Ce qui est plus grand en décimales. Leçon "Comparer des nombres décimaux"

Ce sujet considérera à la fois le schéma général de comparaison de fractions décimales et une analyse détaillée du principe de comparaison de fractions finies et infinies. Nous renforcerons la partie théorique en résolvant des problèmes typiques. Nous examinerons également des exemples de comparaison de fractions décimales avec des nombres naturels ou mixtes et des fractions ordinaires.

Apportons une précision : en théorie, la comparaison des seules fractions décimales positives sera considérée ci-dessous.

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Principe général de comparaison de fractions décimales

Pour chaque décimale finie et décimale périodique infinie, certaines fractions ordinaires leur correspondent. Par conséquent, une comparaison de fractions périodiques finies et infinies peut être effectuée comme une comparaison des fractions ordinaires correspondantes. En fait, cette affirmation est le principe général pour comparer des fractions périodiques décimales.

Sur la base d'un principe général, des règles de comparaison de fractions décimales sont formulées, auxquelles il est possible de ne pas convertir les fractions décimales comparées en fractions ordinaires.

La même chose peut être dite des cas où une fraction périodique décimale est comparée à des nombres naturels ou à des nombres mixtes, des fractions ordinaires - les nombres donnés doivent être remplacés par leurs fractions ordinaires correspondantes.

Si nous parlons de comparer des fractions infinies non périodiques, cela se réduit généralement à comparer des fractions décimales finies. Pour considération, un tel nombre de signes des fractions décimales infinies non périodiques comparées est pris, ce qui permettra d'obtenir le résultat de la comparaison.

Décimales égales et inégales

Décimales égales- ce sont deux fractions décimales finies dont les fractions ordinaires correspondantes sont égales. Sinon les décimales sont inégal.

A partir de cette définition, il est facile de justifier l'affirmation suivante : si vous signez ou, à l'inverse, supprimez plusieurs chiffres 0 à la fin d'une fraction décimale donnée, vous obtiendrez une fraction décimale égale à celle-ci. Par exemple : 0, 5 = 0, 50 = 0, 500 = …. Ou : 130 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130. Essentiellement, ajouter ou supprimer un zéro à la fin d’une fraction à droite signifie multiplier ou diviser par 10 le numérateur et le dénominateur de la fraction ordinaire correspondante. Ajoutons à ce qui précède la propriété fondamentale des fractions (en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre naturel, on obtient une fraction égale à l'originale) et nous avons une preuve de l'énoncé ci-dessus.

Par exemple, la fraction décimale 0,7 correspond à la fraction commune 7 10. En ajoutant zéro à droite, on obtient la fraction décimale 0, 70, qui correspond à la fraction commune 70 100, 7 70 100 : 10 . Soit : 0,7 = 0,70. Et vice versa : en supprimant le zéro à droite dans la fraction décimale 0, 70, on obtient la fraction 0, 7 - ainsi, de la fraction décimale 70 100 on passe à la fraction 7 10, mais 7 10 = 70 : 10 100 : 10 Alors : 0, 70 = 0 , 7 .

Considérons maintenant le contenu du concept de fractions décimales périodiques infinies égales et inégales.

Définition 2

Fractions périodiques infinies égales sont des fractions périodiques infinies dont les fractions ordinaires correspondantes sont égales. Si les fractions ordinaires qui leur correspondent ne sont pas égales, alors les fractions périodiques données à titre de comparaison sont également inégal.

Cette définition nous permet de tirer les conclusions suivantes :

Si les notations des fractions décimales périodiques données coïncident, alors ces fractions sont égales. Par exemple, les fractions décimales périodiques 0,21 (5423) et 0,21 (5423) sont égales ;

Si dans les fractions périodiques décimales données, les périodes commencent à la même position, la première fraction a une période de 0 et la seconde a une période de 9 ; la valeur du chiffre précédant la période 0 est supérieure de un à la valeur du chiffre précédant la période 9, alors ces fractions décimales périodiques infinies sont égales. Par exemple, les fractions périodiques 91, 3 (0) et 91, 2 (9), ainsi que les fractions : 135, (0) et 134, (9) sont égales ;

Deux autres fractions périodiques ne sont pas égales. Par exemple : 8, 0 (3) et 6, (32) ; 0 , (42) et 0 , (131), etc.

Il reste à considérer les fractions décimales infinies non périodiques égales et inégales. Ces fractions sont des nombres irrationnels et ne peuvent pas être converties en fractions ordinaires. Par conséquent, la comparaison de fractions décimales infinies non périodiques ne se réduit pas à la comparaison de fractions ordinaires.

Définition 3

Décimales non périodiques infinies égales- ce sont des fractions décimales non périodiques dont les entrées coïncident complètement.

La question logique serait : comment comparer les enregistrements s'il est impossible de voir l'enregistrement « fini » de telles fractions ? Lorsque vous comparez des fractions décimales non périodiques infinies, vous devez considérer uniquement un certain nombre fini de signes des fractions spécifiées pour la comparaison afin que cela vous permette de tirer une conclusion. Ceux. Essentiellement, comparer des décimales non périodiques infinies revient à comparer des décimales finies.

Cette approche permet d'affirmer l'égalité de fractions infinies non périodiques seulement jusqu'au chiffre en question. Par exemple, les fractions 6, 73451... et 6, 73451... sont égales au cent millième le plus proche, car les fractions décimales finales 6, 73451 et 6, 7345 sont égales. Les fractions 20, 47... et 20, 47... sont égales aux centièmes les plus proches, car les fractions 20, 47 et 20, 47 et ainsi de suite sont égales.

L'inégalité des fractions infinies non périodiques s'établit de manière assez spécifique avec des différences évidentes dans la notation. Par exemple, les fractions 6, 4135... et 6, 4176... ou 4, 9824... et 7, 1132... et ainsi de suite sont inégales.

Règles de comparaison des fractions décimales. Exemples de résolution

S'il est établi que deux fractions décimales sont inégales, il est généralement également nécessaire de déterminer laquelle est la plus grande et laquelle est la plus petite. Considérons les règles de comparaison des fractions décimales, qui permettent de résoudre le problème ci-dessus.

Très souvent, il suffit de comparer des parties entières de fractions décimales données à titre de comparaison.

Définition 4

La fraction décimale dont la partie entière est la plus grande est la plus grande. La plus petite fraction est celle dont la partie entière est la plus petite.

Cette règle s'applique aux fractions décimales finies et infinies.

Exemple 1

Il faut comparer les fractions décimales : 7, 54 et 3, 97823....

Solution

Il est évident que les fractions décimales données ne sont pas égales. Leurs parties entières sont respectivement égales : 7 et 3. Parce que 7 > 3, puis 7, 54 > 3, 97823….

Répondre: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

Dans le cas où les parties entières des fractions données à comparer sont égales, la solution du problème se réduit à comparer les parties fractionnaires. La comparaison des parties fractionnaires est effectuée petit à petit - de la place des dixièmes aux dixièmes inférieurs.

Considérons d'abord le cas où nous devons comparer des fractions décimales finies.

Exemple 2

Il faut comparer les fractions décimales finales 0,65 et 0,6411.

Solution

Évidemment, les parties entières des fractions données sont égales (0 = 0). Comparons les parties fractionnaires : aux dixièmes les valeurs sont égales (6 = 6), mais aux centièmes la valeur de la fraction 0,65 est supérieure à la valeur des centièmes dans la fraction 0,6411 (5 > 4) . Ainsi, 0,65 > 0,6411.

Répondre: 0 , 65 > 0 , 6411 .

Dans certains problèmes comparant des fractions décimales finies avec différents nombres de décimales, il est nécessaire d'ajouter le nombre requis de zéros à droite de la fraction avec moins de décimales. Il est pratique d'égaliser de cette manière le nombre de décimales dans des fractions données avant même de commencer la comparaison.

Exemple 3

Il faut comparer les fractions décimales finales 67, 0205 et 67, 020542.

Solution

Ces fractions ne sont évidemment pas égales, car leurs dossiers sont différents. De plus, leurs parties entières sont égales : 67 = 67. Avant de commencer la comparaison bit à bit des parties fractionnaires de fractions données, égalisons le nombre de décimales en ajoutant des zéros à droite dans les fractions comportant moins de décimales. Ensuite, nous obtenons les fractions à comparer : 67, 020500 et 67, 020542. Nous effectuons une comparaison bit à bit et voyons qu'à la place des cent millièmes, la valeur dans la fraction 67,020542 est supérieure à la valeur correspondante dans la fraction 67,020500 (4 > 0). Ainsi, 67, 020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Répondre: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

S'il est nécessaire de comparer une fraction décimale finie avec une fraction infinie, alors la fraction finie est remplacée par une fraction infinie, égale à celle-ci avec une période de 0. Ensuite, une comparaison au niveau du bit est effectuée.

Exemple 4

Il faut comparer la fraction décimale finie 6, 24 avec la fraction décimale infinie non périodique 6, 240012...

Solution

On voit que les parties entières des fractions données sont égales (6 = 6). Aux dixièmes et centièmes, les valeurs des deux fractions sont également égales. Pour pouvoir tirer une conclusion, on continue la comparaison en remplaçant la fraction décimale finie par une fraction infinie égale de période 0 et on obtient : 6, 240000.... Ayant atteint la cinquième décimale, on trouve la différence : 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Réponse : 6, 24< 6 , 240012 … .

Lors de la comparaison de fractions décimales infinies, une comparaison lieu par lieu est également utilisée, qui se termine lorsque les valeurs à un endroit des fractions données s'avèrent différentes.

Exemple 5

Il faut comparer les fractions décimales infinies 7, 41 (15) et 7, 42172....

Solution

Dans les fractions données il y a des parties entières égales, les valeurs des dixièmes sont également égales, mais à la place des centièmes on voit une différence : 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Répondre: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Exemple 6

Il faut comparer les fractions périodiques infinies 4, (13) et 4, (131).

Solution:

Les égalités suivantes sont claires et vraies : 4, (13) = 4, 131313... et 4, (133) = 4, 131131.... Nous comparons les parties entières et les parties fractionnaires au niveau du bit, et à la quatrième décimale nous enregistrons l'écart : 3 > 1. Alors : 4, 131313... > 4, 131131..., et 4, (13) > 4, (131).

Répondre: 4 , (13) > 4 , (131) .

Pour obtenir le résultat de la comparaison d'une fraction décimale avec un nombre naturel, vous devez comparer la partie entière d'une fraction donnée avec un nombre naturel donné. Il faut tenir compte du fait que les fractions périodiques avec des périodes de 0 ou 9 doivent d'abord être représentées sous la forme de fractions décimales finies qui leur sont égales.

Définition 5

Si la partie entière d’une fraction décimale donnée est inférieure à un nombre naturel donné, alors la fraction entière est plus petite par rapport à l’entier naturel donné. Si la partie entière d’une fraction donnée est supérieure ou égale à un nombre naturel donné, alors la fraction est supérieure à l’entier naturel donné.

Exemple 7

Il faut comparer l'entier naturel 8 et la fraction décimale 9, 3142....

Solution:

L'entier naturel donné est inférieur à la partie entière de la fraction décimale donnée (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Répondre: 8 < 9 , 3142 … .

Exemple 8

Il faut comparer l'entier naturel 5 et la fraction décimale 5, 6.

Solution

La partie entière d'une fraction donnée est égale à un nombre naturel donné, alors, selon la règle ci-dessus, 5< 5 , 6 .

Répondre: 5 < 5 , 6 .

Exemple 9

Il faut comparer l'entier naturel 4 et la fraction décimale périodique 3, (9).

Solution

La période d'une fraction décimale donnée est 9, ce qui signifie qu'avant la comparaison, il est nécessaire de remplacer la fraction décimale donnée par un nombre fini ou naturel qui lui est égal. Dans ce cas : 3, (9) = 4. Ainsi, les données originales sont égales.

Réponse : 4 = 3, (9).

Pour comparer une fraction décimale avec une fraction ou un nombre fractionnaire, vous devez :

Écrivez une fraction ou un nombre fractionnaire sous forme décimale, puis comparez les décimales ou
- écrire une fraction décimale comme une fraction commune (à l'exception d'une fraction infinie non périodique), puis effectuer une comparaison avec une fraction commune ou un nombre fractionnaire donné.

Exemple 10

Il faut comparer la fraction décimale 0,34 et la fraction commune 1 3.

Solution

Résolvons le problème de deux manières.

1. Écrivons la fraction ordinaire donnée 1 3 sous la forme d'une fraction décimale périodique égale : 0, 33333.... Il devient alors nécessaire de comparer les fractions décimales 0, 34 et 0, 33333.... On obtient : 0, 34 > 0, 33333 ..., ce qui signifie 0, 34 > 1 3.
2. Écrivons la fraction décimale donnée 0, 34 comme une fraction ordinaire qui lui est égale. Soit : 0, 34 = 34 100 = 17,50. Comparons des fractions ordinaires avec différents dénominateurs et obtenons : 17 50 > 1 3. Ainsi, 0, 34 > 1 3.

Répondre: 0 , 34 > 1 3 .

Exemple 11

Il faut comparer la fraction décimale infinie non périodique 4, 5693... et un nombre fractionnaire 4 3 8 .

Solution

Une fraction décimale non périodique infinie ne peut pas être représentée comme un nombre fractionnaire, mais il est possible de convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre et de l'écrire à son tour sous la forme d'une fraction décimale égale. Alors: 4 3 8 = 35 8 et

Ceux.: 4 3 8 = 35 8 = 4,375. Comparons les fractions décimales : 4, 5693 ... et 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) et obtenons : 4, 5693 ... > 4 3 8.

Répondre: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Le segment AB est égal à 6 cm, soit 60 mm. Puisque 1 cm = dm, alors 6 cm = dm. Cela signifie que AB est de 0,6 dm. Puisque 1 mm = dm, alors 60 mm = dm. Cela signifie AB = 0,60 dm.
Ainsi, AB = 0,6 dm = 0,60 dm. Cela signifie que les fractions décimales 0,6 et 0,60 expriment la longueur d'un même segment en décimètres. Ces fractions sont égales entre elles : 0,6 = 0,60.

Si vous ajoutez un zéro ou supprimez le zéro à la fin de la fraction décimale, vous obtenez fraction, égal à ceci.
Par exemple,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Comparons deux fractions décimales 5,345 et 5,36. Égalisons le nombre de décimales en ajoutant un zéro à droite du nombre 5,36. On obtient les fractions 5,345 et 5,360.

Écrivons-les sous forme de fractions impropres :

Ces fractions ont les mêmes dénominateurs. Cela signifie que celui avec le plus grand numérateur est plus grand.
Depuis 5345< 5360, то ce qui veut dire 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Pour comparer deux fractions décimales, vous devez d'abord égaliser le nombre de décimales en ajoutant des zéros à l'une d'elles à droite, puis, en supprimant la virgule, comparer le résultat nombres naturels.

Les fractions décimales peuvent être représentées sur un rayon de coordonnées de la même manière que les fractions ordinaires.
Par exemple, pour représenter la fraction décimale 0,4 sur un rayon de coordonnées, nous la représentons d'abord comme une fraction ordinaire : 0,4 = Ensuite, nous mettons de côté quatre dixièmes de segment unitaire à partir du début du rayon. On obtient le point A(0,4) (Fig. 141).

Les fractions décimales égales sont représentées sur le rayon de coordonnées par le même point.

Par exemple, les fractions 0,6 et 0,60 sont représentées par un point B (voir Fig. 141).

La plus petite fraction décimale se trouve sur rayon de coordonnéesà gauche du plus grand et le plus grand à droite du plus petit.

Par exemple, 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Une décimale changera-t-elle si un zéro est ajouté à la fin ?
Des zéros A6 ?
Formuler une règle de comparaison décimal fractions.

1172. Écrivez la fraction décimale :

a) avec quatre décimales, égales à 0,87 ;
b) avec cinq décimales, égal à 0,541 ;
c) avec trois chiffres après occupé, égal à 35 ;
d) avec deux décimales, égal à 8,40000.

1173. En ajoutant des zéros à droite, égalisez le nombre de décimales dans les fractions décimales : 1,8 ; 13,54 et 0,789.

1174. Écrivez des fractions plus courtes : 2,5000 ; 3,02000 ; 20 010.

85,09 et 67,99 ; 55,7 et 55,7000 ; 0,5 et 0,724 ; 0,908 et 0,918 ; 7,6431 et 7,6429 ; 0,0025 et 0,00247.

1176. Classez les nombres par ordre croissant :

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

ranger par ordre décroissant.

une) 1,41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c)2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Comparez les valeurs :

a) 98,52 m et 65,39 m ; e) 0,605 t et 691,3 kg ;
b) 149,63 kg et 150,08 kg ; f) 4,572 km et 4671,3 m ;
c) 3,55°C et 3,61°C ; g) 3,835 hectares et 383,7 a ;
d) 6,781 heures et 6,718 heures ; h) 7,521 l et 7538 cm3.

Est-il possible de comparer 3,5 kg et 8,12 m ? Donnez quelques exemples de quantités qui ne peuvent être comparées.

1185. Calculer oralement :

1186. Restaurer la chaîne de calculs

1187. Est-il possible de dire combien de chiffres après la virgule décimale il y a dans une fraction décimale si son nom se termine par le mot :

a) les centièmes ; b) dix millièmes ; c) les dixièmes ; d) des millionièmes ?

SECTION 7 FRACTIONS DÉCIMALES ET OPÉRATIONS AVEC ELLES

Dans cette section, vous apprendrez :

qu'est-ce qu'une fraction décimale et quelle est sa structure ;

comment comparer des décimales ;

quelles sont les règles pour ajouter et soustraire des décimales ;

comment trouver le produit et le quotient de deux fractions décimales ;

qu'est-ce qu'arrondir un nombre et comment arrondir des nombres ;

comment appliquer le matériel étudié dans la pratique

§ 29. QU'EST-CE QU'UN DÉCIMAL ? COMPARAISON DE DÉCIMAUX

Regardez la figure 220. Vous voyez que la longueur du segment AB est de 7 mm et la longueur du segment DC est de 18 mm. Pour donner les longueurs de ces segments en centimètres, il faut utiliser des fractions :

Vous connaissez de nombreux autres exemples où des fractions avec des dénominateurs de 10, 100, 1000 et autres sont utilisées. Donc,

Ces fractions sont appelées décimales. Pour les enregistrer, utilisez un formulaire plus pratique, suggéré par la règle de votre accessoire. Regardons l'exemple en question.

Vous savez que la longueur du segment DC (Fig. 220) peut être exprimée sous la forme d'un nombre fractionnaire

Si on met une virgule après la partie entière de ce nombre, et après elle le numérateur de la partie fractionnaire, on obtient une entrée plus compacte : 1,8 cm Pour le segment AB, alors on obtient : 0,7 cm. correct, il est inférieur à un, donc sa partie entière est 0. Les nombres 1,8 et 0,7 sont des exemples de fractions décimales.

La fraction décimale 1,8 se lit comme suit : « un virgule huit », et la fraction 0,7 vaut « zéro virgule sept ».

Comment écrire des fractions en décimales ? Pour ce faire, vous devez connaître la structure de la notation décimale.

Dans la notation d'une fraction décimale, il y a toujours un entier et une partie fractionnaire. ils sont séparés par une virgule. Dans l'ensemble, les classes et les rangs sont les mêmes que ceux des nombres naturels. Vous savez qu'il s'agit de classes d'unités, de milliers, de millions, etc., et chacune d'elles comporte 3 chiffres : unités, dizaines et centaines. Dans la partie fractionnaire d'une fraction décimale, les classes ne sont pas distinguées, mais il peut y avoir autant de chiffres que désiré ; leurs noms correspondent aux noms des dénominateurs des fractions - dixièmes, centièmes, millièmes, dix millièmes, cent millièmes, millionièmes. , dix millionièmes, etc. La dixième place est la place la plus ancienne dans la partie fractionnaire d'une décimale.

Dans le tableau 40 vous voyez les noms des décimales et le nombre « cent vingt-trois entiers et quatre mille cinq cent six cent millièmes » ou

Le nom de la partie fractionnaire « cent millièmes » dans une fraction ordinaire détermine son dénominateur, et dans la partie décimale - le dernier chiffre de sa partie fractionnaire. Vous voyez qu'au numérateur de la partie fractionnaire du nombre Il y a un chiffre de moins que les zéros au dénominateur. Si nous n'en tenons pas compte, nous obtiendrons une erreur lors de l'enregistrement de la partie fractionnaire - au lieu de 4506 cent millièmes, nous écrirons 4506 dix millièmes, mais

Par conséquent, lorsque vous écrivez ce nombre sous forme de fraction décimale, vous devez mettre 0 après la virgule décimale (à la dixième place) : 123,04506.

Veuillez noter:

une fraction décimale doit avoir autant de chiffres après la virgule qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction ordinaire correspondante.

Nous pouvons maintenant écrire les fractions

sous forme de décimales.

Les nombres décimaux peuvent être comparés de la même manière que les nombres naturels. S'il y a plusieurs chiffres dans l'enregistrement des fractions décimales, des règles spéciales sont utilisées. Regardons des exemples.

Tâche. Comparez les fractions : 1) 96,234 et 830,123 ; 2) 3,574 et 3,547.

Solutions. 1, La partie entière de la première fraction est le nombre à deux chiffres 96, et la partie entière de la deuxième fraction est le nombre à trois chiffres 830, donc :

96,234 < 830,123.

2. A l'écriture les fractions 3,574 et 3,547 et les parties entières sont égales. On compare donc leurs parties fractionnaires petit à petit. Pour ce faire, on écrit ces fractions les unes en dessous des autres :

Chaque fraction comporte 5 dixièmes. Mais dans la première fraction il y a 7 centièmes, et dans la seconde il n'y a que 4 centièmes. La première fraction est donc supérieure à la seconde : 3,574 > 3,547.

Règles de comparaison des fractions décimales.

1. De deux fractions décimales, celle dont la partie entière est la plus grande est la plus grande.

2. Si les parties entières des fractions décimales sont égales, comparez leurs parties fractionnaires petit à petit, en commençant par le chiffre le plus significatif.

Comme les fractions, les décimales peuvent être placées sur un rayon de coordonnées. Sur la figure 221, vous voyez que les points A, B et C ont les coordonnées : A(0.2), B(0.9), C(1.6).

En savoir plus

Les décimales sont liées au système de numérotation positionnelle décimale. Cependant, leur apparition a une histoire plus longue et est associée au nom du mathématicien et astronome exceptionnel al-Kashi (nom complet - Jemshid ibn Masudal-Kashi). Dans son ouvrage « La clé de l'arithmétique » (XVe siècle), il a pour la première fois formulé les règles pour travailler avec des fractions décimales et a donné des exemples d'actions réalisées avec elles. Ne sachant rien de la découverte d'al-Kashi, le mathématicien et ingénieur flamand Simon Stevin a « découvert » les fractions décimales pour la deuxième fois environ 150 ans plus tard. Dans l'ouvrage « Decimal » (1585 p.) S. Stevin a exposé la théorie des fractions décimales. Il les a promus de toutes les manières possibles, en soulignant la commodité des fractions décimales pour les calculs pratiques.

Séparer la partie entière de la fraction décimale a été proposé de différentes manières. Ainsi, al-Kashi écrivait les parties entières et fractionnaires avec des encres différentes ou mettait une ligne verticale entre elles. S. Stevin a mis un zéro dans un cercle pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire. La virgule adoptée à notre époque a été proposée par le célèbre astronome allemand Johannes Kepler (1571 - 1630).

RÉSOUDRE LES PROBLÈMES

1173. Notez la longueur du segment AB en centimètres si :

1)AB = 5 mm ; 2)AB = 8 mm ; 3)AB = 9 mm ; 4) AB = 2 mm.

1174. Lisez les fractions :

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Nom : a) la partie entière de la fraction ; b) la partie fractionnaire d'une fraction ; c) chiffres de fraction.

1175. Donnez un exemple de fraction décimale dans laquelle après la virgule il y a :

1) un chiffre ; 2) deux nombres ; 3) trois nombres.

1176. Combien de décimales possède une fraction décimale si le dénominateur de la fraction ordinaire correspondante est égal à :

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. Laquelle des fractions a la partie entière la plus grande :

1) 12,5 ou 115,2 ; 4) 789.154 ou 78.4569 ;

2) 5,25 ou 35,26 ; 5) 1258.00265 ou 125.0333 ;

3) 185,25 ou 56,325 ; 6) 1269.569 ou 16.12 ?

1178. Dans le numéro 1256897, séparez le dernier chiffre par une virgule et lisez le numéro que vous avez reçu. Déplacez ensuite successivement la virgule d'un chiffre vers la gauche et nommez les fractions que vous avez reçues.

1179. Lisez les fractions et écrivez-les sous forme décimale :

1180 Lisez les fractions et écrivez-les sous forme décimale :

1181. Écrivez en fraction ordinaire :

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Écrivez en fraction ordinaire :

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Écrivez en fraction décimale :

1) 8 points 3 ; 5) 145 point 14 ;

2) 12 points 5 ; 6) 125 point 19 ;

3) 0 point 5 ; 7) 0 virgule 12 centièmes ;

4) 12 virgule 34 centièmes ; 8) 0 virgule 3 centièmes.

1184. Écrivez en fraction décimale :

1) zéro virgule huit millièmes ;

2) vingt virgule quatre ;

3) treize virgule cinq ;

4) cent quarante-cinq virgule deux centièmes.

1185. Écrivez la fraction sous forme de fraction puis sous forme décimale :

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Écrivez sous forme de nombre fractionnaire puis sous forme décimale :

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Écrivez sous forme de nombre fractionnaire puis sous forme décimale :

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. Exprimer en hryvnias :

1) 35 k.; 2) 6 k.; 3) 12 UAH 35 kopecks ; 4)123k.

1189. Exprimer en hryvnias :

1) 58 k.; 2) 2 k.; 3) 56 UAH 55 kopecks ; 4)175k.

1190. Écrivez en hryvnias et en kopecks :

1)10,34 UAH ; 2) 12,03 UAH ; 3) 0,52 UAH ; 4) 126,05 UAH.

1191. Exprimez en mètres et écrivez la réponse sous forme de fraction décimale : 1) 5 m 7 dm ; 2) 15 m 58 cm ; 3) 5 m 2 mm ; 4) 12 m 4 dm 3 cm 2 mm.

1192. Exprimez en kilomètres et écrivez la réponse sous forme de fraction décimale : 1) 3 km 175 m ; 2) 45 km 47 m ; 3) 15 km 2 m.

1193. Écrivez en mètres et en centimètres :

1) 12,55 m ; 2) 2,06 m ; 3) 0,25 m ; 4) 0,08 m.

1194. La plus grande profondeur de la mer Noire est de 2 211 km. Exprimez la profondeur de la mer en mètres.

1195. Comparez des fractions :

1) 15,5 et 16,5 ; 5) 4.2 et 4.3 ; 9) 1,4 et 1,52 ;

2) 12,4 et 12,5 ; 6) 14,5 et 15,5 ; 10) 4,568 et 4,569 ;

3)45,8 et 45,59 ; 7) 43.04 et 43.1 ; 11)78.45178.458 ;

4) 0,4 et 0,6 ; 8) 1,23 et 1,364 ; 12) 2,25 et 2,243.

1196. Comparez des fractions :

1)78,5 et 79,5 ; 3) 78,3 et 78,89 ; 5) 25.03 et 25.3 ;

2) 22,3 et 22,7 ; 4) 0,3 et 0,8 ; 6) 23.569 et 23.568.

1197. Écrivez les fractions décimales par ordre croissant :

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Écrivez les fractions décimales par ordre décroissant :

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Exprimez en mètres carrés et écrivez sous forme de fraction décimale :

1) 5 dm2 ; 2) 15 cm2 ; 3)5dm212cm2.

1200. La pièce a la forme d'un rectangle. Sa longueur est de 90 dm et sa largeur de 40 dm. Trouvez la superficie de la pièce. Écrivez votre réponse en mètres carrés.

1201. Comparez des fractions :

1)0,04 et 0,06 ; 5) 1,003 et 1,03 ; 9) 120.058 et 120.051 ;

2) 402.0022 et 40.003 ; 6) 1,05 et 1,005 ; 10) 78,05 et 78,58 ;

3) 104.05 et 105.05 ; 7) 4,0502 et 4,0503 ; 11) 2,205 et 2,253 ;

4) 40.04 et 40.01 ; 8)60.4007i60.04007 ; 12)20.12 et 25.012.

1202. Comparez des fractions :

1)0,03 et 0,3 ; 4) 6.4012 et 6.404 ;

2) 5.03 et 5.003 ; 5) 450.025 et 450.2054 ;

1203. Notez les cinq fractions décimales situées entre les fractions sur le rayon de coordonnées :

1)6.2 et 6.3 ; 2) 9.2 et 9.3 ; 3) 5,8 et 5,9 ; 4) 0,4 et 0,5.

1204. Notez cinq fractions décimales situées entre les fractions sur la poutre de coordonnées : 1) 3,1 et 3,2 ; 2) 7.4 et 7.5.

1205. Entre quels deux nombres naturels adjacents est placée une fraction décimale :

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Écrivez cinq fractions décimales pour lesquelles l'inégalité est vraie :

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Écrivez cinq fractions décimales pour lesquelles l'inégalité est vraie :

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Écrivez la plus grande fraction décimale :

1) avec deux chiffres après la virgule, inférieurs à 2 ;

2) avec un chiffre après la virgule, inférieur à 3 ;

3) avec trois chiffres après la virgule, inférieurs à 4 ;

4) avec quatre chiffres après la virgule, inférieurs à 1.

1209. Écrivez la plus petite fraction décimale :

1) avec deux chiffres après la virgule, qui est supérieur à 2 ;

2) avec trois chiffres après la virgule, qui est supérieur à 4.

1210. Notez tous les nombres qui peuvent être mis à la place de l'astérisque pour obtenir la bonne inégalité :

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Quel nombre peut-on mettre à la place d'un astérisque pour obtenir la bonne inégalité :

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Écrivez toutes les décimales dont la partie entière est égale à 6, et dont la partie fractionnaire contient trois décimales, notées 7 et 8. Écrivez ces fractions par ordre décroissant.

1213. Notez six fractions décimales dont la partie entière est égale à 45 et la partie fractionnaire est composée de quatre chiffres différents : 1, 2, 3, 4. Écrivez ces fractions par ordre croissant.

1214. Combien de fractions décimales pouvez-vous faire, dont la partie entière est égale à 86, et la partie fractionnaire est composée de trois chiffres différents : 1,2,3 ?

1215. Combien de fractions décimales peut-on former dont la partie entière est égale à 5 et la partie fractionnaire est à trois chiffres, écrite sous la forme 6 et 7 ? Écrivez ces fractions par ordre décroissant.

1216. Rayer trois zéros dans le nombre 50.004007 de manière à former :

1) le plus grand nombre ; 2) le plus petit nombre.

METTEZ-LE EN PRATIQUE

1217. Mesurez la longueur et la largeur de votre cahier en millimètres et écrivez la réponse en décimètres.

1218. Écrivez votre taille en mètres en utilisant des décimales.

1219. Mesurez les dimensions de votre pièce et calculez son périmètre et sa superficie. Écrivez votre réponse en mètres et en mètres carrés.

EXAMEN DES PROBLEMES

1220. A quelles valeurs de x la fraction est-elle impropre ?

1221. Résolvez l'équation :

1222. Le magasin devait vendre 714 kg de pommes. Le premier jour, toutes les pommes ont été vendues et le deuxième jour, ce qui a été vendu le premier jour. Combien de pommes ont été vendues en 2 jours ?

1223. L'arête d'un cube a été réduite de 10 cm et on a obtenu un cube dont le volume est de 8 dm3. Trouvez le volume du premier cube.

Une fraction est une ou plusieurs parties égales d’un tout. Une fraction s'écrit à l'aide de deux nombres naturels séparés par une ligne. Par exemple, 1/2, 14/4, ¾, 5/9, etc.

Le nombre écrit au-dessus de la ligne est appelé le numérateur de la fraction, et le nombre écrit en dessous de la ligne est appelé le dénominateur de la fraction.

Pour les nombres fractionnaires dont le dénominateur est 10, 100, 1000, etc. Nous avons convenu d'écrire le nombre sans dénominateur. Pour ce faire, écrivez d'abord la partie entière du nombre, mettez une virgule et écrivez la partie fractionnaire de ce nombre, c'est-à-dire le numérateur de la partie fractionnaire.

Par exemple, au lieu de 6 * (7/10), ils écrivent 6,7.

Cette notation est généralement appelée fraction décimale.

Comment comparer deux décimales

Voyons comment comparer deux fractions décimales. Pour ce faire, vérifions d’abord un fait auxiliaire.

Par exemple, la longueur d'un certain segment est de 7 centimètres ou 70 mm. Aussi 7 cm = 7/10 dm ou en notation décimale 0,7 dm.

Par contre, 1 mm = 1/100 dm, alors 70 mm = 70/100 dm ou en notation décimale 0,70 dm.

Ainsi, nous obtenons que 0,7 = 0,70.

De là, nous concluons que si nous ajoutons ou supprimons un zéro à la fin d'une fraction décimale, nous obtenons une fraction égale à celle donnée. En d’autres termes, la valeur de la fraction ne changera pas.

Fractions ayant les mêmes dénominateurs

Disons que nous devons comparer deux fractions décimales 4,345 et 4,36.

Vous devez d’abord égaliser le nombre de décimales en ajoutant ou en supprimant les zéros à droite. Les résultats seront 4,345 et 4,360.

Vous devez maintenant les écrire sous forme de fractions impropres :

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

Les fractions résultantes ont les mêmes dénominateurs. D'après la règle de comparaison des fractions, on sait que dans ce cas la fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande. Cela signifie que la fraction 4,36 est supérieure à la fraction 4,345.

Ainsi, pour comparer deux fractions décimales, vous devez d'abord égaliser le nombre de décimales en ajoutant des zéros à l'une d'elles à droite, puis, en supprimant la virgule, comparer les nombres naturels résultants.

Les fractions décimales peuvent être représentées sous forme de points sur une droite numérique. Et donc, parfois dans le cas où un nombre est supérieur à un autre, on dit que ce nombre est situé à droite de l'autre, ou s'il est inférieur, alors à gauche.

Si deux fractions décimales sont égales, alors elles sont représentées par le même point sur la droite numérique.