Et une ligne qui passe par l'origine. Si l'hyperbole commence à tourner autour de cet axe, un corps creux de rotation apparaîtra, qui sera un hyperboloïde. Il existe deux types d'hyperboloïdes : à feuille simple et à feuille double. Un hyperboloïde à une feuille est donné par une équation de la forme : x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1 Si l'on considère cette figure spatiale par rapport à Oxz et Plans Oyz, on voit que ses sections sont des hyperboles. Cependant, la section d'un hyperboloïde à une feuille par le plan Oxy est une ellipse. La plus petite ellipse d’un hyperboloïde s’appelle l’ellipse de la gorge. Dans ce cas, z=0, et l’ellipse passe par l’origine. L'équation de la gorge à z=0 s'écrit comme suit : x^2/a^2 +y^2/b^2=1 Les ellipses restantes ont la forme suivante : x^2/a^2 +y^2/b ^2=1+ h^2/c^2, où h est la hauteur d'un hyperboloïde à une feuille.
Commencez à construire un hyperboloïde en décrivant une hyperbole dans le plan Xoz. Dessinez un demi-axe réel qui coïncide avec l’axe y et un demi-axe imaginaire qui coïncide avec l’axe z. Construisez une hyperbole puis spécifiez une hauteur h de l'hyperboloïde. Après cela, au niveau d'une hauteur donnée, tracez des droites parallèles à Ox et coupant le graphe de l'hyperbole en ses points inférieur et supérieur. Puis, de la même manière, dans le plan Oyz, construisez une hyperbole, où b est le réel. demi-axe passant par l'axe y, et c est le demi-axe imaginaire, coïncidant également avec c c.Construisez un parallélogramme dans le plan Oxy, qui est obtenu en reliant les points des graphiques des hyperboles. Dessinez l'ellipse de la gorge pour qu'elle s'inscrive dans ce parallélogramme. Construisez les ellipses restantes de la même manière. Le résultat sera un corps de rotation - un hyperboloïde à feuille unique, illustré à la Fig. 1.
L'hyperboloïde à deux feuilles a trouvé son chemin grâce à deux surfaces différentes formées par l'axe Oz. L'équation d'un tel hyperboloïde a la forme suivante : x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1Deux cavités sont obtenues en construisant une hyperbole dans les plans Oxz et Oyz . Un hyperboloïde à deux feuilles a des sections qui sont des ellipses : x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1 Tout comme dans le cas d'un hyperboloïde à une feuille, construisez des hyperboles dans les plans Oxz et Oyz qui seront positionnés comme indiqué en 2. Construisez des parallélogrammes en bas et en haut pour construire des ellipses. Après avoir construit les ellipses, supprimez toutes les constructions, puis dessinez un hyperboloïde à deux feuilles.
Voie unique hyperboloïde représente une figure de rotation. Pour le construire, vous devez suivre une certaine méthodologie. Tout d'abord, les demi-axes sont dessinés, puis les hyperboles et les ellipses. La combinaison de tous ces éléments contribuera à créer la figure spatiale elle-même.
Vous aurez besoin
- - crayon,
- - papier,
- - ouvrage de référence mathématique.
Instructions
Dessinez une hyperbole en Xoz. Pour ce faire, dessinez deux demi-axes coïncidant avec l'axe y (demi-axe réel) et l'axe z (demi-axe imaginaire). Construisez une hyperbole basée sur eux. Après cela, définissez une certaine hauteur h a. Enfin, au niveau de celle-ci, tracez des droites qui seront parallèles à Ox et couperont le graphique de l'hyperbole de deux manières : inférieure et supérieure.
Répétez les étapes ci-dessus lors de la construction des ellipses restantes. En fin de compte, un dessin d'une seule cavité sera formé hyperboloïde UN.
Mono-cavité hyperboloïde décrit par la photo
- (grec, de hyperbole hyperbole et similarité eidos). Surface courbe ouverte du 2ème ordre, résultant de la rotation d'une hyperbole. Dictionnaire mots étrangers, inclus dans la langue russe. Chudinov A.N., 1910. HYPERBOLOÏDE grec, de l'hyperbole, ... ... Dictionnaire des mots étrangers de la langue russe
hyperboloïde- a, m hyperboloïde m. tapis. Surface ouverte formée par la rotation d'une hyperbole autour de l'un de ses axes. BAS 2. Hyperboloïde de l'ingénieur Garin. Lex. Jan. 1803 : hyperboloïde ; SAN 1847 : hyperbolique/d : BAS 1954 : hyperbolique/id... Dictionnaire historique Gallicismes de la langue russe
HYPERBOLOÏDE, hyperboloïde, mâle. (tapis.). La surface formée par la rotation d'une hyperbole (en valeur 1). Dictionnaire explicatif d'Ouchakov. D.N. Ouchakov. 1935 1940... Dictionnaire explicatif d'Ouchakov
Nom, nombre de synonymes : 2 conoïde (4) surface (32) Dictionnaire des synonymes ASIS. V.N. Trishin. 2013… Dictionnaire des synonymes
Hyperboloïde- Hyperboloïde à feuille unique. HYPERBOLOÏDE (de l'hyperbole et du grec eidos), surface obtenue en faisant tourner une hyperbole autour de l'un des axes de symétrie. Dans un cas, un hyperboloïde à deux feuillets est formé, dans l'autre, un hyperboloïde à une seule feuille... ... Dictionnaire encyclopédique illustré
hyperboloïde- hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys : engl. vok hyperboloïde. Hyperboloïde, m rus. hyperboloïde, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas
- (mat.) Deux types de surfaces du second ordre sont connus sous ce nom. 1) Géométries homosexuelles. Cette surface, liée aux axes de symétrie, a l'équation x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Les géométries unisexuées sont une surface réglée et il y a deux systèmes dessus... ... Dictionnaire encyclopédique F. Brockhaus et I.A. Éphron
M. Une surface ouverte formée par la rotation d'une hyperbole [hyperbole II] autour d'un de ses axes (en géométrie). Dictionnaire explicatif d'Éphraïm. T.F. Efremova. 2000... Moderne dictionnaire explicatif Langue russe Efremova
Hyperboloïde, hyperboloïdes, hyperboloïde, hyperboloïdes, hyperboloïde, hyperboloïdes, hyperboloïde, hyperboloïdes, hyperboloïde, hyperboloïdes, hyperboloïde, hyperboloïdes (Source : « Paradigme accentué complet selon A. A. Zaliznyak »)... Formes de mots
Surface centrale non fermée du second ordre. Il existe deux types de gaz : le gaz à feuille unique et le gaz à feuille double. Dans le système de coordonnées approprié (voir Fig.), l'équation d'un gaz à feuille unique a la forme : et celle d'un gaz à deux feuilles a la forme : Nombres a, b et c (et segments tels... ... Encyclopédie mathématique
Livres
- , Alexeï Tolstoï. Le livre comprend des romans de science-fiction d'A.N. Tolstoï, créés dans les années 20 du siècle dernier...
- Hyperboloïde de l'ingénieur Garin. Aélita, Alexeï Tolstoï. Le roman « L'hyperboloïde de l'ingénieur Garin » et l'histoire « Aelita » ont marqué le début de la littérature de science-fiction soviétique. Ils diffèrent en ce que des thèmes fantastiques sont proposés en combinaison avec...
ANNEXE 2
HYPERBOLOÏDE DE ROTATION À GROTTE UNIQUE
(brèves informations)
Si le mouvement de la ligne génératrice est une rotation autour d'une ligne droite (axe) fixe, alors la surface formée dans ce cas est appelée surface de révolution. La ligne génératrice peut être une courbe plate ou spatiale, ainsi qu'une ligne droite.
Chaque point de la droite génératrice, lorsqu'il tourne autour d'un axe, décrit un cercle situé dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation. Ces cercles sont appelés parallèles. Par conséquent, les plans perpendiculaires à l’axe coupent la surface de révolution le long de parallèles. La ligne où la surface de rotation coupe le plan passant par l’axe est appelée méridien. Tous les méridiens de la surface de rotation sont congrus.
L'ensemble de tous les parallèles ou méridiens représente un cadre continu de la surface de révolution. Par chaque point de la surface passent un parallèle et un méridien. Les projections d'un point sont situées sur les projections correspondantes d'un parallèle ou d'un méridien. Vous pouvez définir un point sur la surface ou construire une deuxième projection d'un point, le cas échéant, en utilisant un parallèle ou un méridien qui passe par ce point. La partie géométrique du déterminant d'une surface de révolution est constituée d'un axe de rotation et d'une génératrice.
Surfaces formées par rotation d'une ligne droite :
1. - un cylindre de rotation est formé en faisant tourner une droite parallèle à l'axe ;
2. - le cône de rotation est formé par la rotation d'une droite coupant l'axe ;
3. - un hyperboloïde de révolution à une feuille est formé par la rotation d'une droite traversant l'axe ;
Les parallèles d'une surface sont des cercles.
Le méridien de la surface est une hyperbole.
Toutes les surfaces de révolution réglées répertoriées sont des surfaces du second ordre.
Surfaces formées par rotation de courbes du second ordre autour de leurs axes
1. Une sphère est formée en faisant tourner un cercle autour de son diamètre.
2. Un ellipsoïde de révolution est formé en faisant tourner une ellipse autour d'un axe majeur ou mineur.
3. Un paraboloïde de révolution est formé en faisant tourner une parabole autour de son axe.
4. Un hyperboloïde de révolution d'une seule feuille est formé en faisant tourner une hyperbole autour de son axe imaginaire (cette surface est également formée par la rotation d'une ligne droite : étape a-1).
Un hyperboloïde à feuille unique est une surface équation canonique qui a la forme :
où a, b, c sont des nombres positifs.
Il possède trois plans de symétrie, trois axes de symétrie et un centre de symétrie. Ce sont respectivement des plans de coordonnées, axes de coordonnées et l'origine. Pour construire un hyperboloïde, on trouve ses sections par différents plans. Trouvons la ligne d'intersection avec le plan xOy. Sur ce plan z = 0, donc
Cette équation sur le plan xOy définit une ellipse de demi-axes a et b (Fig. 1). Trouvons la ligne d'intersection avec le plan yOz. Sur ce plan x = 0, donc
C'est l'équation d'une hyperbole dans le plan yOz, où le demi-axe réel est b et le demi-axe imaginaire est c. Construisons cette hyperbole.
La section par le plan xOz est aussi une hyperbole d'équation
Nous dessinerons également cette hyperbole, mais afin de ne pas surcharger le dessin avec des lignes supplémentaires, nous ne représenterons pas ses asymptotes et supprimerons les asymptotes dans la section par le plan yOz.
Trouvons les lignes d'intersection de la surface avec les plans z = ± h, h > 0.
Riz. 1. Section d'un hyperboloïde à feuille unique
Les équations de ces droites sont :
Transformons la première équation sous la forme
Cette équation est l'équation d'une ellipse semblable à une ellipse dans le plan xOy, de coefficient de similarité et de demi-axes a 1 et b 1 . Dessinons les sections résultantes (Fig. 2).
Riz. 2. Image d'un hyperboloïde à feuille unique utilisant des sections
Un hyperboloïde de révolution à feuille unique peut être obtenu en faisant tourner une ligne droite coupant l'axe imaginaire autour duquel la ligne tourne. Dans ce cas, on obtient une figure spatiale (Fig. 3) dont la surface est composée de positions successives de la droite lors de la rotation.
Riz. 3. Hyperboloïde de révolution à feuille unique obtenu par rotation d'une droite traversant l'axe de rotation
Le méridien d’une telle surface est une hyperbole. L’espace à l’intérieur de cette figure de rotation sera réel, et à l’extérieur il sera imaginaire. Le plan perpendiculaire à l'axe imaginaire et disséquant un hyperboloïde à feuillet unique au niveau de sa section minimale est appelé plan focal.
Une image familière d’un hyperboloïde à feuille unique pour l’œil est présentée sur la Fig. 6.4.
Si dans l'équation a=b, alors les sections de l'hyperboloïde par plans, parallèle au plan xOy sont des cercles. Dans ce cas, la surface est appelée hyperboloïde de révolution à feuille unique et peut être obtenue en faisant tourner une hyperbole située dans le plan yOz autour de l'axe Oz (Fig. 4).
Riz. 4. Hyperboloïde de révolution à feuille unique,
Hyperboloïde à feuille unique
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1.
Hyperboloïde à deux feuilles est une surface définie à un certain point système rectangulaire coordonne Oxyz par l'équation canonique
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1.
Dans les équations (4.48), (4.49) a, b, c sont des paramètres positifs caractérisant les hyperboloïdes, et a\geqslant b .
L'origine des coordonnées est appelée le centre de l'hyperboloïde. Les points d'intersection d'un hyperboloïde avec les axes de coordonnées sont appelés ses sommets. Ce sont quatre points (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) de l'hyperboloïde à une feuille (4.48) et deux points (0,0,\pm c) de l'hyperboloïde à deux feuilles (4.49). Les trois segments des axes de coordonnées reliant les sommets des hyperboloïdes sont appelés axes des hyperboloïdes. Les axes des hyperboloïdes appartenant aux axes de coordonnées Ox,\,Oy sont appelés axes transversaux des hyperboloïdes, et l'axe appartenant à l'axe appliqué Oz est appelé axe longitudinal des hyperboloïdes. Nombres a,\,b,\,c , égal aux moitiés les longueurs des axes sont appelées demi-axes des hyperboloïdes.
Coupes planes d'un hyperboloïde à feuille unique
En substituant z=0 dans l’équation (4.48), nous obtenons l’équation \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 la ligne d'intersection d'un hyperboloïde à une feuille avec le plan de coordonnées Oxy. Cette équation dans le plan Oxy définit une ellipse appelée gorge. Lignes d'intersection d'un hyperboloïde à une feuille avec d'autres plans de coordonnées sont des hyperboles. On les appelle hyperboles principales. Par exemple, pour x=0 on obtient l’hyperbole principale \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(z^2)=1, et pour y=0 - l'hyperbole principale \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1
Considérons maintenant la section d'un hyperboloïde monofeuillet par des plans parallèles au plan Oxy. En remplaçant z=h, où h est une constante arbitraire (paramètre), dans l'équation (4.48), nous obtenons
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(x ^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1+\frac(h^2)(c^2).
Pour toute valeur du paramètre h, l'équation définit une ellipse à demi-axes a"=a\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)), b"=b\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)),. Par conséquent, la section d'un hyperboloïde à feuillet unique par le plan z=h est une ellipse dont le centre se trouve sur l'axe appliqué et dont les sommets se trouvent sur les hyperboles principales. Parmi toutes les ellipses obtenues en coupes par plans z=h à différentes significations paramètre h, l'ellipse de la gorge (à h=0) est l'ellipse avec les plus petits demi-axes.
Ainsi, un hyperboloïde à une feuille peut être représenté comme une surface formée d'ellipses dont les sommets se trouvent sur les hyperboles principales (Fig. 4.42, a)
Coupes planes d'un hyperboloïde à deux feuilles
Les sections d'un hyperboloïde à deux feuilles par les plans de coordonnées Oyz et Oxz sont des hyperboles (hyperboles principales).
Considérons maintenant les sections d'un hyperboloïde à deux feuillets par des plans parallèles au plan Oxy. En remplaçant z=h, où h est une constante arbitraire (paramètre), dans l'équation (4.49), nous obtenons
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac( x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\frac(h^2)(c^2)-1.
Pour |h|
Ainsi, un hyperboloïde à deux feuillets peut être représenté comme une surface formée d'ellipses dont les sommets se trouvent sur les hyperboles principales (Fig. 4.43, a).
Hyperboloïdes de rotation
Un hyperboloïde dont les demi-axes transversaux sont égaux (a=b) est appelé hyperboloïde de révolution. Un tel hyperboloïde est une surface de révolution, et ses sections par plans z=h (pour un hyperboloïde à deux feuilles avec |h|>c) sont des cercles dont les centres sont sur l'axe applicable. Des hyperboloïdes à feuille unique ou double peuvent être obtenus en faisant tourner l'hyperbole autour de l'axe Oz \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1(Fig. 4.42, b) ou hyperbole conjuguée \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1(Fig. 4.43, b) respectivement. Notez que l’équation de ce dernier peut s’écrire sous la forme -\frac(y^2)(b^2)+\frac(z^2)(c^2)=1.
Un hyperboloïde dont les axes transversaux sont différents (a\ne b) est dit triaxial (ou général).
Remarques 4.9
1. X avions x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c défini dans l'espace basique cuboïde , à l'extérieur duquel se trouve un hyperboloïde à deux feuilles (Fig. 4.43, c). Deux faces (z=\pm c) du parallélépipède touchent l'hyperboloïde à ses sommets.
2. Section d'un hyperboloïde monofeuillet par un plan parallèle à l'axe appliqué et ayant un point commun avec une ellipse de gorge (c'est-à-dire tangente à celle-ci), représente deux lignes droites se coupant au point de contact. Par exemple, en substituant x=\pm a dans l’équation (4.48), nous obtenons l’équation \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=0 deux lignes qui se croisent (voir Fig. 4.42, a).
3. Un hyperboloïde à une feuille est surface réglée, c'est-à-dire surface formée par le mouvement d'une ligne droite (voir Fig. 4.42, c). Par exemple, un hyperboloïde de révolution à une feuille peut être obtenu en faisant tourner une ligne autour d'une autre ligne qui la coupe (mais qui n'est pas perpendiculaire).
4. L'origine du système de coordonnées canonique est le centre de symétrie de l'hyperboloïde, les axes de coordonnées sont les axes de symétrie de l'hyperboloïde et les plans de coordonnées sont les plans de symétrie de l'hyperboloïde.
En effet, si le point M(x,y,z) appartient à un hyperboloïde, alors les points de coordonnées (\pm x,\pm y,\pm z) car tout choix de signes appartient également à l'hyperboloïde, puisque leurs coordonnées satisfont respectivement à l'équation (4.48) ou (4.49).
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Hyperboloïde à feuille unique. Surface définie par l'équation
appelé hyperboloïde à une feuille. Cette surface a trois plans de symétrie - plans de coordonnées, puisque les coordonnées actuelles y et z sont incluses dans l'équation (55) en puissances paires.
En coupant un hyperboloïde à une feuille avec un plan, nous obtenons une hyperbole ABCD située dans le plan (Fig. 97)
De même, dans une coupe d'un hyperboloïde monofeuillet par un plan, on obtient l'hyperbole EFGH
dans l'avion
Lorsqu'un hyperboloïde monofeuillet est coupé par un plan, le résultat est une ellipse BFCG dont les équations ont la forme :
Les demi-axes de cette ellipse augmentent avec l'augmentation valeur absolue h.
Lorsque vous obtenez une ellipse située dans le plan et ayant les plus petits demi-axes a et b. Quand on obtient un hyperboloïde de révolution à une feuille
Lorsque les plans le coupent, des cercles seront obtenus
En paragraphes 2 et 3 considérés comme cylindriques et surfaces coniques, dont chacun est composé de lignes droites. Il s’avère qu’un hyperboloïde à une feuille peut également être considéré comme une surface composée de lignes droites. Considérons la droite définie par les équations
dans lequel a, b et c sont les demi-axes d'un hyperboloïde à feuille unique, et k est un nombre arbitrairement choisi
En multipliant ces équations terme par terme, on obtient l'équation
c'est-à-dire l'équation d'un hyperboloïde à une feuille.
Ainsi, l'équation d'un hyperboloïde à une feuille est une conséquence du système d'équations (59). Par conséquent, les coordonnées de tout point satisfaisant au système d'équations (59) satisfont également à l'équation (55) d'un hyperboloïde à une feuille. Autrement dit, tous les points de la droite (59) appartiennent à l'hyperboloïde (55). En changeant les valeurs de k, on obtient toute une famille de droites se trouvant sur la surface (55). De même, on peut montrer qu'un hyperboloïde à une feuille contient toutes les familles directes
où est un paramètre arbitraire.
On peut également montrer que par chaque point d'un hyperboloïde à une feuille passe une ligne droite de chacune des familles indiquées. Ainsi, un hyperboloïde à feuille unique peut être considéré comme une surface composée de lignes droites (Fig. 98). Ces lignes sont appelées génératrices rectilignes d’un hyperboloïde à une feuille.
La capacité de composer la surface d'un hyperboloïde à feuille unique à partir de lignes droites est utilisée dans la technologie de la construction.
Ainsi, par exemple, selon la conception proposée par l'ingénieur V. G. Shukhov, un mât radio a été construit à Moscou à l'aide de poutres situées le long des génératrices rectilignes d'un hyperboloïde à cavité unique.
Hyperboloïde à deux feuilles. Surface définie par l'équation
appelé hyperboloïde à deux feuilles.
Les plans de coordonnées sont des plans de symétrie pour un hyperboloïde à deux feuilles.
En coupant cette surface avec des plans de coordonnées, nous obtenons respectivement des hyperboles
