Le problème se formule ainsi : laissez la quantité désirée z déterminé par d'autres quantités une, b, c, ... obtenus à partir de mesures directes

z = f (une, b, c,...) (1.11)

Il faut trouver la valeur moyenne de la fonction et l'erreur de ses mesures, c'est-à-dire trouver l'intervalle de confiance

avec fiabilité a et erreur relative.

Quant à, on le trouve en remplaçant par le côté droit de (11) au lieu de une, b, c,...leurs valeurs moyennes

3. Estimer la demi-largeur de l'intervalle de confiance pour le résultat de mesures indirectes

où les dérivés... sont calculés à

4. Déterminer l'erreur relative du résultat

5. Si la dépendance de z sur une, b, c,... a la forme , Où k, l, m‒ des nombres réels, alors vous devez d'abord trouver relatif erreur

et puis absolu .

6. Écrivez le résultat final dans le formulaire

z = ± Dz , ε = …% à une = … .

Note:

Lors du traitement des résultats de mesures directes, vous devez suivre la règle suivante : les valeurs numériques de toutes les quantités calculées doivent contenir un chiffre de plus que les quantités d'origine (déterminées expérimentalement).

Pour les mesures indirectes, les calculs sont effectués selon règles de calculs approximatifs:

Règle 1. Lorsque vous ajoutez et soustrayez des nombres approximatifs, vous devez :

a) sélectionner le terme dans lequel le chiffre douteux a le chiffre le plus élevé ;

b) arrondir tous les autres termes au chiffre suivant (un chiffre de rechange est conservé) ;

c) effectuer une addition (soustraction) ;

d) en conséquence, éliminer le dernier chiffre en arrondissant (le chiffre du chiffre douteux du résultat coïncide avec le plus grand des chiffres des chiffres douteux des termes).

Exemple: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.

Dans ces nombres, les derniers chiffres significatifs sont douteux (les incorrects ont déjà été écartés). Écrivons-les sous la forme 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.

On voit que dans le premier terme le nombre douteux 2 a le chiffre le plus élevé (dizaines). En arrondissant tous les autres nombres au chiffre suivant et en additionnant, nous obtenons

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094 10 5.

Règle 2. Lorsque vous multipliez (divisez) des nombres approximatifs, vous devez :

a) sélectionner le(s) nombre(s) comportant le moins de chiffres significatifs ( SIGNIFICATIF – nombres autres que zéro et des zéros entre eux);

b) arrondir les nombres restants afin qu'ils comportent un chiffre significatif de plus (un chiffre de rechange est conservé) que ceux attribués à l'étape a ;

c) multiplier (diviser) les nombres obtenus ;

d) en conséquence, laisser autant de chiffres significatifs qu'il y en avait dans le(s) nombre(s) ayant le moins de chiffres significatifs.

Exemple: .

Règle 3. Lorsqu'il est élevé à une puissance, lors de l'extraction d'une racine, le résultat conserve autant de chiffres significatifs qu'il y en a dans le nombre d'origine.

Exemple: .

Règle 4. Lors de la recherche du logarithme d'un nombre, la mantisse du logarithme doit avoir autant de chiffres significatifs qu'il y en a dans le nombre d'origine :

Exemple: .

Dans l'enregistrement final absolu il ne faut laisser que les erreurs un chiffre significatif. (Si ce chiffre s'avère être 1, alors un autre chiffre est stocké après).

La valeur moyenne est arrondie au même chiffre que l'erreur absolue.

Par exemple: V= (375,21 0,03) cm3 = (3,7521 0,0003) cm3.

je= (5,530 0,013)UNE, UN = J.

Bon de travail

Détermination du diamètre du cylindre.

1. À l'aide d'un pied à coulisse, mesurez 7 fois le diamètre du cylindre (à différents endroits et directions). Enregistrez les résultats dans un tableau.

Non.

d je, mm

je-

(je- ) 2

salut, mm Et

Informations connexes :

Les erreurs dans les quantités mesurées et tabulées déterminent les erreurs de DH av de la valeur indirectement déterminée, et la plus grande contribution à DH av est apportée par les valeurs les moins précises, qui ont l'erreur relative maximale d. Par conséquent, pour augmenter la précision des mesures indirectes, il est nécessaire d’obtenir une précision égale des mesures directes.

(d A, d B, d C, ...).

Règles pour rechercher des erreurs dans les mesures indirectes :

1. Trouvez le logarithme népérien de la fonction donnée

ln(X = f(A,B,C,…));

2. Trouvez la différentielle totale (sur toutes les variables) à partir du logarithme népérien trouvé de la fonction donnée ;

3. Remplacer le signe du différentiel d par le signe de l'erreur absolue D ;

4. Remplacez tous les « moins » face aux erreurs absolues DA, DB, DC, ... aux "pros".

Le résultat est la formule de la plus grande erreur relative dx valeur mesurée indirectement X :

dx = = j (A moyenne, B moyenne, C moyenne, ..., DA moyenne, DB moyenne, DC moyenne, ...).(18)

Selon l'erreur relative trouvée dx déterminer l'erreur absolue de mesure indirecte :

DX moyenne = d x. X moyenne . (19)

Le résultat des mesures indirectes est écrit sous forme standard et représenté sur l'axe numérique :

X = (X moy ± DХ moy), unité (20)

Exemple:

Trouver les valeurs des erreurs relatives et moyennes d'une grandeur physique L, déterminé indirectement par la formule :

, (21)

Où π, g, t, k, α, β– les grandeurs dont les valeurs sont mesurées ou extraites de tableaux de référence et inscrites dans un tableau des résultats de mesure et des données tabulées (similaire au tableau 1).

1. Calculez la valeur moyenne L moyenne, en remplaçant les valeurs moyennes du tableau dans (21) – π moyenne, g moyenne, t moyenne, k moyenne, α moyenne, β moyenne.

2. Déterminez la plus grande erreur relative δL:

un). Formule du logarithme (21) :

b). L'expression résultante (22) est différenciée :

c) Remplacez le signe du différentiel d par Δ, et les « moins » devant les erreurs absolues par des « plus », et obtenez une expression pour la plus grande erreur relative. δL:

d). En remplaçant les valeurs moyennes des quantités d'entrée et leurs erreurs du tableau des résultats de mesure dans l'expression résultante, calculez δL.

3. Calculez ensuite l’erreur absolue ΔL moyenne:

Le résultat est enregistré sous forme standard et représenté graphiquement sur l'axe L:

, unités changement

ESTIMATIONS ÉLÉMENTAIRES DE L'ERREUR DE MESURE

Mesurer consiste à trouver expérimentalement la valeur d'une grandeur physique à l'aide de moyens techniques spéciaux - mesures, instruments de mesure.

Une mesure est un moyen de mesure qui reproduit une grandeur physique d'une taille donnée - une unité de mesure, sa valeur multiple ou fractionnaire. Par exemple, pèse 1 kg, 5 kg, 10 kg.

Un appareil de mesure est un instrument de mesure conçu pour générer un signal d'informations de mesure sous une forme accessible à la perception directe par un observateur. Un appareil de mesure permet de comparer directement ou indirectement la valeur mesurée avec des mesures. Les mesures sont également divisées en directes et indirectes.

Dans les mesures directes, la valeur souhaitée de la grandeur est trouvée directement à partir des données de base (expérimentales).

Dans les mesures indirectes, la valeur souhaitée d'une grandeur est trouvée sur la base de la relation connue entre cette grandeur et les grandeurs soumises aux mesures directes. Le principe de mesure est un ensemble de phénomènes physiques sur lesquels reposent les mesures.

Une méthode de mesure est un ensemble de techniques permettant d'utiliser des principes et des instruments de mesure. La valeur d'une grandeur physique, qui refléterait idéalement en termes qualitatifs et quantitatifs la propriété correspondante d'un objet donné, est la vraie valeur de la grandeur physique. La valeur d'une grandeur physique trouvée en la mesurant est le résultat de la mesure.

L'écart du résultat de mesure par rapport à la valeur réelle de la valeur mesurée constitue l'erreur de mesure.

L'erreur absolue de mesure est l'erreur de mesure, exprimée en unités de la valeur mesurée et égale à la différence entre le résultat et la valeur réelle de la valeur mesurée. Le rapport de l’erreur absolue à la valeur réelle de la grandeur mesurée est l’erreur de mesure relative.

Les contributions à l'erreur de mesure comprennent les erreurs dans les instruments de mesure (erreur instrumentale ou instrumentale), l'imperfection de la méthode de mesure, l'erreur de lecture sur l'échelle de l'instrument, les influences externes sur les moyens et les objets de mesure et le retard dans la réaction humaine aux signaux lumineux et sonores. .

En fonction de la nature de leur manifestation, les erreurs sont divisées en systématiques et aléatoires. Un événement aléatoire est un événement qui, compte tenu d’un ensemble de facteurs donnés, peut se produire ou non.

L’erreur aléatoire est une composante de l’erreur de mesure qui change de manière aléatoire lors de mesures répétées de la même quantité. Une caractéristique des erreurs aléatoires est un changement dans l'ampleur et le signe de l'erreur dans des conditions de mesure constantes.

L'erreur systématique est une composante de l'erreur de mesure qui reste constante ou change naturellement avec des mesures répétées de la même quantité. En principe, les erreurs systématiques peuvent être éliminées grâce à des corrections et à l’utilisation d’instruments et de méthodes plus précis (même si, dans la pratique, il n’est pas toujours facile de détecter les erreurs systématiques). Il est impossible d'exclure les erreurs aléatoires dans les mesures individuelles ; la théorie mathématique des phénomènes aléatoires (théorie des probabilités) permet seulement d'établir une estimation raisonnable de leur ampleur.

Erreurs de mesures directes

Supposons que les erreurs systématiques soient exclues et que les erreurs dans les résultats de mesure soient uniquement aléatoires. Désignons par des lettres les résultats de mesures d'une grandeur physique dont la vraie valeur est égale à . Les erreurs absolues des résultats des mesures individuelles sont indiquées :

En résumant les côtés gauche et droit de l'égalité (1), on obtient :

(2)

La théorie des erreurs aléatoires repose sur des hypothèses confirmées par l'expérience :

les erreurs peuvent prendre une série continue de valeurs ;

avec un grand nombre de mesures, des erreurs aléatoires de même ampleur, mais de signes différents, se produisent également souvent ;

la probabilité d'une erreur diminue à mesure que son ampleur augmente. Il faut également que les erreurs soient faibles par rapport à la valeur mesurée et indépendantes.

D’après l’hypothèse (1), avec le nombre de mesures n   on obtient

Cependant, le nombre de dimensions est toujours fini et reste inconnu. Mais pour des raisons pratiques, il suffit de trouver expérimentalement la valeur d'une grandeur physique si proche de la vraie que peut être utilisé à la place de true. La question est de savoir comment évaluer le degré de ce rapprochement ?

Selon la théorie des probabilités, la moyenne arithmétique d'une série de mesures plus fiable que les résultats de mesures individuelles, car des écarts aléatoires par rapport à la valeur réelle dans différentes directions sont également probables. La probabilité d'apparition d'une valeur a i dans un intervalle de largeur 2a i s'entend comme la fréquence relative d'apparition des valeurs de a i tombant dans l'intervalle 2a i par rapport au nombre de toutes les valeurs apparaissant de a i le nombre d'expériences (mesures) tendant vers l'infini. Évidemment, la probabilité d'un événement fiable est égale à un, la probabilité d'un événement impossible est égale à zéro, c'est-à-dire 0    100 %.

La probabilité que la valeur souhaitée (sa vraie valeur) soit contenue dans l'intervalle (a - a, a + a) sera appelée probabilité de confiance (fiabilité) , et l'intervalle  correspondant (a - a, a + a) - intervalle de confiance ; Plus l'erreur a est petite, plus la probabilité que la valeur mesurée soit contenue dans l'intervalle défini par cette erreur est faible. L’affirmation inverse est également vraie : moins le résultat est fiable, plus l’intervalle de confiance de la valeur souhaitée est étroit.

Pour n grand (pratiquement pour n  100), la demi-largeur de l'intervalle de confiance pour une fiabilité donnée  est égale à

, (3)

où K() = 1 à  = 0,68 ; K() = 2 à  = 0,95 ; K() = 3 à  = 0,997.

Avec un petit nombre de mesures, ce que l'on retrouve le plus souvent dans la pratique des étudiants en laboratoire, le coefficient K() dans (3) dépend non seulement de , mais aussi du nombre de mesures n. Par conséquent, en présence uniquement d'une erreur aléatoire, nous trouverons toujours la demi-largeur de l'intervalle de confiance à l'aide de la formule

(4)

Dans (4), le coefficient t  n est appelé coefficient de Student. Pour  = 0,95 adopté dans les travaux pratiques des étudiants, les valeurs de t  n sont les suivantes :

Cette valeur est appelée erreur quadratique moyenne de la moyenne arithmétique d'une série de mesures.

L'erreur d'un instrument ou d'une mesure est généralement indiquée dans son passeport ou par un symbole sur l'échelle de l'instrument. Habituellement, l'erreur de l'instrument  est comprise comme la demi-largeur de l'intervalle dans lequel la valeur mesurée peut être contenue avec une probabilité de mesure de 0,997, si l'erreur de mesure est due uniquement à l'erreur de l'instrument. Comme erreur générale (totale) du résultat de la mesure, nous accepterons avec probabilité  = 0,95

L'erreur absolue permet de déterminer dans quel signe du résultat obtenu l'inexactitude est contenue. L'erreur relative donne des informations sur la proportion (pourcentage) de la valeur mesurée qui représente l'erreur (demi-largeur de l'intervalle de confiance).

On écrit le résultat final d'une série de mesures directes de la valeur a 0 sous la forme

Par exemple

(6)

Ainsi, toute grandeur physique trouvée expérimentalement doit être représentée :

Laissez une variable aléatoire un mesuré n fois dans les mêmes conditions. Les résultats des mesures ont donné un ensemble n différents numéros

Erreur absolue- valeur dimensionnelle. Parmi n Les valeurs d'erreur absolues sont nécessairement à la fois positives et négatives.

Pour la valeur la plus probable de la quantité UN habituellement pris moyenne arithmétique valeur des résultats de mesure

Plus le nombre de mesures est grand, plus la valeur moyenne est proche de la valeur réelle.

Erreur absolueje

Erreur relativeje-la mesure est appelée quantité

L'erreur relative est une quantité sans dimension. Habituellement, l'erreur relative est exprimée en pourcentage, pour cela e je multiplier par 100%. L'ampleur de l'erreur relative caractérise la précision de la mesure.

Erreur absolue moyenne est défini ainsi :

Nous soulignons la nécessité de sommer les valeurs absolues (modules) des quantités D et moi. Sinon, le résultat sera identiquement nul.

Erreur relative moyenne s'appelle la quantité

Avec un grand nombre de mesures.

L'erreur relative peut être considérée comme la valeur d'erreur par unité de la valeur mesurée.

La précision des mesures est jugée en comparant les erreurs des résultats de mesure. Par conséquent, les erreurs de mesure sont exprimées sous une forme telle que pour évaluer la précision, il suffit de comparer uniquement les erreurs des résultats, sans comparer les tailles des objets mesurés ni connaître ces tailles de manière très approximative. Il est connu de la pratique que l'erreur absolue dans la mesure d'un angle ne dépend pas de la valeur de l'angle et que l'erreur absolue dans la mesure de la longueur dépend de la valeur de la longueur. Plus la longueur est grande, plus l'erreur absolue est grande pour une méthode et des conditions de mesure données. Par conséquent, l’erreur absolue du résultat peut être utilisée pour juger de la précision de la mesure d’angle, mais la précision de la mesure de longueur ne peut pas être jugée. Exprimer l'erreur sous forme relative permet de comparer la précision des mesures angulaires et linéaires dans des cas connus.

Concepts de base de la théorie des probabilités. Erreur aléatoire.

Erreur aléatoire appelé la composante de l’erreur de mesure qui change de manière aléatoire lors de mesures répétées de la même quantité.

Lorsque des mesures répétées de la même quantité constante et immuable sont effectuées avec le même soin et dans les mêmes conditions, nous obtenons des résultats de mesure - certains d'entre eux diffèrent les uns des autres et certains coïncident. De telles divergences dans les résultats de mesure indiquent la présence de composants d'erreur aléatoires.

Une erreur aléatoire résulte de l'influence simultanée de nombreuses sources, dont chacune a en soi un effet imperceptible sur le résultat de la mesure, mais l'influence totale de toutes les sources peut être assez forte.

Les erreurs aléatoires sont une conséquence inévitable de toute mesure et sont causées par :

a) l'inexactitude des lectures sur l'échelle des instruments et des instruments ;

b) non-identité des conditions pour des mesures répétées ;

c) des changements aléatoires des conditions externes (température, pression, champ de force, etc.), qui ne peuvent être contrôlés ;

d) toutes les autres influences sur les mesures dont les causes nous sont inconnues. L'ampleur de l'erreur aléatoire peut être minimisée en répétant l'expérience plusieurs fois et en traitant mathématiquement les résultats obtenus.

Une erreur aléatoire peut prendre des valeurs de valeurs absolues différentes, impossibles à prédire pour un acte de mesure donné. Cette erreur peut être également positive ou négative. Des erreurs aléatoires sont toujours présentes dans une expérience. En l'absence d'erreurs systématiques, elles provoquent une dispersion des mesures répétées par rapport à la valeur réelle.

Supposons que la période d'oscillation d'un pendule soit mesurée à l'aide d'un chronomètre et que la mesure soit répétée plusieurs fois. Des erreurs de démarrage et d'arrêt du chronomètre, une erreur dans la valeur de lecture, une légère irrégularité dans le mouvement du pendule - tout cela provoque une dispersion des résultats de mesures répétées et peut donc être classé comme erreurs aléatoires.

S’il n’y a pas d’autres erreurs, certains résultats seront quelque peu surestimés, tandis que d’autres seront quelque peu sous-estimés. Mais si, en plus de cela, le temps est également en retard, alors tous les résultats seront sous-estimés. C'est déjà une erreur systématique.

Certains facteurs peuvent provoquer à la fois des erreurs systématiques et aléatoires. Ainsi, en allumant et éteignant le chronomètre, nous pouvons créer un petit écart irrégulier dans les heures de démarrage et d'arrêt de l'horloge par rapport au mouvement du pendule et ainsi introduire une erreur aléatoire. Mais si, de plus, nous sommes pressés d'allumer le chronomètre à chaque fois et que nous sommes un peu en retard pour l'éteindre, cela entraînera une erreur systématique.

Les erreurs aléatoires sont causées par une erreur de parallaxe lors du comptage des divisions de l'échelle de l'instrument, par les secousses des fondations d'un bâtiment, par l'influence d'un léger mouvement d'air, etc.

Bien qu'il soit impossible d'éliminer les erreurs aléatoires dans les mesures individuelles, la théorie mathématique des phénomènes aléatoires permet de réduire l'influence de ces erreurs sur le résultat final de la mesure. Il sera montré ci-dessous que pour cela il est nécessaire de faire non pas une, mais plusieurs mesures, et plus la valeur d'erreur que l'on souhaite obtenir est petite, plus il faut effectuer de mesures.

Étant donné que l’apparition d’erreurs aléatoires est inévitable et inévitable, la tâche principale de tout processus de mesure est de réduire les erreurs au minimum.

La théorie des erreurs repose sur deux hypothèses principales, confirmées par l'expérience :

1. Avec un grand nombre de mesures, des erreurs aléatoires de même ampleur, mais de signes différents, c'est-à-dire des erreurs dans le sens de l'augmentation et de la diminution du résultat, se produisent assez souvent.

2. Les erreurs importantes en valeur absolue sont moins courantes que les petites. Ainsi, la probabilité qu'une erreur se produise diminue à mesure que son ampleur augmente.

Le comportement des variables aléatoires est décrit par des modèles statistiques, qui font l'objet de la théorie des probabilités. Définition statistique de la probabilité avec moiévénements je est la relation

Où n- nombre total d'expériences, n je- le nombre d'expériences dans lesquelles l'événement je arrivé. Dans ce cas, le nombre total d'expériences doit être très important ( n®¥). Avec un grand nombre de mesures, les erreurs aléatoires obéissent à une distribution normale (distribution gaussienne) dont les principales caractéristiques sont les suivantes :

1. Plus l'écart entre la valeur mesurée et la valeur réelle est grand, moins un tel résultat est probable.

2. Les écarts dans les deux sens par rapport à la valeur réelle sont également probables.

Des hypothèses ci-dessus, il s'ensuit que pour réduire l'influence des erreurs aléatoires, il est nécessaire de mesurer cette valeur plusieurs fois. Supposons que nous mesurions une quantité x. Qu'il soit produit n mesures : x 1 , x 2 , ... xn- en utilisant la même méthode et avec le même soin. On peut s'attendre à ce que le nombre DN résultats obtenus, qui se situent dans un intervalle assez étroit de xà x + dx, doit être proportionnel :

La taille de l'intervalle pris dx;

Nombre total de mesures n.

Probabilité dw(x) qu'une certaine valeur x se situe dans la gamme de xà x + dx, est défini comme suit :

(avec le nombre de mesures n ®¥).

Fonction f(X) est appelée fonction de distribution ou densité de probabilité.

Comme postulat de la théorie des erreurs, il est admis que les résultats des mesures directes et leurs erreurs aléatoires, lorsqu'elles sont nombreuses, obéissent à la loi de la distribution normale.

La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue trouvée par Gauss x a la forme suivante :

, où mis - paramètres de distribution .

Le paramètre m de la distribution normale est égal à la valeur moyenne b xñ une variable aléatoire qui, pour une fonction de distribution arbitraire connue, est déterminée par l'intégrale

Ainsi, la valeur m est la valeur la plus probable de la grandeur mesurée x, c'est-à-dire sa meilleure estimation.

Le paramètre s 2 de la distribution normale est égal à la variance D de la variable aléatoire, qui dans le cas général est déterminée par l'intégrale suivante

La racine carrée de la variance est appelée l'écart type de la variable aléatoire.

L'écart moyen (erreur) de la variable aléatoire ásñ est déterminé à l'aide de la fonction de distribution comme suit

L'erreur de mesure moyenne ásñ, calculée à partir de la fonction de distribution gaussienne, est liée à la valeur de l'écart type s comme suit :

< s > = 0,8 s.

Les paramètres s et m sont liés les uns aux autres comme suit :

Cette expression permet de trouver l'écart type s s'il existe une courbe de distribution normale.

Le graphique de la fonction gaussienne est présenté dans les figures. Fonction f(x) est symétrique par rapport à l’ordonnée tracée au point X = m; passe par un maximum au point X = m et a une inflexion aux points m ± s. Ainsi, la variance caractérise la largeur de la fonction de distribution ou montre dans quelle mesure les valeurs d'une variable aléatoire sont dispersées par rapport à sa vraie valeur. Plus les mesures sont précises, plus les résultats des mesures individuelles sont proches de la valeur réelle, c'est-à-dire la valeur s est inférieure. La figure A montre la fonction f(x) pour trois valeurs de s .

Aire d'une figure délimitée par une courbe f(x) et des lignes verticales tracées à partir de points x 1 et x 2 (Fig.B) , numériquement égal à la probabilité que le résultat de la mesure tombe dans l'intervalle D x = x 1 -x 2, appelée probabilité de confiance. Aire sous toute la courbe f(x) est égal à la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans l'intervalle de 0 à ¥, c'est-à-dire

puisque la probabilité d'un événement fiable est égale à un.

En utilisant la distribution normale, la théorie des erreurs pose et résout deux problèmes principaux. La première est une évaluation de l’exactitude des mesures prises. La seconde est une évaluation de l'exactitude de la valeur moyenne arithmétique des résultats de mesure.5. Intervalle de confiance. Coefficient d'étudiant.

La théorie des probabilités nous permet de déterminer la taille de l'intervalle dans lequel, avec une probabilité connue w les résultats de mesures individuelles sont trouvés. Cette probabilité est appelée probabilité de confiance, et l'intervalle correspondant (<x>±D x)w appelé intervalle de confiance. La probabilité de confiance est également égale à la proportion relative des résultats qui se situent dans l'intervalle de confiance.

Si le nombre de mesures n est suffisamment grand, alors la probabilité de confiance exprime la proportion du nombre total n les mesures dans lesquelles la valeur mesurée se trouvait dans l'intervalle de confiance. Chaque probabilité de confiance w correspond à son intervalle de confiance w 2 80%. Plus l’intervalle de confiance est large, plus il est probable d’obtenir un résultat dans cet intervalle. En théorie des probabilités, une relation quantitative est établie entre la valeur de l'intervalle de confiance, la probabilité de confiance et le nombre de mesures.

Si l'on choisit comme intervalle de confiance l'intervalle correspondant à l'erreur moyenne, soit D une = annonce UNñ, alors pour un nombre de mesures suffisamment grand cela correspond à la probabilité de confiance w 60%. À mesure que le nombre de mesures diminue, la probabilité de confiance correspondant à un tel intervalle de confiance (á UNñ ± annonce UNñ), diminue.

Ainsi, pour estimer l'intervalle de confiance d'une variable aléatoire, on peut utiliser la valeur de l'erreur moyenne áD UNñ .

Pour caractériser l'ampleur de l'erreur aléatoire, il est nécessaire de spécifier deux nombres, à savoir la valeur de l'intervalle de confiance et la valeur de la probabilité de confiance. . Indiquer uniquement l’ampleur de l’erreur sans la probabilité de confiance correspondante n’a pratiquement aucun sens.

Si l'erreur de mesure moyenne ásñ est connue, l'intervalle de confiance s'écrit (<x> ± ásñ) w, déterminé avec une probabilité de confiance w= 0,57.

Si l'écart type s est connu distribution des résultats de mesure, l'intervalle spécifié a la forme (<x>± t w s) w, Où t w- coefficient dépendant du niveau de confiance et calculé selon la distribution gaussienne.

Quantités D les plus couramment utilisées x sont donnés dans le tableau 1.

Souvent, dans la vie, nous devons faire face à diverses quantités approximatives. Les calculs approximatifs sont toujours des calculs comportant une certaine erreur.

Le concept d'erreur absolue

L'erreur absolue d'une valeur approximative est l'ampleur de la différence entre la valeur exacte et la valeur approximative.
Autrement dit, vous devez soustraire la valeur approximative de la valeur exacte et prendre le nombre résultant modulo. L’erreur absolue est donc toujours positive.

Comment calculer l'erreur absolue

Montrons à quoi cela pourrait ressembler en pratique. Par exemple, nous avons un graphique d'une certaine valeur, que ce soit une parabole : y=x^2.

À partir du graphique, nous pouvons déterminer la valeur approximative en certains points. Par exemple, à x=1,5 la valeur de y est approximativement égale à 2,2 (y≈2,2).

En utilisant la formule y=x^2, nous pouvons trouver la valeur exacte au point x=1,5 y= 2,25.

Calculons maintenant l'erreur absolue de nos mesures. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.

L'erreur absolue est de 0,05. Dans de tels cas, ils disent également que la valeur est calculée avec une précision de 0,05.

Il arrive souvent que la valeur exacte ne puisse pas toujours être trouvée, et donc l'erreur absolue ne puisse pas toujours être trouvée.

Par exemple, si l’on calcule la distance entre deux points à l’aide d’une règle, ou la valeur de l’angle entre deux lignes droites à l’aide d’un rapporteur, alors nous obtiendrons des valeurs approximatives. Mais la valeur exacte est impossible à calculer. Dans ce cas, nous pouvons spécifier un nombre tel que la valeur d’erreur absolue ne puisse pas être supérieure.

Dans l'exemple avec une règle, ce sera 0,1 cm, puisque la valeur de division sur la règle est de 1 millimètre. Dans l'exemple du rapporteur, 1 degré car l'échelle du rapporteur est graduée à chaque degré. Ainsi, les valeurs d'erreur absolues dans le premier cas sont de 0,1 et dans le second cas de 1.

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Sujet précédent :

1. Présentation

Le travail des chimistes, des physiciens et des représentants d'autres professions des sciences naturelles consiste souvent à effectuer des mesures quantitatives de diverses quantités. Dans ce cas, se pose la question de l'analyse de la fiabilité des valeurs obtenues, du traitement des résultats des mesures directes et de l'évaluation des erreurs de calcul utilisant les valeurs des caractéristiques directement mesurées (ce dernier processus est également appelé traitement des résultats indirect mesures). Pour un certain nombre de raisons objectives, les connaissances des diplômés de la Faculté de chimie de l'Université d'État de Moscou sur les erreurs de calcul ne sont pas toujours suffisantes pour traiter correctement les données reçues. L'une de ces raisons est l'absence dans le cursus facultaire d'un cours sur le traitement statistique des résultats de mesure.

Bien entendu, la question des erreurs de calcul a désormais été étudiée en profondeur. Il existe un grand nombre de développements méthodologiques, de manuels, etc., dans lesquels vous pouvez trouver des informations sur les erreurs de calcul. Malheureusement, la plupart de ces ouvrages sont surchargés d’informations supplémentaires et pas toujours nécessaires. En particulier, la plupart des travaux des ateliers d'étudiants ne nécessitent pas d'actions telles que comparer des échantillons, évaluer la convergence, etc. Par conséquent, il semble approprié de créer un bref développement qui décrit les algorithmes pour les calculs les plus fréquemment utilisés, c'est ce que propose ce développement. est consacré à.

2. Notation adoptée dans cet ouvrage

La valeur mesurée, - la valeur moyenne de la valeur mesurée, - l'erreur absolue de la valeur moyenne de la valeur mesurée, - l'erreur relative de la valeur moyenne de la valeur mesurée.

3. Calcul des erreurs de mesures directes

Supposons donc qu'ils aient été exécutés n mesures de la même quantité dans les mêmes conditions. Dans ce cas, vous pouvez calculer la valeur moyenne de cette valeur dans les mesures effectuées :

(1)

Comment calculer l'erreur ? D'après la formule suivante :

(2)

Cette formule utilise le coefficient de Student. Ses valeurs à différentes probabilités de confiance et valeurs sont indiquées.

3.1. Un exemple de calcul des erreurs de mesures directes :

Tâche.

La longueur de la barre métallique a été mesurée. 10 mesures ont été effectuées et les valeurs suivantes ont été obtenues : 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Il faut trouver la valeur moyenne de la grandeur mesurée (longueur de la barre) et son erreur.

Solution.

En utilisant la formule (1) on trouve :

Maintenant, en utilisant la formule (2), nous trouvons l'erreur absolue de la valeur moyenne avec la probabilité de confiance et le nombre de degrés de liberté (nous utilisons la valeur = 2,262, tirée de) :

Écrivons le résultat :

10,8±0,7 0,95 mm

4. Calcul des erreurs de mesures indirectes

Supposons que pendant l'expérience les grandeurs sont mesurées et puis c En utilisant les valeurs obtenues, la valeur est calculée à l'aide de la formule .

Dans ce cas, les erreurs des grandeurs directement mesurées sont calculées comme décrit au paragraphe 3.

Le calcul de la valeur moyenne d'une grandeur s'effectue en fonction de la dépendance en utilisant les valeurs moyennes des arguments.

,(3)

La valeur d'erreur est calculée à l'aide de la formule suivante :

où est le nombre d'arguments, est la dérivée partielle de la fonction par rapport aux arguments, est l'erreur absolue de la valeur moyenne de l'argument.

L'erreur absolue, comme dans le cas des mesures directes, est calculée à l'aide de la formule.

Tâche.

4.1. Un exemple de calcul des erreurs de mesures directes :

5 mesures directes des grandeurs ont été réalisées. Les valeurs suivantes ont été obtenues pour la valeur : 50, 51, 52, 50, 47 ; les valeurs suivantes ont été obtenues pour la quantité : 500, 510, 476, 354, 520. Il faut calculer la valeur de la quantité déterminée par la formule et trouver l'erreur de la valeur obtenue.

L'erreur absolue des calculs est trouvée par la formule : Le signe du module montre que nous ne nous soucions pas de savoir quelle valeur est la plus grande et laquelle est la moins grande. Important, jusqu'à quel point

le résultat approximatif s'écartait de la valeur exacte dans un sens ou dans l'autre.
L'erreur relative des calculs se trouve par la formule :

, ou la même chose : L'erreur relative montre de quel pourcentage

le résultat approximatif s'écarte de la valeur exacte. Il existe une version de la formule sans multiplication par 100 %, mais en pratique je vois presque toujours la version ci-dessus avec des pourcentages. Après une brève référence, revenons à notre problème, dans lequel nous avons calculé la valeur approximative de la fonction

en utilisant un différentiel.
Calculons la valeur exacte de la fonction à l'aide d'une microcalculatrice :

, à proprement parler, la valeur est encore approximative, mais nous la considérerons comme exacte. De tels problèmes surviennent.:

Calculons l'erreur absolue
Calculons l'erreur relative :

, des millièmes de pour cent ont été obtenus, donc le différentiel fournissait simplement une excellente approximation.: Répondre

, erreur de calcul absolue, erreur de calcul relative

L'exemple suivant pour une solution indépendante :

Exemple 4

au point. Calculez une valeur plus précise de la fonction en un point donné, estimez l'erreur absolue et relative des calculs.

Un échantillon approximatif de la conception finale et la réponse à la fin de la leçon.

Beaucoup de gens ont remarqué que des racines apparaissent dans tous les exemples considérés. Ce n’est pas un hasard ; dans la plupart des cas, le problème considéré propose en réalité des fonctions avec des racines.

Mais pour les lecteurs qui souffrent, j'ai déniché un petit exemple avec arc sinus :

Calculer approximativement la valeur d'une fonction à l'aide d'un différentiel au point

Cet exemple court mais informatif peut également être résolu par vous-même. Et je me reposai un peu pour qu'avec une vigueur renouvelée je puisse envisager la tâche particulière :

Exemple 6

Calculez approximativement en utilisant la différentielle, arrondissez le résultat à deux décimales.

Solution: Quoi de neuf dans la tâche ? La condition nécessite d’arrondir le résultat à deux décimales. Mais là n’est pas la question ; je pense que le problème des arrondissements scolaires n’est pas difficile pour vous. Le fait est qu’on nous donne une tangente avec un argument exprimé en degrés. Que devez-vous faire lorsqu’on vous demande de résoudre une fonction trigonométrique avec des degrés ? Par exemple , etc.

L'algorithme de solution est fondamentalement le même, c'est-à-dire qu'il faut, comme dans les exemples précédents, appliquer la formule

Écrivons une fonction évidente

La valeur doit être présentée sous la forme . Fournira une aide sérieuse tableau des valeurs des fonctions trigonométriques . D'ailleurs, pour ceux qui ne l'ont pas imprimé, je recommande de le faire, puisqu'il faudra y chercher tout au long du cursus d'études de mathématiques supérieures.

En analysant le tableau, on remarque une « bonne » valeur de tangente, qui est proche de 47 degrés :

Ainsi:

Après analyse préliminaire les degrés doivent être convertis en radians. Oui, et seulement de cette façon !

Dans cet exemple, vous pouvez découvrir directement à partir du tableau trigonométrique que . Utilisation de la formule de conversion des degrés en radians : (les formules se trouvent dans le même tableau).

Ce qui suit est une formule :

Ainsi: (nous utilisons la valeur pour les calculs). Le résultat, comme l'exige la condition, est arrondi à deux décimales.

Répondre:

Exemple 7

Calculez approximativement à l'aide d'une différentielle, arrondissez le résultat à trois décimales.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Comme vous pouvez le constater, il n'y a rien de compliqué, nous convertissons les degrés en radians et adhérons à l'algorithme de solution habituel.

Calculs approximatifs utilisant la différentielle totale d'une fonction de deux variables

Tout sera très, très similaire, donc si vous êtes venu sur cette page spécifiquement pour cette tâche, je vous recommande d'abord de regarder au moins quelques exemples du paragraphe précédent.

Pour étudier un paragraphe, vous devez être capable de trouver dérivées partielles du second ordre , où serions-nous sans eux ? Dans la leçon ci-dessus, j'ai désigné une fonction de deux variables en utilisant la lettre . Par rapport à la tâche considérée, il est plus pratique d'utiliser la notation équivalente.

Comme dans le cas d'une fonction à une variable, la condition du problème peut être formulée de différentes manières, et j'essaierai de considérer toutes les formulations rencontrées.

Exemple 8

Solution: Quelle que soit la façon dont la condition est écrite, dans la solution elle-même pour désigner la fonction, je le répète, il vaut mieux utiliser non pas la lettre « zet », mais .

Et voici la formule de travail :

Ce que nous avons devant nous est en fait la sœur aînée de la formule du paragraphe précédent. La variable n'a fait qu'augmenter. Que puis-je dire, moi-même l'algorithme de solution sera fondamentalement le même!

Selon la condition, il faut trouver la valeur approximative de la fonction en ce point.

Représentons le nombre 3,04 par . Le petit pain lui-même demande à être mangé:
,

Représentons le nombre 3,95 par . Le tour est venu de la seconde moitié de Kolobok :
,

Et ne regardez pas tous les tours du renard, il y a un Kolobok - il faut le manger.

Calculons la valeur de la fonction au point :

On trouve la différentielle d'une fonction en un point à l'aide de la formule :

De la formule, il s'ensuit que nous devons trouver dérivées partielles première commande et calculer leurs valeurs au point .

Calculons les dérivées partielles du premier ordre au point :

Différentiel total au point :

Ainsi, d'après la formule, la valeur approximative de la fonction au point :

Calculons la valeur exacte de la fonction au point :

Cette valeur est absolument exacte.

Les erreurs sont calculées à l'aide de formules standard, qui ont déjà été abordées dans cet article.

Erreur absolue :

Erreur relative :

Réponse : , erreur absolue : , erreur relative :

Exemple 9

Calculer la valeur approximative d'une fonction en un point, à l'aide d'un différentiel total, estimez l'erreur absolue et relative.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Quiconque examine cet exemple de plus près remarquera que les erreurs de calcul se sont révélées très, très visibles. Cela s'est produit pour la raison suivante : dans le problème proposé, les incréments d'arguments sont assez grands : .

Le schéma général est le suivant a - plus ces incréments en valeur absolue sont importants, plus la précision des calculs est faible. Ainsi, par exemple, pour un point similaire, les incréments seront faibles : , et la précision des calculs approximatifs sera très élevée.

Cette fonctionnalité est également vraie pour le cas d'une fonction à une variable (première partie de la leçon).

Exemple 10

Solution: Calculons cette expression approximativement en utilisant la différentielle totale d'une fonction de deux variables :

La différence avec les exemples 8 et 9 est que nous devons d'abord construire une fonction de deux variables : . Je pense que tout le monde comprend intuitivement comment est composée la fonction.

La valeur 4,9973 est proche de « cinq », donc : , .
La valeur 0,9919 est proche de « un », nous supposons donc : , .

Calculons la valeur de la fonction au point :

On trouve le différentiel en un point en utilisant la formule :

Pour ce faire, nous calculons les dérivées partielles du premier ordre au point.

Les dérivés ici ne sont pas les plus simples, et il faut être prudent :

;

Différentiel total au point :

Ainsi, la valeur approximative de cette expression est :

Calculons une valeur plus précise à l'aide d'une microcalculatrice : 2.998899527

Trouvons l'erreur de calcul relative :

Répondre: ,

Juste une illustration de ce qui précède, dans le problème considéré, les incréments d'arguments sont très petits et l'erreur s'est avérée incroyablement petite.

Exemple 11

À l’aide de la différentielle complète d’une fonction de deux variables, calculez approximativement la valeur de cette expression. Calculez la même expression à l’aide d’une microcalculatrice. Estimez l’erreur de calcul relative en pourcentage.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Un échantillon approximatif de la conception finale à la fin de la leçon.

Comme déjà indiqué, l'invité le plus courant dans ce type de tâche est une sorte de racine. Mais de temps en temps, il existe d’autres fonctions. Et un dernier exemple simple pour la détente :

Exemple 12

À l'aide de la différentielle totale d'une fonction de deux variables, calculez approximativement la valeur de la fonction si

La solution est plus proche du bas de la page. Encore une fois, faites attention à la formulation des tâches de la leçon ; dans différents exemples pratiques, la formulation peut être différente, mais cela ne change pas fondamentalement l'essence et l'algorithme de la solution.

Pour être honnête, j’étais un peu fatigué car le matériel était un peu ennuyeux. Ce n'était pas pédagogique de dire ça au début de l'article, mais maintenant c'est déjà possible =) En effet, les problèmes de mathématiques computationnelles ne sont généralement pas très complexes, pas très intéressants, le plus important, peut-être, est de ne pas se tromper dans les calculs ordinaires.

Que les touches de votre calculatrice ne soient pas effacées !