Le cas où le nombre d'équations m plus de variables n, en éliminant séquentiellement les inconnues des équations, on aboutit au cas m= n ou m n.
Le premier cas a été évoqué plus haut. m n Dans le second cas, lorsque le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues m et les équations sont indépendantes, ressortent principales variables n- m)Et ( variables non essentielles . Les variables principales sont celles qui satisfont à la condition : le déterminant, constitué des coefficients de ces variables, n'est pas égal à zéro. Les principaux peuvent être différents groupes de variables. Nombre total de ces groupes N négal au nombre de combinaisons de m:
éléments par Si un système possède au moins un groupe de variables de base, alors ce système est incertain
, c'est-à-dire qu'il a de nombreuses solutions. Si le système ne possède pas un seul groupe de variables de base, alors le système est non conjoint
, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de solution unique.
Dans le cas où un système possède plusieurs solutions, on distingue parmi elles une solution de base.
Solution de base 
est une solution dans laquelle les variables mineures sont égales à zéro. Le système n'a pas plus de
solutions de base. Les solutions système sont divisées en acceptable Et .
inacceptable Acceptable
Ce sont des solutions dans lesquelles les valeurs de toutes les variables sont non négatives. Si au moins une valeur de la variable est négative, alors la solution est appelée .
inacceptable
Exemple 4.5
Trouver des solutions de base au système d'équations
.
Trouvons le nombre de solutions de base Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est X Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est 1 et
.
2. Vérifions le déterminant à partir de leurs coefficients Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est 1 ,Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est Puisque ce déterminant n’est pas égal à zéro, alors les variables
2 sont les principaux. Supposons maintenant que X
3 =0. On obtient alors un système sous la forme
,
.
Résolvons-le en utilisant les formules de Cramer :
Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est 1 =1,Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est 2 =0,Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est 3 =0 .
Ainsi, la première solution de base a la forme Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est X Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est 3 .
.
Vérifions maintenant si les variables appartiennent aux principales Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est X Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est Nous obtenons cela Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est 3 - deuxième groupe de variables principales. Mettons
,
.
2 =0 et résoudre le système
Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est 1 =1,Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est 2 =0,Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est 3 =0.
La deuxième solution de base a la forme Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est Vérifions maintenant si les variables appartiennent aux principales Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est 3 .
2 et Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est Vérifions maintenant si les variables appartiennent aux principales Ainsi, parmi les nombreuses solutions du système, il n’y en a que trois principales. Soulignons deux variables principales parmi les trois. Supposons que c'est c'est-à-dire des variables
La condition de compatibilité pour un système de m équations linéaires à n variables est donnée en utilisant la notion de rang matriciel.
Rang matriciel – il s’agit d’un nombre égal à l’ordre le plus élevé d’un mineur autre que zéro.
Pour la matrice A
mineure k -ième commande sert de déterminant composé d'éléments de tout k lignes et k colonnes.
Par exemple,
Exemple 2
Trouver le rang d'une matrice
Calculons le déterminant de la matrice
Pour ce faire, multipliez la première ligne par (-4) et ajoutez-la avec la deuxième ligne, puis multipliez la première ligne par (-7) et ajoutez-la avec la troisième ligne, nous obtenons ainsi le déterminant
Parce que les lignes du déterminant résultant sont proportionnelles, alors 
.
De là, nous pouvons voir que le mineur du 3ème ordre est égal à 0 et que le mineur du 2ème ordre n'est pas égal à 0.
Le rang de la matrice est donc r=2.
Matrice étendue le système a la forme
Théorème de Kronecker-Capelli
Pour qu'un système linéaire soit cohérent, il faut et suffisant que le rang de la matrice étendue soit égal au rang de la matrice principale 
.
Si 
,
alors le système est incohérent.
Pour un système simultané d’équations linéaires, trois cas sont possibles :
1)Si 
, alors le système LU a (m-r) des équations linéairement dépendantes, elles peuvent être exclues du système ;
2) Si 
, alors le système LU a une solution unique ;
3) Si 
, alors le système LU a de nombreuses solutions
Un 21 x 1 + un 22 x 2 +...+ un 2pxp= b 2 ,
........................................
UN s 1 x 1 + un s 2 x 2 +...+ une s p x p= bs.
Nous y effectuerons des transformations élémentaires. Pour ce faire, on écrit une matrice de coefficients pour les inconnues du système (1) avec l'ajout d'une colonne de termes libres, autrement dit matrice étendue Ā pour le système (1) :
Supposons qu'à l'aide de telles transformations, il soit possible de réduire la matrice Ā au formulaire :
b 22 x 2 +...+b 2 r x r +...+b 2 n x n =c 2,......................................
b rr x r +...+brn x n =c r ,
qui est obtenu à partir du système (1) à l'aide d'un certain nombre de transformations élémentaires et est donc équivalent au système (1). Si dans le système (4) r=n, puis de la dernière équation, qui a la forme b nn x n = c n(Où b nn≠ 0), on trouve la seule valeur xn, de l’avant-dernière équation – la valeur xn-1(depuis xn déjà connu), etc., enfin, à partir de la première équation - la valeur x 1. Donc, au cas où) r=n le système a une solution unique. Si r
X 1 = un 1, r+1x r+1 +...+un 1 n X n+b 1,
|
|
............................................
X r=un r, r+1x r+1 +...+un r n X n+b r.
ce qui est essentiellement décision générale systèmes (1).
Les inconnues x r+1, ..., x n sont dites libres. A partir du système (5) il sera possible de retrouver les valeurs x1,..., x r.
Réduction matricielle Ā à la forme (3) n'est possible que dans le cas où le système d'équations d'origine (1) est cohérent. Si le système (1) est incohérent, alors une telle réduction est impossible. Cette circonstance s'exprime dans le fait que dans le processus de transformations matricielles Ā une ligne y apparaît dans laquelle tous les éléments sont égaux à zéro, sauf le dernier. Cette droite correspond à une équation de la forme :
0*x1 +0*x2 +...+0*x n=b,
qui n'est satisfait par aucune valeur des inconnues, puisque b≠0. Dans ce cas, le système est incohérent.
En transformant le système (1) en une forme pas à pas, des équations de la forme 0 = 0 peuvent être obtenues. Ils peuvent être écartés, car cela conduit à un système d'équations équivalent au précédent.
Lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode gaussienne, il est plus pratique de réduire non pas le système d'équations lui-même, mais la matrice étendue de ce système à une forme pas à pas, en effectuant toutes les transformations sur ses lignes. Les matrices séquentielles obtenues lors des transformations sont généralement reliées par un signe d'équivalence.
Résolvons le système d'équations à 4 inconnues suivant :
2x 1 +5x 2 +4x 3 +x 4 =20,
x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 =11,
2x 1 +10x 2 +9x 3 +7x 4 =40,
3x1 +8x2 +9x3 +2x4 =37.
Écrivons la matrice étendue de coefficients pour les inconnues avec l'ajout d'une colonne de termes libres.
Analysons les lignes de la matrice étendue :
Aux éléments de la 2ème ligne on ajoute les éléments de la 1ère, divisés par (-2) ;
De la 3ème ligne, soustrayez la 1ère ligne ;
A la 4ème ligne on ajoute la 1ère, multipliée par (-3/2).
En tant qu'outil de calcul, nous utiliserons les outils du programme Excel-97.
1. Allumez votre ordinateur.
2. Attendez que le système d'exploitation démarre Fenêtres, après quoi ouvrir une fenêtre Microsoft Excel.
3. Remplissez les cellules tableaux avec les valeurs de la matrice étendue (Fig. 11.1)
Riz. 11.1 Fig. 11.2
4. Pour exécuter l'algorithme verbal sélectionné, effectuez les actions suivantes.
· Activer la cellule A5 et à partir du clavier, saisissez-y une formule de la forme =A2+A1/(-2), après quoi saisie semi-automatique entrez les résultats numériques dans les cellules B5¸E5 ;
· Dans la cellule A6, nous placerons le résultat de la soustraction de la 1ère ligne de la 3ème, et encore une fois, en utilisant saisie semi-automatique, remplissez les cellules B6¸E6 ;
· dans la cellule A7 on écrit une formule de la forme =A4+A1*(-3/2) et saisie semi-automatique Entrons les résultats numériques dans les cellules B7¸E7.
5. Analysons à nouveau les lignes résultant des transformations élémentaires de la matrice afin de la ramener à une forme triangulaire.
·À la 6ème ligne, ajoutez le 5ème multiplié par le nombre (-10);
· soustraire le 5ème de la 7ème ligne.
Nous implémentons l'algorithme enregistré dans les cellules A8, A9, après quoi cachons-nous 6 et 7 – lignes (voir Fig. 11.3).
Riz. 11.3 Fig. 11.4
6. Et la dernière chose que vous devez faire pour amener la matrice sous forme triangulaire est d'ajouter la 8ème à la 9ème ligne, multipliée par (-3/5), après quoi cacher 9ème ligne (Fig. 11.4).
Comme vous pouvez le voir, les éléments de la matrice résultante sont dans les lignes 1, 5, 8 et 10, et le rang de la matrice résultante est r = 4, ce système d’équations a donc une solution unique. Écrivons le système résultant :
2x 1 +5x 2 +4x 3 + x 4 =20,
0,5x2 + 0,5x4 =1,
5x3 +x4 =10,
A partir de la dernière équation, nous trouvons facilement x 4 =0 ; à partir de la 3ème équation, nous trouvons x 3 =2 ; du 2ème – x 2 =2 et du 1er – x 1 =1, respectivement.
Missions pour un travail indépendant.
Utilisez la méthode de Gauss pour résoudre les systèmes d'équations :
Travail de laboratoire n°15. Trouver les racines de l'équation f(x)=0
Les méthodes de résolution d'équations linéaires et quadratiques étaient connues des anciens Grecs. La solution des équations des troisième et quatrième degrés a été obtenue grâce aux efforts des mathématiciens italiens S. Ferro, N. Tartaglia, G. Cartano, L. Ferrari à la Renaissance. Ensuite, il était temps de rechercher des formules permettant de trouver les racines des équations du cinquième degré et des degrés supérieurs. Des tentatives persistantes mais infructueuses se sont poursuivies pendant environ 300 ans et ont pris fin dans les années 20 du 21e siècle grâce aux travaux du mathématicien norvégien N. Abel. Il a prouvé que l'équation générale des puissances cinquième et supérieures est insoluble dans les radicaux. Solution de l'équation générale du nième degré
une 0 x n +une 1 x n -1 +…+une n -1 x+une n =0, une 0 ¹0 (1)
lorsque n³5 ne peut pas être exprimé par des coefficients en utilisant les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division, d'exponentiation et d'extraction de racine.
Pour les équations non algébriques comme
x–cos(x)=0 (2)
la tâche devient encore plus difficile. Dans ce cas, il est rarement possible de trouver des expressions explicites pour les racines.
Dans des conditions où les formules « ne fonctionnent pas », où l'on ne peut compter sur elles que dans les cas les plus simples, les algorithmes informatiques universels acquièrent une importance particulière. Il existe un certain nombre d'algorithmes connus qui permettent de résoudre le problème considéré.
L'utilisation d'équations est répandue dans nos vies. Ils sont utilisés dans de nombreux calculs, construction de structures et même dans le sport. L’homme utilisait des équations dans l’Antiquité et depuis lors, leur utilisation n’a fait que croître. Les équations à quatre inconnues peuvent avoir de nombreuses solutions possibles. En mathématiques, on rencontre souvent des équations de ce type. Pour résoudre correctement de telles équations, il est nécessaire d'utiliser toutes les caractéristiques des équations afin de simplifier et de raccourcir leur solution.
Regardons la solution de l'exemple suivant :
En additionnant la première et la deuxième équations par parties, vous pouvez obtenir une équation très simple :
\ ou \
Effectuons des actions similaires avec les équations 2 et 3 :
\ ou \
Nous résolvons les équations résultantes \ et \
On obtient \ et \
Nous substituons les nombres résultants dans les équations 1 et 3 :
\ ou \
\ ou \
Remplacer ces nombres par les deuxième et quatrième équations donnera exactement les mêmes équations.
Mais ce n’est pas tout, puisqu’il reste 2 équations à 2 inconnues à résoudre. Vous pouvez voir la solution à ce type d’équation dans les articles ici.
Où puis-je résoudre une équation à quatre inconnues en ligne ?
Vous pouvez résoudre des équations à inconnues en ligne sur https://site. Le solveur en ligne gratuit vous permettra de résoudre des équations en ligne de toute complexité en quelques secondes. Tout ce que vous avez à faire est simplement de saisir vos données dans le solveur. Vous pouvez également regarder des instructions vidéo et apprendre à résoudre l'équation sur notre site Web. Et si vous avez encore des questions, vous pouvez les poser dans notre groupe VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Rejoignez notre groupe, nous sommes toujours heureux de vous aider.
