Qu'est-ce qu'une suite de nombres naturels. Certains types de séquences

Considérons une série de nombres naturels : 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Si nous remplaçons chaque nombre naturel n dans cette série par un certain nombre un n, suivant une certaine loi, nous obtenons une nouvelle série de nombres :

un 1 , un 2 , un 3 , , un n –1 , un n , ,

brièvement désigné et appelé séquence numérique. Ampleur un n est appelé membre commun d’une séquence de nombres. Habituellement, la séquence de nombres est donnée par une formule un n = f(n) vous permettant de retrouver n'importe quel membre de la séquence par son numéro n; cette formule est appelée formule du terme général. Notez qu'il n'est pas toujours possible de définir une séquence numérique à l'aide d'une formule de terme général ; parfois, une séquence est spécifiée en décrivant ses membres.

Par définition, une séquence contient toujours un nombre infini d'éléments : deux éléments différents diffèrent au moins par leur nombre, qui est infini.

Une séquence de nombres est un cas particulier de fonction. Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des nombres naturels et prenant des valeurs dans l'ensemble des nombres réels, soit une fonction de la forme f : N  R..

Sous-séquence
appelé croissant(décroissant), le cas échéant n  N
De telles séquences sont appelées strictement monotone.

Parfois, il est pratique d'utiliser non pas tous les nombres naturels comme nombres, mais seulement certains d'entre eux (par exemple, les nombres naturels commençant à partir d'un nombre naturel n 0). Pour la numérotation, il est également possible d'utiliser non seulement des nombres naturels, mais également d'autres nombres, par exemple : n= 0, 1, 2,  (ici zéro est ajouté comme autre nombre à l'ensemble des nombres naturels). Dans de tels cas, lors de la spécification de la séquence, indiquez les valeurs que prennent les nombres n.

Si dans une certaine séquence pour n'importe quel n  N
alors la séquence s'appelle non décroissant(non croissant). De telles séquences sont appelées monotone.

Exemple 1 . La séquence numérique 1, 2, 3, 4, 5, ... est une série de nombres naturels et a un terme commun un n = n.

Exemple 2 . La séquence numérique 2, 4, 6, 8, 10, ... est une série de nombres pairs et a un terme commun un n = 2n.

Exemple 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – une séquence numérique de valeurs approximatives avec une précision croissante.

Dans le dernier exemple il est impossible de donner une formule pour le terme général de la suite.

Exemple 4 . Écrivez les 5 premiers termes d’une suite de nombres en utilisant son terme commun
. Pour calculer un 1 est nécessaire dans la formule du terme général un n au lieu de n remplacer 1 pour calculer un 2 − 2, etc. On a alors :

Essai 6 . Le membre commun de la séquence 1, 2, 6, 24, 120,  est :

1)

2)

3)

4)

Essai 7 .
est:

1)

2)

3)

4)

Essai 8 . Membre commun de la séquence
est:

1)

2)

3)

4)

Limite de séquence de numéros

Considérons une séquence de nombres dont le terme commun se rapproche d'un nombre UN quand le numéro de série augmente n. Dans ce cas, on dit que la séquence de nombres a une limite. Ce concept a une définition plus stricte.

Nombre UN appelé la limite d'une séquence de nombres
:

(1)

si pour tout  > 0 il existe un tel nombre n 0 = n 0 (), en fonction de , qui
à n > n 0 .

Cette définition signifie que UN il y a une limite à une séquence de nombres si son terme commun s'approche sans limite UN avec une augmentation n. Géométriquement, cela signifie que pour tout  > 0 on peut trouver un tel nombre n 0 , qui, à partir de n > n 0 , tous les membres de la séquence sont situés à l'intérieur de l'intervalle ( UN – , UN+ ). Une suite ayant une limite est appelée convergent; sinon - divergent.

Une séquence de nombres ne peut avoir qu'une seule limite (finie ou infinie) d'un certain signe.

Exemple 5 . Séquence harmonique a pour nombre limite 0. En effet, pour tout intervalle (–; +) comme nombre N 0 peut être n’importe quel entier supérieur à . Alors pour tout le monde n > n 0 >nous avons

Exemple 6 . La suite 2, 5, 2, 5,  est divergente. En effet, aucun intervalle de longueur inférieure par exemple à un ne peut contenir tous les membres de la séquence, à partir d'un certain nombre.

La séquence s'appelle limité, si un tel numéro existe M., Quoi
pour tout le monde n. Toute suite convergente est bornée. Toute séquence monotone et délimitée a une limite. Chaque séquence convergente a une limite unique.

Exemple 7 . Sous-séquence
est croissante et limitée. Elle a une limite
=e.

Nombre e appelé Numéro d'Euler et approximativement égal à 2,718 28.

Essai 9 . La séquence 1, 4, 9, 16,  est :

1) convergente ;

2) divergent ;

3) limité ;

Essai 10 . Sous-séquence
est:

1) convergente ;

2) divergent ;

3) limité ;

4) progression arithmétique ;

5) progression géométrique.

Essai 11 . Sous-séquence n'est pas :

1) convergente ;

2) divergent ;

3) limité ;

4) harmonique.

Test 12 . Limite d'une suite donnée par un terme commun
égal.

Un nombre naturel est une caractéristique quantitative d'un ensemble immuable. Cependant, dans la pratique, le nombre d'objets change constamment, par exemple le nombre de têtes de bétail dans une certaine ferme. De plus, la séquence la plus simple, mais aussi la plus importante, apparaît immédiatement dans le processus de comptage : il s'agit de la séquence de nombres naturels : 1, 2, 3, ....

Si un changement dans le nombre d'objets dans une certaine population est enregistré sous la forme d'une certaine séquence de nombres naturels (membres de la séquence), une autre séquence apparaît immédiatement naturellement - une séquence de nombres, par exemple

A cet égard, le problème de la nomination des membres d'une séquence se pose. Désigner chaque membre avec une lettre spéciale est extrêmement gênant pour les raisons suivantes. Premièrement, la séquence peut contenir un nombre très grand, voire infini, de termes. Deuxièmement, des lettres différentes cachent le fait que les membres de la séquence appartiennent à la même population, bien que le nombre d'éléments change. Enfin, dans ce cas, les numéros de membres dans la séquence ne seront pas reflétés.

Ces raisons obligent à désigner les membres de la séquence par une seule lettre et à les distinguer par un index. Par exemple, une séquence composée de dix termes peut être désignée par la lettre UN: UN 1 , UN 2 , UN 3 , …, UN 10. Le fait que la séquence soit infinie est exprimé par les points de suspension, comme si on prolongeait indéfiniment cette séquence : UN 1 , UN 2 , UN 3, ... Parfois la séquence commence à être numérotée à partir de zéro : : UN 0 , UN 1 , UN 2 , UN 3 , …

Certaines séquences peuvent être perçues comme des ensembles aléatoires de nombres, puisque la loi de formation des membres de la séquence est inconnue, voire absente. Cependant, une attention particulière est portée aux séquences pour lesquelles une telle loi est connue.

Pour indiquer la loi de formation des membres de la séquence, deux méthodes sont le plus souvent utilisées. Le premier d’entre eux est le suivant. Le premier terme est précisé, puis la méthode selon laquelle le suivant est obtenu à partir du dernier terme déjà connu. Pour écrire une loi, un membre de séquence avec un numéro non spécifié est utilisé, par exemple, et k et le prochain membre et k +1, après quoi la formule qui les relie est écrite.

Les exemples les plus célèbres et les plus importants sont les progressions arithmétiques et géométriques. La progression arithmétique est définie par la formule et k +1 = et k + r(ou et k +1 = et k – r). Les termes d'une progression arithmétique augmentent uniformément (comme une échelle) ou diminuent uniformément (également comme une échelle). Ampleur r s'appelle la différence de progression parce que et k +1 – et k = r. Des exemples de progressions arithmétiques avec des termes naturels sont

a) nombres naturels ( un 1 = 1 ;et k +1 = et k + 1);

b) une séquence infinie 1, 3, 5, 7, … ( un 1 = 1 ;et k +1 = et k + 2);

c) la séquence finale 15, 12, 9, 6, 3 ( un 1 = 15 ;et k +1 = et k–3 ).

La progression géométrique est donnée par la formule b k +1 = bb ∙q. Ampleur q est appelé le dénominateur d'une progression géométrique car b k +1 : b k = q. Les progressions géométriques avec des termes naturels et un dénominateur supérieur à un grandissent et grandissent rapidement, même comme une avalanche. Des exemples de progressions géométriques avec des termes naturels sont

a) une séquence infinie 1, 2, 4, 8, … ( b1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2);

b) séquence infinie 3, 12, 48, 192, 768,… ( b1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4).

La deuxième façon d'indiquer la loi de détermination des termes d'une séquence est d'indiquer une formule qui permet de calculer un membre de séquence avec un nombre non précisé (terme commun), par exemple, et k, en utilisant le numéro k.

Les termes des progressions arithmétiques et géométriques peuvent également être calculés de cette manière. Puisque la progression arithmétique est définie par la formule et k +1 = et k + r, il est facile de comprendre comment le terme est exprimé et k en utilisant le numéro k:

un 1– déterminé arbitrairement ;

un 2 = une 1 + r= une 1 + 1∙r;

un 3 = une 2 + r = une 1 + r + r = une 1 + 2∙r;

un 4 = une 3 + r = une 1 + 2∙r + r = une 1 + 3∙r;

…………………………………

et k = une 1 + (k–1)∙r– formule finale.

Pour une progression géométrique, la formule du terme général est dérivée de la même manière : bb = b 1 ∙ q k –1 .

Outre les progressions arithmétiques et géométriques, d'autres séquences présentant un caractère particulier de changement peuvent être déterminées de la même manière. A titre d'exemple, nous donnons une suite de carrés de nombres naturels : sk = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

Il existe des manières plus complexes de former des séquences, par exemple, l'une est construite à l'aide d'une autre. La progression géométrique déterminée par les paramètres est particulièrement importante pour l'arithmétique. b1 = 1, q= 10, c'est-à-dire la séquence de puissances de dix : 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... Il est utilisé pour représenter les nombres naturels dans le nombre positionnel système. De plus, pour chaque nombre naturel n une séquence apparaît composée de nombres avec lesquels le nombre donné est écrit : une n une n – 1 ... une 2 une 1 une 0. Nombre et k indique combien de termes de type 10 k contient un numéro n.

Le concept de séquence conduit aux concepts les plus importants de quantité et de fonction pour les mathématiques. Une quantité est une caractéristique numérique changeante d’un objet ou d’un phénomène. Son changement est perçu comme une séquence de nombres. L'existence d'une relation entre les termes eux-mêmes et leurs nombres, ainsi que son expression à l'aide de formules, conduit étroitement à la notion de fonction.

La découverte mathématique la plus importante, utilisée par presque tous les membres d'une société assez développée, est le système de numérotation positionnelle. Il a permis de résoudre le problème principal du comptage, qui est la capacité de nommer de plus en plus de nouveaux nombres, en utilisant des notations (chiffres) uniquement pour les premiers nombres.

Le système de numérotation positionnelle est traditionnellement associé au nombre dix, mais d'autres systèmes, par exemple binaires, peuvent être construits sur les mêmes principes. Lors de la construction d'un système de nombres positionnels décimaux, dix chiffres arabes sont introduits : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Avec leur aide, un nombre peut être écrit qui exprime le nombre d'objets de tout ensemble fini. A cet effet, un algorithme spécial est utilisé, c'est-à-dire une séquence clairement définie d'actions élémentaires.

Les éléments comptés sont regroupés en groupes de dix, ce qui correspond à une division par dix avec un reste. En conséquence, deux ensembles sont formés : les uns et les dizaines. Les dizaines sont à nouveau regroupées par dizaines en centaines. Il est clair que le nombre de dizaines (on le note un 1) est nécessairement inférieur à dix et, par conséquent, un 1 peut être indiqué par un numéro. Ensuite, les centaines sont regroupées en milliers, les milliers en dizaines de milliers, etc. jusqu'à ce que tous les éléments soient regroupés. La construction du nombre se termine en écrivant les nombres résultants de gauche à droite des grands indices aux plus petits. Numérique et k correspondent au nombre de groupes d'objets de 10 k. L'enregistrement final d'un nombre consiste en une séquence finie de chiffres une n une n – 1 ... une 2 une 1 une 0. Le nombre correspondant est égal à l'expression

à n ·10 n + à n – 1 ·10 n – 1 + … + à 2 ·10 2 + à 1 ·10 1 + à 0 ·10 0.

Le mot « positionnel » dans le nom du système numérique est dû au fait qu'un nombre change de signification en fonction de sa position dans la notation du nombre. Le dernier chiffre précise le nombre d'unités, l'avant-dernier chiffre précise le nombre de dizaines, etc.

Notez que l'algorithme permettant d'obtenir un enregistrement de nombres dans un système numérique avec n'importe quelle base N: consiste en un regroupement séquentiel d'objets selon N des choses. Lorsque vous écrivez des nombres, vous devez utiliser N Nombres

Sous-séquence

Sous-séquence- Ce trousseéléments d'un ensemble :

• pour chaque nombre naturel, vous pouvez spécifier un élément d'un ensemble donné ;
• ce numéro est le numéro de l'élément et indique la position de cet élément dans la séquence ;
• Pour tout élément (membre) d'une séquence, vous pouvez spécifier l'élément suivant de la séquence.

La séquence s'avère donc être le résultat cohérent sélection d'éléments d'un ensemble donné. Et, si un ensemble d'éléments est fini et que nous parlons d'un échantillon de volume fini, alors la séquence s'avère être un échantillon de volume infini.

Une séquence est par nature une cartographie, elle ne doit donc pas être confondue avec un ensemble qui « parcourt » la séquence.

En mathématiques, de nombreuses séquences différentes sont considérées :

• séries chronologiques de nature numérique et non numérique ;
• séquences d'éléments de l'espace métrique
• séquences d'éléments d'espace fonctionnels
• séquences d’états des systèmes de contrôle et des machines.

Le but de l’étude de toutes les séquences possibles est de rechercher des modèles, de prédire les états futurs et de générer des séquences.

Définition

Soit un certain ensemble d'éléments de nature arbitraire. | Toute application d'un ensemble de nombres naturels vers un ensemble donné est appelée séquence(éléments de l'ensemble).

L'image d'un nombre naturel, à savoir l'élément, s'appelle - ème membre ou élément de séquence, et le numéro ordinal d'un membre de la séquence est son index.

Définitions associées

• Si nous prenons une séquence croissante de nombres naturels, alors elle peut être considérée comme une séquence d'indices d'une certaine séquence : si nous prenons les éléments de la séquence d'origine avec les indices correspondants (tirés de la séquence croissante de nombres naturels), alors nous peut à nouveau obtenir une séquence appelée sous-séquence séquence donnée.

Commentaires

• En analyse mathématique, un concept important est la limite d’une suite de nombres.

Désignations

Séquences du formulaire

Il est d'usage d'écrire de manière compacte en utilisant des parenthèses :

Des accolades sont parfois utilisées :

En permettant une certaine liberté de parole, on peut également considérer des séquences finies de la forme

qui représentent l'image du segment initial d'une séquence de nombres naturels.

Voir aussi

Fondation Wikimédia.

Synonymes

SUBSÉQUENCE. Dans l'article de I.V. Kireevsky « Le dix-neuvième siècle » (1830), nous lisons : « Depuis la chute même de l'Empire romain jusqu'à nos jours, l'illumination de l'Europe nous apparaît dans un développement progressif et dans une séquence ininterrompue » (vol. 1, p. ... ... Histoire des mots

SÉQUENCE, séquences, pluriel. non, femme (livre). distrait nom à séquentiel. Une séquence d'événements. Cohérence dans les marées changeantes. Cohérence du raisonnement. Dictionnaire explicatif d'Ouchakov.... ... Dictionnaire explicatif d'Ouchakov

Constance, continuité, logique ; rangée, progression, conclusion, série, enchaînement, virage, chaîne, chaîne, cascade, course de relais ; persistance, validité, ensemble, méthodicité, arrangement, harmonie, ténacité, sous-séquence, connexion, file d'attente,... ... Dictionnaire des synonymes

SÉQUENCE, nombres ou éléments disposés de manière organisée. Les séquences peuvent être finies (ayant un nombre limité d'éléments) ou infinies, comme la séquence complète d'entiers naturels 1, 2, 3, 4 ....... ... Dictionnaire encyclopédique scientifique et technique

SÉQUENCE, un ensemble de nombres (expressions mathématiques, etc. ; on dit : éléments de toute nature), numérotés par des nombres naturels. La séquence s'écrit x1, x2,..., xn,... ou brièvement (xi) ... Encyclopédie moderne

L'un des concepts de base des mathématiques. La séquence est formée d'éléments de toute nature, numérotés par des nombres naturels 1, 2, ..., n, ..., et écrits x1, x2, ..., xn, ... ou brièvement (xn) . .. Grand dictionnaire encyclopédique

Sous-séquence- SÉQUENCE, un ensemble de nombres (expressions mathématiques, etc. ; on dit : éléments de toute nature), numérotés avec des nombres naturels. La séquence s'écrit x1, x2, ..., xn, ... ou brièvement (xi). ... Dictionnaire encyclopédique illustré

SÉQUENCE, et, femelle. 1. Voir séquentiel. 2. En mathématiques : un ensemble infini de nombres ordonnés. Dictionnaire explicatif d'Ojegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992… Dictionnaire explicatif d'Ojegov

Anglais succession/séquence ; Allemand Conséquence. 1. L'ordre les uns après les autres. 2. L'un des concepts de base des mathématiques. 3. La qualité d'une pensée logique correcte, dans laquelle le raisonnement est exempt de contradictions internes dans l'un et dans l'autre... ... Encyclopédie de sociologie

Sous-séquence- « une fonction définie sur l'ensemble des nombres naturels, dont l'ensemble des valeurs peut être constitué d'éléments de toute nature : nombres, points, fonctions, vecteurs, ensembles, variables aléatoires, etc., numérotés par des nombres naturels. . Dictionnaire économique et mathématique

Livres

• Nous construisons une séquence. Chatons. 2-3 ans. Jeu "Chatons". Nous construisons une séquence. Niveau 1. Série "Éducation préscolaire". De joyeux chatons ont décidé de bronzer sur la plage ! Mais ils ne peuvent pas diviser les places. Aidez-les...

La fonction a n =f (n) de l'argument naturel n (n=1; 2; 3; 4;...) est appelée une séquence de nombres.

Chiffres un 1 ; un 2 ; un 3 ; a 4 ;…, formant une séquence, sont appelés membres d'une séquence numérique. Donc a 1 =f (1); une 2 =f (2); une 3 =f (3); une 4 =f (4);…

Ainsi, les membres de la séquence sont désignés par des lettres indiquant les indices - les numéros d'ordre de leurs membres : a 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ;…, donc un 1 est le premier membre de la séquence ;

a 2 est le deuxième terme de la suite ;

un 3 est le troisième membre de la séquence ;

un 4 est le quatrième terme de la suite, etc.

En bref, la séquence numérique s'écrit comme suit : a n = f (n) ou (a n).

Il existe les manières suivantes de spécifier une séquence de numéros :

1) Méthode verbale. Représente un modèle ou une règle pour la disposition des membres d’une séquence, décrit par des mots.

Exemple 1. Écrivez une séquence de tous les nombres non négatifs qui sont des multiples de 5.

Solution. Puisque tous les nombres se terminant par 0 ou 5 sont divisibles par 5, la séquence s'écrira ainsi :

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Exemple 2. Étant donné la séquence : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; .... Demandez-le verbalement.

Solution. On remarque que 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Nous concluons : étant donné une séquence constituée de carrés de nombres naturels.

2) Méthode analytique. La suite est donnée par la formule du nième terme : a n =f (n). En utilisant cette formule, vous pouvez trouver n’importe quel membre de la séquence.

Exemple 3. L'expression du kième terme d'une séquence de nombres est connue : a k = 3+2·(k+1). Calculez les quatre premiers termes de cette séquence.

une 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

une 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

une 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11 ;

une 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Exemple 4. Déterminer la règle de composition d'une séquence numérique en utilisant ses premiers membres et exprimer le terme général de la séquence en utilisant une formule plus simple : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ....

Solution. On remarque qu'on nous donne une séquence de nombres impairs. Tout nombre impair peut s'écrire sous la forme : 2k-1, où k est un nombre naturel, c'est-à-dire k=1; 2 ; 3 ; 4 ; .... Réponse : a k =2k-1.

3) Méthode récurrente. La séquence est également donnée par une formule, mais pas par une formule générale de terme, qui dépend uniquement du numéro du terme. Une formule est spécifiée par laquelle chaque terme suivant est trouvé à travers les termes précédents. Dans le cas de la méthode récurrente de spécification d'une fonction, un ou plusieurs premiers membres de la séquence sont toujours spécifiés en plus.

Exemple 5. Écrivez les quatre premiers termes de la séquence (a n ),

si un 1 = 7 ; une n+1 = 5+une n .

une 2 =5+une 1 =5+7=12 ;

une 3 =5+une 2 =5+12=17 ;

un 4 =5+un 3 =5+17=22. Réponse : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ....

Exemple 6. Écrivez les cinq premiers termes de la séquence (b n),

si b 1 = -2, b 2 = 3 ; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1 ;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5 ;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Réponse : -2 ; 3 ; -1 ; 5 ; 3 ; ....

4) Méthode graphique. La séquence numérique est donnée par un graphique qui représente des points isolés. Les abscisses de ces points sont des nombres naturels : n=1 ; 2 ; 3 ; 4 ; .... Les ordonnées sont les valeurs des membres de la séquence : a 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ;… .

Exemple 7. Écrivez graphiquement les cinq termes de la séquence numérique donnée.

Chaque point de ce plan de coordonnées a des coordonnées (n ; a n). Notons les coordonnées des points marqués par ordre croissant de l'abscisse n.

On obtient : (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Par conséquent, a 1 = -3 ; un 2 =1; un 3 =4; un 4 =6 ; un 5 =7.

Réponse : -3 ; 1 ; 4 ; 6 ; 7.

La suite numérique considérée en fonction (dans l'exemple 7) est donnée sur l'ensemble des cinq premiers nombres naturels (n=1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5), donc est suite de nombres finis(composé de cinq membres).

Si une séquence de nombres en fonction est donnée sur l'ensemble des nombres naturels, alors une telle séquence sera une suite de nombres infinie.

La séquence de nombres s'appelle croissant, si ses membres sont croissants (a n+1 >a n) et décroissants, si ses membres diminuent(un n+1

Une séquence de nombres croissants ou décroissants est appelée monotone.