Égalité des lignes parallèles. Lignes parallèles

Le parallélisme de deux droites peut être prouvé sur la base du théorème selon lequel deux perpendiculaires tracées par rapport à une droite seront parallèles. Il existe certains signes de parallélisme des lignes - il y en a trois, et nous les considérerons tous plus spécifiquement.

Le premier signe de parallélisme

Les droites sont parallèles si, lorsqu'elles coupent une troisième droite, les angles internes formés, transversalement, seront égaux.

Disons que lorsque les droites AB et CD coupent la droite EF, les angles /1 et /2 se forment. Elles sont égales puisque la droite EF suit une pente par rapport aux deux autres droites. Là où les lignes se croisent, nous mettons les points Ki L - nous avons un segment sécant EF. On trouve son milieu et on met le point O (Fig. 189).

Nous déposons une perpendiculaire du point O sur la ligne AB. Appelons-la OM. Nous continuons la perpendiculaire jusqu'à ce qu'elle coupe la droite CD. En conséquence, la droite originale AB est strictement perpendiculaire à MN, ce qui signifie que CD_|_MN l’est également, mais cette affirmation nécessite une preuve. En traçant une perpendiculaire et une ligne d’intersection, nous avons formé deux triangles. L’un d’eux est le MIEN, le second est NOK. Examinons-les plus en détail. signes de lignes parallèles grade 7

Ces triangles sont égaux puisque, conformément aux conditions du théorème, /1 =/2, et conformément à la construction des triangles, côté OK = côté OL. Angle MOL =/NOK, puisque ce sont des angles verticaux. Il s'ensuit que le côté et deux angles qui lui sont adjacents de l'un des triangles sont respectivement égaux au côté et à deux angles qui lui sont adjacents de l'autre triangle. Ainsi, le triangle MOL = triangle NOK, et donc l'angle LMO = angle KNO, mais on sait que /LMO est droit, ce qui veut dire que l'angle KNO correspondant est également droit. Autrement dit, nous avons pu prouver qu’à la droite MN, la droite AB et la droite CD sont perpendiculaires. Autrement dit, AB et CD sont parallèles l’un à l’autre. C'est ce que nous devions prouver. Considérons les signes restants du parallélisme des droites (grade 7), qui diffèrent du premier signe par la méthode de preuve.

Deuxième signe de parallélisme

Selon le deuxième critère de parallélisme des droites, nous devons prouver que les angles obtenus lors de l'intersection des droites parallèles AB et CD de la droite EF seront égaux. Ainsi, les signes de parallélisme de deux droites, la première et la seconde, reposent sur l'égalité des angles obtenus lorsque la troisième droite les coupe. Supposons que /3 = /2 et l'angle 1 = /3 puisqu'il est vertical par rapport à lui. Ainsi, et /2 sera égal à l'angle 1, cependant, il convient de prendre en compte que l'angle 1 et l'angle 2 sont des angles internes croisés. Il suffit donc d’appliquer nos connaissances, à savoir que deux segments seront parallèles si, lorsqu’ils coupent la troisième droite, les angles transversaux formés sont égaux. Ainsi, nous avons découvert que AB || CD.

Nous avons pu prouver que, à condition que deux perpendiculaires à une droite soient parallèles, selon le théorème correspondant, le signe des droites parallèles est évident.

Le troisième signe de parallélisme

Il existe également un troisième signe de parallélisme, prouvé par la somme des angles intérieurs unilatéraux. Cette preuve du signe du parallélisme des droites permet de conclure que deux droites seront parallèles si, lorsqu'elles coupent la troisième droite, la somme des angles intérieurs unilatéraux résultants sera égale à 2d. Voir la figure 192.

Voyons d'abord la différence entre les notions de signe, de propriété et d'axiome.

Définition 1

Signe Ils appellent un certain fait par lequel la vérité d'un jugement sur un objet d'intérêt peut être déterminée.

Exemple 1

Les droites sont parallèles si leurs transversales forment des angles transversaux égaux.

Définition 2

Propriété est formulé dans le cas où il y a confiance dans l'équité du jugement.

Exemple 2

Lorsque les lignes parallèles sont parallèles, leurs transversales forment des angles transversaux égaux.

Définition 3

Axiome ils appellent une déclaration qui ne nécessite pas de preuve et qui est acceptée comme vérité sans elle.

Chaque science possède des axiomes sur lesquels se fondent les jugements ultérieurs et leurs preuves.

Axiome des droites parallèles

Parfois, l'axiome des lignes parallèles est accepté comme l'une des propriétés des lignes parallèles, mais en même temps, d'autres preuves géométriques reposent sur sa validité.

Théorème 1

Par un point qui ne se trouve pas sur une ligne donnée, une seule ligne droite peut être tracée sur le plan, qui sera parallèle à celle donnée.

L'axiome ne nécessite pas de preuve.

Propriétés des lignes parallèles

Théorème 2

Propriété1. La propriété de transitivité des droites parallèles :

Lorsqu’une des deux droites parallèles est parallèle à la troisième, alors la deuxième droite lui sera parallèle.

Les propriétés nécessitent une preuve.

Preuve:

Soit deux droites parallèles $a$ et $b$. La ligne $c$ est parallèle à la ligne $a$. Vérifions si dans ce cas la droite $c$ sera également parallèle à la droite $b$.

Pour le prouver, nous utiliserons la proposition inverse :

Imaginons qu'il soit possible que la ligne $c$ soit parallèle à l'une des lignes, par exemple la ligne $a$, et coupe l'autre ligne, la ligne $b$, à un moment donné $K$.

On obtient une contradiction selon l'axiome des droites parallèles. Il en résulte une situation dans laquelle deux droites se coupent en un point, de plus parallèlement à la même droite $a$. Cette situation est impossible ; donc les droites $b$ et $c$ ne peuvent pas se croiser.

Ainsi, il a été prouvé que si l'une des deux droites parallèles est parallèle à la troisième droite, alors la deuxième droite est parallèle à la troisième droite.

Théorème 3

Propriété 2.

Si l'une des deux lignes parallèles est coupée par une troisième, alors la deuxième ligne sera également coupée par elle.

Preuve:

Soit deux droites parallèles $a$ et $b$. Supposons également qu'il y ait une ligne $c$ qui coupe l'une des lignes parallèles, par exemple la ligne $a$. Il faut montrer que la droite $c$ coupe également la deuxième droite, la droite $b$.

Construisons une preuve par contradiction.

Imaginons que la ligne $c$ ne coupe pas la ligne $b$. Alors deux droites $a$ et $c$ passent par le point $K$, qui ne coupent pas la droite $b$, c'est-à-dire qu'elles lui sont parallèles. Mais cette situation contredit l’axiome des droites parallèles. Cela signifie que l'hypothèse était incorrecte et que la ligne $c$ coupera la ligne $b$.

Le théorème a été prouvé.

Propriétés des coins, qui forment deux droites parallèles et une sécante : les angles opposés sont égaux, les angles correspondants sont égaux, * la somme des angles unilatéraux est de 180 $^(\circ)$.

Exemple 3

Étant donné deux droites parallèles et une troisième droite perpendiculaire à l’une d’elles. Montrer que cette droite est perpendiculaire à une autre des droites parallèles.

Preuve.

Ayons des droites $a \parallel b$ et $c \perp a$.

Puisque la ligne $c$ coupe la ligne $a$, alors, selon la propriété des lignes parallèles, elle coupera également la ligne $b$.

La sécante $c$, coupant les lignes parallèles $a$ et $b$, forme des angles internes égaux croisés avec elles.

Parce que $c \perp a$, alors les angles seront $90^(\circ)$.

Par conséquent, $c \perp b$.

La preuve est complète.

angles correspondants: 1 et 5, 4 et 8, 2 et 6, 3 et 7 ;

angles transversaux internes: 3 et 5, 4 et 6 ;

angles transversaux externes: 1 et 7, 2 et 8 ;

coins internes unilatéraux: 3 et 6, 4 et 5 ;

coins extérieurs unilatéraux: 1 et 8, 2 et 7.

Donc, ∠ 2 = ∠ 4 et ∠ 8 = ∠ 6, mais d'après ce qui a été prouvé, ∠ 4 = ∠ 6.

Par conséquent, ∠ 2 =∠ 8.

3. Angles correspondants 2 et 6 sont identiques, puisque ∠ 2 = ∠ 4, et ∠ 4 = ∠ 6. Assurons-nous également que les autres angles correspondants sont égaux.

4. Somme coins internes unilatéraux 3 et 6 seront 2d car la somme coins adjacents 3 et 4 est égal à 2d = 180 0, et ∠ 4 peut être remplacé par l'identique ∠ 6. On s'assure également que somme des angles 4 et 5 sont égaux à 2d.

5. Somme coins extérieurs unilatéraux sera 2d car ces angles sont égaux respectivement coins internes unilatéraux comme des coins verticale.

De la justification prouvée ci-dessus, nous obtenons théorèmes inverses.

Quand, à l’intersection de deux droites avec une troisième droite arbitraire, on obtient que :

1. Les angles transversaux internes sont les mêmes ;

ou 2. Les angles transversaux externes sont identiques ;

ou 3. Les angles correspondants sont égaux ;

ou 4. La somme des angles internes unilatéraux est 2d = 180 0 ;

ou 5. La somme des unilatéraux externes est 2d = 180 0 ,

alors les deux premières droites sont parallèles.

Signes de parallélisme de deux lignes

Théorème 1. Si, lorsque deux droites coupent une sécante :

les angles croisés sont égaux, ou

les angles correspondants sont égaux, ou

la somme des angles unilatéraux est de 180°, alors

les lignes sont parallèles(Fig.1).

Preuve. Nous nous limitons à prouver le cas 1.

Soient les lignes sécantes a et b transversales et les angles AB égaux. Par exemple, ∠ 4 = ∠ 6. Montrons que a || b.

Supposons que les droites a et b ne soient pas parallèles. Ensuite, ils se coupent en un point M et, par conséquent, l'un des angles 4 ou 6 sera l'angle externe du triangle ABM. Pour plus de précision, soit ∠ 4 l'angle externe du triangle ABM, et ∠ 6 l'angle interne. Du théorème sur l'angle externe d'un triangle, il s'ensuit que ∠ 4 est supérieur à ∠ 6, et cela contredit la condition, ce qui signifie que les droites a et 6 ne peuvent pas se couper, elles sont donc parallèles.

Corollaire 1. Deux droites différentes dans un plan perpendiculaire à la même droite sont parallèles(Fig.2).

Commentaire. La façon dont nous venons de prouver le cas 1 du théorème 1 est appelée méthode de preuve par contradiction ou réduction à l’absurdité. Cette méthode doit son prénom au fait qu'au début de l'argumentation, une hypothèse contraire (opposée) à ce qui doit être prouvé est formulée. Cela s'appelle conduire à l'absurdité car, en raisonnant sur la base de l'hypothèse formulée, nous arrivons à une conclusion absurde (à l'absurde). Recevoir une telle conclusion nous oblige à rejeter l’hypothèse formulée au départ et à accepter celle qui devait être prouvée.

Tâche 1. Construire une droite passant par un point M donné et parallèle à une droite donnée a, ne passant pas par le point M.

Solution. On trace une droite p passant par le point M perpendiculaire à la droite a (Fig. 3).

Ensuite, nous traçons une ligne b passant par le point M perpendiculaire à la ligne p. La droite b est parallèle à la droite a selon le corollaire du théorème 1.

Une conclusion importante découle du problème considéré :
par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, il est toujours possible de tracer une droite parallèle à celle donnée.

La propriété principale des lignes parallèles est la suivante.

Axiome des droites parallèles. Par un point donné qui ne se trouve pas sur une droite donnée, passe une seule droite parallèle à celle donnée.

Considérons quelques propriétés des droites parallèles qui découlent de cet axiome.

1) Si une ligne coupe l'une des deux lignes parallèles, alors elle coupe également l'autre (Fig. 4).

2) Si deux droites différentes sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles (Fig. 5).

Le théorème suivant est également vrai.

Théorème 2. Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors :

les angles transversaux sont égaux ;

les angles correspondants sont égaux ;

la somme des angles unilatéraux est de 180°.

Corollaire 2. Si une droite est perpendiculaire à l’une des deux droites parallèles, alors elle est également perpendiculaire à l’autre(voir fig. 2).

Commentaire. Le théorème 2 est appelé l'inverse du théorème 1. La conclusion du théorème 1 est la condition du théorème 2. Et la condition du théorème 1 est la conclusion du théorème 2. Tous les théorèmes n'ont pas d'inverse, c'est-à-dire si un théorème donné est vrai, alors le théorème inverse peut être faux.

Expliquons cela en utilisant l'exemple du théorème des angles verticaux. Ce théorème peut être formulé ainsi : si deux angles sont verticaux, alors ils sont égaux. Le théorème inverse serait : si deux angles sont égaux, alors ils sont verticaux. Et ceci, bien entendu, n’est pas vrai. Il n’est pas nécessaire que deux angles égaux soient verticaux.

Exemple 1. Deux lignes parallèles sont traversées par une troisième. On sait que la différence entre deux angles internes unilatéraux est de 30°. Trouvez ces angles.

Solution. Laissez la figure 6 remplir la condition.

La leçon vidéo « Signes pour le parallélisme de deux droites » contient des preuves de théorèmes décrivant les signes indiquant le parallélisme des droites. En même temps, la vidéo décrit 1) le théorème sur le parallélisme des droites, dans lequel des angles égaux sont créés par une transversale, 2) un signe qui signifie le parallélisme de deux droites - à angles correspondants formés égaux, 3) un signe qui signifie le parallélisme de deux droites dans le cas où, lorsqu'elles se coupent avec une sécante unilatérale, la somme des angles est de 180°. Le but de cette leçon vidéo est de familiariser les étudiants avec les signes qui signifient le parallélisme de deux droites, dont la connaissance est nécessaire pour résoudre de nombreux problèmes pratiques, de présenter clairement la preuve de ces théorèmes et de développer des compétences dans la preuve d'énoncés géométriques.

Les avantages d'une leçon vidéo sont liés au fait qu'avec l'aide de l'animation, de l'accompagnement vocal et de la possibilité de surligner en couleur, elle offre un haut degré de clarté et peut remplacer la présentation d'un bloc standard de nouveau matériel pédagogique par l'enseignant.

La leçon vidéo commence par le titre affiché à l'écran. Avant de décrire les signes de droites parallèles, les élèves sont initiés au concept de sécante. Une sécante est définie comme une ligne qui coupe d'autres lignes. L'écran affiche deux lignes a et b, qui coupent la ligne c. La droite construite c est surlignée en bleu, soulignant le fait qu'elle est une sécante des droites données a et b. Afin de considérer les signes de parallélisme des lignes, il est nécessaire de se familiariser avec la zone d'intersection des lignes. La sécante aux points d'intersection avec les droites forme 8 angles ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, en analysant les relations dont il est possible de déduire des signes de le parallélisme de ces lignes. Il est à noter que les angles ∠3 et ∠5, ainsi que ∠2 et ∠4 sont appelés transversaux. Une explication détaillée est donnée à l'aide d'une animation de la disposition des angles transversaux en tant qu'angles situés entre des lignes droites parallèles et adjacentes à des lignes droites transversales. Ensuite, le concept d'angles unilatéraux est introduit, qui incluent les paires ∠4 et ∠5, ainsi que ∠3 et ∠6. Des paires d'angles correspondants sont également indiquées, dont il y a 4 paires dans l'image construite - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

La partie suivante de la leçon vidéo examine trois signes de parallélisme de deux droites quelconques. La première description apparaît à l'écran. Le théorème stipule que si les angles transversaux formés par la transversale sont égaux, les droites données seront parallèles. L'énoncé est accompagné d'un dessin montrant deux droites a et b et une sécante AB. On remarque que les angles couchés ∠1 et ∠2 formés transversalement sont égaux entre eux. Cette affirmation nécessite une preuve.

Le cas particulier le plus facilement prouvé est celui où les angles transversaux donnés sont des angles droits. Cela signifie que la sécante est perpendiculaire aux droites, et selon le théorème déjà prouvé, dans ce cas les droites a et b ne se couperont pas, c'est-à-dire qu'elles sont parallèles. La preuve de ce cas particulier est décrite à l'aide d'un exemple d'image construit à côté de la première figure, mettant en évidence les détails importants de la preuve à l'aide d'une animation.

Pour le prouver dans le cas général, il faut tracer une perpendiculaire supplémentaire du milieu du segment AB à la droite a. Ensuite, le segment BH 1 égal au segment AN est tracé sur la droite b. À partir du point résultant H 1, un segment est tracé reliant les points O et H 1. Considérons ensuite deux triangles ΔОНА et ΔОВН 1, dont l'égalité est prouvée par le premier signe d'égalité de deux triangles. Les côtés OA et OB sont de construction égale, puisque le point O a été marqué comme le milieu du segment AB. Les côtés HA et H 1 B sont également égaux en construction, puisque nous avons supprimé le segment H 1 B, égal à HA. Et les angles sont ∠1=∠2 selon les conditions du problème. Puisque les triangles formés sont égaux les uns aux autres, les paires d’angles et de côtés restantes correspondantes sont également égales les unes aux autres. Il s'ensuit que le segment OH 1 est une continuation du segment OH, constituant un segment HH 1. Il est à noter que puisque le segment construit OH est perpendiculaire à la droite a, alors, par conséquent, le segment HH 1 est perpendiculaire aux droites a et b. Ce fait signifie, en utilisant le théorème sur le parallélisme des droites auxquelles une perpendiculaire est construite, que les droites données a et b sont parallèles.

Le théorème suivant qui nécessite une preuve est un signe de l'égalité des lignes parallèles par l'égalité des angles correspondants formés lors de l'intersection d'une transversale. L'énoncé de ce théorème est affiché à l'écran et peut être proposé par les étudiants pour enregistrement. La preuve commence par la construction sur l'écran de deux droites parallèles a et b, auxquelles est construite la sécante c. Surligné en bleu sur l'image. La sécante forme les angles correspondants ∠1 et ∠2, qui par condition sont égaux entre eux. Les angles adjacents ∠3 et ∠4 sont également marqués. ∠2 par rapport à l'angle ∠3 est un angle vertical. Et les angles verticaux sont toujours égaux. De plus, les angles ∠1 et ∠3 sont croisés l'un par rapport à l'autre - leur égalité (selon l'affirmation déjà prouvée) signifie que les lignes a et b sont parallèles. Le théorème a été prouvé.

La dernière partie de la leçon vidéo est consacrée à prouver l'affirmation selon laquelle si la somme des angles unilatéraux formés lorsque deux lignes coupent une ligne transversale est égale à 180°, dans ce cas ces lignes seront parallèles entre elles. La preuve est démontrée à l’aide d’une figure montrant les lignes a et b coupant une sécante c. Les angles formés par l'intersection sont marqués de la même manière que dans la preuve précédente. Par condition, la somme des angles ∠1 et ∠4 est égale à 180°. De plus, on sait que la somme des angles ∠3 et ∠4 est égale à 180°, puisqu'ils sont adjacents. Cela signifie que les angles ∠1 et ∠3 sont égaux. Cette conclusion donne le droit d'affirmer que les droites a et b sont parallèles. Le théorème a été prouvé.

La leçon vidéo « Signes de parallélisme de deux droites » peut être utilisée par l'enseignant comme un bloc indépendant démontrant les preuves de ces théorèmes, remplaçant l'explication de l'enseignant ou l'accompagnant. Une explication détaillée permet aux étudiants d'utiliser le matériel pour une étude indépendante et aidera à expliquer le matériel lors de l'enseignement à distance.