Question:

La pyramide est coupée par un plan parallèle à la base. La superficie de base est de 1 690 dm2 et la superficie transversale est de 10 dm2. Dans quel rapport, à partir du sommet, le plan coupant divise-t-il la hauteur de la pyramide ?

Réponses:

un plan parallèle coupe une pyramide semblable à celle-ci (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

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CHAPITRE TROIS

POLYèdres

1. PARALLÉLÉPIPÈDE ET PYRAMIDE

Propriétés des sections parallèles dans une pyramide

74. Théorème. Si la pyramide (dessin 83) coupé par un plan parallèle à la base, alors :

1) les nervures latérales et la hauteur sont divisées par ce plan en parties proportionnelles ;

2) en coupe transversale, il s'avère que c'est un polygone (abcd ), semblable à la base;

3) Les aires de section transversale et les bases sont liées comme les carrés de leurs distances au sommet.

1) Droit un B et AB peut être considéré comme la ligne d'intersection de deux plans parallèles (base et sécant) avec le troisième plan ASB ; C'est pourquoi un B||AB (article 16). Pour la même raison avant JC||C.-B., CD||CD, ... et à||AM; Par conséquent

S un / un A = S b / b B = S c / c C=...=S m / m M

2) De la similitude des triangles ASB et un S b, puis BSC et b S c etc. nous produisons :

UN B / un B=BS / bs; BS. / bs= avant JC / avant JC ,

UN B / un B= avant JC / avant JC

AVANT JC. / avant JC=CS / cs; C.S. / cs= CD / CD de la Colombie-Britannique / avant JC= CD / CD .

Nous prouverons également la proportionnalité des côtés restants des polygones ABCDE et abcd. Puisque, de plus, ces polygones ont des angles correspondants égaux (formés par des côtés parallèles et de direction identique), alors ils sont similaires.

3) Les aires de polygones similaires sont liées comme les carrés de côtés similaires ; C'est pourquoi

75. Conséquence. Une pyramide tronquée régulière a une base supérieure qui est un polygone régulier similaire à la base inférieure, et les faces latérales sont égales et des trapèzes isocèles(dessin 83).

La hauteur de l’un de ces trapèzes est appelée apothème pyramide tronquée régulière.

76. Théorème. Si deux pyramides d'égales hauteurs sont coupées à la même distance du sommet par des plans parallèles aux bases, alors les aires des sections sont proportionnelles aux aires des bases.

Soient (Fig. 84) B et B 1 les aires des bases de deux pyramides, H la hauteur de chacune d'elles, b Et b 1 - zones de coupe par plans parallèles aux bases et éloignés des sommets à la même distance h.

D’après le théorème précédent on aura :

77. Conséquence. Si B = B 1, alors b = b 1, c'est-à-dire Si deux pyramides de hauteur égale ont des bases égales, alors les sections également espacées du sommet sont également égales.

); showPlots(;0 noAxes0 );

Riz. 1.10 : Parallélépipède rectangulaire

1.3 Propriétés des sections parallèles dans une pyramide

1.3.1 Théorèmes sur les coupes dans une pyramide

Si la pyramide (1.11) est coupée par un plan parallèle à la base, alors :

1) les nervures latérales et la hauteur sont divisées par ce plan en parties proportionnelles ;

2) en coupe transversale, on obtient un polygone (abcde) semblable à la base ;

3) Les aires de section transversale et les bases sont liées comme les carrés de leurs distances au sommet.

1) Les droites ab et AB peuvent être considérées comme les lignes d'intersection de deux plans parallèles (base et sécante) avec le troisième plan ASB ; donc abkAB. Pour la même raison bckBC, cdkCD.... et amkAM ; Par conséquent

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm :

2) De la similarité des triangles ASB et aSb, puis BSC et bSc, etc., on déduit :

AB ab = BS bS ; BS bS = BC bc ;

AB ab = BC bc :

BC bc = CS cS ; CS cS = CD cd ;

BC bc = CD cd

Nous prouverons également la proportionnalité des côtés restants des polygones ABCDE et abcde. Puisque, de plus, ces polygones ont des angles correspondants égaux (formés par des côtés parallèles et de direction identique), alors ils sont similaires. Les aires de polygones similaires sont liées comme les carrés de côtés similaires ; C'est pourquoi

AB ab = AS as = M msS ;

[ 0UNE 0; 0 B 0 ; 0C0; 0 ré 0 ; 0 et 0 ; 0 à 0 ; 0 b 0 ; 0c0; 0 j 0 ; 0 M 0 ; 0 m 0 ; 0S0];

); showPlots(;0 noAxes0 );

1.3.2 Conséquence

Une pyramide tronquée régulière a une base supérieure qui est un polygone régulier similaire à la base inférieure, et les faces latérales sont des trapèzes égaux et isocèles (1.11).

La hauteur de l'un de ces trapèzes est appelée l'apothème d'une pyramide tronquée régulière.

1.3.3 Théorème des sections parallèles dans une pyramide

Si deux pyramides d'égales hauteurs sont coupées à la même distance du sommet par des plans parallèles aux bases, alors les aires des sections sont proportionnelles aux aires des bases.

Soient (1.12) B et B1 les aires des bases de deux pyramides, H la hauteur de chacune d'elles, b et b1 les aires des sections par plans parallèles aux bases et éloignés des sommets à la même distance h.

D’après le théorème précédent on aura :

Comment construire une pyramide ? En surface R. Construisons un polygone, par exemple le pentagone ABCDE. Hors d'avion R. Prenons le point S. En reliant le point S par des segments à tous les points du polygone, on obtient la pyramide SABCDE (Fig.).

Le point S est appelé haut, et le polygone ABCDE est base cette pyramide. Ainsi, une pyramide de sommet S et de base ABCDE est l'union de tous les segments où M ∈ ABCDE.

Les triangles SAB, SBC, SCD, SDE, SEA sont appelés faces latérales pyramides, côtés communs des faces latérales SA, SB, SC, SD, SE - côtes latérales.

Les pyramides s'appellent triangulaire, quadrangulaire, p-angulaire en fonction du nombre de côtés de la base. En figue. Des images de pyramides triangulaires, quadrangulaires et hexagonales sont données.

Le plan passant par le sommet de la pyramide et la diagonale de la base s'appelle diagonale, et la section résultante est diagonale. En figue. 186 l'une des sections diagonales de la pyramide hexagonale est ombrée.

Le segment perpendiculaire passant du sommet de la pyramide jusqu'au plan de sa base est appelé la hauteur de la pyramide (les extrémités de ce segment sont le sommet de la pyramide et la base de la perpendiculaire).

La pyramide s'appelle correct, si la base de la pyramide est un polygone régulier et que le sommet de la pyramide est projeté en son centre.

Toutes les faces latérales d’une pyramide régulière sont des triangles isocèles congrus. Dans une pyramide régulière, toutes les arêtes latérales sont congruentes.

La hauteur de la face latérale d’une pyramide régulière tirée de son sommet est appelée apothème pyramides. Tous les apothèmes d’une pyramide régulière sont congrus.

Si nous désignons le côté de la base comme UN, et l'apothème à travers h, alors l'aire d'une face latérale de la pyramide est de 1/2 ah.

La somme des aires de toutes les faces latérales de la pyramide s'appelle surface latérale pyramide et est désigné par le côté S.

Puisque la surface latérale d’une pyramide régulière est constituée de n visages congruents, alors

Côté S = 1/2 ah=P h / 2 ,

où P est le périmètre de la base de la pyramide. Ainsi,

Côté S =P h / 2

c'est à dire. L'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème.

La surface totale de la pyramide est calculée par la formule

S = S ocn. + Côté S. .

Le volume de la pyramide est égal au tiers du produit de l'aire de sa base S ocn. à la hauteur H :

V = 1 / 3 S principal. N.

La dérivation de cette formule et de quelques autres sera donnée dans l'un des chapitres suivants.

Construisons maintenant une pyramide d'une manière différente. Soit un angle polyédrique, par exemple pentaédrique, de sommet S (Fig.).

Dessinons un avion R. de sorte qu'il coupe toutes les arêtes d'un angle polyédrique donné en différents points A, B, C, D, E (Fig.). Alors la pyramide SABCDE peut être considérée comme l'intersection d'un angle polyédrique et d'un demi-espace avec la frontière R., dans lequel se trouve le sommet S.

Évidemment, le nombre de toutes les faces de la pyramide peut être arbitraire, mais pas inférieur à quatre. Lorsqu'un angle trièdre coupe un plan, on obtient une pyramide triangulaire qui a quatre côtés. Toute pyramide triangulaire est parfois appelée tétraèdre, ce qui signifie tétraèdre.

Pyramide tronquée peut être obtenu si la pyramide est coupée par un plan parallèle au plan de la base.

En figue. Une image d’une pyramide tronquée quadrangulaire est donnée.

Les pyramides tronquées sont aussi appelées triangulaire, quadrangulaire, n-gonal en fonction du nombre de côtés de la base. De la construction d'une pyramide tronquée, il résulte qu'elle a deux bases : supérieure et inférieure. Les bases d'une pyramide tronquée sont deux polygones dont les côtés sont parallèles deux à deux. Les faces latérales de la pyramide tronquée sont des trapèzes.

Hauteur une pyramide tronquée est un segment perpendiculaire tiré de n'importe quel point de la base supérieure jusqu'au plan de la base inférieure.

Pyramide tronquée régulière appelée partie d'une pyramide régulière comprise entre la base et un plan de coupe parallèle à la base. La hauteur de la face latérale d'une pyramide tronquée régulière (trapèze) est appelée apothème.

Il peut être prouvé qu’une pyramide tronquée régulière a des bords latéraux congrus, que toutes les faces latérales sont congruentes et que tous les apothèmes sont congrus.

Si dans le bon format tronqué n-pyramide du charbon à travers UN Et bn indiquer les longueurs des côtés des bases supérieure et inférieure, et à travers h est la longueur de l'apothème, alors l'aire de chaque face latérale de la pyramide est égale à

1 / 2 (UN + bn) h

La somme des aires de toutes les faces latérales de la pyramide est appelée l'aire de sa surface latérale et est désignée côté S. . Évidemment, pour un tronqué correct n-pyramide du charbon

Côté S = n 1 / 2 (UN + bn) h.

Parce que Pennsylvanie= P et nb n= P 1 - les périmètres des bases de la pyramide tronquée, alors

Côté S = 1 / 2 (P + P 1) h,

c'est-à-dire que l'aire de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière est égale à la moitié du produit de la somme des périmètres de ses bases et de l'apothème.

Section parallèle à la base de la pyramide

1) les nervures latérales et la hauteur seront divisées en parties proportionnelles ;

2) en coupe transversale, vous obtiendrez un polygone similaire à la base ;

3) les surfaces transversales et les bases sont liées comme les carrés de leurs distances par rapport au sommet.

Il suffit de prouver le théorème d'une pyramide triangulaire.

Puisque les plans parallèles sont coupés par un troisième plan le long de lignes parallèles, alors (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (fig.).

Les lignes parallèles coupent les côtés d'un angle en parties proportionnelles, et donc

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Par conséquent, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 et

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\droite|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 et

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Ainsi,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

Les angles correspondants des triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont congrus, comme les angles à côtés parallèles et identiques. C'est pourquoi

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Les aires de triangles semblables sont liées comme les carrés des côtés correspondants :

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\droite|) $$

Ainsi,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Théorème. Si deux pyramides d'égales hauteurs sont coupées à la même distance du sommet par des plans parallèles aux bases, alors les aires des sections sont proportionnelles aux aires des bases.

Soient (Fig. 84) B et B 1 les aires des bases de deux pyramides, H la hauteur de chacune d'elles, b Et b 1 - zones de coupe par plans parallèles aux bases et éloignés des sommets à la même distance h.

D’après le théorème précédent on aura :

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\ : et \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
où
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\ : ou \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Conséquence. Si B = B 1, alors b = b 1, c'est-à-dire Si deux pyramides de hauteur égale ont des bases égales, alors les sections également espacées du sommet sont également égales.