Parmi les nombreuses fractions trouvées en arithmétique, celles qui ont 10, 100, 1000 au dénominateur - en général, toute puissance de dix - méritent une attention particulière. Ces fractions ont un nom et une notation particuliers.

Un nombre décimal est une fraction numérique dont le dénominateur est une puissance de dix.

Exemples de fractions décimales :

Pourquoi était-il nécessaire de séparer de telles fractions ? Pourquoi ont-ils besoin de leur propre formulaire d’enregistrement ? Il y a à cela au moins trois raisons :

1. Les décimales sont beaucoup plus faciles à comparer. N'oubliez pas : pour comparer des fractions ordinaires, vous devez les soustraire les unes des autres et, en particulier, ramener les fractions à un dénominateur commun. En décimales, rien de tel n’est requis ;
2. Réduisez les calculs. Les nombres décimaux s'additionnent et se multiplient selon leurs propres règles, et avec un peu de pratique, vous pourrez travailler avec eux beaucoup plus rapidement qu'avec des fractions régulières ;
3. Facilité d'enregistrement. Contrairement aux fractions ordinaires, les décimales sont écrites sur une seule ligne sans perte de clarté.

La plupart des calculatrices donnent également des réponses en décimales. Dans certains cas, un format d'enregistrement différent peut poser des problèmes. Par exemple, que se passe-t-il si vous demandez de la monnaie dans le magasin d'un montant de 2/3 de rouble :)

Règles d'écriture des fractions décimales

Le principal avantage des fractions décimales est leur notation pratique et visuelle. À savoir:

La notation décimale est une forme d'écriture de fractions décimales où la partie entière est séparée de la partie fractionnaire par un point régulier ou une virgule. Dans ce cas, le séparateur lui-même (point ou virgule) est appelé point décimal.

Par exemple, 0,3 (lire : « zéro, 3 dixièmes ») ; 7,25 (7 entiers, 25 centièmes) ; 3,049 (3 entiers, 49 millièmes). Tous les exemples sont tirés de la définition précédente.

À l’écrit, une virgule est généralement utilisée comme point décimal. Ici et plus loin sur tout le site, la virgule sera également utilisée.

Pour écrire une fraction décimale arbitraire sous cette forme, vous devez suivre trois étapes simples :

1. Écrivez le numérateur séparément ;
2. Décalez la virgule vers la gauche d’autant de positions qu’il y a de zéros au dénominateur. Supposons qu'au départ, le point décimal se trouve à droite de tous les chiffres ;
3. Si la virgule décimale s'est déplacée et qu'après elle il y a des zéros à la fin de l'entrée, ils doivent être barrés.

Il arrive qu'à la deuxième étape, le numérateur n'ait pas suffisamment de chiffres pour effectuer le décalage. Dans ce cas, les positions manquantes sont remplies de zéros. Et en général, à gauche de n'importe quel nombre, vous pouvez attribuer n'importe quel nombre de zéros sans nuire à votre santé. C'est moche, mais parfois utile.

À première vue, cet algorithme peut paraître assez compliqué. En fait, tout est très, très simple : il suffit de s'entraîner un peu. Jetez un œil aux exemples :

Tâche. Pour chaque fraction, indiquez sa notation décimale :

Le numérateur de la première fraction est : 73. On décale la virgule décimale d'une place (puisque le dénominateur est 10) - on obtient 7,3.

Numérateur de la deuxième fraction : 9. On décale la virgule décimale de deux places (puisque le dénominateur est 100) - on obtient 0,09. J'ai dû ajouter un zéro après la virgule et un de plus avant, afin de ne pas laisser une entrée étrange comme « .09 ».

Le numérateur de la troisième fraction : 10029. On décale la virgule décimale de trois places (puisque le dénominateur est 1000) - on obtient 10,029.

Le numérateur de la dernière fraction : 10 500. Encore une fois, nous décalons le point de trois chiffres - nous obtenons 10 500. Il y a des zéros supplémentaires à la fin du numéro. Rayez-les et nous obtenons 10,5.

Faites attention aux deux derniers exemples : les nombres 10,029 et 10,5. Selon les règles, les zéros à droite doivent être barrés, comme cela a été fait dans le dernier exemple. Cependant, vous ne devez jamais faire cela avec des zéros à l’intérieur d’un nombre (qui sont entourés d’autres nombres). C'est pourquoi nous avons obtenu 10,029 et 10,5, et non 1,29 et 1,5.

Nous avons donc compris la définition et la forme d'écriture des fractions décimales. Voyons maintenant comment convertir des fractions ordinaires en décimales - et vice versa.

Conversion de fractions en décimales

Considérons une fraction numérique simple de la forme a /b. Vous pouvez utiliser la propriété de base d'une fraction et multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre tel que le bas s'avère être une puissance de dix. Mais avant de le faire, lisez ce qui suit :

Il existe des dénominateurs qui ne peuvent être réduits à des puissances de dix. Apprenez à reconnaître de telles fractions, car elles ne peuvent pas être utilisées à l'aide de l'algorithme décrit ci-dessous.

C'est ainsi que les choses se passent. Eh bien, comment comprenez-vous si le dénominateur est réduit à une puissance dix ou non ?

La réponse est simple : factoriser le dénominateur en facteurs premiers. Si le développement ne contient que les facteurs 2 et 5, ce nombre peut être réduit à une puissance dix. S'il existe d'autres nombres (3, 7, 11 - peu importe), vous pouvez oublier la puissance dix.

Tâche. Vérifiez si les fractions indiquées peuvent être représentées sous forme décimale :

Écrivons et factorisons les dénominateurs de ces fractions :

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - seuls les nombres 2 et 5 sont présents. Par conséquent, la fraction peut être représentée sous forme décimale.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - il existe un facteur « interdit » 3. La fraction ne peut pas être représentée sous forme décimale.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Tout est en ordre : il n'y a rien à part les nombres 2 et 5. Une fraction peut être représentée sous forme décimale.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Le facteur 3 a « refait surface » Il ne peut pas être représenté comme une fraction décimale.

Nous avons donc réglé le dénominateur - examinons maintenant l'ensemble de l'algorithme pour passer aux fractions décimales :

1. Factorisez le dénominateur de la fraction d'origine et assurez-vous qu'il est généralement représentable sous forme décimale. Ceux. vérifier que seuls les facteurs 2 et 5 sont présents dans le développement sinon l'algorithme ne fonctionne pas ;
2. Comptez combien de deux et de cinq sont présents dans l'extension (il n'y aura pas d'autres nombres là-bas, vous vous souvenez ?). Choisissez un facteur supplémentaire tel que le nombre de deux et de cinq soit égal.
3. En fait, multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par ce facteur - nous obtenons la représentation souhaitée, c'est-à-dire le dénominateur sera une puissance de dix.

Bien entendu, le facteur supplémentaire sera également décomposé uniquement en deux et cinq. Dans le même temps, afin de ne pas vous compliquer la vie, vous devez choisir le plus petit multiplicateur possible.

Et encore une chose : si la fraction d'origine contient une partie entière, assurez-vous de convertir cette fraction en une fraction impropre - et ensuite seulement appliquez l'algorithme décrit.

Tâche. Convertissez ces fractions numériques en décimales :

Factorisons le dénominateur de la première fraction : 4 = 2 · 2 = 2 2 . La fraction peut donc être représentée sous forme décimale. L'expansion contient deux deux et non un seul cinq, donc le facteur supplémentaire est 5 2 = 25. Avec lui, le nombre de deux et de cinq sera égal. Nous avons:

Examinons maintenant la deuxième fraction. Pour ce faire, notez que 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - il y a un triple dans le développement, donc la fraction ne peut pas être représentée sous forme décimale.

Les deux dernières fractions ont respectivement pour dénominateurs 5 (nombre premier) et 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - seuls deux et cinq sont présents partout. De plus, dans le premier cas, « pour un bonheur complet » un facteur de 2 ne suffit pas, et dans le second - 5. On obtient :

Transition des décimales aux fractions communes

La conversion inverse – de la notation décimale à la notation régulière – est beaucoup plus simple. Il n'y a pas de restrictions ni de contrôles spéciaux ici, vous pouvez donc toujours convertir une fraction décimale en fraction classique « à deux étages ».

L'algorithme de traduction est le suivant :

1. Rayez tous les zéros à gauche de la virgule, ainsi que le point décimal. Ce sera le numérateur de la fraction souhaitée. L'essentiel est de ne pas en faire trop et de ne pas rayer les zéros intérieurs entourés d'autres chiffres ;
2. Comptez combien de décimales il y a après la virgule. Prenez le chiffre 1 et ajoutez autant de zéros à droite que de caractères que vous comptez. Ce sera le dénominateur ;
3. En fait, notez la fraction dont nous venons de trouver le numérateur et le dénominateur. Si possible, réduisez-le. Si la fraction originale contenait une partie entière, nous obtiendrons désormais une fraction impropre, ce qui est très pratique pour des calculs ultérieurs.

Tâche. Convertir des fractions décimales en fractions ordinaires : 0,008 ; 3.107 ; 2,25 ; 7,2008.

Rayez les zéros à gauche et les virgules - nous obtenons les nombres suivants (ce seront les numérateurs) : 8 ; 3107 ; 225 ; 72008.

Dans les première et deuxième fractions, il y a 3 décimales, dans la deuxième - 2 et dans la troisième - jusqu'à 4 décimales. On obtient les dénominateurs : 1000 ; 1000 ; 100 ; 10000.

Enfin, combinons les numérateurs et les dénominateurs en fractions ordinaires :

Comme le montrent les exemples, la fraction résultante peut très souvent être réduite. Permettez-moi de noter encore une fois que toute fraction décimale peut être représentée comme une fraction ordinaire. La conversion inverse n’est pas toujours possible.

Pour comprendre comment multiplier des nombres décimaux, regardons des exemples spécifiques.

Règle pour multiplier les décimales

1) Multipliez sans faire attention à la virgule.

2) En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a après la virgule dans les deux facteurs réunis.

Exemples.

Trouvez le produit de fractions décimales :

Pour multiplier des fractions décimales, on multiplie sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous ne multiplions pas 6,8 et 3,4, mais 68 et 34. En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule décimale qu'il y en a après la virgule dans les deux facteurs réunis. Dans le premier facteur, il y a un chiffre après la virgule, dans le second il y en a aussi un. Au total, nous séparons deux nombres après la virgule décimale. Ainsi, nous obtenons la réponse finale : 6,8∙3,4=23,12.

On multiplie les décimales sans tenir compte du point décimal. Autrement dit, au lieu de multiplier 36,85 par 1,14, nous multiplions 3685 par 14. Nous obtenons 51590. Maintenant, dans ce résultat, nous devons séparer autant de chiffres par une virgule qu'il y en a dans les deux facteurs réunis. Le premier nombre comporte deux chiffres après la virgule, le second en comporte un. Au total, on sépare trois chiffres par une virgule. Puisqu'il y a un zéro après la virgule décimale à la fin de l'entrée, nous ne l'écrivons pas dans la réponse : 36,85∙1,4=51,59.

Pour multiplier ces décimales, multiplions les nombres sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous multiplions les nombres naturels 2315 et 7. Nous obtenons 16205. Dans ce nombre, vous devez séparer quatre chiffres après la virgule décimale - autant qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble (deux dans chacun). Réponse finale : 23,15∙0,07=1,6205.

Multiplier une fraction décimale par un nombre naturel se fait de la même manière. Nous multiplions les nombres sans prêter attention au point décimal, c'est-à-dire que nous multiplions 75 par 16. Le résultat obtenu doit contenir le même nombre de signes après le point décimal que dans les deux facteurs réunis - un. Ainsi, 75∙1,6=120,0=120.

Nous commençons à multiplier des fractions décimales en multipliant des nombres naturels, puisque nous ne faisons pas attention aux virgules. Après cela, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a dans les deux facteurs ensemble. Le premier nombre a deux décimales, le second en a également deux. Au total, le résultat doit être quatre chiffres après la virgule : 4,72∙5,04=23,7888.

Fractions

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Les fractions ne sont pas vraiment une nuisance au lycée. Pour le moment. Jusqu'à ce que vous rencontriez des puissances avec des exposants rationnels et des logarithmes. Et là... Vous appuyez et appuyez sur la calculatrice, et elle affiche un affichage complet de certains nombres. Il faut penser avec sa tête comme en troisième année.

Trouvons enfin les fractions ! Eh bien, à quel point pouvez-vous vous y perdre !? De plus, tout est simple et logique. Donc, quels sont les types de fractions ?

Types de fractions. Transformations.

Il existe trois types de fractions.

1. Fractions communes , Par exemple:

Parfois, au lieu d'une ligne horizontale, ils mettent une barre oblique : 1/2, 3/4, 19/5, enfin, et ainsi de suite. Ici, nous utiliserons souvent cette orthographe. Le numéro du haut est appelé numérateur, inférieur - dénominateur. Si vous confondez constamment ces noms (ça arrive...), dites-vous la phrase : " Zzzzz souviens-toi! Zzzzz dénominateur - regarde zzzzz euh!" Écoutez, tout sera rappelé zzzz.)

Le tiret, qu'il soit horizontal ou incliné, signifie division le nombre du haut (numérateur) vers le bas (dénominateur). C'est tout ! Au lieu d'un tiret, il est tout à fait possible de mettre un signe de division - deux points.

Lorsqu’une division complète est possible, cela doit être fait. Ainsi, au lieu de la fraction « 32/8 », il est bien plus agréable d'écrire le chiffre « 4 ». Ceux. 32 est simplement divisé par 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Je ne parle même pas de la fraction « 4/1 ». Ce qui est aussi juste "4". Et si ce n’est pas complètement divisible, on le laisse sous forme de fraction. Parfois il faut faire l’opération inverse. Convertissez un nombre entier en fraction. Mais nous en reparlerons plus tard.

2. Décimales , Par exemple:

C'est sous cette forme que vous devrez noter les réponses aux tâches « B ».

3. Numéros mixtes , Par exemple:

Les nombres mixtes ne sont pratiquement pas utilisés au lycée. Pour pouvoir travailler avec eux, ils doivent être convertis en fractions ordinaires. Mais il faut absolument être capable de le faire ! Sinon, vous rencontrerez un tel numéro dans un problème et vous vous figerez... Sorti de nulle part. Mais on retiendra cette procédure ! Un peu plus bas.

Le plus polyvalent fractions communes. Commençons par eux. D'ailleurs, si une fraction contient toutes sortes de logarithmes, sinus et autres lettres, cela ne change rien. Dans le sens où tout les actions avec des expressions fractionnaires ne sont pas différentes des actions avec des fractions ordinaires!

La propriété principale d'une fraction.

Alors, c'est parti ! Pour commencer, je vais vous surprendre. Toute la variété des transformations de fractions est assurée par une seule propriété ! C'est comme ça que ça s'appelle propriété principale d'une fraction. Souviens-toi: Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés (divisés) par le même nombre, la fraction ne change pas. Ceux:

Il est clair que vous pouvez continuer à écrire jusqu’à ce que vous ayez le visage bleu. Ne vous laissez pas dérouter par les sinus et les logarithmes, nous y reviendrons plus loin. L'essentiel est de comprendre que toutes ces diverses expressions sont la même fraction . 2/3.

En avons-nous besoin, toutes ces transformations ? Oui! Maintenant, vous verrez par vous-même. Pour commencer, utilisons la propriété de base d'une fraction pour fractions réductrices. Cela semblerait être une chose élémentaire. Divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre et c'est tout ! Il est impossible de se tromper ! Mais... l'homme est un être créateur. Vous pouvez faire une erreur n’importe où ! Surtout si vous devez réduire non pas une fraction comme 5/10, mais une expression fractionnaire avec toutes sortes de lettres.

Comment réduire correctement et rapidement des fractions sans effectuer de travail supplémentaire peut être lu dans la section spéciale 555.

Un étudiant normal ne prend pas la peine de diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre (ou expression) ! Il raye simplement tout ce qui est pareil en haut et en bas ! C’est là que se cache une erreur typique, une bévue, si vous préférez.

Par exemple, vous devez simplifier l'expression :

Il n’y a rien à penser ici, rayez la lettre « a » en haut et le « 2 » en bas ! On obtient :

Tout est correct. Mais en réalité tu es divisé tous numérateur et tous le dénominateur est "a". Si vous avez l'habitude de simplement rayer, vous pouvez rapidement rayer le « a » dans l'expression

et récupère-le à nouveau

Ce qui serait catégoriquement faux. Parce qu'ici tous le numérateur sur "a" est déjà non partagé! Cette fraction ne peut pas être réduite. D'ailleurs, une telle réduction est, euh... un sérieux défi pour l'enseignant. Ce n'est pas pardonné ! Vous souvenez-vous? Lors de la réduction, vous devez diviser tous numérateur et tous dénominateur!

Réduire les fractions rend la vie beaucoup plus facile. Vous obtiendrez une fraction quelque part, par exemple 375/1000. Comment puis-je continuer à travailler avec elle maintenant ? Sans calculatrice ? Multipliez, disons, additionnez, mettez au carré !? Et si vous n'êtes pas trop paresseux, et réduisez-le soigneusement de cinq, et de cinq encore, et même... pendant qu'on le raccourcit, bref. Prenons 3/8 ! Beaucoup plus sympa, non ?

La propriété principale d'une fraction vous permet de convertir des fractions ordinaires en décimales et vice versa sans calculatrice! C'est important pour l'examen d'État unifié, n'est-ce pas ?

Comment convertir des fractions d'un type à un autre.

Avec les fractions décimales, tout est simple. Tel qu’on l’entend, tel s’écrit ! Disons 0,25. C'est zéro virgule vingt-cinq centièmes. On écrit donc : 25/100. On réduit (on divise le numérateur et le dénominateur par 25), on obtient la fraction habituelle : 1/4. Tous. Cela arrive et rien n'est réduit. Comme 0,3. C'est trois dixièmes, c'est-à-dire 3/10.

Et si les entiers ne sont pas nuls ? C'est bon. Nous écrivons la fraction entière sans aucune virgule au numérateur et au dénominateur - ce qui est entendu. Par exemple : 3.17. C'est trois virgule dix-sept centièmes. On écrit 317 au numérateur et 100 au dénominateur. On obtient 317/100. Rien n'est réduit, cela veut dire tout. C'est la réponse. Élémentaire, Watson ! De tout ce qui a été dit, une conclusion utile : n'importe quelle fraction décimale peut être convertie en une fraction commune .

Mais certaines personnes ne peuvent pas effectuer la conversion inverse de l’ordinaire en décimal sans calculatrice. Et c'est nécessaire ! Comment allez-vous écrire la réponse à l'examen d'État unifié !? Lisez attentivement et maîtrisez ce processus.

Quelle est la caractéristique d’une fraction décimale ? Son dénominateur est Toujours coûte 10, ou 100, ou 1000, ou 10000 et ainsi de suite. Si votre fraction commune a un dénominateur comme celui-ci, il n'y a pas de problème. Par exemple, 4/10 = 0,4. Ou 7/100 = 0,07. Ou 12/10 = 1,2. Et si la réponse à la tâche de la section « B » s'avérait être 1/2 ? Qu’écrirons-nous en réponse ? Les décimales sont obligatoires...

Rappelons-nous propriété principale d'une fraction ! Les mathématiques vous permettent avantageusement de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre. N'importe quoi, d'ailleurs ! Sauf zéro, bien sûr. Alors utilisons cette propriété à notre avantage ! Par quoi le dénominateur peut-il être multiplié, c'est-à-dire 2 pour que ça devienne 10, ou 100, ou 1000 (plus petit c'est mieux, bien sûr...) ? A 5 heures, évidemment. N'hésitez pas à multiplier le dénominateur (c'est nous nécessaire) par 5. Mais alors le numérateur doit également être multiplié par 5. C'est déjà mathématiques exige! Nous obtenons 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. C'est ça.

Cependant, toutes sortes de dénominateurs apparaissent. Vous pourriez rencontrer, par exemple, la fraction 3/16. Essayez de trouver par quoi multiplier 16 pour obtenir 100 ou 1000... Ça ne marche pas ? Ensuite, vous pourrez simplement diviser 3 par 16. En l’absence de calculatrice, vous devrez diviser avec un coin, sur une feuille de papier, comme on l’enseignait à l’école primaire. Nous obtenons 0,1875.

Et il y a aussi de très mauvais dénominateurs. Par exemple, il n’existe aucun moyen de transformer la fraction 1/3 en une bonne décimale. À la fois sur la calculatrice et sur une feuille de papier, nous obtenons 0,3333333... Cela signifie que 1/3 est une fraction décimale exacte non traduit. Identique à 1/7, 5/6 et ainsi de suite. Il y en a beaucoup, intraduisibles. Cela nous amène à une autre conclusion utile. Toutes les fractions ne sont pas converties en nombre décimal !

Soit dit en passant, ce sont des informations utiles pour l’auto-test. Dans la section « B », vous devez écrire une fraction décimale dans votre réponse. Et vous avez, par exemple, 4/3. Cette fraction n'est pas convertie en décimale. Cela signifie que vous avez fait une erreur quelque part en cours de route ! Revenez en arrière et vérifiez la solution.

Nous avons donc compris les fractions ordinaires et décimales. Il ne reste plus qu'à traiter des nombres mixtes. Pour travailler avec eux, ils doivent être convertis en fractions ordinaires. Comment faire cela ? Vous pouvez attraper un élève de sixième et lui demander. Mais un élève de sixième ne sera pas toujours à portée de main... Vous devrez le faire vous-même. Ce n'est pas difficile. Vous devez multiplier le dénominateur de la partie fractionnaire par la partie entière et ajouter le numérateur de la partie fractionnaire. Ce sera le numérateur de la fraction commune. Et le dénominateur ? Le dénominateur restera le même. Cela semble compliqué, mais en réalité tout est simple. Regardons un exemple.

Supposons que vous soyez horrifié de voir le numéro dans le problème :

Calmement, sans panique, réfléchissons-nous. La partie entière est 1. Unité. La partie fractionnaire est 3/7. Le dénominateur de la partie fractionnaire est donc 7. Ce dénominateur sera le dénominateur de la fraction ordinaire. On compte le numérateur. On multiplie 7 par 1 (la partie entière) et on ajoute 3 (le numérateur de la partie fractionnaire). Nous obtenons 10. Ce sera le numérateur de la fraction commune. C'est ça. Cela semble encore plus simple en notation mathématique :

Est-ce clair ? Alors assurez votre succès ! Convertissez en fractions ordinaires. Vous devriez obtenir 10/7, 7/2, 23/10 et 21/4.

L’opération inverse – convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire – est rarement requise au lycée. Eh bien, si c'est le cas... Et si vous n'êtes pas au lycée, vous pouvez consulter l'article spécial 555. À propos, vous y découvrirez également les fractions impropres.

Eh bien, c'est pratiquement tout. Vous vous êtes souvenu des types de fractions et avez compris Comment les transférer d'un type à un autre. La question demeure : Pour quoi faire ça ? Où et quand appliquer ces connaissances approfondies ?

Je réponds. Tout exemple lui-même suggère les actions nécessaires. Si dans l’exemple des fractions ordinaires, des décimales et même des nombres fractionnaires sont mélangés, nous convertissons le tout en fractions ordinaires. Cela peut toujours être fait. Eh bien, si cela dit quelque chose comme 0,8 + 0,3, alors nous le comptons de cette façon, sans aucune traduction. Pourquoi avons-nous besoin de travail supplémentaire ? Nous choisissons la solution qui vous convient nous !

Si la tâche est uniquement composée de fractions décimales, mais euh... des sortes de fractions maléfiques, allez aux fractions ordinaires, essayez-le ! Écoute, tout s'arrangera. Par exemple, vous devrez mettre au carré le nombre 0,125. Ce n’est pas si simple si on n’a pas l’habitude d’utiliser une calculatrice ! Non seulement il faut multiplier les nombres dans une colonne, mais il faut aussi réfléchir à l'endroit où insérer la virgule ! Cela ne fonctionnera certainement pas dans votre tête ! Et si on passait à une fraction ordinaire ?

0,125 = 125/1000. On le réduit de 5 (c'est pour commencer). Nous obtenons 25/200. Encore une fois à 5 heures. Nous obtenons 5/40. Oh, ça rétrécit encore ! Retour à 5 ! Nous obtenons 1/8. Nous le mettons facilement au carré (dans nos esprits !) et obtenons 1/64. Tous!

Résumons cette leçon.

1. Il existe trois types de fractions. Nombres communs, décimaux et mixtes.

2. Décimaux et nombres fractionnaires Toujours peut être converti en fractions ordinaires. Transfert inversé pas toujours possible

3. Le choix du type de fractions à utiliser avec une tâche dépend de la tâche elle-même. S'il existe différents types de fractions dans une tâche, le plus fiable est de passer aux fractions ordinaires.

Vous pouvez maintenant vous entraîner. Tout d’abord, convertissez ces fractions décimales en fractions ordinaires :

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Vous devriez obtenir des réponses comme celle-ci (dans le désordre !) :

Terminons ici. Dans cette leçon, nous avons rafraîchi notre mémoire sur les points clés concernant les fractions. Il arrive cependant qu'il n'y ait rien de particulier à rafraîchir...) Si quelqu'un l'a complètement oublié, ou ne l'a pas encore maîtrisé... Alors vous pouvez vous rendre dans une section spéciale 555. Toutes les bases y sont abordées en détail. Beaucoup soudainement tout comprendre commencent. Et ils résolvent des fractions à la volée).

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

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Nous avons déjà dit qu'il existe des fractions ordinaire Et décimal. À ce stade, nous en avons appris un peu plus sur les fractions. Nous avons appris qu'il existe des fractions régulières et impropres. Nous avons également appris que les fractions communes peuvent être réduites, additionnées, soustraites, multipliées et divisées. Et nous avons également appris qu'il existe des nombres dits mixtes, composés d'un nombre entier et d'une partie fractionnaire.

Nous n’avons pas encore entièrement exploré les fractions communes. Il existe de nombreuses subtilités et détails dont il convient de parler, mais aujourd'hui, nous allons commencer à étudier décimal fractions, puisque les fractions ordinaires et décimales doivent souvent être combinées. Autrement dit, pour résoudre des problèmes, vous devez utiliser les deux types de fractions.

Cette leçon peut sembler compliquée et déroutante. C'est tout à fait normal. Ce genre de leçons nécessite qu’elles soient étudiées et non superficiellement parcourues.

Exprimer des quantités sous forme fractionnaire

Parfois, il est pratique de montrer quelque chose sous forme fractionnaire. Par exemple, un dixième de décimètre s’écrit ainsi :

Cette expression signifie qu'un décimètre a été divisé en dix parties, et de ces dix parties une partie a été prise :

Comme vous pouvez le voir sur la figure, un dixième de décimètre équivaut à un centimètre.

Considérez l'exemple suivant. Montrez 6 cm et 3 mm supplémentaires en centimètres sous forme fractionnaire.

Il faut donc exprimer 6 cm et 3 mm en centimètres, mais sous forme fractionnaire. Nous avons déjà 6 centimètres entiers :

mais il reste encore 3 millimètres. Comment afficher ces 3 millimètres, et en centimètres ? Les fractions viennent à la rescousse. 3 millimètres est la troisième partie d'un centimètre. Et la troisième partie d'un centimètre s'écrit cm

Une fraction signifie qu'un centimètre a été divisé en dix parties égales, et de ces dix parties trois parties ont été prises (trois sur dix).

En conséquence, nous avons six centimètres entiers et trois dixièmes de centimètre :

Dans ce cas, 6 indique le nombre de centimètres entiers et la fraction indique le nombre de centimètres fractionnaires. Cette fraction se lit comme "six virgule trois centimètres".

Les fractions dont le dénominateur contient les nombres 10, 100, 1000 peuvent être écrites sans dénominateur. Écrivez d'abord la partie entière, puis le numérateur de la partie fractionnaire. La partie entière est séparée du numérateur de la partie fractionnaire par une virgule.

Par exemple, écrivons-le sans dénominateur. Pour ce faire, écrivons d'abord toute la partie. La partie entière est le nombre 6. On note d’abord ce nombre :

La partie entière est enregistrée. Immédiatement après avoir écrit toute la partie, nous mettons une virgule :

Et maintenant, nous écrivons le numérateur de la partie fractionnaire. Dans un nombre fractionnaire, le numérateur de la partie fractionnaire est le nombre 3. On écrit un trois après la virgule décimale :

Tout nombre représenté sous cette forme est appelé décimal.

Par conséquent, vous pouvez afficher 6 cm et 3 mm supplémentaires en centimètres en utilisant une fraction décimale :

6,3 cm

Cela ressemblera à ceci :

En fait, les décimales sont identiques aux fractions ordinaires et aux nombres fractionnaires. La particularité de telles fractions est que le dénominateur de leur partie fractionnaire contient les nombres 10, 100, 1000 ou 10000.

Comme un nombre fractionnaire, une fraction décimale comporte une partie entière et une partie fractionnaire. Par exemple, dans un nombre fractionnaire, la partie entière est 6 et la partie fractionnaire est .

Dans la fraction décimale 6.3, la partie entière est le nombre 6 et la partie fractionnaire est le numérateur de la fraction, c'est-à-dire le nombre 3.

Il arrive aussi que des fractions ordinaires au dénominateur dont les nombres 10, 100, 1000 sont donnés sans partie entière. Par exemple, une fraction est donnée sans une partie entière. Pour écrire une telle fraction sous forme décimale, écrivez d'abord 0, puis mettez une virgule et écrivez le numérateur de la fraction. Une fraction sans dénominateur s'écrira comme suit :

Se lit comme "zéro virgule cinq".

Conversion de nombres mixtes en décimales

Lorsque nous écrivons des nombres fractionnaires sans dénominateur, nous les convertissons ainsi en fractions décimales. Lors de la conversion de fractions en décimales, vous devez connaître certaines choses dont nous parlerons maintenant.

Une fois la partie entière écrite, il est nécessaire de compter le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire, car le nombre de zéros de la partie fractionnaire et le nombre de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale doivent être les mêmes. même. Qu'est-ce que ça veut dire? Prenons l'exemple suivant :

D'abord

Et vous pouvez immédiatement écrire le numérateur de la partie fractionnaire et la fraction décimale est prête, mais vous devez absolument compter le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire.

Ainsi, on compte le nombre de zéros dans la partie fractionnaire d’un nombre fractionnaire. Le dénominateur de la partie fractionnaire a un zéro. Cela signifie que dans une fraction décimale, il y aura un chiffre après la virgule et ce chiffre sera le numérateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire, c'est-à-dire le nombre 2.

Ainsi, une fois converti en fraction décimale, un nombre fractionnaire devient 3,2.

Cette fraction décimale se lit comme suit :

"Trois virgule deux"

« Dixièmes » car la partie fractionnaire d'un nombre fractionnaire contient le nombre 10.

Exemple 2. Convertissez un nombre mixte en nombre décimal.

Écrivez la partie entière et mettez une virgule :

Et vous pouvez immédiatement écrire le numérateur de la partie fractionnaire et obtenir la fraction décimale 5,3, mais la règle dit qu'après la virgule décimale, il doit y avoir autant de chiffres qu'il y a de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire. Et on voit que le dénominateur de la partie fractionnaire a deux zéros. Cela signifie que notre fraction décimale doit avoir deux chiffres après la virgule, pas un.

Dans de tels cas, le numérateur de la partie fractionnaire doit être légèrement modifié : ajoutez un zéro avant le numérateur, c'est-à-dire avant le chiffre 3.

Vous pouvez maintenant convertir ce nombre fractionnaire en fraction décimale. Écrivez la partie entière et mettez une virgule :

Et notez le numérateur de la partie fractionnaire :

La fraction décimale 5.03 se lit comme suit :

"Cinq virgule trois"

« Centaines » car le dénominateur de la partie fractionnaire d’un nombre fractionnaire contient le nombre 100.

Exemple 3. Convertissez un nombre mixte en nombre décimal.

Grâce aux exemples précédents, nous avons appris que pour réussir à convertir un nombre fractionnaire en nombre décimal, le nombre de chiffres au numérateur de la fraction et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction doivent être les mêmes.

Avant de convertir un nombre fractionnaire en fraction décimale, sa partie fractionnaire doit être légèrement modifiée, notamment pour s'assurer que le nombre de chiffres au numérateur de la partie fractionnaire et le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire sont les mêmes. même.

Tout d’abord, regardons le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire. On voit qu'il y a trois zéros :

Notre tâche est d'organiser trois chiffres dans le numérateur de la partie fractionnaire. Nous avons déjà un chiffre - c'est le chiffre 2. Il reste à ajouter deux chiffres supplémentaires. Ce seront deux zéros. Ajoutez-les avant le nombre 2. En conséquence, le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur seront les mêmes :

Vous pouvez maintenant commencer à convertir ce nombre fractionnaire en fraction décimale. Nous écrivons d’abord la partie entière et mettons une virgule :

et notez immédiatement le numérateur de la partie fractionnaire

3,002

On voit que le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire sont les mêmes.

La fraction décimale 3,002 se lit comme suit :

"Trois virgule deux millièmes"

« Millièmes » car le dénominateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire contient le nombre 1000.

Conversion de fractions en décimales

Les fractions courantes avec des dénominateurs de 10, 100, 1 000 ou 10 000 peuvent également être converties en décimales. Puisqu'une fraction ordinaire n'a pas de partie entière, notez d'abord 0, puis mettez une virgule et notez le numérateur de la partie fractionnaire.

Ici aussi, le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur doivent être les mêmes. Par conséquent, vous devriez être prudent.

Exemple 1.

La partie entière est manquante, donc d'abord nous écrivons 0 et mettons une virgule :

Examinons maintenant le nombre de zéros au dénominateur. On voit qu'il y a un zéro. Et le numérateur a un chiffre. Cela signifie que vous pouvez continuer en toute sécurité la fraction décimale en écrivant le chiffre 5 après la virgule décimale.

Dans la fraction décimale résultante 0,5, le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction sont les mêmes. Cela signifie que la fraction est traduite correctement.

La fraction décimale 0,5 se lit comme suit :

"Zéro virgule cinq"

Exemple 2. Convertissez une fraction en nombre décimal.

Il manque toute une partie. Nous écrivons d’abord 0 et mettons une virgule :

Examinons maintenant le nombre de zéros au dénominateur. On voit qu'il y a deux zéros. Et le numérateur n’a qu’un seul chiffre. Pour que le nombre de chiffres et le nombre de zéros soient identiques, ajoutez un zéro au numérateur avant le chiffre 2. La fraction prendra alors la forme . Désormais, le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur sont les mêmes. Vous pouvez donc continuer la fraction décimale :

Dans la fraction décimale résultante 0,02, le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction sont les mêmes. Cela signifie que la fraction est traduite correctement.

La fraction décimale 0,02 se lit comme suit :

"Zéro virgule deux."

Exemple 3. Convertissez une fraction en nombre décimal.

Écrivez 0 et mettez une virgule :

Maintenant, nous comptons le nombre de zéros au dénominateur de la fraction. Nous voyons qu’il y a cinq zéros et qu’il n’y a qu’un seul chiffre au numérateur. Pour que le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur soient identiques, vous devez ajouter quatre zéros au numérateur avant le nombre 5 :

Désormais, le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur sont les mêmes. Nous pouvons donc continuer avec la fraction décimale. Écrivez le numérateur de la fraction après la virgule

Dans la fraction décimale résultante 0,00005, le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction sont les mêmes. Cela signifie que la fraction est traduite correctement.

La fraction décimale 0,00005 se lit comme suit :

"Zéro virgule cinq cent millièmes."

Conversion de fractions impropres en décimales

Une fraction impropre est une fraction dont le numérateur est supérieur au dénominateur. Il existe des fractions impropres dont le dénominateur est le nombre 10, 100, 1 000 ou 10 000. Ces fractions peuvent être converties en nombres décimaux. Mais avant de les convertir en fraction décimale, ces fractions doivent être séparées en parties entières.

Exemple 1.

La fraction est une fraction impropre. Pour convertir une telle fraction en décimal, vous devez d’abord en sélectionner la partie entière. Rappelons comment isoler toute la partie des fractions impropres. Si vous l'avez oublié, nous vous conseillons d'y revenir et de l'étudier.

Alors, soulignons toute la partie dans la fraction impropre. Rappelons qu'une fraction signifie division - dans ce cas, diviser le nombre 112 par le nombre 10

Regardons cette image et assemblons un nouveau nombre mixte, comme un jeu de construction pour enfants. Le nombre 11 sera la partie entière, le nombre 2 sera le numérateur de la partie fractionnaire et le nombre 10 sera le dénominateur de la partie fractionnaire.

Nous avons un numéro mixte. Convertissons-le en fraction décimale. Et nous savons déjà comment convertir de tels nombres en fractions décimales. Tout d’abord, écrivez toute la partie et mettez une virgule :

Maintenant, nous comptons le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire. On voit qu'il y a un zéro. Et le numérateur de la partie fractionnaire a un chiffre. Cela signifie que le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire et le nombre de chiffres au numérateur de la partie fractionnaire sont les mêmes. Cela nous donne la possibilité d'écrire immédiatement le numérateur de la partie fractionnaire après la virgule décimale :

Dans la fraction décimale résultante 11.2, le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction sont les mêmes. Cela signifie que la fraction est traduite correctement.

Cela signifie qu'une fraction impropre devient 11,2 lorsqu'elle est convertie en nombre décimal.

La fraction décimale 11.2 se lit comme suit :

"Onze virgule deux."

Exemple 2. Convertissez une fraction impropre en décimale.

C'est une fraction impropre car le numérateur est supérieur au dénominateur. Mais il peut être converti en fraction décimale, puisque le dénominateur contient le nombre 100.

Tout d’abord, sélectionnons toute la partie de cette fraction. Pour cela, divisez 450 par 100 avec un coin :

Rassemblons un nouveau nombre mixte - nous obtenons . Et nous savons déjà comment convertir des nombres fractionnaires en fractions décimales.

Écrivez la partie entière et mettez une virgule :

Maintenant, nous comptons le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire et le nombre de chiffres au numérateur de la partie fractionnaire. On voit que le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur sont les mêmes. Cela nous donne la possibilité d'écrire immédiatement le numérateur de la partie fractionnaire après la virgule décimale :

Dans la fraction décimale résultante 4,50, le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction sont les mêmes. Cela signifie que la fraction est traduite correctement.

Cela signifie qu'une fraction impropre devient 4,50 lorsqu'elle est convertie en nombre décimal.

Lors de la résolution de problèmes, s'il y a des zéros à la fin de la fraction décimale, ils peuvent être supprimés. Laissons également tomber le zéro dans notre réponse. On obtient alors 4,5

C'est l'une des choses intéressantes à propos des décimales. Cela réside dans le fait que les zéros qui apparaissent à la fin d’une fraction ne donnent aucun poids à cette fraction. Autrement dit, les décimales 4,50 et 4,5 sont égales. Mettons un signe égal entre eux :

4,50 = 4,5

La question se pose : pourquoi cela arrive-t-il ? Après tout, 4,50 et 4,5 ressemblent à des fractions différentes. Tout le secret réside dans la propriété fondamentale des fractions, que nous avons étudiée plus tôt. Nous essaierons de prouver pourquoi les fractions décimales 4,50 et 4,5 sont égales, mais après avoir étudié le sujet suivant, appelé « conversion d'une fraction décimale en un nombre fractionnaire ».

Conversion d'un nombre décimal en nombre fractionnaire

Toute fraction décimale peut être reconvertie en nombre fractionnaire. Pour ce faire, il suffit de savoir lire des fractions décimales. Par exemple, convertissons 6,3 en nombre fractionnaire. 6,3 équivaut à six virgule trois. Nous écrivons d’abord six nombres entiers :

et à côté de trois dixièmes :

Exemple 2. Convertir le nombre décimal 3,002 en nombre mixte

3,002 équivaut à trois entiers et deux millièmes. Nous écrivons d'abord trois entiers

et à côté nous écrivons deux millièmes :

Exemple 3. Convertir le nombre décimal 4,50 en nombre fractionnaire

4,50 équivaut à quatre virgule cinquante. Écrivez quatre entiers

et cinquante centièmes suivants :

Au fait, rappelons le dernier exemple du sujet précédent. Nous avons dit que les décimales 4,50 et 4,5 sont égales. Nous avons également dit que le zéro pouvait être supprimé. Essayons de prouver que les décimales 4,50 et 4,5 sont égales. Pour ce faire, nous convertissons les deux fractions décimales en nombres fractionnaires.

Une fois converti en nombre fractionnaire, la décimale 4,50 devient , et la décimale 4,5 devient

Nous avons deux nombres fractionnaires et . Convertissons ces nombres fractionnaires en fractions impropres :

Nous avons maintenant deux fractions et . Il est temps de rappeler la propriété fondamentale d'une fraction, qui dit que lorsque vous multipliez (ou divisez) le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre, la valeur de la fraction ne change pas.

Divisons la première fraction par 10

Nous avons obtenu , et c'est la deuxième fraction. Cela signifie que les deux sont égaux l’un à l’autre et égaux à la même valeur :

Essayez d'utiliser une calculatrice pour diviser d'abord 450 par 100, puis 45 par 10. Ce sera une chose amusante.

Conversion d'une fraction décimale en fraction

Toute fraction décimale peut être reconvertie en fraction. Pour ce faire, encore une fois, il suffit de savoir lire des fractions décimales. Par exemple, convertissons 0,3 en une fraction commune. 0,3 est zéro virgule trois. Nous écrivons d’abord les entiers zéro :

et à côté de trois dixièmes 0. Zéro n'est traditionnellement pas écrit, donc la réponse finale ne sera pas 0, mais simplement .

Exemple 2. Convertissez la fraction décimale 0,02 en fraction.

0,02 est zéro virgule deux. On n'écrit pas zéro, donc on écrit immédiatement deux centièmes

Exemple 3. Convertir 0,00005 en fraction

0,00005 équivaut à zéro virgule cinq. On n'écrit pas zéro, donc on écrit immédiatement cinq cent millièmes

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Fractions écrites sous la forme 0,8 ; 0,13 ; 2,856 ; 5.2 ; 0,04 est appelé décimal. En fait, les décimales sont une notation simplifiée pour les fractions ordinaires. Cette notation est pratique à utiliser pour toutes les fractions dont les dénominateurs sont 10, 100, 1000, etc.

Regardons des exemples (0,5 est lu comme zéro virgule cinq) ;

(0,15 lu comme zéro virgule quinze);

(5.3 lu comme cinq virgule trois).

Veuillez noter que dans la notation d'une fraction décimale, une virgule sépare la partie entière d'un nombre de la partie fractionnaire, la partie entière d'une fraction propre est 0. La notation de la partie fractionnaire d'une fraction décimale contient autant de chiffres que il y a des zéros dans la notation du dénominateur de la fraction ordinaire correspondante.

Regardons un exemple, , , .

Dans certains cas, il peut être nécessaire de traiter un nombre naturel comme un nombre décimal dont la partie fractionnaire est nulle. Il est d'usage d'écrire que 5 = 5,0 ; 245 = 245,0 et ainsi de suite. Notez que dans la notation décimale d'un nombre naturel, l'unité du chiffre le moins significatif est 10 fois inférieure à l'unité du chiffre le plus significatif adjacent. L'écriture de fractions décimales a la même propriété. Par conséquent, immédiatement après la virgule décimale, il y a une place de dixièmes, puis une place de centièmes, puis une place de millièmes, et ainsi de suite. Ci-dessous se trouvent les noms des chiffres du nombre 31,85431, les deux premières colonnes sont la partie entière, les colonnes restantes sont la partie fractionnaire.

Cette fraction se lit trente et un virgule quatre-vingt-cinq mille quatre cent trente et un cent millièmes.

Additionner et soustraire des décimales

La première consiste à convertir des fractions décimales en fractions ordinaires et à effectuer des additions.

Comme le montre l'exemple, cette méthode est très peu pratique et il est préférable d'utiliser la deuxième méthode, qui est plus correcte, sans convertir les fractions décimales en fractions ordinaires. Pour additionner deux fractions décimales, vous devez :

• égaliser le nombre de chiffres après la virgule dans les termes ;
• écrire les termes les uns en dessous des autres de manière à ce que chaque chiffre du deuxième terme soit sous le chiffre correspondant du premier terme ;
• ajoutez les nombres résultants de la même manière que vous ajoutez des nombres naturels ;
• Placez une virgule dans la somme résultante sous les virgules dans les termes.

Regardons des exemples :

• égaliser le nombre de chiffres après la virgule décimale dans la fin du menu et le sous-traitement ;
• écrivez le sous-trahend sous le minuend de sorte que chaque chiffre du sous-trahend soit sous le chiffre correspondant du minuend ;
• effectuer la soustraction de la même manière que les nombres naturels sont soustraits ;
• mettez une virgule dans la différence résultante sous les virgules dans le menu et soustrahend.

Regardons des exemples :

Dans les exemples discutés ci-dessus, on peut voir que l'addition et la soustraction de fractions décimales ont été effectuées petit à petit, c'est-à-dire de la même manière que nous avons effectué des opérations similaires avec des nombres naturels. C'est le principal avantage de la forme décimale d'écriture des fractions.

Multiplier des décimales

Afin de multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1 000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale de cette fraction vers la droite de 1, 2, 3, et ainsi de suite, respectivement. Par conséquent, si la virgule est déplacée vers la droite de 1, 2, 3 et ainsi de suite, la fraction augmentera en conséquence de 10, 100, 1 000 et ainsi de suite. Pour multiplier deux fractions décimales, vous devez :

• multipliez-les comme des nombres naturels, en ignorant les virgules ;
• dans le produit obtenu, séparez autant de chiffres à droite par une virgule qu'il y en a après les virgules dans les deux facteurs ensemble.

Il existe des cas où un produit contient moins de chiffres qu'il n'est nécessaire de les séparer par une virgule ; le nombre requis de zéros est ajouté à gauche avant ce produit, puis la virgule est déplacée vers la gauche du nombre requis de chiffres.

Regardons des exemples : 2 * 4 = 8, puis 0,2 * 0,4 = 0,08 ; 23 * 35 = 805, puis 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Il existe des cas où l'un des multiplicateurs est égal à 0,1 ; 0,01 ; 0,001 et ainsi de suite, il est plus pratique d'utiliser la règle suivante.

• Multiplier un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 et ainsi de suite, dans cette fraction décimale, vous devez déplacer la virgule vers la gauche de 1, 2, 3, et ainsi de suite, respectivement.

Regardons des exemples : 2,65 * 0,1 = 0,265 ; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Les propriétés de multiplication des nombres naturels s'appliquent également aux fractions décimales.

• ab = ba- propriété commutative de multiplication ;
• (ab) c = a (bc)- la propriété associative de multiplication ;
• a (b + c) = ab + ac est une propriété distributive de multiplication par rapport à l'addition.

Division décimale

On sait que si l'on divise un nombre naturel unà un nombre naturel b signifie trouver un tel nombre naturel c, qui, multiplié par b donne un numéro un. Cette règle reste vraie si au moins un des nombres une, b, c est une fraction décimale.

Regardons un exemple : vous devez diviser 43,52 par 17 avec un coin, en ignorant la virgule. Dans ce cas, la virgule dans le quotient doit être placée immédiatement avant le premier chiffre après la virgule décimale du dividende.

Il y a des cas où le dividende est inférieur au diviseur, alors la partie entière du quotient est égale à zéro. Regardons un exemple :

Regardons un autre exemple intéressant.

Le processus de division s'est arrêté car les chiffres du dividende sont épuisés et le reste n'a pas de zéro. On sait qu'une fraction décimale ne changera pas si on y ajoute un nombre quelconque de zéros à droite. Il devient alors clair que les chiffres du dividende ne peuvent pas s’arrêter.

Afin de diviser une fraction décimale par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale de cette fraction vers la gauche de 1, 2, 3, et ainsi de suite. Regardons un exemple : 5,14 : 10 = 0,514 ; 2 : 100 = 0,02 ; 37,51 : 1000 = 0,03751.

Si le dividende et le diviseur sont augmentés simultanément de 10, 100, 1 000, etc., alors le quotient ne changera pas.

Prenons un exemple : 39,44 : 1,6 = 24,65, augmentez le dividende et le diviseur de 10 fois 394,4 : 16 = 24,65 Il est juste de noter que diviser une fraction décimale par un nombre naturel dans le deuxième exemple est plus facile.

Pour diviser une fraction décimale par une fraction décimale, vous devez :

• déplacez les virgules du dividende et du diviseur vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a après la virgule décimale du diviseur ;
• diviser par un nombre naturel.

Prenons un exemple : 23,6 : 0,02, notez que le diviseur a deux décimales, donc on multiplie les deux nombres par 100 et obtenons 2360 : 2 = 1180, divisons le résultat par 100 et obtenons la réponse 11,80 ou 23,6 : 0, 02 = 11.8.

Comparaison des décimales

Il existe deux façons de comparer des nombres décimaux. Première méthode, vous devez comparer deux fractions décimales 4,321 et 4,32, égaliser le nombre de décimales et commencer à comparer lieu par lieu, dixièmes avec dixièmes, centièmes avec centièmes, et ainsi de suite, au final nous obtenons 4,321 > 4,320.

La deuxième façon de comparer des fractions décimales consiste à multiplier : multipliez l'exemple ci-dessus par 1000 et comparez 4321 > 4320. Quelle méthode est la plus pratique, chacun choisit pour lui-même.