Degré de polynômes et forme standard de polynôme. Signification du mot polynôme

- polynômes. Dans cet article, nous présenterons toutes les informations initiales et nécessaires sur les polynômes. Celles-ci incluent, premièrement, la définition d'un polynôme accompagnée des définitions des termes du polynôme, en particulier du terme libre et des termes similaires. Deuxièmement, nous nous attarderons sur les polynômes de la forme standard, en donnerons la définition appropriée et en donnerons des exemples. Enfin, nous présenterons la définition du degré d'un polynôme, découvrirons comment le trouver et parlerons des coefficients des termes du polynôme.

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Polynôme et ses termes - définitions et exemples

En 7e année, les polynômes sont étudiés immédiatement après les monômes, cela est compréhensible, puisque définition polynomiale est donné à travers des monômes. Donnons cette définition pour expliquer ce qu'est un polynôme.

Définition.

Polynôme est la somme des monômes ; Un monôme est considéré comme un cas particulier de polynôme.

La définition écrite permet de donner autant d'exemples de polynômes que vous le souhaitez. N'importe lequel des monômes 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12, etc. est un polynôme. Aussi, par définition, 1+x, a 2 +b 2 et sont des polynômes.

Pour faciliter la description des polynômes, une définition d'un terme polynomial est introduite.

Définition.

Termes polynomiaux sont les monômes constitutifs d'un polynôme.

Par exemple, le polynôme 3 x 4 −2 x y+3−y 3 se compose de quatre termes : 3 x 4 , −2 x y , 3 et −y 3 . Un monôme est considéré comme un polynôme constitué d'un seul terme.

Définition.

Les polynômes composés de deux et trois termes ont des noms spéciaux - binôme Et trinôme respectivement.

Donc x+y est un binôme, et 2 x 3 q−q x x x+7 b est un trinôme.

À l'école, nous devons le plus souvent travailler avec binôme linéaire a x+b , où a et b sont des nombres et x est une variable, ainsi que c trinôme quadratique a·x 2 +b·x+c, où a, b et c sont des nombres et x est une variable. Voici des exemples de binômes linéaires : x+1, x 7,2−4, et voici des exemples de trinômes carrés : x 2 +3 x−5 et .

Les polynômes dans leur notation peuvent avoir des termes similaires. Par exemple, dans le polynôme 1+5 x−3+y+2 x les termes similaires sont 1 et −3, ainsi que 5 x et 2 x. Ils ont leur propre nom spécial - des termes similaires à ceux d'un polynôme.

Définition.

Termes similaires d'un polynôme des termes similaires dans un polynôme sont appelés.

Dans l’exemple précédent, 1 et −3, ainsi que le couple 5 x et 2 x, sont des termes similaires du polynôme. Dans les polynômes comportant des termes similaires, vous pouvez réduire les termes similaires pour simplifier leur forme.

Polynôme de forme standard

Pour les polynômes, comme pour les monômes, il existe une forme dite standard. Exprimons la définition correspondante.

Sur la base de cette définition, nous pouvons donner des exemples de polynômes de la forme standard. Donc les polynômes 3 x 2 −x y+1 et rédigé sous forme standard. Et les expressions 5+3 x 2 −x 2 +2 x z et x+x y 3 x x z 2 +3 z ne sont pas des polynômes de la forme standard, puisque le premier d'entre eux contient des termes similaires 3 x 2 et −x 2 , et dans le second – un monôme x·y 3 ·x·z 2 , dont la forme est différente de la forme standard.

Notez que, si nécessaire, vous pouvez toujours réduire le polynôme à la forme standard.

Un autre concept lié aux polynômes de la forme standard est le concept de terme libre d'un polynôme.

Définition.

Terme libre d'un polynôme est membre d'un polynôme de forme standard sans partie lettre.

En d’autres termes, si un polynôme de forme standard contient un nombre, alors il est appelé membre libre. Par exemple, 5 est le terme libre du polynôme x 2 z+5, mais le polynôme 7 a+4 a b+b 3 n'a pas de terme libre.

Degré d'un polynôme - comment le trouver ?

Une autre définition connexe importante est la définition du degré d’un polynôme. Tout d'abord, nous définissons le degré d'un polynôme de la forme standard ; cette définition est basée sur les degrés des monômes qui le composent.

Définition.

Degré d'un polynôme de forme standard est la plus grande des puissances des monômes inclus dans sa notation.

Donnons des exemples. Le degré du polynôme 5 x 3 −4 est égal à 3, puisque les monômes 5 x 3 et −4 qu'il contient ont respectivement des degrés 3 et 0, le plus grand de ces nombres est 3, qui est le degré du polynôme par définition. Et le degré du polynôme 4 x 2 oui 3 −5 x 4 oui+6 xégal au plus grand des nombres 2+3=5, 4+1=5 et 1, soit 5.

Voyons maintenant comment trouver le degré d'un polynôme de n'importe quelle forme.

Définition.

Le degré d'un polynôme de forme arbitraire appeler le degré du polynôme correspondant de forme standard.

Ainsi, si un polynôme n'est pas écrit sous forme standard et que vous devez trouver son degré, vous devez alors réduire le polynôme d'origine sous forme standard et trouver le degré du polynôme résultant - ce sera celui requis. Regardons l'exemple de solution.

Exemple.

Trouver le degré du polynôme 3 une 12 −2 une b c une c b+y 2 z 2 −2 une 12 − une 12.

Solution.

Vous devez d’abord représenter le polynôme sous forme standard :
3 une 12 −2 une b c une c b+y 2 z 2 −2 une 12 − une 12 = =(3 une 12 −2 une 12 −une 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 une 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Le polynôme résultant de forme standard comprend deux monômes −2 · a 2 · b 2 · c 2 et y 2 · z 2 . Trouvons leurs puissances : 2+2+2=6 et 2+2=4. Évidemment, la plus grande de ces puissances est 6, qui est par définition la puissance d'un polynôme de forme standard −2 une 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, et donc le degré du polynôme d'origine., 3 x et 7 du polynôme 2 x−0.5 x y+3 x+7 .

Références.

• Algèbre: manuel pour la 7ème année enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 17e éd. - M. : Éducation, 2008. - 240 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019315-3.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 7e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich. - 17e éd., ajouter. - M. : Mnémosyne, 2013. - 175 p. : ill. ISBN978-5-346-02432-3.
• Algèbre et le début de l'analyse mathématique. 10e année : manuel. pour l'enseignement général institutions : base et profil. niveaux / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin] ; édité par A. B. Jijchenko. - 3e éd. - M. : Éducation, 2010.- 368 p. : je vais. - ISBN978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

polynôme, expression de la forme

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,

où x, y, ..., w ≈ variables, et A, B, ..., D (M coefficients) et k, l, ..., t (exposants ≈ entiers non négatifs) ≈ constantes. Les termes individuels de la forme Ахkyl┘..wm sont appelés termes de M. L'ordre des termes, ainsi que l'ordre des facteurs dans chaque terme, peuvent être modifiés arbitrairement ; de la même manière, vous pouvez introduire ou omettre des termes à coefficients nuls, et dans chaque terme individuel ≈ puissances à coefficients nuls. Lorsqu’une structure comporte un, deux ou trois membres, elle est appelée monôme, binôme ou trinôme. Deux termes d’une équation sont dits similaires si leurs exposants pour des variables identiques sont égaux deux à deux. Membres similaires

A"хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm

peut être remplacé par un (apportant des termes similaires). Deux modèles sont dits égaux si, après réduction des termes similaires, tous les termes avec des coefficients non nuls s'avèrent identiques par paire (mais peut-être écrits dans un ordre différent), et aussi si tous les coefficients de ces modèles s'avèrent égaux à zéro. Dans ce dernier cas, la quantité est appelée zéro identique et est désignée par le signe 0. La quantité d'une variable x peut toujours s'écrire sous la forme

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,

où a0, a1,..., an ≈ coefficients.

La somme des exposants de n’importe quel membre d’un modèle est appelée le degré de ce membre. Si M n'est pas identiquement nul, alors parmi les termes avec des coefficients non nuls (on suppose que tous ces termes sont donnés), il y en a un ou plusieurs du plus haut degré ; ce plus grand degré est appelé degré de M. Le zéro identique n'a pas de degré. M. de degré zéro se réduit à un terme A (constant, non égal à zéro). Exemples : xyz + x + y + z est un polynôme du troisième degré, 2x + y ≈ z + 1 est un polynôme du premier degré (M linéaire), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 n'a pas de degré, puisqu'il est identiquement nul . Un modèle dont tous les membres sont du même degré est appelé modèle ou forme homogène ; les formes des premier, deuxième et troisième degrés sont appelées linéaires, quadratiques, cubiques et selon le nombre de variables (deux, trois) binaires (binaires), trijumelles (ternaires) (par exemple, x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈ yz ≈ xz est une forme quadratique trijumeau).

En ce qui concerne les coefficients mathématiques, on suppose qu'ils appartiennent à un certain domaine (voir Domaine algébrique), par exemple le domaine des nombres rationnels, réels ou complexes. En effectuant les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication sur un modèle basé sur les lois commutatives, combinatoires et distributives, on obtient à nouveau un modèle. Ainsi, l'ensemble de tous les modèles avec des coefficients d'un champ donné forme un anneau (voir Algébrique). ring) ≈ un anneau de polynômes sur un corps donné ; cet anneau n'a pas de diviseur nul, c'est-à-dire que le produit de nombres différents de 0 ne peut pas donner 0.

Si pour deux polynômes P(x) et Q(x) il est possible de trouver un polynôme R(x) tel que P = QR, alors P est dit divisible par Q ; Q est appelé diviseur et R ≈ quotient. Si P n'est pas divisible par Q, alors on peut trouver des polynômes P(x) et S(x) tels que P = QR + S, et le degré de S(x) est inférieur au degré de Q(x).

En appliquant cette opération de manière répétée, on peut trouver le plus grand diviseur commun de P et Q, c'est-à-dire un diviseur de P et Q qui est divisible par n'importe quel diviseur commun de ces polynômes (voir Algorithme euclidien). Une matrice qui peut être représentée comme le produit d'une matrice de degrés inférieurs avec des coefficients d'un domaine donné est dite réductible (dans un domaine donné), sinon elle est dite irréductible. Les nombres irréductibles jouent un rôle dans l’anneau des nombres semblable aux nombres premiers dans la théorie des nombres entiers. Ainsi, par exemple, le théorème est vrai : si le produit PQ est divisible par un polynôme irréductible R, mais que P n'est pas divisible par R, alors Q doit être divisible par R. Tout M de degré supérieur à zéro peut être décomposé en un champ donné en un produit de facteurs irréductibles d'une manière unique (jusqu'à des facteurs de degré zéro). Par exemple, le polynôme x4 + 1, irréductible dans le domaine des nombres rationnels, est factorisé

dans le domaine des nombres réels et par quatre facteurs ═dans le domaine des nombres complexes. En général, tout modèle d'une variable x est décomposé dans le domaine des nombres réels en facteurs du premier et du deuxième degré, et dans le domaine des nombres complexes en facteurs du premier degré (le théorème fondamental de l'algèbre). Pour deux variables ou plus, cela ne peut plus être dit ; par exemple, le polynôme x3 + yz2 + z3 est irréductible dans n'importe quel corps numérique.

Si les variables x, y, ..., w reçoivent certaines valeurs numériques (par exemple réelles ou complexes), alors M recevra également une certaine valeur numérique. Il s’ensuit que chaque modèle peut être considéré en fonction des variables correspondantes. Cette fonction est continue et différentiable pour toutes les valeurs des variables ; elle peut être caractérisée comme une fonction rationnelle entière, c'est-à-dire une fonction obtenue à partir de variables et de certaines constantes (coefficients) par addition, soustraction et multiplication effectuées dans un certain ordre. Des fonctions rationnelles entières sont incluses dans une classe plus large de fonctions rationnelles, où la division est ajoutée aux actions répertoriées : toute fonction rationnelle peut être représentée comme un quotient de deux M. Enfin, les fonctions rationnelles sont contenues dans la classe des fonctions algébriques.

L'une des propriétés les plus importantes des mathématiques est que toute fonction continue peut être remplacée par une erreur arbitrairement petite par les mathématiques (théorème de Weierstrass ; sa formulation exacte nécessite que la fonction donnée soit continue sur un ensemble limité et fermé de points, par exemple sur un segment de la ligne réelle). Ce fait, prouvé au moyen de l'analyse mathématique, permet d'exprimer mathématiquement approximativement toute relation entre les quantités étudiées dans n'importe quelle question de sciences naturelles et de technologie. Les méthodes pour une telle expression sont étudiées dans des sections spéciales de mathématiques (voir Approximation et interpolation de fonctions, Méthode des moindres carrés).

En algèbre élémentaire, un polynôme est parfois appelé une expression algébrique dans laquelle la dernière action est une addition ou une soustraction, par exemple

Allumé. : Kurosh A.G., Cours d'algèbre supérieure, 9e éd., M., 1968 ; Mishina A.P., Proskuryakov I.V., Algèbre supérieure, 2e éd., M., 1965.

Par définition, un polynôme est une expression algébrique représentant la somme de monômes.

Par exemple : 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4 ; 6 + 4*b^3 sont des polynômes, et l'expression z/(x - x*y^2 + 4) n'est pas un polynôme car ce n'est pas une somme de monômes. Un polynôme est aussi parfois appelé polynôme, et les monômes qui font partie d'un polynôme sont membres d'un ou plusieurs monômes.

Concept complexe de polynôme

Si un polynôme est composé de deux termes, alors il est appelé binôme ; s’il en est composé de trois, il est appelé trinôme. Les noms fournomial, fivenomial et autres ne sont pas utilisés, et dans de tels cas, ils disent simplement polynôme. De tels noms, selon le nombre de termes, mettent tout à sa place.

Et le terme monôme devient intuitif. D'un point de vue mathématique, un monôme est un cas particulier de polynôme. Un monôme est un polynôme composé d'un seul terme.

Tout comme un monôme, un polynôme a sa propre forme standard. La forme standard d'un polynôme est une telle notation d'un polynôme dans laquelle tous les monômes qui y sont inclus en tant que termes sont écrits sous une forme standard et des termes similaires sont donnés.

Forme standard de polynôme

La procédure pour réduire un polynôme à la forme standard consiste à réduire chacun des monômes à la forme standard, puis à additionner tous les monômes similaires. L’addition de termes similaires d’un polynôme est appelée réduction de similaire.
Par exemple, donnons des termes similaires dans le polynôme 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Les termes 4*a*b^2*c^3 et 6*a*b^2*c^3 sont similaires ici. La somme de ces termes sera le monôme 10*a*b^2*c^3. Par conséquent, le polynôme original 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b peut être réécrit comme 10*a*b^2*c^3 - a* b. Cette entrée sera la forme standard d'un polynôme.

Du fait que tout monôme peut être réduit à une forme standard, il s'ensuit également que tout polynôme peut être réduit à une forme standard.

Lorsqu'un polynôme est réduit à une forme standard, nous pouvons parler d'un concept tel que le degré d'un polynôme. Le degré d'un polynôme est le degré le plus élevé d'un monôme inclus dans un polynôme donné.
Ainsi, par exemple, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 est un polynôme du cinquième degré, puisque le degré maximum du monôme inclus dans le polynôme (5*x^3*y^ 2) est cinquième.

Ou, strictement, est une somme formelle finie de la forme

En particulier, un polynôme à une variable est une somme formelle finie de la forme

À l'aide d'un polynôme, les concepts d'« équation algébrique » et de « fonction algébrique » sont dérivés.

Étude et application[ | ]

L’étude des équations polynomiales et de leurs solutions était peut-être l’objet principal de « l’algèbre classique ».

Un certain nombre de transformations en mathématiques sont associées à l'étude des polynômes : l'introduction à la considération des nombres nuls, négatifs puis complexes, ainsi que l'émergence de la théorie des groupes en tant que branche des mathématiques et l'identification de classes de fonctions spéciales en analyse.

La simplicité technique des calculs associés aux polynômes par rapport à des classes de fonctions plus complexes, ainsi que le fait que l'ensemble des polynômes est dense dans l'espace des fonctions continues sur des sous-ensembles compacts de l'espace euclidien (voir le théorème d'approximation de Weierstrass), ont contribué à la développement de méthodes d’expansion en série et d’interpolation polynomiale en analyse mathématique.

Les polynômes jouent également un rôle clé en géométrie algébrique, dont l'objet est des ensembles définis comme des solutions à des systèmes de polynômes.

Les propriétés spéciales des coefficients de transformation lors de la multiplication de polynômes sont utilisées en géométrie algébrique, en algèbre, en théorie des nœuds et dans d'autres branches des mathématiques pour coder ou exprimer les propriétés de divers objets dans des polynômes.

Définitions associées[ | ]

• Polynôme de la forme c x 1 je 1 x 2 je 2 ⋯ x n je n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) appelé monôme ou monôme multi-index je = (je 1 , … , je n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots,\,i_(n))).
• Monôme correspondant au multi-index je = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots,\,0)) appelé membre gratuit.
• Diplôme complet(non nul) monôme c je x 1 je 1 x 2 je 2 ⋯ x n je n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n))) appelé un entier |.
• Je | = je 1 + je 2 + ⋯ + je n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)) De nombreux multi-index je, pour lequel les coefficients c je (\ displaystyle c_ (I)) non nul, appelé porteur du polynôme.
• , et sa coque convexe est Polyèdre de Newton Degré polynomial.
• est appelé le maximum des puissances de ses monômes. Le degré de zéro identique est en outre déterminé par la valeur − ∞ (\displaystyle -\infty ) ou Un polynôme qui est la somme de deux monômes s'appelle,
• binôme binôme.
• Un polynôme qui est la somme de trois monômes s'appelle trinôme Les coefficients du polynôme sont généralement tirés d'un anneau commutatif spécifique trinôme R (style d'affichage R) (le plus souvent des champs, par exemple des champs de nombres réels ou complexes). Dans ce cas, par rapport aux opérations d'addition et de multiplication, les polynômes forment un anneau (d'ailleurs, une algèbre associative-commutative sur l'anneau
• sans diviseur zéro) qui est noté R [ X 1 , X 2 , … , X n ] .(\style d'affichage R.) Pour un polynôme p (x) (\style d'affichage p(x))

une variable, résolvant l'équation[ | ]

p (x) = 0 (\ displaystyle p (x) = 0) s'appelle sa racine. Fonctions polynomiales trinôme Laisser UNE (\style d'affichage A) il y a une algèbre sur un anneau

p (x) ∈ R [ X 1 , X 2 , … , X n ] (\displaystyle p(x)\in R) définit une fonction polynomiale.

p R : A → A (\displaystyle p_(R):A\to A) trinôme Le cas le plus fréquemment envisagé est UNE = R (\ displaystyle A = R) Au cas où est un corps de nombres réels ou complexes (ainsi que tout autre corps comportant un nombre infini d'éléments), la fonction Et f p : R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R) définit complètement le polynôme p. Cependant, en général, cela n'est pas vrai, par exemple : les polynômes p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x) p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2)) depuis.

Une fonction polynomiale d’une variable réelle est appelée fonction rationnelle entière.

Types de polynômes[ | ]

Propriétés [ | ]

Divisibilité [ | ]

Le rôle des polynômes irréductibles dans l’anneau polynomial est similaire à celui des nombres premiers dans l’anneau des nombres entiers. Par exemple, le théorème est vrai : si le produit de polynômes pq (\style d'affichage pq) est divisible par un polynôme irréductible, alors p ou q divisé par λ ( displaystyle lambda). Chaque polynôme de degré supérieur à zéro peut être décomposé dans un corps donné en un produit de facteurs irréductibles de manière unique (jusqu'aux facteurs de degré zéro).

Par exemple, un polynôme x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), irréductible dans le domaine des nombres rationnels, se décompose en trois facteurs dans le domaine des nombres réels et en quatre facteurs dans le domaine des nombres complexes.

En général, chaque polynôme dans une variable x (style d'affichage x) se décompose dans le domaine des nombres réels en facteurs du premier et du deuxième degré, dans le domaine des nombres complexes en facteurs du premier degré (théorème fondamental de l'algèbre).

Pour deux variables ou plus, cela ne peut plus être dit. Au-dessus de n'importe quel champ pour n'importe qui n > 2 (\displaystyle n>2) il y a des polynômes de n (style d'affichage n) variables irréductibles dans toute extension de ce champ. De tels polynômes sont dits absolument irréductibles.