Équation d'une surface conique. Surfaces coniques

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SECTIONS CONIQUES, courbes plates obtenues en coupant un cône circulaire droit avec un plan qui ne passe pas par son sommet (Fig. 1). Du point de vue de la géométrie analytique, une section conique est le lieu des points satisfaisant une équation du second ordre. À l'exception des cas dégénérés évoqués dans la dernière section, les sections coniques sont des ellipses, des hyperboles ou des paraboles.

Les sections coniques se retrouvent souvent dans la nature et la technologie. Par exemple, les orbites des planètes tournant autour du Soleil ont la forme d’ellipses. Un cercle est un cas particulier d’ellipse dans lequel le grand axe est égal au petit. Un miroir parabolique a la propriété que tous les rayons incidents parallèles à son axe convergent en un point (foyer). Ceci est utilisé dans la plupart des télescopes à réflexion utilisant des miroirs paraboliques, ainsi que dans les antennes radar et les microphones spéciaux à réflecteurs paraboliques. Un faisceau de rayons parallèles émane d'une source lumineuse placée au foyer d'un réflecteur parabolique. C'est pourquoi les miroirs paraboliques sont utilisés dans les projecteurs haute puissance et les phares des voitures. L'hyperbole est un graphique de nombreuses relations physiques importantes, telles que la loi de Boyle (relative à la pression et au volume d'un gaz parfait) et la loi d'Ohm, qui définit le courant électrique en fonction de la résistance à une tension constante.

PREMIÈRE HISTOIRE

Le découvreur des sections coniques serait Menaechmus (IVe siècle avant JC), élève de Platon et professeur d'Alexandre le Grand. Ménechme a utilisé une parabole et une hyperbole équilatérale pour résoudre le problème du doublement d'un cube.

Traités sur les sections coniques rédigés par Aristée et Euclide à la fin du IVe siècle. J.-C., ont été perdus, mais leurs matériaux ont été inclus dans des Sections coniques Apollonius de Perge (vers 260-170 avant JC), qui ont survécu jusqu'à ce jour. Apollonius abandonna l'exigence selon laquelle le plan sécant de la génératrice du cône soit perpendiculaire et, en faisant varier l'angle de son inclinaison, obtint toutes les sections coniques à partir d'un cône circulaire, droit ou incliné. Nous devons également les noms modernes des courbes à Apollonius - ellipse, parabole et hyperbole.

Dans ses constructions, Apollonius a utilisé un cône circulaire à deux feuilles (comme sur la figure 1), de sorte qu'il est devenu clair pour la première fois qu'une hyperbole est une courbe à deux branches. Depuis l'époque d'Apollonius, les sections coniques ont été divisées en trois types en fonction de l'inclinaison du plan coupant par rapport à la génératrice du cône. Ellipse (Fig.1, UN) se forme lorsque le plan de coupe coupe toutes les génératrices du cône aux points d'une de ses cavités ; parabole (Fig. 1, b) – lorsque le plan de coupe est parallèle à l'un des plans tangents du cône ; hyperbole (Fig. 1, V) – lorsque le plan de coupe coupe les deux cavités du cône.

CONSTRUCTION DE SECTIONS CONIQUES

Étudiant les sections coniques comme des intersections de plans et de cônes, les mathématiciens grecs anciens les considéraient également comme des trajectoires de points sur un plan. Il a été constaté qu'une ellipse peut être définie comme le lieu des points, dont la somme des distances à partir de laquelle deux points donnés est constante ; parabole - comme lieu de points équidistants d'un point donné et d'une ligne droite donnée ; hyperbole - en tant que lieu de points, la différence des distances à partir de laquelle deux points donnés est constante.

Ces définitions des sections coniques en courbes planes suggèrent également une méthode pour les construire à l'aide d'une corde étirée.

Ellipse.

Si les extrémités d'un fil d'une longueur donnée sont fixées à des points F 1 et F 2 (Fig. 2), alors la courbe décrite par la pointe d'un crayon glissant le long d'un fil bien tendu a la forme d'une ellipse. Points F 1 et F 2 sont appelés les foyers de l'ellipse, et les segments V 1 V 2 et v 1 v 2 entre les points d'intersection de l'ellipse avec les axes de coordonnées - les axes majeurs et mineurs. Si les points F 1 et F 2 coïncident, alors l’ellipse se transforme en cercle.

Hyperbole.

Lors de la construction d'une hyperbole, le point P., la pointe d'un crayon, est fixée sur un fil qui coulisse librement le long de picots installés en certains points F 1 et F 2, comme le montre la fig. 3, UN. Les distances sont choisies pour que le segment PF 2 est plus long que le segment PF 1 d'un montant fixe inférieur à la distance F 1 F 2. Dans ce cas, une extrémité du fil passe sous le pion F 1 et les deux extrémités du fil passent sur la cheville F 2. (La pointe du crayon ne doit pas glisser le long du fil, elle doit donc être fixée en faisant une petite boucle sur le fil et en enfilant la pointe à travers celle-ci.) Une branche de l'hyperbole ( PV 1 Q) nous dessinons en veillant à ce que le fil reste tendu à tout moment et en tirant les deux extrémités du fil vers le bas au-delà de la pointe F 2 et quand point P. sera en dessous du segment F 1 F 2, en tenant le fil aux deux extrémités et en le gravant soigneusement (c'est-à-dire en le relâchant). La deuxième branche de l'hyperbole ( P.ў V 2 Qў ) on dessine en ayant préalablement interverti les rôles des piquets F 1 et F 2 .

Les branches de l'hyperbole se rapprochent de deux lignes droites qui se coupent entre les branches. Ces lignes, appelées asymptotes de l'hyperbole, sont construites comme le montre la Fig. 3, b. Les coefficients angulaires de ces lignes sont égaux à ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), où v 1 v 2 – segment de la bissectrice de l'angle entre asymptotes, perpendiculaire au segment F 1 F 2 ; segment v 1 v 2 est appelé l'axe conjugué de l'hyperbole, et le segment V 1 V 2 – son axe transversal. Ainsi, les asymptotes sont les diagonales d'un rectangle dont les côtés passent par quatre points v 1 , v 2 , V 1 , V 2 parallèles aux axes. Pour construire ce rectangle, vous devez préciser l'emplacement des points v 1 et v 2. Ils sont à la même distance, égaux

du point d'intersection des axes Ô. Cette formule implique la construction d'un triangle rectangle avec des pattes Ov 1 et V 2 Ô et l'hypoténuse F 2 Ô.

Si les asymptotes d’une hyperbole sont perpendiculaires entre elles, alors l’hyperbole est dite équilatérale. Deux hyperboles qui ont des asymptotes communes, mais avec des axes transversaux et conjugués réarrangés, sont dites mutuellement conjuguées.

Parabole.

Les foyers de l'ellipse et de l'hyperbole étaient connus d'Apollonius, mais le foyer de la parabole a apparemment été établi pour la première fois par Pappus (2e moitié du 3e siècle), qui a défini cette courbe comme le lieu des points équidistants d'un point donné (foyer) et une ligne droite donnée, qui s'appelle le directeur. La construction d'une parabole à l'aide d'un fil tendu, basée sur la définition de Pappus, a été proposée par Isidore de Milet (VIe siècle). Placez la règle de manière à ce que son bord coïncide avec la directrice L.L.ў (Fig. 4), et appliquez la jambe sur ce bord A.C. dessin d'un triangle abc. Nous attachons une extrémité du fil avec une longueur AB au sommet B triangle, et l'autre au foyer de la parabole F. A l'aide de la pointe d'un crayon pour tendre le fil, appuyez sur la pointe à un point variable P.à la jambe libre AB dessin d'un triangle. À mesure que le triangle se déplace le long de la règle, le point P. décrira l'arc d'une parabole avec focus F et la directrice L.L.ў , puisque la longueur totale du fil est AB, un morceau de fil est adjacent à la branche libre du triangle, et donc le morceau de fil restant PF doit être égal à la partie restante de la jambe AB, c'est-à-dire Pennsylvanie. Point d'intersection V une parabole avec un axe est appelée le sommet de la parabole, la droite passant par F Et V, – l'axe de la parabole. Si une ligne droite passant par le foyer est tracée, perpendiculairement à l'axe, alors le segment de cette ligne droite coupé par la parabole est appelé paramètre focal. Pour une ellipse et une hyperbole, le paramètre focal est déterminé de la même manière.

PROPRIÉTÉS DES SECTIONS CONIQUES

Définitions de Pappus.

L'établissement du foyer d'une parabole a donné à Pappus l'idée de donner une définition alternative des sections coniques en général. Laisser F est un point donné (foyer), et L– une droite donnée (directrice) ne passant pas par F, Et D F Et DL– distance du point mobile P. se concentrer F et les directrices L respectivement. Ensuite, comme l'a montré Pappus, les sections coniques sont définies comme le lieu des points P., pour lequel la relation D F/DL est une constante non négative. Ce rapport est appelé excentricité e section conique. À e e > 1 – hyperbole ; à e= 1 – parabole. Si F se trouve sur L, alors les lieux géométriques ont la forme de lignes droites (réelles ou imaginaires), qui sont des sections coniques dégénérées.

La symétrie frappante de l'ellipse et de l'hyperbole suggère que chacune de ces courbes a deux directrices et deux foyers, et cette circonstance a conduit Kepler en 1604 à l'idée qu'une parabole a aussi un deuxième foyer et une deuxième directrice - un point à l'infini et droit. . De la même manière, un cercle peut être considéré comme une ellipse dont les foyers coïncident avec le centre et dont les directrices sont à l'infini. Excentricité e dans ce cas est égal à zéro.

Conception de pissenlit.

Les foyers et les directrices d'une section conique peuvent être clairement démontrés en utilisant des sphères inscrites dans un cône et appelées sphères de Dandelin (boules) en l'honneur du mathématicien et ingénieur belge J. Dandelin (1794-1847), qui a proposé la construction suivante. Supposons qu'une section conique soit formée par l'intersection d'un certain plan p avec un cône circulaire droit à deux cavités avec un sommet en un point Ô. Inscrivons deux sphères dans ce cône S 1 et S 2 qui touchent l'avion p aux points F 1 et F 2 respectivement. Si la section conique est une ellipse (Fig. 5, UN), alors les deux sphères sont à l'intérieur de la même cavité : une sphère est située au dessus du plan p, et l'autre est en dessous. Chaque génératrice du cône touche les deux sphères, et le lieu des points de contact ressemble à deux cercles C 1 et C 2 situés dans des plans parallèles p 1 et p 2. Laisser P.– un point arbitraire sur une section conique. Traçons des lignes droites PF 1 , PF 2 et prolonger la ligne droite P.O.. Ces lignes sont tangentes aux sphères en des points F 1 , F 2 et R. 1 , R. 2. Puisque toutes les tangentes tracées à la sphère à partir d’un point sont égales, alors PF 1 = RP 1 et PF 2 = RP 2. Ainsi, PF 1 + PF 2 = RP 1 + RP 2 = R. 1 R. 2. Depuis les avions p 1 et p 2 parallèles, segment R. 1 R. 2 a une longueur constante. Ainsi, la valeur RP 1 + RP 2 est le même pour toutes les positions de points P., et pointez P. appartient au lieu géométrique des points pour lesquels la somme des distances à P.à F 1 et F 2 est constant. Par conséquent, les points F 1 et F 2 – foyers de section elliptique. De plus, on peut montrer que les droites le long desquelles le plan p croise des plans p 1 et p 2 , sont les directrices de l'ellipse construite. Si p coupe les deux cavités du cône (Fig. 5, b), alors deux sphères de Dandelin se trouvent du même côté du plan p, une sphère dans chaque cavité du cône. Dans ce cas, la différence entre PF 1 et PF 2 est constant, et le lieu des points P. a la forme d'une hyperbole avec des foyers F 1 et F 2 et lignes droites - lignes d'intersection p Avec p 1 et p 2 – en tant que directrices. Si la section conique est une parabole, comme le montre la Fig. 5, V, alors une seule sphère de Dandelin peut être inscrite dans le cône.

Autres propriétés.

Les propriétés des sections coniques sont véritablement inépuisables et chacune d’entre elles peut être considérée comme déterminante. Place importante dans Réunion mathématique Papa (environ 300), Géométrie Descartes (1637) et Les débuts Newton (1687) s'occupait du problème de la localisation géométrique des points par rapport à quatre droites. Si quatre lignes sont données sur un avion L 1 , L 2 , L 3 et L 4 (dont deux peuvent être identiques) et un point P. est tel que le produit des distances de P.à L 1 et L 2 est proportionnel au produit des distances de P.à L 3 et L 4, alors le lieu des points P. est une section conique. Croyant à tort qu'Apollonius et Pappus étaient incapables de résoudre le problème du lieu des points par rapport à quatre droites, Descartes créa la géométrie analytique pour obtenir une solution et la généraliser.

APPROCHE ANALYTIQUE

Classement algébrique.

En termes algébriques, les sections coniques peuvent être définies comme des courbes planes dont les coordonnées dans le système de coordonnées cartésiennes satisfont une équation du deuxième degré. En d’autres termes, l’équation de toutes les sections coniques peut s’écrire sous la forme générale :

où tous les coefficients UN, B Et C sont égaux à zéro. En utilisant la translation et la rotation parallèles des axes, l'équation (1) peut être réduite à la forme

hache 2 + par 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

La première équation est obtenue à partir de l’équation (1) avec B 2 № A.C., le deuxième – à B 2 = A.C.. Les sections coniques dont les équations sont réduites à la première forme sont dites centrales. Sections coniques données par des équations du deuxième type avec q Les n°0 sont dits non centraux. Au sein de ces deux catégories, il existe neuf types différents de sections coniques selon les signes des coefficients.

2831) si les chances un, b Et c ont le même signe, alors il n’y a pas de points réels dont les coordonnées satisferaient l’équation. Une telle section conique est appelée une ellipse imaginaire (ou un cercle imaginaire, si un = b).

2) Si un Et b ont le même signe, et c– ci-contre, alors la section conique est une ellipse (Fig. 1, UN); à un = b– cercle (Fig. 6, b).

3) Si un Et b ont des signes différents, alors la section conique est une hyperbole (Fig. 1, V).

4) Si un Et b ont des signes différents et c= 0, alors la section conique est constituée de deux lignes qui se croisent (Fig. 6, UN).

5) Si un Et b ont le même signe et c= 0, alors il n'y a qu'un seul point réel sur la courbe qui satisfait l'équation, et la section conique est constituée de deux lignes sécantes imaginaires. Dans ce cas, on parle aussi d'une ellipse contractée en un point ou, si un = b, contracté en un point du cercle (Fig. 6, b).

6) Si l'un ou l'autre un, ou b est égal à zéro et les coefficients restants ont des signes différents, alors la section conique est constituée de deux lignes parallèles.

7) Si l'un ou l'autre un, ou b est égal à zéro et que les coefficients restants ont le même signe, alors il n'y a pas un seul point réel qui satisfasse l'équation. Dans ce cas, on dit qu’une section conique est constituée de deux lignes parallèles imaginaires.

8) Si c= 0, et soit un, ou b est également égal à zéro, alors la section conique est constituée de deux droites réelles coïncidentes. (L'équation ne définit aucune section conique à un = b= 0, puisque dans ce cas l'équation originale (1) n'est pas du deuxième degré.)

9) Les équations du deuxième type définissent des paraboles si p Et q sont différents de zéro. Si p N ° 0, un q= 0, on obtient la courbe de l'étape 8. Si p= 0, alors l'équation ne définit aucune section conique, puisque l'équation originale (1) n'est pas du deuxième degré.

Dérivation d'équations de sections coniques.

Toute section conique peut également être définie comme une courbe le long de laquelle un plan coupe une surface quadratique, c'est-à-dire avec une surface donnée par une équation du deuxième degré f (x, oui, z) = 0. Apparemment, les sections coniques ont été reconnues pour la première fois sous cette forme, et leurs noms ( voir ci-dessous) sont dus au fait qu'ils ont été obtenus en coupant un plan avec un cône z 2 = x 2 + oui 2. Laisser ABCD– la base d’un cône circulaire droit (Fig. 7) avec un angle droit au sommet V. Laisse l'avion FDC coupe la génératrice VB au point F, base – en ligne droite CD et la surface du cône - le long de la courbe DFPC, Où P.– n'importe quel point de la courbe. Passons au milieu du segment CD- indiquer E- droit E.F. et diamètre AB. À travers le point P. tracer un plan parallèle à la base du cône, coupant le cône en cercle R.P.S. et direct E.F. au point Q. Alors QF Et QP peut donc être pris comme abscisse x et ordonné oui points P.. La courbe résultante sera une parabole.

La construction représentée sur la Fig. 7 peut être utilisé pour dériver des équations générales pour les sections coniques. Le carré de la longueur d'un segment perpendiculaire restitué depuis n'importe quel point du diamètre jusqu'à l'intersection avec le cercle est toujours égal au produit des longueurs des segments de diamètre. C'est pourquoi

oui 2 = QR H QS.

Pour une parabole, un segment QR a une longueur constante (puisqu'à n'importe quelle position du point P. il est égal au segment A.E.), et la longueur du segment QS proportionnel x(à partir du rapport QS/E.B. = QF/F.E.). Il s'ensuit que

Où un– coefficient constant. Nombre un exprime la longueur du paramètre focal de la parabole.

Si l'angle au sommet du cône est aigu, alors le segment QR pas égal au segment A.E.; mais le rapport oui 2 = QR H QS est équivalent à une équation de la forme

Où un Et b– constantes, ou, après déplacement des axes, à l'équation

qui est l'équation d'une ellipse. Points d'intersection de l'ellipse avec l'axe x (x = un Et x = –un) et les points d'intersection de l'ellipse avec l'axe oui (oui = b Et oui = –b) définissent respectivement les axes majeurs et mineurs. Si l'angle au sommet du cône est obtus, alors la courbe d'intersection du cône et du plan a la forme d'une hyperbole, et l'équation prend la forme suivante :

ou, après transfert des axes,

Dans ce cas, les points d'intersection avec l'axe x, donné par la relation x 2 = un 2, déterminer l'axe transversal et les points d'intersection avec l'axe oui, donné par la relation oui 2 = –b 2, déterminez l’axe conjugué. Si constant un Et b dans l'équation (4a) sont égaux, alors l'hyperbole est dite équilatérale. En faisant tourner les axes, son équation se réduit à la forme

xy = k.

Maintenant, à partir des équations (3), (2) et (4), nous pouvons comprendre la signification des noms donnés par Apollonius aux trois sections coniques principales. Les termes « ellipse », « parabole » et « hyperbole » viennent de mots grecs signifiant « déficient », « égal » et « supérieur ». D'après les équations (3), (2) et (4), il est clair que pour l'ellipse oui 2b2/ un) x, pour une parabole oui 2 = (un) x et pour l'hyperbole oui 2 > (2b 2 /un) x. Dans chaque cas, la valeur entre parenthèses est égale au paramètre focal de la courbe.

Apollonius lui-même n'a considéré que trois types généraux de sections coniques (types 2, 3 et 9 répertoriés ci-dessus), mais son approche peut être généralisée pour permettre la considération de toutes les courbes réelles du second ordre. Si le plan de coupe est choisi parallèlement à la base circulaire du cône, alors la section transversale donnera la forme d'un cercle. Si le plan coupant n'a qu'un seul point commun avec le cône, son sommet, alors on obtiendra une section de type 5 ; s'il contient un sommet et une tangente au cône, alors on obtient une section de type 8 (Fig. 6, b); si le plan de coupe contient deux génératrices du cône, alors la section produit une courbe de type 4 (Fig. 6, UN); lorsque le sommet est transféré à l'infini, le cône se transforme en cylindre, et si le plan contient deux génératrices, alors on obtient une section de type 6.

Si vous regardez un cercle sous un angle oblique, il ressemble à une ellipse. La relation entre un cercle et une ellipse, connue d'Archimède, devient évidente si le cercle X 2 + Oui 2 = un 2 en utilisant la substitution X = x, Oui = (un/b) oui transformer en l’ellipse donnée par l’équation (3a). Conversion X = x, Oui = (ai/b) oui, Où je 2 = –1, permet d'écrire l'équation d'un cercle sous la forme (4a). Cela montre qu'une hyperbole peut être considérée comme une ellipse avec un axe mineur imaginaire ou, à l'inverse, une ellipse peut être considérée comme une hyperbole avec un axe conjugué imaginaire.

Relation entre les ordonnées d'un cercle x 2 + oui 2 = un 2 et ellipse ( x 2 /un 2) + (oui 2 /b 2) = 1 mène directement à la formule d'Archimède UN = p ab pour l'aire de l'ellipse. Kepler connaissait la formule approximative p(un + b) pour le périmètre d'une ellipse proche d'un cercle, mais l'expression exacte n'a été obtenue qu'au XVIIIe siècle. après l'introduction des intégrales elliptiques. Comme l'a montré Archimède, l'aire d'un segment parabolique représente les quatre tiers de l'aire d'un triangle inscrit, mais la longueur de l'arc d'une parabole n'a pu être calculée qu'après le XVIIe siècle. Le calcul différentiel a été inventé.

APPROCHE PROJECTIVE

La géométrie projective est étroitement liée à la construction de la perspective. Si vous dessinez un cercle sur une feuille de papier transparente et que vous le placez sous une source de lumière, alors ce cercle sera projeté sur le plan situé en dessous. De plus, si la source lumineuse est située directement au-dessus du centre du cercle et que le plan et la feuille transparente sont parallèles, alors la projection sera également un cercle (Fig. 8). La position de la source lumineuse est appelée le point de fuite. Il est indiqué par la lettre V. Si V n'est pas situé au dessus du centre du cercle ou si le plan n'est pas parallèle à la feuille de papier, alors la projection du cercle prend la forme d'une ellipse. Avec une inclinaison encore plus grande du plan, le grand axe de l'ellipse (projection du cercle) s'allonge, et l'ellipse se transforme progressivement en parabole ; sur un plan parallèle à une droite V.P., la projection a la forme d'une parabole ; avec une inclinaison encore plus grande, la projection prend la forme d'une des branches de l'hyperbole.

Chaque point du cercle d'origine correspond à un certain point sur la projection. Si la projection a la forme d'une parabole ou d'une hyperbole, alors on dit que le point correspondant au point P., est à l'infini ou infiniment distant.

Comme nous l'avons vu, avec un choix approprié de points de fuite, un cercle peut être projeté en ellipses de différentes tailles et avec diverses excentricités, et les longueurs des grands axes ne sont pas directement liées au diamètre du cercle projeté. Par conséquent, la géométrie projective ne traite pas des distances ou des longueurs en soi ; sa tâche est d'étudier le rapport des longueurs conservé lors de la projection. Cette relation peut être trouvée à l’aide de la construction suivante. À travers n'importe quel point P. plan, tracez deux tangentes à n'importe quel cercle et reliez les points tangents par une ligne droite p. Soit une autre droite passant par le point P., coupe le cercle en des points C 1 et C 2 et droit p– au point Q(Fig. 9). En planimétrie, il est prouvé que PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Le signe moins est dû au fait que la direction du segment QC 1 est opposé aux directions des autres segments.) En d’autres termes, les points P. Et Q diviser le segment C 1 C 2 extérieurement et intérieurement dans le même sens ; ils disent aussi que le rapport harmonique de quatre segments est égal à - 1. Si le cercle est projeté dans une section conique et que la même notation est conservée pour les points correspondants, alors le rapport harmonique ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) restera égal à - 1. Point P. appelé poteau de ligne p par rapport à la section conique, et à la droite p– point polaire P. par rapport à la section conique.

Quand le point P. se rapproche d'une section conique, la polaire tend à prendre la position d'une tangente ; si point P. se trouve sur une section conique, alors sa polaire coïncide avec la tangente à la section conique au point P.. Si le point P. est situé à l’intérieur de la section conique, alors sa polaire peut être construite comme suit. Passons en revue le point P. toute ligne droite coupant une section conique en deux points ; tracer des tangentes à la section conique aux points d'intersection ; supposons que ces tangentes se coupent en un point P. 1. Passons en revue le point P. une autre ligne droite qui coupe la section conique en deux autres points ; supposons que les tangentes à la section conique en ces nouveaux points se coupent au point P. 2 (Fig. 10). Ligne passant par des points P. 1 et P. 2 , et on a la polaire recherchée p. Si le point P. on s'approche du centre Ô section conique centrale, puis polaire p s'éloigner de Ô. Quand le point P. coïncide avec Ô, alors sa polaire devient infiniment lointaine, ou idéale, directement sur le plan.

BÂTIMENTS SPÉCIAUX

La construction simple suivante de points d’ellipse à l’aide d’un compas et d’une règle est particulièrement intéressante pour les astronomes. Soit une droite arbitraire passant par un point Ô(Fig. 11, UN), se croise en des points Q Et R. deux cercles concentriques centrés en un point Ô et rayons b Et un, Où b un. Passons en revue le point Q ligne horizontale, et à travers R.– une ligne verticale, et désigne leur point d'intersection P. P. lors de la rotation d'une ligne droite OQR autour du point Ô il y aura une ellipse. Coin f entre la ligne droite OQR et le grand axe est appelé angle excentrique, et l'ellipse construite est commodément spécifiée par des équations paramétriques x = un parce que f, oui = b péché f. Hors paramètre f, on obtient l'équation (3a).

Pour une hyperbole, la construction est largement similaire. Une droite arbitraire passant par un point Ô, coupe l'un des deux cercles en un point R.(Fig. 11, b). Au point R. un cercle et jusqu'au point final S diamètre horizontal d'un autre cercle, tracez des tangentes se coupant Système d'exploitation au point T Et OU– au point Q. Soit une ligne verticale passant par un point T, et une ligne horizontale passant par le point Q, se croisent en un point P.. Alors le lieu des points P. lors de la rotation d'un segment OU autour Ô sera une hyperbole donnée par des équations paramétriques x = un seconde f, oui = b tg f, Où f– angle excentrique. Ces équations ont été obtenues par le mathématicien français A. Legendre (1752-1833). En excluant le paramètre f, on obtient l'équation (4a).

Une ellipse, comme l'a noté N. Copernic (1473-1543), peut être construite en utilisant le mouvement épicyclique. Si un cercle roule sans glisser à l’intérieur d’un autre cercle de deux fois le diamètre, alors chaque point P., qui ne repose pas sur le petit cercle, mais est immobile par rapport à lui, décrira une ellipse. Si le point P. est sur un cercle plus petit, alors la trajectoire de ce point est un cas dégénéré d'ellipse - le diamètre du plus grand cercle. Une construction encore plus simple de l'ellipse a été proposée par Proclus au Ve siècle. Si les fins UN Et B segment de ligne AB d'une longueur donnée glissent le long de deux droites fixes sécantes (par exemple, le long d'axes de coordonnées), puis chaque point interne P. le segment décrira une ellipse ; le mathématicien néerlandais F. van Schooten (1615-1660) a montré que tout point du plan des lignes sécantes, fixe par rapport à un segment glissant, décrira également une ellipse.

B. Pascal (1623-1662) a formulé à l'âge de 16 ans le désormais célèbre théorème de Pascal, qui stipule : les trois points d'intersection des côtés opposés d'un hexagone inscrit dans toute section conique se trouvent sur la même ligne droite. Pascal a dérivé plus de 400 corollaires de ce théorème.

À la différence qu'au lieu de graphiques « plats », nous considérerons les surfaces spatiales les plus courantes et apprendrons également à les construire avec compétence à la main. J'ai passé pas mal de temps à sélectionner des outils logiciels pour créer des dessins en trois dimensions et j'ai trouvé quelques bonnes applications, mais malgré toute la facilité d'utilisation, ces programmes ne résolvent pas bien un problème pratique important. Le fait est que dans un avenir historique prévisible, les étudiants seront toujours armés d'une règle et d'un crayon, et même ayant un dessin « machine » de haute qualité, beaucoup ne seront pas en mesure de le transférer correctement sur du papier quadrillé. Par conséquent, dans le manuel, une attention particulière est accordée à la technique de construction manuelle, et une partie importante des illustrations de la page sont des produits faits à la main.

En quoi ce matériau de référence diffère-t-il des analogues ?

Ayant une expérience pratique décente, je sais très bien quelles surfaces nous devons le plus souvent traiter dans des problèmes réels de mathématiques supérieures, et j'espère que cet article vous aidera à reconstituer rapidement vos bagages avec les connaissances et compétences appliquées pertinentes, qui représentent 90 -95% il devrait y avoir suffisamment de cas.

Que devez-vous être capable de faire en ce moment ?

Le plus basique :

Tout d'abord, vous devez être capable de construire correctement système de coordonnées cartésiennes spatiales (voir début de l'article Graphiques et propriétés des fonctions) .

Qu’allez-vous gagner après avoir lu cet article ?

Bouteille Après avoir maîtrisé le matériel de cours, vous apprendrez à déterminer rapidement le type de surface par sa fonction et/ou son équation, à imaginer comment elle se situe dans l'espace et, bien sûr, à réaliser des dessins. Ce n'est pas grave si vous n'avez pas tout en tête après la première lecture - vous pouvez toujours revenir à n'importe quel paragraphe plus tard si nécessaire.

L'information est à la portée de tous - pour la maîtriser, vous n'avez besoin d'aucune super connaissance, d'un talent artistique particulier ou d'une vision spatiale.

Commençons !

En pratique, la surface spatiale est généralement donnée fonction de deux variables ou une équation de la forme (la constante du côté droit est le plus souvent égale à zéro ou un). La première désignation est plus typique de l'analyse mathématique, la seconde - pour géométrie analytique. L'équation est essentiellement implicitement donné une fonction de 2 variables, qui dans des cas typiques peut facilement être réduite à la forme . Permettez-moi de vous rappeler l'exemple le plus simple c :

–équation plane gentil .

– fonction plane dans explicitement .

Commençons par ça :

Équations courantes des plans

Les options typiques pour la disposition des plans dans un système de coordonnées rectangulaires sont discutées en détail au tout début de l'article. Équation plane. Cependant, attardons-nous encore une fois sur les équations qui sont d'une grande importance pour la pratique.

Tout d'abord, vous devez reconnaître de manière entièrement automatique les équations des plans parallèles aux plans de coordonnées. Les fragments d'avions sont généralement représentés par des rectangles qui, dans les deux derniers cas, ressemblent à des parallélogrammes. Par défaut, vous pouvez choisir n'importe quelle dimension (dans des limites raisonnables, bien sûr), mais il est souhaitable que le point où l'axe des coordonnées « perce » le plan soit le centre de symétrie :


À proprement parler, les axes de coordonnées doivent être représentés par des lignes pointillées à certains endroits, mais afin d'éviter toute confusion, nous négligerons cette nuance.

– (dessin de gauche) l'inégalité précise le demi-espace le plus éloigné de nous, excluant le plan lui-même ;

– (dessin du milieu) l'inégalité précise le demi-espace droit, y compris le plan ;

– (dessin de droite) la double inégalité définit une « couche » située entre les plans, incluant les deux plans.

Pour l'auto-échauffement :

Exemple 1

Dessine un corps délimité par des plans
Créer un système d'inégalités qui définissent un corps donné.

Une vieille connaissance devrait émerger sous la mine de votre crayon. cuboïde. N'oubliez pas que les bords et faces invisibles doivent être dessinés avec une ligne pointillée. Dessin terminé à la fin du cours.

S'il te plaît, NE NÉGLIGEZ PAS tâches d'apprentissage, même si elles semblent trop simples. Sinon, il se peut que vous l'ayez manqué une fois, que vous l'ayez manqué deux fois, puis que vous ayez passé une bonne heure à essayer de comprendre un dessin en trois dimensions à l'aide d'un exemple réel. De plus, le travail mécanique vous aidera à apprendre la matière beaucoup plus efficacement et à développer votre intelligence ! Ce n'est pas un hasard si à la maternelle et à l'école primaire, les enfants sont chargés de dessins, de modelages, de jouets de construction et d'autres tâches pour la motricité fine des doigts. Désolé pour la digression, mais mes deux cahiers de psychologie du développement ne devraient pas disparaître =)

Nous appellerons conditionnellement le prochain groupe de plans « proportionnalité directe » - ce sont des plans passant par les axes de coordonnées :

2) une équation de la forme spécifie un plan passant par l'axe ;

3) une équation de la forme spécifie un plan passant par l'axe.

Bien que le signe formel soit évident (quelle variable manque dans l'équation – le plan passe par cet axe), il est toujours utile de comprendre l'essence des événements qui se déroulent :

Exemple 2

Construire un avion

Quelle est la meilleure façon de construire ? Je propose l'algorithme suivant :

Tout d’abord, réécrivons l’équation sous la forme , d’où on voit clairement que le « y » peut prendre n'importe lequel significations. Fixons la valeur, c'est-à-dire que nous considérerons le plan de coordonnées. Ensemble d'équations ligne spatiale, se trouvant dans un plan de coordonnées donné. Représentons cette ligne dans le dessin. La droite passe par l'origine des coordonnées, il suffit donc pour la construire de trouver un point. Laisser . Mettez de côté un point et tracez une ligne droite.

Revenons maintenant à l'équation du plan. Puisque le "Y" accepte n'importe lequel valeurs, alors la droite construite dans le plan est continuellement « répliquée » vers la gauche et vers la droite. C'est exactement ainsi que se forme notre plan, passant par l'axe. Pour compléter le dessin, nous traçons deux lignes parallèles à gauche et à droite de la ligne droite et « fermons » le parallélogramme symbolique avec des segments horizontaux transversaux :

Étant donné que la condition n'imposait pas de restrictions supplémentaires, un fragment de l'avion pouvait être représenté dans des tailles légèrement plus petites ou légèrement plus grandes.

Répétons encore une fois le sens de l'inégalité linéaire spatiale à l'aide de l'exemple. Comment déterminer le demi-espace qu’il définit ? Prenons un point n'appartenant pas à planez, par exemple, un point du demi-espace le plus proche de nous et substituez ses coordonnées dans l'inégalité :

Reçu véritable inégalité, ce qui signifie que l'inégalité spécifie le demi-espace inférieur (par rapport au plan), alors que le plan lui-même n'est pas inclus dans la solution.

Exemple 3

Construire des avions
UN) ;
b) .

Ce sont des tâches d'auto-construction ; en cas de difficultés, utiliser un raisonnement similaire. Brèves instructions et dessins à la fin de la leçon.

En pratique, les plans parallèles à l'axe sont particulièrement courants. Le cas particulier où le plan passe par l’axe vient d’être abordé au paragraphe « be », et nous allons maintenant analyser un problème plus général :

Exemple 4

Construire un avion

Solution: la variable « z » n'est pas explicitement incluse dans l'équation, ce qui signifie que le plan est parallèle à l'axe appliqué. Utilisons la même technique que dans les exemples précédents.

Réécrivons l'équation du plan sous la forme d'où il est clair que « zet » peut prendre n'importe lequel significations. Réparons-le et traçons une ligne droite « plate » régulière dans le plan « natif ». Pour le construire, il convient de prendre des repères.

Puisque "Z" accepte Tous valeurs, alors la ligne droite construite « se multiplie » continuellement de haut en bas, formant ainsi le plan souhaité . Nous dressons soigneusement un parallélogramme de taille raisonnable :

Prêt.

Équation d'un plan en segments

La variété appliquée la plus importante. Si Tous chances équation générale du plan non nul, alors il peut être représenté sous la forme qui s'appelle équation du plan en segments. Il est évident que le plan coupe les axes de coordonnées en des points , et le grand avantage d'une telle équation est la facilité de construire un dessin :

Exemple 5

Construire un avion

Solution: Tout d'abord, créons une équation du plan en segments. Jetons le terme libre vers la droite et divisons les deux côtés par 12 :

Non, il n’y a pas de faute de frappe ici et tout se passe dans l’espace ! Nous examinons la surface proposée en utilisant la même méthode que celle récemment utilisée pour les avions. Réécrivons l'équation sous la forme , d'où il résulte que « zet » prend n'importe lequel significations. Fixons et construisons une ellipse dans le plan. Puisque "zet" accepte Tous valeurs, alors l’ellipse construite est continuellement « répliquée » de haut en bas. Il est facile de comprendre que la surface infini:

Cette surface est appelée cylindre elliptique. Une ellipse (à n'importe quelle hauteur) s'appelle guide cylindre, et les lignes parallèles passant par chaque point de l'ellipse sont appelées formation cylindre (qui le forme littéralement). L'axe est axe de symétrie surface (mais pas une partie de celle-ci !).

Les coordonnées de tout point appartenant à une surface donnée satisfont nécessairement à l'équation .

Spatial l'inégalité définit « l'intérieur » du « tuyau » infini, y compris la surface cylindrique elle-même, et, par conséquent, l'inégalité opposée définit l'ensemble des points à l'extérieur du cylindre.

Dans les problèmes pratiques, le cas particulier le plus courant est celui où guide le cylindre est cercle:

Exemple 8

Construire la surface donnée par l'équation

Il est impossible de représenter une « pipe » sans fin, c'est pourquoi l'art se limite généralement au « détourage ».

Tout d'abord, il est pratique de construire un cercle de rayon dans le plan, puis quelques cercles supplémentaires au-dessus et en dessous. Les cercles résultants ( guides cylindre) connectez-vous soigneusement avec quatre lignes droites parallèles ( formation cylindre):

N'oubliez pas d'utiliser des lignes pointillées pour les lignes qui nous sont invisibles.

Les coordonnées de tout point appartenant à un cylindre donné satisfont à l'équation . Les coordonnées de tout point situé strictement à l’intérieur du « tuyau » satisfont à l’inégalité , et l'inégalité définit un ensemble de points de la pièce externe. Pour une meilleure compréhension, je vous recommande de considérer plusieurs points précis dans l'espace et de constater par vous-même.

Exemple 9

Construire une surface et trouver sa projection sur le plan

Réécrivons l'équation sous la forme d'où il résulte que "x" prend n'importe lequel significations. Fixons et décrivons dans l'avion cercle– avec centre à l’origine, rayon unité. Puisque "x" accepte continuellement Tous valeurs, alors le cercle construit génère un cylindre circulaire avec un axe de symétrie. Dessinez un autre cercle ( guide cylindre) et reliez-les soigneusement avec des lignes droites ( formation cylindre). Il y avait des chevauchements à certains endroits, mais que faire, une telle pente :

Cette fois, je me suis limité à un morceau de cylindre dans l'interstice, et ce n'est pas un hasard. En pratique, il est souvent nécessaire de représenter seulement un petit fragment de la surface.

Ici, en passant, il y a 6 génératrices - deux lignes droites supplémentaires « couvrent » la surface à partir des coins supérieur gauche et inférieur droit.

Regardons maintenant la projection d'un cylindre sur un plan. De nombreux lecteurs comprennent ce qu’est la projection, mais faisons néanmoins un autre exercice physique de cinq minutes. Veuillez vous lever et incliner la tête au-dessus du dessin de manière à ce que la pointe de l'axe soit perpendiculaire à votre front. Ce qu'un cylindre semble être sous cet angle, c'est sa projection sur un plan. Mais cela semble être une bande sans fin, enserrée entre des lignes droites, y compris les lignes droites elles-mêmes. Cette projection est exactement domaine de définition fonctions (« gouttière » supérieure du cylindre), (« gouttière » inférieure).

Au fait, clarifions la situation avec les projections sur d'autres plans de coordonnées. Laissez les rayons du soleil briller sur le cylindre depuis la pointe et le long de l'axe. L'ombre (projection) d'un cylindre sur un plan est une bande infinie similaire - une partie du plan délimitée par des lignes droites (- n'importe lesquelles), y compris les lignes droites elles-mêmes.

Mais la projection sur l'avion est quelque peu différente. Si vous regardez le cylindre depuis la pointe de l’axe, il sera alors projeté dans un cercle de rayon unité. , avec lequel nous avons commencé la construction.

Exemple 10

Construire une surface et trouver ses projections sur des plans de coordonnées

C'est une tâche que vous devez résoudre vous-même. Si la condition n’est pas très claire, mettez les deux côtés au carré et analysez le résultat ; découvrez quelle partie du cylindre est spécifiée par la fonction. Utilisez la technique de construction utilisée à plusieurs reprises ci-dessus. Une courte solution, un dessin et des commentaires en fin de cours.

Les surfaces elliptiques et autres surfaces cylindriques peuvent être décalées par rapport aux axes de coordonnées, par exemple :

(basé sur les motifs familiers de l'article sur Lignes de 2ème commande) – un cylindre de rayon unité avec un axe de symétrie passant par un point parallèle à l'axe. Cependant, dans la pratique, de tels cylindres sont assez rares, et il est absolument incroyable de rencontrer une surface cylindrique « oblique » par rapport aux axes de coordonnées.

Cylindres paraboliques

Comme son nom l'indique, guide un tel cylindre est parabole.

Exemple 11

Construisez une surface et trouvez ses projections sur des plans de coordonnées.

Je n'ai pas pu résister à cet exemple =)

Solution: Suivons les sentiers battus. Réécrivons l'équation sous la forme d'où il résulte que « zet » peut prendre n'importe quelle valeur. Fixons et construisons une parabole ordinaire sur le plan, après avoir préalablement marqué les points de référence triviaux. Puisque "Z" accepte Tous valeurs, alors la parabole construite est continuellement « répliquée » de haut en bas jusqu’à l’infini. Nous posons la même parabole, disons, en hauteur (dans le plan) et les connectons soigneusement avec des lignes droites parallèles ( former le cylindre):

je te rappelle technique utile: si vous n'êtes pas sûr au départ de la qualité du dessin, il est préférable de tracer d'abord les lignes très fines avec un crayon. Ensuite, nous évaluons la qualité du croquis, découvrons les zones où la surface est cachée à nos yeux, puis appliquons ensuite une pression sur le stylet.

Projections.

1) La projection d'un cylindre sur un plan est une parabole. Il convient de noter que dans ce cas, il est impossible de parler de domaine de définition d'une fonction de deux variables– pour la raison que l’équation du cylindre n’est pas réductible à une forme fonctionnelle.

2) La projection d'un cylindre sur un plan est un demi-plan, incluant l'axe

3) Et enfin, la projection du cylindre sur le plan est le plan entier.

Exemple 12

Construire des cylindres paraboliques :

a) se limiter à un fragment de surface dans le demi-espace proche ;

b) dans l'intervalle

En cas de difficultés, on ne se précipite pas et on raisonne par analogie avec les exemples précédents, heureusement, la technologie est bien développée ; Ce n'est pas critique si les surfaces s'avèrent un peu maladroites - il est important d'afficher correctement l'image fondamentale. Moi-même, je ne me soucie pas vraiment de la beauté des lignes ; si j'obtiens un dessin passable avec une note C, je ne le refais généralement pas. D'ailleurs, l'exemple de solution utilise une autre technique pour améliorer la qualité du dessin ;-)

Cylindres hyperboliques

Guides ces cylindres sont des hyperboles. Ce type de surface, d'après mes observations, est beaucoup moins courant que les types précédents, je me limiterai donc à un seul dessin schématique d'un cylindre hyperbolique :

Le principe de raisonnement ici est exactement le même - l'habituel hyperbole scolaire du plan se « multiplie » continuellement de haut en bas jusqu’à l’infini.

Les cylindres considérés appartiennent à ce qu'on appelle Surfaces du 2ème ordre, et maintenant nous allons continuer à faire connaissance avec d'autres représentants de ce groupe :

Ellipsoïde. Sphère et boule

L'équation canonique d'un ellipsoïde dans un système de coordonnées rectangulaires a la forme , où sont les nombres positifs ( arbres d'essieu ellipsoïde), qui dans le cas général différent. Un ellipsoïde s'appelle surface, donc corps, limité par une surface donnée. Le corps, comme beaucoup l’ont deviné, est déterminé par l’inégalité et les coordonnées de tout point intérieur (ainsi que de tout point de surface) satisfont nécessairement à cette inégalité. La conception est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et aux plans de coordonnées :

L'origine du terme « ellipsoïde » est également évidente : si la surface est « coupée » par des plans de coordonnées, alors les sections donneront trois différentes (dans le cas général)

Surfaces du deuxième ordre- ce sont des surfaces qui, dans un système de coordonnées rectangulaires, sont déterminées par des équations algébriques du deuxième degré.

1. Ellipsoïde.

L'équation (1) est appelée équation canonique d'un ellipsoïde.

Établissons la forme géométrique de l'ellipsoïde. Pour ce faire, considérons les sections de cet ellipsoïde par des plans parallèles au plan Oxy. Chacun de ces plans est déterminé par une équation de la forme z=h, Où h– n'importe quel nombre, et la droite obtenue dans la section est déterminée par deux équations

Etudions les équations (2) pour différentes valeurs h .

d'où il s'ensuit que l'avion z=h coupe l'ellipsoïde le long d'une ellipse avec des demi-axes

Une image similaire est obtenue lorsqu'une surface donnée est coupée par des plans parallèles aux plans de coordonnées Oxz Et Oyz.

Ainsi, les coupes considérées permettent de représenter l'ellipsoïde comme une surface ovale fermée (Fig. 156). Quantités une, b, c sont appelés arbres d'essieu ellipsoïde. Au cas où a=b=c l'ellipsoïde est sphéroème.

2. Hyperboloïde à bande unique.

L’équation (3) est appelée équation canonique d’un hyperboloïde à bande unique.

Définissons le type de surface (3). Pour ce faire, considérons une section de ses plans de coordonnées Oxy (y=0)EtOyx (x=0). On obtient donc les équations

Considérons maintenant les sections de cet hyperboloïde par des plans z=h parallèles au plan de coordonnées Oxy. La ligne résultante dans la section est déterminée par les équations

d'où il résulte que le plan z=h coupe l'hyperboloïde le long d'une ellipse à demi-axes

atteignant leurs valeurs les plus basses à h=0, c'est-à-dire dans la section de cet hyperboloïde, l'axe de coordonnées Oxy produit la plus petite ellipse de demi-axes a*=a et b*=b. Avec une augmentation infinie

Ainsi, les coupes considérées permettent de représenter un hyperboloïde monobande en forme de tube infini, s'étendant à l'infini à mesure qu'il s'éloigne (des deux côtés) du plan Oxy.

Les quantités a, b, c sont appelées les demi-axes d'un hyperboloïde monobande.

3. Hyperboloïde à deux feuilles.

Un hyperboloïde à deux feuilles est une surface qui, dans un système de coordonnées rectangulaires, est définie par l'équation

L'équation (5) est appelée l'équation canonique d'un hyperboloïde à deux feuilles.

Établissons l'aspect géométrique de la surface (5). Pour ce faire, considérons ses sections par les plans de coordonnées Oxy et Oyz. On obtient donc les équations

d'où il résulte que les sections donnent des hyperboles.

Considérons maintenant les sections de cet hyperboloïde par des plans z=h parallèles au plan de coordonnées Oxy. La droite obtenue dans la section est déterminée par les équations

d'où il résulte que lorsque

Les quantités a, b et c sont appelées les demi-axes d'un hyperboloïde à deux feuillets.

4. Paraboloïde elliptique.

Un paraboloïde elliptique est une surface qui, dans un système de coordonnées rectangulaires, est définie par l'équation

où p>0 et q>0.

L'équation (7) est appelée l'équation canonique d'un paraboloïde elliptique.

Considérons des coupes de cette surface par les plans de coordonnées Oxy et Oyz. On obtient donc les équations

d'où il résulte que les sections donnent des paraboles symétriques par rapport à l'axe Oz, avec des sommets à l'origine.

(8)<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

d'où il résulte qu'à . À mesure que h augmente, les valeurs de a et b augmentent également ; à h=0 l'ellipse dégénère en point (le plan z=0 touche l'hyperboloïde donné). À h

Ainsi, les coupes considérées permettent de représenter un paraboloïde elliptique en forme de bol infiniment convexe.

Le point (0;0;0) est appelé le sommet du paraboloïde ; les nombres p et q sont ses paramètres.

5. Dans le cas de p=q, l'équation (8) définit un cercle de centre sur l'axe Oz, c'est-à-dire un paraboloïde elliptique peut être considéré comme une surface formée par la rotation d'une parabole autour de son axe (paraboloïde de révolution).

Un paraboloïde hyperbolique est une surface qui, dans un système de coordonnées rectangulaires, est définie par l'équation

Les étudiants rencontrent le plus souvent des surfaces de 2ème ordre en première année. Au début, les problèmes sur ce sujet peuvent sembler simples, mais à mesure que vous étudiez les mathématiques supérieures et que vous approfondissez le côté scientifique, vous pouvez finalement perdre la trace de ce qui se passe. Pour que cela ne se produise pas, vous devez non seulement mémoriser, mais comprendre comment telle ou telle surface est obtenue, comment les changements de coefficients l'affectent et son emplacement par rapport au système de coordonnées d'origine, et comment trouver un nouveau système (un dans lequel son centre coïncide avec les coordonnées d'origine, mais parallèle à l'un des axes de coordonnées). Commençons par le tout début.

Définition

Une surface du 2ème ordre est appelée GMT dont les coordonnées satisfont à l'équation générale de la forme suivante :

Il est clair que chaque point appartenant à la surface doit avoir trois coordonnées sur une base désignée. Bien que dans certains cas, le lieu des points puisse dégénérer, par exemple, en un plan. Cela signifie simplement que l'une des coordonnées est constante et égale à zéro sur toute la plage de valeurs admissibles.

La forme écrite complète de l’égalité ci-dessus ressemble à ceci :

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm sont des constantes, x, y, z sont des variables correspondant aux coordonnées affines d'un point. Dans ce cas, au moins un des facteurs constants ne doit pas être égal à zéro, c'est-à-dire qu'aucun point ne correspondra à l'équation.

Dans la grande majorité des exemples, de nombreux facteurs numériques sont toujours identiques à zéro et l’équation est considérablement simplifiée. En pratique, déterminer si un point appartient à une surface n'est pas difficile (il suffit de substituer ses coordonnées dans l'équation et de vérifier si l'identité est vraie). Le point clé d’un tel travail est d’amener ce dernier à une forme canonique.

L'équation écrite ci-dessus définit toutes les surfaces du 2ème ordre (toutes répertoriées ci-dessous). Regardons des exemples ci-dessous.

Types de surfaces de 2ème ordre

Les équations des surfaces du 2ème ordre ne diffèrent que par les valeurs des coefficients A nm. A partir de la forme générale, à certaines valeurs des constantes, on peut obtenir diverses surfaces, classées comme suit :

1. Cylindres.
2. Type elliptique.
3. Type hyperbolique.
4. Type conique.
5. Type parabolique.
6. Avions.

Chacun des types répertoriés a une forme naturelle et imaginaire : dans la forme imaginaire, le lieu des points réels soit dégénère en une figure plus simple, soit est totalement absent.

Cylindres

Il s'agit du type le plus simple, car la courbe relativement complexe se situe uniquement à la base et sert de guide. Les générateurs sont des lignes droites perpendiculaires au plan dans lequel se trouve la base.

Le graphique montre un cylindre circulaire, un cas particulier de cylindre elliptique. Dans le plan XY, sa projection sera une ellipse (dans notre cas, un cercle) - un guide, et dans XZ - un rectangle - puisque les génératrices sont parallèles à l'axe Z. Pour l'obtenir à partir de l'équation générale, c'est. Il faut donner les valeurs suivantes aux coefficients :

Au lieu des notations habituelles x, y, z, des x avec un numéro de série sont utilisés - cela n'a aucune signification.

En fait, 1/a 2 et les autres constantes indiquées ici sont les mêmes coefficients indiqués dans l'équation générale, mais il est d'usage de les écrire exactement sous cette forme - c'est la représentation canonique. Dans ce qui suit, cette entrée sera utilisée exclusivement.

Ceci définit un cylindre hyperbolique. Le schéma est le même : l’hyperbole servira de guide.

Un cylindre parabolique est défini légèrement différemment : sa forme canonique comprend un coefficient p, appelé paramètre. En fait, le coefficient est q=2p, mais il est d'usage de le diviser selon les deux facteurs présentés.

Il existe un autre type de cylindre : imaginaire. Aucun intérêt réel n’appartient à un tel cylindre. Il est décrit par l'équation d'un cylindre elliptique, mais au lieu d'un, il y a -1.

Type elliptique

L'ellipsoïde peut être étiré le long d'un des axes (le long duquel il dépend des valeurs des constantes a, b, c indiquées ci-dessus ; évidemment, le plus grand axe correspondra à un coefficient plus grand).

Il existe aussi un ellipsoïde imaginaire - à condition que la somme des coordonnées multipliée par les coefficients soit égale à -1 :

Hyperboloïdes

Lorsqu'un moins apparaît dans l'une des constantes, l'équation de l'ellipsoïde se transforme en équation d'un hyperboloïde à feuille unique. Il faut comprendre que ce moins ne doit pas nécessairement être situé devant la coordonnée x3 ! Il détermine uniquement lequel des axes sera l'axe de rotation de l'hyperboloïde (ou parallèle à celui-ci, puisque lorsque des termes supplémentaires apparaissent dans le carré (par exemple, (x-2) 2), le centre de la figure se déplace, comme par conséquent, la surface se déplace parallèlement aux axes de coordonnées). Ceci s'applique à toutes les surfaces du 2ème ordre.

De plus, il faut comprendre que les équations sont présentées sous forme canonique et qu'elles peuvent être modifiées en faisant varier les constantes (tout en conservant le signe !) ; en même temps, leur apparence (hyperboloïde, cône, etc.) restera la même.

Une telle équation est donnée par un hyperboloïde à deux feuilles.

Surface conique

Dans l’équation du cône, il n’y a pas d’unité – elle est égale à zéro.

Seule une surface conique limitée est appelée cône. L'image ci-dessous montre qu'en fait, il y aura deux soi-disant cônes sur la carte.

Remarque importante : dans toutes les équations canoniques considérées, les constantes sont supposées positives par défaut. Sinon, le signe peut affecter le graphique final.

Les plans de coordonnées deviennent les plans de symétrie du cône, le centre de symétrie se situe à l'origine.

Dans l’équation d’un cône imaginaire, il n’y a que des plus ; il possède un seul point réel.

Paraboloïdes

Les surfaces du 2ème ordre dans l'espace peuvent prendre des formes différentes même avec des équations similaires. Par exemple, les paraboloïdes sont de deux types.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Un paraboloïde elliptique, lorsque l'axe Z est perpendiculaire au dessin, sera projeté dans une ellipse.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

Paraboloïde hyperbolique : dans les sections avec des plans parallèles à ZY, on obtiendra des paraboles, et dans les sections avec des plans parallèles à XY, on obtiendra des hyperboles.

Plans qui se croisent

Il existe des cas où les surfaces du 2ème ordre dégénèrent dans le plan. Ces avions peuvent être disposés de différentes manières.

Regardons d'abord les plans qui se croisent :

x 2 /une 2 -y 2 /b 2 =0

Avec cette modification de l'équation canonique, on obtient simplement deux plans sécants (imaginaires !) ; tous les points réels sont situés sur l'axe de la coordonnée absente dans l'équation (dans l'équation canonique - l'axe Z).

Plans parallèles

S'il n'y a qu'une seule coordonnée, les surfaces du 2ème ordre dégénèrent en une paire de plans parallèles. N'oubliez pas que toute autre variable peut prendre la place du joueur ; alors des plans parallèles aux autres axes seront obtenus.

Dans ce cas, ils deviennent imaginaires.

Avions coïncidents

Avec une équation aussi simple, deux plans dégénèrent en un seul - ils coïncident.

N'oubliez pas que dans le cas d'une base tridimensionnelle, l'équation ci-dessus ne précise pas la droite y=0 ! Il manque les deux autres variables, mais cela signifie simplement que leur valeur est constante et égale à zéro.

Construction

L'une des tâches les plus difficiles pour un étudiant est précisément la construction de surfaces de 2ème ordre. Il est encore plus difficile de passer d'un système de coordonnées à un autre, compte tenu des angles d'inclinaison de la courbe par rapport aux axes et du décalage du centre. Répétons comment déterminer systématiquement l'apparence future d'un dessin de manière analytique.

Pour construire une surface du 2ème ordre, il faut :

• amener l'équation à une forme canonique ;
• déterminer le type de surface étudiée;
• construire basé sur les valeurs des coefficients.

Vous trouverez ci-dessous tous les types considérés :

Pour renforcer cela, nous décrirons en détail un exemple de ce type de tâche.

Exemples

Disons que nous avons l'équation :

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Mettons-le sous forme canonique. Sélectionnons des carrés complets, c'est-à-dire que nous organiserons les termes existants de telle manière qu'ils constituent une décomposition du carré de la somme ou de la différence. Par exemple : si (a+1) 2 =a 2 +2a+1, alors a 2 +2a+1=(a+1) 2. Nous effectuerons une deuxième opération. Dans ce cas, il n'est pas nécessaire d'ouvrir les parenthèses, car cela ne ferait que compliquer les calculs, mais il faut supprimer le facteur commun 6 (entre parenthèses avec le carré plein du jeu) :

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

La variable zet n'apparaît dans ce cas qu'une seule fois - vous pouvez la laisser tranquille pour l'instant.

Analysons l'équation à ce stade : toutes les inconnues sont précédées d'un signe plus ; Diviser par six laisse un. Par conséquent, nous avons devant nous une équation définissant un ellipsoïde.

Notez que 144 a été pris en compte dans 150-6, puis -6 a été déplacé vers la droite. Pourquoi fallait-il procéder de cette façon ? Évidemment, le plus grand diviseur dans cet exemple est -6, donc, pour qu'une unité reste à droite après avoir été divisée par lui, il faut « mettre de côté » exactement 6 sur 144 (le fait que l'unité soit sur le droit est indiqué par la présence d'un terme libre - une constante non multipliée par l'inconnu).

Divisons le tout par six et obtenons l'équation canonique de l'ellipsoïde :

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

Dans la classification des surfaces du 2ème ordre précédemment utilisée, un cas particulier est considéré lorsque le centre de la figure est à l'origine des coordonnées. Dans cet exemple, il est décalé.

Nous supposons que chaque tranche avec des inconnues est une nouvelle variable. Soit : a=x-1, b=y+5, c=z. Dans les nouvelles coordonnées, le centre de l'ellipsoïde coïncide avec le point (0,0,0), donc a=b=c=0, d'où : x=1, y=-5, z=0. Dans les coordonnées initiales, le centre de la figure se situe au point (1,-5,0).

L'ellipsoïde sera obtenu à partir de deux ellipses : la première dans le plan XY et la seconde dans le plan XZ (ou YZ - peu importe). Les coefficients par lesquels les variables sont divisées sont au carré dans l'équation canonique. Par conséquent, dans l’exemple ci-dessus, il serait plus correct de diviser par la racine de deux, un et la racine de trois.

Le petit axe de la première ellipse, parallèle à l'axe Y, est égal à deux. Le grand axe est parallèle à l’axe X – deux racines de deux. Le petit axe de la deuxième ellipse, parallèle à l'axe Y, reste le même : il est égal à deux. Et le grand axe, parallèle à l’axe Z, est égal à deux racines de trois.

En utilisant les données obtenues à partir de l’équation originale en la convertissant sous forme canonique, nous pouvons dessiner un ellipsoïde.

En résumé

Le sujet abordé dans cet article est assez vaste, mais en réalité, comme vous pouvez le constater maintenant, il n’est pas très compliqué. Son développement, en effet, se termine au moment où l'on mémorise les noms et les équations des surfaces (et, bien sûr, à quoi elles ressemblent). Dans l'exemple ci-dessus, nous avons examiné chaque étape en détail, mais amener l'équation sous forme canonique nécessite des connaissances minimales en mathématiques supérieures et ne devrait poser aucune difficulté à l'étudiant.

Analyser le futur calendrier sur la base de l’égalité existante est une tâche plus difficile. Mais pour réussir à le résoudre, il suffit de comprendre comment sont construites les courbes correspondantes du second ordre - ellipses, paraboles et autres.

Les cas de dégénérescence constituent une section encore plus simple. En raison de l'absence de certaines variables, non seulement les calculs sont simplifiés, comme mentionné précédemment, mais également la construction elle-même.

Dès que vous pourrez nommer en toute confiance tous les types de surfaces, faire varier les constantes, transformer un graphique en une forme ou une autre, le sujet sera maîtrisé.

Bonne chance dans tes études !