Quel est l'axiome parallèle. Découverte de la géométrie non euclidienne

Le physicien allemand Albert Einstein, utilisant des méthodes mathématiques, a développé la théorie de la relativité, révolutionnant la physique au XXe siècle.

On pense que les bases des mathématiques modernes ont été posées par Euclide dans son ouvrage en 13 volumes « Éléments » vers 300 avant JC. e. Contrairement à ses prédécesseurs, Euclide explique ici la géométrie non pas à l'aide d'innombrables dessins, mais de manière purement logique. Tout d’abord, il décrit un certain nombre de faits qu’il considère comme vrais et immuables. Ces faits sont appelés postulats. L’un de ces postulats d’Euclide, par exemple, dit : « De chaque point on peut tracer une ligne droite jusqu’à n’importe quel autre point. » Puis, à partir de ces postulats, il déduit tout le reste. Ainsi, Euclide a démontré pour la première fois la pensée mathématique moderne : sur la base de certaines hypothèses, une fois formulées et non sujettes à révision, il a prouvé de nombreuses autres affirmations.

Pendant des siècles, il y a eu des controverses sur le cinquième postulat d'Euclide, ce qu'on appelle l'axiome des lignes parallèles : passant par tout point P situé en dehors de la ligne g, une seule ligne droite peut être tracée qui ne coupe pas g. Une telle ligne est appelée parallèle à la ligne g passant par le point P. De nombreux scientifiques ont cherché non seulement à accepter cette position, mais à la dériver des quatre premières. Mais cela s’est avéré impossible. Les mathématiciens ont commencé à créer une géométrie basée sur les quatre premiers axiomes d'Euclide et ont rejeté le cinquième. Ce qui ressemblait au début à un jeu mathématique, au début du XXe siècle. s'est avéré être en demande. Albert Einstein considérait ces modèles géométriques comme la base de sa théorie de la relativité générale.

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Objectifs de la leçon :

donner une idée des axiomes de géométrie inconnus des élèves, répéter les axiomes déjà connus d'eux ;
introduire l'axiome des droites parallèles ;
introduire le concept de conséquences à partir d'axiomes et de théorèmes ;
montrer comment l'axiome des lignes parallèles et ses conséquences sont utilisés lors de la résolution de problèmes ;
éducation au patriotisme et à la fierté de sa patrie en utilisant l’exemple du grand mathématicien russe N.I. Lobatchevski.

Équipement: ordinateur, projecteur.

DÉROULEMENT DE LA LEÇON

1. Vérification des devoirs précédents

2. Répétition des axiomes de planimétrie déjà connus des étudiants

Professeur: Dans le célèbre ouvrage d'Euclide « Éléments » (IIIe siècle avant JC), les informations géométriques de base connues à cette époque ont été systématisées. L'essentiel est que dans les «Principes», une approche axiomatique de la construction de la géométrie a été développée, qui consiste dans le fait que d'abord les dispositions de base qui ne nécessitent pas de preuve (axiomes) sont formulées, puis, sur leur base, d'autres les affirmations (théorèmes) sont prouvées par le raisonnement. Certains des axiomes proposés par Euclide sont encore utilisés dans les cours de géométrie.
Le mot « axiome » lui-même vient du grec « axios », qui signifie « précieux, digne ». Une liste complète des axiomes de planimétrie adoptés dans notre cours de géométrie est donnée dans les annexes à la fin du manuel aux pages 344-348. Vous considérerez vous-même ces axiomes chez vous.
Nous avons déjà considéré certains de ces axiomes. Rappelez-vous et formulez ces axiomes.

Étudiants:

1) Il y a au moins trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne.
2) Une ligne droite passe par deux points quelconques et un seul.
3) Des trois points d’une droite, un et un seul se situe entre les deux autres.
4) Chaque point O d'une ligne la divise en deux parties (deux rayons) de sorte que deux points quelconques du même rayon se trouvent du même côté du point O, et deux points quelconques de rayons différents se trouvent sur des côtés opposés du point O.
5) Chaque ligne a divise le plan en deux parties (deux demi-plans) de sorte que deux points quelconques du même demi-plan se trouvent du même côté de la ligne a et que deux points quelconques de demi-plans différents se trouvent sur des côtés opposés. de la ligne a.
6) Si, lors du chevauchement, les extrémités de deux segments sont combinées, alors les segments eux-mêmes sont combinés.
7) Sur n'importe quel rayon, dès son début, vous pouvez déposer un segment égal à celui donné, et, de plus, un seul.
8) De n'importe quel rayon dans un demi-plan donné, il est possible de tracer un angle égal à un angle non développé donné, et de plus un seul.

Professeur: Quelles droites sont appelées parallèles dans un plan ?

Étudiants: Deux droites dans un plan sont dites parallèles si elles ne se coupent pas.

Professeur: Formuler les signes de parallélisme des droites.

Étudiants:

1) Si, lorsque deux droites se coupent avec une transversale, les angles d'inclinaison sont égaux, alors les droites sont parallèles.
2) Si, lorsque deux droites se coupent avec une transversale, les angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.
3) Si, lorsque deux droites coupent une transversale, la somme des angles unilatéraux est égale à 180˚, alors les droites sont parallèles.

3. Nouveau sujet. Axiome des droites parallèles

Professeur: Résolvons le problème : « Par un point M qui ne se trouve pas sur la droite a, tracez une droite parallèle à la droite a. »

Le plan pour résoudre le problème est discuté par toute la classe. Un des élèves écrit la solution au tableau (sans l'écrire dans son cahier).

Professeur: La question se pose : est-il possible de tracer une autre droite passant par le point M, parallèle à la droite a ?
Cette question a une longue histoire. Les Éléments d'Euclide contiennent le cinquième postulat : « Et si une droite tombant sur deux droites forme d'un côté des angles intérieurs inférieurs à deux angles droits, alors les prolongements de ces droites se rejoindront indéfiniment du côté où les angles sont moindres. que deux angles droits. Proclus au 5ème siècle après JC reformule le postulat d’Euclide de manière plus simple et plus claire : « Par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, passe une seule droite parallèle à la droite donnée. » C'est l'axiome des droites parallèles. Il ressort clairement de cela que le problème considéré ci-dessus a une solution unique.
De nombreux mathématiciens ont tenté de prouver le cinquième postulat, car sa formulation rappelait trop un théorème. Toutes ces tentatives échouèrent à chaque fois. Et seulement au 19ème siècle. il a finalement été précisé que le cinquième postulat d'Euclide ne peut pas être prouvé, car il est lui-même un axiome ;
Le grand mathématicien russe Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) a joué un rôle important dans la résolution de ce problème.

4. Regardez une présentation sur N.I. Lobatchevski

5. Consolidation des acquis. Résolution de problèmes

Étant donné ∆ABC. Combien de droites parallèles au côté AB peuvent être tracées passant par le sommet C ?

Solution.

Selon l’axiome des lignes parallèles, une seule ligne droite peut être tracée.

Quatre lignes droites sont tracées passant par un point ne se trouvant pas sur la ligne p. Combien de ces droites coupent la droite p ? Considérez tous les cas possibles.

Solution.

3 droites 4 droites

Répondre: 3 ou 4 de suite.

Corollaires de l'axiome des droites parallèles.

Les énoncés dérivés directement d’axiomes ou de théorèmes sont appelés corollaires. Considérons les conséquences de l'axiome des droites parallèles.

Corollaire 1˚. Si une droite coupe l’une des deux droites parallèles, elle coupe également l’autre.

Corollaire 2˚. Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles. (Il est demandé aux étudiants de le prouver eux-mêmes).

Le dessin est le même.

Donné: un || b, c || b
Prouver: un || Avec
Preuve o (méthode « par contradiction ») :

Que les droites a et c ne soient pas parallèles. Ensuite, ils se coupent en un point M. Deux droites différentes (a et c) parallèles à la droite b passent par le point M. Cela contredit l’axiome parallèle. Cela signifie que notre hypothèse n'est pas correcte. Mais il est vrai qu'un || Avec. Etc.
Le deuxième corollaire de l’axiome des droites parallèles est essentiellement un autre signe du parallélisme des droites sur un plan.

Résolution de problèmes : N° 217 (oral), 218 (oral), 198, 200, 213.

№ 217 (oralement)

Les lignes a et b sont parallèles à la ligne c. Montrer que toute droite coupant la droite a coupe également la droite b.

Solution.

Si un || b et b || c, puis un || s (corollaire 2˚).
Si une ligne arbitraire d ∩ a, alors d ∩ b (Corollaire 1˚).

№ 218 (oralement)

Les lignes a et b se croisent. Est-il possible de tracer une ligne qui coupe la ligne a et qui est parallèle à la ligne b ? Justifiez votre réponse.

Solution.

Prenons le point A b sur la ligne a. Par le point A il n’y a qu’une seule droite parallèle à la droite b (axiome parallèle). La ligne construite coupera la ligne a, puisqu'elle a un point commun A avec elle.

Les lignes a et b sont perpendiculaires à la ligne p, la ligne c coupe la ligne a. La ligne c coupe-t-elle la ligne b ?

Donné:ар, bр, с ∩ a
Trouver: Est-ce que c coupe la ligne b ?
Solution: si ap et bp, alors a || b (théorème).
Si c ∩ a et a || b, alors c ∩ b (Corollaire 1˚).
Répondre: c ∩b.

Dans l'image du manuel AD || p et PQ || Colombie-Britannique Montrer que la droite p coupe les droites AB, AE, AC, BC, PQ.

Dans l’image du manuel, CE = ED, BE = EF et KE = AD. Prouver que KE || Soleil.

6. Résumé

1) Quel est le principal mérite d’Euclide ?
2) Qu’appelle-t-on un axiome ?
3) Quels axiomes connaissons-nous ?
4) Quel scientifique russe a construit une théorie cohérente de la géométrie non euclidienne ?
5) Qu’appelle-t-on une conséquence au sens mathématique du terme ?
6) Quelles conséquences avons-nous appris aujourd’hui ?

7. Devoirs :

§2, paragraphe 27, 28, annexe sur les axiomes de géométrie pp. 344-348, questions 7-11 pp. 68, n° 199, 214.
N° 199 : La droite p est parallèle au côté AB du triangle ABC. Montrer que les droites BC et AC coupent la droite r.
N° 214 : Une droite passant par le milieu de la bissectrice AD du triangle ABC et perpendiculaire à AD coupe le côté AC au point M. Montrer que MD¦AB.

Littérature:

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Géométrie, 7-9 : Manuel pour les établissements d'enseignement. − M. : Éducation, 2003.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Glazkov Yu.A., Nekrasov V.B., Yudina I.I.Étudier la géométrie en 7e, 8e, 9e années : Recommandations méthodologiques pour le manuel. Livre pour les enseignants. − M. : Éducation, 2003.
Dorofeeva A.V. Pages d'histoire dans les cours de mathématiques : Un livre pour les enseignants. − M. : Éducation, 2007.
Wikipédia.

Sans expliquer leurs différences ; dans différents manuscrits des Éléments d'Euclide, la division des énoncés en axiomes et postulats est différente, tout comme leur ordre ne coïncide pas. Dans l'édition classique des Principia de Heyberg, l'énoncé énoncé est le cinquième postulat.

En langage moderne, le texte d'Euclide peut être reformulé ainsi :

Si [sur un plan] lorsque deux droites en coupent une troisième, la somme des angles internes unilatéraux est inférieure à deux droites, alors ces droites se coupent avec une continuation suffisante, et de plus, du côté où cette somme est inférieure que deux lignes droites.

Euclide a ajouté une précision de quel côté les lignes se croisent, probablement pour plus de clarté - il est facile de prouver que cela découle du fait même de l'existence de l'intersection.

Le cinquième postulat est extrêmement différent des autres postulats d'Euclide, qui sont simples et intuitivement évidents (voir les éléments d'Euclide). C'est pourquoi, depuis deux mille ans, les tentatives n'ont cessé de l'exclure de la liste des axiomes et d'en faire un théorème. Toutes ces tentatives se sont soldées par un échec. "Il est probablement impossible de trouver une histoire scientifique plus passionnante et plus dramatique que celle du cinquième postulat d'Euclide." Malgré le résultat négatif, ces recherches n'ont pas été vaines, puisqu'elles ont finalement conduit à une révision complète des idées scientifiques sur la géométrie de l'Univers.

Formulations équivalentes du postulat parallèle

Les sources modernes donnent généralement une autre formulation du postulat parallèle, équivalente (équivalente) au postulat V et appartenant à Proclus (à l'étranger, on l'appelle souvent l'axiome de Playfair) :

Postulat de Proclus

Dans cette formulation, les mots « un et un seul » sont souvent remplacés par « un seul » ou « au plus un », puisque l'existence d'au moins un de ces parallèles découle immédiatement des théorèmes 27 et 28 des éléments d'Euclide.

En général, le postulat V a un grand nombre de formulations équivalentes, dont beaucoup semblent assez évidentes. En voici quelques-uns.

Le cinquième postulat se démarque nettement des autres, qui sont assez évidents ; il s’apparente plutôt à un théorème complexe et non évident. Euclide en était probablement conscient et c'est pourquoi les 28 premières phrases des Éléments sont prouvées sans son aide.

"Euclide a certainement dû connaître diverses formes du postulat parallèle." Pourquoi a-t-il choisi celui réduit, complexe et encombrant ? Les historiens ont émis diverses hypothèses sur les raisons de ce choix. V.P. Smilga pensait qu'Euclide, avec une telle formulation, indiquait que cette partie de la théorie était incomplète. M. Klein attire l’attention sur le fait que le cinquième postulat d’Euclide a locale caractère, c’est-à-dire qu’il décrit un événement sur une partie limitée du plan, tandis que, par exemple, l’axiome de Proclus énonce le fait du parallélisme, qui nécessite de considérer l’ensemble de la ligne droite infinie. Il convient de préciser que les mathématiciens de l’Antiquité évitaient d’utiliser l’infini réel ; par exemple, le deuxième postulat d’Euclide n’affirme pas l’infinité d’une ligne droite, mais seulement qu’« une ligne droite peut être continuellement étendue ». Du point de vue des mathématiciens anciens, les équivalents ci-dessus du postulat parallèle pourraient sembler inacceptables : soit ils font référence à l'infini réel ou au concept (pas encore introduit) de mesure, soit ils ne sont pas non plus très évidents. Une autre version a été proposée par l'historien Imre Toth : la formulation euclidienne aurait pu être au début un théorème (prouvé par erreur) d'un des prédécesseurs d'Euclide, et lorsqu'ils furent convaincus qu'il ne pouvait pas être prouvé, le statut du théorème fut élevé. à un postulat sans changer le texte de la formulation.

Géométrie absolue

Si le postulat V est exclu de la liste des axiomes, alors le système d'axiomes résultant décrira ce qu'on appelle la géométrie absolue. En particulier, les 28 premiers théorèmes des éléments d'Euclide sont prouvés sans utiliser le postulat V et concernent donc la géométrie absolue. Pour approfondir la discussion, notons deux théorèmes de géométrie absolue :

Tentatives de prouver

Depuis l'Antiquité, les mathématiciens ont tenté « d'améliorer Euclide » - soit d'exclure le cinquième postulat du nombre d'énoncés initiaux, c'est-à-dire de le prouver sur la base des postulats et axiomes restants, soit de le remplacer par un autre, aussi évident que les autres postulats. L’espoir de la réalisabilité de ce résultat était soutenu par le fait que le postulat IV d’Euclide ( tous les angles droits sont égaux) s'est avéré vraiment superflu - il a été strictement prouvé comme théorème et exclu de la liste des axiomes.

Au cours de deux millénaires, de nombreuses preuves du cinquième postulat ont été proposées, mais dans chacune d'elles, tôt ou tard, un cercle vicieux a été découvert : il s'est avéré que parmi les prémisses explicites ou implicites, il y avait une affirmation qui ne pouvait être prouvée sans en utilisant le même cinquième postulat.

La preuve de Proclus

Après le déclin de la culture ancienne, les mathématiciens des pays islamiques ont adopté le postulat V. La preuve d'al-Jawhari, un étudiant d'al-Khwarizmi (9ème siècle), implique implicitement : si lorsque deux lignes droites se coupent avec une troisième, les angles croisés sont égaux, alors la même chose se produit lorsque les deux mêmes lignes droites se coupent. avec n'importe quel autre. Et cette hypothèse équivaut au postulat V.

Saccheri considère les trois mêmes hypothèses concernant le 4ème angle du quadrilatère de Lambert. Il a immédiatement rejeté l’hypothèse de l’angle obtus pour des raisons formelles. Il est facile de montrer que dans ce cas, en général, toutes les lignes se coupent, et nous pouvons alors conclure que le postulat V d'Euclide est valable - après tout, il stipule précisément que dans certaines conditions les lignes se coupent. De là, on conclut que « l'hypothèse de l'angle obtus est toujours complètement fausse, puisqu'elle se détruit» .

Après cela, Saccheri passe à la réfutation de « l’hypothèse de l’angle aigu », et ici ses recherches sont beaucoup plus intéressantes. Il admet que c'est vrai et, l'une après l'autre, prouve toute une série de conséquences. Sans s'en douter, il va assez loin dans la construction de la géométrie Lobatchevsky. Beaucoup de théorèmes prouvés par Saccheri semblent intuitivement inacceptables, mais il continue la chaîne des théorèmes. Enfin, Saccheri prouve qu’en « fausse géométrie », deux droites quelconques soit se coupent, soit ont une perpendiculaire commune, selon les deux côtés desquels ils s'éloignent l'un de l'autre, ou s'éloignent l'un de l'autre d'un côté et se rapprochent indéfiniment de l'autre. À ce stade, Saccheri tire une conclusion inattendue : « l'hypothèse de l'angle aigu est complètement fausse, car elle contredit la nature d'une ligne droite» .

Apparemment, Saccheri a estimé que ces « preuves » n’étaient pas fondées, car l’étude est en cours. Il considère l'équidistant - le lieu géométrique des points sur le plan équidistants de la ligne droite ; Contrairement à ses prédécesseurs, Saccheri comprend que dans ce cas, il ne s’agit pas du tout d’une ligne droite. Cependant, en calculant la longueur de son arc, Saccheri se trompe et arrive à une véritable contradiction, après quoi il termine l'étude et déclare avec soulagement qu'il « arraché par les racines cette hypothèse malveillante" Malheureusement, l'œuvre pionnière de Saccheri, publiée à titre posthume, n'a pas attiré l'attention des mathématiciens qu'elle méritait, et seulement 150 ans plus tard () son compatriote Beltrami a découvert cette œuvre oubliée et a apprécié sa signification historique.

Géométrie sphérique : toutes les lignes se coupent

Lambert fut le premier à découvrir que la « géométrie des angles obtus » se réalise sur une sphère, si par lignes droites on entend les grands cercles. Comme Saccheri, il a déduit de nombreuses conséquences de « l’hypothèse de l’angle aigu » et est allé bien plus loin que Saccheri ; il a notamment découvert que l'addition de la somme des angles d'un triangle à 180° est proportionnelle à l'aire du triangle.

Dans son livre, Lambert notait astucieusement :

Il me semble très remarquable que la deuxième hypothèse [de l'angle obtus] soit justifiée si au lieu de triangles plats on prend des triangles sphériques. Je devrais presque en tirer une conclusion – la conclusion que la troisième hypothèse se déroule sur une sphère imaginaire. Quoi qu’il en soit, il doit y avoir une raison pour laquelle il n’est pas aussi facile de réfuter sur le plan aérien qu’on pourrait le faire par rapport à la deuxième hypothèse.

Lambert n'a trouvé aucune contradiction dans l'hypothèse de l'angle aigu et est arrivé à la conclusion que toutes les tentatives pour prouver le postulat V sont sans espoir. Il n'a exprimé aucun doute sur la fausseté de la « géométrie des angles aigus », mais une autre de ses remarques perspicaces a suggéré que Lambert spéculait sur la réalité physique possible de la géométrie non euclidienne et ses implications pour la science :

Il y a quelque chose de délicieux là-dedans qui vous donne envie que la troisième hypothèse soit vraie. Et pourtant j'aimerais<…>, ce qui fait que ce ne serait pas le cas, car il serait associé à toute une série<…>désagrément. Les tableaux trigonométriques deviendraient infiniment spacieux, la similitude et la proportionnalité des chiffres n'existeraient pas du tout<…>, l’astronomie aurait passé un mauvais moment.

Le travail remarquable de Lambert, comme le livre de Saccheri, était très en avance sur son temps et n'a pas suscité l'intérêt des mathématiciens de l'époque. Le même sort est arrivé à la « géométrie astrale » des mathématiciens allemands F. K. Schweickart () et F. A. Taurinus (), dont les idées étaient proches de celles construites par Lambert.

Pendant ce temps, les tentatives pour « laver les taches » d'Euclide se sont poursuivies (Louis Bertrand, Legendre, Semyon Guryev et autres). Legendre a donné jusqu'à trois preuves du postulat V, dont la fausseté a été rapidement démontrée par ses contemporains. Il publia sa dernière « preuve » en 1823, trois ans avant le premier rapport de Lobatchevski sur la nouvelle géométrie.

Découverte de la géométrie non euclidienne

L'hypothèse selon laquelle la somme des trois angles d'un triangle est inférieure à 180° conduit à une géométrie particulière, complètement différente de notre géométrie (euclidienne) ; cette géométrie est tout à fait cohérente, et je l'ai développée pour moi-même de manière tout à fait satisfaisante ; J'ai la possibilité de résoudre n'importe quel problème dans cette géométrie, à l'exception de déterminer une certaine constante [courbure] dont la valeur ne peut être établie a priori. Plus on accorde d'importance à cette constante, plus on se rapproche de la géométrie euclidienne, et sa valeur infiniment grande fait coïncider les deux systèmes. Les propositions de cette géométrie semblent quelque peu paradoxales et même absurdes à une personne non habituée ; mais après une réflexion stricte et calme, il s’avère qu’ils ne contiennent rien d’impossible. Ainsi, par exemple, les trois angles d'un triangle peuvent être rendus aussi petits qu'on le souhaite, pour peu que l'on prenne des côtés suffisamment grands ; l'aire d'un triangle ne peut pas dépasser, ne peut même pas atteindre une certaine limite, quelle que soit la taille de ses côtés. Tous mes efforts pour trouver une contradiction ou une incohérence dans cette géométrie non euclidienne sont restés vains, et la seule chose dans ce système qui résiste à notre raison, c'est que dans l'espace, si ce système était valable, il devrait y avoir quelque chose d'autodéterminé ( bien que et inconnu de nous) quantité linéaire. Mais il me semble qu’en dehors de la sagesse verbale expressive des métaphysiciens, nous savons très peu, voire rien, de l’essence de l’espace. (D'une lettre à

En étudiant les propriétés des figures géométriques, nous avons prouvé un certain nombre de théorèmes. Ce faisant, nous nous sommes généralement appuyés sur des théorèmes précédemment prouvés. Sur quoi reposent les preuves des tout premiers théorèmes de géométrie ? La réponse à cette question est la suivante : certaines affirmations sur les propriétés des figures géométriques sont acceptées comme points de départ, sur la base desquels d'autres théorèmes sont prouvés et, en général, toute géométrie est construite. De telles positions initiales sont appelées axiomes.

Certains axiomes ont été formulés dès le premier chapitre (bien qu'ils n'y soient pas appelés axiomes). Par exemple, c'est un axiome selon lequel

De nombreux autres axiomes, bien que peu soulignés, ont en réalité été utilisés dans notre raisonnement. Ainsi, nous avons comparé deux segments en superposant un segment sur un autre. La possibilité d’un tel chevauchement découle de l’axiome suivant :

La comparaison de deux angles repose sur un axiome similaire :

Tous ces axiomes sont évidents et ne font aucun doute. Le mot « axiome » lui-même vient du grec « axios », qui signifie « précieux, digne ». Nous fournissons une liste complète des axiomes de planimétrie adoptés dans notre cours de géométrie à la fin du manuel.

Cette approche de la construction de la géométrie, lorsque les positions initiales - les axiomes - sont d'abord formulées, puis d'autres affirmations sont prouvées sur leur base par un raisonnement logique, est née dans les temps anciens et a été décrite dans le célèbre ouvrage « Principes » du Grec ancien. le scientifique Euclide. Certains des axiomes d'Euclide (il en appelait certains postulats) et sont désormais utilisés dans les cours de géométrie, et la géométrie elle-même, présentée dans les « Éléments », est appelée Géométrie euclidienne. Dans le paragraphe suivant, nous ferons connaissance avec l’un des axiomes les plus célèbres de la géométrie.

Axiome des droites parallèles

Considérons une ligne droite arbitraire a et un point M qui ne s'y trouve pas (Fig. 110, a). Montrons que passant par le point M il est possible de tracer une droite parallèle à la droite a. Pour ce faire, tracez deux droites passant par le point M : d'abord la droite c perpendiculaire à la droite a, puis la droite b perpendiculaire à la droite c (Fig. 110, (b). Puisque les droites a et b sont perpendiculaires à droite c, elles sont parallèles.

Riz. 110

Ainsi, par le point M passe une droite b parallèle à la droite a. La question suivante se pose : est-il possible de tracer une autre droite passant par le point M, parallèle à la droite a ?

Il nous semble que si la droite b est « tournée » même d'un très petit angle autour du point M, alors elle coupera la droite a (ligne b" sur la figure 110.6). En d'autres termes, il nous semble que c'est impossible de tracer une autre droite passant par le point M (différente de b), parallèle à la droite a. Est-il possible de prouver cette affirmation ?

Cette question a une longue histoire. Les « Éléments » d’Euclide contiennent un postulat (le cinquième postulat d’Euclide), d’où il résulte que, passant par un point ne se trouvant pas sur une ligne donnée, une seule ligne droite peut être tracée parallèlement à celle donnée. De nombreux mathématiciens, dès l'Antiquité, ont tenté de prouver le cinquième postulat d'Euclide, c'est-à-dire de le dériver d'autres axiomes. Cependant, ces tentatives échouèrent à chaque fois. Et ce n'est qu'au siècle dernier qu'il a finalement été clarifié que l'affirmation sur l'unicité d'une ligne passant par un point donné parallèle à une ligne donnée ne peut pas être prouvée sur la base des axiomes restants d'Euclide, mais est elle-même un axiome.

Le grand mathématicien russe Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) a joué un rôle majeur dans la résolution de cette question difficile.

Donc, comme autre point de départ, nous acceptons axiome des droites parallèles.

Les énoncés dérivés directement d'axiomes ou de théorèmes sont appelés conséquences. Par exemple, les énoncés 1 et 2 (voir p. 35) sont des conséquences du théorème sur la bissectrice d'un triangle isocèle.

Considérons quelques corollaires de l'axiome des droites parallèles.

En effet, que les droites a et b soient parallèles et que la droite c coupe la droite a au point M (Fig. 111, a). Montrons que la droite c coupe également la droite b. Si la ligne c ne coupait pas la ligne b, alors deux lignes (lignes a et c) parallèles à la ligne b passeraient par le point M (Fig. 111, b). Mais cela contredit l’axiome des lignes parallèles et, par conséquent, la ligne c coupe la ligne b.

Riz. 111

En effet, que les droites a et b soient parallèles à la droite c (Fig. 112, a). Montrons qu'un || b. Supposons que les droites a et b ne soient pas parallèles, c'est-à-dire qu'elles se coupent en un point M (Fig. 112.6). Puis deux droites passent par le point M (lignes a et b), parallèles à la droite c.

Riz. 112

Mais cela contredit l’axiome des droites parallèles. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte, ce qui signifie que les droites a et b sont parallèles.

Théorèmes sur les angles formés par deux droites parallèles et une transversale

Chaque théorème comporte deux parties : condition Et conclusion. La condition du théorème est ce qui est donné et la conclusion est ce qui doit être prouvé.

Considérons, par exemple, un théorème exprimant le signe de parallélisme de deux droites : si lorsque deux droites se coupent avec une transversale, les angles couchés sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Dans ce théorème, la condition est la première partie de l'énoncé : « lorsque deux droites se coupent transversalement, les angles couchés sont égaux » (ceci est donné), et la conclusion est la deuxième partie : « les droites sont parallèles » (cela nécessite à prouver).

L'inverse de ce théorème, est un théorème dans lequel la condition est la conclusion du théorème, et la conclusion est la condition du théorème. Démontrons les théorèmes inverses aux trois théorèmes du paragraphe 25.

Théorème

Preuve

Supposons que les lignes parallèles a et b soient coupées par la sécante MN. Montrons que les angles transversaux, par exemple 1 et 2, sont égaux (Fig. 113).

Riz. 113

Supposons que les angles 1 et 2 ne soient pas égaux. Soustrayons au rayon MN un angle PMN égal à l'angle 2, de sorte que ∠PMN et ∠2 soient des angles transversaux à l'intersection des droites MR et b par la sécante MN. Par construction, ces angles croisés sont égaux, donc MR || b. Nous avons constaté que passant par le point M, il y a deux droites (droites a et MR) parallèles à la droite b. Mais cela contredit l’axiome des droites parallèles. Cela signifie que notre hypothèse est incorrecte et ∠1 = ∠2. Le théorème a été prouvé.

Commentaire

Pour prouver ce théorème, nous avons utilisé une méthode de raisonnement appelée par preuve par contradiction.

Nous avons supposé que lorsque les droites parallèles a et b coupent une transversale MN, les angles couchés 1 et 2 ne sont pas égaux, c'est-à-dire que nous avons supposé le contraire de ce qui doit être prouvé. Partant de cette hypothèse, le raisonnement nous a amenés à une contradiction avec l'axiome des droites parallèles. Cela signifie que notre hypothèse est incorrecte et donc ∠1 = ∠2.

Cette façon de raisonner est souvent utilisée en mathématiques. Nous l'avons utilisé plus tôt, par exemple au paragraphe 12 pour prouver que deux droites perpendiculaires à une troisième ne se coupent pas. Nous avons utilisé la même méthode au paragraphe 28 pour prouver les corollaires 1 0 et 2 0 à partir de l'axiome des droites parallèles.

Conséquence

En effet, soit un || b, c ⊥ a, soit ∠1 = 90° (Fig. 114). La ligne c coupe la ligne a, elle coupe donc également la ligne b. Lorsque les lignes parallèles a et b coupent une transversale c, des angles transversaux égaux se forment : ∠1=∠2. Puisque ∠1 = 90°, alors ∠2 = 90°, c'est-à-dire c ⊥ b, ce qui devait être prouvé.

Riz. 114

Théorème

Preuve

Supposons que les droites parallèles a et b soient coupées par une sécante c. Montrons que les angles correspondants, par exemple 1 et 2, sont égaux (voir Fig. 102). Depuis un || b, alors les angles transversaux 1 et 3 sont égaux.

Les angles 2 et 3 sont égaux à la verticale. Des égalités ∠1 = ∠3 et ∠2 = ∠3 il s'ensuit que ∠1 = ∠2. Le théorème a été prouvé.

Théorème

Preuve

Supposons que les droites parallèles a et b soient coupées par une sécante c (voir Fig. 102). Montrons par exemple que ∠1 + ∠4 = 180°. Depuis un || b, alors les angles correspondants 1 et 2 sont égaux. Les angles 2 et 4 sont adjacents, donc ∠2 + ∠4 = 180°. Des égalités ∠1 = ∠2 et ∠2 + ∠4 = 180° il s'ensuit que ∠1 + ∠4 = 180°. Le théorème a été prouvé.

Commentaire

Si un certain théorème est prouvé, alors l’énoncé inverse ne suit pas. De plus, l’inverse n’est pas toujours vrai. Donnons un exemple simple. Nous savons que si les angles sont verticaux, alors ils sont égaux. L’affirmation inverse : « si les angles sont égaux, alors ils sont verticaux » est bien entendu fausse.

Angles à côtés respectivement parallèles ou perpendiculaires

Démontrons le théorème sur les angles ayant des côtés parallèles correspondants.

Théorème

Preuve

Soient ∠AOB et ∠A 1 O 1 B 1 les angles donnés et OA || O 1 UNE 1 , OB || Environ 1 sur 1. Si l'angle AOB est développé, alors l'angle A 1 O 1 B 1 est également développé (expliquez pourquoi), donc ces angles sont égaux. Soit ∠AOB un angle non développé. Des cas possibles de localisation des angles AOB et A 1 O 1 B 1 sont représentés sur la figure 115, a et b. La droite O 1 B 1 coupe la droite O 1 A 1 et, par conséquent, coupe la droite OA qui lui est parallèle en un point M. Les droites parallèles OB et O 1 B 1 sont coupées par la sécante OM, donc l'une des Les angles formés à l'intersection des droites O 1 B 1 et OA (angle 1 sur la figure 115), sont égaux à l'angle AOB (comme les angles transversaux). Les droites parallèles OA et O 1 A 1 sont coupées par la sécante O 1 M, donc soit ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (Fig. 115, a), soit ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (Fig. . 115, b). De l'égalité ∠1 = ∠AOB et des deux dernières égalités, il résulte que soit ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (voir Fig. 115, a), soit ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° ( voir Fig. 115, b). Le théorème a été prouvé.

Riz. 115

Démontrons maintenant le théorème sur les angles dont les côtés sont perpendiculaires en conséquence.

Théorème

Preuve

Soit ∠AOB et ∠A 1 O 1 B 1 des angles donnés, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Si l'angle AOB est inversé ou droit, alors l'angle A 1 O 1 B 1 est inversé ou droit (expliquez pourquoi), donc ces angles sont égaux. Soit ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).

Deux cas sont possibles (Fig. 116).

1 0 . ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.

2 0 . ∠AOB > 90° (voir Fig. 116, b). Traçons le rayon OS de telle sorte que l'angle AOS soit adjacent à l'angle AOB. L'angle AOC est aigu et ses côtés sont respectivement perpendiculaires aux côtés de l'angle A 1 O 1 B 1 . Par conséquent, soit ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, soit ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . Dans le premier cas, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, dans le second cas, ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Le théorème a été prouvé.

Tâches

196. Étant donné un triangle ABC. Combien de droites parallèles au côté AB peuvent être tracées passant par le sommet C ?

197. Quatre lignes droites sont tracées passant par un point ne se trouvant pas sur la ligne p. Combien de ces droites coupent la droite p ? Considérez tous les cas possibles.

198. Les lignes a et b sont perpendiculaires à la ligne p, la ligne c coupe la ligne a. La ligne c coupe-t-elle la ligne b ?

199. La droite p est parallèle au côté AB du triangle ABC. Montrer que les droites BC et AC coupent la droite r.

200. Dans la figure 117 AD || p et PQ || Soleil. Montrer que la droite p coupe les droites AB, AE, AC, BC et PQ.

Riz. 117

201. La somme des angles transversaux lorsque deux droites parallèles se coupent avec une transversale est égale à 210°. Trouvez ces angles.

202. Dans la figure 118, les lignes a, b et c sont coupées par la ligne d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Lesquelles des droites a, b et c sont parallèles ?

Riz. 118

203. Trouver tous les angles formés lorsque deux droites parallèles a et b se coupent avec une transversale c, si :

a) l'un des angles est de 150° ;
b) l'un des angles est 70° plus grand que l'autre.

204. Les extrémités du segment AB se trouvent sur des lignes parallèles a et b. La droite passant par le milieu O de ce segment coupe les droites a et b aux points C et D. Montrer que CO = OD.

205. En utilisant les données de la figure 119, trouvez ∠1.

Riz. 119

206. ∠ABC = 70° et ABCD = 110°. Les directs AB et CD peuvent-ils être :

a) parallèle ;
b) se croisant ?

207. Répondez aux questions du problème 206 si ∠ABC = 65° et ∠BCD = 105°.

208. La différence entre deux angles unilatéraux lorsque deux droites parallèles se coupent avec une transversale est de 50°. Trouvez ces angles.

209. Dans la figure 120 a || b, c || d, ∠4 = 45°. Trouvez les angles 1, 2 et 3.

Riz. 120

210. Deux corps P 1 et P 2 sont suspendus aux extrémités d'un fil jeté sur les blocs A et B (Fig. 121). Le troisième corps P 3 est suspendu au même fil au point C et équilibre les corps P 1 et P 2. (Dans ce cas, AP 1 || BP 2 || CP 3 .) Montrer que ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .

Riz. 121

211. Deux lignes parallèles sont coupées par une transversale. Montrer que : a) les bissectrices d'angles opposés sont parallèles ; b) les bissectrices des angles unilatéraux sont perpendiculaires.

212. Les droites contenant les altitudes AA 1 et BB 1 du triangle ABC se coupent au point H, l'angle B est obtus, ∠C = 20°. Trouvez l'angle ABB.