PRÉPARATION À L'UTILISATION EN MATHÉMATIQUES.
RÉSOLUTION DE TÂCHES C2.
EXEMPLE 2.
Dans un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1, dont toutes les arêtes sont égales, le point K est le milieu de B 1 C 1. Trouvez l'angle entre le plan ABC et le plan B 1 KR, où le point P est le milieu de AA 1.
Solution:
1 façon
1. Déplaçons-le avion ABC dans le plan A 1 B 1 C 1. Complétons le plan B 1 KR au plan B 1 C 1 R. Ensuite, au lieu de l'angle entre les plans ABC et B 1 KR, nous chercherons l'angle entre les plans A 1 B 1 C 1 et B 1 C 1R.
B 1 C 1 – ligne droite commune entre les plans A 1 B 1 C 1 et B 1 C 1 R. Pour trouver l'angle linéaire angle dièdre Traçons des perpendiculaires à la ligne B 1 C 1 dans les plans A 1 B 1 C 1 et B 1 C 1 R.
2. Le triangle B 1 C 1 R est isocèle, car PB 1 = RS 1 (de l'égalité des triangles RA 1 B 1 et RA 1 C 1 (puisque A 1 B 1 = A 1 C 1 et P 1 A est une jambe commune)).
Cela signifie que RK est la hauteur et la médiane du triangle B 1 C 1 R.
3. Le triangle A 1 B 1 C 1 est équilatéral (puisque le prisme est régulier).
Cela signifie que A 1 K est la hauteur et la médiane du triangle A 1 B 1 C 1.
4. – angle linéaire de l'angle dièdre A 1 B 1 C 1 R.
C'est donc l'angle souhaité.
5. Soit A 1 C 1 = a.
Réponse : 30 heures.
Méthode 2
1. Le plan A 1 B 1 C 1 a l'équation y = 0 ou 0x + 1y + 0z = 0.
2. Composons l'équation du plan B 1 C 1 P en segments.
Le plan B 1 C 1 P coupe l'axe x au point B 1. Autrement dit, x = a.
Et il coupe l'axe y au point P. Cela signifie .
L'axe z coupe le plan B 1 C 1 P au point E. Nous trouvons la valeur de z au point E à partir du triangle A 1 B 1 E.
Donc au point E.
Alors l'équation du plan B 1 C 1 P en segments ressemble à ceci :
3. L'angle entre les plans A 1 B 1 C 1 et B 1 C 1 P (nous le désignons) est trouvé à l'aide de la formule.
Exercice.
Dans un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1 les côtés de la base sont égaux à 3, côtes latérales sont égaux à 1, le point D est le milieu de l'arête CC 1.
a) Construire la droite d'intersection des plans ABC et ADB 1.
b) Trouvez l'angle entre les plans ABC et ADB 1.
Solution:
a) Construire la ligne d'intersection des plansABC etBAD 1.
Construisons le plan ADB 1. Les points A et B 1 se trouvent dans le même plan, traçons une droite AB 1. Les points A et D se trouvent dans le même plan, traçons une droite AD. Les points D et B 1 se trouvent dans le même plan, traçons une droite DB 1. Nous avons obtenu une coupe par plan ADB 1.
Construisons une ligne d'intersection des plans ABC et ADB 1. Puisque la ligne B 1 D et la ligne BC se trouvent dans le même plan BCC 1, elles se coupent au point K. Le point K se trouve dans les plans ABC et ADB 1. Les points K et A se trouvent dans les plans ABC et ADB 1, donc les plans ABC et ADB 1 se coupent le long de la droite AK. La ligne droite requise d'intersection des plans ABC et BED 1 a été construite.
b) Trouver l'angle entre les plansABC etBAD 1.
Le segment DC est perpendiculaire au plan ABC ; du point D on abaisse la perpendiculaire DH à la droite AK. Le point H se situe dans le plan ABC, alors CH est la projection du DH incliné sur le plan ABC. Une droite AK passe par un point H et est perpendiculaire à la droite inclinée DH alors, par le théorème des trois perpendiculaires, le segment CH est perpendiculaire à la droite AK ;
L'angle ∠DHC est l'angle linéaire de l'angle dièdre formé par les plans ABC et ADB 1 . L'angle ∠DHC est l'angle souhaité entre les plans ABC et ADB 1. Trouvons la valeur de cet angle.
Considérons le triangle rectangle DHC (∠C = 90˚) :
Puisque le point D est le milieu du segment CC 1, alors CC = CC 1 = 0,5.
Les triangles DCK et DC 1 B 1 sont semblables, alors
Puisque le prisme ABCA 1 B 1 C 1 est régulier, alors ∠ACB = 60°. Angles ∠ACB et ∠ACK – angles adjacents, alors ∠ACK = 120°.
Puisque AC = CK = 3, alors le triangle ACK est triangle isocèle et CH – hauteur et bissectrice.
Considérons le triangle rectangle ACH - triangle rectangle (∠H = 90˚). Angle ∠ACH = 60°, ∠CAH = 30°. Par propriété triangle rectangle: la jambe se trouve à l'opposé de l'angle de 30°, égal à la moitié hypoténuse, on obtient
L'angle entre les lignes droites dans un prisme. Un autre matériau pour vous - nous examinerons quelques problèmes avec les prismes. Il est nécessaire de déterminer l'angle entre les droites passant par sommets spécifiés prismes. Le fait est que ces lignes ne se situent pas dans le même plan. De telles lignes sont appelées lignes de croisement.
Si vous les connaissez déjà, résolvez les problèmes immédiatement après avoir construit le croquis, sans aucun calcul. Sinon, regardez la théorie correspondante, vous pouvez voir que le matériel est présenté assez clairement.
Le principe est simple : vous devez déplacer l'une des lignes jusqu'à ce qu'elle croise la seconde. transfert parallèle. Ou déterminez s’il existe une ligne droite parallèle à celle-ci dans le même plan que la deuxième ligne droite. Considérons les tâches :
316553. Dans le bon sens prisme hexagonal ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 dont toutes les arêtes sont égales à 8, trouvez l'angle entre les droites FA et D 1 E 1. Donnez votre réponse en degrés.
Construisons des lignes droites et déplaçons la ligne D 1 E 1 par translation parallèle jusqu'à ce qu'elle coupe la droite AF. La droite résultante passera par DE :
Connaissant les propriétés d'un hexagone régulier, à savoir que les angles à ses sommets sont égaux à 120 degrés, nous pouvons déjà écrire la réponse. L'angle entre les droites indiquées est égal à 60 0. Si vous regardez le prisme d'en haut, le croquis ressemblera à ceci :
*Comme nous le voyons, en fait, la longueur du bord n'a pas d'importance.
316558. Dans un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1, dont toutes les arêtes sont égales à 3, trouvez l'angle entre les droites AA 1 et BC 1. Donnez votre réponse en degrés.
Construisons les droites indiquées et, par translation parallèle, « déplaçons » la droite AA 1 vers la face BCC 1 B 1 par laquelle passe BC 1 :
Puisque la condition dit que toutes les arêtes sont égales à 3, cela signifie que la face BCC 1 B 1 est un carré. La ligne BC 1 est la diagonale de ce carré et elle coupe toutes les lignes parallèles aux bords latéraux selon un angle de 45 degrés. Cela peut être clairement vu dans la projection du prisme :
*Petit avertissement. Dans les deux problèmes, nous avons déplacé les lignes comme si nous les « tirions » le long de la perpendiculaire qui les relie (indiquée par la ligne pointillée rouge). Il n’est pas nécessaire de procéder exactement de cette façon. Il est important que l'une des lignes soit déplacée vers l'intersection avec l'autre par un décalage parallèle. Dans la deuxième tâche, cela pourrait être fait comme ceci :
Terminons ici. Donc, si vous rencontrez des lignes franchissantes lors de l'examen d'État unifié dans un problème à réponse courte, ne vous inquiétez pas, elles sont résolues oralement. Il est important de comprendre comment déplacer une ligne jusqu’à ce qu’elle en croise une autre. Et trouver l’angle, comme on dit, est une question de technologie.
Cordialement, Alexandre.
P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.
