Division et le numérateur et le dénominateur de la fraction sur leur diviseur commun, différent de un, s'appelle réduire une fraction.

Pour réduire une fraction commune, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre naturel.

Ce nombre est le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction donnée.

Les éléments suivants sont possibles formulaires d'enregistrement des décisions Exemples de réduction de fractions communes.

L'étudiant a le droit de choisir n'importe quelle forme d'enregistrement.

Exemples. Simplifiez les fractions.

Réduisez la fraction par 3 (divisez le numérateur par 3 ;

divisez le dénominateur par 3).

Réduisez la fraction de 7.

Nous effectuons les actions indiquées au numérateur et au dénominateur de la fraction.

La fraction résultante est réduite de 5.

Réduisons cette fraction 4) sur 5·7³- le plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur, qui est constitué des facteurs communs du numérateur et du dénominateur, portés à la puissance du plus petit exposant.

Factorisons le numérateur et le dénominateur de cette fraction en facteurs premiers.

On obtient : 756=2²·3³·7 Et 1176=2³·3·7².

Déterminer le PGCD (plus grand diviseur commun) du numérateur et du dénominateur de la fraction 5) .

C'est le produit de facteurs communs pris avec les exposants les plus bas.

pgcd(756, 1176)= 2²·3·7.

On divise le numérateur et le dénominateur de cette fraction par leur pgcd, c'est-à-dire par 2²·3·7 on obtient une fraction irréductible 9/14 .

Ou il était possible d'écrire la décomposition du numérateur et du dénominateur sous la forme d'un produit de facteurs premiers, sans utiliser la notion de puissance, puis de réduire la fraction en rayant les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Lorsqu'il ne reste plus de facteurs identiques, nous multiplions les facteurs restants séparément au numérateur et séparément au dénominateur et écrivons la fraction résultante 9/14 .

Et finalement, il a été possible de réduire cette fraction 5) progressivement, en appliquant des signes de division des nombres au numérateur et au dénominateur de la fraction. Pensons ainsi : les chiffres 756 Et 1176 se terminent par un nombre pair, ce qui signifie que les deux sont divisibles par 2 . On réduit la fraction de 2 . Le numérateur et le dénominateur de la nouvelle fraction sont des nombres 378 Et 588 également divisé en 2 . On réduit la fraction de 2 . On remarque que le nombre 294 - même, et 189 est étrange, et la réduction par 2 n'est plus possible. Vérifions la divisibilité des nombres 189 Et 294 sur 3 .

(1+8+9)=18 est divisible par 3 et (2+9+4)=15 est divisible par 3, d'où les nombres eux-mêmes 189 Et 294 sont divisés en 3 . On réduit la fraction de 3 . Suivant, 63 est divisible par 3 et 98 - Non. Regardons d'autres facteurs premiers. Les deux nombres sont divisibles par 7 . On réduit la fraction de 7 et on obtient la fraction irréductible 9/14 .

Elle est basée sur leur propriété fondamentale : si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont divisés par le même polynôme non nul, alors une fraction égale sera obtenue.

Vous ne pouvez que réduire les multiplicateurs !

Les membres des polynômes ne peuvent pas être abrégés !

Pour réduire une fraction algébrique, les polynômes du numérateur et du dénominateur doivent d’abord être factorisés.

Regardons des exemples de fractions réductrices.

Le numérateur et le dénominateur de la fraction contiennent des monômes. Ils représentent travail(nombres, variables et leurs puissances), multiplicateurs nous pouvons réduire.

On réduit les nombres par leur plus grand diviseur commun, c'est-à-dire par le plus grand nombre par lequel chacun de ces nombres est divisé. Pour 24 et 36, cela fait 12. Après réduction, il reste 2 de 24 et 3 de 36.

On réduit les degrés du degré ayant l'indice le plus bas. Réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par le même diviseur et soustraire les exposants.

a² et a⁷ se réduisent à a². Dans ce cas, on reste au numérateur de a² (on écrit 1 seulement dans le cas où, après réduction, il ne reste plus d'autres facteurs. De 24, il reste 2, donc on n'écrit pas 1 restant de a²). De a⁷, après réduction, a⁵ reste.

b et b sont réduits de b ; les unités résultantes ne sont pas écrites.

c³º et c⁵ sont raccourcis en c⁵. Ce qui reste de c³º est c²⁵, de c⁵ est un (on ne l'écrit pas). Ainsi,

Le numérateur et le dénominateur de cette fraction algébrique sont des polynômes. Vous ne pouvez pas annuler les termes des polynômes ! (vous ne pouvez pas réduire, par exemple, 8x² et 2x !). Pour réduire cette fraction, il vous faut . Le numérateur a un facteur commun de 4x. Sortons-le des parenthèses :

Le numérateur et le dénominateur ont le même facteur (2x-3). Nous réduisons la fraction de ce facteur. Au numérateur, nous avons 4x, au dénominateur - 1. Selon 1 propriété des fractions algébriques, la fraction est égale à 4x.

Vous ne pouvez réduire que des facteurs (vous ne pouvez pas réduire cette fraction de 25x² !). Par conséquent, les polynômes du numérateur et du dénominateur de la fraction doivent être factorisés.

Le numérateur est le carré complet de la somme, le dénominateur est la différence des carrés. Après décomposition par formules de multiplication abrégées, on obtient :

On réduit la fraction de (5x+1) (pour ce faire, rayez les deux au numérateur comme exposant, laissant (5x+1)² (5x+1)) :

Le numérateur a un facteur commun de 2, retirons-le des parenthèses. Le dénominateur est la formule de la différence des cubes :

À la suite de l'expansion, le numérateur et le dénominateur ont reçu le même facteur (9+3a+a²). On en réduit la fraction :

Le polynôme au numérateur est composé de 4 termes. le premier terme avec le deuxième, le troisième avec le quatrième, et supprimez le facteur commun x² des premières parenthèses. Nous décomposons le dénominateur en utilisant la formule de la somme des cubes :

Au numérateur, retirons le facteur commun (x+2) entre parenthèses :

Réduisez la fraction de (x+2) :

Niveau d'entrée

Conversion d'expressions. Théorie détaillée (2019)

Conversion d'expressions

On entend souvent cette phrase désagréable : « simplifier l’expression ». Habituellement, nous voyons une sorte de monstre comme celui-ci :

« C’est beaucoup plus simple », disons-nous, mais une telle réponse ne fonctionne généralement pas.

Maintenant, je vais vous apprendre à ne pas avoir peur de telles tâches. De plus, à la fin de la leçon, vous simplifierez vous-même cet exemple à (juste !) un nombre ordinaire (oui, au diable ces lettres).

Mais avant de commencer cette leçon, vous devez être capable de gérer les fractions et les polynômes factoriels. Par conséquent, d'abord, si vous ne l'avez jamais fait auparavant, assurez-vous de maîtriser les sujets « » et « ».

L'avez-vous lu ? Si oui, alors vous êtes maintenant prêt.

Opérations de simplification de base

Examinons maintenant les techniques de base utilisées pour simplifier les expressions.

Le plus simple est

1. Apporter des choses similaires

Qu'est-ce qui est similaire ? Vous avez suivi ce cours en 7e année, lorsque les lettres au lieu des chiffres sont apparues pour la première fois en mathématiques. Les termes (monômes) avec la même partie de lettre sont similaires. Par exemple, dans la somme, des termes similaires sont et.

Vous souvenez-vous?

Apporter des termes similaires signifie ajouter plusieurs termes similaires les uns aux autres et obtenir un terme.

Comment pouvons-nous assembler les lettres ? - demandez-vous.

C'est très facile à comprendre si l'on imagine que les lettres sont des sortes d'objets. Par exemple, une lettre est une chaise. Alors à quoi correspond l’expression ? Deux chaises plus trois chaises, combien y aura-t-il ? C'est vrai, chaises : .

Essayez maintenant cette expression : .

Pour éviter toute confusion, laissez différentes lettres représenter différents objets. Par exemple, - est (comme d'habitude) une chaise et - est une table. Alors:

chaises tables chaise tables chaises chaises tables

Les nombres par lesquels les lettres de ces termes sont multipliées sont appelés coefficients. Par exemple, dans un monôme, le coefficient est égal. Et c'est égal.

Ainsi, la règle pour en apporter des similaires est la suivante :

Exemples :

Donnez-en des similaires :

Réponses :

2. (et similaire, puisque ces termes ont donc la même partie lettre).

2. Factorisation

C’est généralement la partie la plus importante de la simplification des expressions. Après avoir donné des expressions similaires, l'expression résultante doit le plus souvent être factorisée, c'est-à-dire présentée comme un produit. Ceci est particulièrement important dans les fractions : pour pouvoir réduire une fraction, le numérateur et le dénominateur doivent être représentés comme un produit.

Vous avez parcouru en détail les méthodes de factorisation des expressions dans le sujet « », il vous suffit donc ici de vous rappeler ce que vous avez appris. Pour ce faire, décidez-en quelques-uns exemples(doit être factorisé):

Solutions :

3. Réduire une fraction.

Eh bien, quoi de plus agréable que de rayer une partie du numérateur et du dénominateur et de les jeter hors de votre vie ?

C'est la beauté de la réduction des effectifs.

C'est simple :

Si le numérateur et le dénominateur contiennent les mêmes facteurs, ils peuvent être réduits, c'est-à-dire supprimés de la fraction.

Cette règle découle de la propriété fondamentale d’une fraction :

Autrement dit, l’essence de l’opération de réduction est que On divise le numérateur et le dénominateur de la fraction par le même nombre (ou par la même expression).

Pour réduire une fraction, il vous faut :

1) numérateur et dénominateur factoriser

2) si le numérateur et le dénominateur contiennent facteurs communs, ils peuvent être barrés.

Le principe, je pense, est clair ?

Je voudrais attirer votre attention sur une erreur typique lors de l'abréviation. Bien que ce sujet soit simple, beaucoup de gens font tout de travers, sans comprendre que réduire- cela signifie diviser le numérateur et le dénominateur sont le même nombre.

Pas d'abréviations si le numérateur ou le dénominateur est une somme.

Par exemple : il faut simplifier.

Certaines personnes font cela : ce qui est absolument faux.

Autre exemple : réduire.

Les « plus intelligents » feront ceci : .

Dis-moi, qu'est-ce qui ne va pas ici ? Il semblerait : - il s'agit d'un multiplicateur, ce qui signifie qu'il peut être réduit.

Mais non : - il s'agit d'un facteur d'un seul terme du numérateur, mais le numérateur lui-même dans son ensemble n'est pas factorisé.

Voici un autre exemple : .

Cette expression est factorisée, ce qui signifie que vous pouvez la réduire, c'est-à-dire diviser le numérateur et le dénominateur par, puis par :

Vous pouvez immédiatement le diviser en :

Pour éviter de telles erreurs, rappelez-vous un moyen simple de déterminer si une expression est factorisée :

L’opération arithmétique effectuée en dernier lors du calcul de la valeur d’une expression est l’opération « maître ». Autrement dit, si vous remplacez des lettres par des (n'importe quel) nombres et essayez de calculer la valeur de l'expression, alors si la dernière action est une multiplication, alors nous avons un produit (l'expression est factorisée). Si la dernière action est une addition ou une soustraction, cela signifie que l'expression n'est pas factorisée (et donc ne peut pas être réduite).

Pour consolider, résolvez-en quelques-uns vous-même exemples:

Réponses :

1. J'espère que vous ne vous êtes pas immédiatement précipité pour couper et ? Il ne suffisait toujours pas de « réduire » des unités comme celle-ci :

La première étape devrait être la factorisation :

4. Additionner et soustraire des fractions. Réduire les fractions à un dénominateur commun.

Additionner et soustraire des fractions ordinaires est une opération familière : on cherche un dénominateur commun, on multiplie chaque fraction par le facteur manquant et on additionne/soustrait les numérateurs. Rappelons-nous :

Réponses :

1. Les dénominateurs et sont relativement premiers, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas de facteurs communs. Par conséquent, le LCM de ces nombres est égal à leur produit. Ce sera le dénominateur commun :

2. Ici, le dénominateur commun est :

3. Ici, tout d'abord, nous convertissons les fractions mixtes en fractions impropres, puis selon le schéma habituel :

C'est une tout autre affaire si les fractions contiennent des lettres, par exemple :

Commençons par quelque chose de simple :

a) Les dénominateurs ne contiennent pas de lettres

Ici, tout est comme avec les fractions numériques ordinaires : on trouve le dénominateur commun, on multiplie chaque fraction par le facteur manquant et on additionne/soustrait les numérateurs :

Maintenant, au numérateur, vous pouvez en donner des similaires, le cas échéant, et les factoriser :

Essayez-le vous-même :

b) Les dénominateurs contiennent des lettres

Rappelons le principe de trouver un dénominateur commun sans lettres :

· tout d'abord, nous déterminons les facteurs communs ;

· puis nous écrivons tous les facteurs communs un par un ;

· et multipliez-les par tous les autres facteurs non communs.

Pour déterminer les facteurs communs des dénominateurs, on les factorise d'abord en facteurs premiers :

Soulignons les facteurs communs :

Écrivons maintenant les facteurs communs un par un et ajoutons-y tous les facteurs non communs (non soulignés) :

C'est le dénominateur commun.

Revenons aux lettres. Les dénominateurs sont donnés exactement de la même manière :

· factoriser les dénominateurs ;

· déterminer les facteurs communs (identiques);

· notez tous les facteurs communs une fois ;

· multipliez-les par tous les autres facteurs non communs.

Donc dans l'ordre :

1) factoriser les dénominateurs :

2) déterminer les facteurs communs (identiques) :

3) écrivez une fois tous les facteurs communs et multipliez-les par tous les autres facteurs (non soulignés) :

Il y a donc ici un dénominateur commun. La première fraction doit être multipliée par, la seconde - par :

Au fait, il y a une astuce :

Par exemple: .

Nous voyons les mêmes facteurs dans les dénominateurs, mais tous avec des indicateurs différents. Le dénominateur commun sera :

dans une certaine mesure

dans une certaine mesure.

Compliquons la tâche :

Comment faire en sorte que des fractions aient le même dénominateur ?

Rappelons la propriété fondamentale d'une fraction :

Nulle part il n'est dit que le même nombre peut être soustrait (ou ajouté) au numérateur et au dénominateur d'une fraction. Parce que ce n'est pas vrai !

Voyez par vous-même : prenez n'importe quelle fraction, par exemple, et ajoutez un nombre au numérateur et au dénominateur, par exemple . Qu'avez-vous appris ?

Alors, une autre règle inébranlable :

Lorsque vous réduisez des fractions à un dénominateur commun, utilisez uniquement l’opération de multiplication !

Mais par quoi faut-il multiplier pour obtenir ?

Alors multipliez par. Et multipliez par :

Nous appellerons les expressions non factorisables « facteurs élémentaires ». Par exemple, c'est un facteur élémentaire. - Même. Mais non : cela peut être factorisé.

Et l'expression ? Est-ce élémentaire ?

Non, car il peut être factorisé :

(vous avez déjà lu sur la factorisation dans le sujet "").

Ainsi, les facteurs élémentaires en lesquels vous décomposez une expression avec des lettres sont analogues aux facteurs simples en lesquels vous décomposez des nombres. Et nous les traiterons de la même manière.

On voit que les deux dénominateurs ont un multiplicateur. Cela ira au dénominateur commun dans le degré (rappelez-vous pourquoi ?).

Le facteur est élémentaire, et ils n'ont pas de facteur commun, ce qui signifie qu'il faudra simplement multiplier la première fraction par celui-ci :

Autre exemple :

Solution:

Avant de multiplier ces dénominateurs en panique, faut-il réfléchir à comment les factoriser ? Ils représentent tous deux :

Super! Alors:

Autre exemple :

Solution:

Comme d'habitude, factorisons les dénominateurs. Dans le premier dénominateur, nous le mettons simplement entre parenthèses ; dans le second - la différence des carrés :

Il semblerait qu’il n’y ait pas de facteurs communs. Mais si on y regarde bien, ils se ressemblent... Et c'est vrai :

Alors écrivons :

Autrement dit, cela s'est passé comme ceci : à l'intérieur de la parenthèse, nous avons échangé les termes, et en même temps le signe devant la fraction a changé pour le contraire. Attention, vous devrez le faire souvent.

Maintenant, ramenons-le à un dénominateur commun :

J'ai compris? Vérifions-le maintenant.

Tâches pour une solution indépendante :

Réponses :

Ici, nous devons nous rappeler encore une chose : la différence entre les cubes :

Attention, le dénominateur de la deuxième fraction ne contient pas la formule « carré de la somme » ! Le carré de la somme ressemblerait à ceci : .

A est le carré dit incomplet de la somme : le deuxième terme est le produit du premier et du dernier, et non leur double produit. Le carré partiel de la somme est l'un des facteurs d'expansion de la différence des cubes :

Que faire s'il y a déjà trois fractions ?

Oui, la même chose ! Tout d’abord, assurons-nous que le nombre maximum de facteurs dans les dénominateurs est le même :

Attention : si vous changez les signes à l'intérieur d'une parenthèse, le signe devant la fraction change à l'opposé. Lorsque nous changeons les signes de la deuxième parenthèse, le signe devant la fraction change à nouveau en sens inverse. En conséquence, celui-ci (le signe devant la fraction) n'a pas changé.

Nous écrivons tout le premier dénominateur dans le dénominateur commun, puis y ajoutons tous les facteurs qui n'ont pas encore été écrits, du deuxième, puis du troisième (et ainsi de suite, s'il y a plus de fractions). Autrement dit, cela se passe comme ceci :

Hmm... Ce qu'il faut faire avec les fractions est clair. Mais qu’en est-il des deux ?

C'est simple : vous savez additionner des fractions, non ? Nous devons donc faire en sorte que deux deviennent une fraction ! Rappelons-le : une fraction est une opération de division (le numérateur est divisé par le dénominateur, au cas où vous l'auriez oublié). Et il n’y a rien de plus simple que de diviser un nombre par. Dans ce cas, le nombre lui-même ne changera pas, mais se transformera en fraction :

Juste ce dont vous avez besoin !

5. Multiplication et division de fractions.

Eh bien, le plus dur est passé maintenant. Et devant nous se trouve le plus simple, mais en même temps le plus important :

Procédure

Quelle est la procédure pour calculer une expression numérique ? Rappelez-vous en calculant le sens de cette expression :

As-tu compté ?

Cela devrait fonctionner.

Alors laissez-moi vous le rappeler.

La première étape consiste à calculer le diplôme.

La seconde est la multiplication et la division. S’il y a plusieurs multiplications et divisions en même temps, elles peuvent être effectuées dans n’importe quel ordre.

Et enfin, nous effectuons des additions et des soustractions. Encore une fois, dans n'importe quel ordre.

Mais : l'expression entre parenthèses est évaluée à contre-courant !

Si plusieurs parenthèses sont multipliées ou divisées les unes par les autres, nous calculons d'abord l'expression dans chacune des parenthèses, puis nous les multiplions ou les divisons.

Que se passe-t-il s'il y a plus de parenthèses à l'intérieur des parenthèses ? Eh bien, réfléchissons : une expression est écrite entre parenthèses. Lorsque vous calculez une expression, que devez-vous faire en premier ? C'est vrai, calculez les parenthèses. Eh bien, nous l'avons compris : nous calculons d'abord les parenthèses intérieures, puis tout le reste.

Ainsi, la procédure pour l'expression ci-dessus est la suivante (l'action en cours est surlignée en rouge, c'est-à-dire l'action que j'effectue en ce moment) :

D'accord, c'est tout simple.

Mais ce n’est pas la même chose qu’une expression avec des lettres ?

Non, c'est pareil ! Seulement au lieu d'opérations arithmétiques, vous devez effectuer des opérations algébriques, c'est-à-dire les actions décrites dans la section précédente : apportant des choses similaires, addition de fractions, réduction de fractions, etc. La seule différence sera l'action de factorisation des polynômes (nous l'utilisons souvent lorsque nous travaillons avec des fractions). Le plus souvent, pour factoriser, il faut utiliser I ou simplement mettre le facteur commun entre parenthèses.

Habituellement, notre objectif est de représenter l’expression sous forme de produit ou de quotient.

Par exemple:

Simplifions l'expression.

1) Tout d’abord, nous simplifions l’expression entre parenthèses. Nous avons là une différence de fractions, et notre objectif est de la présenter sous forme de produit ou de quotient. Ainsi, on ramène les fractions à un dénominateur commun et on ajoute :

Il est impossible de simplifier davantage cette expression ; tous les facteurs ici sont élémentaires (vous souvenez-vous encore de ce que cela signifie ?).

2) On obtient :

Multiplier des fractions : quoi de plus simple.

3) Vous pouvez maintenant raccourcir :

Eh bien, c'est tout. Rien de compliqué, non ?

Autre exemple :

Simplifiez l'expression.

Tout d’abord, essayez de le résoudre vous-même, puis examinez la solution.

Tout d'abord, déterminons l'ordre des actions. Tout d’abord, ajoutons les fractions entre parenthèses, ainsi au lieu de deux fractions, nous en obtenons une. Ensuite, nous ferons la division des fractions. Eh bien, ajoutons le résultat avec la dernière fraction. Je vais numéroter schématiquement les étapes :

Je vais maintenant vous montrer le processus, en teintant l'action en cours en rouge :

Enfin, je vais vous donner deux conseils utiles :

1. S'il y en a des similaires, ils doivent être apportés immédiatement. Chaque fois que des cas similaires surviennent dans notre pays, il convient de les évoquer immédiatement.

2. Il en va de même pour les fractions réductrices : dès qu’une opportunité de réduction apparaît, il faut en profiter. L'exception concerne les fractions que vous ajoutez ou soustrayez : si elles ont maintenant les mêmes dénominateurs, alors la réduction doit être laissée pour plus tard.

Voici quelques tâches à résoudre par vous-même :

Et ce qui a été promis au tout début :

Solutions (bref) :

Si vous avez traité au moins les trois premiers exemples, alors vous maîtrisez le sujet.

Passons maintenant à l'apprentissage !

CONVERSION DES EXPRESSIONS. RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE

Opérations de simplification de base :

Apporter des choses similaires: pour ajouter (réduire) des termes similaires, vous devez ajouter leurs coefficients et attribuer la partie lettre.
Factorisation : mettre le facteur commun entre parenthèses, l'appliquer, etc.
Réduire une fraction: Le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être multipliés ou divisés par le même nombre non nul, ce qui ne change pas la valeur de la fraction.
1) numérateur et dénominateur factoriser
2) si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, ils peuvent être barrés.
IMPORTANT : seuls les multiplicateurs peuvent être réduits !
Additionner et soustraire des fractions :
;
Multiplier et diviser des fractions :
;

Dans cet article, nous examinerons opérations de base avec des fractions algébriques:

fractions réductrices
multiplier des fractions
diviser des fractions

Commençons par réduction de fractions algébriques.

Il semblerait algorithmeévident.

À réduire les fractions algébriques, il faut

1. Factorisez le numérateur et le dénominateur de la fraction.

2. Réduisez les facteurs égaux.

Cependant, les écoliers commettent souvent l'erreur de « réduire » non pas les facteurs, mais les termes. Par exemple, il y a des amateurs qui « réduisent » des fractions et obtiennent le résultat, ce qui, bien sûr, n'est pas vrai.

Regardons des exemples :

1. Réduire une fraction :

1. Factorisons le numérateur en utilisant la formule du carré de la somme, et le dénominateur en utilisant la formule de la différence des carrés

2. Divisez le numérateur et le dénominateur par

2. Réduire une fraction :

1. Factorisons le numérateur. Puisque le numérateur contient quatre termes, nous utilisons le regroupement.

2. Factorisons le dénominateur. Nous pouvons également utiliser le regroupement.

3. Écrivons la fraction que nous avons obtenue et réduisons les mêmes facteurs :

Multiplier des fractions algébriques.

Lors de la multiplication de fractions algébriques, nous multiplions le numérateur par le numérateur et multiplions le dénominateur par le dénominateur.

Important! Il n'est pas nécessaire de se précipiter pour multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction. Après avoir écrit le produit des numérateurs des fractions au numérateur et le produit des dénominateurs au dénominateur, nous devons factoriser chaque facteur et réduire la fraction.

Regardons des exemples :

3. Simplifiez l'expression :

1. Écrivons le produit des fractions : au numérateur le produit des numérateurs, et au dénominateur le produit des dénominateurs :

2. Factorisons chaque parenthèse :

Nous devons maintenant réduire les mêmes facteurs. Notez que les expressions et ne diffèrent que par le signe : et en divisant la première expression par la seconde, nous obtenons -1.

Donc,

On divise les fractions algébriques selon la règle suivante :

C'est Pour diviser par une fraction, vous devez multiplier par celui « inversé ».

On voit que diviser des fractions revient à multiplier, et la multiplication revient finalement à réduire des fractions.

Regardons un exemple :

4. Simplifiez l'expression :

Cet article continue le sujet de la conversion de fractions algébriques : considérons une action telle que la réduction de fractions algébriques. Définissons le terme lui-même, formulons une règle de réduction et analysons des exemples pratiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

La signification de réduire une fraction algébrique

Dans les documents sur les fractions communes, nous avons examiné sa réduction. Nous avons défini la réduction d'une fraction comme la division de son numérateur et de son dénominateur par un facteur commun.

Réduire une fraction algébrique est une opération similaire.

Définition 1

Réduire une fraction algébrique est la division de son numérateur et de son dénominateur par un facteur commun. Dans ce cas, contrairement à la réduction d'une fraction ordinaire (le dénominateur commun ne peut être qu'un nombre), le facteur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction algébrique peut être un polynôme, notamment un monôme ou un nombre.

Par exemple, la fraction algébrique 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 peut être réduite du nombre 3, ce qui donne : x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Nous pouvons réduire la même fraction par la variable x, et cela nous donnera l'expression 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Il est également possible de réduire une fraction donnée par un monôme 3x ou l'un des polynômes x + 2 ans, 3 x + 6 oui , x 2 + 2 x oui ou 3 x 2 + 6 x y.

Le but ultime de la réduction d’une fraction algébrique est d’obtenir une fraction d’une forme plus simple, au mieux une fraction irréductible.

Toutes les fractions algébriques sont-elles sujettes à réduction ?

Encore une fois, à partir de matériaux sur des fractions ordinaires, nous savons qu'il existe des fractions réductibles et irréductibles. Les fractions irréductibles sont des fractions qui n'ont pas de facteurs communs au numérateur et au dénominateur autres que 1.

C’est la même chose avec les fractions algébriques : elles peuvent avoir des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, ou non. La présence de facteurs communs permet de simplifier la fraction originale par réduction. Lorsqu’il n’y a pas de facteurs communs, il est impossible d’optimiser une fraction donnée par la méthode de réduction.

Dans les cas généraux, étant donné le type de fraction, il est assez difficile de comprendre si elle peut être réduite. Bien entendu, dans certains cas, la présence d’un facteur commun entre le numérateur et le dénominateur est évidente. Par exemple, dans la fraction algébrique 3 x 2 3 y, il est clair que le facteur commun est le nombre 3.

Dans la fraction - x · y 5 · x · y · z 3 on comprend aussi immédiatement qu'elle peut être réduite de x, ou y, ou x · y. Et pourtant, il existe bien plus souvent des exemples de fractions algébriques, où le facteur commun du numérateur et du dénominateur n'est pas si facile à voir, et encore plus souvent, il est tout simplement absent.

Par exemple, nous pouvons réduire la fraction x 3 - 1 x 2 - 1 de x - 1, alors que le facteur commun spécifié n'est pas présent dans l'entrée. Mais la fraction x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ne peut pas être réduite, puisque le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteur commun.

Ainsi, la question de déterminer la réductibilité d'une fraction algébrique n'est pas si simple, et il est souvent plus facile de travailler avec une fraction d'une forme donnée que d'essayer de savoir si elle est réductible. Dans ce cas, de telles transformations ont lieu qui permettent dans des cas particuliers de déterminer le facteur commun du numérateur et du dénominateur ou de tirer une conclusion sur l'irréductibilité d'une fraction. Nous examinerons cette question en détail dans le prochain paragraphe de l'article.

Règle de réduction des fractions algébriques

Règle de réduction des fractions algébriques se compose de deux actions séquentielles :

trouver les facteurs communs du numérateur et du dénominateur ;
s'il y en a, l'action de réduction de la fraction est réalisée directement.

La méthode la plus pratique pour trouver des dénominateurs communs consiste à factoriser les polynômes présents dans le numérateur et le dénominateur d’une fraction algébrique donnée. Cela vous permet de voir immédiatement et clairement la présence ou l'absence de facteurs communs.

L'action même de réduire une fraction algébrique repose sur la propriété principale d'une fraction algébrique, exprimée par l'égalité indéfinie, où a, b, c sont des polynômes et b et c sont non nuls. La première étape consiste à réduire la fraction à la forme a · c b · c, dans laquelle on remarque immédiatement le facteur commun c. La deuxième étape consiste à effectuer une réduction, c'est-à-dire transition vers une fraction de la forme a b .

Exemples typiques

Malgré quelques évidences, clarifions le cas particulier où le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique sont égaux. Les fractions similaires sont identiquement égales à 1 sur l'ensemble de l'ODZ des variables de cette fraction :

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; xx = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1 ; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Les fractions ordinaires étant un cas particulier des fractions algébriques, rappelons comment elles se réduisent. Les nombres naturels écrits au numérateur et au dénominateur sont pris en compte en facteurs premiers, puis les facteurs communs sont annulés (le cas échéant).

Par exemple, 24 1 260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Le produit de facteurs simples et identiques peut être écrit sous forme de puissances et, dans le processus de réduction d'une fraction, utiliser la propriété de diviser des puissances avec des bases identiques. Alors la solution ci-dessus serait :

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(numérateur et dénominateur divisés par un facteur commun 2 2 3). Ou pour plus de clarté, en fonction des propriétés de multiplication et de division, nous donnons à la solution la forme suivante :

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Par analogie, on effectue la réduction de fractions algébriques, dans lesquelles le numérateur et le dénominateur ont des monômes à coefficients entiers.

Exemple 1

La fraction algébrique est donnée - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Il faut le réduire.

Solution

Il est possible d'écrire le numérateur et le dénominateur d'une fraction donnée comme un produit de facteurs et de variables simples, puis d'effectuer la réduction :

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 une 3 2 c 6

Cependant, une manière plus rationnelle serait d’écrire la solution sous la forme d’une expression avec des puissances :

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · une 3 2 · c 6 = · - 9 · une 3 2 · c 6 .

Répondre:- 27 une 5 b 2 c z 6 une 2 b 2 c 7 z = - 9 une 3 2 c 6

Lorsque le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique contiennent des coefficients numériques fractionnaires, il existe deux manières possibles d'agir : soit diviser ces coefficients fractionnaires séparément, soit d'abord se débarrasser des coefficients fractionnaires en multipliant le numérateur et le dénominateur par un nombre naturel. La dernière transformation est effectuée en raison de la propriété fondamentale d'une fraction algébrique (vous pouvez en lire plus dans l'article « Réduire une fraction algébrique à un nouveau dénominateur »).

Exemple 2

La fraction donnée est 2 5 x 0, 3 x 3. Il faut le réduire.

Solution

Il est possible de réduire la fraction de cette façon :

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Essayons de résoudre le problème différemment, en nous débarrassant d'abord des coefficients fractionnaires - multiplions le numérateur et le dénominateur par le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces coefficients, c'est-à-dire sur LCM (5, 10) = 10. On obtient alors :

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Réponse : 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Lorsque nous réduisons des fractions algébriques générales, dans lesquelles les numérateurs et les dénominateurs peuvent être soit des monômes, soit des polynômes, il peut y avoir un problème où le facteur commun n'est pas toujours immédiatement visible. Ou d’ailleurs, cela n’existe tout simplement pas. Ensuite, pour déterminer le facteur commun ou enregistrer le fait de son absence, le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique sont factorisés.

Exemple 3

La fraction rationnelle 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 est donnée. Il faut le réduire.

Solution

Factorisons les polynômes au numérateur et au dénominateur. Mettons-le entre parenthèses :

2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49)

On voit que l'expression entre parenthèses peut être convertie à l'aide de formules de multiplication abrégées :

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

On voit bien qu'il est possible de réduire une fraction d'un facteur commun b 2 (a + 7). Faisons une réduction :

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Écrivons une solution courte sans explication sous la forme d'une chaîne d'égalités :

2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (une 2 + 14 une + 49) b 3 (une 2 - 49) = = 2 b 2 (une + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Répondre: 2 une 2 b 2 + 28 une b 2 + 98 b 2 une 2 b 3 - 49 b 3 = 2 une + 14 une b - 7 b.

Il arrive que des facteurs communs soient masqués par des coefficients numériques. Ensuite, lors de la réduction de fractions, il est optimal de mettre entre parenthèses les facteurs numériques aux puissances supérieures du numérateur et du dénominateur.

Exemple 4

Étant donné la fraction algébrique 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Il faut le réduire si possible.

Solution

À première vue, le numérateur et le dénominateur n’ont pas de dénominateur commun. Cependant, essayons de convertir la fraction donnée. Retirons le facteur x au numérateur :

1 5 x - 2 7 x 3 oui 5 x 2 oui - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 oui 5 x 2 oui - 3 1 2

Vous pouvez maintenant voir une certaine similitude entre l'expression entre parenthèses et l'expression au dénominateur en raison de x 2 y . Retirons les coefficients numériques des puissances supérieures de ces polynômes :

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 ans 5 x 2 ans - 7 10

Maintenant que le facteur commun devient visible, on effectue la réduction :

2 7 x - 7 10 + x 2 oui 5 x 2 oui - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Répondre: 1 5 x - 2 7 x 3 oui 5 x 2 oui - 3 1 2 = - 2 35 x .

Soulignons que l'habileté à réduire des fractions rationnelles dépend de la capacité à factoriser des polynômes.

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