Quelle est la valeur de e ? Jacob Bernoulli, expert et théoricien du jeu, a dérivé e en discutant du montant que gagnent les prêteurs.

Tout le monde connaît la signification géométrique du nombre π est la longueur d'un cercle de diamètre unité :

Mais voici la signification d'une autre constante importante, e, a tendance à être vite oublié. Autrement dit, je ne sais pas pour vous, mais à chaque fois, cela me coûte un effort pour me rappeler pourquoi ce nombre égal à 2,7182818284590 est si remarquable... (J'ai cependant noté la valeur de mémoire). J'ai donc décidé d'écrire un message pour que rien d'autre ne s'échappe de ma mémoire.

Nombre e par définition - la limite d'une fonction oui = (1 + 1 / x) xà x → ∞:

Cette définition n’est malheureusement pas claire. On ne sait pas pourquoi cette limite est remarquable (malgré le fait qu'elle soit appelée la « seconde remarquable »). Pensez-y, ils ont pris une fonction maladroite et ont calculé la limite. Une fonction différente en aura une différente.

Mais le numéro e Pour une raison quelconque, cela se produit dans toute une série de situations différentes en mathématiques.

Pour moi, la signification principale du nombre e se révèle dans le comportement d’une autre fonction bien plus intéressante, oui = k x. Cette fonction a une propriété unique lorsque k = e, qui peut être représenté graphiquement comme ceci :

Au point 0 la fonction prend la valeur e 0 = 1. Si vous tracez une tangente au point x= 0, alors il passera à l'axe des x selon un angle avec la tangente 1 (en triangle jaune le rapport du côté opposé 1 au côté adjacent 1 est de 1). Au point 1 la fonction prend la valeur e 1 = e. Si vous tracez une tangente en un point x= 1, alors il passera sous un angle avec une tangente e(V. triangle vert rapport du côté opposé e au 1 adjacent est égal e). Au point 2 la valeur e 2 de la fonction coïncide à nouveau avec la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente à celle-ci. De ce fait, en même temps, les tangentes elles-mêmes coupent l'axe des x exactement aux points −1, 0, 1, 2, etc.

Parmi toutes les fonctions oui = k x(par exemple 2 x , 10 x , π x etc.), fonction e x- le seul qui a une telle beauté que la tangente de l'angle de son inclinaison en chacun de ses points coïncide avec la valeur de la fonction elle-même. Cela signifie, par définition, que la valeur de cette fonction en chaque point coïncide avec la valeur de sa dérivée en ce point : ( e x)´ = e x. Pour une raison quelconque, le numéro e= 2,7182818284590... doit être élevé à différentes puissances pour obtenir une image comme celle-ci.

C'est, à mon avis, son sens.

Nombres π Et e sont inclus dans ma formule préférée - la formule d'Euler, qui relie les 5 constantes les plus importantes - zéro, un, unité imaginaire je et, en fait, des chiffres π Et e:

e jeπ + 1 = 0

Pourquoi le nombre 2,7182818284590... à la puissance complexe de 3,1415926535... je soudainement égal à moins un ? La réponse à cette question dépasse le cadre de cette note et pourrait constituer le contenu d'un petit livre, qui nécessiterait une compréhension de base de la trigonométrie, des limites et des séries.

J'ai toujours été émerveillé par la beauté de cette formule. Il existe peut-être des faits plus étonnants en mathématiques, mais pour mon niveau (un C au lycée de physique et de mathématiques et un A en analyse complexe à l'université), c'est le miracle le plus important.

L'exposant est noté , ou .

Numéro e

La base du degré de l'exposant est numéro e. C'est un nombre irrationnel. C'est à peu près égal
e ≈ 2,718281828459045...

Le nombre e est déterminé par la limite de la séquence. C'est ce qu'on appelle deuxième limite merveilleuse:
.

Le nombre e peut également être représenté sous forme de série :
.

Graphique exponentiel

Graphique exponentiel, y = e x .

Le graphique montre l'exposant e dans une certaine mesure X.
oui (x) = ex
Le graphique montre que l'exposant augmente de façon monotone.

Formules

Les formules de base sont les mêmes que pour la fonction exponentielle de base de degré e.

;
;
;

Expression d'une fonction exponentielle avec une base arbitraire de degré a à travers une exponentielle :
.

Valeurs privées

Laissez-vous (x) = ex.
.

Alors

Propriétés des exposants e > 1 .

L'exposant a les propriétés d'une fonction exponentielle avec une base de puissance

Domaine, ensemble de valeurs (x) = ex Exposant y
défini pour tout x.
- ∞ < x + ∞ .
Son périmètre :
0 < y < + ∞ .

Ses nombreuses significations :

Extrêmes, croissants, décroissants

L’exponentielle est une fonction croissante de façon monotone, elle n’a donc pas d’extrema. Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.

Fonction inverse
;
.

L'inverse de l'exposant est le logarithme népérien.

Dérivée de l'exposant e dans une certaine mesure X Dérivé e dans une certaine mesure X :
.
égal à
.
Dérivée du nième ordre :

Formules dérivées > > >

Intégral

Nombres complexes Les opérations avec des nombres complexes sont effectuées en utilisant:
,
Les formules d'Euler
.

où est l'unité imaginaire :

; ;
.

Expressions via des fonctions hyperboliques

; ;
;
.

Expressions utilisant des fonctions trigonométriques

Extension de la série de puissance
Littérature utilisée :

DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009. La dérive habituelle des chiffres dans un nombre. Quand 4.47 10^8 est écrit, ce qui implique que la virgule flottante est avancée de 8 bits - dans ce cas Ce il y aura un numéro. Les valeurs E peuvent être utilisées en programmation, et e ne peut pas être écrit tout seul, mais E est possible (mais pas partout et pas toujours, cela sera noté plus loin), car l'avant-dernier peut être confondu avec le nombre d'Euler. Si vous devez écrire un grand nombre en abrégé, le style 4,47 × E8 peut être utilisé (une option alternative pour la production et les petits caractères est 4,47 × E8) afin que le nombre soit lu de manière plus épurée et que les chiffres soient indiqués plus séparément (les espaces ne peuvent pas être placé entre des signes arithmétiques (sinon, il s'agit d'une condition mathématique et non d'un nombre).

3.52E3 est bon pour écrire sans index, mais la lecture du décalage binaire sera plus difficile. 3.52 · 10^8 est une condition, car nécessite un index et n'a pas de mantisse (cette dernière n'existe que pour l'opérateur, et il s'agit d'un multiplicateur étendu). "· 10" est le processus de multiplication opérationnelle standard (de base), le nombre après ^ est un indicateur de dérive des chiffres, il n'est donc pas nécessaire de le rendre petit s'il est nécessaire d'écrire des documents sous cette forme (en respectant la position en exposant ), dans certains cas, il est conseillé d'utiliser une échelle comprise entre 100 et 120 %, et non la norme 58 %. L'utilisation d'une petite échelle pour les éléments clés de la condition réduit la qualité visuelle des informations numériques - vous devrez regarder de près (peut-être pas nécessaire, mais le fait demeure - il n'est pas nécessaire de « cacher » les conditions en petits caractères, vous pourriez même "l'enterrer" - réduire l'ampleur des éléments individuels de la maladie est inacceptable, surtout sur un ordinateur) pour remarquer la "surprise", et cela est très préjudiciable même sur une ressource papier.

Si le processus de multiplication effectue des opérations spéciales, alors dans de tels cas, l'utilisation d'espaces peut être redondante, car En plus de multiplier des nombres, un multiplicateur peut être un lien pour les grands et petits nombres, les éléments chimiques, etc. etc., qui ne peuvent pas être écrits comme une fraction décimale de nombres ordinaires ou ne peuvent pas être écrits comme le résultat final. Cela peut ne pas s'appliquer à l'entrée avec "· 10^y", car toute valeur dans l'expression agit comme un multiplicateur, et "^y" est une puissance indiquée en exposant, c'est-à-dire est une condition numérique. Mais supprimer les espaces autour du multiplicateur et l’écrire différemment serait une erreur, car L'opérateur est manquant. L'entrée "· 10" elle-même est un opérateur multiplicateur + nombre, pas un premier + deuxième opérateur. C’est la principale raison pour laquelle cela n’est pas possible avec 10. S'il n'y a pas de valeurs spéciales après l'opérateur numérique, c'est-à-dire non numérique, mais systémique, alors cette option d'enregistrement ne peut pas être justifiée - s'il existe une valeur systémique, alors une telle valeur doit être adaptée à certaines tâches avec réduction numérique ou pratique des nombres (pour certaines actions, par exemple 1,35f8, où f est une équation créée pour des problèmes pratiques spéciaux, qui produit des nombres réels à la suite d'expériences pratiques spécifiques, 8 - une valeur qui est substituée comme variable à l'opérateur f et coïncide avec les nombres lorsque les conditions sont successivement modifiées dans le moyen le plus pratique, si cette tâche est extrêmement importante, alors ces valeurs de données peuvent être utilisées avec un signe sans espaces). En bref, pour des opérations arithmétiques similaires, mais à des fins différentes, cela peut également être effectué avec des plus, des moins et des diviseurs si cela est absolument nécessaire pour créer de nouvelles façons d'écrire des données ou simplifier celles existantes tout en maintenant l'exactitude dans la pratique et peut constituer une condition numérique applicable. à certaines fins arithmétiques.

Conclusion : il est recommandé d'écrire la forme de notation exponentielle officiellement approuvée avec un espace et une échelle de police en exposant de 58 % et un décalage de 33 % (si le changement d'échelle et de décalage est autorisé par d'autres parties à un niveau de 100 - 120%, alors vous pouvez définir 100% - c'est l'option d'enregistrement des valeurs en exposant la plus optimale, le décalage optimal est ≈ 50%). Sur un ordinateur vous pouvez utiliser 3.74e+2, 4.58E-1, 6.73 E-5, E-11, si les deux derniers formats sont supportés, sur les forums il vaut mieux abandonner les e-abréviations pour des raisons connues, et le style 3 , 65 E-5 ou 5.67E4 peuvent être tout à fait compréhensibles, les seules exceptions peuvent être segments publics officiels- là seulement avec " 10^x", et au lieu de ^x - seul l'exposant en exposant est utilisé.

En bref, E est un super raccourci pour l'antilogarithme décimal, souvent appelé antilog ou antig. Par exemple, 7,947antilg-4 serait identique à 7,947E-4. En pratique, c'est beaucoup plus pratique et pratique que de tirer à nouveau un « dix » avec un signe de degré en exposant. Cela peut être appelé la forme logarithmique « exponentielle » d’un nombre comme alternative à la forme classique « exponentielle » moins pratique. Seulement au lieu de "antilg", "E" est utilisé ou le deuxième nombre va immédiatement avec un espace (si le nombre est positif) ou sans (sur les calculatrices scientifiques à dix segments, comme le "Citizen CT-207T").

Docteur en Sciences Géologiques et Minéralogiques, Candidat en Sciences Physiques et Mathématiques B. GOROBETS.

Graphiques des fonctions y = arcsin x, fonction inverse y = sin x

Graphique de la fonction y = arctan x, l'inverse de la fonction y = tan x.

Fonction de distribution normale (distribution gaussienne). Le maximum de son graphique correspond à la valeur la plus probable d'une variable aléatoire (par exemple, la longueur d'un objet mesurée avec une règle), et le degré « d'étalement » de la courbe dépend des paramètres a et sigma.

Les prêtres de l'ancienne Babylone ont calculé que le disque solaire s'inscrivait dans le ciel 180 fois de l'aube au coucher du soleil et ont introduit une nouvelle unité de mesure - un degré égal à sa taille angulaire.

La taille des formations naturelles - dunes de sable, collines et montagnes - augmente à chaque pas de 3,14 fois en moyenne.

Science et vie // Illustrations

Science et vie // Illustrations

Le pendule, oscillant sans frottement ni résistance, maintient une amplitude d'oscillation constante. L'apparition d'une résistance entraîne une atténuation exponentielle des oscillations.

Dans un milieu très visqueux, un pendule dévié se déplace de façon exponentielle vers sa position d'équilibre.

Les écailles des pommes de pin et les boucles des coquilles de nombreux mollusques sont disposées en spirales logarithmiques.

Science et vie // Illustrations

Science et vie // Illustrations

Une spirale logarithmique coupe tous les rayons émanant du point O sous les mêmes angles.

Probablement, tout candidat ou étudiant, lorsqu'on lui demandera ce que sont les nombres et e, répondra : - c'est un nombre égal au rapport de la circonférence à son diamètre, et e est la base des logarithmes naturels. Si on leur demande de définir ces nombres plus strictement et de les calculer, les élèves donneront des formules :

e = 1 + 1/1 ! +1/2 ! +1/3 ! +... 2,7183…

(rappelez-vous que factorielle n! =1 x 2x 3x… x n);

3(1+ 1/3x 2 3 + 1x 3/4x 5x 2 5 + .....) 3,14159…

(La série de Newton est la dernière, il existe d'autres séries).

Tout cela est vrai, mais, comme vous le savez, les nombres et e sont inclus dans de nombreuses formules en mathématiques, physique, chimie, biologie et aussi en économie. Cela signifie qu'ils reflètent certaines lois générales de la nature. Lesquels exactement ? Les définitions de ces nombres à travers des séries, malgré leur justesse et leur rigueur, laissent encore un sentiment d'insatisfaction. Ils sont abstraits et ne traduisent pas le lien entre les nombres en question et le monde extérieur à travers l’expérience quotidienne. Il n'est pas possible de trouver des réponses à la question posée dans la littérature pédagogique.

Parallèlement, on peut affirmer que la constante e est directement liée à l’homogénéité de l’espace et du temps, ainsi qu’à l’isotropie de l’espace. Ainsi, ils reflètent les lois de conservation : le nombre e - énergie et impulsion (impulsion), et le nombre - couple (impulsion). Habituellement, de telles déclarations inattendues provoquent la surprise, même si, en substance, du point de vue de la physique théorique, elles n'ont rien de nouveau. Le sens profond de ces constantes mondiales reste terra incognita pour les écoliers, les étudiants et, apparemment, même pour la majorité des professeurs de mathématiques et de physique générale, sans parler d'autres domaines des sciences naturelles et de l'économie.

En première année d'université, les étudiants peuvent être déconcertés par, par exemple, une question : pourquoi l'arctangente apparaît-elle lors de l'intégration de fonctions de type 1/(x 2 +1), et de fonctions trigonométriques circulaires de type arc sinus, exprimant la grandeur de l'arc de cercle ? En d’autres termes, d’où « viennent » les cercles lors de l’intégration et où disparaissent-ils ensuite lors de l’action inverse – différenciant l’arctangente et l’arcsinus ? Il est peu probable que l’élaboration des formules correspondantes de différenciation et d’intégration réponde en soi à la question posée.

De plus, en deuxième année d'université, lors de l'étude de la théorie des probabilités, le nombre apparaît dans la formule de la loi de distribution normale des variables aléatoires (voir « Science et vie » n° 2, 1995) ; à partir de là, vous pouvez, par exemple, calculer la probabilité avec laquelle une pièce de monnaie tombera sur les armoiries un certain nombre de fois avec, disons, 100 lancers. Où sont les cercles ici ? La forme de la pièce est-elle vraiment importante ? Non, la formule de probabilité est la même pour une pièce carrée. En effet, ce ne sont pas des questions faciles.

Mais la nature du nombre e est utile aux étudiants en chimie et en science des matériaux, aux biologistes et aux économistes pour une connaissance plus approfondie. Cela les aidera à comprendre la cinétique de désintégration des éléments radioactifs, la saturation des solutions, l'usure et la destruction des matériaux, la prolifération des microbes, les effets des signaux sur les sens, les processus d'accumulation du capital, etc. - une infinité de phénomènes dans nature vivante et inanimée et activité humaine.

Nombre et symétrie sphérique de l'espace

Tout d’abord, nous formulons la première thèse principale, puis expliquons sa signification et ses conséquences.

1. Le nombre reflète l'isotropie des propriétés de l'espace vide de notre Univers, leur similitude dans n'importe quelle direction. La loi de conservation du couple est associée à l'isotropie de l'espace.

Cela conduit à des conséquences bien connues qui sont étudiées au lycée.

Corollaire 1. La longueur de l'arc de cercle le long de laquelle s'adapte son rayon est l'arc naturel et l'unité angulaire radian.

Cette unité est sans dimension. Pour trouver le nombre de radians dans un arc de cercle, vous devez mesurer sa longueur et diviser par la longueur du rayon de ce cercle. Comme nous le savons, le rayon de tout cercle complet est d’environ 6,28 fois. Plus précisément, la longueur d'un arc de cercle complet est de 2 radians, et dans n'importe quel système numérique et unité de longueur. Lorsque la roue a été inventée, il s’est avéré qu’il en était de même chez les Indiens d’Amérique, les nomades d’Asie et les Noirs d’Afrique. Seules les unités de mesure de l'arc étaient différentes et conventionnelles. Ainsi, nos degrés angulaires et d'arc ont été introduits par les prêtres babyloniens, qui considéraient que le disque du Soleil, situé presque au zénith, s'inscrivait 180 fois dans le ciel de l'aube au coucher du soleil. 1 degré équivaut à 0,0175 rad ou 1 rad équivaut à 57,3°. On peut affirmer que d’hypothétiques civilisations extraterrestres se comprendraient facilement en échangeant un message dans lequel le cercle est divisé en six parties « avec une queue » ; cela signifierait que le « partenaire de négociation » a déjà au moins dépassé le stade de réinventer la roue et connaît le chiffre.

Corollaire 2. Le but des fonctions trigonométriques est d'exprimer la relation entre l'arc et les dimensions linéaires des objets, ainsi qu'entre les paramètres spatiaux des processus se produisant dans un espace à symétrie sphérique.

De ce qui précède, il ressort clairement que les arguments des fonctions trigonométriques sont, en principe, sans dimension, comme ceux des autres types de fonctions, c'est-à-dire ce sont des nombres réels – des points sur l’axe des nombres qui n’ont pas besoin de notation en degrés.

L'expérience montre que les écoliers, les étudiants des collèges et universités ont du mal à s'habituer aux arguments sans dimension pour le sinus, la tangente, etc. Tous les candidats ne pourront pas répondre à la question sans calculatrice qu'est-ce que cos1 (environ 0,5) ou arctg/3. Le dernier exemple est particulièrement déroutant. On dit souvent que cela n’a aucun sens : « un arc dont l’arctangente est de 60° ». Si nous disons exactement cela, alors l'erreur résidera dans l'application non autorisée de la mesure du degré à l'argument de la fonction. Et la bonne réponse est : arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. Malheureusement, bien souvent les candidats et les étudiants disent que = 180 0, après quoi ils doivent les corriger : dans le système numérique décimal = 3,14…. Mais bien sûr, on peut dire qu’un radian est égal à 180 0.

Examinons une autre situation non triviale rencontrée en théorie des probabilités. Il s'agit de la formule importante pour la probabilité d'une erreur aléatoire (ou la loi normale de distribution des probabilités), qui inclut le nombre. Grâce à cette formule, vous pouvez, par exemple, calculer la probabilité qu'une pièce de monnaie tombe sur les armoiries 50 fois en 100 lancers. Alors, d’où vient le numéro qu’il contient ? Après tout, aucun cercle ou cercle ne semble y être visible. Mais le fait est que la pièce tombe de manière aléatoire dans un espace à symétrie sphérique, dans toutes les directions duquel les fluctuations aléatoires doivent également être prises en compte. Pour ce faire, les mathématiciens intègrent autour d'un cercle et calculent l'intégrale de Poisson, qui est égale et incluse dans la formule de probabilité spécifiée. Une illustration claire de ces fluctuations est l’exemple du tir sur une cible dans des conditions constantes. Les trous sur la cible sont dispersés dans un cercle (!) avec la densité la plus élevée près du centre de la cible, et la probabilité d'un coup peut être calculée en utilisant la même formule contenant le nombre .

Le nombre est-il « impliqué » dans les structures naturelles ?

Essayons de comprendre les phénomènes dont les causes sont loin d'être claires, mais qui, peut-être, n'étaient pas non plus sans nombre.

Le géographe national V.V. Piotrovsky a comparé les tailles caractéristiques moyennes des reliefs naturels dans les séries suivantes : rapides de sable sur les bas-fonds, dunes, collines, systèmes montagneux du Caucase, de l'Himalaya, etc. Il s'est avéré que l'augmentation moyenne de la taille est de 3,14. Un schéma similaire semble avoir été récemment découvert dans la topographie de la Lune et de Mars. Piotrovsky écrit : « Les formes structurelles tectoniques qui se forment dans la croûte terrestre et s'expriment à sa surface sous forme de formes en relief se développent à la suite de certains processus généraux se produisant dans le corps de la Terre ; elles sont proportionnelles à la taille de la Terre ; .» Précisons : elles sont proportionnelles au rapport de ses dimensions linéaires et arc.

La base de ces phénomènes peut être ce qu'on appelle la loi de distribution des maxima des séries aléatoires, ou la « loi des triplets », formulée en 1927 par E. E. Slutsky.

Statistiquement, selon la loi de trois, des vagues côtières se forment, ce que connaissaient les anciens Grecs. Une vague sur trois est en moyenne légèrement supérieure à ses voisines.

Et dans la série de ces troisièmes maxima, un sur trois, à son tour, est plus haut que ses voisins.

C’est ainsi que se forme la fameuse neuvième vague. Il est l'apogée de la « période de second rang ». Certains scientifiques suggèrent que, selon la loi des triplés, des fluctuations des activités solaires, comètes et météoritiques se produisent également. Les intervalles entre leurs maxima sont de neuf à douze ans, soit environ 3 2 . Selon le docteur en sciences biologiques G. Rosenberg, nous pouvons continuer à construire des séquences temporelles comme suit. La période du troisième rang 3 3 correspond à l'intervalle entre les sécheresses sévères, qui est en moyenne de 27 à 36 ans ; période 3 4 - cycle d'activité solaire séculaire (81-108 ans) ; période 3 5 - cycles glaciaires (243-324 ans). Les coïncidences deviendront encore meilleures si l’on s’écarte de la loi des triplets « purs » et passe aux puissances du nombre. D'ailleurs, ils sont très faciles à calculer, puisque 2 est presque égal à 10 (autrefois en Inde, le nombre était même défini comme la racine de 10). On peut continuer à ajuster les cycles des époques, périodes et ères géologiques à des puissances entières de trois (ce que fait notamment G. Rosenberg dans la collection « Eureka-88 », 1988) ou aux nombres 3,14. Et vous pouvez toujours formuler des vœux pieux avec différents degrés de précision. (A propos des ajustements, une blague mathématique nous vient à l'esprit. Prouvons que les nombres impairs sont des nombres premiers. On prend : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, etc., et 9 voici un résultat expérimental erreur.) Et pourtant, l'idée du rôle non évident du nombre p dans de nombreux phénomènes géologiques et biologiques ne semble pas entièrement vide, et peut-être se manifestera-t-elle dans le futur.

Tout le monde sait qu'une onde continue dans le temps peut être décrite par une onde sinusoïdale ou la somme des ondes sinusoïdales et cosinusoïdales. En mathématiques, en physique et en génie électrique, une telle onde (d'amplitude égale à 1) est décrite par la fonction exponentielle e iβt = cos βt + isin βt, où β est la fréquence des oscillations harmoniques. L'une des formules mathématiques les plus célèbres est écrite ici : la formule d'Euler. C'est en l'honneur du grand Leonhard Euler (1707-1783) que le chiffre e fut nommé d'après la première lettre de son nom de famille.

Cette formule est bien connue des étudiants, mais elle doit être expliquée aux étudiants des écoles non mathématiques, car les nombres complexes sont exclus des programmes scolaires ordinaires à notre époque. Le nombre complexe z = x+iy se compose de deux termes : le nombre réel (x) et le nombre imaginaire, qui est le nombre réel y multiplié par l'unité imaginaire. Les nombres réels sont comptés le long de l'axe réel O x, et les nombres imaginaires sont comptés sur la même échelle le long de l'axe imaginaire O y, dont l'unité est i, et la longueur de ce segment unitaire est le module | je | =1. Ainsi, un nombre complexe correspond à un point du plan de coordonnées (x, y). Ainsi, la forme inhabituelle du nombre e avec un exposant contenant uniquement des unités imaginaires i signifie la présence uniquement d'oscillations non amorties décrites par une onde cosinusoïdale et sinusoïdale.

Il est clair qu’une onde non amortie démontre le respect de la loi de conservation de l’énergie d’une onde électromagnétique dans le vide. Cette situation se produit lors de l'interaction « élastique » d'une onde avec un milieu sans perte de son énergie. Formellement, cela peut s'exprimer ainsi : si vous déplacez le point de référence le long de l'axe du temps, l'énergie de l'onde sera préservée, puisque l'onde harmonique conservera la même amplitude et la même fréquence, c'est-à-dire les unités d'énergie, et seulement sa La phase, la partie de la période éloignée du nouveau point de référence, va changer. Mais la phase n'affecte pas l'énergie précisément à cause de l'uniformité du temps lorsque le point de référence est déplacé. Ainsi, le transfert parallèle du système de coordonnées (on l'appelle traduction) est légal en raison de l'homogénéité du temps t. Maintenant, il est probablement clair en principe pourquoi l’homogénéité dans le temps conduit à la loi de conservation de l’énergie.

Imaginons ensuite une vague non pas dans le temps, mais dans l'espace. Un bon exemple en est une onde stationnaire (oscillations d'une corde stationnaire à plusieurs nœuds) ou des ondulations de sable côtier. Mathématiquement, cette onde le long de l'axe O x s'écrira e ix = cos x + isin x. Il est clair que dans ce cas, la translation selon x ne changera ni le cosinus ni la sinusoïde si l'espace est homogène le long de cet axe. Là encore, seule leur phase changera. Il est connu de la physique théorique que l'homogénéité de l'espace conduit à la loi de conservation de la quantité de mouvement (impulsion), c'est-à-dire la masse multipliée par la vitesse. Supposons maintenant que l'espace soit homogène dans le temps (et la loi de conservation de l'énergie est satisfaite), mais inhomogène en coordonnées. Ensuite, en différents points de l'espace inhomogène, la vitesse serait également différente, puisque par unité de temps homogène il y aurait différentes valeurs de la longueur des segments parcourus par seconde par une particule avec une masse donnée (ou une onde avec un élan donné).

Ainsi, nous pouvons formuler la deuxième thèse principale :

2. Le nombre e comme base d'une fonction d'une variable complexe reflète deux lois fondamentales de conservation : l'énergie - à travers l'homogénéité du temps, la quantité de mouvement - à travers l'homogénéité de l'espace.

Et pourtant, pourquoi exactement le nombre e, et pas un autre, a-t-il été inclus dans la formule d’Euler et s’est avéré être à la base de la fonction d’onde ? En restant dans le cadre des cours scolaires de mathématiques et de physique, il n'est pas facile de répondre à cette question. L'auteur a discuté de ce problème avec le théoricien, docteur en sciences physiques et mathématiques V.D. Efros, et nous avons essayé d'expliquer la situation comme suit.

La classe de processus la plus importante - les processus linéaires et linéarisés - conserve sa linéarité précisément en raison de l'homogénéité de l'espace et du temps. Mathématiquement, un processus linéaire est décrit par une fonction qui sert de solution à une équation différentielle à coefficients constants (ce type d'équations est étudié en première et en deuxième années dans les universités et collèges). Et son noyau est la formule d'Euler ci-dessus. La solution contient donc une fonction complexe de base e, tout comme l’équation des ondes. De plus, c'est e, et non un autre chiffre dans la base du diplôme ! Parce que seule la fonction ex ne change pas pour un certain nombre de différenciations et d'intégrations. Et donc, après substitution dans l’équation d’origine, seule la solution de base e donnera une identité, comme le devrait une solution correcte.

Écrivons maintenant la solution de l'équation différentielle à coefficients constants, qui décrit la propagation d'une onde harmonique dans un milieu, en tenant compte de l'interaction inélastique avec celui-ci, conduisant à la dissipation d'énergie ou à l'acquisition d'énergie provenant de sources externes :

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

On voit que la formule d'Euler est multipliée par une variable réelle e αt, qui est l'amplitude de l'onde changeant dans le temps. Ci-dessus, par souci de simplicité, nous l'avons supposé constant et égal à 1. Cela peut être fait dans le cas d'oscillations harmoniques non amorties, avec α = 0. Dans le cas général de toute onde, le comportement de l'amplitude dépend du signe du coefficient a avec la variable t (temps) : si α > 0, l'amplitude des oscillations augmente si α< 0, затухает по экспоненте.

Le dernier paragraphe est peut-être difficile pour les diplômés de nombreuses écoles ordinaires. Il devrait cependant être compréhensible pour les étudiants des universités et des collèges qui étudient en profondeur les équations différentielles à coefficients constants.

Posons maintenant β = 0, c'est-à-dire que nous détruirons le facteur oscillatoire de numéro i dans la solution contenant la formule d'Euler. Des anciennes oscillations, seule « l’amplitude » qui décroît (ou augmente) de façon exponentielle restera.

Pour illustrer les deux cas, imaginez un pendule. Dans le vide, il oscille sans s'amortir. Dans l'espace avec un milieu résistif, des oscillations se produisent avec une décroissance exponentielle en amplitude. Si vous déviez un pendule pas trop massif dans un milieu suffisamment visqueux, il se déplacera alors en douceur vers la position d'équilibre, ralentissant de plus en plus.

Ainsi, de la thèse 2 nous pouvons déduire le corollaire suivant :

Corollaire 1. En l'absence d'une partie imaginaire purement vibrationnelle de la fonction f(t), à β = 0 (c'est-à-dire à fréquence nulle), la partie réelle de la fonction exponentielle décrit de nombreux processus naturels qui se déroulent conformément au principe fondamental : l'augmentation de la valeur est proportionnelle à la valeur elle-même .

Le principe formulé mathématiquement ressemble à ceci : ∆I ~ I∆t, où, disons, I est un signal, et ∆t est un petit intervalle de temps pendant lequel le signal ∆I augmente. En divisant les deux côtés de l'égalité par I et en intégrant, on obtient lnI ~ kt. Ou : I ~ e kt - la loi d'augmentation ou de diminution exponentielle du signal (selon le signe de k). Ainsi, la loi de proportionnalité de l'augmentation d'une valeur à la valeur elle-même conduit à un logarithme népérien et donc au nombre e (et ici cela est montré sous une forme accessible aux lycéens qui connaissent les éléments d'intégration.)

De nombreux processus se déroulent de manière exponentielle avec un argument valable, sans hésitation, en physique, chimie, biologie, écologie, économie, etc. On note surtout la loi psychophysique universelle de Weber - Fechner (pour une raison ignorée dans les programmes éducatifs des écoles et universités) . On y lit : « La force de la sensation est proportionnelle au logarithme de la force de la stimulation. »

La vision, l'ouïe, l'odorat, le toucher, le goût, les émotions et la mémoire sont soumis à cette loi (bien entendu, jusqu'à ce que les processus physiologiques se transforment brusquement en pathologiques, lorsque les récepteurs ont subi une modification ou une destruction). Selon la loi : 1) une légère augmentation du signal d'irritation dans n'importe quel intervalle correspond à une augmentation linéaire (avec un plus ou un moins) de la force de la sensation ; 2) dans la zone des signaux d'irritation faibles, l'augmentation de la force de la sensation est beaucoup plus forte que dans la zone des signaux forts. Prenons l'exemple du thé : un verre de thé avec deux morceaux de sucre est perçu comme deux fois plus sucré qu'un thé avec un morceau de sucre ; mais il est peu probable qu'un thé avec 20 morceaux de sucre semble sensiblement plus sucré qu'avec 10 morceaux. La plage dynamique des récepteurs biologiques est colossale : les signaux reçus par l'œil peuvent varier en intensité d'environ 10 10 , et par l'oreille - d'environ 10 12 fois. La faune s'est adaptée à de telles aires de répartition. Il se protège en prenant un logarithme (par limitation biologique) des stimuli entrants, sinon les récepteurs mourraient. L'échelle logarithmique (décibel) d'intensité sonore, largement utilisée, est basée sur la loi de Weber-Fechner, selon laquelle fonctionnent les commandes de volume des équipements audio : leur déplacement est proportionnel au volume perçu, mais pas à l'intensité sonore ! (La sensation est proportionnelle à lg/ 0. Le seuil d'audibilité est pris égal à p 0 = 10 -12 J/m 2 s. Au seuil nous avons lg1 = 0. Une augmentation de la force (pression) du son de 10 fois correspond approximativement à la sensation d'un murmure, soit 1 bel au-dessus du seuil sur une échelle logarithmique. Amplification du son un million de fois depuis un murmure jusqu'à un cri (jusqu'à 10 -5 J/m 2 s) sur une échelle logarithmique. soit une augmentation de 6 ordres de grandeur ou 6 Bel.)

Un tel principe est probablement optimal pour le développement de nombreux organismes. Cela peut être clairement observé dans la formation de spirales logarithmiques dans les coquilles de mollusques, dans les rangées de graines dans un panier de tournesol et dans les écailles des cônes. La distance au centre augmente selon la loi r = ae kj. A chaque instant, le taux de croissance est linéairement proportionnel à cette distance elle-même (ce qui est facile à constater si l'on prend la dérivée de la fonction écrite). Les profils des couteaux et couteaux rotatifs sont réalisés selon une spirale logarithmique.

Corollaire 2. La présence uniquement de la partie imaginaire de la fonction à α = 0, β 0 dans la solution d'équations différentielles à coefficients constants décrit une variété de processus linéaires et linéarisés dans lesquels des oscillations harmoniques non amorties ont lieu.

Ce corollaire nous ramène au modèle déjà évoqué ci-dessus.

Corollaire 3. Lors de la mise en œuvre du corollaire 2, il y a une « clôture » dans une seule formule de nombres et e via la formule historique d'Euler dans sa forme originale e i = -1.

Sous cette forme, Euler a d'abord publié son exposant avec un exposant imaginaire. Il n'est pas difficile de l'exprimer par le cosinus et le sinus du côté gauche. Le modèle géométrique de cette formule sera alors un mouvement circulaire avec une vitesse constante en valeur absolue, qui est la somme de deux oscillations harmoniques. Selon l'essence physique, la formule et son modèle reflètent les trois propriétés fondamentales de l'espace-temps - leur homogénéité et leur isotropie, et donc les trois lois de conservation.

Conclusion

La thèse sur le lien entre les lois de conservation et l'homogénéité du temps et de l'espace est sans aucun doute correcte pour l'espace euclidien en physique classique et pour l'espace pseudo-euclidien de Minkowski dans la théorie générale de la relativité (GR, où le temps est la quatrième coordonnée). Mais dans le cadre de la relativité générale, une question naturelle se pose : quelle est la situation dans les régions aux champs gravitationnels immenses, à proximité des singularités, en particulier à proximité des trous noirs ? Les physiciens ont des avis divergents sur ce point : la plupart pensent que ces principes fondamentaux restent les mêmes dans ces conditions extrêmes. Cependant, il existe d'autres points de vue de chercheurs faisant autorité. Tous deux travaillent à la création d’une nouvelle théorie de la gravité quantique.

Pour imaginer brièvement les problèmes qui se posent ici, citons les mots de l'académicien théoricien A. A. Logunov : « Il (espace Minkowski. - Auto.) reflète des propriétés communes à toutes les formes de matière. Cela garantit l'existence de caractéristiques physiques unifiées - énergie, élan, moment cinétique, lois de conservation de l'énergie, élan. Mais Einstein a soutenu que cela n'est possible qu'à une seule condition : en l'absence de gravité.<...>. De cette déclaration d'Einstein, il s'ensuit que l'espace-temps ne devient pas pseudo-euclidien, mais beaucoup plus complexe dans sa géométrie - riemannien. Cette dernière n'est plus homogène. Cela change d’un point à l’autre. La propriété de courbure de l'espace apparaît. La formulation exacte des lois de conservation, telles qu'elles étaient acceptées en physique classique, y disparaît également.<...>À proprement parler, en relativité générale, il est en principe impossible d'introduire les lois de conservation de l'énergie-impulsion ; elles ne peuvent pas être formulées" (voir "Science et Vie" n° 2, 3, 1987).

Les constantes fondamentales de notre monde, dont nous avons parlé de la nature, sont connues non seulement des physiciens, mais aussi des paroliers. Ainsi, le nombre irrationnel égal à 3,14159265358979323846.. a inspiré l'éminent poète polonais du XXe siècle, prix Nobel en 1996 Wislawa Szymborska, à créer le poème « Pi », par une citation de laquelle nous terminerons ces notes :

Un nombre digne d’admiration :
Trois virgule un quatre un.
Chaque numéro donne un sentiment
début - cinq neuf deux,
parce que vous n’arriverez jamais au bout.
Vous ne pouvez pas saisir tous les chiffres d’un seul coup d’œil.
six cinq trois cinq.
Opérations arithmétiques -
huit neuf -
cela ne suffit plus, et c'est difficile à croire -
sept neuf -
que tu ne peux pas t'en sortir - trois deux trois
huit -
ni une équation qui n'existe pas,
ce n'est pas une comparaison pour plaisanter -
vous ne pouvez pas les compter.
Passons à autre chose : quatre six...
(Traduction du polonais - B. G.)

e- une constante mathématique, base du logarithme népérien, un nombre irrationnel et transcendantal. e= 2,718281828459045… Parfois le nombre e appelé Numéro d'Euler ou numéro sans plume. Joue un rôle important dans le calcul différentiel et intégral.

Méthodes de détermination

Le nombre e peut être défini de plusieurs manières.

Propriétés

Histoire

Ce numéro est parfois appelé sans plumes en l'honneur du scientifique écossais John Napier, auteur de l'ouvrage « Description de l'étonnante table des logarithmes » (1614). Cependant, ce nom n'est pas tout à fait correct, car il possède un logarithme du nombre xétait égal .

Pour la première fois, la constante est officieusement présente dans l'annexe à la traduction anglaise de l'ouvrage de Napier susmentionné, publié en 1618. Officieusement, parce qu'elle ne contient qu'un tableau de logarithmes naturels, la constante elle-même n'est pas définie. On suppose que l'auteur du tableau était le mathématicien anglais William Oughtred. La constante elle-même a été dérivée pour la première fois par le mathématicien suisse Jacob Bernoulli en essayant de calculer la valeur de la limite suivante :

La première utilisation connue de cette constante, où elle était désignée par la lettre b, trouvé dans les lettres de Gottfried Leibniz à Christian Huygens, 1690 et 1691. Lettre e Leonhard Euler a commencé à l'utiliser en 1727, et la première publication avec cette lettre fut son ouvrage « La mécanique, ou la science du mouvement, expliquée analytiquement » en 1736. En conséquence, e parfois appelé Numéro d'Euler. Bien que certains scientifiques aient ensuite utilisé la lettre c, lettre e a été utilisé plus souvent et constitue désormais la désignation standard.

Pourquoi la lettre a-t-elle été choisie ? e, exactement inconnu. Cela est peut-être dû au fait que le mot commence par exponentiel(« indicatif », « exponentiel »). Une autre hypothèse est que les lettres un,b,c Et d ont déjà été largement utilisés à d'autres fins, et e fut la première lettre « gratuite ». Il n’est pas plausible de supposer qu’Euler ait choisi e comme première lettre de votre nom de famille (allemand. Euler), parce qu'il était une personne très modeste et essayait toujours de souligner l'importance du travail des autres.

Méthodes de mémorisation

Nombre e peut être mémorisé à l'aide de la règle mnémonique suivante : deux et sept, puis deux fois l'année de naissance de Léon Tolstoï (1828), puis les angles d'un triangle rectangle isocèle ( 45 ,90 Et 45 degrés).

Dans une autre version des règles e associé au président américain Andrew Jackson : 2 - tant de fois élu, 7 - il fut le septième président américain, 1828 - l'année de son élection, répétée deux fois puisque Jackson a été élu deux fois. Puis - encore un triangle rectangle isocèle.

Une autre méthode intéressante consiste à mémoriser le numéro e précis à trois décimales près grâce au « nombre du diable » : il faut diviser 666 par un nombre composé des nombres 6 - 4, 6 - 2, 6 - 1 (trois six, dont les trois premières puissances de deux sont supprimées dans l'ordre inverse) : .

La quatrième méthode suggère de se souvenir e Comment .

Une approximation approximative (précise à 0,001) mais bonne suggère eégal Une approximation très grossière (avec une précision de 0,01) est donnée par l'expression.

« Boeing Rule » : donne une bonne précision de 0,0005.

« Verset » : Nous avons flotté et brillé, mais nous étions coincés dans le col ; Ils n’ont pas reconnu notre rallye volé.

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 7 15 738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​​​92069 5 5170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26 560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 2 1112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 79 610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30 436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 4 5635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 01210 05627 88023 51920