Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont dites indépendantes si la loi de distribution d'une variable aléatoire ne change pas en fonction des valeurs possibles prises par l'autre variable aléatoire. Autrement dit, pour tout $x$ et $y$, les événements $X=x$ et $Y=y$ sont indépendants. Puisque les événements $X=x$ et $Y=y$ sont indépendants, alors par le théorème du produit des probabilités d'événements indépendants $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ droite)\droite)=P \gauche(X=x\droite)P\gauche(Y=y\droite)$.

Exemple 1 . Soit la variable aléatoire $X$ exprimer les gains en espèces sur les billets d'une loterie « Loto russe », et la variable aléatoire $Y$ exprimer les gains en espèces sur les billets d'une autre loterie « Golden Key ». Il est évident que les variables aléatoires $X,\Y$ seront indépendantes, puisque les gains des billets d'une loterie ne dépendent pas de la loi de répartition des gains des billets d'une autre loterie. Dans le cas où les variables aléatoires $X,\Y$ exprimeraient les gains de la même loterie, alors, évidemment, ces variables aléatoires seraient dépendantes.

Exemple 2 . Deux ouvriers travaillent dans des ateliers différents et fabriquent divers produits qui ne sont pas liés les uns aux autres par les technologies de fabrication et les matières premières utilisées. La loi de répartition du nombre de produits défectueux fabriqués par le premier ouvrier par équipe a la forme suivante :

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
Nombre de \produits \ défectueux\x & 0 & 1 \\
\hline
Probabilité & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(tableau)$

Le nombre de produits défectueux fabriqués par le deuxième ouvrier par équipe obéit à la loi de répartition suivante.

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
Nombre de \produits \ défectueux\y & 0 & 1 \\
\hline
Probabilité & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(tableau)$

Trouvons la loi de répartition du nombre de produits défectueux fabriqués par deux ouvriers par équipe.

Soit la variable aléatoire $X$ le nombre de produits défectueux fabriqués par le premier travailleur par équipe, et $Y$ le nombre de produits défectueux fabriqués par le deuxième travailleur par équipe. Par condition, les variables aléatoires $X,\Y$ sont indépendantes.

Le nombre de produits défectueux fabriqués par deux travailleurs par équipe est une variable aléatoire $X+Y$. Ses valeurs possibles sont $0,\ 1$ et $2$. Trouvons les probabilités avec lesquelles la variable aléatoire $X+Y$ prend ses valeurs.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0,8\cdot 0,7=0,56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ ou\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right )P\gauche(Y=1\droite)+P\gauche(X=1\droite)P\gauche(Y=0\droite)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0,2\cdot 0,3=0,06.$

Puis la loi de répartition du nombre de produits défectueux fabriqués par deux ouvriers par équipe :

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
Nombre de \produits \ défectueux & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Probabilité & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(tableau)$

Dans l'exemple précédent, nous avons effectué une opération sur des variables aléatoires $X,\Y$, c'est-à-dire que nous avons trouvé leur somme $X+Y$. Donnons maintenant une définition plus rigoureuse des opérations (addition, différence, multiplication) sur des variables aléatoires et donnons des exemples de solutions.

Définition 1. Le produit $kX$ d'une variable aléatoire $X$ par une variable constante $k$ est une variable aléatoire qui prend des valeurs $kx_i$ avec les mêmes probabilités $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \points ,\ n\ droite)$.

Définition 2. La somme (différence ou produit) des variables aléatoires $X$ et $Y$ est une variable aléatoire qui prend toutes les valeurs possibles de la forme $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ ou $x_i\cdot y_i$) , où $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, avec des probabilités $p_(ij)$ que la variable aléatoire $X$ prendra la valeur $x_i$, et $Y$ la valeur $y_j$ :

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

Puisque les variables aléatoires $X,\Y$ sont indépendantes, alors selon le théorème de multiplication de probabilité pour les événements indépendants : $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ à droite)= p_i\cdot p_j$.

Exemple 3 . Les variables aléatoires indépendantes $X,\ Y$ sont spécifiées par leurs lois de distribution de probabilité.

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(tableau)$

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(tableau)$

Formulons la loi de distribution de la variable aléatoire $Z=2X+Y$. La somme des variables aléatoires $X$ et $Y$, c'est-à-dire $X+Y$, est une variable aléatoire qui prend toutes les valeurs possibles de la forme $x_i+y_j$, où $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , avec des probabilités $p_(ij)$ que la variable aléatoire $X$ prendra la valeur $x_i$, et $Y$ la valeur $y_j$ : $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Puisque les variables aléatoires $X,\Y$ sont indépendantes, alors selon le théorème de multiplication de probabilité pour les événements indépendants : $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ à droite)= p_i\cdot p_j$.

Ainsi, il a des lois de distribution pour les variables aléatoires $2X$ et $Y$, respectivement.

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(tableau)$

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(tableau)$

Pour faciliter la recherche de toutes les valeurs de la somme $Z=2X+Y$ et de leurs probabilités, nous composerons un tableau auxiliaire, dans chaque cellule duquel nous placerons dans le coin gauche les valeurs de la somme $ Z=2X+Y$, et dans le coin droit - les probabilités de ces valeurs obtenues en multipliant les probabilités des valeurs correspondantes des variables aléatoires $2X$ et $Y$.

En conséquence, on obtient la distribution $Z=2X+Y$ :

$\begin(tableau)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(tableau)$

Établissez une loi de répartition du nombre de pièces défectueuses produites lors d'un quart de travail sur les deux machines, et calculez l'espérance mathématique et l'écart type de cette variable aléatoire.

192. La probabilité que la montre nécessite un réglage supplémentaire est de 0,2. Élaborer une loi pour la répartition du nombre de montres nécessitant un réglage supplémentaire parmi trois montres sélectionnées au hasard. À l’aide de la loi de distribution résultante, trouvez l’espérance mathématique et la variance de cette variable aléatoire. Vérifiez le résultat à l'aide des formules appropriées pour l'espérance mathématique et la dispersion d'une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale.

193. Parmi les six billets de loterie disponibles, dont quatre non gagnants, un billet est tiré au hasard jusqu'à ce qu'un billet gagnant soit trouvé. Établissez une loi de distribution pour la variable aléatoire X - le nombre de tickets sortis, si chaque ticket sorti n'est pas restitué. Trouvez l'espérance mathématique et l'écart type de cette variable aléatoire.

194. Un étudiant ne peut pas passer l'examen plus de quatre fois. Établissez une loi de distribution pour la variable aléatoire X - le nombre de tentatives pour réussir l'examen, si la probabilité de le réussir est de 0,75 et augmente ensuite de 0,1 à chaque tentative ultérieure. Trouvez la variance de cette variable aléatoire.

195. Les lois de distribution de deux variables aléatoires indépendantes X et Y sont données :

Établissez une loi de distribution pour la variable aléatoire X–Y et vérifiez la propriété de dispersion D(X–Y) = D(X) + D(Y).

196. Parmi les cinq pendules du même type disponibles dans l'atelier, une seule possède un pendule mal aligné. Le maître vérifie une montre choisie au hasard. La revue se termine dès qu'une horloge avec un pendule déplacé est détectée (les horloges vérifiées ne sont plus visualisées). Etablissez une loi de répartition du nombre d'heures regardées par le maître et calculez l'espérance mathématique et la dispersion de cette variable aléatoire.

197. Les variables aléatoires indépendantes X et Y sont spécifiées par des lois de distribution :

Établissez une loi de distribution pour la variable aléatoire X 2 + 2Y et vérifiez la propriété de l'espérance mathématique : M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).

198. On sait qu'une variable aléatoire X, prenant deux valeurs x 1 = 1 et x 2 = 2, a une espérance mathématique égale à 7/6. Trouvez les probabilités avec lesquelles la variable aléatoire X prend ses valeurs. Établissez une loi de distribution pour une variable aléatoire 2 X 2 et trouvez sa variance.

199. Deux variables aléatoires indépendantes X et Y sont spécifiées par les lois de distribution :

Trouvez P(X= 3) et P(Y= 4). Établir la loi de distribution de la variable aléatoire X – 2Y et vérifier les propriétés de l'espérance mathématique et de la dispersion : M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y) ; D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).

Dans les problèmes 201 à 210, des variables aléatoires sont données et distribuées selon la loi normale

201. La variable aléatoire ξ est normalement distribuée. Trouver P(0< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.

202. La variable aléatoire ξ est normalement distribuée. Trouver P(35< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.

203. La variable aléatoire ξ est normalement distribuée. Trouver P(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.

204. <σ).

205. Pour une variable aléatoire ξ distribuée selon la loi normale, trouvez Р(|ξ–а|<2σ).

206. Pour une variable aléatoire ξ distribuée selon la loi normale, trouvez Р(|ξ–а|<4σ).

207. Les variables aléatoires indépendantes ξ et η sont normalement distribuées,

Мξ= –1 ; réξ = 2 ; m= 5 ; Dη= 7. Notez la densité de probabilité et la fonction de distribution de leur somme. Trouver Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).

208. Les variables aléatoires indépendantes ξ, η, ζ sont distribuées selon la loi normale et Мξ= 3 ; réξ = 4 ; m= –2 ; Dη= 0,04 ; Мζ= 1; Dζ= 0,09. Notez la densité de probabilité et la fonction de distribution pour leur somme. Trouver Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).

209. Les variables aléatoires indépendantes ξ, η, ζ sont normalement distribuées et Мξ= –1 ; Dξ= 9 ; m= 2 ; réη = 4 ; mζ= –3 ; Dζ= 0,64. Notez la densité de probabilité et la fonction de distribution pour leur somme. Trouver Р(ξ+η+ζ<0) и

Р(–3< ξ+η+ζ<0).

210. La machine automatique produit des rouleaux en contrôlant leurs diamètres ξ. En supposant que ξ est normalement distribué et a = 10 mm, σ = 0,1 mm, trouvez l'intervalle dans lequel les diamètres des rouleaux fabriqués seront contenus avec une probabilité de 0,9973.

Dans les problèmes 211 à 220, un échantillon X de volume n = 100 est donné par le tableau :

où les résultats de mesure x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b ; n i – fréquences avec lesquelles les valeurs x i apparaissent.

1) construire un polygone de fréquences relatives w i = n i /n ;

2) calculer la moyenne de l'échantillon, la variance de l'échantillon D B et l'écart type σ B ;

3) calculer les fréquences théoriques. Construire un graphique sur le même dessin que le polygone ;

4) à l'aide du critère χ 2, tester l'hypothèse de répartition normale de la population au niveau de signification α = 0,05.

211. une = 4 ; b = 3 ; 212 . une = 3 ; b = 2 ; 213. une = 5 ; b = 1 ; 214. une = 1 ; b = 4 ;

215. une = 3 ; b = 5 ; 216. une = 2 ; b = 3 ; 217. une = 4 ; b = 1 ; 218. une = 2 ; b = 5 ; 219. une = 1 ; b = 2 ; 220. une = 5 ; b = 4.

Dans les problèmes 221 à 230, un échantillon bidimensionnel de résultats de mesures conjointes des caractéristiques X et Y avec un volume de n = 100 est spécifié par une table de corrélation :

où x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b ; y i = 0,5·a +(j – 1)·0,2·b.

1) Trouver et σ y. Prenez les valeurs de et σ x du problème précédent.

2) Calculer le coefficient de corrélation r B . Tirer une conclusion sur la nature de la relation entre les caractéristiques X et Y.

3) Construire l'équation d'une droite de régression de Y sur X sous la forme.

4) Dessinez le champ de corrélation sur le graphique, c'est-à-dire tracez les points (xi, yi) et construisez une ligne droite.

221. a = 4; b = 3 ; 222. a = 3; b = 2 ; 223. a = 5; b = 1 ;

224. a = 1 ; b = 4 ; 225. a = 3; b = 5 ; 226. a = 2; b = 3 ;

227. a = 4; b = 1 ; 228. a = 2; b = 5 ; 229. a = 1 ; b = 2

230. a = 5 ; b = 4

Dans les problèmes 231 à 240, trouvez la valeur maximale de la fonction

dans des conditions . Prenez les valeurs du tableau

requis:

1) résoudre un problème de programmation linéaire à l'aide d'une méthode graphique ;

2) résoudre le problème en utilisant la méthode du simplexe tabulaire ;

3) montrer la correspondance entre les solutions supports et les sommets de la région des solutions réalisables ;

Dans les problèmes 241 à 250, une cargaison homogène concentrée parmi trois fournisseurs A i () doit être livrée à cinq consommateurs B j ().

b5 Il faut déterminer

un plan de transport optimal qui permet de retirer toutes les marchandises des fournisseurs et qui satisfait les besoins de tous les consommateurs de telle sorte que ce plan ait un coût minimum. Trouvez le premier plan de support en utilisant la méthode de l'angle « nord-ouest ». Trouvez le plan optimal en utilisant la méthode du potentiel. Calculez les frais d'expédition pour chaque plan. Dans les tâches 251 à 260, l'industrie investit dans quatre objets. Compte tenu des caractéristiques de l'apport et des conditions locales, le profit de l'industrie, en fonction du montant du financement, est exprimé par les éléments de la matrice de paiement. Pour simplifier le problème, supposons que la perte de l’industrie est égale au profit de l’industrie. Trouvez des stratégies sectorielles optimales.

1) résumer les données initiales dans un tableau et trouver une solution au jeu matriciel en stratégies pures, si elle existe (sinon, voir l'étape suivante 2) ;

2) simplifier la matrice de paiement ;

3) créer une paire de problèmes mutuellement duaux équivalents au jeu matriciel donné ;

4) trouver la solution optimale au problème direct (pour l'industrie B) en utilisant la méthode du simplexe ;

5) à l'aide de la correspondance des variables, rédiger la solution optimale au problème double (pour l'industrie A) ;

6) donner une interprétation géométrique de cette solution (pour l'industrie A) ;

7) en utilisant la relation entre les solutions optimales à une paire de problèmes duaux, les stratégies optimales et le coût du jeu, trouver une solution au jeu en stratégies mixtes ;

option 1 option 2 option 3

1. Géométrie analytique et algèbre vectorielle……………….. 4

2. Systèmes d'équations linéaires et de nombres complexes………….. 5

3. Tracer des graphiques de fonctions, calculer les limites

et identifier les points d'arrêt des fonctions.…………….……………. 6

4. Dérivées de fonctions, plus grande et plus petite valeur

sur le segment..…………………………………………………….… 9

5. Recherche de fonctions et construction de graphiques,

fonctions de plusieurs variables, méthode des moindres carrés..… 11

6. Intégrale indéfinie, définie et impropre….. 12

7. Résolution d'équations et de systèmes différentiels

équations différentielles…………….……….…….….…… 14

8. Intégrales multiples et curvilignes …………………………… 15

9. Etude des séries numériques et de puissances, approximatives

solutions aux équations différentielles………………...……… 17

10. Théorie des probabilités……………….……………………...……… 18

Petr Alekseevich Burov

Anatoly Nikolaïevitch Mouravyov

Collection de tâches

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La loi de distribution du minimum (maximum) de deux variables aléatoires. Loi de distribution des statistiques de commande

Dans cette section, nous considérerons tout d’abord une telle transformation fonctionnelle c. c., qui consiste à choisir le maximum (minimum) de deux valeurs.

Problème 1. La loi de distribution du minimum de deux variables aléatoires. Un système continu est donné. V. (X et X2) avec p.r./(*!, x2). Trouvez la fonction de distribution de r.v. Oui :

Solution. Trouvons d'abord P ( Y> y) = P (Xi > oui ; X 2 > y). Région D(y), où X> y et X 2 > oui montré sur la fig. 9.6.1. Probabilité d'atteindre un point (X[, X2)à la région D(y) est égal

Où F (x b x 2) - fonction de distribution du système c. V. (Хь Х 2), F x(jq), F 2 (x2) - fonctions de distribution c. V. X Et X 2 respectivement. Ainsi,

Pour déterminer p.r. g (o) il faut trouver la dérivée du côté droit (9.6.1) :

Si l'art. V. Xx, X 2 indépendant et également réparti avec p.r. Fi(X) =/ 2 (x) =f(x), Que

Exemple 1. Nous considérons le fonctionnement d'un appareil constitué de deux blocs Bi et B 2 dont le fonctionnement conjoint est absolument nécessaire au fonctionnement de l'appareil. Horaires de fonctionnement du bloc B ! et B 2 représentent des s indépendants. V. X Et X2, distribué selon des lois exponentielles avec paramètres X Et X2. Il faut trouver la loi de distribution c. V. U- durée de fonctionnement de l'unité technique.

Solution. C'est évident que

A l'aide des formules (9.6.4) on trouve :

c'est-à-dire au moins deux variables aléatoires indépendantes, distribué selon des lois exponentielles de paramètres X x et X 2, également distribué selon des lois exponentielles de paramètre X x + X2. ?

Problème 2. Loi de distribution du minimum de n variables aléatoires indépendantes. Étant donné le système n villages indépendants V. (Xx, X2, ..., Xp) avec p.r .f (xx),f 2 (x2), ...,fn (xn). Trouvez f. r. et densité c. V. Oui= min (X X,.... Xp).

Solution. Par définition

Exemple 2. Nous considérons le fonctionnement d'un système automatisé (AS), composé de n sous-systèmes Pour que les intervenants fonctionnent, tout le monde doit travailler n sous-systèmes ; disponibilité du /ème sous-système 7} distribué selon la loi exponentielle avec le paramètre (/ = 1, 2, p) et ne dépend pas du temps de fonctionnement des autres sous-systèmes. Déterminer la loi de distribution temporelle D i) du fonctionnement sans panne de l'AS.

Solution. C'est évident que

En utilisant la formule (9.6.6), nous trouvons la fonction de distribution r.v. D l)

Ainsi, la loi de distribution c. V. - le minimum de n villages indépendants c., distribué selon des lois exponentielles, est également exponentiel ; tandis que son paramètre i)Sn)) est égal à la somme des paramètres de ces distributions exponentielles. Il en résulte que

On peut montrer que la loi de distribution c. V. D i) lorsqu'il est suffisamment grand n convergera vers la loi exponentielle, même si l’art. V. 7) (/= 1, 2, ..., p) ne sont pas distribués selon des lois exponentielles. Montrons cela en utilisant l'exemple de s également uniformément distribués. V. :

Dans ce cas

et c'est f. r. droit démonstratif.

Ainsi, nous pouvons tirer une conclusion largement utilisée dans les applications d’ingénierie : si un appareil est constitué d'un nombre suffisamment grand d'éléments n dont le fonctionnement est absolument nécessaire au fonctionnement de l'appareil, alors la loi de distribution temporelle F p) de fonctionnement sans panne de l'appareil est proche de l'exponentielle avec le paramètre, déterminé par la formule

où M [ Tj- temps de fonctionnement moyen sans panne du ième élément.

Le flux de défaillance d'un tel dispositif sera proche de Poisson avec le paramètre )Sn ?

Problème 3. La loi de distribution du maximum de deux variables aléatoires. Un système continu est donné. V. (Хь X2) avec densité/(lbs x2). Il est nécessaire de trouver la loi de distribution r.v.

Solution. Par définition,

Où F(xx, x 2) - fonction de distribution du système (X et X2).

En différenciant cette expression comme nous l'avons fait précédemment, nous obtenons :

Si des variables aléatoires X et X2 sont également répartis, alors

Si des variables aléatoires Xx 2 sont indépendants, alors

Si des variables aléatoires Xx 2 indépendant et également réparti, alors

Exemple 3. Le fonctionnement d'un dispositif technique ne peut commencer avant que l'assemblage de ses deux blocs Bi et B2 ne soit terminé. Le temps d'assemblage des blocs Bi et B 2 est un système de s indépendants. V. Xx Et X2, distribué selon des lois exponentielles avec paramètres Xx Et X2. O- moment de l'achèvement de l'assemblage des deux blocs de spécifications techniques.

Solution. C'est évident que Oui= maximum (X ъ X 2). Densité de distribution c. V. ^est déterminé par la formule (9.6.12)

Cette loi n'est pas indicative. ?

Problème 4. La loi de distribution du maximum de n variables aléatoires indépendantes. Un système continu est donné. V. (Xx, X 2 , ..., Xp) avec densité f(xx,x2,

Trouver la loi de distribution d'une variable aléatoire

Solution. Par définition

Où F(x 1, X 2 ,..., xp) - fonction de distribution du système (Xx, X2, ..., Xp). En différenciant, on retrouve la densité de répartition :

Où Fj (Xj) - f. r. Avec. V. Xjfj(xj) - sa densité.

Si l'art. V. xb ..., Xp indépendant et équitablement réparti (Fi(y) = F(y);f (y) =f(y) (/"= 1,n)), Que

Si des variables aléatoires X et ..., Xp sont indépendants, alors

Exemple 4. Les travaux des équipements techniques ne peuvent commencer avant l'assemblage de tous n ses blocs : B b Bg, ..., B„. Les temps d'assemblage des blocs B b..., B l représentent un système n villages indépendants V. (Hein..., Xp), distribué selon des lois exponentielles avec les paramètres A.1,..., A, p.

Nous devons trouver la densité c. V. U- temps d'achèvement pour tout l'assemblage n Blocs TU.

Solution. Évidemment y = max (X,..., Xp). D'après la formule (9.6.16) on a

Problème 5. Loi de distribution des statistiques d'ordre. Considérons un système continu de s indépendants, distribués de manière identique. V. (X contre X 2, ..., Xp) avec f. r. F(x) et p.r./(x). Organisons les valeurs prises par les variables aléatoires X v X 2, ..., X p, par ordre croissant et désignent :

X (1) - variable aléatoire qui prend la plus petite des valeurs : (X (1) = min (X v X 2, ..., X p));

X(2) - deuxième plus grande valeur acceptée des variables aléatoires X v X 2, ..., X p;

X(T) - o-je par l'ampleur de la valeur acceptée à partir de variables aléatoires Xx, X2, ..., Xp ;

X(P)- la plus grande variable aléatoire selon la valeur acceptée X, X 2, x" (X (n) = Shah (X et X 2, ..., Xp)).

Évidemment,

Variables aléatoires X(je), X@),..., X(") sont appelés statistiques ordinales.

Les formules (9.6.8) et (9.6.17) donnent les lois de distribution des termes extrêmes X(je), Et X(") systèmes (*).

Trouvons la fonction de distribution F^m)(x)s. V. X ^ t yÉvénement (X^x) est-ce que T Avec. V. du système n Avec. V. (X ( ,X 2 ,..., X n) sera inférieur à x et (p-t) Avec. V. sera supérieur à x. Depuis l'art. V. X t (/" = 1, 2,..., p) sont indépendants et identiquement distribués, alors P (Xtx) = F(x) R. (Xj > x) = 1 - F(x). Nous devons trouver la probabilité que dans névénement d'expérimentations indépendantes (Xj x) apparaîtra exactement T une fois. En appliquant la distribution binomiale, on obtient

Objet de la prestation. Utiliser le service en ligne l'espérance mathématique, la variance et l'écart type sont calculés(voir exemple). De plus, un graphique de la fonction de distribution F(X) est tracé.

• Solution en ligne
• Instructions vidéo

Propriétés de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire

1. L'espérance mathématique d'une valeur constante est égale à elle-même : M[C]=C, C – constante ;
2. M=CM[X]
3. L'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de leurs espérances mathématiques : M=M[X]+M[Y]
4. L'espérance mathématique du produit de variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques : M=M[X] M[Y] , si X et Y sont indépendants.

Propriétés de dispersion

1. La variance d'une valeur constante est nulle : D(c)=0.
2. Le facteur constant peut être retiré sous le signe de dispersion en le mettant au carré : D(k*X)= k 2 D(X).
3. Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors la variance de la somme est égale à la somme des variances : D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Si les variables aléatoires X et Y sont dépendantes : D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. La formule de calcul suivante est valable pour la dispersion :
   D(X)=M(X2)-(M(X))2

Exemple. Les attentes mathématiques et les variances de deux variables aléatoires indépendantes X et Y sont connues : M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Trouvez l'espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire Z=9X-8Y+7.
Solution. Basé sur les propriétés de l'espérance mathématique : M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Basé sur les propriétés de dispersion : D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 – 64*6 = 345

Variables aléatoires continues. Systèmes de variables aléatoires. Fonction de deux arguments aléatoires. Formule de convolution. Stabilité de la distribution normale, page 3

Soit une fonction d'un argument aléatoire X. Il est nécessaire de trouver l'espérance mathématique de cette fonction, connaissant la loi de distribution de l'argument.

1. Soit l'argument X une variable aléatoire discrète avec une série de distribution

.

Exemple 3. La variable aléatoire discrète X est donnée par la distribution

Trouver l'espérance mathématique d'une fonction .

Valeurs Y possibles :

; ; .

2. Soit l'argument X une variable aléatoire continue spécifiée par la densité de distribution p(x). Pour trouver l'espérance mathématique d'une fonction, vous pouvez d'abord trouver la densité de distribution g(y) de la valeur Y, puis utiliser la formule : .

Si possible valeurs , Que .

Exemple 4. La variable aléatoire X est donnée par la densité dans l'intervalle (0, π/2) ; en dehors de cet intervalle p(x)=0. Trouver l'espérance mathématique d'une fonction .

, , , ; Ainsi,

§ 17. Fonction de deux arguments aléatoires.

Formule de convolution. Stabilité de la distribution normale.

o Si chaque couple de valeurs possibles des variables aléatoires X et Y correspond à une valeur possible de la variable aléatoire Z, alors Z est appelé fonction de deux arguments aléatoires X et Oui :

.

D'autres exemples montreront comment trouver la distribution de la fonction selon des distributions de termes connues. Ce problème se produit souvent dans la pratique. Par exemple, si l'erreur X des lectures d'un appareil de mesure est uniformément distribuée, alors la tâche se pose de trouver la loi de distribution de la somme des erreurs .

Cas 1. Soit X et Y- variables aléatoires indépendantes discrètes. Afin d'établir la loi de distribution de la fonction Z=X+Y, il faut trouver toutes les valeurs possibles de Z et leurs probabilités. En d’autres termes, une série de distribution de la variable aléatoire Z est compilée.

Exemple 1. Variables aléatoires indépendantes discrètes X et Y, spécifiées par des distributions

3. VARIABLES ALÉATOIRES. LE CONCEPT DE VARIABLE ALÉATOIRE

Variable aléatoire On appelle grandeur qui, à la suite d'essais effectués dans les mêmes conditions, prend des valeurs, généralement différentes, en fonction de facteurs aléatoires non pris en compte. Exemples de variables aléatoires : le nombre de points obtenus sur un dé, le nombre de produits défectueux dans un lot, l'écart du point d'impact d'un projectile par rapport à la cible, le temps de fonctionnement d'un appareil, etc. Il existe des variables discrètes et continues. variables aléatoires. Discret On appelle une variable aléatoire dont les valeurs possibles forment un ensemble dénombrable, fini ou infini (c'est-à-dire un ensemble dont les éléments peuvent être numérotés).

Continu Une variable aléatoire est appelée, dont les valeurs possibles remplissent continuellement un intervalle fini ou infini de la droite numérique. Le nombre de valeurs d'une variable aléatoire continue est toujours infini.

Nous désignerons les variables aléatoires par des lettres majuscules à partir de la fin de l'alphabet latin : X, Oui, . ; valeurs de variables aléatoires – en lettres minuscules : X, y,. . Ainsi, X Désigne l'ensemble des valeurs possibles d'une variable aléatoire, et X- Une partie de sa signification spécifique.

Loi de répartition Une variable aléatoire discrète est une correspondance spécifiée sous quelque forme que ce soit entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités.

Laissez les valeurs possibles de la variable aléatoire X Sont . À la suite du test, la variable aléatoire prendra l'une de ces valeurs, c'est-à-dire Un événement parmi un groupe complet d’événements incompatibles par paires se produira.

Que les probabilités de ces événements soient également connues :

Loi de distribution d'une variable aléatoire X Peut s'écrire sous la forme d'un tableau appelé Proche de la distribution Variable aléatoire discrète :

La loi de distribution de deux variables aléatoires indépendantes x et y est donnée

q p

q
p

Il s'agit d'une loi géométrique de distribution.

(on obtient une série convergente, puisque
).

Tâche 4. Dans la fête de 10 Il y a trois parties non standard. Deux parties ont été sélectionnées au hasard. Écrivez la loi de répartition du nombre de pièces non standard entre les deux pièces sélectionnées. Calculez l’espérance mathématique de cette variable aléatoire.

Solution. Variable aléatoire X– le nombre de pièces non standards parmi les deux sélectionnées a les valeurs possibles suivantes :


Trouvons leurs probabilités

Composons la loi de distribution souhaitée d'une variable aléatoire

Trouver l'espérance mathématique

.

Tâche 5. La prévision probable de la valeur de X - le pourcentage d'évolution de la valeur des actions par rapport à leur cours actuel sur six mois - est donnée sous la forme d'une loi de répartition :

Trouvez la probabilité qu'acheter des actions soit plus rentable que de placer de l'argent sur un dépôt bancaire à 36 % par an.

Solution. L'augmentation du montant d'un dépôt bancaire, soumise à 3% par mois, se fera au bout de 6 mois. La probabilité que l'achat d'actions soit plus rentable qu'un dépôt bancaire est déterminée par la somme des probabilités correspondant à une augmentation plus élevée du dépôt bancaire. cours de l'action :

Problème 6. Supposons que les dépenses quotidiennes d'entretien et de publicité des voitures chez un certain concessionnaire automobile soient en moyenne de 100 000 roubles et que le nombre de ventes X les voitures de jour obéissent à la loi de répartition suivante :

a) Trouvez l'espérance mathématique du bénéfice quotidien pour un prix de voiture de 150 000 roubles. b) La variance de la vente quotidienne du nombre de voitures.

Solution. a)Le bénéfice quotidien est calculé à l'aide de la formule

P = (150 X– 100) mille roubles

Caractéristique requise M(P) est trouvé en utilisant les propriétés ci-dessus de l'espérance mathématique (en milliers de roubles) :

b) Loi de distribution d'une variable aléatoire X 2 ressemble à :

M(X 2) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 + 9 ∙ 0,1 + 16 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,1 + 36 ∙ ∙0,05 + 49 ∙ 0,05 + 64 ∙ 0,025 + 81 ∙ 0,025 = 13,475.

Attente M(X) = 2,675. Par conséquent, nous obtenons la valeur de dispersion souhaitée :

Problème 7. Variable aléatoire X spécifié sur tout l'axe par la fonction de distribution
. Trouvez la fonction de densité de probabilité et la probabilité que X prendra la valeur contenue dans l'intervalle ( 0,1 ).

Solution. Par définition

Il est utile d'accompagner la solution au problème de la Fig. 4.

Z problème 8. La fonction de distribution d'une variable aléatoire a la forme illustrée à la Fig. 5.

Trouver : a) la fonction de densité de probabilité ; b) en regardant le graphique F(x), indiquer les principales caractéristiques d'une variable aléatoire, par exemple, la plage de valeurs possibles, les valeurs les plus probables, etc. ; V) M(X), D(X) ; G) P.(X 2 ) . Alors la probabilité que la pièce soit bonne est égale à

Nous considérons la fabrication d’une pièce comme une expérience indépendante avec une probabilité de « réussite » p=0,31 . Ensuite, le nombre requis de pièces est déterminé à partir de la relation

Tâche 1. La loterie comprend : une voiture d'une valeur de 5 000 den. unités, 4 téléviseurs coûtant 250 den. unités, 5 magnétoscopes d'une valeur de 200 den. unités Au total, 1000 billets sont vendus pendant 7 jours. unités Élaborer une loi de répartition des gains nets reçus par un participant à la loterie qui a acheté un billet.

Solution. Les valeurs possibles de la variable aléatoire X - les gains nets par ticket - sont égales à 0 - 7 = -7 argent. unités (si le ticket n'a pas gagné), 200 – 7 = 193, 250 – 7 = 243, 5000 – 7 = 4993 den. unités (si le billet contient respectivement les gains d'un magnétoscope, d'un téléviseur ou d'une voiture). Considérant que sur 1000 tickets le nombre de non-gagnants est de 990, et les gains indiqués sont respectivement de 5, 4 et 1, et en utilisant la définition classique de la probabilité, on obtient :

ceux. série de distribution

Tâche 2. La probabilité qu'un étudiant réussisse un examen semestriel lors d'une session par discipline UN Et B, sont égaux respectivement à 0,7 et 0,9. Élaborer une loi de répartition du nombre d'examens semestriels qu'un étudiant passera.

Solution. Valeurs possibles d'une variable aléatoire X— nombre d'examens réussis – 0, 1, 2.

Laisser UN je– un événement consistant dans le fait que l’étudiant réussira je l'examen ( je=1,2). Alors la probabilité que l'étudiant réussisse les examens 0, 1, 2 en session sera respectivement égale (on compte les événements UN 1 et UN 2 indépendants) :

Donc la série de distribution de la variable aléatoire

Tâche 3. Calculer M(X) pour une variable aléatoire X— gain net selon la tâche 1.

ceux. le gain moyen est nul. Le résultat signifie que tous les bénéfices de la vente des billets sont reversés aux gains.

Tâche 4. Les lois de distribution des variables aléatoires sont connues X Et Oui– le nombre de points marqués par le 1er et le 2ème tireur.

Il faut savoir lequel des deux tireurs tire le mieux.

Considérant la série de distribution de variables aléatoires X Et Oui, répondre à cette question est loin d'être facile en raison de l'abondance de valeurs numériques. De plus, le premier tireur a des probabilités assez élevées (par exemple supérieures à 0,1) avec des valeurs extrêmes du nombre de points marqués ( X= 0 ; 1 et X= 9 ; 10), et le deuxième tireur a des valeurs intermédiaires ( Oui = 4; 5; 6).

Évidemment, de deux tireurs, le meilleur tireur est celui qui marque le plus de points en moyenne.

c'est-à-dire que le nombre moyen de points marqués par deux tireurs est le même.

Tâche 5. Dans le problème 4, calculez la variance et l'écart type du nombre de points marqués pour chaque tireur.

Ainsi, si les valeurs moyennes du nombre de points marqués sont égales ( M(X)=M(Oui)) sa variance, c'est-à-dire caractéristique de diffusion par rapport à la valeur moyenne, inférieure pour le deuxième tireur ( D(X)

Nous nous assurons que

Considérant que la loi de distribution d'une variable aléatoire X binôme nous avons

Tâche 7. La série de distribution d'une variable aléatoire discrète se compose de deux valeurs inconnues. La probabilité qu'une variable aléatoire prenne l'une de ces valeurs est de 0,8. Trouvez la fonction de distribution d'une variable aléatoire si son espérance mathématique est de 3,2 et sa variance est de 0,16.

Solution. La série de distribution a la forme

ou

En résolvant le système résultant, nous trouvons deux solutions :

Et

On écrit l'expression de la fonction de distribution :

ou

Tâche 8.Étant donné la fonction de distribution d'une variable aléatoire X:

a) Trouver la densité de probabilité f(x); b) construire des graphiques f(x) Et F(x); c) assurez-vous que X– variable aléatoire continue ; d) trouver les probabilités P.(X=1), P.(X

Problème 10. La banque a accordé des prêts nà différents emprunteurs pour le montant S r. chacun à un taux d'intérêt de prêt r. Trouver a) l'espérance mathématique et la dispersion du profit de la banque, ainsi que la condition du taux d'intérêt, si la probabilité de remboursement du prêt par l'emprunteur est égale à p; b) espérance mathématique et écart type du profit à n =1000, p =0,8, S= 100 mille roubles Et r = 30%.

Solution. a) Puisque les emprunteurs ne sont pas liés les uns aux autres, nous pouvons supposer que nous avons n tests indépendants. La probabilité de perdre un prêt pour la banque à chaque essai est q = = 1 – p. Laisser X– le nombre d’emprunteurs qui ont remboursé le prêt avec intérêts, alors le bénéfice de la banque est déterminé par la formule

Où X est une variable aléatoire avec une loi de distribution binomiale.

Puisque l'octroi d'un prêt n'a de sens qu'avec une attente mathématique positive de profit (bénéfice moyen positif), alors à partir de la condition M( P) > 0, la condition pour le taux d'intérêt est la suivante :

b) Le taux d'intérêt du prêt satisfait à la condition selon laquelle l'espérance mathématique de profit est positive : 30 >100(1 – 0,8)/0,8. Espérance mathématique de profit :

100 ∙ 1000(30 ∙ 0,8/100 – 0,2) = 4 millions de roubles.

Écart type du bénéfice :

Problème 1. Dans un lot de 25 blousons en cuir, 5 présentent un vice caché. Achetez 3 vestes. Retrouvez la loi de répartition du nombre de vestes défectueuses parmi celles achetées. Construisez un polygone de distribution.

Tâche 2. La probabilité qu'une erreur ait été commise lors de l'établissement du bilan est de 0,3. Le commissaire aux comptes s'est vu présenter 3 bilans de l'entreprise pour sa conclusion. Elaborer une loi de répartition du nombre de conclusions positives sur les soldes contrôlés.

Tâche 3. Deux acheteurs effectuent indépendamment un achat chacun. La probabilité que le premier acheteur effectue un achat est de 0,8 et la probabilité que le second effectue un achat est de 0,6. Variable aléatoire X– le nombre d’achats effectués par les clients. Décrire la loi de distribution d'une variable aléatoire X.

Tâche 4. Deux conserveries fournissent des produits au magasin dans un rapport de 2:3. La part des produits de première qualité dans la première usine est de 90 % et dans la seconde de 80 %. 3 boîtes de conserve ont été achetées au magasin. Trouvez l'espérance mathématique et l'écart type du nombre de canettes contenant des produits de la plus haute qualité.

Tâche 5. Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue X spécifié dans l'intervalle (–π/2; π/2) par la fonction
En dehors de cet intervalle
Rechercher un paramètre AVEC et déterminer la probabilité de toucher une variable aléatoire X dans l’intervalle (0 ; π/4).

Tâche 6. Variable aléatoire X donné par la densité de probabilité
à – ∞

4)M(X) = 2,519, σ( X) ≈ 0,64; 5)C = 1/2; 6)
7)M x= =1h., D x= 1/3 h 2 ; 8)σ x = 48,8 g.

UNIVERSITÉ D'ÉTAT DE SMOLENSK

SELON LA THÉORIE DES PROBABILITÉS

Théorèmes limites de la théorie des probabilités.

Pour toute variable aléatoire ayant une espérance et une variance mathématiques, l'inégalité de Chebyshev est valide :

P.(| X— un|> ε )≤
(1)

P.(| X— un|≤ ε )≥ 1-

Théorème de Chebyshev : Si l'écart n variables aléatoires indépendantes X 1 , X 2 . X n sont limités à la même constante, alors avec une augmentation illimitée du nombre n la moyenne arithmétique d'une variable aléatoire converge en probabilité vers la moyenne arithmétique de leurs attentes mathématiques, c'est-à-dire

Conséquence: Si variables aléatoires indépendantes X 1 , X 2 . X n ont les mêmes attentes mathématiques, égales un, et leurs variances sont limitées par la même constante, alors l’inégalité de Chebyshev et le théorème de Chebyshev prennent la forme :

Théorème de Bernoulli : Fréquence relative des événements dans n essais indépendants répétés, dans chacun desquels cela peut se produire avec la même probabilité p, avec une augmentation illimitée du nombre n converge en probabilité vers probabilité p cet événement dans un test séparé :

Théorème central limite pour des quantités identiquement distribuées : Si X 1 , X 2 . X n– des variables aléatoires indépendantes qui ont des attentes mathématiques égales M[ X je ] =un, écart D[ X je ]= un 2 et moments centraux absolus du troisième ordre M(| X je — un je | 3 )= m je , (
) , alors la loi de répartition du montant Oui n = X 1 + X 2 +. + X nà
se rapproche indéfiniment de la normale. En particulier, si toutes les variables aléatoires X je identiquement distribués, alors la loi de distribution de leur somme se rapproche indéfiniment de la loi normale lorsque
.

Théorème local de Moivre-Laplace : Si la probabilité p survenance d'un événement UN dans chaque essai est constante et différente de 0 et 1, alors la probabilité P. m , n que l'événement UN cela arrivera m une fois tous les n tests indépendants avec un nombre suffisamment grand n, à peu près égal

,

.

Théorème intégral de Moivre-Laplace : Si la probabilité p survenance d'un événement UN dans chaque essai est constante et différente de 0 et 1, alors la probabilité que le nombre m survenance d'un événement UN V n tests indépendants conclus allant de unà b(inclus), avec un nombre suffisamment grand nà peu près égal

–

Fonction de Laplace (ou intégrale de probabilité) ;

,
.

Objectif de la leçon : 1. Maîtriser les conditions d'application du théorème central limite.

2. Renforcer les compétences de calcul des probabilités associées à la loi de distribution normale.

3. Apprenez aux élèves à reconnaître la manifestation de la loi des grands nombres.

Pour une leçon sur ce sujet, les réponses aux questions suivantes doivent être préparées :

Quelle est l’essence de la loi des grands nombres ?

Quelle est la signification pratique et théorique de l’inégalité de Chebyshev ?

Quelle signification pratique le théorème de Chebyshev a-t-il ?

Expliquer, à l'aide du théorème de Bernoulli, la propriété de stabilité des fréquences relatives.

Quelle est l’essence du théorème central limite de la théorie des probabilités ?

Tâche 1. La consommation moyenne d'eau dans une ferme d'élevage est de 1 000 litres par jour, et l'écart type de cette variable aléatoire ne dépasse pas 200 litres. Estimez la probabilité que le débit d'eau de la ferme, un jour sélectionné, ne dépasse pas 2 000 L en utilisant l'inégalité de Chebyshev.

Solution. Dispersion D(X)=σ 2 ≤200 2 . Puisque les limites de l'intervalle 0≤X≤2000 sont symétriques par rapport à l'espérance mathématique M(X)=1000, alors pour estimer la probabilité de l’événement souhaité, on peut appliquer l’inégalité de Chebyshev.

,

ceux. pas moins de 0,96.

Tâche 2. Selon les statistiques, en moyenne 87 % des nouveau-nés vivent jusqu'à 50 ans. À l'aide de l'inégalité de Chebyshev, estimez la probabilité que sur 1 000 nouveau-nés, la proportion de ceux qui survivent jusqu'à 50 ans ne différera pas de la probabilité de cet événement de plus de 0,04 (en valeur absolue).

,

ceux. pas moins de 0,929.

Tâche 3. Pour déterminer la durée de combustion moyenne des lampes électriques dans un lot de 200 boîtes identiques, une lampe de chaque boîte a été échantillonnée. Estimer la probabilité que la durée de combustion moyenne des 200 lampes électriques sélectionnées ne diffère pas de plus de 5 heures de la durée de combustion moyenne des lampes de l'ensemble du lot (en valeur absolue), si l'on sait que l'écart type de la combustion la durée des lampes dans chaque boîte est inférieure à 7 heures.

Trouver la probabilité de l'événement souhaité

,

ceux. pas moins de 0,9902.

Tâche 4. Combien de mesures d'une grandeur donnée doivent être effectuées pour garantir, avec une probabilité d'au moins 0,95, que la moyenne arithmétique de ces mesures ne diffère pas de plus de 1 (en valeur absolue) de la valeur réelle de la grandeur, si l'écart type de chaque mesure ne dépasse pas 5 ?

Il faut trouver n, à laquelle

.

Appliquons l'inégalité de Chebyshev :

, où

et à
, c'est-à-dire au moins 500 mesures seront nécessaires.

Tâche 5. Les rames de métro circulent à intervalles réguliers 2 minutes. Chaque passager, indépendamment des autres, arrive sur le quai à un moment aléatoire. Je suis monté dans ce train 75 passagers. Quelle est la probabilité que leur temps d’attente total soit compris entre une heure et deux heures et demie ?

Solution. Notons le temps d'attente je le passager à travers X je. Il est naturel de supposer qu'il est également possible pour un passager d'arriver à tout moment entre les trains. Formellement, cela signifie que X je a une loi de distribution uniforme avec une fonction de densité de probabilité

f(x) =

Alors
Et

Temps d'attente total Oui=∑ X je représente la somme d'un plus grand nombre de variables aléatoires indépendantes distribuées de manière identique avec des variances limitées. En vertu du théorème central limite, on peut affirmer que Oui a une loi de distribution proche de la normale. La loi de distribution normale est déterminée par l'espérance mathématique et la dispersion. Comptons-les.

N(75,25) . Le problème nécessite de calculer

Tâche 6. Le tireur atteint le top dix avec une probabilité 0,4 , à neuf - avec probabilité 0,3 , à huit - avec probabilité 0,2 , sur sept - avec probabilité 0,1 . Quelle est la probabilité que lorsque 25 coups de feu tirés par le tireur 250 fera perdre des points à 220 à 240 lunettes?

Solution. Laissez à je-le coup de feu, les cadrans du tireur X je points. Quantités X je indépendants et ont la même distribution

Somme des points Oui= étant la somme d'un grand nombre de termes indépendants identiquement distribués avec des variances limitées, il possède une loi de distribution proche de la normale dont les paramètres

N(225,25) Et P.(220 2 ). Quelle est la probabilité que dans une mesure l'erreur ne dépasse pas 1 MK ? Pour améliorer la précision des mesures, nous avons fait 25 mesures, la moyenne arithmétique des valeurs observées est prise comme valeur mesurée. Dans ce cas, quelle est la probabilité que l’erreur ne dépasse pas 1 MK ? (Instruction : utiliser le fait de stabilité de la loi de distribution normale.) Déterminez la dernière probabilité si la loi de distribution de l'erreur de mesure est inconnue et que seule sa variance est connue, égale à 4 mk 2.

Solution. Laisser X– erreur de mesure. Alors

Si la loi de distribution de l'erreur de mesure est inconnue, alors à partir de l'inégalité de Chebyshev :

P(|  0 | 1 , alors les deux théorèmes de Moivre – Laplace sont valides.

a) Par le théorème local de Moivre – Laplace

b) Variable aléatoire X donne un sens à la fréquence relative des succès dans n expériences, et D

Puisque dans l'expérience de Pearson, l'écart entre la fréquence relative de succès et la probabilité de succès dans une expérience était égal à
alors selon le théorème intégral de Moivre – Laplace

Tâche 1. En moyenne, 10 % de la population active d'une région donnée est au chômage. À l’aide de l’inégalité de Chebyshev, estimez la probabilité que le taux de chômage parmi les 10 000 citadins en âge de travailler interrogés soit compris entre 9 et 11 % (inclus).

Tâche 2. L'expérience d'une compagnie d'assurance montre qu'un événement assuré survient dans environ un contrat sur cinq. À l'aide de l'inégalité de Chebyshev, estimez le nombre requis de contrats qui devraient être conclus pour qu'avec une probabilité de 0,9, on puisse affirmer que la part des événements assurés ne s'écartera pas de 0,1 de plus de 0,01 (en valeur absolue).

Tâche 3. Lors de l'examen du capital autorisé des banques, il a été constaté qu'un cinquième des banques ont un capital autorisé supérieur à 100 millions de roubles. Trouvez la probabilité que parmi 1 800 banques aient un capital autorisé supérieur à 100 millions de roubles : a) au moins 300 ; b) de 300 à 400 inclus.

Tâche 4. La probabilité qu'un courtier vendant des titres les vende est de 0,7. Combien de titres doit-il y avoir pour qu'on puisse affirmer avec une probabilité de 0,996 que la part des titres vendus parmi eux ne s'écartera pas de 0,7 de 0,04 au maximum (en valeur absolue) ?

Tâche 5. Une compagnie d'assurance compte 10 000 clients. Chacun d'eux, s'assurant contre un accident, contribue à hauteur de 500 roubles. La probabilité d'un accident est de 0,0055 et le montant de l'assurance versé à la victime est de 50 000 roubles. Quelle est la probabilité que : a) la compagnie d’assurance subisse une perte ; b) plus de la moitié de tous les fonds reçus des clients seront dépensés pour payer les montants d'assurance ?

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