Comment simplifier un radical complexe. Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

À première vue, il peut sembler que la procédure de factorisation d'une racine carrée est complexe et inaccessible. Mais ce n'est pas vrai. Dans cet article, nous allons vous montrer comment aborder les racines carrées et les facteurs, et résoudre facilement les racines carrées à l'aide de deux méthodes éprouvées.

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Factoriser une racine

Tout d’abord, définissons le but de la procédure de factorisation de racine carrée. Cible- simplifiez la racine carrée et écrivez-la sous une forme pratique pour les calculs.

Définition 1

Factoriser une racine carrée, c'est trouver deux nombres ou plus qui, multipliés les uns par les autres, donneront un nombre égal à l'original. Par exemple : 4x4 = 16.

Si vous parvenez à trouver les facteurs, vous pouvez facilement simplifier l’expression de la racine carrée ou l’éliminer complètement :

Exemple 1

Divisez le nombre radical par 2 s'il est pair.

Le nombre radical doit toujours être divisé par des nombres premiers, puisque toute valeur de nombre premier peut être factorisée en facteurs premiers. Si vous avez un nombre impair, essayez de le diviser par 3. Pas divisible par 3 ? Continuez à diviser par 5, 7, 9, etc.

Écrivez l’expression comme racine du produit de deux nombres.

Par exemple, vous pouvez simplifier 98 de cette façon : = 98 ÷ 2 = 49. Il s’ensuit que 2 × 49 = 98, on peut donc réécrire le problème comme suit : 98 = (2 × 49).

Continuez à décomposer les nombres jusqu'à ce que le produit de deux nombres identiques et d'autres nombres reste sous la racine.

Reprenons notre exemple (2×49) :

Puisque 2 est déjà simplifié au maximum, il est nécessaire de simplifier 49. Nous recherchons un nombre premier divisible par 49. Évidemment, ni 3 ni 5 ne conviennent. Cela laisse 7 : 49 ÷ 7 = 7, donc 7 × 7 = 49.

On écrit l'exemple sous la forme suivante : (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

Simplifiez l'expression de la racine carrée.

Puisque entre parenthèses nous avons le produit de 2 et de deux nombres identiques (7), nous pouvons retirer le nombre 7 du signe racine.

Exemple 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

Au moment où il y a deux nombres identiques sous la racine, arrêtez de factoriser les nombres. Bien sûr, si vous avez utilisé au maximum toutes les possibilités.

N'oubliez pas : il existe des racines qui peuvent être simplifiées plusieurs fois.

Dans ce cas, les nombres que nous retirons sous la racine et les nombres qui se trouvent devant sont multipliés.

Exemple 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

mais 45 peut être factorisé et la racine simplifiée à nouveau.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Lorsqu'il est impossible d'obtenir deux nombres identiques sous le signe racine, cela signifie qu'une telle racine ne peut pas être simplifiée.

Si, après avoir décomposé l'expression radicale en produit de nombres premiers, vous ne parvenez pas à obtenir deux nombres identiques, alors une telle racine ne peut pas être simplifiée.

Exemple 4

70 = 35 × 2, donc 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5, donc (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Comme vous pouvez le constater, les trois facteurs sont des nombres premiers qui ne peuvent pas être factorisés. Il n'y a pas de nombres identiques parmi eux, il n'est donc pas possible de supprimer un entier sous la racine. Simplifier 70 c'est interdit.

Carré complet

Mémorisez quelques carrés de nombres premiers.

Le carré d'un nombre s'obtient en le multipliant par lui-même, c'est-à-dire lors de la mise au carré. Si vous vous souvenez de dix carrés de nombres premiers, cela vous simplifiera grandement la vie en simplifiant davantage les racines.

Exemple 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

S'il y a un carré complet sous le signe racine de la racine carrée, il vaut la peine de supprimer le signe racine et d'écrire la racine carrée de ce carré complet.

Difficile? Non:

Exemple 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Essayez de décomposer le nombre sous le signe racine en le produit d'un carré parfait et d'un autre nombre.

Si vous voyez que l'expression radicale est décomposée en le produit d'un carré parfait et d'un nombre, alors en vous souvenant de quelques exemples, vous économiserez considérablement du temps et des nerfs :

Exemple 7

50 = (25 × 2) = 5 2. Si le nombre radical se termine par 25, 50 ou 75, vous pouvez toujours le prendre en compte dans le produit de 25 et d'un certain nombre.

1700 = (100 × 17) = 10 17. Si le nombre radical se termine par 00, vous pouvez toujours le prendre en compte dans le produit de 100 et d’un certain nombre.

72 = (9 × 8) = 3 8. Si la somme des chiffres d’un nombre radical est 9, vous pouvez toujours la prendre en compte dans le produit de 9 et d’un nombre.

Essayez de décomposer le nombre radical en produit de plusieurs carrés complets : retirez-les sous le signe racine et multipliez.

Exemple 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

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Formules de racines. Propriétés des racines carrées.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Dans la leçon précédente, nous avons découvert ce qu’est une racine carrée. Il est temps de découvrir lesquels existent formules pour les racines que sont propriétés des racines, et que peut-on faire avec tout cela.

Formules de racines, propriétés des racines et règles de travail avec les racines- c'est essentiellement la même chose. Il existe étonnamment peu de formules pour les racines carrées. Ce qui me fait certainement plaisir ! Ou plutôt, vous pouvez écrire de nombreuses formules différentes, mais pour un travail pratique et confiant avec les racines, trois seulement suffisent. Tout le reste découle de ces trois-là. Bien que beaucoup de gens soient confus dans les trois formules de racines, oui...

Commençons par le plus simple. C'est ici:

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Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Une expression radicale est une expression algébrique placée sous le signe d’une racine (carrée, cubique ou d’ordre supérieur). Parfois, les significations de différentes expressions peuvent être les mêmes, par exemple 1/(√2 - 1) = √2 + 1. La simplification de l'expression radicale vise à l'amener à une forme canonique de notation. Si deux expressions écrites sous forme canonique sont encore différentes, leurs valeurs ne sont pas égales. En mathématiques, on pense que la forme canonique d'écriture des expressions radicales (ainsi que des expressions avec racines) correspond aux règles suivantes :

• Si possible, supprimez la fraction sous le signe racine
• Débarrassez-vous des expressions avec des exposants fractionnaires
• Si possible, débarrassez-vous des racines du dénominateur
• Débarrassez-vous de l’opération de multiplication racine par racine
• Sous le signe racine, vous ne devez laisser que les termes dont il est impossible d'extraire une racine entière

Ces règles peuvent être appliquées aux tâches de test. Par exemple, si vous avez résolu un problème, mais que le résultat ne correspond à aucune des réponses données, écrivez le résultat sous forme canonique. Gardez à l'esprit que les réponses aux tâches de test sont données sous forme canonique, donc si vous écrivez le résultat sous la même forme, vous pouvez facilement déterminer la bonne réponse. Si un problème nécessite de « simplifier la réponse » ou de « simplifier les expressions radicales », il est nécessaire d'écrire le résultat sous forme canonique. De plus, la forme canonique facilite la résolution des équations, même si certaines équations sont plus faciles à résoudre si l'on oublie la notation canonique pendant un certain temps.

Mesures

Se débarrasser des carrés pleins et des cubes pleins

Se débarrasser d'une expression avec un exposant fractionnaire

Convertissez l'expression avec un exposant fractionnaire en une expression radicale. Ou, si nécessaire, convertissez l'expression radicale en expression fractionnaire, mais ne mélangez jamais ces expressions dans la même équation, par exemple, comme ceci : √5 + 5^(3/2). Disons que vous décidez de travailler avec les racines ; Nous désignerons la racine carrée de n par √n, et la racine cubique de n par le cube√n.

Se débarrasser des fractions sous le signe racine

Selon la forme canonique de notation, la racine d'une fraction doit être représentée comme une division des racines d'entiers.

Regardez l'expression radicale. S'il s'agit d'une fraction, passez à l'étape suivante.

Remplacez la racine de la fraction par le rapport des deux racines selon l'identité suivante :√(une/b) = √une/√b.

• N'utilisez pas cette identité si le dénominateur est négatif ou comprend une variable qui peut être négative. Dans ce cas, simplifiez d’abord la fraction.

1. Simplifiez les carrés parfaits (si vous les avez). Par exemple, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Élimination de l'opération de multiplication des racines

Se débarrasser des facteurs qui sont des carrés parfaits

Factorisez le nombre radical. Les facteurs sont des nombres qui, une fois multipliés, produisent le nombre d'origine. Par exemple, 5 et 4 sont deux facteurs du nombre 20. Si une racine entière ne peut être extraite d'un nombre radical, factorisez le nombre en facteurs possibles et trouvez un carré parfait parmi eux.

• Par exemple, notez tous les facteurs de 45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 est un facteur de 45 (9 x 5 = 45) et un carré parfait (9 = 3^2).

1. Prenez le multiplicateur, qui est un carré parfait, au-delà du signe racine. 9 est un carré parfait car 3 x 3 = 9. Débarrassez-vous du 9 sous le signe racine et écrivez un 3 avant le signe racine ; sous le signe racine il y aura 5. Si vous mettez le chiffre 3 sous le signe racine, il sera multiplié par lui-même et par le nombre 5, soit 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Ainsi, 3 √ 5 est une forme simplifiée de notation √45.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Trouvez le carré parfait dans l'expression radicale avec la variable. Rappelez-vous : √(a^2) = |a|. Une telle expression peut être simplifiée en « a », mais seulement si la variable prend des valeurs positives. √(a^3) peut être décomposé en √a * √(a^2), car lors de la multiplication de variables identiques, leurs exposants s'additionnent (a * a^2 = a^3).

   • Ainsi, dans l’expression a^3, le carré parfait est a^2.

3. Supprimez la variable qui est un carré parfait en dehors du signe racine. Débarrassez-vous du a^2 sous le signe racine et écrivez un « a » avant le signe racine. Ainsi, √(a^3) = a√a.

   Donnez des termes similaires et simplifiez toutes les expressions rationnelles.

Se débarrasser des racines dans le dénominateur (rationalisation du dénominateur)

1. Selon la forme canonique, le dénominateur ne doit, si possible, comprendre que des nombres entiers (ou un polynôme si une variable est présente).

   • Si le dénominateur est un monôme radical, tel que [numérateur]/√5, multipliez le numérateur et le dénominateur par cette racine : ([numérateur] * √5)/(√5 * √5) = ([numérateur] * √5 )/5.
     • Pour une racine cubique ou une racine supérieure, multipliez le numérateur et le dénominateur par la racine avec le radical à la puissance appropriée pour rationaliser le dénominateur. Si, par exemple, le dénominateur est le cube de √5, multipliez le numérateur et le dénominateur par le cube de √(5^2).
   • Si le dénominateur est une somme ou une différence de racines carrées, comme √2 + √6, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué, c'est-à-dire l'expression avec le signe opposé entre ses termes. Par exemple : [numérateur]/(√2 + √6) = ([numérateur] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Utilisez ensuite la formule de la différence des carrés ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2) pour rationaliser le dénominateur : (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • La formule de la différence des carrés peut également être appliquée à une expression de la forme 5 + √3 car tout entier est la racine carrée d'un autre entier. Par exemple : 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • Cette méthode peut être appliquée à la somme de racines carrées telles que √5 - √6 + √7. Si vous regroupez cette expression sous la forme (√5 - √6) + √7 et que vous la multipliez par (√5 - √6) - √7, vous ne vous débarrasserez pas des racines, mais obtiendrez une expression de la forme a + b * √30, où " a" et "b" sont des monômes sans racine. Ensuite, l'expression résultante peut être multipliée par son conjugué : (a + b * √30)(a - b * √30) pour se débarrasser des racines. Autrement dit, si une expression conjuguée peut être utilisée une fois pour se débarrasser d’un certain nombre de racines, elle peut alors être utilisée autant de fois que nécessaire pour se débarrasser de toutes les racines.
     • Cette méthode s'applique également aux racines de puissances supérieures, comme l'expression « 4e racine de 3 plus 7e racine de 9 ». Dans ce cas, multipliez le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur. Mais ici l’expression conjuguée sera légèrement différente de celles décrites ci-dessus. Vous pouvez lire ce cas dans les manuels d’algèbre.
2. Les méthodes décrites ne peuvent pas être appliquées à certains problèmes simples. Pour certains problèmes complexes, ces méthodes doivent être appliquées plusieurs fois. Simplifiez étape par étape les expressions obtenues, puis vérifiez si la réponse finale est écrite sous forme canonique, dont les critères sont donnés au tout début de cet article. Si la réponse est présentée sous forme canonique, le problème est résolu ; sinon, utilisez à nouveau l’une des méthodes décrites.
3. En règle générale, la forme canonique de notation s'applique également aux nombres complexes (i = √(-1)). Même si un nombre complexe s’écrit i plutôt que racine, il est préférable de supprimer le i du dénominateur.
4. Certaines des méthodes décrites ici impliquent de travailler avec des racines carrées. Les principes généraux sont les mêmes pour les racines cubiques ou les racines supérieures, mais certaines méthodes (notamment la méthode de rationalisation du dénominateur) peuvent être assez difficiles à leur appliquer. De plus, demandez à votre professeur la notation correcte des racines (cube√4 ou cube√(2^2)).
5. Dans certaines sections de cet article, le concept de « forme canonique » est utilisé de manière incorrecte ; ce dont nous devrions vraiment parler, c'est d'une « forme standard » de notation. La différence est que la forme canonique nécessite d'écrire soit 1 + √2, soit √2 +1 ; la forme standard implique que les deux expressions (1 + √2 et √2 +1) sont sans aucun doute égales, même si elles sont écrites différemment. Ici, « sûrement » signifie arithmétique (l'addition est commutative) plutôt que propriétés algébriques (√2 ​​​​est une racine non négative de x^2-2).
6. Si les méthodes décrites semblent ambiguës ou se contredisent, effectuez des opérations mathématiques cohérentes et sans ambiguïté et écrivez la réponse comme l'exige l'enseignant ou comme prescrit dans le manuel.

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Le but de la simplification de la racine carrée est de la réécrire sous une forme plus facile à utiliser dans les calculs.

Factoriser un nombre consiste à trouver deux nombres ou plus qui, une fois multipliés, donneront le nombre d'origine, par exemple 3 x 3 = 9. En trouvant les facteurs, vous pouvez simplifier la racine carrée ou vous en débarrasser complètement. Par exemple, √9 = √(3x3) = 3. Si le nombre radical est pair, divisez-le par 2.

Si le nombre radical est impair, essayez de le diviser par 3 (si le nombre n'est pas divisible par 3, divisez-le par 5, 7, et ainsi de suite dans la liste des nombres premiers). Divisez le nombre radical exclusivement en nombres premiers, puisque n'importe quel nombre peut être factorisé en facteurs premiers. Par exemple, vous n'avez pas besoin de diviser le radical par 4 car 4 est divisible par 2 et vous avez déjà divisé le radical par 2. Réécrivez le problème comme racine du produit de deux nombres.