Calculez l'aire d'un trapèze en ligne sur quatre côtés. Aire du trapèze

Pour se sentir en confiance et résoudre avec succès les problèmes des cours de géométrie, il ne suffit pas d'apprendre les formules. Il faut d’abord les comprendre. Avoir peur, et plus encore détester les formules, est improductif. Cet article analysera dans un langage accessible différentes manières de trouver l'aire d'un trapèze. Pour mieux comprendre les règles et théorèmes correspondants, nous accorderons une certaine attention à ses propriétés. Cela vous aidera à comprendre comment fonctionnent les règles et dans quels cas certaines formules doivent être appliquées.

Définir un trapèze

De quel genre de chiffre s’agit-il globalement ? Un trapèze est un polygone comportant quatre coins et deux côtés parallèles. Les deux autres côtés du trapèze peuvent être inclinés selon des angles différents. Ses côtés parallèles sont appelés bases, et pour les côtés non parallèles, le nom « côtés » ou « hanches » est utilisé. De tels chiffres sont assez courants dans la vie de tous les jours. Les contours du trapèze sont visibles dans les silhouettes de vêtements, d'objets d'intérieur, de meubles, de vaisselle et bien d'autres. Il existe différents types de trapèze : scalène, équilatéral et rectangulaire. Nous examinerons leurs types et propriétés plus en détail plus loin dans l’article.

Propriétés d'un trapèze

Arrêtons-nous brièvement sur les propriétés de cette figure. La somme des angles adjacents à n’importe quel côté est toujours de 180°. Il convient de noter que tous les angles d’un trapèze totalisent 360°. Le trapèze a le concept de ligne médiane. Si vous reliez les milieux des côtés avec un segment, ce sera la ligne médiane. Il est désigné m. La ligne médiane a des propriétés importantes : elle est toujours parallèle aux bases (on rappelle que les bases sont également parallèles entre elles) et égale à leur demi-somme :

Cette définition doit être apprise et comprise, car elle est la clé pour résoudre de nombreux problèmes !

Avec un trapèze, vous pouvez toujours baisser la hauteur jusqu'à la base. Une altitude est une perpendiculaire, souvent désignée par le symbole h, qui est tracée depuis n'importe quel point d'une base vers une autre base ou son extension. La ligne médiane et la hauteur vous aideront à trouver l'aire du trapèze. Ces problèmes sont les plus courants dans les cours de géométrie à l'école et apparaissent régulièrement parmi les copies de tests et d'examens.

Les formules les plus simples pour l'aire d'un trapèze

Examinons les deux formules les plus populaires et les plus simples utilisées pour trouver l'aire d'un trapèze. Il suffit de multiplier la hauteur par la moitié de la somme des bases pour trouver facilement ce que l'on cherche :

S = h*(une + b)/2.

Dans cette formule, a, b désignent les bases du trapèze, h - la hauteur. Pour faciliter la perception, dans cet article, les signes de multiplication sont marqués d'un symbole (*) dans les formules, bien que dans les ouvrages de référence officiels, le signe de multiplication soit généralement omis.

Regardons un exemple.

Étant donné : un trapèze avec deux bases égales à 10 et 14 cm, la hauteur est de 7 cm Quelle est l'aire du trapèze ?

Examinons la solution à ce problème. En utilisant cette formule, il faut d'abord trouver la demi-somme des bases : (10+14)/2 = 12. Donc, la demi-somme est égale à 12 cm. Maintenant, multiplions la demi-somme par la hauteur : 12*7 = 84. Ce que nous cherchons est trouvé. Réponse : La superficie du trapèze est de 84 mètres carrés. cm.

La deuxième formule bien connue dit : l'aire d'un trapèze est égale au produit de la ligne médiane et de la hauteur du trapèze. Autrement dit, cela découle en fait du concept précédent de ligne médiane : S=m*h.

Utiliser des diagonales pour les calculs

Une autre façon de trouver l'aire d'un trapèze n'est en fait pas si compliquée. Il est relié à ses diagonales. En utilisant cette formule, pour trouver l'aire, vous devez multiplier le demi-produit de ses diagonales (d 1 d 2) par le sinus de l'angle qui les sépare :

S = ½ d 1 d 2 péché un.

Considérons un problème qui montre l'application de cette méthode. Soit : un trapèze dont les diagonales mesurent respectivement 8 et 13 cm. L'angle a entre les diagonales est de 30°. Trouvez l'aire du trapèze.

Solution. En utilisant la formule ci-dessus, il est facile de calculer ce qui est requis. Comme vous le savez, sin 30° vaut 0,5. Par conséquent, S = 8*13*0,5=52. Réponse : la superficie est de 52 mètres carrés. cm.

Trouver l'aire d'un trapèze isocèle

Un trapèze peut être isocèle (isocèle). Ses côtés sont les mêmes et les angles aux bases sont égaux, ce qui est bien illustré par la figure. Un trapèze isocèle a les mêmes propriétés qu'un trapèze ordinaire, plus un certain nombre de propriétés spéciales. Un cercle peut être circonscrit autour d’un trapèze isocèle et un cercle peut être inscrit à l’intérieur de celui-ci.

Quelles méthodes existe-t-il pour calculer l'aire d'une telle figure ? La méthode ci-dessous nécessitera de nombreux calculs. Pour l'utiliser, il faut connaître les valeurs du sinus (sin) et du cosinus (cos) de l'angle à la base du trapèze. Pour les calculer, vous avez besoin soit de tables de Bradis, soit d'une calculatrice technique. Voici la formule :

S= c*péché un*(un - c* parce que un),

Où Avec- cuisse latérale, un- angle à la base inférieure.

Un trapèze équilatéral a des diagonales de même longueur. L’inverse est également vrai : si un trapèze a des diagonales égales, alors il est isocèle. D'où la formule suivante pour aider à trouver l'aire d'un trapèze - le demi-produit du carré des diagonales et le sinus de l'angle qui les sépare : S = ½ d 2 sin un.

Trouver l'aire d'un trapèze rectangulaire

Un cas particulier de trapèze rectangulaire est connu. Il s'agit d'un trapèze dont un côté (sa cuisse) rejoint les bases à angle droit. Il possède les propriétés d'un trapèze régulier. De plus, il possède une fonctionnalité très intéressante. La différence des carrés des diagonales d'un tel trapèze est égale à la différence des carrés de ses bases. Pour cela, toutes les méthodes décrites précédemment pour calculer la superficie sont utilisées.

Nous faisons preuve d'ingéniosité

Il existe une astuce qui peut vous aider si vous oubliez des formules spécifiques. Regardons de plus près ce qu'est un trapèze. Si nous le divisons mentalement en parties, nous obtiendrons des formes géométriques familières et compréhensibles : un carré ou un rectangle et un triangle (un ou deux). Si la hauteur et les côtés du trapèze sont connus, vous pouvez utiliser les formules pour l'aire d'un triangle et d'un rectangle, puis additionner toutes les valeurs résultantes.

Illustrons cela avec l'exemple suivant. Étant donné un trapèze rectangulaire. Angle C = 45°, les angles A, D sont 90°. La base supérieure du trapèze mesure 20 cm, la hauteur est de 16 cm. Vous devez calculer l'aire de la figure.

Cette figure est évidemment constituée d'un rectangle (si deux angles sont égaux à 90°) et d'un triangle. Puisque le trapèze est rectangulaire, sa hauteur est donc égale à son côté, soit 16 cm. Nous avons un rectangle de côtés respectivement 20 et 16 cm. Considérons maintenant un triangle dont l'angle est de 45°. Nous savons qu'un côté mesure 16 cm. Puisque ce côté est aussi la hauteur du trapèze (et nous savons que la hauteur descend jusqu'à la base à angle droit), le deuxième angle du triangle est donc de 90°. L’angle restant du triangle est donc de 45°. La conséquence de ceci est que nous obtenons un triangle rectangle isocèle avec deux côtés égaux. Cela signifie que l'autre côté du triangle est égal à la hauteur, soit 16 cm. Il ne reste plus qu'à calculer l'aire du triangle et du rectangle et à additionner les valeurs obtenues.

L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié du produit de ses pattes : S = (16*16)/2 = 128. L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa largeur et de sa longueur : S = 20*16 = 320. Nous avons trouvé le requis : aire du trapèze S = 128 + 320 = 448 m². voir. Vous pouvez facilement vous revérifier en utilisant les formules ci-dessus, la réponse sera identique.

Nous utilisons la formule Pick

S = M/2 + N-1,

dans cette formule M est le nombre de nœuds, c'est-à-dire intersections des lignes de la figure avec les lignes de la cellule aux limites du trapèze (points orange sur la figure), N est le nombre de nœuds à l'intérieur de la figure (points bleus). Il est plus pratique de l'utiliser pour trouver l'aire d'un polygone irrégulier. Cependant, plus l’arsenal de techniques utilisées est important, moins il y a d’erreurs et meilleurs sont les résultats.

Bien entendu, les informations fournies n'épuisent pas les types et les propriétés d'un trapèze, ni les méthodes permettant de trouver son aire. Cet article donne un aperçu de ses caractéristiques les plus importantes. Lors de la résolution de problèmes géométriques, il est important d’agir progressivement, de commencer par des formules et des problèmes simples, de consolider constamment votre compréhension et de passer à un autre niveau de complexité.

Regroupées ensemble, les formules les plus courantes aideront les étudiants à s'orienter dans les différentes manières de calculer l'aire d'un trapèze et à mieux se préparer aux tests et aux devoirs sur ce sujet.

Cette calculatrice a calculé 2192 problèmes sur le thème "Aire d'un trapèze"

ZONE DU TRAPÈZE

Choisissez la formule de calcul de l'aire d'un trapèze que vous envisagez d'utiliser pour résoudre le problème qui vous est assigné :

Théorie générale pour calculer l'aire d'un trapèze.

Trapèze - Il s'agit d'une figure plate composée de quatre points, dont trois ne se trouvent pas sur la même ligne, et de quatre segments (côtés) reliant ces quatre points par paires, dans lesquels deux côtés opposés sont parallèles (se trouvent sur des lignes parallèles), et le les deux autres ne sont pas parallèles.

Les points sont appelés sommets d'un trapèze et sont indiqués en lettres majuscules latines.

Les segments sont appelés côtés trapézoïdaux et sont désignés par une paire de lettres latines majuscules correspondant aux sommets qui relient les segments.

Deux côtés parallèles d'un trapèze sont appelés bases trapézoïdales .

Deux côtés non parallèles d'un trapèze sont appelés côtés du trapèze .

Figure n°1 : Trapèze ABCD

La figure n°1 montre le trapèze ABCD avec les sommets A, B, C, D et les côtés AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - bases du trapèze ABCD.

AD, BC - côtés latéraux du trapèze ABCD.

L'angle formé par les rayons AB et AD est appelé angle au sommet A. Il est noté ÐA ou ÐBAD, ou ÐDAB.

L'angle formé par les rayons BA et BC est appelé angle au sommet B. Il est noté ÐB ou ÐABC, ou ÐCBA.

L'angle formé par les rayons CB et CD est appelé angle au sommet C. Il est noté ÐC ou ÐDCB, ou ÐBCD.

L'angle formé par les rayons AD et CD est appelé angle au sommet D. Il est noté ÐD ou ÐADC, ou ÐCDA.

Figure n°2 : Trapèze ABCD

Sur la figure 2, le segment MN reliant les milieux des côtés latéraux est appelé ligne médiane du trapèze.

Ligne médiane du trapèze parallèle aux bases et égale à leur demi-somme. C'est, .

Figure n°3 : Trapèze isocèle ABCD

Dans la figure 3, AD=BC.

Le trapèze s'appelle isocèle (isocèle), si ses côtés sont égaux.

Figure n°4 : Trapèze rectangulaire ABCD

Sur la figure n°4, l'angle D est droit (égal à 90°).

Le trapèze s'appelle rectangulaire, si l'angle sur le côté est droit.

Zone S appartement les figures, qui incluent le trapèze, sont appelées espace fermé limité sur un plan. L'aire d'une figure plate montre la taille de cette figure.

Le quartier possède plusieurs propriétés :

1. Cela ne peut pas être négatif.

2. Si l'on donne une certaine zone fermée sur le plan, composée de plusieurs figures qui ne se coupent pas (c'est-à-dire que les figures n'ont pas de points internes communs, mais peuvent très bien se toucher), alors la zone d'une telle aire est égale à la somme des aires de ses figures constitutives .

3. Si deux chiffres sont égaux, alors leurs aires sont égales.

4. L'aire d'un carré construit sur un segment unitaire est égale à un.

Pour unité mesures zone prendre l'aire d'un carré dont le côté est égal à unité mesures segments.

Lors de la résolution de problèmes, les formules suivantes pour calculer l'aire d'un trapèze sont souvent utilisées :

1. L'aire d'un trapèze est égale à la moitié de la somme de ses bases multipliée par sa hauteur :

2. L'aire d'un trapèze est égale au produit de sa ligne médiane et de sa hauteur :

3. Avec les longueurs connues des bases et des côtés du trapèze, son aire peut être calculée à l'aide de la formule :

4. Il est possible de calculer l'aire d'un trapèze isocèle avec une longueur connue du rayon du cercle inscrit dans le trapèze et une valeur connue de l'angle à la base en utilisant la formule suivante :

Exemple 1 : Calculez l'aire d'un trapèze de bases a=7, b=3 et de hauteur h=15.

Solution:

Répondre:

Exemple 2 : Trouvez le côté de la base d'un trapèze d'aire S = 35 cm 2, de hauteur h = 7 cm et de deuxième base b = 2 cm.

Solution:

Pour trouver le côté de la base d'un trapèze, on utilise la formule de calcul de l'aire :

Exprimons à partir de cette formule le côté de la base du trapèze :

Ainsi, nous avons ce qui suit :

Répondre:

Exemple 3 : Trouvez la hauteur d'un trapèze d'aire S = 17 cm 2 et de bases a = 30 cm, b = 4 cm.

Solution:

Pour trouver la hauteur d'un trapèze, on utilise la formule de calcul de l'aire :

Ainsi, nous avons ce qui suit :

Répondre:

Exemple 4 : Calculez l'aire d'un trapèze de hauteur h=24 et de ligne médiane m=5.

Solution:

Pour trouver l'aire d'un trapèze, nous utilisons la formule suivante pour calculer l'aire :

Ainsi, nous avons ce qui suit :

Répondre:

Exemple 5 : Trouvez la hauteur d'un trapèze d'aire S = 48 cm 2 et de ligne médiane m = 6 cm.

Solution:

Pour trouver la hauteur d'un trapèze, on utilise la formule de calcul de l'aire d'un trapèze :

Exprimons la hauteur du trapèze à partir de cette formule :

Ainsi, nous avons ce qui suit :

Répondre:

Exemple 6 : Trouvez la ligne médiane d'un trapèze d'aire S = 56 et de hauteur h=4.

Solution:

Pour trouver la ligne médiane d'un trapèze, on utilise la formule de calcul de l'aire d'un trapèze :

Exprimons la ligne médiane du trapèze à partir de cette formule :

Ainsi, nous avons ce qui suit.

ET . Nous pouvons maintenant commencer à examiner la question de savoir comment trouver l'aire d'un trapèze. Cette tâche se pose très rarement dans la vie quotidienne, mais il s'avère parfois nécessaire, par exemple, de trouver la superficie d'une pièce en forme de trapèze, qui est de plus en plus utilisée dans la construction d'appartements modernes, ou dans concevoir des projets de rénovation.

Un trapèze est une figure géométrique formée de quatre segments qui se croisent, dont deux sont parallèles entre eux et sont appelés bases du trapèze. Les deux autres segments sont appelés les côtés du trapèze. De plus, nous aurons besoin d’une autre définition plus tard. Il s'agit de la ligne médiane du trapèze, qui est un segment reliant les milieux des côtés et la hauteur du trapèze, qui est égale à la distance entre les bases.
Comme les triangles, les trapèzes ont des types spéciaux sous la forme d'un trapèze isocèle (à côtés égaux), dans lequel les longueurs des côtés sont les mêmes, et d'un trapèze rectangulaire, dans lequel l'un des côtés forme un angle droit avec les bases.

Les trapèzes ont des propriétés intéressantes :

1. La ligne médiane du trapèze est égale à la moitié de la somme des bases et leur est parallèle.
   
2. Les trapèzes isocèles ont des côtés égaux et les angles qu'ils forment avec les bases.
   
3. Les milieux des diagonales d'un trapèze et le point d'intersection de ses diagonales sont sur la même droite.
   
4. Si la somme des côtés d'un trapèze est égale à la somme des bases, alors un cercle peut y être inscrit
   
5. Si la somme des angles formés par les côtés d'un trapèze à l'une de ses bases est de 90, alors la longueur du segment reliant les milieux des bases est égale à leur demi-différence.
   
6. Un trapèze isocèle peut être décrit par un cercle. Et vice versa. Si un trapèze s’inscrit dans un cercle, alors il est isocèle.
   
7. Le segment passant par les milieux des bases d'un trapèze isocèle sera perpendiculaire à ses bases et représente l'axe de symétrie.
   

Comment trouver l'aire d'un trapèze.

L'aire du trapèze sera égale à la moitié de la somme de ses bases multipliée par sa hauteur. Sous forme de formule, cela s'écrit sous la forme d'une expression :

où S est l'aire du trapèze, a, b est la longueur de chacune des bases du trapèze, h est la hauteur du trapèze.

Vous pouvez également décomposer n'importe quel trapèze en figures plus simples : un rectangle et un ou deux triangles, et si c'est plus facile pour vous, alors trouvez l'aire du trapèze comme la somme des aires de ses figures constitutives.

Il existe une autre formule simple pour calculer sa superficie. Selon lui, l'aire d'un trapèze est égale au produit de sa ligne médiane par la hauteur du trapèze et s'écrit sous la forme : S = m*h, où S est l'aire, m est la longueur du ligne médiane, h est la hauteur du trapèze. Cette formule est plus adaptée aux problèmes mathématiques qu'aux problèmes quotidiens, car dans des conditions réelles, vous ne connaîtrez pas la longueur de la ligne médiane sans calculs préalables. Et vous ne connaîtrez que les longueurs des bases et des côtés.

Dans ce cas, l'aire du trapèze peut être trouvée à l'aide de la formule :

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

où S est l'aire, a, b sont les bases, c, d sont les côtés du trapèze.

Il existe plusieurs autres façons de trouver l'aire d'un trapèze. Mais ils sont à peu près aussi gênants que la dernière formule, ce qui signifie qu'il ne sert à rien de s'y attarder. Par conséquent, nous vous recommandons d'utiliser la première formule de l'article et souhaitons que vous obteniez toujours des résultats précis.

Un trapèze est un type particulier de quadrilatère dans lequel deux côtés opposés sont parallèles l’un à l’autre, mais les deux autres ne le sont pas. Divers objets réels ont une forme trapézoïdale, vous devrez donc peut-être calculer le périmètre d'une telle figure géométrique pour résoudre des problèmes quotidiens ou scolaires.

Géométrie trapézoïdale

Un trapèze (du grec « trapèze » - table) est une figure sur un plan limité par quatre segments, dont deux sont parallèles et deux ne le sont pas. Les segments parallèles sont appelés bases du trapèze et les segments non parallèles sont appelés côtés de la figure. Les côtés et leurs angles d'inclinaison déterminent le type de trapèze, qui peut être scalène, isocèle ou rectangulaire. En plus des bases et des côtés, le trapèze comporte deux autres éléments :

• hauteur - la distance entre les bases parallèles de la figure ;
• ligne médiane - un segment reliant les milieux des côtés.

Cette figure géométrique est très répandue dans la vraie vie.

Trapèze en réalité

Dans la vie quotidienne, de nombreux objets réels prennent une forme trapézoïdale. Vous pouvez facilement trouver des trapèzes dans les domaines suivants de l'activité humaine :

• design et décoration d'intérieur - canapés, dessus de table, murs, tapis, plafonds suspendus ;
• aménagement paysager - limites des pelouses et des réservoirs artificiels, formes d'éléments décoratifs ;
• mode - la forme des vêtements, des chaussures et des accessoires ;
• architecture - fenêtres, murs, fondations de bâtiments ;
• production - divers produits et pièces.

Avec une utilisation aussi répandue des trapèzes, les spécialistes doivent souvent calculer le périmètre d'une figure géométrique.

Périmètre trapézoïdal

Le périmètre d’une figure est une caractéristique numérique calculée comme la somme des longueurs de tous les côtés du n-gone. Un trapèze est un quadrilatère et en général tous ses côtés ont des longueurs différentes, le périmètre se calcule donc à l'aide de la formule :

P = a + b + c + d,

où a et c sont les bases de la figure, b et d sont ses côtés.

Bien que nous n'ayons pas besoin de connaître la hauteur pour calculer le périmètre d'un trapèze, le code du calculateur nécessite de saisir cette variable. Étant donné que la hauteur n'a aucun effet sur les calculs, lorsque vous utilisez notre calculateur en ligne, vous pouvez saisir n'importe quelle valeur de hauteur supérieure à zéro. Regardons quelques exemples.

Exemples concrets

Mouchoir

Disons que vous avez une écharpe en forme de trapèze et que vous souhaitez la garnir de franges. Vous aurez besoin de connaître le périmètre de l'écharpe pour ne pas acheter de matériel supplémentaire ou vous rendre deux fois au magasin. Laissez votre écharpe isocèle avoir les paramètres suivants : a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Nous saisissons ces données dans le formulaire en ligne et obtenons la réponse sous le formulaire :

Ainsi, le périmètre du foulard est de 340 cm, et c'est exactement la longueur du galon franges pour le terminer.

Pistes

Par exemple, vous avez décidé de créer des pentes pour des fenêtres métal-plastique non standard de forme trapézoïdale. De telles fenêtres sont largement utilisées dans la conception de bâtiments, créant une composition de plusieurs châssis. Le plus souvent, ces fenêtres se présentent sous la forme d'un trapèze rectangulaire. Voyons combien de matériau est nécessaire pour réaliser les pentes d'une telle fenêtre. Une fenêtre standard a les paramètres suivants a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm Nous utilisons ces données et obtenons le résultat sous la forme.

Par conséquent, le périmètre de la fenêtre trapézoïdale est de 390 cm, ce qui correspond exactement au nombre de panneaux en plastique dont vous aurez besoin pour former les pentes.

Conclusion

Le trapèze est une figure populaire dans la vie quotidienne, dont la détermination des paramètres peut être nécessaire dans les situations les plus inattendues. Le calcul des périmètres trapézoïdaux est nécessaire pour de nombreux professionnels : des ingénieurs et architectes aux concepteurs et mécaniciens. Notre catalogue de calculatrices en ligne vous permettra d'effectuer des calculs pour toutes les formes et corps géométriques.

Il existe de nombreuses façons de trouver l'aire d'un trapèze. Habituellement, un professeur de mathématiques connaît plusieurs méthodes pour le calculer, examinons-les plus en détail :
1) , où AD et BC sont les bases, et BH est la hauteur du trapèze. Preuve : tracez la diagonale BD et exprimez les aires des triangles ABD et CDB par le demi-produit de leurs bases et hauteurs :

, où DP est la hauteur extérieure en

Additionnons ces égalités terme à terme et compte tenu que les hauteurs BH et DP sont égales, on obtient :

Mettons-le hors parenthèses

Q.E.D.

Corollaire à la formule de l'aire d'un trapèze :
Puisque la demi-somme des bases est égale à MN - la ligne médiane du trapèze, alors

2) Application de la formule générale pour l'aire d'un quadrilatère.
L'aire d'un quadrilatère est égale à la moitié du produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qui les sépare
Pour le prouver, il suffit de diviser le trapèze en 4 triangles, d'exprimer l'aire de chacun par « la moitié du produit des diagonales et le sinus de l'angle entre elles » (pris comme angle, ajouter les expressions résultantes, sortez-les de la parenthèse et factorisez cette parenthèse en utilisant la méthode de regroupement pour obtenir son égalité avec l'expression.

3) Méthode de décalage diagonal
C'est mon nom. Un professeur de mathématiques ne rencontrera pas une telle rubrique dans les manuels scolaires. Une description de la technique ne peut être trouvée que dans des manuels supplémentaires à titre d'exemple de résolution d'un problème. Je voudrais noter que la plupart des faits intéressants et utiles sur la planimétrie sont révélés aux étudiants par des professeurs de mathématiques en train de réaliser des travaux pratiques. Ceci est extrêmement sous-optimal, car l’étudiant doit les isoler dans des théorèmes distincts et les appeler « grands noms ». L’une d’elles est le « décalage diagonal ». De quoi parle-t-on ? Traçons une droite parallèle à AC passant par le sommet B jusqu'à ce qu'elle coupe la base inférieure au point E. Dans ce cas, le quadrilatère EBCA sera un parallélogramme (par définition) et donc BC=EA et EB=AC. La première égalité est importante pour nous maintenant. Nous avons:

A noter que le triangle BED, dont l'aire est égale à l'aire du trapèze, possède plusieurs propriétés plus remarquables :
1) Son aire est égale à l'aire du trapèze
2) Son isocèle se produit simultanément avec l'isocèle du trapèze lui-même
3) Son angle supérieur au sommet B est égal à l'angle entre les diagonales du trapèze (qui est très souvent utilisé dans les problèmes)
4) Sa médiane BK est égale à la distance QS entre les milieux des bases du trapèze. J'ai récemment rencontré l'utilisation de cette propriété lors de la préparation d'un étudiant en mécanique et mathématiques à l'Université d'État de Moscou en utilisant le manuel de Tkachuk, version 1973 (le problème est indiqué en bas de page).

Techniques spéciales pour un professeur de mathématiques.

Parfois, je propose des problèmes en utilisant une manière très délicate de trouver l'aire d'un trapèze. Je la classe comme technique particulière car dans la pratique le tuteur les utilise extrêmement rarement. Si vous avez besoin d'une préparation à l'examen d'État unifié en mathématiques uniquement dans la partie B, vous n'êtes pas obligé de lire à ce sujet. Pour les autres, je vous en dirai plus. Il s'avère que l'aire d'un trapèze est deux fois l'aire d'un triangle avec des sommets aux extrémités d'un côté et au milieu de l'autre, c'est-à-dire le triangle ABS sur la figure :
Preuve : tracez les hauteurs SM et SN dans les triangles BCS et ADS et exprimez la somme des aires de ces triangles :

Puisque le point S est le milieu de CD, alors (prouvez-le vous-même). Trouvons la somme des aires des triangles :

Puisque cette somme s'est avérée être égale à la moitié de l'aire du trapèze, alors sa seconde moitié. Etc.

Dans la collection de techniques spéciales du tuteur, j'inclurais la forme de calcul de l'aire d'un trapèze isocèle le long de ses côtés : où p est le demi-périmètre du trapèze. Je ne donnerai pas de preuve. Sinon, votre professeur de mathématiques se retrouvera sans emploi :). Venez en classe !

Problèmes sur l'aire d'un trapèze :

Note du professeur de mathématiques: La liste ci-dessous n'est pas un accompagnement méthodologique du sujet, c'est seulement une petite sélection de tâches intéressantes basées sur les techniques évoquées ci-dessus.

1) La base inférieure d'un trapèze isocèle est 13 et la base supérieure est 5. Trouvez l'aire du trapèze si sa diagonale est perpendiculaire au côté.
2) Trouvez l'aire d'un trapèze si ses bases mesurent 2 cm et 5 cm et ses côtés mesurent 2 cm et 3 cm.
3) Dans un trapèze isocèle, la plus grande base est 11, le côté est 5 et la diagonale est Trouvez l'aire du trapèze.
4) La diagonale d'un trapèze isocèle est 5 et la ligne médiane est 4. Trouvez l'aire.
5) Dans un trapèze isocèle, les bases sont 12 et 20 et les diagonales sont perpendiculaires entre elles. Calculer l'aire d'un trapèze
6) La diagonale d'un trapèze isocèle fait un angle avec sa base inférieure. Trouvez l'aire du trapèze si sa hauteur est de 6 cm.
7) L'aire du trapèze est de 20 et l'un de ses côtés mesure 4 cm. Trouvez la distance qui le sépare du milieu du côté opposé.
8) La diagonale d'un trapèze isocèle le divise en triangles d'aires 6 et 14. Trouvez la hauteur si le côté latéral est 4.
9) Dans un trapèze, les diagonales sont égales à 3 et 5, et le segment reliant les milieux des bases est égal à 2. Trouver l'aire du trapèze (Mekhmat MSU, 1970).

Je n'ai pas choisi les problèmes les plus difficiles (n'ayez pas peur du génie mécanique !) dans l'espoir de pouvoir les résoudre de manière indépendante. Décidez pour votre santé ! Si vous avez besoin d'une préparation à l'examen d'État unifié en mathématiques, alors sans la participation de la formule de l'aire d'un trapèze dans ce processus, de graves problèmes peuvent survenir même avec le problème B6 et encore plus avec C4. Ne démarrez pas le sujet et en cas de difficultés, demandez de l'aide. Un professeur de mathématiques est toujours heureux de vous aider.

Kolpakov A.N.
Professeur de mathématiques à Moscou, préparation à l'examen d'État unifié à Strogino.