Les problèmes de géométrie nécessitent souvent de calculer l'aire d'un polygone. De plus, il peut avoir une forme assez diversifiée - du triangle familier à un n-gon avec un nombre inimaginable de sommets. De plus, ces polygones peuvent être convexes ou concaves. Dans chaque situation spécifique, il est nécessaire de s'appuyer sur l'apparence de la silhouette. De cette façon, vous pouvez choisir la manière optimale de résoudre le problème. Le chiffre peut s'avérer correct, ce qui simplifiera grandement la solution du problème.

Un peu de théorie sur les polygones

Si vous dessinez trois lignes qui se croisent ou plus, elles forment une certaine figure. C'est elle qui est le polygone. En fonction du nombre de points d'intersection, il devient clair combien de sommets il aura. Ils donnent le nom à la figure résultante. Cela pourrait être :

Un tel chiffre sera certainement caractérisé par deux positions :

1. Les côtés adjacents n’appartiennent pas à la même ligne droite.
2. Les non-adjacents n'ont pas de points communs, c'est-à-dire qu'ils ne se croisent pas.

Pour comprendre quels sommets sont voisins, vous devrez voir s’ils appartiennent au même côté. Si oui, alors les voisins. Sinon, ils peuvent être reliés par un segment, qu'il faut appeler diagonale. Ils ne peuvent être réalisés que dans des polygones comportant plus de trois sommets.

Quels types d’entre eux existent ?

Un polygone comportant plus de quatre coins peut être convexe ou concave. La différence entre ces derniers est que certains de leurs sommets peuvent se trouver sur les côtés opposés d’une ligne droite passant par un côté arbitraire du polygone. Dans un cas convexe, tous les sommets se trouvent toujours du même côté d’une telle droite.

Dans un cours de géométrie scolaire, la majeure partie du temps est consacrée aux figures convexes. Par conséquent, les problèmes nécessitent de trouver l’aire d’un polygone convexe. Ensuite, il existe une formule en termes de rayon du cercle circonscrit, qui vous permet de trouver la valeur souhaitée pour n'importe quel chiffre. Dans d’autres cas, il n’existe pas de solution claire. Pour un triangle, la formule est une, mais pour un carré ou un trapèze, elle est complètement différente. Dans les situations où la figure est irrégulière ou où il y a beaucoup de sommets, il est d'usage de les diviser en sommets simples et familiers.

Que faire si la figure a trois ou quatre sommets ?

Dans le premier cas, il s'agira d'un triangle, et vous pouvez utiliser l'une des formules :

• S = 1/2 * a * n, où a est le côté, n est sa hauteur ;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), où a, b sont les côtés du triangle, A est l'angle entre les côtés connus ;
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), où c est le côté du triangle, aux deux déjà indiqués, p est le demi-périmètre, c'est-à-dire la somme des trois côtés divisée par deux.

Une figure à quatre sommets peut s'avérer être un parallélogramme :

• S = une * n ;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), où d 1 et d 2 sont des diagonales, α est l'angle entre elles ;
• S = a * dans * sin(α).

Formule pour l'aire d'un trapèze : S = n * (a + b) / 2, où a et b sont les longueurs des bases.

Que faire d'un polygone régulier qui a plus de quatre sommets ?

Pour commencer, une telle figure se caractérise par le fait que tous les côtés sont égaux. De plus, le polygone a des angles égaux.

Si vous dessinez un cercle autour d'une telle figure, son rayon coïncidera avec le segment allant du centre du polygone à l'un des sommets. Par conséquent, afin de calculer l'aire d'un polygone régulier avec un nombre arbitraire de sommets, vous aurez besoin de la formule suivante :

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), où n est le nombre de sommets du polygone.

De là, il est facile d'en obtenir un qui est utile pour des cas particuliers :

1. triangle : S = (3√3)/4 * R2 ;
2. carré : S = 2 * R 2 ;
3. hexagone : S = (3√3)/2 * R 2.

La situation avec le mauvais chiffre

La solution pour connaître l'aire d'un polygone s'il n'est pas régulier et ne peut être attribué à aucun des chiffres connus précédemment est l'algorithme :

• divisez-le en formes simples, par exemple des triangles, afin qu'ils ne se croisent pas ;
• calculer leurs superficies en utilisant n'importe quelle formule ;
• additionner tous les résultats.

Que faire si le problème donne les coordonnées des sommets d'un polygone ?

C'est-à-dire qu'un ensemble de paires de nombres est connu pour chaque point qui limite les côtés de la figure. Habituellement, ils s'écrivent sous la forme (x 1 ; y 1) pour le premier, (x 2 ; y 2) pour le second, et le nième sommet a les valeurs suivantes (x n ; y n). Ensuite, l'aire du polygone est déterminée comme la somme de n termes. Chacun d'eux ressemble à ceci : ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). Dans cette expression, i varie de un à n.

Il est à noter que le signe du résultat dépendra du parcours de la figure. Lorsque vous utilisez la formule spécifiée et que vous vous déplacez dans le sens des aiguilles d'une montre, la réponse sera négative.

Exemple de tâche

Condition. Les coordonnées des sommets sont précisées par les valeurs suivantes (0,6 ; 2,1), (1,8 ; 3,6), (2,2 ; 2,3), (3,6 ; 2,4), (3,1 ; 0,5). Vous devez calculer l'aire d'un polygone.

Solution. D'après la formule ci-dessus, le premier terme sera égal à (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1). Ici, il vous suffit de prendre les valeurs de Y et X des deuxième et premier points. Un simple calcul conduira au résultat 1,8.

Le deuxième terme s'obtient de la même manière : (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Lorsque vous résolvez de tels problèmes, n'ayez pas peur des quantités négatives. Tout se passe comme il se doit. C'est prévu.

Les valeurs des troisième (0,29), quatrième (-6,365) et cinquième termes (2,96) sont obtenues de manière similaire. L’aire finale est alors : 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Conseils pour résoudre un problème où un polygone est dessiné sur du papier quadrillé

Ce qui est le plus souvent déroutant, c’est que les données ne contiennent que la taille des cellules. Mais il s’avère qu’aucune information supplémentaire n’est nécessaire. Une recommandation pour résoudre ce problème est de diviser la figure en plusieurs triangles et rectangles. Leurs aires sont assez faciles à calculer par les longueurs des côtés, qui peuvent ensuite être facilement additionnées.

Mais il existe souvent une approche plus simple. Elle consiste à dessiner une figure sur un rectangle et à calculer son aire. Calculez ensuite les aires des éléments qui se sont révélés superflus. Soustrayez-les de la valeur totale. Cette option implique parfois un nombre d'actions légèrement inférieur.

La capacité de déterminer l'aire de diverses figures joue un rôle important dans la vie de chaque personne. Tôt ou tard, vous devrez faire face à cette connaissance. Par exemple, lors de la rénovation d'une pièce, afin de déterminer le nombre requis de rouleaux de papier peint, de linoléum, de parquet, de carrelage pour la salle de bain ou la cuisine, vous devez pouvoir calculer la surface requise.

Les connaissances dans le domaine de la géométrie étaient utilisées dans l'ancienne Babylone et dans d'autres pays. Dans les premiers pas vers la culture, il a toujours fallu mesurer l’espace, la distance. Lors de la construction des premières structures significatives, la capacité de maintenir la verticalité et de concevoir un plan était requise.

Le rôle des besoins esthétiques des gens revêtait également une importance considérable. Décorer une maison, s'habiller et dessiner des images contribuaient au processus de formation et d'accumulation d'informations dans le domaine de la géométrie, que les gens de cette époque obtenaient empiriquement, petit à petit, et transmettaient de génération en génération.

Aujourd'hui, la connaissance de la géométrie est nécessaire pour les coupeurs, les constructeurs, les architectes et toute personne ordinaire dans la vie de tous les jours.

Par conséquent, vous devez apprendre à calculer l'aire de différentes figures et vous rappeler que chacune des formules peut être utile plus tard dans la pratique, y compris la formule d'un hexagone régulier. Un hexagone est une figure polygonale dont le nombre total d'angles est de six.

Aire d'un hexagone régulier

Un hexagone régulier est une figure hexagonale dont les côtés sont égaux. Les angles d’un hexagone régulier sont également égaux.

Dans la vie de tous les jours, on croise souvent des objets qui ont la forme d’un hexagone régulier. Il s'agit d'un écrou métallique, de cellules en nid d'abeille et de la structure d'un flocon de neige. Les formes hexagonales remplissent parfaitement les plans. Ainsi, par exemple, lors de la pose de dalles de pavage, on peut observer comment les carreaux sont posés les uns à côté des autres, ne laissant aucun espace vide.

Propriétés d'un hexagone régulier

• Un hexagone régulier aura toujours des angles égaux, chacun mesurant 120°.
• Le côté de la figure est égal au rayon du cercle circonscrit.
• Tous les côtés d’un hexagone régulier sont égaux.
• Un hexagone régulier remplit étroitement le plan.

L'aire d'un hexagone régulier peut être calculée en le divisant en six triangles, chacun ayant des côtés égaux.

Pour calculer l'aire d'un triangle régulier, utilisez la formule suivante :

Connaissant l'aire de l'un des triangles, vous pouvez facilement calculer l'aire de l'hexagone. La formule pour le calculer est simple : puisqu'un hexagone régulier est composé de six triangles égaux, l'aire de notre triangle doit être multipliée par 6.

Si nous traçons une perpendiculaire du centre de la figure à l’un de ses côtés, nous obtenons un segment appelé apothème. Voyons comment trouver l'aire d'un hexagone avec un apothème connu :

1. Superficie = 1/2*périmètre*apothème.
2. Supposons que notre apothème mesure 5√3 cm.

1. A l'aide de l'apothème, on trouve le périmètre : Puisque l'apothème est situé perpendiculairement au côté de l'hexagone, les angles du triangle créé à l'aide de l'apothème seront de 30˚-60˚-90˚. Chaque côté du triangle résultant correspondra à : x-x√3-2x, où le côté court opposé à l'angle de 30˚ est x, le côté long opposé à l'angle de 60˚ est x√3 et l'hypoténuse est 2x. .
2. Puisque l’apothème est représenté par x√3, nous pouvons le substituer dans la formule a = x√3 et résoudre. Si, par exemple, apothème = 5√3, alors nous substituons cette valeur dans la formule et obtenons : 5√3 cm = x√3, ou x = 5 cm.
3. Ainsi, le petit côté du triangle mesure 5 cm. Puisque cette valeur est la moitié de la longueur du côté de l'hexagone, nous multiplions 5 par 2 et obtenons 10 cm, qui est la longueur du côté.
4. Connaissant la longueur du côté, multipliez-la par 6 et obtenez le périmètre de l'hexagone : 10 cm x 6 = 60 cm
5. Remplaçons les résultats obtenus dans notre formule :

Superficie = 1/2*périmètre*apothème

Surface = ½*60 cm*5√3

Reste maintenant à simplifier la réponse afin de s'affranchir des racines carrées, et d'indiquer le résultat obtenu en centimètres carrés :

½ * 60 cm * 5√3 cm =30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm²

Vidéo sur la façon de trouver l'aire d'un hexagone régulier

Aire d'un hexagone irrégulier

Il existe plusieurs options pour déterminer l'aire d'un hexagone irrégulier :

• Méthode trapézoïdale.
• Une méthode pour calculer l'aire des polygones irréguliers à l'aide de l'axe de coordonnées.
• Une méthode pour diviser un hexagone en d’autres formes.

En fonction des données initiales que vous connaissez, une méthode adaptée est sélectionnée.

Méthode trapézoïdale

L'aire d'un hexagone qui a une forme arbitraire (irrégulière) est calculée par la méthode des trapèzes, dont l'essence est de diviser l'hexagone en trapèzes séparés, puis de calculer l'aire de chacun d'eux.

Méthode avec axes de coordonnées

De plus, l'aire d'un hexagone irrégulier peut être calculée à l'aide de la méthode de calcul de l'aire des polygones irréguliers. Regardons cela à l'aide de l'exemple suivant :

Nous effectuerons le calcul en utilisant la méthode d'utilisation des coordonnées des sommets du polygone :

1. À ce stade, vous devez créer un tableau et noter les coordonnées x et y des sommets. Nous sélectionnons les sommets dans un ordre séquentiel dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, en terminant la fin de la liste en réenregistrant les coordonnées du premier sommet :

1. Vous devez maintenant multiplier les valeurs des coordonnées x du 1er sommet par les coordonnées y du 2ème sommet et ainsi continuer la multiplication. Ensuite, vous devez additionner les résultats. Dans notre cas, il s'est avéré qu'il s'agissait de 82 :

1. On multiplie successivement les valeurs des coordonnées du y1ème sommet par les valeurs des coordonnées x du 2ème sommet. Résumons les résultats obtenus. Dans notre cas, il s'est avéré qu'il s'agissait de 38 :

1. On soustrait le montant que nous avons reçu à la quatrième étape du montant que nous avons reçu à la troisième étape : 82 – (-38) = 120

1. Nous devons maintenant diviser le résultat obtenu à l'étape précédente et trouver l'aire de notre figure : S = 120/2 = 60 cm²

Méthode pour briser un hexagone en d'autres formes

Chaque polygone peut être divisé en plusieurs autres formes. Ceux-ci peuvent être des triangles, des trapèzes, des rectangles. Sur la base des données connues, à l'aide de formules permettant de déterminer les aires des figures répertoriées, leurs aires sont calculées séquentiellement puis résumées.

Certains hexagones irréguliers sont constitués de deux parallélogrammes. Pour déterminer l'aire d'un parallélogramme, multipliez sa longueur par sa largeur puis ajoutez les deux aires déjà connues.

Vidéo sur la façon de trouver l'aire d'un polygone

Aire d'un hexagone équilatéral

Un hexagone équilatéral a six côtés égaux et est un hexagone régulier.

L'aire d'un hexagone équilatéral est égale à 6 aires des triangles dans lesquels est divisée une figure hexagonale régulière.

Tous les triangles d'un hexagone de forme régulière sont égaux, donc pour trouver l'aire d'un tel hexagone, il suffira de connaître l'aire d'au moins un triangle.

Pour trouver l'aire d'un hexagone équilatéral, on utilise bien entendu la formule de l'aire d'un hexagone régulier décrite ci-dessus.

Saviez-vous comment trouver l'aire d'un hexagone ? Où pensez-vous que ces connaissances vous seront utiles dans la vie ? Partagez votre avis sur

Quiconque a étudié les mathématiques et la géométrie à l’école connaît ces sciences au moins superficiellement. Mais avec le temps, si on ne les pratique pas, les connaissances sont oubliées. Beaucoup pensent même qu’ils ont simplement perdu leur temps à étudier les calculs géométriques. Cependant, ils ont tort. Les travailleurs techniques effectuent des travaux quotidiens liés aux calculs géométriques. Quant au calcul de l'aire d'un polygone, cette connaissance trouve également son application dans la vie. Ils seront nécessaires au moins pour calculer la superficie du terrain. Apprenons donc à trouver l'aire d'un polygone.

Définition du polygone

Tout d’abord, définissons ce qu’est un polygone. Il s'agit d'une figure géométrique plate formée à la suite de l'intersection de trois lignes droites ou plus. Autre définition simple : un polygone est une polyligne fermée. Naturellement, lorsque des lignes se croisent, des points d'intersection se forment ; leur nombre est égal au nombre de lignes formant le polygone. Les points d'intersection sont appelés sommets et les segments formés de lignes droites sont appelés côtés du polygone. Les segments adjacents d'un polygone ne sont pas sur la même ligne droite. Les segments de droite non contigus sont ceux qui ne passent pas par des points communs.

Somme des aires des triangles

Comment trouver l'aire d'un polygone ? L'aire d'un polygone est l'intérieur du plan formé par l'intersection des segments ou côtés du polygone. Puisqu'un polygone est une combinaison de figures telles qu'un triangle, un losange, un carré, un trapèze, il n'existe tout simplement pas de formule universelle pour calculer son aire. En pratique, la plus universelle est la méthode de division d'un polygone en figures plus simples, dont l'aire n'est pas difficile à trouver. En additionnant les sommes des aires de ces figures simples, on obtient l'aire du polygone.

À travers l'aire d'un cercle

Dans la plupart des cas, un polygone a une forme régulière et forme une figure avec des côtés et des angles égaux entre eux. Dans ce cas, le calcul de l'aire est très simple à l'aide d'un cercle inscrit ou circonscrit. Si l'aire d'un cercle est connue, alors elle doit être multipliée par le périmètre du polygone, puis le produit obtenu divisé par 2. Le résultat est une formule pour calculer l'aire d'un tel polygone : S = ½∙P∙r., où P est l'aire du cercle et r est le périmètre du polygone .

La méthode de division d'un polygone en formes « pratiques » est la plus populaire en géométrie ; elle permet de trouver rapidement et correctement l'aire d'un polygone. La 4e année du secondaire étudie généralement ces méthodes.

Un polygone est une figure plate ou convexe constituée de lignes qui se croisent (plus de 3) et forme un grand nombre de points d'intersection de lignes. Un autre polygone peut être défini comme une ligne brisée qui se ferme. D'une autre manière, les points d'intersection peuvent être appelés sommets de la figure. Selon le nombre de sommets, la figure peut être appelée pentagone, hexagone, etc. L'angle d'un polygone est l'angle formé par les côtés se rencontrant en un seul sommet. L'angle est à l'intérieur du polygone. De plus, les angles peuvent être différents, jusqu'à 180 degrés. Il existe également des coins externes, qui sont généralement adjacents aux coins internes.

Les lignes droites qui se coupent ensuite sont appelées côtés du polygone. Ils peuvent être adjacents, adjacents ou non adjacents. Une caractéristique très importante de la figure géométrique présentée est que ses côtés non adjacents ne se coupent pas et n'ont donc pas de points communs. Les côtés adjacents d’une figure ne peuvent pas être sur la même ligne droite.

Les sommets d'une figure qui appartiennent à la même ligne peuvent être appelés adjacents. Si vous tracez une ligne entre deux sommets non adjacents, vous obtenez la diagonale d'un polygone. Quant à l'aire d'une figure, il s'agit de la partie interne du plan d'une figure géométrique avec un grand nombre de sommets, qui est créée par les segments de polygone qui la divisent.

Il n'existe pas de solution unique pour déterminer l'aire de la figure géométrique présentée, car il peut y avoir un nombre infini de variantes de la figure et pour chaque variante il existe sa propre solution. Cependant, certaines des options les plus courantes pour trouver l'aire d'une figure doivent encore être prises en compte (elles sont le plus souvent utilisées dans la pratique et sont même incluses dans le programme scolaire).

Tout d’abord, considérons un polygone régulier, c’est-à-dire une figure dans laquelle tous les angles formés par des côtés égaux sont également égaux. Alors, comment trouver l'aire d'un polygone dans un exemple précis ? Dans ce cas, trouver l'aire d'une figure polygonale est possible si le rayon du cercle inscrit dans la figure ou circonscrit autour de celle-ci est donné. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule suivante :

S = ½∙P∙r, où r est le rayon d'un cercle (inscrit ou circonscrit) et P est le périmètre d'une figure géométrique polygonale, qui peut être trouvé en multipliant le nombre de côtés de la figure par leur longueur.

Comment trouver l'aire d'un polygone

Pour répondre à la question de savoir comment trouver l'aire d'un polygone, il suffit de suivre la propriété intéressante suivante d'une figure polygonale, qui a été découverte par le célèbre mathématicien autrichien Georg Pieck. Par exemple, en utilisant la formule S = N + M/2 -1, vous pouvez trouver l'aire d'un polygone dont les sommets sont situés aux nœuds d'une grille carrée. Dans ce cas, S est donc l’aire ; N – le nombre de nœuds de grille carrés situés à l’intérieur d’une figure comportant de nombreux coins ; M est le nombre de nœuds de la grille carrée situés sur les sommets et les côtés du polygone. Cependant, malgré sa beauté, la formule de Pick n'est pratiquement pas utilisée en géométrie pratique.

La méthode la plus simple et la plus connue pour déterminer la superficie, étudiée à l'école, consiste à diviser une figure géométrique polygonale en parties plus simples (trapèzes, rectangles, triangles). Trouver l'aire de ces chiffres n'est pas difficile. Dans ce cas, l'aire du polygone est déterminée simplement : vous devez trouver les aires de toutes les figures en lesquelles le polygone est divisé.

Fondamentalement, la définition de l'aire d'un polygone est déterminée en mécanique (dimensions des pièces).

1.1 Calcul des superficies dans l'Antiquité

1.2 Différentes approches pour étudier les notions de « surface », « polygone », « surface de polygone »

1.2.1 La notion de superficie. Propriétés de la zone

1.2.2 Notion de polygone

1.2.3 La notion d'aire d'un polygone. Définition descriptive

1.3 Différentes formules pour les aires des polygones

1.4 Dérivation de formules pour les aires des polygones

1.4.1 Aire d'un triangle. La formule du héron

1.4.2 Aire d'un rectangle

1.4.3 Aire d'un trapèze

1.4.4 Aire d'un quadrilatère

1.4.5 Formule universelle

1.4.6 Aire de n-gon

1.4.7 Calcul de l'aire d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets

1.4.8 Formule de Pick

1.5 Théorème de Pythagore sur la somme des aires de carrés construits sur les pattes d'un triangle rectangle

1.6 Disposition égale des triangles. Théorème de Bolyay-Gerwin

1.7 Rapport des aires de triangles semblables

1.8 Chiffres avec la plus grande surface

1.8.1 Trapèze ou rectangle

1.8.2 Propriété remarquable de la place

1.8.3 Sections d'autres formes

1.8.4 Triangle avec la plus grande surface

Chapitre 2. Caractéristiques méthodologiques de l'étude des aires de polygones dans les cours de mathématiques

2.1 Planification thématique et caractéristiques de l'enseignement dans les classes avec étude approfondie des mathématiques

2.2 Méthodologie de conduite des cours

2.3 Résultats des travaux expérimentaux

Conclusion

Littérature

Introduction

Le thème « Aire des polygones » fait partie intégrante du cours de mathématiques scolaire, ce qui est tout à fait naturel. Après tout, historiquement, l'émergence même de la géométrie est associée à la nécessité de comparer des parcelles d'une forme ou d'une autre. Dans le même temps, il convient de noter que les possibilités pédagogiques permettant d'aborder ce sujet au lycée sont loin d'être pleinement exploitées.

La tâche principale de l'enseignement des mathématiques à l'école est de garantir que les élèves possèdent une maîtrise forte et consciente du système de connaissances et de compétences mathématiques nécessaires dans la vie quotidienne et au travail de chaque membre de la société moderne, suffisante pour étudier les disciplines connexes et la formation continue.

En plus de résoudre le problème principal, l'étude approfondie des mathématiques implique la formation chez les étudiants d'un intérêt durable pour le sujet, l'identification et le développement de leurs capacités mathématiques, l'orientation vers des professions significativement liées aux mathématiques et la préparation aux études universitaires. .

Le travail qualifiant comprend le contenu d'un cours de mathématiques d'une école d'enseignement général et un certain nombre de questions supplémentaires directement adjacentes à ce cours et l'approfondissant selon les principales lignes idéologiques.

L’inclusion de questions supplémentaires répond à deux objectifs interdépendants. D'une part, il s'agit de la création, en lien avec les sections principales du cours, d'une base pour satisfaire les intérêts et le développement des capacités des étudiants ayant un penchant pour les mathématiques, d'autre part, c'est la réalisation de les lacunes du contenu du cours principal, donnant au contenu de l'étude approfondie l'intégrité nécessaire.

L'ouvrage qualificatif se compose d'une introduction, de deux chapitres, d'une conclusion et de la littérature citée. Le premier chapitre aborde les fondements théoriques de l'étude des aires de polygones, et le deuxième chapitre traite directement des caractéristiques méthodologiques de l'étude des aires.

Chapitre 1. Fondements théoriques de l'étude des aires des polygones

1.1Calcul des superficies dans l'Antiquité

Les débuts des connaissances géométriques liées à la mesure des superficies se perdent au fil des milliers d'années.

Il y a encore 4 à 5 000 ans, les Babyloniens étaient capables de déterminer l'aire d'un rectangle et d'un trapèze en unités carrées. Le carré a longtemps servi de norme pour mesurer des surfaces en raison de ses nombreuses propriétés remarquables : côtés égaux, angles égaux et droits, symétrie et perfection générale de la forme. Les carrés sont faciles à construire, ou vous pouvez remplir un plan sans espaces.

Dans la Chine ancienne, la mesure de la superficie était un rectangle. Lorsque les maçons déterminaient la superficie d'un mur rectangulaire d'une maison, ils multipliaient la hauteur et la largeur du mur. C'est la définition acceptée en géométrie : l'aire d'un rectangle est égale au produit de ses côtés adjacents. Ces deux côtés doivent être exprimés dans les mêmes unités linéaires. Leur produit sera l'aire du rectangle, exprimée en unités carrées correspondantes. Supposons que si la hauteur et la largeur d'un mur sont mesurées en décimètres, alors le produit des deux mesures sera exprimé en décimètres carrés. Et si la superficie de chaque radeau de parement est d'un décimètre carré, alors le produit obtenu indiquera le nombre de tuiles nécessaires au revêtement. Cela découle de l'énoncé qui sous-tend la mesure des aires : l'aire d'une figure composée de figures non sécantes est égale à la somme de leurs aires.

Il y a 4 000 ans, les anciens Égyptiens utilisaient presque les mêmes techniques que nous pour mesurer l'aire d'un rectangle, d'un triangle et d'un trapèze : la base du triangle était divisée en deux et multipliée par la hauteur ; pour un trapèze, la somme des côtés parallèles était divisée en deux et multipliée par la hauteur, etc. Pour calculer la superficie

ceux. Les demi-sommes des camps opposés furent multipliées.

Cette formule est clairement incorrecte pour tout quadrilatère ; il s'ensuit, en particulier, que les aires de tous les losanges sont les mêmes. Pendant ce temps, il est évident que les aires de ces losanges dépendent de la taille des angles aux sommets. Cette formule n'est vraie que pour un rectangle. Avec son aide, vous pouvez calculer approximativement l'aire des quadrilatères dont les angles sont proches des angles droits.

Pour déterminer la zone

Mais déjà les anciens Grecs savaient comment trouver correctement les aires des polygones. Dans ses Éléments, Euclide n'utilise pas le mot « aire », puisque par le mot « figure » lui-même, il entend une partie d'un plan délimitée par l'une ou l'autre ligne fermée. Euclide n'exprime pas le résultat de la mesure d'une aire avec un nombre, mais compare les aires de différentes figures entre elles.

Comme d'autres scientifiques de l'Antiquité, Euclide s'occupe de la question de la transformation de certaines figures en d'autres de taille égale. L'aire d'une figure composée ne changera pas si ses parties sont disposées différemment, mais sans se croiser. Ainsi, par exemple, il est possible, à partir des formules pour l'aire d'un rectangle, de trouver des formules pour les aires d'autres figures. Ainsi, un triangle est divisé en parties à partir desquelles un rectangle de taille égale peut ensuite être formé. De cette construction il résulte que l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base et de sa hauteur. En recourant à une telle redécoupe, ils constatent que l'aire d'un parallélogramme est égale au produit de la base et de la hauteur, et l'aire d'un trapèze est le produit de la moitié de la somme des bases et de la hauteur .

Lorsque les maçons doivent carreler un mur de configuration complexe, ils peuvent déterminer la superficie du mur en comptant le nombre de carreaux utilisés pour le bardage. Certains carreaux devront bien entendu être ébréchés pour que les bords du bardage coïncident avec le bord du mur. Le nombre de tous les carreaux utilisés dans le travail estime la surface du mur avec un excédent, le nombre de carreaux ininterrompus – avec un déficit. À mesure que la taille des cellules diminue, la quantité de déchets diminue et la surface du mur, déterminée par le nombre de carreaux, est calculée de plus en plus précisément.

L'un des derniers mathématiciens et encyclopédistes grecs, dont les travaux étaient principalement de nature appliquée, était Héron d'Alexandrie, qui vécut au 1er siècle. n. e. Étant un ingénieur hors pair, il était aussi appelé « Héron le mécanicien ». Dans son ouvrage "Dioptrics", Heron décrit diverses machines et instruments de mesure pratiques.

L’un des livres de Heron s’intitulait « Géométrie » et constitue une sorte de recueil de formules et de problèmes correspondants. Il contient des exemples de calcul des aires de carrés, de rectangles et de triangles. À propos de la recherche de l'aire d'un triangle en fonction de ses côtés, Heron écrit : « Supposons, par exemple, qu'un côté du triangle ait une longueur de 13 cordes à mesurer, le deuxième 14 et le troisième 15. Pour trouver l'aire, procédez comme suit. Ajoutez 13, 14 et 15 ; ce sera 42. La moitié de cela sera 21. Soustrayez-en les trois côtés un à un ; soustrayez d'abord 13 - il vous reste 8, puis 14 - il vous reste 7, et enfin 15 - il vous reste 6. Maintenant, multipliez-les : 21 fois 8 donne 168, prenez cela 7 fois - vous obtenez 1176, et prenez ceci encore 6 fois - vous obtenez 7056. À partir de là, la racine carrée sera 84. C'est le nombre de cordons de mesure qu'il y aura dans l'aire du triangle.