Ondes stationnaires. 6.1 Ondes stationnaires en milieu élastique

6.1 Ondes stationnaires en milieu élastique

Selon le principe de superposition, lorsque plusieurs ondes se propagent simultanément dans un milieu élastique, leur superposition se produit, et les ondes ne se perturbent pas : les oscillations des particules du milieu sont la somme vectorielle des oscillations que feraient les particules. si chaque vague se propageait séparément.

Les ondes qui créent des oscillations du milieu, dont les différences de phase sont constantes en chaque point de l'espace, sont appelées cohérent.

Lorsque des ondes cohérentes sont ajoutées, le phénomène se produit ingérence, qui consiste dans le fait qu'en certains points de l'espace les ondes se renforcent mutuellement, et en d'autres points elles s'affaiblissent. Un cas important d'interférence est observé lorsque deux ondes planes se propageant de manière contrariante avec la même fréquence et la même amplitude se superposent. Les oscillations résultantes sont appelées vague stationnaire. Le plus souvent, les ondes stationnaires surviennent lorsqu’une onde progressive est réfléchie par un obstacle. Dans ce cas, l’onde incidente et l’onde réfléchie vers elle, lorsqu’elles sont additionnées, donnent une onde stationnaire.

Nous obtenons l’équation des ondes stationnaires. Prenons deux ondes harmoniques planes se propageant l'une vers l'autre le long de l'axe X et ayant la même fréquence et amplitude :

Où – phase d'oscillations des points du milieu lors du passage de la première onde ;

– phase d'oscillations des points dans le milieu lors du passage de la deuxième vague.

Différence de phase en chaque point de l'axe X le réseau ne dépendra pas du temps, c'est-à-dire sera constant :

Les deux vagues seront donc cohérentes.

La vibration des particules du milieu résultant de l'addition des ondes considérées sera la suivante :

Transformons la somme des cosinus des angles selon la règle (4.4) et obtenons :

En regroupant les facteurs, on obtient :

Pour simplifier l'expression, on choisit le point de référence pour que la différence de phase et le début du décompte des temps pour que la somme des phases soit égale à zéro : .

Alors l’équation de la somme des vagues prendra la forme :

L'équation (6.6) est appelée équation des ondes stationnaires. Il montre que la fréquence d'une onde stationnaire est égale à la fréquence d'une onde progressive, et que l'amplitude, contrairement à une onde progressive, dépend de la distance à l'origine :

. (6.7)

Compte tenu de (6.7), l'équation des ondes stationnaires prend la forme :

. (6.8)

Ainsi, les points du milieu oscillent avec une fréquence coïncidant avec la fréquence de l'onde progressive et l'amplitude un, en fonction de la position du point sur l'axe X. En conséquence, l'amplitude change selon la loi du cosinus et a ses propres maxima et minima (Fig. 6.1).

Afin de représenter visuellement l'emplacement des minimums et maximums de l'amplitude, on remplace, d'après (5.29), le numéro d'onde par sa valeur :

Alors l’expression (6.7) pour l’amplitude prendra la forme

(6.10)

Il en ressort clairement que l'amplitude du déplacement est maximale à , c'est-à-dire aux points dont les coordonnées satisfont à la condition :

, (6.11)

Où

De là on obtient les coordonnées des points où l'amplitude du déplacement est maximale :

; (6.12)

Les points où l'amplitude des vibrations du milieu est maximale sont appelés ventres de la vague.

L'amplitude de l'onde est nulle aux points où . Les coordonnées de ces points, appelées nœuds d'onde, satisfait à la condition :

, (6.13)

Où

D’après (6.13) il ressort clairement que les coordonnées des nœuds ont les valeurs :

, (6.14)

Sur la fig. La figure 6.2 montre une vue approximative d'une onde stationnaire, marquant l'emplacement des nœuds et des ventres. On peut voir que les nœuds voisins et les ventres de déplacement sont espacés les uns des autres de la même distance.

Trouvons la distance entre les ventres et les nœuds voisins. De (6.12) on obtient la distance entre ventres :

(6.15)

La distance entre nœuds est obtenue à partir de (6.14) :

(6.16)

D'après les relations obtenues (6.15) et (6.16), il ressort clairement que la distance entre nœuds voisins, ainsi qu'entre ventres voisins, est constante et égale à ; les nœuds et les ventres sont décalés les uns par rapport aux autres de (Fig. 6.3).

A partir de la définition de la longueur d'onde, on peut écrire une expression pour la longueur d'une onde stationnaire : elle est égale à la moitié de la longueur d'une onde progressive :

Écrivons, en tenant compte de (6.17), des expressions pour les coordonnées des nœuds et des ventres :

, (6.18)

, (6.19)

Le facteur qui détermine l'amplitude d'une onde stationnaire change de signe lorsqu'il passe par la valeur zéro, de sorte que la phase des oscillations des différents côtés du nœud diffère de . Par conséquent, tous les points situés sur les côtés opposés du nœud oscillent en antiphase. Tous les points situés entre les nœuds voisins oscillent en phase.

Les nœuds divisent conditionnellement l'environnement en régions autonomes dans lesquelles les oscillations harmoniques se produisent indépendamment. Il n’y a pas de transfert de mouvement entre les régions et, par conséquent, il n’y a pas de flux d’énergie entre les régions. Autrement dit, il n’y a pas de transmission de perturbation le long de l’axe. C'est pourquoi la vague est appelée vague stationnaire.

Ainsi, une onde stationnaire est formée de deux ondes progressives de direction opposée, de fréquences et d’amplitudes égales. Les vecteurs Umov de chacune de ces ondes sont de même ampleur et de direction opposée, et une fois additionnés, ils donnent zéro. Par conséquent, une onde stationnaire ne transfère pas d’énergie.

6.2 Exemples d'ondes stationnaires

6.2.1 Onde stationnaire dans une corde

Considérons une chaîne de longueur L, fixé aux deux extrémités (Fig. 6.4).

Plaçons un axe le long de la corde X pour que l'extrémité gauche de la chaîne ait la coordonnée x=0, et le bon – x=L. Des vibrations se produisent dans la corde, décrites par l'équation :

Écrivons les conditions aux limites pour la chaîne considérée. Puisque ses extrémités sont fixes, alors aux points de coordonnées x=0 Et x=L pas d'hésitation :

(6.22)

Trouvons l'équation des oscillations des cordes basée sur les conditions aux limites écrites. Écrivons l'équation (6.20) pour l'extrémité gauche de la chaîne en tenant compte de (6.21) :

La relation (6.23) est satisfaite pour tout instant t dans deux cas :

1. . Ceci est possible s'il n'y a pas de vibrations dans la corde (). Ce cas ne présente pas d'intérêt et nous ne l'examinerons pas.

2. . Voici la phase. Ce cas nous permettra d'obtenir l'équation des vibrations des cordes.

Remplaçons la valeur de phase résultante dans la condition aux limites (6.22) pour l'extrémité droite de la chaîne :

. (6.25)

Considérant que

, (6.26)

de (6.25) on obtient :

Là encore, deux cas se présentent dans lesquels la relation (6.27) est satisfaite. Nous ne considérerons pas le cas où il n'y a pas de vibrations dans la corde ().

Dans le deuxième cas, l'égalité doit être satisfaite :

et cela n'est possible que lorsque l'argument du sinus est un multiple d'un entier :

Nous rejetons la valeur, car dans ce cas, et cela signifierait soit une longueur nulle de la chaîne ( L=0) ou numéro d'onde k=0. Compte tenu du lien (6.9) entre le nombre d'onde et la longueur d'onde, il est clair que pour que le nombre d'onde soit égal à zéro, la longueur d'onde doit être infinie, ce qui signifierait l'absence d'oscillations.

D'après (6.28), il ressort clairement que le nombre d'onde lors de l'oscillation d'une corde fixée aux deux extrémités ne peut prendre que certaines valeurs discrètes :

Compte tenu de (6.9), on écrit (6.30) sous la forme :

à partir de laquelle on obtient l'expression des longueurs d'onde possibles dans la corde :

Autrement dit, sur toute la longueur de la chaîne L doit correspondre à un entier n demi-ondes :

Les fréquences d’oscillation correspondantes peuvent être déterminées à partir de (5.7) :

Voici la vitesse de phase de l'onde, dépendant, selon (5.102), de la densité linéique de la corde et de la force de tension de la corde :

En substituant (6.34) dans (6.33), on obtient une expression décrivant les fréquences de vibration possibles de la corde :

, (6.36)

Les fréquences sont appelées fréquences naturelles cordes. Fréquence (à n = 1):

(6.37)

appelé fréquence fondamentale(ou ton principal) chaînes. Fréquences déterminées à n>1 sont appelés harmoniques ou harmoniques. Le numéro harmonique est n-1. Par exemple, fréquence :

correspond à la première harmonique, et fréquence :

correspond à la deuxième harmonique, etc. Puisqu’une corde peut être représentée comme un système discret avec un nombre infini de degrés de liberté, alors chaque harmonique est mode vibrations des cordes. Dans le cas général, les vibrations des cordes représentent une superposition de modes.

Chaque harmonique a sa propre longueur d'onde. Pour le ton principal (avec m= 1) longueur d'onde :

respectivement pour les première et deuxième harmoniques (à m= 2 et m= 3) les longueurs d'onde seront :

La figure 6.5 montre l'apparition de plusieurs modes de vibration réalisés par une corde.

Ainsi, une corde à extrémités fixes réalise un cas exceptionnel dans le cadre de la physique classique : un spectre discret de fréquences de vibration (ou longueurs d'onde). Une tige élastique avec une ou les deux extrémités serrées et les oscillations d'une colonne d'air dans des tuyaux se comportent de la même manière, ce qui sera discuté dans les sections suivantes.

6.2.2 Influence des conditions initiales sur le mouvement

chaîne continue. Analyse de Fourier

En plus du spectre discret des fréquences d'oscillation, les oscillations d'une corde aux extrémités serrées ont une autre propriété importante : la forme spécifique des oscillations de la corde dépend de la méthode d'excitation des oscillations, c'est-à-dire à partir des conditions initiales. Regardons de plus près.

L'équation (6.20), qui décrit un mode d'onde stationnaire dans une corde, est une solution particulière de l'équation d'onde différentielle (5.61). Puisque la vibration d'une corde est constituée de tous les modes possibles (pour une corde il y en a un nombre infini), alors la solution générale de l'équation d'onde (5.61) consiste en un nombre infini de solutions partielles :

, (6.43)

Où je– numéro du mode de vibration. L'expression (6.43) s'écrit en tenant compte du fait que les extrémités de la chaîne sont fixes :

et en tenant également compte de la connexion en fréquence je-ième mode et son numéro d'onde :

(6.46)

Ici – numéro de vague je la mode;

– numéro d'onde du 1er mode ;

Trouvons la valeur de la phase initiale pour chaque mode d'oscillation. Pour cela, pour le moment t=0 donnons à la chaîne une forme décrite par la fonction f 0 (x), expression pour laquelle on obtient de (6.43) :

. (6.47)

Sur la fig. La figure 6.6 montre un exemple de forme de chaîne décrite par la fonction f 0 (x).

À un moment donné t=0 la chaîne est toujours au repos, c'est-à-dire la vitesse de tous ses points est nulle. A partir de (6.43) nous trouvons une expression pour la vitesse des points de corde :

et, en y remplaçant t=0, on obtient une expression pour la vitesse des points sur la chaîne à l'instant initial :

. (6.49)

Puisqu'à l'instant initial la vitesse est égale à zéro, alors l'expression (6.49) sera égale à zéro pour tous les points de la chaîne si . Il s'ensuit que la phase initiale pour tous les modes est également nulle (). Compte tenu de cela, l’expression (6.43), qui décrit le mouvement de la corde, prend la forme :

, (6.50)

et l'expression (6.47), décrivant la forme initiale de la chaîne, ressemble à :

. (6.51)

Une onde stationnaire dans une corde est décrite par une fonction périodique sur l'intervalle , où elle est égale à deux longueurs de corde (Fig. 6.7) :

Cela peut être vu du fait que la périodicité sur un intervalle signifie :

Ainsi,

ce qui nous amène à l’expression (6.52).

L'analyse mathématique montre que toute fonction périodique peut être développée avec une grande précision en une série de Fourier :

, (6.57)

où , , sont des coefficients de Fourier.

Lorsque deux ondes identiques d'amplitudes et de périodes égales se propagent l'une vers l'autre, des ondes stationnaires apparaissent lorsqu'elles se chevauchent. Les ondes stationnaires peuvent être produites par réflexion sur des obstacles. Disons que l'émetteur envoie une onde vers un obstacle (onde incidente). L'onde réfléchie par celle-ci se superposera à l'onde incidente. L'équation des ondes stationnaires peut être obtenue en ajoutant l'équation des ondes incidentes

et équations des ondes réfléchies

L'onde réfléchie se déplace dans la direction opposée à l'onde incidente, on prend donc la distance x avec un signe moins. Le déplacement d'un point qui participe simultanément à deux oscillations est égal à la somme algébrique. Après des transformations simples, on obtient

ne dépend pas du temps et détermine l'amplitude de tout point de coordonnée x. Chaque point effectue une oscillation harmonique de période T. L'amplitude A st pour chaque point est complètement définie. Mais lorsqu'on passe d'un point de la vague à un autre, cela change en fonction de la distance x. Si nous donnons des valeurs x égales à etc., alors lors de la substitution dans l'équation (8.16), nous obtenons . Par conséquent, les points indiqués de la vague restent au repos, car les amplitudes de leurs oscillations sont nulles. Ces points sont appelés nœuds d’ondes stationnaires. Les points où se produisent les oscillations avec une amplitude maximale sont appelés ventres. La distance entre les nœuds (ou ventres) adjacents est appelée longueur d’onde stationnaire et est égale à

où λ est la longueur de l’onde progressive.

Dans une onde stationnaire, tous les points du milieu dans lequel elles se propagent, situés entre deux nœuds adjacents, oscillent dans la même phase. Les points du milieu situés sur les côtés opposés du nœud oscillent en antiphase - leurs phases diffèrent de π. ceux. lors du passage par un nœud, la phase d'oscillation change brusquement de π. Contrairement aux ondes progressives, il n’y a pas de transfert d’énergie dans une onde stationnaire car les ondes avant et arrière qui forment cette onde transfèrent de l’énergie en quantités égales dans les directions avant et opposées. Dans le cas où une onde est réfléchie depuis un milieu plus dense que le milieu où l'onde se propage, un nœud apparaît au lieu de réflexion et la phase change à l'opposé. Dans ce cas, on dit que la moitié de la vague est perdue. Lorsqu'une onde est réfléchie par un milieu moins dense au lieu de réflexion, un regroupement apparaît et il n'y a pas de perte de la moitié de l'onde.

Toute onde est une oscillation. Un liquide, un champ électromagnétique ou tout autre milieu peut vibrer. Dans la vie de tous les jours, chaque personne est confrontée quotidiennement à l'une ou l'autre manifestation de fluctuations. Mais qu’est-ce qu’une onde stationnaire ?

Imaginez un récipient spacieux dans lequel de l'eau est versée - il peut s'agir d'un bassin, d'un seau ou d'une baignoire. Si vous tapotez maintenant le liquide avec votre paume, des crêtes en forme de vagues s'étendront du centre d'impact dans toutes les directions. D’ailleurs, c’est ainsi qu’on les appelle : des vagues voyageuses. Leur trait caractéristique est le transfert d’énergie. Cependant, en modifiant la fréquence des applaudissements, vous pouvez obtenir leur disparition visible presque complète. Il semble que la masse d'eau ressemble à de la gelée et que le mouvement se produit uniquement de bas en haut. Une onde stationnaire est ce déplacement. Ce phénomène se produit parce que chaque onde s'éloignant du centre d'impact atteint les parois du conteneur et est réfléchie, où elle croise (interfère) avec les ondes principales se déplaçant dans la direction opposée. Une onde stationnaire n'apparaît que si les ondes réfléchies et directes sont en phase, mais d'amplitude différente. Sinon, l'interférence ci-dessus ne se produit pas, car l'une des propriétés des perturbations ondulatoires ayant des caractéristiques différentes est la capacité de coexister dans le même volume d'espace sans se déformer. On peut affirmer qu'une onde stationnaire est la somme de deux ondes se déplaçant dans des directions opposées, ce qui entraîne une chute de leur vitesse jusqu'à zéro.

Pourquoi l’eau dans l’exemple ci-dessus continue-t-elle d’osciller dans le sens vertical ? Très simple ! Lorsque des ondes de mêmes paramètres se superposent, à certains moments les oscillations atteignent leur valeur maximale, appelée ventres, et à d'autres elles sont complètement amorties (nœuds). En modifiant la fréquence des applaudissements, vous pouvez soit supprimer complètement les ondes horizontales, soit augmenter les déplacements verticaux.

Les ondes stationnaires intéressent non seulement les praticiens, mais aussi les théoriciens. En particulier, l'un des modèles affirme que toute particule matérielle est caractérisée par une sorte de vibration : un électron oscille (tremble), un neutrino oscille, etc. En outre, dans le cadre de l'hypothèse, il a été supposé que la vibration mentionnée était une conséquence de l'interférence de certaines perturbations de l'environnement encore inconnues. En d’autres termes, les auteurs affirment que là où ces ondes étonnantes forment des ondes stationnaires, la matière apparaît.

Non moins intéressant est le phénomène de résonance Schumann. Cela réside dans le fait que dans certaines conditions (aucune des hypothèses proposées n'a encore été acceptée comme la seule correcte), des ondes électromagnétiques stationnaires apparaissent dans l'espace compris entre la surface de la Terre et la limite inférieure de l'ionosphère, dont les fréquences se situent dans les gammes basses et ultra basses (de 7 à 32 hertz ). Si l'onde formée dans l'intervalle « surface - ionosphère » fait le tour de la planète et entre en résonance (coïncidence de phase), elle peut exister longtemps sans atténuation, de manière autonome. La résonance Schumann présente un intérêt particulier car la fréquence des ondes est presque identique aux rythmes alpha naturels du cerveau humain. Par exemple, les recherches sur ce phénomène en Russie sont menées non seulement par des physiciens, mais également par une organisation aussi vaste que l'Institut du cerveau humain.

Le brillant inventeur Nikola Tesla a attiré l'attention sur ceux qui sont debout. On pense qu’il pourrait utiliser ce phénomène dans certains de ses appareils. Les orages sont considérés comme l'une des sources de leur apparition dans l'atmosphère. Les décharges électriques excitent un champ électromagnétique et génèrent des ondes.

Qu'est-ce qu'une onde stationnaire ? Qu'est-ce qu'une onde stationnaire ? Comment cela se produit-il ? Quelle est la différence entre une onde stationnaire et une onde progressive ?

1. Avez-vous vu la feuille d'ardoise ?
   La même chose se produit à la surface de l’eau, dans une flaque d’eau par temps venteux, par exemple.
2. wow, comme ta réponse était difficile. Je l'explique simplement comme une carotte.
   Qu'est-ce qu'un processus ondulatoire ? C'est à ce moment-là que quelque chose change et qu'il a un maximum et un minimum (un exemple de vagues d'eau où, à différents moments au même point, le maximum de la vague (pic) passe au minimum). Lorsque le maximum passe au minimum, ce sont des ondes progressives. Les vagues peuvent être debout. C'est à ce moment-là que le maximum ne change pas au minimum, mais qu'il existe différents niveaux à différents endroits (ondulations debout à la surface de l'eau à cause du vent).
3. Ohoh. Voilà un concept qui fait gonfler le cerveau de dizaines de milliers de personnes 24 heures sur 24 ! Une onde stationnaire est l’essence même de BTG. L'essence de l'ingénierie Tesla. L'essence de l'énergie future à partir de rien !)))
4. Debout#769 ; vague de thé#769 ; oscillations dans des systèmes oscillatoires distribués avec un agencement caractéristique de maxima (nœuds) et de minima (nœuds) d'amplitude alternés. En pratique, une telle onde se produit lorsqu'elle est réfléchie par des obstacles et des inhomogénéités du fait de la superposition de l'onde réfléchie sur l'onde incidente. Dans ce cas, la fréquence, la phase et le coefficient d'atténuation de l'onde au lieu de réflexion sont extrêmement importants.

   Des exemples d'ondes stationnaires comprennent les vibrations d'une corde, les vibrations de l'air dans un tuyau d'orgue ; dans la nature, les ondes de Schumann.

   Une onde purement stationnaire, à proprement parler, ne peut exister qu'en l'absence de pertes dans le milieu et en une réflexion complète des ondes depuis la frontière. Habituellement, en plus des ondes stationnaires, le milieu contient également des ondes progressives qui fournissent de l'énergie aux lieux d'absorption ou de rayonnement.

   Un tube Rubens est utilisé pour démontrer les ondes stationnaires dans le gaz.

5. Versez de l'eau dans le bain et éclaboussez la surface avec votre main. Les vagues se propageront de votre main dans toutes les directions. On les appelle des coureurs. En modifiant en douceur la fréquence des vibrations de la main, vous pouvez vous assurer que les vagues cessent de se déplacer sur les côtés, mais restent en place. Le mouvement ne serait que de haut en bas. Ce sont des ondes stationnaires.

   Ils se forment dans ce cas uniquement parce que le bain a des parois à partir desquelles se produit la réflexion ; s'il n'y avait pas de parois, les ondes stationnaires ne se formeraient pas, comme par exemple sur une surface d'eau libre.

   L'explication de l'apparition des ondes stationnaires est simple : lorsqu'une onde directe et une onde réfléchie par un mur entrent en collision, elles se renforcent mutuellement, et si cette collision se produit tout le temps au même endroit, alors le mouvement horizontal des ondes disparaît. .

6. les ondes stationnaires,
   vagues résultant de l'interférence d'ondes se propageant dans des directions mutuellement opposées. Presque S. siècle. surviennent lorsque les ondes sont réfléchies par des obstacles et des inhomogénéités du fait de la superposition de l'onde réfléchie sur l'onde directe. Diverses sections du siècle du Nord. oscillent dans la même phase, mais avec des amplitudes différentes (Fig.). Au N. siècle. , contrairement à l’énergie courante, il n’y a pas de flux d’énergie. De telles ondes surviennent, par exemple, dans un système élastique - une tige ou une colonne d'air située à l'intérieur d'un tuyau, fermée à une extrémité, lorsque le piston oscille dans le tuyau. Les ondes progressives sont réfléchies depuis les limites du système et, du fait de la superposition des ondes incidentes et réfléchies, des turbulences s'établissent dans le système. Dans ce cas, le long de la colonne d'air, ce qu'on appelle nœuds de déplacements (vitesses) du plan, perpendiculaires à l'axe de la colonne, auxquels il n'y a pas de déplacements de particules d'air, et les amplitudes de pression sont maximales, et ventres de déplacements du plan, auxquels les déplacements sont maximaux, et pressions sont égaux à zéro. Les nœuds de déplacement et les ventres sont situés dans le tuyau à des distances d'un quart de longueur d'onde, et un nœud de déplacement et un ventre de pression sont toujours formés à proximité d'une paroi solide. Une image similaire est observée si la paroi solide à l'extrémité du tuyau est supprimée, mais alors le ventre de vitesse et le nœud de pression sont sur le plan du trou (approximativement). Dans tout volume comportant certaines limites et une source sonore, des sons se forment. , mais avec une structure plus complexe.

   Tout processus ondulatoire associé à la propagation de perturbations peut s'accompagner de la formation d'une onde. Ils peuvent se produire non seulement dans des milieux gazeux, liquides et solides, mais également dans le vide lors de la propagation et de la réflexion de perturbations électromagnétiques, par exemple dans de longues lignes électriques. L'antenne d'un émetteur radio est souvent réalisée sous la forme d'un vibrateur rectiligne ou d'un système de vibrateurs, le long duquel le S.V. Dans des sections de guides d'ondes et de volumes fermés de formes diverses, utilisés comme résonateurs en technologie micro-ondes, des CV sont installés. certains types. Dans les systèmes électromagnétiques. les champs électriques et magnétiques sont séparés de la même manière que dans les systèmes solaires élastiques. le déplacement et la pression sont séparés.

   Pur S. v. ne peut être établie, à proprement parler, qu'en l'absence d'atténuation dans le milieu et de réflexion complète des ondes sur la frontière. Habituellement, à l'exception de S. v. , il existe également des ondes progressives qui fournissent de l'énergie aux lieux d'absorption ou d'émission.

   En optique, il est également possible d'établir S. siècle. avec des maxima et des minima visibles du champ électrique. Si la lumière n'est pas monochromatique, alors au Nord du siècle. les ventres du champ électrique de différentes longueurs d'onde seront situés à différents endroits et une séparation des couleurs est souvent observée.

Ondes stationnaires sont formés par la superposition de deux vagues identiques se dirigeant l'une vers l'autre. Tout le monde a probablement vu des ondes stationnaires dans les cordes de guitare. Lorsqu'une corde est tirée vers l'arrière et relâchée n'importe où, des ondes transversales élastiques commencent à se disperser dans différentes directions, qui sont ensuite réfléchies par les extrémités de la corde et, se chevauchant, forment vagues stationnaires(s'il n'y a pas d'atténuation lors de la propagation et de la réflexion). Comment cela se produit-il ?

Lorsque deux ondes sinusoïdales de même fréquence et amplitude sont ajoutées, mais se propageant dans des directions d'axe différentes x, on obtient une perturbation qui est décrite par la fonction

F(x,t) = f 0 péché (ωt — kx +φ1) + f 0 péché (ωt + kx + φ 2) = 2f 0 parce que (kx + (φ 2 —φ1) /2) + (φ 1 + φ 2) / 2).

C'est ça équation des ondes stationnaires. En chaque point d'une onde stationnaire, des oscillations se produisent selon la loi harmonique :

F(x, t) = F0 péché (ωt + (φ 1 + φ 2) / 2.

Amplitude des oscillations

| F 0| = 2 f 0 | parce que (kx + (φ 2 —φ1) / 2)|

cela dépend des coordonnées x. Aux points où kx + Δφ / 2 = (n + 1 / 2)π (n- un entier, Δφ = φ 1 —φ2), amplitude F0 = 0. Ces points sont appelés nœuds d'ondes stationnaires, il n'y a aucune vibration en eux. Points pour lesquels l'amplitude des oscillations | F 0 | = 2f 0 le maximum est appelé ventres d'ondes stationnaires. Distance Δx entre nœuds adjacents (ou ventres adjacents) est égale à la moitié de la longueur des ondes progressives à partir desquelles l'onde stationnaire s'est formée :

Δx =π / k= λ / 2.

Aux points situés entre deux nœuds adjacents, des oscillations se produisent dans la même phase et l'amplitude passe de zéro au maximum (au ventre, qui est situé au milieu entre les nœuds) et de nouveau à zéro. Matériel du site

Lors du passage par un nœud, la phase d'oscillation passe à π, parce que le signe change F 0. Dans une onde stationnaire, la perturbation du milieu devient nulle simultanément en tous points, et en même temps en tous points la perturbation atteint sa valeur maximale. Ainsi, la corde sonore se redresse après chaque demi-période, et au bout d'un quart de période après le redressement, elle prend la forme « la plus courbée ».

Si vous observez des oscillations en un seul point, il est alors impossible de dire quelle onde est en cours d'exécution ou thé debout- a provoqué ces fluctuations. Mais si vous surveillez les oscillations en plusieurs points, les schémas d'oscillations des ondes progressives et stationnaires seront complètement différents. Dans une onde progressive plane, des oscillations en différents points se produisent avec la même amplitude, mais dans des phases différentes. Dans une onde stationnaire, des oscillations en différents points se produisent avec des amplitudes différentes, mais dans la même phase. Par conséquent, lorsque l’on observe « l’ensemble du tableau », il est bien entendu impossible de confondre ondes progressives et ondes stationnaires.