La leçon vidéo « Le troisième critère d'égalité des triangles » contient une preuve du théorème, qui est un critère d'égalité de deux triangles sur trois côtés. Ce théorème est une partie importante de la géométrie. Il est souvent utilisé pour résoudre des problèmes pratiques. Sa preuve s'appuie sur les critères d'égalité des triangles déjà connus des étudiants.
La preuve de ce théorème est complexe, donc, afin d'améliorer la qualité de l'enseignement et de développer la capacité à prouver des énoncés géométriques, il est conseillé d'utiliser cette aide visuelle, qui aidera à concentrer l'attention des élèves sur la matière étudiée. Aussi, à l'aide d'animations, de démonstrations visuelles de constructions et de preuves, il permet d'améliorer la qualité des apprentissages.
Au début de la leçon, le titre du sujet est démontré et un théorème est formulé selon lequel les triangles sont égaux si tous les côtés d'un triangle sont deux à deux égaux à tous les côtés du deuxième triangle. Le texte du théorème est affiché à l'écran et peut être noté par les élèves dans un cahier. Ensuite, nous considérons la preuve de ce théorème.
Pour prouver le théorème, les triangles ΔАВС et ΔА 1 В 1 С 1 sont construits. Des conditions du théorème, il s'ensuit que les côtés sont égaux par paires, c'est-à-dire AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 et AC = A 1 C 1. Au début de la preuve, nous démontrons l'imposition du triangle ΔABC sur ΔA 1 B 1 C 1 de sorte que les sommets A et A 1, ainsi que B et B 1 de ces triangles soient alignés. Dans ce cas, les sommets C et C 1 doivent être situés sur les côtés opposés des côtés superposés AB et A 1 B 1. Avec cette construction, plusieurs options pour la disposition des éléments triangulaires sont possibles :
- Le rayon C 1 C se trouve à l'intérieur de l'angle ∠A 1 C 1 B 1.
- Le rayon C 1 C coïncide avec l'un des côtés de l'angle ∠A 1 C 1 B 1.
- Le rayon C 1 C se trouve à l'extérieur de l'angle ∠A 1 C 1 B 1.
Chaque cas doit être examiné séparément, puisque les preuves ne peuvent pas être les mêmes pour tous les cas donnés. Dans le premier cas, deux triangles formés à la suite d’une construction sont considérés. Puisque, par condition, dans ces triangles les côtés AC = A 1 C 1 et BC = B 1 C 1, alors les triangles résultants ΔB 1 C 1 C et ΔA 1 C 1 sont isocèles. En utilisant la propriété étudiée des triangles isocèles, nous pouvons affirmer que les angles ∠1 et ∠2 sont égaux entre eux, et que ∠3 et ∠4 sont également égaux. Puisque ces angles sont égaux, alors la somme de ∠1 et ∠3, ainsi que de ∠2 et ∠4 donnera également des angles égaux. Par conséquent, les angles ∠С et ∠С 1 sont égaux. Ayant prouvé ce fait, on peut réexaminer les triangles ΔABC et ΔA 1 B 1 C 1, dans lesquels les côtés BC = B 1 C 1 et AC = A 1 C 1 selon les conditions du théorème, et il est prouvé que les angles entre eux sont ∠C et ∠C 1 sont également égaux. En conséquence, ces triangles seront égaux selon le premier signe d'égalité des triangles, déjà connu des élèves.
Dans le second cas, lorsque les triangles étaient superposés, les points C et C 1 se trouvaient sur une seule droite passant par le point B (B 1). La somme de deux triangles ΔАВС et ΔА 1 В 1 С 1 donne un triangle ΔСАС 1, dans lequel les deux côtés AC = А 1 С 1 sont égaux selon les conditions du théorème. Ce triangle est donc isocèle. Dans un triangle isocèle, les côtés égaux ont des angles égaux, on peut donc dire que les angles ∠С=∠С 1. Il résulte également des conditions du théorème que les côtés BC et B 1 C 1 sont égaux entre eux, donc ΔABC et ΔA 1 B 1 C 1, compte tenu des faits énoncés, sont égaux entre eux selon le premier signe d'égalité des triangles.
La preuve dans le troisième cas, semblable aux deux premiers, utilise le premier signe d'égalité des triangles. La figure géométrique construite par superposition de triangles, lorsqu'elle est reliée par un segment de sommets C et C 1, se transforme en un triangle ΔB 1 C 1 C. Ce triangle est isocèle, puisque ses côtés B 1 C 1 et B 1 C sont égaux par condition. Et avec des côtés égaux dans un triangle isocèle, les angles ∠С et ∠С 1 sont également égaux. Puisque, selon les conditions du théorème, les côtés AC = A 1 C 1 sont égaux, alors leurs angles dans le triangle isocèle ΔАСС 1 sont également égaux. Compte tenu du fait que les angles ∠C et ∠C 1 sont égaux et que les angles ∠DCA et ∠DC 1 A sont égaux entre eux, alors les angles ∠ACB et ∠AC 1 B sont également égaux. Compte tenu de ce fait, pour prouver l'égalité des triangles ΔABC et ΔA 1 B 1 C 1, vous pouvez utiliser le premier signe d'égalité des triangles, puisque les deux côtés de ces triangles sont égaux selon les conditions, et l'égalité des angles entre eux est prouvé au cours du raisonnement.
À la fin de la leçon vidéo, une application importante du troisième signe d'égalité des triangles est démontrée : la rigidité d'une figure géométrique donnée. Un exemple explique ce que signifie cette affirmation. Un exemple de conception flexible est constitué de deux lattes reliées par un clou. Ces lattes peuvent être écartées et déplacées selon n'importe quel angle. Si nous en attachons un autre aux lattes, relié aux extrémités aux lattes existantes, nous obtenons alors une structure rigide dans laquelle il est impossible de modifier l'angle entre les lattes. Obtenir un triangle avec ces côtés et d’autres angles est impossible. Ce corollaire du théorème a une signification pratique importante. L'écran représente des ouvrages d'art dans lesquels cette propriété des triangles est utilisée.
La leçon vidéo « Le troisième critère pour l'égalité des triangles » permet à l'enseignant de présenter plus facilement du nouveau matériel sur ce sujet dans un cours de géométrie. En outre, la leçon vidéo peut être utilisée avec succès pour l'apprentissage à distance des mathématiques et aidera les élèves à comprendre par eux-mêmes les complexités de la preuve.
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SUJET DE LA LEÇON : Le troisième signe d'égalité des triangles.
Objectifs de la leçon :
- Pédagogique – répétition, généralisation et test des connaissances sur le thème : « Signes d'égalité des triangles » ; développement des compétences de base.
- Développemental – pour développer l’attention, la persévérance, la persévérance, la pensée logique et le discours mathématique des élèves.
- Éducatif - à travers la leçon, cultiver une attitude attentive les uns envers les autres, inculquer la capacité d'écoute des camarades, d'entraide et d'indépendance.
Objectifs de la leçon :
- Développez vos compétences dans la construction de triangles à l’aide d’une règle à échelle, d’un rapporteur et d’un triangle de dessin.
- Testez les compétences des élèves en résolution de problèmes.
Plan de cours :
- De l'histoire des mathématiques.
- Signes d'égalité des triangles.
- Actualisation des connaissances de base.
- Triangles rectangles.
De l'histoire des mathématiques.
Le triangle rectangle occupe une place d’honneur dans la géométrie babylonienne, et on en trouve souvent la mention dans le papyrus Ahmes.
Le terme hypoténuse vient du grec hypoteinsa, qui signifie s'étirer sous quelque chose, se contracter. Le mot vient de l’image des harpes égyptiennes antiques, sur lesquelles les cordes étaient tendues aux extrémités de deux supports mutuellement perpendiculaires.
Le terme jambe vient du mot grec « kathetos », qui signifie fil à plomb, perpendiculaire. Au Moyen Âge, le mot jambe désignait la hauteur d'un triangle rectangle, tandis que ses autres côtés étaient appelés hypoténuse, respectivement base. Au XVIIe siècle, le mot cathét commence à être utilisé dans le sens moderne et se généralise à partir du XVIIIe siècle.
Euclide utilise les expressions :
« côtés concluant un angle droit » - pour les jambes ;
"le côté sous-tendant un angle droit" - pour l'hypoténuse.
Tout d’abord, nous devons rafraîchir notre mémoire des signes précédents d’égalité des triangles. Et donc commençons par le premier.
1er signe d'égalité des triangles.
Le deuxième signe d'égalité des triangles
Si un côté et deux angles adjacents d’un triangle sont respectivement égaux à un côté et deux angles adjacents d’un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.
MN = PR N = R M = P
Comme dans la preuve du premier signe, il faut s'assurer que cela suffit pour que les triangles soient égaux, peuvent-ils être complètement combinés ?
1. Puisque MN = PR, alors ces segments sont combinés si leurs points finaux sont combinés.
2. Puisque N = R et M = P, les rayons \(MK\) et \(NK\) chevaucheront respectivement les rayons \(PT\) et \(RT\).
3. Si les rayons coïncident, alors leurs points d'intersection \(K\) et \(T\) coïncident.
4. Tous les sommets des triangles sont alignés, c'est-à-dire que Δ MNK et Δ PRT sont complètement alignés, ce qui signifie qu'ils sont égaux.
Le troisième signe d'égalité des triangles
Si trois côtés d’un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d’un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.
MN = PR KN = TR MK = PT
Essayons à nouveau de combiner les triangles Δ MNK et Δ PRT en les superposant et veillons à ce que les côtés égaux correspondants garantissent que les angles correspondants de ces triangles sont égaux et qu'ils coïncideront complètement.
Combinons par exemple des segments identiques \(MK\) et \(PT\). Supposons que les points \(N\) et \(R\) ne coïncident pas.
Soit \(O\) le milieu du segment \(NR\). D'après ces informations, MN = PR, KN = TR. Les triangles \(MNR\) et \(KNR\) sont isocèles de base commune \(NR\).
Leurs médianes \(MO\) et \(KO\) sont donc des hauteurs, ce qui signifie qu'elles sont perpendiculaires à \(NR\). Les droites \(MO\) et \(KO\) ne coïncident pas, puisque les points \(M\), \(K\), \(O\) ne se trouvent pas sur la même droite. Mais par le point \(O\) de la droite \(NR\) on ne peut tracer qu'une seule droite qui lui est perpendiculaire. Nous sommes arrivés à une contradiction.
Il a été prouvé que les sommets \(N\) et \(R\) doivent coïncider.
Le troisième signe nous permet d'appeler le triangle une figure très forte et stable, on dit parfois que triangle - figure rigide . Si les longueurs des côtés ne changent pas, les angles ne changent pas non plus. Par exemple, un quadrilatère n’a pas cette propriété. Par conséquent, divers supports et fortifications sont triangulaires.
Mais les gens évaluent et soulignent depuis longtemps la stabilité particulière, la stabilité et la perfection du nombre \(3\).
Les contes de fées en parlent.
Nous y rencontrons « Trois ours », « Trois vents », « Trois petits cochons », « Trois camarades », « Trois frères », « Trois hommes chanceux », « Trois artisans », « Trois princes », « Trois amis », "Trois héros", etc.
Là, « trois tentatives », « trois conseils », « trois instructions », « trois rendez-vous » sont donnés, « trois souhaits » sont exaucés, il faut endurer « trois jours », « trois nuits », « trois ans », passer par « trois États », « trois royaumes souterrains », résister à « trois épreuves », naviguer à travers les « trois mers ».
Deux triangles sont dits congruents s’ils peuvent être rapprochés par chevauchement. La figure 1 montre les triangles égaux ABC et A 1 B 1 C 1. Chacun de ces triangles peut être superposé à l'autre afin qu'ils soient totalement compatibles, c'est-à-dire que leurs sommets et leurs côtés sont compatibles deux à deux. Il est clair que les angles de ces triangles correspondront également par paires.
Ainsi, si deux triangles sont congrus, alors les éléments (c'est-à-dire les côtés et les angles) d'un triangle sont respectivement égaux aux éléments de l'autre triangle. Noter que dans des triangles égaux contre des côtés correspondants égaux(c'est-à-dire se chevauchant lorsqu'il est superposé) les angles sont égaux et retour : Des côtés égaux se trouvent respectivement opposés à des angles égaux.
Ainsi, par exemple, dans les triangles égaux ABC et A 1 B 1 C 1, représentés sur la figure 1, les côtés égaux opposés AB et A 1 B 1, respectivement, forment des angles égaux C et C 1. Nous désignerons l'égalité des triangles ABC et A 1 B 1 C 1 comme suit : Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Il s'avère que l'égalité de deux triangles peut être établie en comparant certains de leurs éléments.
Théorème 1. Le premier signe d'égalité des triangles. Si deux côtés et l'angle entre eux d'un triangle sont respectivement égaux à deux côtés et l'angle entre eux d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus (Fig. 2).
Preuve. Considérons les triangles ABC et A 1 B 1 C 1, dans lesquels AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (voir Fig. 2). Montrons que Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .
Puisque ∠ A = ∠ A 1, alors le triangle ABC peut être superposé au triangle A 1 B 1 C 1 de sorte que le sommet A soit aligné avec le sommet A 1 et que les côtés AB et AC soient respectivement superposés aux rayons A 1 B 1 et A 1 C1. Puisque AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, alors le côté AB s'alignera avec le côté A 1 B 1 et le côté AC s'alignera avec le côté A 1 C 1 ; en particulier, les points B et B 1, C et C 1 coïncideront. Par conséquent, les côtés BC et B 1 C 1 s'aligneront. Ainsi, les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont complètement compatibles, ce qui signifie qu'ils sont égaux.
Le théorème 2 est démontré de manière similaire en utilisant la méthode de superposition.
Théorème 2. Le deuxième signe d'égalité des triangles. Si un côté et deux angles adjacents d'un triangle sont respectivement égaux au côté et deux angles adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus (Fig. 34).
Commentaire. Sur la base du théorème 2, le théorème 3 est établi.
Théorème 3. La somme de deux angles intérieurs quelconques d’un triangle est inférieure à 180°.
Le théorème 4 découle du dernier théorème.
Théorème 4. Un angle extérieur d'un triangle est plus grand que tout angle intérieur qui ne lui est pas adjacent.
Théorème 5. Le troisième signe d'égalité des triangles. Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus ().
Exemple 1. Dans les triangles ABC et DEF (Fig. 4)
∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm. Comparez les triangles ABC et DEF. Quel angle dans le triangle DEF est égal à l'angle B ?
Solution. Ces triangles sont égaux selon le premier signe. L'angle F du triangle DEF est égal à l'angle B du triangle ABC, puisque ces angles sont opposés aux côtés respectivement égaux DE et AC.
Exemple 2. Les segments AB et CD (Fig. 5) se coupent au point O, qui est le milieu de chacun d'eux. Quelle est la longueur du segment BD si le segment AC mesure 6 m ?
Solution.
Les triangles AOC et BOD sont égaux (selon le premier critère) : ∠ AOC = ∠ BOD (vertical), AO = OB, CO = OD (par condition).
De l'égalité de ces triangles il résulte que leurs côtés sont égaux, c'est-à-dire AC = BD. Mais puisque selon la condition AC = 6 m, alors BD = 6 m.
