Ministère de l'Éducation de la Fédération de Russie

Établissement d'enseignement municipal

"École secondaire n°22"

Équations quadratiques et d'ordre supérieur

Complété:

Elèves de 8e classe "B"

Kuznetsov Evgeniy et Rudi Alexey

Superviseur:

Zenina Alevtina Dmitrievna

professeur de mathématiques

Introduction

1.1 Équations dans l'ancienne Babylone

1.2 Équations arabes

1.3 Équations en Inde

Chapitre 2. Théorie des équations quadratiques et des équations d'ordre supérieur

2.1 Notions de base

2.2 Formules pour coefficient pair en x

2.3 Théorème de Vieta

2.4 Équations quadratiques de nature particulière

2.5 Théorème de Vieta pour les polynômes (équations) de degrés supérieurs

2.6 Équations réductibles au quadratique (biquadratique)

2.7 Etude des équations biquadratiques

2.8 Formules Cordano

2.9 Équations symétriques du troisième degré

2.10 Équations réciproques

2.11 Schéma Horner

Conclusion

Liste de la littérature utilisée

Annexe 1

Annexe 2

Annexe 3

Introduction

Les équations occupent une place prépondérante dans le cours d'algèbre scolaire. Plus de temps est consacré à leur étude qu’à tout autre sujet. En effet, les équations ont non seulement une signification théorique importante, mais servent également à des fins purement pratiques. La grande majorité des problèmes liés aux formes spatiales et aux relations quantitatives dans le monde réel se résume à la résolution de divers types d'équations. En maîtrisant les moyens de les résoudre, nous trouvons des réponses à diverses questions issues de la science et de la technologie (transports, agriculture, industrie, communications, etc.).

Dans cet essai, je voudrais afficher des formules et des méthodes pour résoudre diverses équations. A cet effet, sont données des équations qui ne sont pas étudiées dans le programme scolaire. Il s'agit principalement d'équations de nature particulière et d'équations de degrés supérieurs. Pour développer ce sujet, des preuves de ces formules sont données.

Objectifs de notre essai :

Améliorer les compétences en résolution d’équations

Développer de nouvelles façons de résoudre des équations

Apprenez de nouvelles façons et formules pour résoudre ces équations.

L'objet d'étude est l'algèbre élémentaire. L'objet d'étude est les équations. Le choix de ce sujet s'est basé sur le fait que les équations sont incluses à la fois dans le programme primaire et dans chaque niveau ultérieur des écoles secondaires, des lycées et des collèges. De nombreux problèmes géométriques, problèmes de physique, de chimie et de biologie sont résolus à l'aide d'équations. Les équations ont été résolues il y a vingt-cinq siècles. Ils sont encore créés aujourd'hui - à la fois pour être utilisés dans le processus éducatif et pour les concours dans les universités, pour les olympiades du plus haut niveau.

Chapitre 1. Historique des équations quadratiques et d'ordre supérieur

1.1 Équations dans l'ancienne Babylone

L'algèbre est née de la résolution de divers problèmes à l'aide d'équations. Généralement, les problèmes nécessitent de trouver une ou plusieurs inconnues, tout en connaissant les résultats de certaines actions effectuées sur les quantités souhaitées et données. De tels problèmes se résument à résoudre une ou un système de plusieurs équations, à trouver celles requises à l'aide d'opérations algébriques sur des quantités données. L'algèbre étudie les propriétés générales des opérations sur les quantités.

Certaines techniques algébriques permettant de résoudre des équations linéaires et quadratiques étaient connues il y a 4 000 ans dans l'ancienne Babylone. La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans les temps anciens, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies de terrains et de travaux fonciers à caractère militaire, ainsi que avec le développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Comme mentionné précédemment, les Babyloniens ont pu résoudre les équations quadratiques vers 2000 avant JC. En utilisant la notation algébrique moderne, nous pouvons dire que des équations quadratiques incomplètes et complètes apparaissent dans leurs textes cunéiformes.

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec les règles modernes, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés.

Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre une équation quadratique.

1.2 Équations arabes

Certaines méthodes permettant de résoudre des équations quadratiques et d'ordre supérieur ont été développées par les Arabes. Ainsi, le célèbre mathématicien arabe Al-Khorezmi a décrit dans son livre « Al-Jabar » de nombreuses façons de résoudre diverses équations. Leur particularité était qu'Al-Khorezmi utilisait des radicaux complexes pour trouver les racines (solutions) des équations. La nécessité de résoudre de telles équations s’imposait dans les questions de partage de l’héritage.

1.3 Équations en Inde

Des équations quadratiques ont également été résolues en Inde. Des problèmes sur les équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité astronomique « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a posé une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme conique :

aх² + bx= c, où a > 0

Dans cette équation, les coefficients, sauf a, peuvent être négatifs. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

Dans l’Inde ancienne, les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants. Un vieux livre indien dit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi un homme érudit éclipsera la gloire d’un autre dans les assemblées publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

Diverses équations, à la fois quadratiques et de degrés supérieurs, ont été résolues par nos lointains ancêtres. Ces équations ont été résolues dans des pays très différents et lointains. Le besoin d’équations était grand. Les équations étaient utilisées dans la construction, dans les affaires militaires et dans des situations quotidiennes.

Chapitre 2. Équations quadratiques et équations d'ordre supérieur

2.1 Notions de base

Une équation quadratique est une équation de la forme

où les coefficients a, b, c sont des nombres réels et a ≠ 0.

Une équation quadratique est dite réduite si son coefficient dominant est 1.

Exemple :

x2 + 2x + 6 = 0.

Une équation quadratique est dite non réduite si le coefficient dominant est différent de 1.

Exemple :

2x2 + 8x + 3 = 0.

Une équation quadratique complète est une équation quadratique dans laquelle les trois termes sont présents, autrement dit, c'est une équation dans laquelle les coefficients b et c sont non nuls.

Exemple :

3x2 + 4x + 2 = 0.

Une équation quadratique incomplète est une équation quadratique dans laquelle au moins un coefficient b, c est égal à zéro.

Ainsi, il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes :

1) ax² = 0 (a deux racines coïncidentes x = 0).

2) ax² + bx = 0 (a deux racines x 1 = 0 et x 2 = -)

Exemple :

x1 = 0, x2 = -5.

Répondre: x 1 =0, x 2 = -5.

Si -<0 - уравнение не имеет корней.

Exemple :

Répondre: L'équation n'a pas de racines.

Si –> 0, alors x 1,2 = ±

Exemple :

Répondre: x 1,2 = ±

Toute équation quadratique peut être résolue à l'aide du discriminant (b² - 4ac). Habituellement, l'expression b² - 4ac est désignée par la lettre D et est appelée le discriminant de l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 (ou le discriminant des trois termes quadratiques ax² + bx + c)

Exemple :

x2 +14x – 23 = 0

D = b2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x2 =

Répondre: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Selon le discriminant, l'équation peut ou non avoir une solution.

1) Si D< 0, то не имеет решения.

2) Si D = 0, alors l'équation a deux solutions coïncidentes x 1,2 =

3) Si D > 0, alors il a deux solutions trouvées selon la formule :

x 1,2 =

2.2 Formules pour coefficient pair en x

Nous sommes habitués au fait que les racines d'une équation quadratique

ax² + bx + c = 0 sont trouvés par la formule

x 1,2 =

Mais les mathématiciens ne laisseront jamais passer l’occasion de faciliter leurs calculs. Ils ont constaté que cette formule peut être simplifiée dans le cas où le coefficient b est b = 2k, notamment si b est un nombre pair.

En fait, soit le coefficient b de l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 b = 2k. En substituant le nombre 2k au lieu de b dans notre formule, nous obtenons :

Ainsi, les racines de l'équation quadratique ax² + 2kx + c = 0 peuvent être calculées à l'aide de la formule :

x 1,2 =

Exemple :

5x2 - 2x + 1 = 0

L'avantage de cette formule est que ce n'est pas le nombre b qui est au carré, mais sa moitié ; ce n'est pas 4ac qu'on soustrait à ce carré, mais simplement ac, et, enfin, que le dénominateur contient non pas 2a, mais simplement a. .

Si l'équation quadratique est réduite, alors notre formule ressemblera à ceci :

Exemple :

x2 – 4x + 3 = 0

Répondre: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Théorème de Vieta

Une propriété très intéressante des racines d'une équation quadratique a été découverte par le mathématicien français François Viète. Cette propriété s'appelle le théorème de Vieta :

Pour que les nombres x 1 et x 2 soient les racines de l'équation :

ax² + bx + c = 0

il est nécessaire et suffisant pour réaliser l'égalité

x 1 + x 2 = -b/a et x 1 x 2 = c/a

Le théorème de Vieta permet de juger des signes et de la valeur absolue d'une équation quadratique

x² + bx + c = 0

1. Si b>0, c>0 alors les deux racines sont négatives.

2. Si b<0, c>0 alors les deux racines sont positives.

3. Si b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Si b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Équations quadratiques de nature particulière

1) Si a + b + c = 0 dans l'équation ax² + bx + c = 0, alors

x 1 = 1, et x 2 = .

Preuve :

Dans l'équation ax² + bx + c = 0, ses racines

x 1,2 = (1).

Représentons b à partir de l'égalité a + b + c = 0

Remplaçons cette expression dans la formule (1) :

=

Si l’on considère séparément les deux racines de l’équation, on obtient :

1) x 1 =

2)x2 =

Il s'ensuit : x 1 = 1, et x 2 =.

1. Exemple :

2x² - 3x + 1 = 0

une = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, donc

2. Exemple :

418x² - 1254x + 836 = 0

Cet exemple est très difficile à résoudre à l’aide d’un discriminant, mais connaissant la formule ci-dessus, il peut être facilement résolu.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x1 = 1x2 = 2

2) Si a - b + c = 0, dans l'équation ax² + bx + c = 0, alors :

x 1 =-1 et x 2 =-.

Preuve :

Considérons l'équation ax² + bx + c = 0, il s'ensuit que :

x 1,2 = (2).

Représentons b à partir de l'égalité a - b + c = 0

b = a + c, remplacer dans la formule (2) :

=

On obtient deux expressions :

1) x 1 =

2)x2 =

Cette formule est similaire à la précédente, mais elle est aussi importante car... Les exemples de ce type sont courants.

1) Exemple :

2x² + 3x + 1 = 0

une = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, donc

2)Exemple :

Répondre: x 1 = -1 ; x2 = -

3) Méthode « transferts ”

Les racines des équations quadratiques y² + by + ac = 0 et ax² + bx + c = 0 sont liées par les relations suivantes :

x 1 = et x 2 =

Preuve :

a) Considérons l'équation ax² + bx + c = 0

x 1,2 = =

b) Considérons l'équation y² + by + ac = 0

oui 1,2 =

Notez que les discriminants des deux solutions sont égaux ; comparons les racines de ces deux équations. Ils diffèrent les uns des autres par un facteur déterminant, les racines de la première équation sont inférieures aux racines de la seconde par a. En utilisant le théorème de Vieta et la règle ci-dessus, il n'est pas difficile de résoudre diverses équations.

Exemple :

Nous avons une équation quadratique arbitraire

10x² - 11x + 3 = 0

Transformons cette équation selon la règle donnée

y² - 11a + 30 = 0

Nous obtenons l’équation quadratique réduite, qui peut être résolue assez facilement à l’aide du théorème de Vieta.

Soient y 1 et y 2 les racines de l'équation y² - 11y + 30 = 0

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

oui 1 + oui 2 = 11 oui 2 = 5

Sachant que les racines de ces équations diffèrent les unes des autres par a, alors

x1 = 6/10 = 0,6

x2 = 5/10 = 0,5

Dans certains cas, il est pratique de résoudre d'abord non pas l'équation donnée ax² + bx + c = 0, mais la réduction y² + by + ac = 0, qui est obtenue à partir du coefficient de « transfert » donné a, puis de diviser le résultat trouvé racines par a pour trouver l’équation originale.

2.5 Formule Vieta pour les polynômes (équations) de degrés supérieurs

Les formules dérivées de Viète pour les équations quadratiques sont également vraies pour les polynômes de degrés supérieurs.

Laissez le polynôme

P(x) = une 0 x n + une 1 x n -1 + … +une n

A n racines différentes x 1, x 2..., x n.

Dans ce cas, il a une factorisation de la forme :

une 0 x n + une 1 x n-1 +…+ une n = une 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Divisons les deux côtés de cette égalité par a 0 ≠ 0 et ouvrons les parenthèses dans la première partie. On obtient l'égalité :

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Mais deux polynômes sont identiquement égaux si et seulement si les coefficients de mêmes puissances sont égaux. Il s'ensuit que l'égalité

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Par exemple, pour les polynômes du troisième degré

une 0 x³ + une 1 x² + une 2 x + une 3

Nous avons des identités

x1 + x2 + x3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x1x2x3 = -

Comme pour les équations quadratiques, cette formule est appelée formule de Vieta. Les membres de gauche de ces formules sont des polynômes symétriques à partir des racines x 1, x 2 ..., x n de cette équation, et les membres de droite sont exprimés par le coefficient du polynôme.

2.6 Équations réductibles au quadratique (biquadratique)

Les équations du quatrième degré se réduisent à des équations quadratiques :

hache 4 + bx 2 + c = 0,

appelé biquadratique, et a ≠ 0.

Il suffit de mettre x 2 = y dans cette équation, donc,

ay² + par + c = 0

trouvons les racines de l'équation quadratique résultante

oui 1,2 =

Pour trouver immédiatement les racines x 1, x 2, x 3, x 4, remplacez y par x et obtenez

x² =

x1,2,3,4 = .

Si une équation du quatrième degré a x 1, alors elle a aussi une racine x 2 = -x 1,

Si a x 3, alors x 4 = - x 3. La somme des racines d’une telle équation est nulle.

Exemple :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Remplaçons l'équation dans la formule des racines des équations biquadratiques :

x1,2,3,4 = ,

sachant que x 1 = -x 2, et x 3 = -x 4, alors :

x 3,4 =

Répondre: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Etude des équations biquadratiques

Prenons l'équation biquadratique

hache 4 + bx 2 + c = 0,

où a, b, c sont des nombres réels, et a > 0. En introduisant l'inconnue auxiliaire y = x², on examine les racines de cette équation et on inscrit les résultats dans le tableau (voir annexe n°1)

2.8 Formule Cardano

Si nous utilisons le symbolisme moderne, la dérivation de la formule de Cardano peut ressembler à ceci :

X =

Cette formule détermine les racines d'une équation générale du troisième degré :

hache 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Cette formule est très lourde et complexe (elle contient plusieurs radicaux complexes). Cela ne s'appliquera pas toujours, parce que... très difficile à remplir.

2.9 Équations symétriques du troisième degré

Les équations symétriques du troisième degré sont des équations de la forme

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )

où a et b reçoivent des nombres, avec a¹0.

Montrons comment l'équation ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – une)x + une).

On trouve que l'équation ( 1 ) est équivalent à l’équation

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

Cela signifie que ses racines seront les racines de l'équation

ax² +(b – a)x + a = 0

et nombre x = -1

l'équation ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + hache + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

1) Exemple :

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

Il est clair que x 1 = 1, et

x 2 et x 3 racines de l'équation 2x² + 5x + 2 = 0,

Trouvons-les grâce au discriminant :

x 1,2 =

x2 = -, x3 = -2

2) Exemple :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

Il est clair que x 1 = -1, et

x 2 et x 3 racines de l'équation 5x² + 26x + 5 = 0,

Trouvons-les grâce au discriminant :

x 1,2 =

x2 = -5, x3 = -0,2.

2.10 Équations réciproques

Équation réciproque – équation algébrique

une 0 x n + une 1 x n – 1 + … + une n – 1 x + une n =0,

dans laquelle a k = a n – k, où k = 0, 1, 2…n, et a ≠ 0.

Le problème de trouver les racines d'une équation réciproque se réduit au problème de trouver des solutions à une équation algébrique d'un degré inférieur. Le terme équations réciproques a été introduit par L. Euler.

Équation du quatrième degré de la forme :

hache 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Réduire cette équation à la forme

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, et y = x + m/x et y² - 2m = x² + m²/x²,

d'où l'équation se réduit à quadratique

ay² + par + (c-2h) = 0.

3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0

Le diviser par x 2 donne l'équation équivalente

3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, ou

Où et

3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, d'où

y 1 = y 2 = -2, donc

Et d'où

Réponse : x 1,2 = x 3,4 = .

Un cas particulier d'équations réciproques sont les équations symétriques. Nous avons parlé plus tôt des équations symétriques du troisième degré, mais il existe des équations symétriques du quatrième degré.

Équations symétriques du quatrième degré.

1) Si m = 1, alors il s'agit d'une équation symétrique de première espèce, de la forme

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 et résolu par une nouvelle substitution

2) Si m = -1, alors il s'agit d'une équation symétrique du deuxième type, ayant la forme

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 et résolu par une nouvelle substitution

2.11 Circuit Horner

Pour diviser des polynômes, la règle de « division par angle », ou schéma de Horner, est utilisée . A cet effet, les polynômes sont classés par degrés décroissants X et trouvez le terme principal du quotient Q(x) à partir de la condition selon laquelle lorsqu'il est multiplié par le terme principal du diviseur D(x), le terme principal du dividende P(x) est obtenu. Le terme trouvé du quotient est multiplié, puis par le diviseur et soustrait du dividende. Le terme principal du quotient est déterminé à partir de la condition selon laquelle, multiplié par le terme principal du diviseur, il donne le terme principal du polynôme différence, etc. Le processus se poursuit jusqu'à ce que le degré de la différence soit inférieur au degré du diviseur (voir annexe n°2).

Dans le cas des équations R = 0, cet algorithme est remplacé par le schéma de Horner.

Exemple :

x3 + 4x2 + x – 6 = 0

Trouver les diviseurs du terme libre ±1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 6.

Notons le côté gauche de l'équation par f(x). Évidemment, f(1) = 0, x1 = 1. Divisez f(x) par x – 1. (voir annexe n° 3)

x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)

On note le dernier facteur Q(x). Nous résolvons l'équation Q(x) = 0.

x 2,3 =

Répondre : 1; -2; -3.

Dans ce chapitre, nous avons donné quelques formules pour résoudre diverses équations. La plupart de ces formules permettent de résoudre des équations partielles. Ces propriétés sont très pratiques car il est beaucoup plus facile de résoudre des équations en utilisant une formule distincte pour cette équation plutôt qu'en utilisant le principe général. Nous avons fourni une preuve et plusieurs exemples pour chaque méthode.

Conclusion

Le premier chapitre a examiné l'histoire de l'émergence des équations quadratiques et des équations d'ordre supérieur. Diverses équations ont été résolues il y a plus de 25 siècles. De nombreuses méthodes permettant de résoudre de telles équations ont été créées à Babylone, en Inde. Il y a eu et il y aura toujours un besoin d’équations.

Le deuxième chapitre présente différentes manières de résoudre (trouver les racines) des équations quadratiques et des équations d'ordre supérieur. Fondamentalement, ce sont des méthodes permettant de résoudre des équations d'une nature particulière, c'est-à-dire que pour chaque groupe d'équations unies par des propriétés ou un type communs, une règle spéciale est donnée qui s'applique uniquement à ce groupe d'équations. Cette méthode (sélectionner votre propre formule pour chaque équation) est beaucoup plus simple que de trouver des racines via un discriminant.

Dans ce résumé, tous les objectifs ont été atteints et les tâches principales ont été accomplies, de nouvelles formules jusqu'alors inconnues ont été éprouvées et apprises. Nous avons travaillé sur de nombreuses variantes d'exemples avant de les inclure dans le résumé, nous avons donc déjà une idée de la façon de résoudre certaines équations. Chaque solution nous sera utile dans des études ultérieures. Cet essai a aidé à classer les anciennes connaissances et à en apprendre de nouvelles.

Références

1. Vilenkin N.Ya. "Algèbre pour la 8e année", M., 1995.

2. Galitski M.L. « Recueil de problèmes d'algèbre », M. 2002.

3. Daan-Dalmedico D. « Chemins et labyrinthes », M., 1986.

4. Zvavich L.I. « Algèbre 8e année », M., 2002.

5. Kushnir I.A. «Équations», Kyiv 1996.

6. Savin Yu.P. « Dictionnaire encyclopédique d'un jeune mathématicien », M., 1985.

7. Mordkovitch A.G. « Algèbre 8e année », M., 2003.

8. Khudobin A.I. « Recueil de problèmes d'algèbre », M., 1973.

9. Sharygin I.F. « Cours optionnel d'algèbre », M., 1989.

Annexe 1

Etude des équations biquadratiques

Annexe 2

Diviser un polynôme en un polynôme à l'aide d'un coin

Annexe 3

Schéma Horner

 Des représentants de diverses civilisations : l'Égypte ancienne, l'ancienne Babylone, la Grèce antique, l'Inde ancienne, la Chine ancienne, l'Orient médiéval, l'Europe maîtrisaient les techniques de résolution d'équations quadratiques.

Pour la première fois, les mathématiciens de l’Égypte ancienne étaient capables de résoudre une équation quadratique. L'un des papyrus mathématiques contient le problème suivant :

"Trouvez les côtés d'un champ en forme de rectangle si son aire est de 12 et ses longueurs sont égales à sa largeur." « La longueur du champ est de 4 », précise le papyrus.

Des millénaires ont passé et les nombres négatifs sont entrés dans l'algèbre. En résolvant l'équation x²= 16, nous obtenons deux nombres : 4, –4.

 Bien sûr, dans le problème égyptien on prendrait X = 4, puisque la longueur du corps ne peut être qu'une quantité positive.

Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les scientifiques anciens disposaient de techniques générales pour résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. La règle de résolution des équations quadratiques exposée dans les textes babyloniens est essentiellement la même que la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens « sont arrivés jusqu’ici ». Mais dans presque tous les papyrus et textes cunéiformes trouvés, seuls les problèmes avec solutions sont donnés. Les auteurs n’accompagnaient qu’occasionnellement leurs calculs numériques de commentaires étriqués tels que : « Regardez ! », « Faites ceci ! », « Vous avez trouvé le bon ! »

Le mathématicien grec Diophante a composé et résolu des équations quadratiques. Son Arithmétique ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés.

Les problèmes de composition des équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité d'astronomie « Aria-bhatiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta.

Un autre scientifique indien, Brahmagupta (7e siècle), a exposé la règle générale pour résoudre les équations quadratiques de la forme ax² + bx = c.

​ Dans l'Inde ancienne, les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants. L’un des vieux livres indiens sur de telles compétitions dit ce qui suit : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi un homme érudit éclipsera la gloire d’un autre dans les assemblées publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars :

Un troupeau de singes fringants

Après avoir mangé à ma guise, je me suis bien amusé.

La huitième partie jouait dans la clairière de la place.

Et douze sur les vignes... se mirent à sauter, à se suspendre...​

Combien y avait-il de singes ?

Dis-moi, dans ce pack ?

​ La solution de Bhaskara montre qu'il savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs.

 Les textes mathématiques chinois les plus anciens qui nous soient parvenus remontent à la fin du Ier siècle. Colombie-Britannique Au IIe siècle. Colombie-Britannique Mathématiques en neuf livres a été écrit. Plus tard, au VIIe siècle, il fut inclus dans la collection des « Dix traités classiques », qui fut étudiée pendant plusieurs siècles. Mathématiques en neuf livres explique comment trouver la racine carrée en utilisant la formule du carré de la somme de deux nombres.

La méthode s'appelait « tian-yuan » (littéralement « élément céleste ») - c'est ainsi que les Chinois désignaient une quantité inconnue.​

 Le premier manuel de résolution de problèmes largement connu est l'œuvre du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Le mot «al-jabr» est devenu au fil du temps le mot bien connu «algèbre», et le travail d'al-Khorezmi lui-même est devenu le point de départ du développement de la science de la résolution des équations. Le traité algébrique d'Al-Khwarizmi donne une classification des équations linéaires et quadratiques. L'auteur dénombre six types d'équations, les exprimant ainsi :

-carrés égaux à des racines, c'est à dire, ah ² = bх;

-carrés en nombre égal, c'est à dire, ah ² = s;

-les racines sont égales au nombre, c'est-à-dire ax = c;

-les carrés et les nombres sont égaux aux racines, c'est à dire, ah ²+ с = bх;

-les carrés et les racines sont égaux au nombre, c'est à dire, ah ² + bх = с;

-les racines et les nombres sont égaux aux carrés, c'est-à-dire bx + c = hache ²;

Le traité d'Al-Khwarizmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et donne des formules pour leur solution.

Les formules de résolution d'équations quadratiques inspirées d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. L'auteur a développé indépendamment de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à introduire des nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du « Livre du Boulier » ont été inclus dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie du XVIIIe siècle.

Règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique x ² + bх = с, pour toutes les combinaisons possibles de signes des coefficients b et с n'a été formulé en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.

Vieta a une dérivation générale de la formule pour résoudre une équation quadratique, mais il n'a également reconnu que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives et négatives, elles sont prises en compte. Ce n'est qu'au XVIIe siècle, grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, que la méthode de résolution des équations quadratiques a pris sa forme moderne.

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1.1. De l'histoire de l'émergence des équations quadratiques

L'algèbre est née de la résolution de divers problèmes à l'aide d'équations. Généralement, les problèmes nécessitent de trouver une ou plusieurs inconnues, tout en connaissant les résultats de certaines actions effectuées sur les quantités souhaitées et données. De tels problèmes se résument à résoudre une ou un système de plusieurs équations, à trouver celles requises à l'aide d'opérations algébriques sur des quantités données. L'algèbre étudie les propriétés générales des opérations sur les quantités.

Certaines techniques algébriques permettant de résoudre des équations linéaires et quadratiques étaient connues il y a 4 000 ans dans l'ancienne Babylone.

Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies de terrains et aux travaux d'excavation à caractère militaire. comme pour le développement de l’astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les Babyloniens étaient capables de résoudre des équations quadratiques vers 2000 avant JC. En utilisant la notation algébrique moderne, on peut dire que dans leurs textes cunéiformes il y a, en plus des textes incomplets, comme par exemple des équations quadratiques complètes :

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés. Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

L'Arithmétique de Diophante ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés.

Lors de la composition d'équations, Diophante sélectionne habilement les inconnues pour simplifier la solution.

Voici par exemple l'une de ses tâches.

Problème 2. « Trouver deux nombres, sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96. »

Diophante raisonne comme suit : des conditions du problème, il s'ensuit que les nombres requis ne sont pas égaux, car s'ils étaient égaux, alors leur produit ne serait pas égal à 96, mais à 100. Ainsi, l'un d'eux sera supérieur à la moitié de leur somme, soit 10 + x. L'autre est inférieur, c'est-à-dire 10 - x. La différence entre eux est de 2x. D'où l'équation :

(10+x)(10-x) =96,

D'où x = 2. L'un des nombres requis est 12, l'autre est 8. La solution x = - 2 n'existe pas pour Diophante, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs.

Si vous résolvez ce problème en choisissant l'un des nombres requis comme inconnu, vous pouvez trouver une solution à l'équation :

Il est clair qu'en choisissant comme inconnue la demi-différence des nombres requis, Diophante simplifie la solution ; il parvient à réduire le problème à la résolution d'une équation quadratique incomplète.

Équations quadratiques en Inde

Des problèmes sur les équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité astronomique « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a esquissé une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

hache 2 + bx = c, a> 0. (1)

Dans l'équation (1), les coefficients peuvent également être négatifs. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

Les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants en Inde. Un vieux livre indien dit à propos de ces concours : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, de même un homme érudit éclipsera sa gloire dans les assemblées publiques en proposant et en résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars.

La solution de Bhaskara indique que l'auteur savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs.

L'équation correspondant au problème 3 est :

Bhaskara écrit sous couvert :

x2 - 64x = - 768

et, pour compléter le côté gauche de cette équation en un carré, ajoute 32 2 aux deux côtés, obtenant alors :

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Les équations quadratiques d'Al-Khwarizmi

Le traité algébrique d'Al-Khwarizmi donne une classification des équations linéaires et quadratiques. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax 2 = bx.

2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire hache 2 = c.

3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ax = c.

4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire ax 2 + c = bx.

5) « Les carrés et les racines sont égaux au nombre », c'est-à-dire ax 2 + bx = c.

6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c == ax 2.

Pour Al-Khwarizmi, qui a évité l’utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustraits. Dans ce cas, les équations qui n’ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte. L'auteur présente des méthodes pour résoudre ces équations en utilisant les techniques d'al-jabr et d'al-mukabal. Bien entendu, sa décision ne coïncide pas complètement avec la nôtre. Sans compter que c'est purement rhétorique, il faut noter par exemple que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type, Al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens jusqu'au XVIIe siècle, ne prend pas en compte la solution nulle, probablement parce que dans la pratique spécifique, cela n'a pas d'importance dans les tâches. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, Al-Khwarizmi expose les règles pour les résoudre à l'aide d'exemples numériques particuliers, puis leurs preuves géométriques.

Donnons un exemple.

Problème 4. « Le carré et le nombre 21 sont égaux à 10 racines. Trouvez la racine »(c'est-à-dire la racine de l'équation x 2 + 21 = 10x).

Solution : divisez le nombre de racines par deux, vous obtenez 5, multipliez 5 par lui-même, soustrayez 21 du produit, ce qui reste est 4. Prenez la racine de 4, vous obtenez 2. Soustrayez 2 de 5, vous obtenez 3, cela sera la racine que vous recherchez. Ou ajoutez 2 à 5, ce qui donne 7, c'est aussi une racine.

Le traité d'Al-Khorezmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et donne des formules pour leur solution.

Les équations quadratiques en Europe aux XIIe-XVIIe siècles.

Les formes de résolution d'équations quadratiques, à l'instar d'Al-Khwarizmi en Europe, ont été présentées pour la première fois dans le « Livre de l'Abacus », écrit en 1202. Mathématicien italien Leonard Fibonacci. L'auteur a développé de manière indépendante de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction de nombres négatifs.

Ce livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes de ce livre ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XIVe-XVIIe siècles. La règle générale de résolution des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique x 2 + bх = с pour toutes les combinaisons possibles de signes et de coefficients b, c a été formulée en Europe en 1544 par M. Stiefel.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible auprès de Vieth, mais Vieth n'a reconnu que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

Les origines des méthodes algébriques pour résoudre des problèmes pratiques sont associées à la science du monde antique. Comme le montre l'histoire des mathématiques, une partie importante des problèmes mathématiques résolus par les scribes et calculateurs égyptiens, sumériens et babyloniens (XX-VI siècles avant JC) étaient de nature calculatrice. Cependant, même alors, de temps en temps, des problèmes surgissaient dans lesquels la valeur souhaitée d'une quantité était spécifiée par certaines conditions indirectes qui, de notre point de vue moderne, nécessitaient la composition d'une équation ou d'un système d'équations. Initialement, des méthodes arithmétiques étaient utilisées pour résoudre ces problèmes. Par la suite, les prémices des concepts algébriques ont commencé à se former. Par exemple, les calculateurs babyloniens étaient capables de résoudre des problèmes qui, du point de vue de la classification moderne, peuvent être réduits à des équations du deuxième degré. Une méthode de résolution de problèmes de mots a été créée, qui a ensuite servi de base pour isoler la composante algébrique et son étude indépendante.

Cette étude a été réalisée à une autre époque, d'abord par des mathématiciens arabes (VI-X siècles après JC), qui ont identifié des actions caractéristiques par lesquelles les équations étaient amenées à une forme standard : amener des termes similaires, transférer des termes d'une partie de l'équation à une autre avec un changement de signe. Puis par les mathématiciens européens de la Renaissance, qui, à la suite de longues recherches, ont créé le langage de l'algèbre moderne, l'utilisation des lettres, l'introduction de symboles pour les opérations arithmétiques, les parenthèses, etc. XVIIe siècles. L'algèbre en tant que partie spécifique des mathématiques, avec son propre sujet, sa méthode et ses domaines d'application, était déjà formée. Son développement ultérieur, jusqu'à nos jours, a consisté à améliorer les méthodes, à élargir le champ d'application, à clarifier les concepts et leurs liens avec les concepts d'autres branches des mathématiques.

Ainsi, compte tenu de l'importance et de l'immensité du matériel lié au concept d'équation, son étude dans les méthodes mathématiques modernes est associée à trois domaines principaux de son origine et de son fonctionnement.

Kovalchuk Kirill

Le projet « Les équations quadratiques à travers les siècles et les pays » présente aux étudiants des mathématiciens dont les découvertes sont à la base du progrès scientifique et technologique, développe l'intérêt pour les mathématiques en tant que matière basée sur la familiarité avec le matériel historique, élargit les horizons des étudiants, stimule leur activité cognitive et créativité.

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Travail de projet d'un élève de 8e année de l'école secondaire municipale n° 17 du village de Borisovka Kirill Kovalchuk Superviseur G.V. Mulyukova

Les équations quadratiques à travers les siècles et les pays

Objectif du projet : Présenter aux étudiants les scientifiques en mathématiques, dont les découvertes sont à la base du progrès scientifique et technologique. Montrer l'importance des travaux des scientifiques pour le développement de la géométrie et de la physique.???????????? Démontrer visuellement l'application des découvertes scientifiques dans la vie. Développer un intérêt pour les mathématiques en tant que matière basée sur la familiarité avec le matériel historique. Élargir les horizons des étudiants, stimuler leur activité cognitive et leur créativité

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier degré, mais aussi du second, a été provoquée dans l'Antiquité par la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies des parcelles terrestres, avec le développement de l'astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les équations quadratiques ont pu être résolues vers 2000 avant JC. e. Babyloniens. Les règles pour résoudre ces équations énoncées dans les textes babyloniens sont essentiellement les mêmes que celles modernes, mais ces textes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

. (vers 365 - 300 avant JC) - mathématicien grec ancien, auteur des premiers traités théoriques sur les mathématiques qui nous sont parvenus. Euclide, ou Euclide

Les débuts d'Euclide Là où le Nil se confond avec la mer, dans l'ancienne terre chaude des pyramides vivait le mathématicien grec - le bien informé et sage Euclide. Il a étudié la géométrie, il a enseigné la géométrie. Il a écrit une grande œuvre. Le nom de ce livre est « Les débuts ».

Euclide 3ème siècle avant JC Euclide a résolu des équations quadratiques en utilisant une méthode géométrique. Voici l'un des problèmes du traité grec ancien : « Il y a une ville avec une frontière en forme de carré avec un côté de taille inconnue, au centre de chaque côté il y a une porte. Il y a un pilier à une distance de 20bu (1bu=1,6m) de la porte nord. Si vous marchez tout droit depuis la porte sud 14bu, puis tournez vers l'ouest et continuez 1775bu, vous pouvez voir un pilier. La question est : de quel côté de la frontière de la ville ? »

Pour déterminer le côté inconnu du carré, on obtient l'équation quadratique x ² +(k+l)x-2kd =0. Dans ce cas, l'équation ressemble à x² +34x-71000=0, d'où x=250bu l x d k

Les équations quadratiques en Inde Des problèmes sur les équations quadratiques se retrouvent également dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta, a établi une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique : ax ² +bx=c , a>0 Les concours publics pour résoudre des problèmes difficiles étaient courants dans l'Inde ancienne. Un vieux livre indien dit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi un homme érudit éclipsera la gloire d’un autre dans les assemblées publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques. »

L'un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle Bhaskara. Un troupeau de singes fringants, ayant mangé à volonté, s'est amusé. Huitième partie d'entre eux sur la place je m'amusais dans la clairière. Et douze sur les vignes... Ils se mirent à sauter en se suspendant... Combien y avait-il de singes, dis-moi, dans ce troupeau ?

Solution. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, alors D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Réponse : Il y avait 16 ou 48 singes. Résolvons le problème.

La formule des racines d’une équation quadratique a été « redécouverte » à plusieurs reprises. L'une des premières dérivations de cette formule qui a survécu jusqu'à nos jours appartient au mathématicien indien Brahmagupta. Le scientifique d'Asie centrale al-Khwarizmi, dans son traité « Kitab al-jerb wal-mukabala », a obtenu cette formule en isolant un carré complet.

Comment al-Khorezmi a-t-il résolu cette équation ? Il a écrit : « La règle est la suivante : doublez le nombre de racines, x = 2x · 5 dans ce problème vous obtenez cinq, multipliez 5 par ce qui lui est égal, cela devient vingt-cinq, 5 · 5 = 25 ajoutez cela à trente -neuf, 25 + 39 devient soixante-quatre , 64 en prenons la racine, ce sera huit, 8 et soustrayez de cette moitié le nombre de racines, c'est-à-dire cinq, 8-5 restera trois - c'est et 3 Sera la racine du carré que vous recherchiez." Et la deuxième racine ? La deuxième racine n’a pas été trouvée puisque les nombres négatifs n’étaient pas connus. x2 +10x = 39

Équations quadratiques en Europe 13-17 siècles. Les formules de résolution d'équations quadratiques inspirées d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le « Livre de l'Abacus », écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux, qui reflète l'influence des mathématiques des pays islamiques et de la Grèce antique, se distingue à la fois par l'exhaustivité et la clarté de sa présentation. L'auteur a développé indépendamment de nouvelles solutions algébriques aux problèmes et a été le premier en Europe à introduire des nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du Livre de l'Abacus ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et partiellement 18.

François Viète - le plus grand mathématicien du 16ème siècle

Avant F. Vieta, la résolution d'une équation quadratique s'effectuait selon ses propres règles sous la forme d'arguments et de descriptions verbaux très longs, des actions plutôt lourdes. Ils ne pouvaient même pas écrire l’équation elle-même ; cela nécessitait une description verbale plutôt longue et complexe. Il a inventé le terme « coefficient ». Il a proposé que les quantités requises soient désignées par des voyelles et les données par des consonnes. Grâce au symbolisme de Vieta, on peut écrire l'équation quadratique sous la forme : ax 2 + bx + c =0. Théorème : La somme des racines de l'équation quadratique donnée est égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre. Bien que ce théorème soit appelé « théorème de Vieta », il était connu avant lui et il l’a seulement transformé sous sa forme moderne. Vieta est appelé le « père de l'algèbre »

L’humanité a parcouru un long chemin depuis l’ignorance vers la connaissance, remplaçant continuellement les connaissances incomplètes et imparfaites par des connaissances de plus en plus complètes et parfaites. Dernier mot

Nous, vivant au début du XXIe siècle, sommes attirés par l’Antiquité. Chez nos ancêtres, nous remarquons avant tout ce qui leur manque d'un point de vue moderne, et généralement nous ne remarquons pas ce qui nous manque nous-mêmes par rapport à eux.

Ne les oublions pas...

Merci de votre attention !