Période d'oscillations harmoniques. Vibrations harmoniques et leurs caractéristiques

Les changements de n'importe quelle quantité sont décrits à l'aide des lois du sinus ou du cosinus, ces oscillations sont alors appelées harmoniques. Considérons un circuit constitué d'un condensateur (qui a été chargé avant d'être inclus dans le circuit) et d'une inductance (Fig. 1).

Graphique 1.

L’équation de vibration harmonique peut s’écrire comme suit :

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

où $t$ est le temps ; $q$ charge, $q_0$-- écart maximum de la charge par rapport à sa valeur moyenne (zéro) lors des changements ; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- phase d'oscillation ; $(\alpha )_0$- phase initiale ; $(\omega )_0$ - fréquence cyclique. Au cours de la période, la phase change de $2\pi $.

Équation de la forme :

équation d'oscillations harmoniques sous forme différentielle pour un circuit oscillant qui ne contiendra pas de résistance active.

Tout type d’oscillations périodiques peut être représenté avec précision comme une somme d’oscillations harmoniques, appelées séries harmoniques.

Pour la période d’oscillation d’un circuit constitué d’une bobine et d’un condensateur, on obtient la formule de Thomson :

Si l'on différencie l'expression (1) par rapport au temps, nous pouvons obtenir la formule de la fonction $I(t)$ :

La tension aux bornes du condensateur peut être trouvée comme suit :

D'après les formules (5) et (6), il s'ensuit que l'intensité du courant est en avance sur la tension sur le condensateur de $\frac(\pi )(2).$

Les oscillations harmoniques peuvent être représentées à la fois sous forme d'équations, de fonctions et de diagrammes vectoriels.

L'équation (1) représente des oscillations libres non amorties.

Équation d'oscillation amortie

Le changement de charge ($q$) sur les plaques du condensateur dans le circuit, en tenant compte de la résistance (Fig. 2), sera décrit par une équation différentielle de la forme :

Graphique 2.

Si la résistance qui fait partie du circuit $R\

où $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ est la fréquence d'oscillation cyclique. $\beta =\frac(R)(2L)-$coefficient d'amortissement. L’amplitude des oscillations amorties s’exprime comme suit :

Si à $t=0$ la charge sur le condensateur est égale à $q=q_0$ et qu'il n'y a pas de courant dans le circuit, alors pour $A_0$ on peut écrire :

La phase des oscillations à l'instant initial ($(\alpha )_0$) est égale à :

Lorsque $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ le changement de charge n'est pas une oscillation, la décharge du condensateur est dite apériodique.

Exemple 1

Exercice: La valeur maximale des frais est de $q_0=10\ C$. Il varie harmoniquement avec une période de $T= 5 s$. Déterminez le courant maximum possible.

Solution:

Comme base pour résoudre le problème, nous utilisons :

Pour trouver l'intensité du courant, l'expression (1.1) doit être différenciée par rapport au temps :

où le maximum (valeur d'amplitude) de l'intensité du courant est l'expression :

A partir des conditions du problème, nous connaissons la valeur d'amplitude de la charge ($q_0=10\ C$). Vous devriez trouver la fréquence naturelle des oscillations. Exprimons-le ainsi :

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

Dans ce cas, la valeur souhaitée sera trouvée à l'aide des équations (1.3) et (1.2) comme suit :

Puisque toutes les grandeurs dans les conditions problématiques sont présentées dans le système SI, nous effectuerons les calculs :

Répondre:$I_0=12,56\ A.$

Exemple 2

Exercice: Quelle est la période d'oscillation dans le circuit, qui contient une inductance $L=1$H et un condensateur, si l'intensité du courant dans le circuit change selon la loi : $I\left(t\right)=-0.1sin20 \pi t\ \left(A \right)?$ Quelle est la capacité du condensateur ?

Solution:

A partir de l'équation des fluctuations de courant, qui est donnée dans les conditions du problème :

nous voyons que $(\omega )_0=20\pi $, nous pouvons donc calculer la période d'oscillation en utilisant la formule :

\ \

D'après la formule de Thomson pour un circuit contenant une inductance et un condensateur, nous avons :

Calculons la capacité :

Répondre:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$

1.18. VIBRATIONS HARMONIQUES ET LEURS CARACTÉRISTIQUES

Définition des vibrations harmoniques. Caractéristiques des oscillations harmoniques : déplacement par rapport à la position d'équilibre, amplitude des oscillations, phase d'oscillation, fréquence et période des oscillations. Vitesse et accélération d'un point oscillant. Énergie d'un oscillateur harmonique. Exemples d'oscillateurs harmoniques : mathématiques, à ressort, de torsion et physiques Pendules chinoises.

L'acoustique, l'ingénierie radio, l'optique et d'autres branches de la science et de la technologie reposent sur l'étude des oscillations et des ondes. La théorie des vibrations joue un rôle important en mécanique, notamment dans les calculs de résistance des avions, des ponts et de certains types de machines et composants.

Oscillations sont des processus qui se répètent à intervalles réguliers (et tous les processus répétitifs ne sont pas des oscillations !). Selon la nature physique du processus répétitif, les vibrations se distinguent entre mécaniques, électromagnétiques, électromécaniques, etc. Lors des vibrations mécaniques, les positions et les coordonnées des corps changent périodiquement.

restaurer la force - la force sous l'influence de laquelle se produit le processus oscillatoire. Cette force tend à ramener un corps ou un point matériel, dévié de sa position de repos, vers sa position initiale.

Selon la nature de l'impact sur le corps oscillant, on distingue les vibrations libres (ou naturelles) et les vibrations forcées.

Selon la nature de l'impact sur le système oscillant, on distingue les oscillations libres, les oscillations forcées, les auto-oscillations et les oscillations paramétriques.

Gratuit (propre) les oscillations sont les oscillations qui se produisent dans un système laissé à lui-même après qu'il a reçu une poussée ou qu'il a été retiré d'une position d'équilibre, c'est-à-dire

· lorsque seule une force de rappel agit sur un corps oscillant. Un exemple est l'oscillation d'une balle suspendue à un fil. Pour provoquer des vibrations, il faut soit pousser la balle, soit, en la déplaçant sur le côté, la relâcher. Dans le cas où aucune dissipation d'énergie ne se produit, les oscillations libres ne sont pas amorties. Cependant, les processus oscillatoires réels sont atténués, car le corps oscillant est soumis à des forces de résistance au mouvement (principalement des forces de frottement). Forcé

· sont appelées de telles oscillations, au cours desquelles le système oscillant est exposé à une force externe changeant périodiquement (par exemple, les oscillations d'un pont qui se produisent lorsque des personnes marchent le long de celui-ci, marchant au pas). Dans de nombreux cas, les systèmes subissent des oscillations qui peuvent être considérées comme harmoniques. , Auto-oscillations

· comme les oscillations forcées, elles s'accompagnent de l'influence de forces externes sur le système oscillant, cependant, les moments où ces influences se produisent sont fixés par le système oscillant lui-même. les oscillations se produisent avec des changements périodiques dans les paramètres du système oscillant (une personne qui se balance sur une balançoire élève et abaisse périodiquement son centre de gravité, modifiant ainsi les paramètres du système). Dans certaines conditions, le système devient instable - un écart aléatoire par rapport à la position d'équilibre entraîne l'apparition et l'augmentation des oscillations.

Ce phénomène est appelé excitation paramétrique des oscillations (c'est-à-dire que les oscillations sont excitées en modifiant les paramètres du système), et les oscillations elles-mêmes sont appelées paramétriques. Malgré leur nature physique différente, les vibrations sont caractérisées par les mêmes schémas, qui sont étudiés par des méthodes générales. Une caractéristique cinématique importante est la forme des vibrations. Il est déterminé par le type de fonction temporelle qui décrit le changement de l'une ou l'autre grandeur physique lors des oscillations. Les fluctuations les plus importantes sont celles dont la quantité fluctuante évolue dans le temps. selon la loi du sinus ou du cosinus . Ils sont appelés .

harmonique Vibrations harmoniques

sont appelées oscillations dans lesquelles la grandeur physique oscillante change selon la loi du sinus (ou cosinus).

Ce type d'oscillation est particulièrement important pour les raisons suivantes. Premièrement, les vibrations dans la nature et dans la technologie ont souvent un caractère très proche de l'harmonique. Deuxièmement, des processus périodiques de forme différente (avec une dépendance temporelle différente) peuvent être représentés comme une superposition ou une superposition d'oscillations harmoniques.

Équation de l'oscillateur harmonique

L'oscillation harmonique est décrite par une loi périodique :

Riz. 18.1. Oscillation harmonique

, c'est-à-dire temps d'une oscillation. (Période d'oscillation T

est appelée la période de temps la plus courte, après laquelle les états du système oscillant se répètent (une oscillation complète est terminée) et la phase d'oscillation reçoit un incrément de 2p). Et
, qui détermine le nombre d'oscillations par unité de temps. L'unité de fréquence est la fréquence d'une telle oscillation, dont la période est de 1 s. Cette unité est appelée hertz (Hz ).

Fréquence d'oscillationn est l'inverse de la période d'oscillation - le nombre d'oscillations complètes effectuées par unité de temps.

Amplitude- la valeur maximale du déplacement ou du changement d'une variable lors d'un mouvement oscillatoire ou ondulatoire.

Phase d'oscillation- argument d'une fonction périodique ou décrivant un processus oscillatoire harmonique (ω - fréquence angulaire, t- le temps, - la phase initiale des oscillations, c'est-à-dire la phase des oscillations à l'instant initial t = 0).

Les dérivées première et seconde temporelles d'une grandeur oscillant harmoniquement effectuent également des oscillations harmoniques de même fréquence :

Dans ce cas, l'équation des oscillations harmoniques écrite selon la loi du cosinus est prise comme base. Dans ce cas, la première des équations (18.2) décrit la loi selon laquelle la vitesse d'un point matériel oscillant (corps) change, la deuxième équation décrit la loi selon laquelle l'accélération d'un point oscillant (corps) change.

Amplitudes
Et
sont respectivement égaux
Et
. Hésitation
devant
en phase par ; et hésitation
devant
sur . Valeurs toute grandeur physique lors des oscillations (déplacement de la position du pendule par rapport à la position d'équilibre ; tension sur le condensateur du circuit oscillant, etc.), Et peut être déterminé à partir de conditions initiales données
Et
:

,
. (18.3)

Énergie des oscillations de l'oscillateur

P.

accélération:
Ceux. l'équation de telles oscillations a la forme (18.1) avec fréquence propre . La force quasi-élastique est . conservateur Par conséquent, l’énergie totale de ces oscillations harmoniques doit rester constante. Au cours du processus d'oscillations, l'énergie cinétique est convertie EÀ Par conséquent, l’énergie totale de ces oscillations harmoniques doit rester constante. Au cours du processus d'oscillations, l'énergie cinétique est convertie en potentiel n

et vice versa, et aux moments du plus grand écart par rapport à la position d'équilibre, l'énergie totale est égale à la valeur maximale de l'énergie potentielle, et lorsque le système passe par la position d'équilibre, l'énergie totale est égale à la valeur maximale de l’énergie cinétique. Découvrons comment l'énergie cinétique et potentielle évolue au fil du temps :

Énergie cinétique:

(18.5)

Énergie potentielle :

Ainsi, l’énergie totale de l’oscillation harmonique s’avère constante. Des relations (18.4) et (18.5), il résulte également que les valeurs moyennes de l'énergie cinétique et potentielle sont égales entre elles et à la moitié de l'énergie totale, puisque les valeurs moyennes
Et
par période sont égaux à 0,5. En utilisant des formules trigonométriques, nous pouvons constater que l'énergie cinétique et potentielle change avec la fréquence.
, c'est-à-dire avec une fréquence deux fois supérieure à la fréquence des vibrations harmoniques.

Des exemples d'oscillateur harmonique comprennent les pendules à ressort, les pendules physiques, les pendules mathématiques et les pendules de torsion.

1. Pendule à ressort- il s'agit d'une charge de masse m, qui est suspendue à un ressort absolument élastique et effectue des oscillations harmoniques sous l'action d'une force élastique F = –kx, où k est la raideur du ressort. L'équation du mouvement du pendule a la forme ou (18.8) De la formule (18.8) il s'ensuit que le pendule à ressort effectue des oscillations harmoniques selon la loi x = Асos(ω 0 t+φ) avec une fréquence cyclique

(18.9) et période

(18.10) La formule (18.10) est vraie pour les vibrations élastiques dans les limites dans lesquelles la loi de Hooke est satisfaite, c'est-à-dire si la masse du ressort est petite par rapport à la masse du corps. L'énergie potentielle d'un pendule à ressort, en utilisant (18.9) et la formule d'énergie potentielle de la section précédente, est égale à (voir 18.5)

2. Pendule physique est un corps solide qui oscille sous l'influence de la gravité autour d'un axe horizontal fixe passant par le point O, qui ne coïncide pas avec le centre de masse C du corps (Fig. 1).

Fig. 18.3 Pendule physique

Si le pendule est dévié de la position d'équilibre d'un certain angle α, alors, en utilisant l'équation de la dynamique du mouvement de rotation d'un corps rigide, le moment M de la force de rappel (18.11) où J est le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe qui passe par le point de suspension O, l est la distance entre l'axe et le centre de masse du pendule, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα est la force de rappel (le signe moins indique que les directions de F τ et α sont toujours opposés ; sinα ≈ α puisque les oscillations du pendule sont considérées comme petites, c'est-à-dire que le pendule est dévié de la position d'équilibre par de petits angles). Nous écrivons l’équation (18.11) sous la forme

Ou En prenant (18.12) on obtient l'équation

Identique à (18.8), dont la solution s’écrira sous la forme :

(18.13) De la formule (18.13), il s'ensuit qu'avec de petites oscillations, le pendule physique effectue des oscillations harmoniques avec une fréquence cyclique ω 0 et une période

(18.14) où la valeur L=J/(m je) - . Le point O" sur le prolongement de la droite OS, qui est situé à une distance de longueur réduite L du point O de la suspension pendulaire, est appelé centre de balançoire pendule physique (Fig. 18.3). En appliquant le théorème de Steiner pour le moment d'inertie de l'axe, on trouve

Autrement dit, OO" est toujours supérieur à OS. Le point de suspension O du pendule et le centre d'oscillation O" ont propriété d'interchangeabilité: si le point de suspension est déplacé vers le centre d'oscillation, alors le point de suspension précédent O sera le nouveau centre d'oscillation et la période d'oscillation du pendule physique ne changera pas.

3. Pendule mathématique est un système idéalisé constitué d'un point matériel de masse m, suspendu à un fil inextensible en apesanteur, et qui oscille sous l'influence de la gravité. Une bonne approximation d’un pendule mathématique est une petite boule lourde suspendue à un fil long et fin. Moment d'inertie d'un pendule mathématique

(8) où je- longueur du pendule.

Puisqu'un pendule mathématique est un cas particulier d'un pendule physique, si nous supposons que toute sa masse est concentrée en un point - le centre de masse, alors, en substituant (8) dans (7), nous trouvons une expression pour la période des petites oscillations d'un pendule mathématique (18.15) En comparant les formules (18.13 ) et (18.15), on voit que si la longueur réduite L du pendule physique est égale à la longueur je pendule mathématique, alors les périodes d'oscillation de ces pendules sont les mêmes. Moyens, longueur réduite d'un pendule physique- c'est la longueur d'un pendule mathématique dont la période d'oscillation coïncide avec la période d'oscillation d'un pendule physique donné. Pour un pendule mathématique (un point matériel de masse À titre d'exemple d'oscillations harmoniques, considérons les oscillations unidimensionnelles effectuées par un corps de masse., suspendu à un fil inextensible en apesanteur de longueur je dans un champ de gravité avec une accélération de chute libre égale à g) à de petits angles de déviation (ne dépassant pas 5 à 10 degrés angulaires) par rapport à la position d'équilibre, la fréquence naturelle des oscillations :
.

4. Un corps suspendu à un fil élastique ou autre élément élastique, oscillant dans un plan horizontal, est pendule de torsion.

Il s'agit d'un système oscillatoire mécanique qui utilise des forces de déformation élastiques. Sur la fig. La figure 18.4 montre l'analogue angulaire d'un oscillateur harmonique linéaire effectuant des oscillations de torsion. Un disque situé horizontalement est suspendu à un fil élastique attaché à son centre de masse. Lorsque le disque tourne d’un angle θ, un moment de force se produit M contrôle de la déformation élastique en torsion :

Où je = jeC est le moment d'inertie du disque par rapport à l'axe passant par le centre de masse, ε est l'accélération angulaire.

Par analogie avec une charge sur un ressort, vous pouvez obtenir.

Oscillation harmonique mécanique- il s'agit d'un mouvement irrégulier rectiligne dans lequel les coordonnées d'un corps oscillant (point matériel) changent selon la loi du cosinus ou du sinus en fonction du temps.

D'après cette définition, la loi de changement de coordonnées en fonction du temps a la forme :

Où wt est la quantité sous le signe cosinus ou sinus ; w- un coefficient dont la signification physique sera dévoilée ci-dessous ; A est l'amplitude des vibrations harmoniques mécaniques.

Les équations (4.1) sont les équations cinématiques de base des vibrations harmoniques mécaniques.

Considérez l'exemple suivant. Prenons l'axe Ox (Fig. 64). À partir du point 0, nous dessinons un cercle de rayon R = A. Laissez le point M de la position 1 commencer à se déplacer autour du cercle à une vitesse constante v(ou à vitesse angulaire constante w, v = wА). Après un certain temps t, le rayon tournera d'un angle f : f=poids.

Avec un tel mouvement circulaire du point M, sa projection sur l'axe x M x se déplacera le long de l'axe x dont la coordonnée x sera égale à x = A cos f = = UNE parce que poids. Ainsi, si un point matériel se déplace le long d'un cercle de rayon A dont le centre coïncide avec l'origine des coordonnées, alors la projection de ce point sur l'axe des x (et sur l'axe des y) effectuera des vibrations mécaniques harmoniques.

Si la valeur wt, qui est sous le signe cosinus, et l'amplitude A sont connues, alors x peut également être déterminé dans l'équation (4.1).

La quantité wt, placée sous le signe du cosinus (ou sinus), qui détermine de manière unique la coordonnée du point oscillant à une amplitude donnée, est appelée phase d'oscillation. Pour un point M se déplaçant dans un cercle, la valeur w désigne sa vitesse angulaire. Quelle est la signification physique de la valeur w pour un point M x effectuant des oscillations harmoniques mécaniques ? Les coordonnées du point oscillant M x sont les mêmes à un instant t et (T +1) (d'après la définition de la période T), c'est-à-dire A cos poids = A cos w (t + T), ce qui signifie que w(t + T) - poids = 2 PI(à partir de la propriété de périodicité de la fonction cosinus). Il s'ensuit que

Par conséquent, pour un point matériel effectuant des oscillations mécaniques harmoniques, la valeur de w peut être interprétée comme le nombre d'oscillations pour un certain faire du vélo temps égal 2l. Donc la valeur w appelé cyclique(ou circulaire) fréquence.

Si le point M commence son mouvement non pas à partir du point 1 mais à partir du point 2, alors l'équation (4.1) prendra la forme :

Taille f 0 appelé phase initiale.

On retrouve la vitesse du point M x comme la dérivée de la coordonnée par rapport au temps :

On définit l'accélération d'un point oscillant selon une loi harmonique comme la dérivée de la vitesse :

D'après la formule (4.4), il ressort clairement que la vitesse d'un point effectuant des oscillations harmoniques change également selon la loi du cosinus. Mais la vitesse de phase est en avance sur la coordonnée de PI/2 en potentiel.

L'accélération lors d'une oscillation harmonique varie selon la loi du cosinus, mais est en avance sur la coordonnée en phase de

.

L’équation (4.5) peut être écrite en termes de coordonnée x :

L'accélération lors des vibrations harmoniques est proportionnelle au déplacement de signe opposé. Multiplions les côtés droit et gauche de l'équation (4.5) par la masse du point matériel oscillant m, nous obtenons les relations suivantes : Selon la deuxième loi de Newton, la signification physique du membre droit de l'expression (4.6) est la projection de la force F x, qui fournit un mouvement mécanique harmonique :.

La valeur de F x est proportionnelle au déplacement x et est dirigée à l'opposé de celui-ci. Un exemple d'une telle force est la force élastique, dont l'ampleur est proportionnelle à la déformation et dirigée à l'opposé de celle-ci (loi de Hooke).

Le modèle de dépendance de l'accélération au déplacement, qui découle de l'équation (4.6), que nous avons considéré pour les oscillations harmoniques mécaniques, peut être généralisé et appliqué lorsque l'on considère des oscillations de nature physique différente (par exemple, un changement de courant dans un oscillatoire circuit, un changement de charge, de tension, d'induction de champ magnétique, etc.). Par conséquent, l'équation (4.8) est appelée l'équation principale

dynamique harmonique

Considérons le mouvement d'un ressort et d'un pendule mathématique.

Supposons qu'un ressort (Fig. 63), situé horizontalement et fixé au point 0, soit attaché à une extrémité à un corps de masse m, qui peut se déplacer le long de l'axe x sans frottement.

Soit le coefficient de rigidité du ressort égal à k. Retirons le corps m par une force externe de la position d'équilibre et libérons-le. Ensuite, le long de l'axe des x, seule une force élastique agira sur le corps, qui, selon la loi de Hooke, sera égale à : F yпp = -kx.

L'équation du mouvement de ce corps sera : En comparant les équations (4.6) et (4.9), nous tirons deux conclusions :à partir de la position d'équilibre, alors les mêmes forces agissent sur le corps, mais elles ne s'équilibrent plus et le corps commence à se déplacer le long d'un arc sous l'influence de la composante gravitationnelle dirigée le long de la tangente à l'arc et égale à mg sin un.

L'équation du mouvement du pendule prend la forme :

Le signe moins à droite signifie que la force F x = mg sin a est dirigée contre le déplacement. L'oscillation harmonique se produira à de petits angles de déviation, c'est-à-dire à condition que un 2* péché un.

Remplaçons le péché et dans l’équation (4.12), on obtient l’équation suivante.

Nous avons examiné plusieurs systèmes physiquement complètement différents et nous sommes assurés que les équations du mouvement sont réduites à la même forme.

Les différences entre les systèmes physiques n'apparaissent que dans des définitions différentes de la quantité et dans différents sens physiques de la variable x: cela peut être une coordonnée, un angle, une charge, un courant, etc. Notez que dans ce cas, comme cela ressort de la structure même de l'équation (1.18), la quantité a toujours la dimension du temps inverse.

L'équation (1.18) décrit ce que l'on appelle vibrations harmoniques.

L’équation de vibration harmonique (1.18) est une équation différentielle linéaire du second ordre (puisqu’elle contient la dérivée seconde de la variable x). La linéarité de l'équation signifie que

si une fonction x(t) est une solution de cette équation, alors la fonction Cx(t) sera aussi sa solution ( C– constante arbitraire);

si fonctions x1(t) est appelée la période de temps la plus courte, après laquelle les états du système oscillant se répètent (une oscillation complète est terminée) et la phase d'oscillation reçoit un incrément de 2p). x2(t) sont des solutions à cette équation, alors leur somme x 1 (t) + x 2 (t) sera également une solution de la même équation.

Un théorème mathématique a également été prouvé selon lequel une équation du second ordre a deux solutions indépendantes. Toutes les autres solutions, selon les propriétés de linéarité, peuvent être obtenues sous forme de combinaisons linéaires. Il est facile de vérifier par différenciation directe que les fonctions indépendantes satisfont à l’équation (1.18). Cela signifie que la solution générale de cette équation a la forme :

Où C1,C2- des constantes arbitraires. Cette solution peut être présentée sous une autre forme. Entrons la valeur

et déterminez l'angle par les relations :

Alors la solution générale (1.19) s’écrit

D'après les formules trigonométriques, l'expression entre parenthèses est égale à

Nous arrivons enfin à solution générale de l'équation de vibration harmonique sous la forme :

Valeur non négative toute grandeur physique lors des oscillations (déplacement de la position du pendule par rapport à la position d'équilibre ; tension sur le condensateur du circuit oscillant, etc.), appelé amplitude des vibrations, - phase initiale d'oscillation. L'argument cosinus entier - la combinaison - est appelé phase d'oscillation.

Les expressions (1.19) et (1.23) sont tout à fait équivalentes, nous pouvons donc utiliser n'importe laquelle d'entre elles, sur la base de considérations de simplicité. Les deux solutions sont des fonctions périodiques du temps. En effet, le sinus et le cosinus sont périodiques avec un point . Par conséquent, divers états d’un système effectuant des oscillations harmoniques se répètent après une période de temps t*, pendant laquelle la phase d'oscillation reçoit un incrément multiple de :

Il s'ensuit que

Le moins de ces moments

appelé période d'oscillation (Fig. 1.8), et - son circulaire (cyclique) fréquence.

Riz. 1.8.

Ils utilisent également fréquence fluctuations

En conséquence, la fréquence circulaire est égale au nombre d'oscillations par secondes

Donc, si le système à un moment donné t caractérisé par la valeur de la variable x(t), alors la variable aura la même valeur après un certain temps (Fig. 1.9), c'est-à-dire

Le même sens se répétera naturellement au fil du temps 2T, ZT etc.

Riz. 1.9. Période d'oscillation

La solution générale comprend deux constantes arbitraires ( C1, C2 ou toute grandeur physique lors des oscillations (déplacement de la position du pendule par rapport à la position d'équilibre ; tension sur le condensateur du circuit oscillant, etc.),, un), dont les valeurs doivent être déterminées par deux conditions initiales. Habituellement (mais pas nécessairement), leur rôle est joué par les valeurs initiales de la variable x(0) et son dérivé.

Donnons un exemple. Laissez la solution (1.19) de l’équation des oscillations harmoniques décrire le mouvement d’un pendule à ressort. Les valeurs des constantes arbitraires dépendent de la manière dont nous avons déséquilibré le pendule. Par exemple, nous avons tiré le ressort à distance et a relâché le ballon sans vitesse initiale. Dans ce cas

Remplacement t = 0 dans (1.19), on retrouve la valeur de la constante C2

La solution ressemble donc à :

On retrouve la vitesse de la charge par différenciation par rapport au temps

Remplacer ici t = 0, trouvez la constante C1:

Enfin

En comparant avec (1.23), on trouve que est l'amplitude des oscillations, et sa phase initiale est nulle : .

Déséquilibrons maintenant le pendule d'une autre manière. Frappons la charge pour qu'elle acquière une vitesse initiale, mais ne bouge pratiquement pas lors de l'impact. On a alors d'autres conditions initiales :

notre solution ressemble à

La vitesse de la charge changera selon la loi :

Remplaçons ici :

Les types d'oscillations les plus simples sont vibrations harmoniques- des oscillations dans lesquelles le déplacement du point oscillant par rapport à la position d'équilibre évolue dans le temps selon la loi du sinus ou du cosinus.

Ainsi, avec une rotation uniforme de la balle dans un cercle, sa projection (ombre dans des rayons lumineux parallèles) effectue un mouvement oscillatoire harmonique sur un écran vertical (Fig. 1).

Le déplacement par rapport à la position d'équilibre lors des vibrations harmoniques est décrit par une équation (on l'appelle la loi cinématique du mouvement harmonique) de la forme :

où x est le déplacement - une grandeur caractérisant la position du point oscillant au temps t par rapport à la position d'équilibre et mesurée par la distance de la position d'équilibre à la position du point à un instant donné ; A - amplitude des oscillations - déplacement maximum du corps par rapport à la position d'équilibre ; T - période d'oscillation - temps d'une oscillation complète ; ceux. la période de temps la plus courte après laquelle les valeurs des grandeurs physiques caractérisant l'oscillation sont répétées ; - phase initiale ;

Phase d'oscillation au temps t. La phase d'oscillation est un argument d'une fonction périodique qui, pour une amplitude d'oscillation donnée, détermine l'état du système oscillatoire (déplacement, vitesse, accélération) du corps à tout moment.

Si au moment initial le point oscillant est déplacé au maximum par rapport à la position d'équilibre, alors , et le déplacement du point par rapport à la position d'équilibre change selon la loi

Si le point oscillant en est dans une position d'équilibre stable, alors le déplacement du point par rapport à la position d'équilibre change selon la loi

La valeur V, inverse de la période et égale au nombre d'oscillations complètes effectuées en 1 s, est appelée fréquence d'oscillation :

Si pendant le temps t le corps fait N oscillations complètes, alors

Taille montrant combien d'oscillations un corps fait en s s'appelle fréquence cyclique (circulaire).

La loi cinématique du mouvement harmonique peut s’écrire :

Graphiquement, la dépendance du déplacement d'un point oscillant sur le temps est représentée par une onde cosinusoïdale (ou sinusoïde).

La figure 2, a montre un graphique de la dépendance temporelle du déplacement du point oscillant par rapport à la position d'équilibre pour le cas.

Voyons comment la vitesse d'un point oscillant évolue avec le temps. Pour ce faire, on retrouve la dérivée temporelle de cette expression :

où est l'amplitude de la projection de la vitesse sur l'axe des x.

Cette formule montre que lors des oscillations harmoniques, la projection de la vitesse du corps sur l'axe des x change également selon une loi harmonique de même fréquence, d'amplitude différente et est en avance sur le déplacement en phase de (Fig. 2, b ).

Pour clarifier la dépendance de l'accélération, nous trouvons la dérivée temporelle de la projection de la vitesse :

où est l’amplitude de la projection de l’accélération sur l’axe des x.

Avec les oscillations harmoniques, la projection de l'accélération est en avance sur le déphasage de k (Fig. 2, c).

De même, vous pouvez créer des graphiques de dépendances

Considérant que la formule de l’accélération peut s’écrire

ceux. avec les oscillations harmoniques, la projection de l'accélération est directement proportionnelle au déplacement et de signe opposé, c'est-à-dire l'accélération est dirigée dans la direction opposée au déplacement.

Ainsi, la projection de l’accélération est la dérivée seconde du déplacement, alors la relation résultante peut s’écrire :

La dernière égalité s'appelle équation harmonique.

Un système physique dans lequel des oscillations harmoniques peuvent exister est appelé oscillateur harmonique, et l'équation des vibrations harmoniques est équation de l'oscillateur harmonique.