Description de la solution. Équation en différentiels totaux Définition de l'équation en différentiels totaux

certaines fonctions. Si l'on restitue une fonction à partir de sa différentielle totale, on retrouvera l'intégrale générale de l'équation différentielle. Ci-dessous, nous parlerons de méthode de restauration d'une fonction à partir de son différentiel total.

Le côté gauche d'une équation différentielle est la différentielle totale d'une fonction U(x, y) = 0, si la condition est remplie.

Parce que fonction différentielle complète U(x, y) = 0 Ce , ce qui signifie que lorsque la condition est remplie, il est indiqué que .

Alors, .

De la première équation du système on obtient . On trouve la fonction en utilisant la deuxième équation du système :

De cette façon, nous trouverons la fonction recherchée U(x, y) = 0.

Exemple.

Trouvons la solution générale du DE .

Solution.

Dans notre exemple. La condition est remplie car :

Ensuite, le côté gauche de l’équation différentielle initiale est la différentielle totale d’une fonction U(x, y) = 0. Nous devons trouver cette fonction.

Parce que est la différentielle totale de la fonction U(x, y) = 0, Moyens:

Nous intégrons par X 1ère équation du système et dériver par rapport à oui résultat:

A partir de la 2ème équation du système on obtient . Moyens:

Où AVEC- constante arbitraire.

Ainsi, l’intégrale générale de l’équation donnée sera .

Il y en a un deuxième méthode de calcul d'une fonction à partir de son différentiel total. Elle consiste à prendre la droite intégrale d'un point fixe (x 0 , oui 0) vers un point à coordonnées variables (x, y): . Dans ce cas, la valeur de l’intégrale est indépendante du chemin d’intégration. Il est pratique de prendre comme chemin d'intégration une ligne brisée dont les liens sont parallèles aux axes de coordonnées.

Exemple.

Trouvons la solution générale du DE .

Solution.

Nous vérifions le respect de la condition :

Ainsi, le côté gauche de l’équation différentielle est la différentielle complète d’une fonction U(x, y) = 0. Trouvons cette fonction en calculant l'intégrale curviligne du point (1; 1) avant (x, y). Comme chemin d'intégration, nous prenons une ligne brisée : la première section de la ligne brisée est passée le long d'une ligne droite y = 1 du point (1, 1) avant (x, 1), comme deuxième section du chemin, nous prenons un segment de droite à partir du point (x, 1) avant (x, y):

Ainsi, la solution générale de la télécommande ressemble à ceci : .

Exemple.

Déterminons la solution générale du DE.

Solution.

Parce que , ce qui signifie que la condition n'est pas remplie, alors le côté gauche de l'équation différentielle ne sera pas une différentielle complète de la fonction et vous devez utiliser la deuxième méthode de solution (cette équation est une équation différentielle à variables séparables).

Différentiel appelé une équation de la forme

P.(x,y)dx + Q(x,y)mourir = 0 ,

où le côté gauche est la différentielle totale de toute fonction de deux variables.

Notons la fonction inconnue de deux variables (c'est ce qu'il faut trouver lors de la résolution d'équations aux différentielles totales) par F et nous y reviendrons bientôt.

La première chose à laquelle vous devez faire attention est qu'il doit y avoir un zéro du côté droit de l'équation et que le signe reliant les deux termes du côté gauche doit être un plus.

Deuxièmement, une certaine égalité doit être observée, ce qui confirme que cette équation différentielle est une équation aux différentielles totales. Cette vérification est une partie obligatoire de l'algorithme de résolution d'équations aux différentielles totales (c'est dans le deuxième paragraphe de cette leçon), donc le processus de recherche d'une fonction F cela demande beaucoup de travail et il est important de s'assurer dès le début que nous ne perdons pas de temps.

Ainsi, la fonction inconnue qui doit être trouvée est notée F. La somme des différentiels partiels pour toutes les variables indépendantes donne le différentiel total. Par conséquent, si l’équation est une équation différentielle totale, le côté gauche de l’équation est la somme des dérivées partielles. Alors par définition

dF = P.(x,y)dx + Q(x,y)mourir .

Rappelons la formule de calcul du différentiel total d'une fonction de deux variables :

En résolvant les deux dernières égalités, on peut écrire

On différencie la première égalité par rapport à la variable « y », la seconde - par rapport à la variable « x » :

ce qui est une condition pour qu’une équation différentielle donnée soit véritablement une équation différentielle totale.

Algorithme de résolution d'équations différentielles en différentielles totales

Étape 1. Assurez-vous que l'équation est une équation différentielle totale. Pour que l'expression était le différentiel total d'une fonction F(x, y) est nécessaire et suffisant pour que . En d’autres termes, vous devez prendre la dérivée partielle par rapport à X et la dérivée partielle par rapport à oui un autre terme et, si ces dérivées sont égales, alors l'équation est une équation différentielle totale.

Étape 2.Écrivez un système d'équations aux dérivées partielles qui composent la fonction F:

Étape 3. Intégrer la première équation du système - par X (oui F:

,
oui.

Une option alternative (s'il est plus facile de trouver l'intégrale de cette façon) consiste à intégrer la deuxième équation du système - en oui (X reste une constante et est retiré du signe intégral). De cette façon, la fonction est également restaurée F:

,
où est une fonction encore inconnue de X.

Étape 4. Le résultat de l'étape 3 (l'intégrale générale trouvée) est différencié par oui(alternativement - selon X) et équivaut à la deuxième équation du système :

et dans une version alternative - à la première équation du système :

À partir de l'équation résultante, nous déterminons (alternativement)

Étape 5. Le résultat de l'étape 4 est d'intégrer et de trouver (ou de trouver ).

Étape 6. Remplacer le résultat de l'étape 5 par le résultat de l'étape 3 - dans la fonction restaurée par intégration partielle F. Constante arbitraire C souvent écrit après le signe égal - du côté droit de l'équation. On obtient ainsi une solution générale de l'équation différentielle en différentielles totales. Comme déjà mentionné, il a la forme F(x, y) = C.

Exemples de solutions aux équations différentielles en différentielles totales

Exemple 1.

Étape 1. équation en différentiels totaux X un terme à gauche de l'expression

et la dérivée partielle par rapport à oui un autre terme
équation en différentiels totaux .

Étape 2. F:

Étape 3. Par X (oui reste une constante et est retiré du signe intégral). On rétablit ainsi la fonction F:

où est une fonction encore inconnue de oui.

Étape 4. oui

Étape 5.

Étape 6. F. Constante arbitraire C :
.

Quelle erreur est la plus susceptible de se produire ici ? Les erreurs les plus courantes sont de prendre une intégrale partielle sur l'une des variables pour l'intégrale habituelle d'un produit de fonctions et d'essayer de l'intégrer par parties ou une variable de remplacement, et aussi de prendre la dérivée partielle de deux facteurs comme dérivée d'un produit de fonctions et recherchez la dérivée à l’aide de la formule correspondante.

Il faut le rappeler : lors du calcul d'une intégrale partielle par rapport à l'une des variables, l'autre est une constante et est sortie du signe de l'intégrale, et lors du calcul de la dérivée partielle par rapport à l'une des variables, l'autre est également une constante et la dérivée de l'expression se trouve comme la dérivée de la variable « agissante » multipliée par la constante.

Parmi équations aux différentielles totales Il n'est pas rare de trouver des exemples avec une fonction exponentielle. C'est l'exemple suivant. Il se distingue également par le fait que sa solution utilise une option alternative.

Exemple 2. Résoudre l'équation différentielle

Étape 1. Assurons-nous que l'équation est équation en différentiels totaux . Pour ce faire, on trouve la dérivée partielle par rapport à X un terme à gauche de l'expression

et la dérivée partielle par rapport à oui un autre terme
. Ces dérivées sont égales, ce qui signifie que l’équation est équation en différentiels totaux .

Étape 2.Écrivons un système d'équations aux dérivées partielles qui composent la fonction F:

Étape 3. Intégrons la deuxième équation du système - par oui (X reste une constante et est retiré du signe intégral). On rétablit ainsi la fonction F:

où est une fonction encore inconnue de X.

Étape 4. Nous différencions le résultat de l'étape 3 (l'intégrale générale trouvée) par rapport à X

et équivaut à la première équation du système :

A partir de l'équation résultante, nous déterminons :
.

Étape 5. On intègre le résultat de l'étape 4 et on trouve :
.

Étape 6. On substitue le résultat de l'étape 5 par le résultat de l'étape 3 - dans la fonction restaurée par intégration partielle F. Constante arbitraire Cécrire après le signe égal. On obtient ainsi le total résoudre une équation différentielle en différentielles totales :
.

Dans l'exemple suivant, nous revenons d'une option alternative à la principale.

Exemple 3. Résoudre l'équation différentielle

Étape 1. Assurons-nous que l'équation est équation en différentiels totaux . Pour ce faire, on trouve la dérivée partielle par rapport à oui un terme à gauche de l'expression

et la dérivée partielle par rapport à X un autre terme
. Ces dérivées sont égales, ce qui signifie que l’équation est équation en différentiels totaux .

Étape 2.Écrivons un système d'équations aux dérivées partielles qui composent la fonction F:

Étape 3. Intégrons la première équation du système - Par X (oui reste une constante et est retiré du signe intégral). On rétablit ainsi la fonction F:

où est une fonction encore inconnue de oui.

Étape 4. Nous différencions le résultat de l'étape 3 (l'intégrale générale trouvée) par rapport à oui

et équivaut à la deuxième équation du système :

A partir de l'équation résultante, nous déterminons :
.

Étape 5. On intègre le résultat de l'étape 4 et on trouve :

Exemple 4. Résoudre l'équation différentielle

Étape 2.Écrivons un système d'équations aux dérivées partielles qui composent la fonction F:

Étape 3. Intégrons la première équation du système - Par X (oui reste une constante et est retiré du signe intégral). On rétablit ainsi la fonction F:

où est une fonction encore inconnue de oui.

Étape 4. Nous différencions le résultat de l'étape 3 (l'intégrale générale trouvée) par rapport à oui

et équivaut à la deuxième équation du système :

A partir de l'équation résultante, nous déterminons :
.

Étape 5. On intègre le résultat de l'étape 4 et on trouve :

Exemple 5. Résoudre l'équation différentielle

Montre comment reconnaître une équation différentielle dans les différentiels totaux. Des méthodes pour le résoudre sont données. Un exemple de résolution d'une équation aux différentielles totales de deux manières est donné.

Contenu

Introduction

Une équation différentielle du premier ordre en différentielles totales est une équation de la forme :
(1) ,
où le côté gauche de l'équation est la différentielle totale d'une fonction U (x, y)à partir des variables x, y :
.
Dans lequel .

Si une telle fonction U est trouvée (x, y), alors l'équation prend la forme :
dU (x, y) = 0.
Son intégrale générale est :
U (x, y) = C,
où C est une constante.

Si une équation différentielle du premier ordre s’écrit en fonction de sa dérivée :
,
alors il est facile de le mettre en forme (1) . Pour ce faire, multipliez l'équation par dx. Alors . En conséquence, nous obtenons une équation exprimée en termes de différentielles :
(1) .

Propriété d'une équation différentielle en différentielles totales

Pour que l'équation (1) était une équation en différentielles totales, il faut et suffisant que la relation soit vraie :
(2) .

Preuve

Nous supposons en outre que toutes les fonctions utilisées dans la preuve sont définies et ont des dérivées correspondantes dans une certaine plage de valeurs des variables x et y. Pointx 0 , oui 0 appartient également à ce domaine.

Montrons la nécessité de la condition (2).
Soit le côté gauche de l'équation (1) est la différentielle d'une fonction U (x, y):
.
Alors
;
.
Puisque la dérivée seconde ne dépend pas de l’ordre de différenciation, alors
;
.
Il s'ensuit que. Condition de nécessité (2) éprouvé.

Montrons la suffisance de la condition (2).
Que la condition soit satisfaite (2) :
(2) .
Montrons qu'il est possible de trouver une telle fonction U (x, y) que son différentiel est :
.
Cela signifie qu'il existe une telle fonction U (x, y), qui satisfait les équations :
(3) ;
(4) .
Trouvons une telle fonction. Intégrons l'équation (3) par x à partir de x 0 à x, en supposant que y est une constante :
;
;
(5) .
Nous différencions par rapport à y, en supposant que x est une constante et appliquons (2) :

.
L'équation (4) sera exécuté si
.
Intégrer sur y à partir de y 0 jouet:
;
;
.
Remplacer dans (5) :
(6) .
Nous avons donc trouvé une fonction dont le différentiel
.
La suffisance a été prouvée.

Dans la formule (6) , U (x 0 , oui 0) est une constante - la valeur de la fonction U (x, y) au point x 0 , oui 0. On peut lui attribuer n’importe quelle valeur.

Comment reconnaître une équation différentielle dans les différentiels totaux

Considérons l'équation différentielle :
(1) .
Pour déterminer si cette équation est en différentiels totaux, vous devez vérifier la condition (2) :
(2) .
Si cela est vrai, alors cette équation est en différentielles totales. Sinon, il ne s’agit pas d’une équation différentielle totale.

Exemple

Vérifiez si l'équation est en différentiels totaux :
.

Ici
, .
On différencie par rapport à y, en considérant x constant :

.
Différencions

.
Parce que le:
,
alors l'équation donnée est en différentielles totales.

Méthodes de résolution d'équations différentielles dans les différentielles totales

Méthode d'extraction différentielle séquentielle

La méthode la plus simple pour résoudre une équation en différentielles totales est la méthode d’isolement séquentiel du différentiel. Pour ce faire, nous utilisons des formules de différenciation écrites sous forme différentielle :
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Dans ces formules, u et v sont des expressions arbitraires constituées de n'importe quelle combinaison de variables.

Exemple 1

Résous l'équation:
.

Nous avons constaté précédemment que cette équation était en différentiels totaux. Transformons-le :
(P1) .
Nous résolvons l'équation en isolant séquentiellement le différentiel.
;
;
;
;

.
Remplacer dans (P1):
;
.

Méthode d'intégration successive

Dans cette méthode on recherche la fonction U (x, y), satisfaisant les équations :
(3) ;
(4) .

Intégrons l'équation (3) en x, en considérant y constant :
.
Ici φ (o)- une fonction arbitraire de y qu'il faut déterminer. C'est la constante de l'intégration. Remplacer dans l'équation (4) :
.
D'ici:
.
En intégrant, on trouve φ (o) et donc U (x, y).

Exemple 2

Résolvez l'équation en différentielles totales :
.

Nous avons constaté précédemment que cette équation est en différentiels totaux. Introduisons la notation suivante :
, .
À la recherche de la fonction U (x, y), dont la différentielle est le côté gauche de l'équation :
.
Alors:
(3) ;
(4) .
Intégrons l'équation (3) en x, en considérant y constant :
(P2)
.
Différencier par rapport à y :

.
Remplaçons (4) :
;
.
Intégrons :
.
Remplaçons (P2):

.
Intégrale générale de l'équation :
U (x, y) = const.
Nous combinons deux constantes en une seule.

Méthode d'intégration le long d'une courbe

Fonction U, définie par la relation :
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
peut être trouvé en intégrant cette équation le long de la courbe reliant les points (x 0 , oui 0) Et (x, y):
(7) .
Parce que le
(8) ,
alors l'intégrale ne dépend que des coordonnées de l'initiale (x 0 , oui 0) et finale (x, y) points et ne dépend pas de la forme de la courbe. Depuis (7) Et (8) nous trouvons:
(9) .
Ici x 0 Andy 0 - permanent. Donc U (x 0 , oui 0)- également constant.

Un exemple d'une telle définition de U a été obtenu dans la preuve :
(6) .
Ici, l'intégration est effectuée d'abord le long d'un segment parallèle à l'axe y à partir du point (x 0 , oui 0 ) jusqu'au point (x 0 , oui). Ensuite l'intégration est effectuée le long d'un segment parallèle à l'axe des x à partir du point (x 0 , oui) jusqu'au point (x, y) .

Plus généralement, il faut représenter l'équation d'une courbe reliant les points (x 0 , oui 0 ) Et (x, y) sous forme paramétrique :
X 1 = s(t1); oui 1 = r(t1);
X 0 = s(t0); oui 0 = r(t0);
x = s (t); y = r (t);
et intégrer sur t 1 de t 0 à t.

Le moyen le plus simple d'effectuer l'intégration consiste à utiliser les points de connexion d'un segment. (x 0 , oui 0 ) Et (x, y). Dans ce cas:
X 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; oui 1 = oui 0 + (oui - oui 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) rét 1; mourir 1 = (y - y 0) dt 1.
Après substitution, on obtient l'intégrale sur t de 0 avant 1 .
Cette méthode conduit cependant à des calculs assez lourds.

Les références:
V.V. Stepanov, Cours d'équations différentielles, "LKI", 2015.

Définition 8.4.Équation différentielle de la forme

Où
est appelée une équation différentielle totale.

Notez que le côté gauche d'une telle équation est la différentielle totale d'une fonction
.

En général, l'équation (8.4) peut être représentée comme

Au lieu de l'équation (8.5), nous pouvons considérer l'équation

dont la solution est l'intégrale générale de l'équation (8.4). Ainsi, pour résoudre l’équation (8.4) il faut trouver la fonction
. Conformément à la définition de l’équation (8.4), nous avons

(8.6)

Fonction
nous chercherons une fonction qui vérifie une de ces conditions (8.6) :

Où - une fonction arbitraire indépendante de .

Fonction
est défini de telle sorte que la deuxième condition de l'expression (8.6) soit satisfaite

(8.7)

A partir de l'expression (8.7) la fonction est déterminée
. En le substituant dans l'expression pour
et obtenir l’intégrale générale de l’équation originale.

Problème 8.3. Intégrer l'équation

Ici
.

Cette équation appartient donc au type d’équations différentielles aux différentielles totales. Fonction
nous le chercherons sous la forme

D'un autre côté,

Dans certains cas, la condition
pourrait ne pas être remplie.

Ensuite, ces équations sont réduites au type considéré en multipliant par ce que l'on appelle le facteur intégrateur, qui, dans le cas général, est uniquement une fonction ou .

Si une équation a un facteur d'intégration qui dépend uniquement de , alors il est déterminé par la formule

où est la relation ne devrait être qu'une fonction .

De même, le facteur intégrateur dépendant uniquement de , est déterminé par la formule

où est la relation
ne devrait être qu'une fonction .

Absence dans les relations données, dans le premier cas, de la variable , et dans le second - la variable , sont le signe de l’existence d’un facteur intégrateur pour une équation donnée.

Problème 8.4. Réduisez cette équation à une équation aux différentielles totales.

Considérons la relation :

Thème 8.2. Équations différentielles linéaires

Définition 8.5. Équation différentielle
est dit linéaire s'il est linéaire par rapport à la fonction recherchée , son dérivé et ne contient pas le produit de la fonction recherchée et de son dérivé.

La forme générale d'une équation différentielle linéaire est représentée par la relation suivante :

(8.8)

Si dans la relation (8.8) le côté droit
, alors une telle équation est appelée linéaire homogène. Dans le cas où le côté droit
, alors une telle équation est appelée linéaire inhomogène.

Montrons que l'équation (8.8) peut être intégrée en quadratures.

Dans un premier temps, nous considérons une équation linéaire homogène.

Une telle équation est une équation à variables séparables. Vraiment,

;

La dernière relation détermine la solution générale d'une équation linéaire homogène.

Pour trouver une solution générale à une équation linéaire inhomogène, la méthode de variation de la dérivée d'une constante est utilisée. L'idée de la méthode est que la solution générale d'une équation linéaire inhomogène se présente sous la même forme que la solution de l'équation homogène correspondante, mais une constante arbitraire remplacé par une fonction
être déterminé. Donc nous avons:

(8.9)

En substituant dans la relation (8.8) les expressions correspondant
Et
, on a

En substituant la dernière expression dans la relation (8.9), on obtient l'intégrale générale de l'équation linéaire inhomogène.

Ainsi, la solution générale d'une équation linéaire inhomogène est déterminée par deux quadratures : la solution générale d'une équation linéaire homogène et une solution particulière d'une équation linéaire inhomogène.

Problème 8.5. Intégrer l'équation

Ainsi, l'équation originale appartient au type d'équations différentielles inhomogènes linéaires.

Dans un premier temps, nous trouverons une solution générale à une équation linéaire homogène.

;

Dans un deuxième temps, nous déterminons la solution générale de l'équation inhomogène linéaire, qui se présente sous la forme

Où
- fonction à déterminer.

Donc nous avons:

En remplaçant les relations par Et dans l’équation inhomogène linéaire originale, nous obtenons :

;

La solution générale d'une équation linéaire inhomogène aura la forme :

Ayant la forme standard $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, dans laquelle le côté gauche est la différentielle totale d'une fonction $F \left( x,y\right)$ est appelée une équation différentielle totale.

L'équation des différentielles totales peut toujours être réécrite sous la forme $dF\left(x,y\right)=0$, où $F\left(x,y\right)$ est une fonction telle que $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Intégrons les deux côtés de l'équation $dF\left(x,y\right)=0$ : $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; l'intégrale du membre droit zéro est égale à une constante arbitraire $C$. Ainsi, la solution générale de cette équation sous forme implicite est $F\left(x,y\right)=C$.

Pour qu'une équation différentielle donnée soit une équation aux différentielles totales, il faut et suffisant que la condition $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ être satisfait. Si la condition spécifiée est remplie, alors il existe une fonction $F\left(x,y\right)$, pour laquelle on peut écrire : $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, d'où on obtient deux relations : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ et $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right )$.

Nous intégrons la première relation $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ sur $x$ et obtenons $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, où $U\left(y\right)$ est une fonction arbitraire de $y$.

Sélectionnons-le pour que la deuxième relation $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ soit satisfaite. Pour ce faire, nous différencions la relation résultante pour $F\left(x,y\right)$ par rapport à $y$ et assimilons le résultat à $Q\left(x,y\right)$. On obtient : $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\droit)$.

L'autre solution est la suivante :

à partir de la dernière égalité, nous trouvons $U"\left(y\right)$ ;
intégrez $U"\left(y\right)$ et trouvez $U\left(y\right)$ ;
remplacez $U\left(y\right)$ dans l'égalité $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ et enfin on obtient la fonction $F\left(x,y\right)$.

On retrouve la différence :

Nous intégrons $U"\left(y\right)$ sur $y$ et trouvons $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Trouvez le résultat : $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

On écrit la solution générale sous la forme $F\left(x,y\right)=C$, à savoir :

Trouver une solution particulière $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, où $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $ :

La solution partielle a la forme : $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.