir de la siguiente manera:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Se dice que los elementos $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ están en diagonal principal matrices $A_(n\times n)$. Estos elementos se llaman elementos diagonales principales(o simplemente elementos diagonales). Los elementos $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ están en diagonal lateral (menor); ellos son llamados elementos diagonales laterales. Por ejemplo, para la matriz $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( matriz) \right)$ tenemos:

Los elementos $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ son los elementos diagonales principales; los elementos $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ son elementos diagonales laterales.

La suma de los elementos de la diagonal principal se llama seguido de la matriz y se denota por $\Tr A$ (o $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Por ejemplo, para la matriz $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ tenemos:

$$\TrC=2+9+4+6=21. $$

El concepto de elementos diagonales también se utiliza para matrices no cuadradas. Por ejemplo, para la matriz $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ los elementos de la diagonal principal serán $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Tipos de matrices en función de los valores de sus elementos.

Si todos los elementos de la matriz $A_(m\times n)$ son iguales a cero, entonces dicha matriz se llama nulo y normalmente se indica con la letra $O$. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - matrices cero.

Sea la matriz $A_(m\times n)$ la siguiente forma:

Entonces esta matriz se llama trapezoidal. Puede que no contenga filas cero, pero si existen, se ubican en la parte inferior de la matriz. En una forma más general, una matriz trapezoidal se puede escribir de la siguiente manera:

Nuevamente, no se requieren líneas nulas finales. Aquellos. Formalmente, podemos distinguir las siguientes condiciones para una matriz trapezoidal:

Todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero.
Todos los elementos desde $a_(11)$ hasta $a_(rr)$ que se encuentran en la diagonal principal no son iguales a cero: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
O todos los elementos de las últimas filas $m-r$ son cero, o $m=r$ (es decir, no hay ninguna fila cero).

Ejemplos de matrices trapezoidales:

Pasemos a la siguiente definición. La matriz $A_(m\times n)$ se llama pisó, si cumple las siguientes condiciones:

Por ejemplo, las matrices de pasos serían:

A modo de comparación, la matriz $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ no es escalonado porque la tercera fila tiene la misma parte cero que la segunda fila. Es decir, se viola el principio “cuanto más baja es la línea, mayor es la parte cero”. Agregaré que una matriz trapezoidal es un caso especial de matriz escalonada.

Pasemos a la siguiente definición. Si todos los elementos de una matriz cuadrada ubicada debajo de la diagonal principal son iguales a cero, entonces dicha matriz se llama matriz triangular superior. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ es una matriz triangular superior. Tenga en cuenta que la definición de una matriz triangular superior no dice nada sobre los valores de los elementos ubicados encima de la diagonal principal o en la diagonal principal. Pueden ser cero o no, no importa. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ también es una matriz triangular superior.

Si todos los elementos de una matriz cuadrada ubicada encima de la diagonal principal son iguales a cero, entonces dicha matriz se llama matriz triangular inferior. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matriz triangular inferior. Tenga en cuenta que la definición de matriz triangular inferior no dice nada sobre los valores de los elementos ubicados debajo o sobre la diagonal principal. Pueden ser cero o no, no importa. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ y $\left(\ start (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ también son matrices triangulares inferiores.

La matriz cuadrada se llama diagonal, si todos los elementos de esta matriz que no se encuentran en la diagonal principal son iguales a cero. Ejemplo: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ fin(matriz)\derecha)$. Los elementos de la diagonal principal pueden ser cualquier cosa (igual a cero o no), no importa.

La matriz diagonal se llama soltero, si todos los elementos de esta matriz ubicados en la diagonal principal son iguales a 1. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matriz identidad de cuarto orden; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ es la matriz identidad de segundo orden.

Matrices triangulares y ecuación característica.

Una matriz cuadrada en la que todos los elementos ubicados debajo o encima de la diagonal principal son iguales a cero se llama triangular. La matriz triangular puede ser de estructura superior e inferior. Las formas superior e inferior son respectivamente:

, .

Las matrices triangulares tienen una serie de propiedades prácticamente importantes:

1) El determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus elementos diagonales:

Por lo tanto, una matriz triangular no es singular solo si todos los elementos de su diagonal principal son distintos de cero.

2) La suma y el producto de matrices triangulares de la misma estructura también es una matriz triangular de la misma estructura.

3) Una matriz triangular no singular se invierte fácilmente y su matriz inversa vuelve a tener una estructura triangular de la misma estructura.

4) Cualquier matriz no singular se puede reducir a una matriz triangular utilizando transformaciones elementales solo en filas o solo en columnas. Como ejemplo, considere la matriz de Hurwitz conocida en la teoría de la estabilidad.

Para pasar a la forma triangular superior, realizamos las siguientes transformaciones elementales. De cada elemento de la segunda línea, resta el elemento de la primera línea encima de él, previamente multiplicado por . En lugar de una cadena con elementos, obtenemos una cadena con elementos donde , , , ... etc.

Realicemos operaciones similares en las líneas subyacentes restantes. Luego restamos de cada elemento de la tercera fila de la matriz transformada los elementos de la fila superior, multiplicamos por y repetimos operaciones similares en las filas restantes. Continuamos el proceso según este procedimiento hasta que en el paso m obtengamos la matriz triangular superior

Tales transformaciones son esencialmente equivalentes a multiplicar la matriz de la derecha (o izquierda) por alguna otra matriz auxiliar.

Determinante de la matriz de Hurwitz

Existe un teorema sobre la descomposición de cualquier matriz cuadrada en el producto de dos triangulares. Según este teorema, cualquier matriz cuadrada se puede representar como el producto de una matriz triangular inferior y superior:

siempre que sus diagonales menores sean distintas de cero:

, , .

Esta descomposición es única si fijamos los elementos diagonales de una de las matrices triangulares (por ejemplo, los igualamos a uno). La descomposición de cualquier matriz cuadrada en el producto de dos triangulares con elementos diagonales prescritos se usa ampliamente en métodos computacionales para resolver problemas usando una computadora.

La representación única de una matriz como producto de dos triangulares puede generalizarse a matrices celulares. En tales matrices, los elementos mismos son matrices. En este caso, la matriz se puede descomponer en el producto de matrices cuasi triangulares inferior y superior.

El determinante de una matriz cuasi triangular es igual al producto de sus celdas diagonales.

A diferencia de las matrices diagonales, la operación de multiplicación de matrices triangulares generalmente no es conmutativa.

En los métodos computacionales de la teoría del control juegan un papel importante no sólo las matrices triangulares, sino también las llamadas matrices casi triangulares. Muchos métodos utilizan la descomposición matricial como producto de dos matrices, una de las cuales tiene una estructura triangular. La matriz A se denomina casi triangular derecha (izquierda) o matriz de Hessenberg si sus elementos a ij satisfacen las siguientes relaciones:

Por ejemplo, la matriz de Hessenberg de la forma casi triangular derecha de dimensión (4x4) tiene la forma

Observemos las características útiles de las matrices consideradas, que se utilizan en métodos computacionales:

a) la suma de matrices casi triangulares de la misma estructura será una matriz triangular de la misma estructura, pero el producto no;

b) la construcción de un polinomio característico de matrices casi triangulares es económica, ya que requiere mucho menos cálculo que con una forma de matriz arbitraria. El número de operaciones de multiplicación es , adiciones - ;

c) una matriz casi triangular se puede descomponer en el producto de dos triangulares, y en la descomposición una de las matrices tendrá una estructura más simple, es decir, será bidiagonal.

En los métodos de ingeniería modernos integrados en sistemas de diseño asistido por computadora, se usa ampliamente la representación multiplicativa de matrices, por ejemplo, la representación QR. Su esencia es que cualquier matriz cuadrada A se puede representar como un producto de formas ortogonales y casi triangulares.

O, (4.4)

donde Q es una matriz ortogonal; R - forma triangular derecha (superior); L - forma triangular izquierda (abajo) de la matriz.

La representación (4.4) se llama descomposición QR (en el caso de una matriz triangular inferior, descomposición QL) y es única para la matriz A.

Los algoritmos QR y QL difieren fundamentalmente poco. Su uso depende de cómo estén dispuestos los elementos de la matriz. Si se concentran en la esquina inferior derecha, es más eficaz utilizar el algoritmo QL. Si los elementos de la matriz se concentran en la parte superior izquierda, entonces es más apropiado utilizar el algoritmo QR. Si se implementan correctamente en una computadora, los errores de redondeo en muchos casos no tienen un gran impacto en la precisión del cálculo.

En el que todos los elementos debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

Matriz triangular inferior- una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados encima de la diagonal principal son iguales a cero.

Matriz unitriangular(superior o inferior): una matriz triangular en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno.

Las matrices triangulares se utilizan principalmente para resolver sistemas lineales de ecuaciones, cuando la matriz del sistema se reduce a una forma triangular mediante el siguiente teorema:

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con una matriz triangular (inversa) no es difícil.

Propiedades

El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
El determinante de una matriz unitaria triangular es igual a uno.
El conjunto de matrices de orden triangulares superiores no singulares. norte por multiplicación con elementos del campo k forma un grupo que se denota Utah(norte, k) o Utah norte (k).
El conjunto de matrices de orden triangulares inferiores no singulares. norte por multiplicación con elementos del campo k forma un grupo que se denota LT(norte, k) o LT norte (k).
Conjunto de matrices unitarias superiores con elementos del campo. k forma un subgrupo Utah norte (k) por multiplicación, que se denota IVU(norte, k) o IVU norte (k). Un subgrupo similar de matrices unitarias inferiores se denota TR(norte, k) o TR norte (k).
El conjunto de todas las matrices triangulares superiores con elementos del anillo k forma un álgebra con respecto a las operaciones de suma, multiplicación por elementos del anillo y multiplicación de matrices. Una afirmación similar es válida para las matrices triangulares inferiores.
Grupo UT sustantivo, masculino— es solucionable, y su subgrupo unitriangular SUT sustantivo, masculino— nilpotente.

Ver también

Fundación Wikimedia.

2010.

Vea qué es una “Matriz Triangular” en otros diccionarios: matriz triangular

- — matriz triangular Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados debajo o encima de la diagonal principal son iguales a cero (cf. Matriz diagonal). En el primer caso tenemos... ... matriz triangular

- una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados debajo o encima de la diagonal principal son iguales a cero (cf. Matriz diagonal). En el primer caso tenemos el T.m. superior. en el segundo inferior... Una matriz cuadrada en la que todos los elementos ubicados debajo (o encima) de la diagonal principal son iguales a cero. En el primer caso, la matriz se llama la matriz triangular superior, en el segundo la matriz triangular inferior. El determinante de T. m es igual al producto de todos sus ...

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matriz- Red lógica configurada como un conjunto rectangular de intersecciones de canales de entrada/salida. - Matriz de coeficientes de saldo de insumos (IBO), correspondiente a un sistema de producción en el que cualquier producto puede gastarse en su propia producción y en la producción de cualquier producto posterior a ella, pero no... ...

matriz Un sistema de elementos (números, funciones y otras cantidades) dispuestos en forma rectangular... ...

- una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo o por encima de la diagonal principal son iguales a cero.

Un ejemplo de matriz triangular superior Matriz triangular superior

Matriz triangular inferior- una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados encima de la diagonal principal son iguales a cero.

Matriz unitriangular(superior o inferior): una matriz triangular en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno.

Las matrices triangulares se utilizan principalmente para resolver sistemas lineales de ecuaciones, cuando la matriz del sistema se reduce a una forma triangular mediante el siguiente teorema:

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con una matriz triangular (inversa) no es difícil.

Propiedades

El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
El determinante de una matriz unitaria triangular es igual a uno.
El conjunto de matrices de orden triangulares superiores no singulares. norte por multiplicación con elementos del campo k forma un grupo que se denota Utah(norte, k) o Utah norte (k).
El conjunto de matrices de orden triangulares inferiores no singulares. norte por multiplicación con elementos del campo k forma un grupo que se denota LT(norte, k) o LT norte (k).
Conjunto de matrices unitarias superiores con elementos del campo. k forma un subgrupo Utah norte (k) por multiplicación, que se denota IVU(norte, k) o IVU norte (k). Un subgrupo similar de matrices unitarias inferiores se denota TR(norte, k) o TR norte (k).
El conjunto de todas las matrices triangulares superiores con elementos del anillo k forma un álgebra con respecto a las operaciones de suma, multiplicación por elementos del anillo y multiplicación de matrices. Una afirmación similar es válida para las matrices triangulares inferiores.
Grupo UT sustantivo, masculino— es solucionable, y su subgrupo unitriangular SUT sustantivo, masculino— nilpotente.

Ver también

Fundación Wikimedia.

- una matriz cuadrada en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

Vea qué es “matriz triangular superior” en otros diccionarios:

Guía del traductor técnico

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