Ajout de matrice :
Soustraction et addition de matrices se réduit aux opérations correspondantes sur leurs éléments. Opération d'addition de matrice saisi uniquement pour matrices la même taille, c'est-à-dire pour matrices, dans lequel le nombre de lignes et de colonnes est respectivement égal. Somme des matrices A et B sont appelés matrice C, dont les éléments sont égaux à la somme des éléments correspondants. C = A + B c ij = a ij + b ij Défini de la même manière différence de matrice.
Multiplier une matrice par un nombre :
Opération de multiplication (division) matricielle de n'importe quelle taille par un nombre arbitraire se réduit à multiplier (diviser) chaque élément matrices pour ce numéro. Produit matriciel Et le nombre k s'appelle matrice B, tel que
b ij = k × une ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrice- A = (-1) × A est appelé le contraire matrice UN.
Propriétés de l'ajout de matrices et de la multiplication d'une matrice par un nombre :
Opérations d'addition de matrice Et multiplication matricielle sur un nombre ont les propriétés suivantes : 1. A + B = B + A ; 2. A + (B + C) = (A + B) + C ; 3. A + 0 = A ; 4. A - A = 0 ; 5. 1 × A = A ; 6. α × (A + B) = αA + αB ; 7. (α + β) × A = αA + βA ; 8. α × (βA) = (αβ) × A ; , où A, B et C sont des matrices, α et β sont des nombres.
Multiplication matricielle (Produit matriciel) :
Opération de multiplication de deux matrices n'est renseigné que dans le cas où le nombre de colonnes de la première matriceségal au nombre de lignes de la seconde matrices. Produit matriciel Et m×n sur matrice En n×p, appelé matrice Avec m×p tel que avec ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , c'est-à-dire que l'on trouve la somme des produits des éléments de la i-ième rangée matrices Et aux éléments correspondants de la jème colonne matrices B. Si matrices A et B sont des carrés de même taille, alors les produits AB et BA existent toujours. Il est facile de montrer que A × E = E × A = A, où A est carré matrice, E - unité matrice la même taille.
Propriétés de la multiplication matricielle :
Multiplication matricielle pas commutatif, c'est-à-dire AB ≠ BA même si les deux produits sont définis. Cependant, si pour quelque raison matrices la relation AB=BA est satisfaite, alors tel matrices sont appelés commutatifs. L'exemple le plus typique est un seul matrice, qui fait la navette avec n'importe quel autre matrice la même taille. Seuls les carrés peuvent être permutables matrices du même ordre. A × E = E × A = A
Multiplication matricielle a les propriétés suivantes : 1. A × (B × C) = (A × B) × C ; 2. A × (B + C) = AB + AC ; 3. (A + B) × C = AC + BC ; 4. α × (AB) = (αA) × B ; 5. UNE × 0 = 0 ; 0 × A = 0 ; 6. (AB) T = B T A T ; 7. (ABC) T = C T V T A T ; 8. (A + B) T = AT + BT ;
2. Déterminants des 2e et 3e ordres. Propriétés des déterminants.
Déterminant matriciel deuxième commande, ou déterminant le deuxième ordre est un nombre calculé par la formule :
Déterminant matriciel troisième ordre, ou déterminant le troisième ordre est un nombre calculé par la formule :
Ce nombre représente une somme algébrique composée de six termes. Chaque terme contient exactement un élément de chaque ligne et de chaque colonne matrices. Chaque terme est constitué du produit de trois facteurs.
Signes avec lesquels les membres déterminant de la matrice inclus dans la formule trouver le déterminant de la matrice le troisième ordre peut être déterminé à l'aide du schéma donné, appelé règle des triangles ou règle de Sarrus. Les trois premiers termes sont pris avec un signe plus et déterminés à partir de la figure de gauche, et les trois termes suivants sont pris avec un signe moins et déterminés à partir de la figure de droite.
Déterminer le nombre de termes à trouver déterminant de la matrice, dans une somme algébrique, vous pouvez calculer la factorielle : 2 ! = 1 × 2 = 2 3 ! = 1 × 2 × 3 = 6
Propriétés des déterminants matriciels
Propriétés des déterminants matriciels :
Propriété n°1 :
Déterminant matriciel ne changera pas si ses lignes sont remplacées par des colonnes, chaque ligne par une colonne avec le même numéro, et vice versa (Transposition). |UNE| = |UNE| T
Conséquence:
Colonnes et lignes déterminant de la matrice sont égaux, par conséquent, les propriétés inhérentes aux lignes sont également remplies pour les colonnes.
Propriété n°2 :
Lors de la réorganisation de 2 lignes ou colonnes déterminant matriciel changera le signe pour le signe opposé, en conservant la valeur absolue, c'est-à-dire :
Propriété n°3 :
Déterminant matriciel avoir deux lignes identiques est égal à zéro.
Propriété n°4 :
Facteur commun des éléments de toute série déterminant de la matrice peut être considéré comme un signe déterminant.
Corollaires des propriétés n°3 et n°4 :
Si tous les éléments d'une certaine série (ligne ou colonne) sont proportionnels aux éléments correspondants d'une série parallèle, alors déterminant matricielégal à zéro.
Propriété n°5 :
déterminant de la matrice sont égaux à zéro, alors déterminant matricielégal à zéro.
Propriété n°6 :
Si tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne déterminant présenté comme une somme de 2 termes, alors déterminant matrices peut être représenté comme la somme de 2 déterminants selon la formule :
Propriété n°7 :
Si vers une ligne (ou une colonne) déterminant ajoutez les éléments correspondants d'une autre ligne (ou colonne), multipliés par le même nombre, puis déterminant matriciel ne changera pas sa valeur.
Exemple d'utilisation de propriétés pour le calcul déterminant de la matrice:
Ce manuel vous aidera à apprendre à effectuer opérations avec des matrices: addition (soustraction) de matrices, transposition d'une matrice, multiplication de matrices, trouver la matrice inverse. Tout le matériel est présenté sous une forme simple et accessible, des exemples pertinents sont donnés, afin que même une personne non préparée puisse apprendre à effectuer des actions avec des matrices.
Pour l'autosurveillance et l'autotest, vous pouvez télécharger gratuitement un calculateur matriciel >>>. J'essaierai de minimiser les calculs théoriques ; à certains endroits, des explications « sur les doigts » et l'utilisation de termes non scientifiques sont possibles. Amateurs de théorie solide, ne vous lancez pas dans la critique, notre tâche est.
apprendre à effectuer des opérations avec des matrices Pour une préparation SUPER RAPIDE sur le sujet (qui est « en feu »), il existe un cours pdf intensif
Matrice, déterminant et test ! Une matrice est une table rectangulaire de certainséléments Une matrice est une table rectangulaire de certains. Comme nous considérerons des nombres, c'est-à-dire des matrices numériques.ÉLÉMENT
est un terme. Il est conseillé de retenir le terme, il apparaîtra souvent, ce n’est pas un hasard si j’ai utilisé des caractères gras pour le mettre en valeur. Désignation:
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules Exemple:
Considérons une matrice deux par trois : Une matrice est une table rectangulaire de certains:
Cette matrice est composée de six 
Tous les nombres (éléments) à l'intérieur de la matrice existent par eux-mêmes, c'est-à-dire qu'il n'est question d'aucune soustraction :
C'est juste un tableau (ensemble) de chiffres ! Nous serons également d'accord ne pas réorganiser
chiffres, sauf indication contraire dans les explications. Chaque numéro a son propre emplacement et ne peut pas être mélangé ! 
La matrice en question comporte deux lignes : 
et trois colonnes : STANDARD : quand on parle de tailles de matrice, alors d'abord
indiquez le nombre de lignes, et ensuite seulement le nombre de colonnes. Nous venons de décomposer la matrice deux par trois. Si le nombre de lignes et de colonnes d'une matrice est le même, alors la matrice s'appelle carré 
, Par exemple:
– une matrice trois par trois. Si une matrice a une colonne ou une ligne, alors ces matrices sont également appelées.
vecteurs
En fait, nous connaissons le concept de matrice depuis l'école ; considérons, par exemple, un point de coordonnées « x » et « y » : . Essentiellement, les coordonnées d’un point sont écrites dans une matrice un par deux. Au fait, voici un exemple de la raison pour laquelle l'ordre des nombres est important : et ce sont deux points complètement différents sur le plan. Passons maintenant à l'étude:
opérations avec des matrices.
1) Acte un. Supprimer un moins de la matrice (introduire un moins dans la matrice) 
. Comme vous l’avez probablement remarqué, il y a trop de nombres négatifs dans cette matrice. C'est très gênant du point de vue de l'exécution de diverses actions avec la matrice, il n'est pas pratique d'écrire autant d'inconvénients et cela a tout simplement l'air moche dans sa conception.
Déplaçons le moins en dehors de la matrice en changeant le signe de CHAQUE élément de la matrice:
A zéro, comme vous le comprenez, le signe ne change pas ; zéro c'est aussi zéro en Afrique.
Exemple inverse : 
. Ça a l'air moche.
Introduisons un moins dans la matrice en changeant le signe de CHAQUE élément de la matrice:
Eh bien, cela s'est avéré beaucoup plus agréable. Et surtout, il sera PLUS FACILE d'effectuer des actions avec la matrice. Parce qu'il existe un tel signe populaire mathématique : plus il y a d'inconvénients, plus il y a de confusion et d'erreurs.
2) Acte deux. Multiplier une matrice par un nombre.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
C'est simple, pour multiplier une matrice par un nombre, il faut chaqueélément de matrice multiplié par un nombre donné. Dans ce cas – un trois.
Autre exemple utile :
– multiplier une matrice par une fraction
Voyons d'abord quoi faire PAS BESOIN:
Il n'est PAS BESOIN d'entrer une fraction dans la matrice ; d'une part, cela ne fait que compliquer les actions ultérieures avec la matrice, et d'autre part, cela rend difficile pour l'enseignant de vérifier la solution (surtout si 
– réponse finale de la tâche).
Et, de plus, PAS BESOIN divisez chaque élément de la matrice par moins sept :
De l'article Mathématiques pour les nuls ou par où commencer, nous nous souvenons qu'en mathématiques supérieures, ils essaient d'éviter de toutes les manières possibles les fractions décimales avec des virgules.
La seule chose est de préférence Que faire dans cet exemple est d'ajouter un moins à la matrice :
Mais si seulement TOUS les éléments de la matrice ont été divisés par 7 sans laisser de trace, alors il serait possible (et nécessaire !) de diviser.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Dans ce cas, vous pouvez BESOIN DE multiplier tous les éléments de la matrice par , puisque tous les nombres de la matrice sont divisibles par 2 sans laisser de trace.
Remarque : dans la théorie des mathématiques du supérieur, il n'y a pas de notion de « division ». Au lieu de dire « ceci divisé par cela », vous pouvez toujours dire « ceci multiplié par une fraction ». Autrement dit, la division est un cas particulier de multiplication.
3) Acte trois. Transposition matricielle.
Pour transposer une matrice, vous devez écrire ses lignes dans les colonnes de la matrice transposée.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Transposer la matrice
Il n'y a qu'une seule ligne ici et, selon la règle, elle doit être écrite dans une colonne :
– matrice transposée.
Une matrice transposée est généralement indiquée par un exposant ou un nombre premier en haut à droite.
Exemple étape par étape :
Transposer la matrice 
Nous réécrivons d’abord la première ligne dans la première colonne :
Ensuite, nous réécrivons la deuxième ligne dans la deuxième colonne : 
Et enfin, on réécrit la troisième ligne dans la troisième colonne :
Prêt. En gros, transposer signifie retourner la matrice sur le côté.
4) Acte quatre. Somme (différence) des matrices.
La somme des matrices est une opération simple.
TOUTES LES MATRICES NE PEUVENT PAS ÊTRE PLIÉES. Pour effectuer une addition (soustraction) de matrices, il faut qu'elles soient de MÊME TAILLE.
Par exemple, si une matrice deux par deux est donnée, alors elle ne peut être ajoutée qu'avec une matrice deux par deux et aucune autre ! 
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Ajouter des matrices 
Et 
Afin d'ajouter des matrices, vous devez ajouter leurs éléments correspondants:
Pour la différence des matrices, la règle est similaire, il faut trouver la différence des éléments correspondants.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Trouver la différence matricielle 
, 
Comment résoudre cet exemple plus facilement, pour ne pas se tromper ? Il est conseillé de se débarrasser des moins inutiles ; pour ce faire, ajoutez un moins à la matrice :
Remarque : dans la théorie des mathématiques du supérieur, il n'y a pas de notion de « soustraction ». Au lieu de dire « soustrayez ceci de ceci », vous pouvez toujours dire « ajoutez un nombre négatif à ceci ». Autrement dit, la soustraction est un cas particulier d’addition.
5) Acte cinq. Multiplication matricielle.
Quelles matrices peuvent être multipliées ?
Pour qu’une matrice soit multipliée par une matrice, il faut de sorte que le nombre de colonnes de la matrice soit égal au nombre de lignes de la matrice.
les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Est-il possible de multiplier une matrice par une matrice ?
Cela signifie que les données matricielles peuvent être multipliées.
Mais si les matrices sont réarrangées, alors, dans ce cas, la multiplication n'est plus possible !
La multiplication n’est donc pas possible :
Il n'est pas si rare de rencontrer des tâches astucieuses, lorsqu'il est demandé à l'élève de multiplier des matrices dont la multiplication est évidemment impossible.
Il convient de noter que dans certains cas, il est possible de multiplier des matrices dans les deux sens.
Par exemple, pour les matrices, la multiplication et la multiplication sont possibles
1ère année, mathématiques supérieures, études matrices et les actions de base sur eux. Nous systématisons ici les opérations de base qui peuvent être effectuées avec des matrices. Par où commencer à se familiariser avec les matrices ? Bien sûr, à partir des choses les plus simples : définitions, concepts de base et opérations simples. Nous vous assurons que les matrices seront comprises par tous ceux qui y consacreront au moins un peu de temps !
Définition de la matrice
Matrice est une table rectangulaire d'éléments. Eh bien, en termes simples – un tableau de nombres.
En règle générale, les matrices sont désignées par des lettres latines majuscules. Par exemple, la matrice UN , matrice B et ainsi de suite. Les matrices peuvent être de différentes tailles : rectangulaires, carrées, et il existe également des matrices de lignes et de colonnes appelées vecteurs. La taille de la matrice est déterminée par le nombre de lignes et de colonnes. Par exemple, écrivons une matrice rectangulaire de taille m sur n , Où m – nombre de lignes, et n – nombre de colonnes.
Articles pour lesquels je = j (a11, a22, .. ) forment la diagonale principale de la matrice et sont appelés diagonales.
Que peut-on faire avec les matrices ? Ajouter/Soustraire, multiplier par un nombre, se multiplient entre eux, transposer. Parlons maintenant de toutes ces opérations de base sur les matrices dans l'ordre.
Opérations d'addition et de soustraction matricielles
Prévenons-nous immédiatement que vous ne pouvez ajouter que des matrices de même taille. Le résultat sera une matrice de même taille. Ajouter (ou soustraire) des matrices est simple - il vous suffit d'additionner leurs éléments correspondants . Donnons un exemple. Effectuons l'addition de deux matrices A et B de taille deux par deux.
La soustraction s'effectue par analogie, uniquement avec le signe opposé.
N'importe quelle matrice peut être multipliée par un nombre arbitraire. Pour faire ça vous devez multiplier chacun de ses éléments par ce nombre. Par exemple, multiplions la matrice A du premier exemple par le nombre 5 :
Opération de multiplication matricielle
Toutes les matrices ne peuvent pas être multipliées ensemble. Par exemple, nous avons deux matrices - A et B. Elles ne peuvent être multipliées l'une par l'autre que si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B. Dans ce cas chaque élément de la matrice résultante, situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne, sera égal à la somme des produits des éléments correspondants dans la i-ème ligne du premier facteur et la j-ème colonne de la deuxième. Pour comprendre cet algorithme, écrivons comment deux matrices carrées sont multipliées :
Et un exemple avec des chiffres réels. Multiplions les matrices :
Opération de transposition matricielle
La transposition matricielle est une opération où les lignes et colonnes correspondantes sont permutées. Par exemple, transposons la matrice A du premier exemple :
Déterminant matriciel
Le déterminant, ou déterminant, est l'un des concepts de base de l'algèbre linéaire. Il était une fois des équations linéaires, puis un déterminant. En fin de compte, c’est à vous de gérer tout cela, alors, dernier coup de pouce !
Le déterminant est une caractéristique numérique d’une matrice carrée, nécessaire pour résoudre de nombreux problèmes.
Pour calculer le déterminant de la matrice carrée la plus simple, vous devez calculer la différence entre les produits des éléments des diagonales principale et secondaire.
Le déterminant d'une matrice du premier ordre, c'est-à-dire constituée d'un élément, est égal à cet élément.
Et si la matrice était de trois par trois ? C'est plus difficile, mais vous pouvez y parvenir.
Pour une telle matrice, la valeur du déterminant est égale à la somme des produits des éléments de la diagonale principale et des produits des éléments situés sur les triangles à face parallèle à la diagonale principale, d'où le produit de les éléments de la diagonale secondaire et le produit des éléments situés sur les triangles avec la face de la diagonale secondaire parallèle sont soustraits.
Heureusement, en pratique, il est rarement nécessaire de calculer des déterminants de matrices de grandes tailles.
Ici, nous avons examiné les opérations de base sur les matrices. Bien sûr, dans la vraie vie, vous ne rencontrerez peut-être jamais la moindre trace d'un système matriciel d'équations, ou, au contraire, vous pourrez rencontrer des cas beaucoup plus complexes où vous devrez vraiment vous creuser la tête. C'est pour de tels cas que des services professionnels aux étudiants existent. Demandez de l'aide, obtenez une solution détaillée et de haute qualité, profitez de la réussite scolaire et du temps libre.
