À l'aide de ce programme mathématique, vous pouvez résoudre un système de deux équations linéaires à deux variables en utilisant la méthode de substitution et la méthode d'addition.

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais fournit également une solution détaillée avec des explications sur les étapes de la solution de deux manières : la méthode de substitution et la méthode d'addition.

Ce programme peut être utile aux lycéens des écoles d'enseignement général lors de la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié et aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre.

Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement terminer vos devoirs de mathématiques ou d’algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Règles de saisie des équations
N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.

Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc. Lors de la saisie d'équations tu peux utiliser des parenthèses
. Dans ce cas, les équations sont d'abord simplifiées.

Les équations après simplifications doivent être linéaires, c'est-à-dire de la forme ax+by+c=0 avec la précision de l’ordre des éléments.

Par exemple : 6x+1 = 5(x+y)+2
Dans les équations, vous pouvez utiliser non seulement des nombres entiers, mais également des fractions sous forme de décimales et de fractions ordinaires.
Règles de saisie des fractions décimales.

Les parties entières et fractionnaires des fractions décimales peuvent être séparées par un point ou une virgule.
Par exemple : 2,1n + 3,5m = 55
Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction. /
Le dénominateur ne peut pas être négatif. &

Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division :
La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette :
Exemples.

Exemple : 6x+1 = 5(x+y)+2
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Un peu de théorie.

Résolution de systèmes d'équations linéaires. Méthode de substitution

La séquence d'actions lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de substitution :
1) exprimer une variable d'une équation du système en termes d'une autre ;
2) substituer l'expression résultante dans une autre équation du système au lieu de cette variable ;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Exprimons y en fonction de x à partir de la première équation : y = 7-3x. En substituant l'expression 7-3x dans la deuxième équation au lieu de y, nous obtenons le système :
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Il est facile de montrer que le premier et le deuxième système ont les mêmes solutions. Dans le deuxième système, la deuxième équation ne contient qu'une seule variable. Résolvons cette équation :
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

En remplaçant 1 au lieu de x dans l'égalité y=7-3x, nous trouvons la valeur correspondante de y :
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Paire (1;4) - solution du système

Les systèmes d'équations à deux variables qui ont les mêmes solutions sont appelés équivalent. Les systèmes qui n'ont pas de solutions sont également considérés comme équivalents.

Résolution de systèmes d'équations linéaires par addition

Considérons une autre façon de résoudre des systèmes d'équations linéaires : la méthode d'addition. Lors de la résolution de systèmes de cette manière, ainsi que lors de la résolution par substitution, nous passons de ce système à un autre système équivalent, dans lequel l'une des équations ne contient qu'une seule variable.

La séquence d'actions lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'addition :
1) multiplier les équations du système terme par terme, en sélectionnant les facteurs pour que les coefficients de l'une des variables deviennent des nombres opposés ;
2) ajouter les côtés gauche et droit des équations système terme par terme ;
3) résoudre l'équation résultante avec une variable ;
4) trouver la valeur correspondante de la deuxième variable.

Exemple. Résolvons le système d'équations :
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Dans les équations de ce système, les coefficients de y sont des nombres opposés. En additionnant les côtés gauche et droit des équations terme par terme, on obtient une équation à une variable 3x=33. Remplaçons une des équations du système, par exemple la première, par l'équation 3x=33. Prenons le système
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

À partir de l’équation 3x=33, nous trouvons que x=11. En substituant cette valeur x dans l'équation \(x-3y=38\), nous obtenons une équation avec la variable y : \(11-3y=38\). Résolvons cette équation :
\(-3y=27 \Flèche droite y=-9 \)

Ainsi, nous avons trouvé la solution du système d'équations par addition : \(x=11; y=-9\) ou \((11;-9)\)

Profitant du fait que dans les équations du système les coefficients de y sont des nombres opposés, nous avons réduit sa solution à la solution d'un système équivalent (en sommant les deux côtés de chacune des équations du système d'origine), dans lequel on des équations ne contient qu’une seule variable.

Dans cette leçon, nous continuerons à étudier la méthode de résolution des systèmes d'équations, à savoir la méthode d'addition algébrique. Examinons d'abord l'application de cette méthode en utilisant l'exemple des équations linéaires et son essence. Rappelons également comment égaliser les coefficients dans les équations. Et nous résoudrons un certain nombre de problèmes en utilisant cette méthode.

Sujet : Systèmes d'équations

Leçon : Méthode d'addition algébrique

1. Méthode d'addition algébrique utilisant comme exemple des systèmes linéaires

Considérons méthode d'addition algébrique en utilisant l'exemple des systèmes linéaires.

Exemple 1. Résoudre le système

Si nous additionnons ces deux équations, alors y s'annule, laissant une équation pour x.

Si nous soustrayons la seconde de la première équation, les x s'annulent et nous obtenons une équation pour y. C’est le sens de la méthode d’addition algébrique.

Nous avons résolu le système et mémorisé la méthode d’addition algébrique. Répétons son essence : on peut additionner et soustraire des équations, mais il faut veiller à obtenir une équation avec une seule inconnue.

2. Méthode d'addition algébrique avec égalisation préalable des coefficients

Exemple 2. Résoudre le système

Le terme est présent dans les deux équations, la méthode d’addition algébrique est donc pratique. Soustrayons la seconde de la première équation.

Réponse : (2 ; -1).

Ainsi, après avoir analysé le système d'équations, vous pouvez voir que la méthode d'addition algébrique est pratique et l'appliquer.

Considérons un autre système linéaire.

3. Solution de systèmes non linéaires

Exemple 3. Résoudre le système

Nous voulons nous débarrasser de y, mais les coefficients de y sont différents dans les deux équations. Égalisons-les ; pour ce faire, multipliez la première équation par 3, la seconde par 4.

Exemple 4. Résoudre le système

Égalisons les coefficients pour x

Vous pouvez procéder différemment : égalisez les coefficients pour y.

Nous avons résolu le système en appliquant deux fois la méthode d’addition algébrique.

La méthode d'addition algébrique est également applicable à la résolution de systèmes non linéaires.

Exemple 5. Résoudre le système

Additionnons ces équations ensemble et nous nous débarrasserons de y.

Le même système peut être résolu en appliquant deux fois la méthode d’addition algébrique. Ajoutons et soustrayons d'une équation une autre.

Exemple 6. Résoudre le système

Répondre:

Exemple 7. Résoudre le système

En utilisant la méthode de l’addition algébrique, nous supprimerons le terme xy. Multiplions la première équation par .

La première équation reste inchangée, au lieu de la seconde on écrit la somme algébrique.

Répondre:

Exemple 8. Résoudre le système

Multipliez la deuxième équation par 2 pour isoler un carré parfait.

Notre tâche se réduisait à résoudre quatre systèmes simples.

4. Conclusion

Nous avons examiné la méthode d'addition algébrique en utilisant l'exemple de la résolution de systèmes linéaires et non linéaires. Dans la prochaine leçon, nous examinerons la méthode d'introduction de nouvelles variables.

1. Mordkovich A.G. et al. Algèbre 9e année : Manuel. Pour l'enseignement général Institutions.- 4e éd. - M. : Mnémosyne, 2002.-192 p. : ill.

2. Mordkovich A.G. et al. Algèbre 9e année : Livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - M. : Mnémosyne, 2002.-143 p. : ill.

3. Makarychev Yu. N. Algèbre. 9e année : pédagogique. pour les étudiants de l'enseignement général. institutions / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7e éd., rév. et supplémentaire - M. : Mnémosyne, 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin Yu., Sidorov V. Algèbre. 9e année. 16e éd. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A.G. Algèbre. 9e année. En 2 heures. Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12e éd., effacé. - M. : 2010. - 224 p. : ill.

6. Algèbre. 9e année. En 2 parties. Partie 2. Livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina et autres ; Éd. A. G. Mordkovitch. — 12e éd., rév. - M. : 2010.-223 p. : ill.

1. Section collégiale. ru en mathématiques.

2. Projet Internet « Tâches ».

3. Portail pédagogique « JE RÉSOUDRAI l'examen d'État unifié ».

1. Mordkovich A.G. et al. Algèbre 9e année : Livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - M. : Mnémosyne, 2002.-143 p. : ill. N° 125-127.

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Avec cette vidéo je commence une série de leçons dédiées aux systèmes d'équations. Aujourd'hui, nous allons parler de la résolution de systèmes d'équations linéaires méthode d'addition- C'est l'une des méthodes les plus simples, mais en même temps l'une des plus efficaces.

La méthode d'addition comprend trois étapes simples :

1. Regardez le système et choisissez une variable qui a des coefficients identiques (ou opposés) dans chaque équation ;
2. Effectuer une soustraction algébrique (pour les nombres opposés - addition) d'équations les unes des autres, puis rapprocher des termes similaires ;
3. Résolvez la nouvelle équation obtenue après la deuxième étape.

Si tout est fait correctement, alors en sortie nous obtiendrons une seule équation avec une variable— il ne sera pas difficile de le résoudre. Il ne reste plus qu'à remplacer la racine trouvée dans le système d'origine et à obtenir la réponse finale.

Cependant, dans la pratique, tout n'est pas si simple. Il y a plusieurs raisons à cela :

• La résolution d'équations à l'aide de la méthode d'addition implique que toutes les lignes doivent contenir des variables avec des coefficients égaux/opposés. Que faire si cette condition n’est pas remplie ?
• Pas toujours, après avoir ajouté/soustrait des équations de la manière indiquée, nous obtenons une belle construction qui peut être facilement résolue. Est-il possible d'une manière ou d'une autre de simplifier les calculs et d'accélérer les calculs ?

Pour obtenir la réponse à ces questions, et en même temps comprendre quelques subtilités supplémentaires sur lesquelles de nombreux étudiants échouent, regardez ma leçon vidéo :

Avec cette leçon, nous commençons une série de cours consacrés aux systèmes d'équations. Et nous partirons du plus simple d’entre eux, à savoir ceux qui contiennent deux équations et deux variables. Chacun d'eux sera linéaire.

Les systèmes sont du matériel de 7e année, mais cette leçon sera également utile aux élèves du secondaire qui souhaitent parfaire leurs connaissances sur ce sujet.

En général, il existe deux méthodes pour résoudre de tels systèmes :

1. Méthode d'addition ;
2. Une méthode pour exprimer une variable en fonction d’une autre.

Aujourd'hui, nous traiterons de la première méthode - nous utiliserons la méthode de soustraction et d'addition. Mais pour ce faire, vous devez comprendre le fait suivant : une fois que vous avez deux ou plusieurs équations, vous pouvez en prendre deux et les additionner les unes aux autres. Ils sont ajoutés membre par membre, c'est-à-dire Les « X » sont ajoutés aux « X » et les similaires sont donnés, les « Y » avec les « Y » sont à nouveau similaires, et ce qui est à droite du signe égal est également ajouté les uns aux autres, et des similaires y sont également donnés. .

Le résultat de telles machinations sera une nouvelle équation qui, si elle a des racines, sera certainement parmi les racines de l’équation originale. Par conséquent, notre tâche est d'effectuer la soustraction ou l'addition de telle manière que $x$ ou $y$ disparaissent.

Comment y parvenir et quel outil utiliser pour cela - nous en parlerons maintenant.

Résoudre des problèmes faciles en utilisant la méthode d'addition

Ainsi, nous apprenons à utiliser la méthode d'addition en utilisant l'exemple de deux expressions simples.

Tâche n°1

\[\gauche\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Notez que $y$ a un coefficient de $-4$ dans la première équation, et $+4$ dans la seconde. Ils sont mutuellement opposés, il est donc logique de supposer que si nous les additionnons, alors dans la somme résultante, les « jeux » seront mutuellement détruits. Additionnez-le et obtenez :

Résolvons la construction la plus simple :

Super, nous avons trouvé le "x". Que devrions-nous en faire maintenant ? Nous avons le droit de le substituer dans n’importe quelle équation. Remplaçons par le premier :

\[-4y=12\gauche| :\gauche(-4 \droite) \droite.\]

Réponse : $\left(2;-3 \right)$.

Problème n°2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

La situation ici est complètement similaire, seulement avec les « X ». Additionnons-les :

Nous avons l'équation linéaire la plus simple, résolvons-la :

Trouvons maintenant $x$ :

Réponse : $\left(-3;3 \right)$.

Points importants

Nous venons donc de résoudre deux systèmes simples d’équations linéaires en utilisant la méthode d’addition. Encore des points clés :

1. S'il existe des coefficients opposés pour l'une des variables, alors il est nécessaire d'ajouter toutes les variables de l'équation. Dans ce cas, l’un d’eux sera détruit.
2. Nous substituons la variable trouvée dans l'une des équations du système pour trouver la seconde.
3. Le dossier de réponse final peut être présenté de différentes manières. Par exemple, comme ceci - $x=...,y=...$, ou sous forme de coordonnées de points - $\left(...;... \right)$. La deuxième option est préférable. La principale chose à retenir est que la première coordonnée est $x$ et la seconde est $y$.
4. La règle consistant à écrire la réponse sous forme de coordonnées de points n'est pas toujours applicable. Par exemple, il ne peut pas être utilisé lorsque les variables ne sont pas $x$ et $y$, mais, par exemple, $a$ et $b$.

Dans les problèmes suivants nous considérerons la technique de soustraction lorsque les coefficients ne sont pas opposés.

Résoudre des problèmes faciles en utilisant la méthode de soustraction

Tâche n°1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Notez qu'il n'y a pas ici de coefficients opposés, mais il y en a des identiques. Par conséquent, nous soustrayons la seconde de la première équation :

Maintenant, nous remplaçons la valeur $x$ dans l'une des équations du système. Commençons par :

Réponse : $\left(2;5\right)$.

Problème n°2

\[\gauche\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Nous voyons à nouveau le même coefficient de 5$ pour $x$ dans la première et la deuxième équation. Par conséquent, il est logique de supposer que vous devez soustraire la seconde de la première équation :

Nous avons calculé une variable. Trouvons maintenant la seconde, par exemple, en substituant la valeur $y$ dans la deuxième construction :

Réponse : $\left(-3;-2 \right)$.

Nuances de la solution

Alors que voit-on ? Fondamentalement, le schéma n’est pas différent de la solution des systèmes précédents. La seule différence est que nous n’ajoutons pas d’équations, mais les soustrayons. Nous faisons une soustraction algébrique.

En d’autres termes, dès que vous voyez un système composé de deux équations à deux inconnues, la première chose que vous devez examiner, ce sont les coefficients. Si elles sont identiques quelque part, les équations sont soustraites, et si elles sont opposées, la méthode d'addition est utilisée. Ceci est toujours fait pour que l'un d'eux disparaisse, et dans l'équation finale, qui reste après soustraction, il ne reste qu'une seule variable.

Bien sûr, ce n'est pas tout. Nous allons maintenant considérer des systèmes dans lesquels les équations sont généralement incohérentes. Ceux. Il n’y a pas de variables identiques ou opposées. Dans ce cas, pour résoudre de tels systèmes, une technique supplémentaire est utilisée, à savoir multiplier chacune des équations par un coefficient spécial. Comment le trouver et comment résoudre de tels systèmes en général, nous en parlerons maintenant.

Résoudre des problèmes en multipliant par un coefficient

Exemple n°1

\[\gauche\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

On voit que ni pour $x$ ni pour $y$ les coefficients sont non seulement opposés entre eux, mais aussi nullement corrélés avec l'autre équation. Ces coefficients ne disparaîtront en aucun cas, même si l'on ajoute ou soustrait les équations les unes aux autres. Il est donc nécessaire d’appliquer la multiplication. Essayons de nous débarrasser de la variable $y$. Pour ce faire, on multiplie la première équation par le coefficient de $y$ de la deuxième équation, et la deuxième équation par le coefficient de $y$ de la première équation, sans toucher au signe. On multiplie et obtient un nouveau système :

\[\gauche\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Regardons ça : à $y$ les coefficients sont opposés. Dans une telle situation, il est nécessaire d’utiliser la méthode de l’addition. Ajoutons :

Nous devons maintenant trouver $y$. Pour ce faire, remplacez $x$ dans la première expression :

\[-9y=18\gauche| :\gauche(-9 \droite) \droite.\]

Réponse : $\left(4;-2 \right)$.

Exemple n°2

\[\gauche\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Encore une fois, les coefficients d’aucune des variables ne sont cohérents. Multiplions par les coefficients de $y$ :

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Notre nouveau système est équivalent au précédent, mais les coefficients de $y$ sont mutuellement opposés, et il est donc facile d'appliquer ici la méthode d'addition :

Trouvons maintenant $y$ en substituant $x$ dans la première équation :

Réponse : $\left(-2;1 \right)$.

Nuances de la solution

La règle clé ici est la suivante : nous multiplions toujours uniquement par des nombres positifs - cela vous évitera des erreurs stupides et offensantes associées au changement de signes. En général, le schéma de solution est assez simple :

1. Nous examinons le système et analysons chaque équation.
2. Si on voit que ni $y$ ni $x$ les coefficients ne sont cohérents, c'est-à-dire ils ne sont ni égaux ni opposés, alors on fait ce qui suit : on sélectionne la variable dont on doit se débarrasser, puis on regarde les coefficients de ces équations. Si nous multiplions la première équation par le coefficient de la seconde et que la seconde, en conséquence, multiplions par le coefficient de la première, nous obtiendrons finalement un système complètement équivalent au précédent, et les coefficients de $ y$ sera cohérent. Toutes nos actions ou transformations visent uniquement à obtenir une variable dans une équation.
3. Nous trouvons une variable.
4. Nous substituons la variable trouvée dans l'une des deux équations du système et trouvons la seconde.
5. On écrit la réponse sous forme de coordonnées de points si on a les variables $x$ et $y$.

Mais même un algorithme aussi simple a ses propres subtilités, par exemple, les coefficients de $x$ ou $y$ peuvent être des fractions et d'autres nombres « laids ». Nous allons maintenant considérer ces cas séparément, car vous pouvez y agir quelque peu différemment que selon l'algorithme standard.

Résoudre des problèmes avec des fractions

Exemple n°1

\[\gauche\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Tout d’abord, notez que la deuxième équation contient des fractions. Mais notez que vous pouvez diviser 4$ par 0,8$. Nous recevrons 5$. Multiplions la deuxième équation par 5$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

On soustrait les équations les unes des autres :

Nous avons trouvé $n$, comptons maintenant $m$ :

Réponse : $n=-4;m=5$

Exemple n°2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ droite.\]

Ici, comme dans le système précédent, il existe des coefficients fractionnaires, mais pour aucune des variables, les coefficients ne s'emboîtent pas un nombre entier de fois. Nous utilisons donc l’algorithme standard. Débarrassez-vous de $p$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Nous utilisons la méthode de soustraction :

Trouvons $p$ en substituant $k$ dans la deuxième construction :

Réponse : $p=-4;k=-2$.

Nuances de la solution

C'est toute l'optimisation. Dans la première équation, nous n'avons pas multiplié par quoi que ce soit, mais nous avons multiplié la deuxième équation par 5$. En conséquence, nous avons obtenu une équation cohérente et même identique pour la première variable. Dans le deuxième système, nous avons suivi un algorithme standard.

Mais comment trouver les nombres par lesquels multiplier les équations ? Après tout, si nous multiplions par des fractions, nous obtenons de nouvelles fractions. Par conséquent, les fractions doivent être multipliées par un nombre qui donnerait un nouvel entier, puis les variables doivent être multipliées par des coefficients, en suivant l'algorithme standard.

En conclusion, j'aimerais attirer votre attention sur le format d'enregistrement de la réponse. Comme je l'ai déjà dit, puisque ici nous n'avons pas $x$ et $y$, mais d'autres valeurs, nous utilisons une notation non standard de la forme :

Résolution de systèmes d'équations complexes

Pour conclure le didacticiel vidéo d'aujourd'hui, examinons quelques systèmes vraiment complexes. Leur complexité résidera dans le fait qu’ils auront des variables à gauche et à droite. Par conséquent, pour les résoudre, nous devrons appliquer un prétraitement.

Système n°1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Chaque équation comporte une certaine complexité. Par conséquent, traitons chaque expression comme une construction linéaire régulière.

Au total, nous obtenons le système final, qui est équivalent à celui d'origine :

\[\gauche\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Regardons les coefficients de $y$ : $3$ rentre deux fois dans $6$, multiplions donc la première équation par $2$ :

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Les coefficients de $y$ sont maintenant égaux, on soustrait donc la seconde de la première équation : $$

Trouvons maintenant $y$ :

Réponse : $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Système n°2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Transformons la première expression :

Passons au deuxième :

\[-3\gauche(b-2a \droite)-12=2\gauche(a-5 \droite)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Au total, notre système initial prendra la forme suivante :

\[\gauche\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

En regardant les coefficients de $a$, nous voyons que la première équation doit être multipliée par $2$ :

\[\gauche\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Soustrayez la seconde de la première construction :

Trouvons maintenant $a$ :

Réponse : $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

C'est ça. J'espère que ce didacticiel vidéo vous aidera à comprendre ce sujet difficile, à savoir la résolution de systèmes d'équations linéaires simples. Il y aura bien d'autres leçons sur ce sujet à l'avenir : nous examinerons des exemples plus complexes, où il y aura plus de variables, et les équations elles-mêmes seront non linéaires. A bientôt !

Les systèmes d'équations sont largement utilisés dans le secteur économique pour la modélisation mathématique de divers processus. Par exemple, lors de la résolution de problèmes de gestion et de planification de la production, d'itinéraires logistiques (problème de transport) ou de placement d'équipements.

Les systèmes d'équations sont utilisés non seulement en mathématiques, mais également en physique, en chimie et en biologie, pour résoudre des problèmes liés à la détermination de la taille d'une population.

Un système d'équations linéaires est constitué de deux ou plusieurs équations à plusieurs variables pour lesquelles il est nécessaire de trouver une solution commune. Une telle séquence de nombres pour laquelle toutes les équations deviennent de vraies égalités ou prouvent que la séquence n'existe pas.

Équation linéaire

Les équations de la forme ax+by=c sont dites linéaires. Les désignations x, y sont les inconnues dont il faut trouver la valeur, b, a sont les coefficients des variables, c est le terme libre de l'équation.
Résoudre une équation en la traçant ressemblera à une ligne droite dont tous les points sont des solutions du polynôme.

Types de systèmes d'équations linéaires

Les exemples les plus simples sont considérés comme des systèmes d'équations linéaires à deux variables X et Y.

F1(x, y) = 0 et F2(x, y) = 0, où F1,2 sont des fonctions et (x, y) sont des variables de fonction.

Exemple : 3x-4y = 5 - cela signifie trouver des valeurs (x, y) auxquelles le système se transforme en une véritable égalité ou établir que les valeurs appropriées de x et y n'existent pas.

Une paire de valeurs (x, y), écrites sous la forme des coordonnées d'un point, est appelée solution d'un système d'équations linéaires.

Si les systèmes ont une solution commune ou qu’aucune solution n’existe, ils sont appelés équivalents.

Les systèmes homogènes d'équations linéaires sont des systèmes dont le membre droit est égal à zéro. Si la partie droite après le signe égal a une valeur ou est exprimée par une fonction, un tel système est hétérogène.

Le nombre de variables peut être bien supérieur à deux, nous devrions alors parler d'un exemple de système d'équations linéaires avec trois variables ou plus.

Face aux systèmes, les écoliers supposent que le nombre d’équations doit nécessairement coïncider avec le nombre d’inconnues, mais ce n’est pas le cas. Le nombre d'équations dans le système ne dépend pas des variables ; il peut y en avoir autant que l'on souhaite.

Méthodes simples et complexes pour résoudre des systèmes d'équations

Il n'existe pas de méthode analytique générale pour résoudre de tels systèmes ; toutes les méthodes sont basées sur des solutions numériques. Le cours de mathématiques scolaires décrit en détail des méthodes telles que la permutation, l'addition algébrique, la substitution, ainsi que les méthodes graphiques et matricielles, solution par la méthode gaussienne.

La tâche principale lors de l'enseignement des méthodes de résolution est d'apprendre à analyser correctement le système et à trouver l'algorithme de solution optimal pour chaque exemple. L'essentiel n'est pas de mémoriser un système de règles et d'actions pour chaque méthode, mais de comprendre les principes d'utilisation d'une méthode particulière

La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires dans le programme d'enseignement général de 7e année est assez simple et expliquée de manière très détaillée. Dans tout manuel de mathématiques, cette section reçoit suffisamment d’attention. La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss et Cramer est étudiée plus en détail dans les premières années de l'enseignement supérieur.

Résolution de systèmes par la méthode de substitution

Les actions de la méthode de substitution visent à exprimer la valeur d'une variable en fonction de la seconde. L'expression est substituée dans l'équation restante, puis elle est réduite à une forme à une variable. L'action est répétée en fonction du nombre d'inconnues dans le système

Donnons une solution à un exemple de système d'équations linéaires de classe 7 utilisant la méthode de substitution :

Comme le montre l'exemple, la variable x a été exprimée par F(X) = 7 + Y. L'expression résultante, substituée dans la 2ème équation du système à la place de X, a permis d'obtenir une variable Y dans la 2ème équation . La résolution de cet exemple est simple et permet d'obtenir la valeur Y. La dernière étape consiste à vérifier les valeurs obtenues.

Il n'est pas toujours possible de résoudre un exemple de système d'équations linéaires par substitution. Les équations peuvent être complexes et exprimer la variable en termes de seconde inconnue sera trop fastidieux pour des calculs ultérieurs. Lorsqu’il y a plus de 3 inconnues dans le système, la résolution par substitution est également peu pratique.

Solution d'un exemple de système d'équations inhomogènes linéaires :

Solution utilisant l'addition algébrique

Lors de la recherche de solutions de systèmes à l'aide de la méthode d'addition, les équations sont ajoutées terme par terme et multipliées par différents nombres. Le but ultime des opérations mathématiques est une équation à une variable.

L'application de cette méthode nécessite de la pratique et de l'observation. Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'addition lorsqu'il y a 3 variables ou plus n'est pas facile. L'addition algébrique est pratique à utiliser lorsque les équations contiennent des fractions et des décimales.

Algorithme de solution :

1. Multipliez les deux côtés de l’équation par un certain nombre. À la suite de l'opération arithmétique, l'un des coefficients de la variable devrait devenir égal à 1.
2. Ajoutez l'expression obtenue terme par terme et trouvez l'une des inconnues.
3. Remplacez la valeur résultante dans la 2ème équation du système pour trouver la variable restante.

Méthode de solution en introduisant une nouvelle variable

Une nouvelle variable peut être introduite si le système nécessite de trouver une solution pour pas plus de deux équations ; le nombre d'inconnues ne doit pas non plus être supérieur à deux.

La méthode est utilisée pour simplifier l'une des équations en introduisant une nouvelle variable. La nouvelle équation est résolue pour l'inconnue introduite et la valeur résultante est utilisée pour déterminer la variable d'origine.

L'exemple montre qu'en introduisant une nouvelle variable t, il a été possible de réduire la 1ère équation du système à un trinôme quadratique standard. Vous pouvez résoudre un polynôme en trouvant le discriminant.

Il faut trouver la valeur du discriminant à l'aide de la formule bien connue : D = b2 - 4*a*c, où D est le discriminant souhaité, b, a, c sont les facteurs du polynôme. Dans l'exemple donné, a=1, b=16, c=39, donc D=100. Si le discriminant est supérieur à zéro, alors il existe deux solutions : t = -b±√D / 2*a, si le discriminant est inférieur à zéro, alors il existe une solution : x = -b / 2*a.

La solution pour les systèmes résultants est trouvée par la méthode d’addition.

Méthode visuelle pour résoudre des systèmes

Convient pour 3 systèmes d'équations. La méthode consiste à construire des graphiques de chaque équation incluse dans le système sur l'axe des coordonnées. Les coordonnées des points d'intersection des courbes seront la solution générale du système.

La méthode graphique présente un certain nombre de nuances. Examinons plusieurs exemples de résolution visuelle de systèmes d'équations linéaires.

Comme le montre l'exemple, pour chaque ligne deux points ont été construits, les valeurs de la variable x ont été choisies arbitrairement : 0 et 3. Sur la base des valeurs de x, les valeurs de y ont été trouvées : 3 et 0. Les points de coordonnées (0, 3) et (3, 0) ont été marqués sur le graphique et reliés par une ligne.

Les étapes doivent être répétées pour la deuxième équation. Le point d'intersection des droites est la solution du système.

L'exemple suivant nécessite de trouver une solution graphique à un système d'équations linéaires : 0,5x-y+2=0 et 0,5x-y-1=0.

Comme le montre l'exemple, le système n'a pas de solution, car les graphiques sont parallèles et ne se coupent pas sur toute leur longueur.

Les systèmes des exemples 2 et 3 sont similaires, mais une fois construits, il devient évident que leurs solutions sont différentes. Il ne faut pas oublier qu’il n’est pas toujours possible de dire si un système a une solution ou non ; il faut toujours construire un graphe ;

La matrice et ses variétés

Les matrices sont utilisées pour écrire de manière concise un système d’équations linéaires. Une matrice est un type spécial de tableau rempli de nombres. n*m a n lignes et m colonnes.

Une matrice est carrée lorsque le nombre de colonnes et de lignes sont égaux. Une matrice-vecteur est une matrice d'une colonne avec un nombre infini de lignes. Une matrice avec des uns le long d’une des diagonales et d’autres éléments nuls est appelée identité.

Une matrice inverse est une matrice, lorsqu'elle est multipliée par laquelle celle d'origine se transforme en une matrice unitaire ; une telle matrice n'existe que pour la matrice carrée d'origine ;

Règles pour convertir un système d'équations en matrice

En ce qui concerne les systèmes d'équations, les coefficients et les termes libres des équations sont écrits sous forme de nombres matriciels ; une équation correspond à une ligne de la matrice.

Une ligne matricielle est dite non nulle si au moins un élément de la ligne est non nul. Par conséquent, si dans l'une des équations le nombre de variables diffère, il est alors nécessaire d'entrer zéro à la place de l'inconnue manquante.

Les colonnes de la matrice doivent correspondre strictement aux variables. Cela signifie que les coefficients de la variable x ne peuvent être écrits que dans une colonne, par exemple la première, le coefficient de l'inconnu y - uniquement dans la seconde.

Lors de la multiplication d'une matrice, tous les éléments de la matrice sont multipliés séquentiellement par un nombre.

Options pour trouver la matrice inverse

La formule pour trouver la matrice inverse est assez simple : K -1 = 1 / |K|, où K -1 est la matrice inverse, et |K| est le déterminant de la matrice. |K| ne doit pas être égal à zéro, alors le système a une solution.

Le déterminant se calcule facilement pour une matrice deux par deux ; il suffit de multiplier les éléments diagonaux les uns par les autres. Pour l'option « trois par trois », il existe une formule |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + une 3 b 2 c 1 . Vous pouvez utiliser la formule ou vous rappeler que vous devez prendre un élément de chaque ligne et de chaque colonne afin que le nombre de colonnes et de lignes d'éléments ne se répète pas dans le travail.

Résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode matricielle

La méthode matricielle de recherche d'une solution vous permet de réduire les saisies fastidieuses lors de la résolution de systèmes comportant un grand nombre de variables et d'équations.

Dans l'exemple, a nm sont les coefficients des équations, la matrice est un vecteur x n sont des variables et b n sont des termes libres.

Résolution de systèmes par la méthode gaussienne

En mathématiques supérieures, la méthode gaussienne est étudiée avec la méthode Cramer, et le processus de recherche de solutions aux systèmes est appelé méthode de solution Gauss-Cramer. Ces méthodes sont utilisées pour trouver des variables de systèmes comportant un grand nombre d'équations linéaires.

La méthode de Gauss est très similaire aux solutions par substitution et addition algébrique, mais est plus systématique. Dans le cours scolaire, la solution par la méthode gaussienne est utilisée pour les systèmes de 3 et 4 équations. Le but de la méthode est de réduire le système à la forme d'un trapèze inversé. Au moyen de transformations algébriques et de substitutions, la valeur d'une variable se retrouve dans l'une des équations du système. La deuxième équation est une expression à 2 inconnues, tandis que 3 et 4 sont respectivement à 3 et 4 variables.

Après avoir amené le système à la forme décrite, la solution supplémentaire est réduite à la substitution séquentielle de variables connues dans les équations du système.

Dans les manuels scolaires de la 7e année, un exemple de solution par la méthode Gauss est décrit comme suit :

Comme le montre l'exemple, à l'étape (3), deux équations ont été obtenues : 3x 3 -2x 4 =11 et 3x 3 +2x 4 =7. La résolution de l'une des équations vous permettra de connaître l'une des variables x n.

Le théorème 5, mentionné dans le texte, stipule que si l'une des équations du système est remplacée par une équivalente, alors le système résultant sera également équivalent à celui d'origine.

La méthode gaussienne est difficile à comprendre pour les collégiens, mais c'est l'un des moyens les plus intéressants pour développer l'ingéniosité des enfants inscrits dans les programmes d'apprentissage avancé des cours de mathématiques et de physique.

Pour faciliter l'enregistrement, les calculs sont généralement effectués comme suit :

Les coefficients des équations et les termes libres sont écrits sous la forme d'une matrice, où chaque ligne de la matrice correspond à l'une des équations du système. sépare le côté gauche de l’équation du côté droit. Les chiffres romains indiquent le nombre d'équations du système.

Notez d’abord la matrice à travailler, puis toutes les actions réalisées avec l’une des lignes. La matrice résultante est écrite après le signe "flèche" et les opérations algébriques nécessaires sont poursuivies jusqu'à ce que le résultat soit obtenu.

Le résultat devrait être une matrice dans laquelle l'une des diagonales est égale à 1 et tous les autres coefficients sont égaux à zéro, c'est-à-dire que la matrice est réduite à une forme unitaire. Il ne faut pas oublier d'effectuer des calculs avec des nombres des deux côtés de l'équation.

Cette méthode d'enregistrement est moins lourde et permet de ne pas se laisser distraire par la liste de nombreuses inconnues.

L'utilisation gratuite de n'importe quelle méthode de résolution nécessitera de la prudence et une certaine expérience. Toutes les méthodes ne sont pas de nature appliquée. Certaines méthodes pour trouver des solutions sont plus préférables dans un domaine particulier de l'activité humaine, tandis que d'autres existent à des fins pédagogiques.

OGBOU "Centre éducatif pour enfants ayant des besoins éducatifs spéciaux à Smolensk"

Centre d'enseignement à distance

Cours d'algèbre en 7e année

Sujet de cours : Méthode d'addition algébrique.

1. 1. Type de cours : Leçon de présentation initiale de nouvelles connaissances.

Objectif de la leçon : contrôler le niveau d'acquisition des connaissances et des compétences en résolution de systèmes d'équations par la méthode de substitution ; développer des compétences et des capacités pour résoudre des systèmes d’équations par addition.

Objectifs de la leçon :

Sujet : apprendre à résoudre des systèmes d'équations à deux variables par la méthode de l'addition.

Métasujet : UUD cognitive: analyser (souligner l'essentiel), définir des concepts, généraliser, tirer des conclusions. UUD réglementaire: déterminer l'objectif, le problème dans les activités éducatives. UUD communicative: exprimez votre opinion en la justifiant. UUD personnelle : f former une motivation positive pour l'apprentissage, créer une attitude émotionnelle positive de l'élève envers la leçon et le sujet.

Forme de travail : individuel

Étapes du cours :

1) Étape organisationnelle.

organiser le travail de l’étudiant sur le sujet en créant une attitude envers l’intégrité de la pensée et de la compréhension de ce sujet.

2. Interroger l'étudiant sur la matière assignée aux devoirs, mettre à jour ses connaissances.

Objectif : tester les connaissances acquises par l’élève lors des devoirs, identifier les erreurs et travailler sur les erreurs. Révisez le matériel de la leçon précédente.

3. Étudier du nouveau matériel.

1). développer la capacité de résoudre des systèmes d'équations linéaires par addition ;

2). développer et améliorer les connaissances existantes dans des situations nouvelles ;

3). cultiver les compétences de contrôle et de maîtrise de soi, développer l'indépendance.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Objectif : préserver la vision, soulager la fatigue oculaire en travaillant en classe.

5. Consolidation du matériel étudié

Objectif : tester les connaissances, les compétences et les capacités acquises au cours de la leçon

6. Résumé du cours, informations sur les devoirs, réflexion.

Progression de la leçon (travail dans un document électronique Google) :

1. Aujourd’hui, je voulais commencer la leçon avec l’énigme philosophique de Walter.

Qu'est-ce qui est le plus rapide, mais aussi le plus lent, le plus grand, mais aussi le plus petit, le plus long et le plus court, le plus cher, mais aussi le moins cher selon nous ?

Temps

Rappelons les notions de base sur le sujet :

Devant nous se trouve un système de deux équations.

Rappelons-nous comment nous avons résolu des systèmes d'équations dans la dernière leçon.

Méthode de substitution

Encore une fois, faites attention au système résolu et dites-moi pourquoi on ne peut pas résoudre chaque équation du système sans recourir à la méthode de substitution ?

Parce que ce sont les équations d’un système à deux variables. Nous pouvons résoudre des équations avec une seule variable.

Ce n’est qu’en obtenant une équation à une variable que nous avons pu résoudre le système d’équations.

3. Nous procédons à la résolution du système suivant :

Choisissons une équation dans laquelle il convient d'exprimer une variable par une autre.

Une telle équation n’existe pas.

Ceux. Dans cette situation, la méthode étudiée précédemment ne nous convient pas. Quelle est la sortie de cette situation ?

Trouvez une nouvelle méthode.

Essayons de formuler le but de la leçon.

Apprenez à résoudre des systèmes en utilisant une nouvelle méthode.

Que devons-nous faire pour apprendre à résoudre des systèmes en utilisant une nouvelle méthode ?

connaître les règles (algorithme) pour résoudre un système d'équations, effectuer des tâches pratiques

Commençons par développer une nouvelle méthode.

Faites attention à la conclusion que nous avons tirée après avoir résolu le premier système. Il n’a été possible de résoudre le système qu’après avoir obtenu une équation linéaire à une variable.

Examinez le système d'équations et réfléchissez à la manière d'obtenir une équation avec une variable à partir de deux équations données.

Additionnez les équations.

Que signifie ajouter des équations ?

Composez séparément la somme des côtés gauche, la somme des côtés droits des équations et égalisez les sommes résultantes.

Essayons. Nous travaillons ensemble avec moi.

13x+14x+17a-17a=43+11

Nous avons obtenu une équation linéaire à une variable.

Avez-vous résolu le système d'équations ?

La solution du système est une paire de nombres.

Comment le trouver ?

Remplacez la valeur trouvée de x dans l’équation du système.

L’équation dans laquelle nous substituons la valeur de x est-elle importante ?

Cela signifie que la valeur trouvée de x peut être substituée dans...

n'importe quelle équation du système.

Nous nous sommes familiarisés avec une nouvelle méthode - la méthode d'addition algébrique.

Lors de la résolution du système, nous avons discuté de l'algorithme de résolution du système à l'aide de cette méthode.

Nous avons revu l'algorithme. Appliquons-le maintenant à la résolution de problèmes.

La capacité à résoudre des systèmes d’équations peut être utile dans la pratique.

Considérons le problème :

La ferme possède des poules et des moutons. Combien y a-t-il des deux s’ils ont ensemble 19 têtes et 46 pattes ?

Sachant qu’il y a 19 poules et moutons au total, créons la première équation : x + y = 19

4x - le nombre de pattes du mouton

2у - nombre de pattes chez les poulets

Sachant qu’il n’y a que 46 pattes, créons la deuxième équation : 4x + 2y = 46

Créons un système d'équations :

Résolvons le système d'équations en utilisant l'algorithme de solution en utilisant la méthode d'addition.

Problème! Les coefficients devant x et y ne sont ni égaux ni opposés ! Ce qu'il faut faire?

Regardons un autre exemple !

Ajoutons une étape supplémentaire à notre algorithme et mettons-la en premier lieu : si les coefficients devant les variables ne sont pas les mêmes ni opposés, alors nous devons égaliser les modules pour une variable ! Et puis nous agirons selon l'algorithme.

4. Éducation physique électronique pour les yeux : http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Nous complétons le problème en utilisant la méthode d'addition algébrique, après avoir consolidé le nouveau matériel et découvert combien de poulets et de moutons il y avait dans la ferme.

Tâches supplémentaires :

6.

Réflexion.

Je donne une note pour mon travail en classe -...

6. Ressources Internet utilisées :

Services Google pour l'éducation

Professeur de mathématiques Sokolova N.N.