Résumé : Paradoxes logiques. Réfutation de l'aporie "Achille et la tortue"

Le philosophe Stephen Reed sur le paradoxe du menteur, les paradoxes sémantiques et leur lien direct avec les fondements des mathématiques.

Cela vaut la peine d’entamer une conversation sur les paradoxes logiques avec une courte histoire racontée par Cervantes dans son livre « Don Quichotte ». À un moment donné dans Don Quichotte, il quitte Sancho Panza comme gouverneur de l'île de Barataria, et pendant qu'il est gouverneur, ses « sujets » le trompent. Un matin, on le réveilla et on lui dit : « Avant le petit-déjeuner, tu as une question à décider. » Et en Espagne, à cette époque, il y avait beaucoup de clochards, donc il fallait faire très attention aux gens. Ainsi, un propriétaire terrien a une rivière qui coule à travers ses terres, à travers laquelle un pont est jeté, et afin de s'assurer que tous les passants sont dignes de confiance, ce propriétaire foncier a placé une potence et un garde près du pont, qui exige que chaque passant expliquer où et pourquoi il va. Si le passant dit la vérité, il est autorisé à traverser le pont, mais s'il ment, alors la potence l'attend. Et tout allait bien, cela aidait à distinguer qui était un vagabond et qui était un commerçant, jusqu'au jour où un homme est venu qui a dit : « Mon objectif est d'être pendu à cette potence, et rien de plus. Et le gardien était étonné, car il pensait : « D'accord, si nous le pendons, il s'avérera qu'il a dit la vérité, alors nous aurions dû le laisser passer, mais si nous le laissons passer, alors il s'avérera qu'il menti, alors nous aurions dû le laisser passer. « Alors, Sancho Panza, comment devrions-nous juger cette affaire ? Et Sancho Panza met du temps à apprécier le paradoxe, mais il finit par prendre sa décision : pendre la moitié de celui qui a menti et laisser passer celle qui a dit la vérité.

Tout cela semble amusant pour l’esprit, mais pour ceux qui veulent comprendre les questions de vérité, d’argumentation, de langage, etc., cela indique quelque chose de très troublant dans la nature du langage. Il semble très facile de tomber dans un paradoxe : nous ne savons tout simplement pas si ce que cette personne a dit était vrai ou non, si elle a menti ou non. Et cela nous ramène au paradoxe originel du menteur, formulé par Eubulide au IVe siècle avant JC. Il l'a élevé au rang d'œuvre d'art, a-t-il dit : "Pensez à la déclaration 'Je mens'". Si je dis : « Je mens », je peux bien sûr vouloir dire une autre de mes déclarations, mais si j'utilise des formulations extrêmement prudentes, alors je peux dire : « Non, je mens dans la phrase même que je Je dis maintenant : Ma déclaration est fausse. Et encore une fois, si vous y réfléchissez, vous direz : « Si c'était vrai, alors puisqu'il dit que sa déclaration est fausse, il s'ensuit qu'elle doit être fausse, pas vraie, c'est-à-dire qu'elle ne peut pas être vraie - elle doit être faux. Mais si c’est faux, parce qu’il dit que c’est faux, qu’il a menti, alors ça doit être vrai. Nous avons donc un paradoxe parfaitement contenu dans une seule phrase.

Il existe de nombreux paradoxes de ce type, et il est facile de comprendre pourquoi on les appelle paradoxes logiques : la contradiction qu'ils contiennent est révélée à l'aide de la logique. Certains ont entendu parler d’Épiménide : il était originaire de Crète et il était tellement déçu par la capacité de ses compatriotes à dire la vérité qu’il a dit un jour : « Tous les Crétois sont des menteurs ». S’il avait raison, si effectivement tous les Crétois étaient des menteurs ou si les autres Crétois mentaient toujours, alors sa propre déclaration doit être paradoxale. Après tout, s’il dit : « Tous les Crétois sont des menteurs », alors il dit que sa propre affirmation est fausse, mais dans ce cas, en effet, tous les Crétois seraient des menteurs, ce qui signifie qu’il disait la vérité lorsqu’il disait que tous les Crétois étaient des menteurs. Les Crétois sont des menteurs. Bien sûr, la solution au paradoxe est que si certains Crétois disaient la vérité, alors leur déclaration serait tout simplement fausse et non paradoxale.

Nous avons donc un grand nombre de paradoxes de ce type. Voici un paradoxe que j'aime particulièrement : prenez une carte qui dit d'un côté : « La déclaration au dos de cette carte est vraie. » Vous la retournez et il est écrit : « La déclaration au dos de cette carte est fausse. » Et si vous y réfléchissez, c'est tout simplement paradoxal, parce que si la déclaration du premier côté est vraie, alors cela signifie que la déclaration de l'autre côté est également vraie, parce que c'est ce que dit la première déclaration ; mais du deuxième côté il est écrit que la première affirmation est fausse, c'est-à-dire que si la première affirmation est vraie, elle est en même temps fausse. Mais cela est impossible, ce qui signifie que la deuxième affirmation doit être fausse ; mais il dit que la première affirmation est fausse, alors la première affirmation ne peut pas être fausse – elle doit être vraie. Mais nous avons déjà vu que si la première affirmation est vraie, alors elle est fausse, nous obtenons donc un pur paradoxe.

Certains penseurs médiévaux ont préféré décrire ce paradoxe à travers Socrate et Platon ou parfois Platon et Aristote. Platon était donc le professeur d'Aristote et le considérait comme son meilleur élève. C'est pourquoi il dit un jour : « Tout ce que dit Aristote est la vérité. » Mais Aristote n'était pas un très bon élève dans le sens où il voulait remettre en question les enseignements de Platon, alors il a dit : « Tout ce que dit Platon est faux », et cela est très similaire au paradoxe des cartes.

Tout cela constituait des paradoxes dans le domaine de la vérité, du mensonge et du langage. Mais au XXe siècle, nous avons rencontré des paradoxes en mathématiques. Un bref historique du problème est le suivant : après l'avènement du calcul, puis après les travaux sur les séries infinies au XVIIIe siècle, les fondements des mathématiques se sont révélés instables, les gens se sont posé la question « Comment fonctionnent les séries infinies sans conduire à des séries infinies ? nous amène aux contradictions mathématiques ? Et au XIXe siècle, un vaste mouvement s'est développé dont le but était de rechercher des fondements stables des mathématiques. Puis la théorie des ensembles est devenue une telle base. Un ensemble est une collection d'objets définis par une propriété : par exemple, il peut y avoir un ensemble de nombres naturels, un ensemble de nombres pairs, ou même un ensemble de riz au lait - vous pouvez prendre différents ensembles. En mathématiques, bien entendu, seuls des ensembles de nombres sont utilisés.

Et tout cela avait fière allure jusqu'à la fin du 19e siècle. Frege, Dedekind et bien d’autres penseurs ont établi les mathématiques ou ce qui semblait être le fondement solide de la théorie des ensembles. Mais alors Bertrand Russell, le célèbre philosophe britannique, lisant les travaux de Frege, pensa : « Vous pouvez donner beaucoup de nombres, vous pouvez donner beaucoup d'ensembles ; on peut définir un ensemble d’ensembles qui s’incluent eux-mêmes, ou on peut définir un ensemble d’ensembles qui ne s’incluent pas. Et puis il a pensé : « Attendez une minute, si nous avons un ensemble d’ensembles qui ne s’incluent pas, cet ensemble s’inclura-t-il ou non ? Si un tel ensemble s'inclut lui-même, alors il ne devrait pas s'inclure lui-même, car par condition nous prenons uniquement les ensembles qui ne s'incluent pas. Il vaudrait donc mieux que l’ensemble ne s’inclue pas, mais s’il ne s’inclut pas, alors c’est un ensemble qui ne s’inclut pas, et il doit faire partie de cet ensemble. Et comme je l’ai dit, tous ces paradoxes semblent au premier abord amusants pour l’esprit, mais aujourd’hui, au début du XXe siècle, nous avons découvert un paradoxe, une contradiction au cœur même de ce que devraient être les fondements des mathématiques. Comme on le sait, ce fut un coup dur pour Frege : il était sur le point de publier le deuxième volume de ses Lois fondamentales de l'arithmétique, et il dut ajouter une annexe dans laquelle il écrivit : « Bertrand Russell a souligné un point faible dans le c’est le cœur même de ma théorie, mais je pense que je peux résoudre ce problème », et il a proposé une solution, mais il s’est avéré qu’elle n’était pas correcte.

Je vais m'attarder un instant sur les paradoxes de la théorie des ensembles, car il existe un autre paradoxe plutôt intéressant qui nous ramène à la conversation sur les paradoxes liés à la vérité, ou paradoxes dits sémantiques. Ainsi, environ 40 ans plus tard, vers 1940, le mathématicien et logicien américain Haskell B. Curry réfléchissait au paradoxe de Russell et disait : « La base du paradoxe de Russell est la négation - il parle de nombreux ensembles qui ne s'incluent pas eux-mêmes. Est-il possible d’obtenir le même paradoxe sans recourir à la négation ? Y a-t-il un moyen ? Et il a dit qu'il y avait un moyen. Prenons l'ensemble de tous les ensembles ; s’ils s’incluent, alors zéro est égal à un. Selon la théorie des ensembles, il s’agit d’un ensemble tout à fait admissible. Mais si nous commençons à considérer un tel ensemble, s’il s’inclut lui-même, alors il satisfera à la condition selon laquelle s’il s’inclut lui-même, alors zéro est égal à un.

Et nous avons supposé qu'il s'inclut lui-même, donc zéro est en réalité égal à un. Mais il est tout à fait évident que zéro ne peut pas être égal à un, nous reprenons donc tout en arrière et supposons qu'un ensemble ne peut pas s'inclure lui-même. S'il ne s'inclut pas, il s'ensuit immédiatement que soit il ne s'inclut pas, soit que zéro est égal à un. Mais cela revient à dire que s'il s'inclut, zéro est bien égal à un - cela revient à dire : ou bien il ne s'inclut pas, ou bien zéro est égal à un. Et cela revient à dire que si un ensemble s’inclut lui-même, alors il n’est pas non-auto-inclusif, alors zéro est égal à un. Mais alors il s’inclut lui-même, c’est-à-dire que nous avons prouvé qu’il s’inclut lui-même, mais puisque nous l’avons prouvé, donc zéro est égal à un. Sauvegarder! Nous venons de prouver que zéro est égal à un ! Nous sommes donc une fois de plus confrontés à un véritable paradoxe cauchemardesque au cœur des mathématiques.

Et quelques années plus tard, ce paradoxe s'est transformé en l'un des paradoxes sémantiques dont j'ai parlé plus tôt, et il a pris la forme de l'affirmation : « Si cette affirmation est vraie, alors zéro est égal à un ». Ou encore : « Si cette affirmation est vraie, alors Dieu existe. » Et puis nous pouvons prouver en quelques lignes que Dieu existe ou autre chose : zéro est égal à un, Dieu existe, il pleut à Moscou aujourd'hui - nous pouvons tout prouver avec une telle affirmation. Les gens pensent beaucoup à la vérité, donc c’est très dangereux : la vérité est-elle vraiment comme ça ? La vérité est-elle vraiment un concept contradictoire ?

Et je terminerai en parlant brièvement d'un autre paradoxe pour montrer que les paradoxes ne s'arrêtent pas là. Voici une déclaration : « Vous ne connaissez pas cette déclaration » - vous ne connaissez pas la déclaration même que je prononce maintenant. Supposons maintenant que vous le connaissez. Les concepts de connaissance et de vérité nous disent que vous ne pouvez connaître que ce qui est vrai, de sorte que si vous le savez, c'est vrai, auquel cas vous ne le savez pas parce qu'il le dit. Donc si nous supposons que vous le connaissez, il s’avère que vous ne le connaissez pas. Il s'avère que nous avons prouvé que vous ne le connaissez pas, mais il est dit que vous ne le connaissez pas, alors nous l'avons prouvé. Et bien sûr, si on a prouvé quelque chose, ça veut dire que c’est vrai, ça veut dire qu’on le sait, parce qu’on en a la preuve. Et il s’avère que nous avons prouvé à la fois que vous connaissez cette affirmation et que vous ne la connaissez pas, nous sommes donc à nouveau confrontés à un paradoxe épistémique.

Résumons. J'ai décrit plusieurs paradoxes sémantiques, principalement liés au concept de vérité, et j'ai également montré qu'ils sont très similaires aux paradoxes associés à la théorie des ensembles, qui sont au cœur même des mathématiques. De plus, nous avons fait connaissance avec des paradoxes épistémiques associés non seulement au concept de vérité, mais aussi au concept de connaissance. Ainsi, nous avons examiné plusieurs paradoxes sémantiques, tels que le paradoxe du menteur, le paradoxe d'Épiménide et le paradoxe des cartes, qui sont basés sur le concept de vérité (on y parle de mensonges, de contrevérités, de vérité, etc.), puis nous avons examiné plusieurs paradoxes qui surviennent en mathématiques - ils sont liés à la théorie des ensembles. Et à la fin, nous avons également parlé d'un autre type de paradoxe : les paradoxes épistémiques.

On voit immédiatement combien il est important pour nous de trouver une solution à ces paradoxes puisque les mathématiques y sont impliquées, car nous recherchions des bases mathématiques solides pour être sûrs de ne pas commettre d'erreurs - et maintenant nous avons découvert une contradiction en eux. Nous avons donc besoin d’une solution pour les paradoxes mathématiques liés à la théorie des ensembles, mais nous en avons également besoin pour les paradoxes sémantiques. De nombreux philosophes réfléchissent au concept de vérité et veulent comprendre la nature de la vérité, ce qu’est une affirmation vraie. Il est naturel de supposer qu’une affirmation est vraie si tout est comme elle le dit ; et maintenant regardez le paradoxe du menteur : c'est vrai, si je mens, c'est paradoxal et conduit à une contradiction. Il faut donc repenser le concept de vérité, certains veulent repenser la logique qui la sous-tend et les méthodes de preuve qui nous ont conduit à la contradiction. Et il est très important que nous le fassions si nous voulons acquérir une compréhension complète des concepts de vérité et de connaissance.

gif : postnauka.ru/ Stephen Reid

Il n’existe pas de liste exhaustive des paradoxes logiques, et ce n’est pas non plus possible.

Les paradoxes considérés ne sont qu’une partie de tous ceux découverts à ce jour. Il est probable que de nombreux autres paradoxes, et même des types complètement nouveaux, seront découverts à l’avenir. Le concept de paradoxe lui-même n'est pas défini au point qu'il soit possible de dresser une liste de paradoxes au moins déjà connus.

«Les paradoxes de la théorie des ensembles constituent un problème très sérieux, non pas pour les mathématiques, mais plutôt pour la logique et la théorie de la connaissance», écrit le mathématicien et logicien autrichien K. Gödel. « La logique est cohérente. Il n'y a pas de paradoxes logiques », explique le mathématicien D. Bochvar. Ces types de divergences sont parfois significatives, parfois verbales. Le point dépend en grande partie de ce que l’on entend exactement par paradoxe logique.

Le caractère unique des paradoxes logiques

Un dictionnaire logique est considéré comme une caractéristique nécessaire des paradoxes logiques.

Les paradoxes classés comme logiques doivent être formulés en termes logiques. Cependant, en logique, il n'existe pas de critères clairs pour diviser les termes en logiques et non logiques. La logique, qui traite de l'exactitude du raisonnement, cherche à réduire au minimum les concepts dont dépend l'exactitude des conclusions appliquées dans la pratique. Mais ce minimum n’est pas prédéterminé de manière univoque. De plus, les énoncés non logiques peuvent être formulés en termes logiques. Il n’est pas toujours possible de déterminer sans ambiguïté si un paradoxe particulier utilise uniquement des prémisses purement logiques.

Les paradoxes logiques ne sont pas strictement séparés de tous les autres paradoxes, de même que ces derniers ne se distinguent pas clairement de tout ce qui est non paradoxal et conforme aux idées dominantes.

Aux premières étapes de l'étude des paradoxes logiques, il semblait qu'ils pouvaient être identifiés par la violation de certaines dispositions ou règles de logique, non encore étudiées. Le principe d'un cercle vicieux introduit par B. Russell revendiquait particulièrement activement le rôle d'une telle règle. Ce principe stipule qu'une collection d'objets ne peut pas contenir de membres définissables uniquement par cette même collection.

Tous les paradoxes ont une propriété commune : l’auto-applicabilité, ou circularité. Dans chacun d'eux, l'objet en question est caractérisé par un certain ensemble d'objets auxquels il appartient lui-même. Si nous distinguons, par exemple, la personne la plus rusée, nous le faisons avec l'aide de l'ensemble des personnes auxquelles appartient cette personne. Et si nous disons : « Cette affirmation est fausse », nous caractérisons l’affirmation en question par référence à l’ensemble de toutes les fausses affirmations qui la contiennent.

Dans tous les paradoxes, l'auto-applicabilité des concepts a lieu, ce qui signifie qu'il y a pour ainsi dire un mouvement en cercle, menant finalement au point de départ. Dans le but de caractériser un objet qui nous intéresse, nous nous tournons vers l'ensemble des objets qui le comprennent. Cependant, il s'avère que pour être défini, il a lui-même besoin de l'objet en question et ne peut être clairement compris sans lui. C’est peut-être dans ce cercle que réside la source des paradoxes.

La situation est toutefois compliquée par le fait qu’un tel cercle est présent dans de nombreux arguments totalement non paradoxaux. La circulaire est une grande variété de moyens d'expression les plus courants, les plus inoffensifs et en même temps les plus pratiques. Des exemples tels que « la plus grande de toutes les villes », « le plus petit de tous les nombres naturels », « l'un des électrons de l'atome de fer », etc., montrent que tous les cas d'auto-applicabilité ne conduisent pas à une contradiction et qu'elle est important non seulement dans le langage ordinaire, mais aussi dans le langage scientifique.

La simple référence à l’utilisation de concepts auto-applicatifs ne suffit donc pas à discréditer les paradoxes. Un critère supplémentaire est nécessaire pour séparer l’auto-applicabilité, conduisant à un paradoxe, de tous ses autres cas.

Il y a eu de nombreuses propositions à cet égard, mais aucune clarification réussie de la circularité n’a été trouvée. Il s’est avéré impossible de caractériser la circularité de telle manière que tout raisonnement circulaire mène à un paradoxe, et que chaque paradoxe soit le résultat d’un raisonnement circulaire.

Une tentative pour trouver un principe logique spécifique, dont la violation serait un trait distinctif de tous les paradoxes logiques, n'a abouti à rien de précis.

Sans aucun doute, une classification des paradoxes serait utile, en les divisant en types et types, en regroupant certains paradoxes et en les contrastant avec d'autres. Cependant, rien de durable n’a été réalisé dans ce domaine non plus.

Le logicien anglais F. Ramsay, décédé en 1930, alors qu'il n'avait pas encore vingt-sept ans, proposa de diviser tous les paradoxes en syntaxiques et sémantiques. Le premier inclut, par exemple, le paradoxe de Russell, le second inclut les paradoxes du « Menteur », de Grelling, etc.

Selon Ramsey, les paradoxes du premier groupe ne contiennent que des concepts appartenant à la logique ou aux mathématiques. Ces derniers incluent des concepts tels que « vérité », « définissabilité », « dénomination », « langage », qui ne sont pas strictement mathématiques, mais plutôt liés à la linguistique ou encore à la théorie de la connaissance. Les paradoxes sémantiques semblent devoir leur apparition non pas à une erreur de logique, mais au flou ou à l'ambiguïté de certains concepts non logiques, c'est pourquoi les problèmes qu'ils posent concernent le langage et doivent être résolus par la linguistique.

Il semblait à Ramsey que les mathématiciens et les logiciens n’avaient pas besoin de s’intéresser aux paradoxes sémantiques. Cependant, il s'est avéré plus tard que certains des résultats les plus significatifs de la logique moderne ont été obtenus précisément dans le cadre d'une étude plus approfondie de ces paradoxes non logiques.

La division des paradoxes proposée par Ramsey a été largement utilisée au début et conserve aujourd’hui une certaine importance. Dans le même temps, il apparaît de plus en plus clairement que cette division est plutôt vague et repose avant tout sur des exemples plutôt que sur une analyse comparative approfondie des deux groupes de paradoxes. Les concepts sémantiques ont désormais reçu des définitions précises, et il est difficile de ne pas admettre que ces concepts relèvent réellement de la logique. Avec le développement de la sémantique, qui définit ses concepts de base en termes de théorie des ensembles, la distinction faite par Ramsey devient de plus en plus floue.

Paradoxes et logique moderne

Quelles conclusions logiques découlent de l’existence de paradoxes ?

Tout d'abord, la présence d'un grand nombre de paradoxes témoigne de la force de la logique en tant que science, et non de sa faiblesse, comme cela pourrait paraître.

Ce n'est pas un hasard si la découverte des paradoxes a coïncidé avec la période de développement le plus intensif de la logique moderne et de ses plus grands succès.

Les premiers paradoxes ont été découverts avant même l'émergence de la logique en tant que science particulière. De nombreux paradoxes ont été découverts au Moyen Âge. Mais plus tard, ils se sont révélés oubliés et ont été redécouverts au cours de notre siècle.

Les logiciens médiévaux n'étaient pas conscients des concepts d'« ensemble » et d'« élément d'un ensemble », qui n'ont été introduits dans la science que dans la seconde moitié du XIXe siècle. Mais le sens des paradoxes s’est tellement affiné au Moyen Âge que déjà à cette époque antique certaines inquiétudes étaient exprimées quant aux concepts auto-applicables. L'exemple le plus simple est le concept « d'être son propre élément », qui apparaît dans de nombreux paradoxes actuels.

Cependant, de telles préoccupations, comme tous les avertissements concernant les paradoxes en général, n’étaient pas suffisamment systématiques et précis jusqu’à notre siècle. Elles n’ont abouti à aucune proposition claire de révision des modes de pensée et d’expression habituels.

Seule la logique moderne a sorti de l'oubli le problème même des paradoxes et découvert ou redécouvert la plupart des paradoxes logiques spécifiques. Elle a en outre montré que les méthodes de pensée traditionnellement étudiées par la logique sont totalement insuffisantes pour éliminer les paradoxes et a indiqué des méthodes fondamentalement nouvelles pour y faire face.

Les paradoxes posent une question importante : où, en fait, certaines méthodes conventionnelles de formation de concepts et de raisonnement nous échouent-elles ? Après tout, ils semblaient tout à fait naturels et convaincants, jusqu'à ce qu'il s'avère qu'ils étaient paradoxaux.

Les paradoxes ébranlent la croyance selon laquelle les méthodes habituelles de pensée théorique, à elles seules et sans aucun contrôle particulier sur elles, permettent un progrès fiable vers la vérité.

Exigeant un changement radical dans une approche trop crédule de la théorisation, les paradoxes représentent une critique acerbe de la logique dans sa forme naïve et intuitive. Ils jouent le rôle d'un facteur qui contrôle et impose des restrictions sur la manière de construire des systèmes de logique déductifs. Et ce rôle peut être comparé à celui d’une expérience qui teste l’exactitude d’hypothèses dans des sciences telles que la physique et la chimie et force des modifications à ces hypothèses.

Un paradoxe dans une théorie parle de l'incompatibilité des hypothèses qui la sous-tendent. Il s’agit d’un symptôme détecté à temps de la maladie, sans lequel il aurait pu être négligé.

Bien entendu, la maladie se manifeste de diverses manières et, en fin de compte, elle peut être révélée sans symptômes aussi aigus que les paradoxes. Par exemple, les fondements de la théorie des ensembles auraient été analysés et clarifiés même si aucun paradoxe n’avait été découvert dans ce domaine. Mais il n’y aurait pas eu l’acuité et l’urgence avec lesquelles les paradoxes qui y étaient découverts posaient le problème de la révision de la théorie des ensembles.

Une littérature abondante est consacrée aux paradoxes, et un grand nombre d'explications ont été proposées. Mais aucune de ces explications n'est généralement acceptée, et il n'y a pas d'accord complet sur l'origine des paradoxes et les moyens de s'en débarrasser.

« Au cours des soixante dernières années, des centaines de livres et d'articles ont été consacrés à la résolution des paradoxes, mais les résultats sont étonnamment médiocres en comparaison des efforts déployés », écrit A. Frenkel. "Il semble", conclut H. Curry son analyse des paradoxes, "qu'une réforme complète de la logique est nécessaire, et la logique mathématique peut devenir l'outil principal pour mener à bien cette réforme."

Éliminer et expliquer les paradoxes

Il y a une différence importante à noter.

Éliminer les paradoxes et les résoudre n’est pas la même chose. Éliminer un paradoxe d'une théorie signifie le reconstruire de telle sorte que l'énoncé paradoxal qu'elle contient s'avère indémontrable. Chaque paradoxe repose sur un grand nombre de définitions, d'hypothèses et d'arguments. Sa conclusion théorique représente une certaine chaîne de raisonnement. Formellement parlant, vous pouvez remettre en question n'importe lequel de ses maillons, les jeter et ainsi briser la chaîne et éliminer le paradoxe. Dans de nombreux travaux, cela se fait et se limite à cela.

Mais cela ne constitue pas encore une solution au paradoxe. Il ne suffit pas de trouver un moyen de l’exclure ; il faut justifier de manière convaincante la solution proposée. Le doute lui-même quant à toute démarche conduisant à un paradoxe doit être fondé.

Tout d’abord, la décision d’abandonner certains moyens logiques utilisés pour dériver un énoncé paradoxal doit être liée à nos considérations générales concernant la nature de la preuve logique et d’autres intuitions logiques. Si tel n’est pas le cas, l’élimination du paradoxe s’avère dépourvue de fondements solides et stables et dégénère en une tâche essentiellement technique.

De plus, le rejet d’une hypothèse, même s’il assure l’élimination d’un paradoxe particulier, ne garantit pas automatiquement l’élimination de tous les paradoxes. Cela suggère que les paradoxes ne devraient pas être « chassés » individuellement. L'exclusion de l'un d'entre eux doit toujours être justifiée de telle sorte qu'il existe une certaine garantie que d'autres paradoxes seront éliminés par la même démarche.

Chaque fois qu'un paradoxe est découvert, écrit A. Tarski, « nous devons soumettre nos modes de pensée à une révision en profondeur, rejeter certaines prémisses auxquelles nous croyions et améliorer les méthodes d'argumentation que nous avons utilisées. Nous faisons cela dans le but non seulement de nous débarrasser des antinomies, mais aussi d’empêcher l’émergence de nouvelles. »

Et enfin, un rejet irréfléchi et imprudent d’hypothèses trop nombreuses ou trop fortes peut simplement conduire au fait que le résultat, bien que ne contenant pas de paradoxes, est une théorie nettement plus faible qui n’a qu’un intérêt privé.

Quel pourrait être l’ensemble de mesures minimum, le moins radical, pour éviter les paradoxes connus ?

Grammaire logique

Une solution consiste à isoler, outre les phrases vraies et fausses, les phrases dénuées de sens. Cette voie a été adoptée par B. Russell. Il a déclaré le raisonnement paradoxal dénué de sens au motif qu'il violait les exigences de la grammaire logique. Toutes les phrases qui ne violent pas les règles de la grammaire ordinaire n’ont pas de sens – elles doivent également satisfaire aux règles d’une grammaire logique spéciale.

Russell a construit une théorie des types logiques, une sorte de grammaire logique dont la tâche était d'éliminer toutes les antinomies connues. Par la suite, cette théorie a été considérablement simplifiée et a été appelée théorie des types simples.

L'idée principale de la théorie des types est l'identification de types d'objets logiquement différents, l'introduction d'une sorte de hiérarchie, ou échelle, des objets considérés. Le type le plus bas, ou zéro, inclut des objets individuels qui ne sont pas des ensembles. Le premier type comprend des ensembles d'objets de type zéro, c'est-à-dire les particuliers ; au second - des ensembles d'ensembles d'individus, etc. En d’autres termes, une distinction est faite entre les objets, les propriétés des objets, les propriétés des propriétés des objets, etc. Parallèlement, certaines restrictions sont introduites sur la construction des propositions. Les propriétés peuvent être attribuées aux objets, les propriétés des propriétés aux propriétés, etc. Mais on ne peut pas affirmer de manière significative que les objets ont des propriétés.

Prenons une série de phrases :

Cette maison est rouge.

Le rouge est une couleur.

La couleur est un phénomène optique.

Dans ces phrases, l'expression « cette maison » désigne un certain objet, le mot « rouge » indique une propriété inhérente à cet objet, « est une couleur » - la propriété de cette propriété (« être rouge ») et « être un phénomène optique" - indique que la propriété "être une couleur" appartient à la propriété "être rouge". Ici, nous avons affaire non seulement aux objets et à leurs propriétés, mais aussi aux propriétés des propriétés (« la propriété d'être rouge a la propriété d'être une couleur »), et même aux propriétés des propriétés des propriétés.

Les trois phrases de la série ci-dessus sont, bien entendu, significatives. Ils sont construits conformément aux exigences de la théorie des types. Mais disons que la phrase « Cette maison est une couleur » viole ces exigences. Il attribue à un objet cette caractéristique qui ne peut appartenir qu'aux propriétés, mais pas aux objets. Une violation similaire est contenue dans la phrase « Cette maison est un phénomène optique ». Ces deux phrases doivent être considérées comme dénuées de sens.

La théorie des types simple élimine le paradoxe de Russell. Cependant, pour éliminer les paradoxes de Liar et Berry, il ne suffit plus de diviser simplement les objets en question en types. Il est nécessaire d’introduire un ordre supplémentaire au sein des types eux-mêmes.

L'élimination des paradoxes peut également être obtenue en refusant d'utiliser des ensembles trop grands, semblables à l'ensemble de tous les ensembles. Cette voie a été proposée par le mathématicien allemand E. Zermelo, qui a relié l'émergence de paradoxes à la construction illimitée d'ensembles. Les ensembles admissibles étaient définis par lui par une certaine liste d'axiomes, formulés de telle manière qu'aucun paradoxe bien connu n'en serait dérivé. En même temps, ces axiomes étaient suffisamment forts pour en déduire les raisonnements habituels des mathématiques classiques, mais sans paradoxes.

Ni ces deux moyens, ni les autres moyens proposés pour éliminer les paradoxes, ne sont généralement acceptés. Il n'y a pas de consensus sur le fait qu'aucune des théories proposées résout les paradoxes logiques, plutôt que de simplement les rejeter sans explication approfondie. Le problème de l’explication des paradoxes est toujours ouvert et toujours important.

L'avenir des paradoxes

G. Frege, le plus grand logicien du siècle dernier, avait malheureusement un très mauvais caractère. De plus, il était inconditionnel et même cruel dans ses critiques envers ses contemporains.

C’est peut-être la raison pour laquelle sa contribution à la logique et aux fondements des mathématiques n’a pas été reconnue pendant longtemps. Et quand la renommée commença à lui venir, le jeune logicien anglais B. Russell lui écrivit qu'une contradiction surgissait dans le système publié dans le premier volume de son livre « Lois fondamentales de l'arithmétique ». Le deuxième volume de ce livre était déjà imprimé, et Frege ne pouvait y ajouter qu'une annexe spéciale, dans laquelle il décrivait cette contradiction (appelée plus tard « le paradoxe de Russell ») et admettait qu'il était incapable de l'éliminer.

Cependant, les conséquences de cette reconnaissance furent tragiques pour Frege. Il a subi un choc violent. Et bien qu'il n'ait alors que 55 ans, il n'a pas publié d'ouvrages plus significatifs sur la logique, bien qu'il ait vécu plus de vingt ans. Il n'a même pas répondu au débat animé suscité par le paradoxe de Russell, ni aux nombreuses solutions proposées à ce paradoxe.

L'impression produite sur les mathématiciens et les logiciens par les paradoxes nouvellement découverts a été bien exprimée par D. Hilbert : « … L'état dans lequel nous nous trouvons actuellement en ce qui concerne les paradoxes est insupportable pour longtemps. Pensez : en mathématiques – cet exemple de fiabilité et de vérité – la formation des concepts et le déroulement des déductions, à mesure que chacun les étudie, les enseigne et les applique, mène à l’absurdité. Où chercher la fiabilité et la vérité, si même la pensée mathématique elle-même échoue ?

Frege était un représentant typique de la logique de la fin du XIXe siècle, libre de tout paradoxe, logique, confiant en ses capacités et prétendant être un critère de rigueur même pour les mathématiques. Les paradoxes montraient que la rigueur absolue atteinte par la prétendue logique n’était qu’une illusion. Ils ont montré sans conteste que la logique – dans la forme intuitive qu’elle avait au tournant du siècle – a besoin d’une profonde révision.

Environ un siècle s'est écoulé depuis le début d'un débat animé sur les paradoxes. La tentative de révision de la logique n’a cependant pas permis de les résoudre sans ambiguïté.

Et en même temps, cette condition n’inquiète pratiquement personne aujourd’hui. Au fil du temps, l'attitude envers les paradoxes est devenue plus calme et encore plus tolérante qu'au moment de leur découverte. Le fait n’est pas seulement que les paradoxes sont devenus quelque chose de familier. Et bien sûr, ils ne les ont pas acceptés. Ils restent toujours au centre de l'attention des logiciens et la recherche de leurs solutions se poursuit activement. La situation a changé avant tout parce que les paradoxes se sont révélés pour ainsi dire localisés. Ils ont trouvé leur place définitive, quoique troublée, dans le large spectre de la recherche logique. Il est devenu clair que la sévérité absolue, telle qu’elle était représentée à la fin du siècle dernier et même parfois au début de celui-ci, est, en principe, un idéal inaccessible.

On s’est également rendu compte qu’il n’existe pas de problème de paradoxes isolé. Les problèmes qui leur sont associés appartiennent à différents types et affectent, par essence, toutes les sections principales de la logique. La découverte d'un paradoxe nous oblige à analyser en profondeur nos intuitions logiques et à nous engager dans une refonte systématique des fondements de la science logique. Dans le même temps, le désir d’éviter les paradoxes n’est ni la seule ni peut-être la tâche principale. Bien qu’ils soient importants, ils ne sont qu’une raison pour réfléchir aux thèmes centraux de la logique. En poursuivant la comparaison des paradoxes avec des symptômes particulièrement distincts d'une maladie, on peut dire que le désir d'éliminer immédiatement les paradoxes s'apparenterait au désir de supprimer de tels symptômes sans se soucier particulièrement de la maladie elle-même. Il ne s’agit pas seulement de résoudre les paradoxes, il faut les expliquer, en approfondissant notre compréhension des lois logiques de la pensée.

Il n’existe pas de liste exhaustive des paradoxes logiques, et ce n’est pas non plus possible.

Les paradoxes considérés ne sont qu’une partie de tous ceux découverts à ce jour. Il est probable que de nombreux autres paradoxes, et même des types complètement nouveaux, seront découverts à l’avenir. Le concept de paradoxe lui-même n'est pas défini au point qu'il soit possible de dresser une liste de paradoxes au moins déjà connus.

«Les paradoxes de la théorie des ensembles constituent un problème très sérieux, non pas pour les mathématiques, mais plutôt pour la logique et la théorie de la connaissance», écrit le mathématicien et logicien autrichien K. Gödel. « La logique est cohérente. Il n'y a pas de paradoxes logiques », explique le mathématicien D. Bochvar. Ces types de divergences sont parfois significatives, parfois verbales. Le point dépend en grande partie de ce que l’on entend exactement par paradoxe logique.

Le caractère unique des paradoxes logiques

Un dictionnaire logique est considéré comme une caractéristique nécessaire des paradoxes logiques.

Les paradoxes classés comme logiques doivent être formulés en termes logiques. Cependant, en logique, il n'existe pas de critères clairs pour diviser les termes en logiques et non logiques. La logique, qui traite de l'exactitude du raisonnement, cherche à réduire au minimum les concepts dont dépend l'exactitude des conclusions appliquées dans la pratique. Mais ce minimum n’est pas prédéterminé de manière univoque. De plus, les énoncés non logiques peuvent être formulés en termes logiques. Il n’est pas toujours possible de déterminer sans ambiguïté si un paradoxe particulier utilise uniquement des prémisses purement logiques.

Les paradoxes logiques ne sont pas strictement séparés de tous les autres paradoxes, de même que ces derniers ne se distinguent pas clairement de tout ce qui est non paradoxal et conforme aux idées dominantes.

Aux premières étapes de l'étude des paradoxes logiques, il semblait qu'ils pouvaient être identifiés par la violation de certaines dispositions ou règles de logique, non encore étudiées. Le principe d'un cercle vicieux introduit par B. Russell revendiquait particulièrement activement le rôle d'une telle règle. Ce principe stipule qu'une collection d'objets ne peut pas contenir de membres définissables uniquement par cette même collection.

Tous les paradoxes ont une propriété commune : l’auto-applicabilité, ou circularité. Dans chacun d'eux, l'objet en question est caractérisé par un certain ensemble d'objets auxquels il appartient lui-même. Si nous distinguons, par exemple, la personne la plus rusée, nous le faisons avec l'aide de l'ensemble des personnes auxquelles appartient cette personne. Et si nous disons : « Cette affirmation est fausse », nous caractérisons l’affirmation en question par référence à l’ensemble de toutes les fausses affirmations qui la contiennent.

Dans tous les paradoxes, l'auto-applicabilité des concepts a lieu, ce qui signifie qu'il y a pour ainsi dire un mouvement en cercle, menant finalement au point de départ. Dans le but de caractériser un objet qui nous intéresse, nous nous tournons vers l'ensemble des objets qui le comprennent. Cependant, il s'avère que pour être défini, il a lui-même besoin de l'objet en question et ne peut être clairement compris sans lui. C’est peut-être dans ce cercle que réside la source des paradoxes.

La situation est toutefois compliquée par le fait qu’un tel cercle est présent dans de nombreux arguments totalement non paradoxaux. La circulaire est une grande variété de moyens d'expression les plus courants, les plus inoffensifs et en même temps les plus pratiques. Des exemples tels que « la plus grande de toutes les villes », « le plus petit de tous les nombres naturels », « l'un des électrons de l'atome de fer », etc., montrent que tous les cas d'auto-applicabilité ne conduisent pas à une contradiction et qu'elle est important non seulement dans le langage ordinaire, mais aussi dans le langage scientifique.

La simple référence à l’utilisation de concepts auto-applicatifs ne suffit donc pas à discréditer les paradoxes. Un critère supplémentaire est nécessaire pour séparer l’auto-applicabilité, conduisant à un paradoxe, de tous ses autres cas.

Il y a eu de nombreuses propositions à cet égard, mais aucune clarification réussie de la circularité n’a été trouvée. Il s’est avéré impossible de caractériser la circularité de telle manière que tout raisonnement circulaire mène à un paradoxe, et que chaque paradoxe soit le résultat d’un raisonnement circulaire.

Une tentative pour trouver un principe logique spécifique, dont la violation serait un trait distinctif de tous les paradoxes logiques, n'a abouti à rien de précis.

Sans aucun doute, une classification des paradoxes serait utile, en les divisant en types et types, en regroupant certains paradoxes et en les contrastant avec d'autres. Cependant, rien de durable n’a été réalisé dans ce domaine non plus.

Le logicien anglais F. Ramsay, décédé en 1930, alors qu'il n'avait pas encore vingt-sept ans, proposa de diviser tous les paradoxes en syntaxiques et sémantiques. Le premier inclut, par exemple, le paradoxe de Russell, le second inclut les paradoxes du « Menteur », de Grelling, etc.

Selon Ramsey, les paradoxes du premier groupe ne contiennent que des concepts appartenant à la logique ou aux mathématiques. Ces derniers incluent des concepts tels que « vérité », « définissabilité », « dénomination », « langage », qui ne sont pas strictement mathématiques, mais plutôt liés à la linguistique ou encore à la théorie de la connaissance. Les paradoxes sémantiques semblent devoir leur apparition non pas à une erreur de logique, mais au flou ou à l'ambiguïté de certains concepts non logiques, c'est pourquoi les problèmes qu'ils posent concernent le langage et doivent être résolus par la linguistique.

Il semblait à Ramsey que les mathématiciens et les logiciens n’avaient pas besoin de s’intéresser aux paradoxes sémantiques. Cependant, il s'est avéré plus tard que certains des résultats les plus significatifs de la logique moderne ont été obtenus précisément dans le cadre d'une étude plus approfondie de ces paradoxes non logiques.

La division des paradoxes proposée par Ramsey a été largement utilisée au début et conserve aujourd’hui une certaine importance. Dans le même temps, il apparaît de plus en plus clairement que cette division est plutôt vague et repose avant tout sur des exemples plutôt que sur une analyse comparative approfondie des deux groupes de paradoxes. Les concepts sémantiques ont désormais reçu des définitions précises, et il est difficile de ne pas admettre que ces concepts relèvent réellement de la logique. Avec le développement de la sémantique, qui définit ses concepts de base en termes de théorie des ensembles, la distinction faite par Ramsey devient de plus en plus floue.

Paradoxes et logique moderne

Quelles conclusions logiques découlent de l’existence de paradoxes ?

Tout d'abord, la présence d'un grand nombre de paradoxes témoigne de la force de la logique en tant que science, et non de sa faiblesse, comme cela pourrait paraître.

Ce n'est pas un hasard si la découverte des paradoxes a coïncidé avec la période de développement le plus intensif de la logique moderne et de ses plus grands succès.

Les premiers paradoxes ont été découverts avant même l'émergence de la logique en tant que science particulière. De nombreux paradoxes ont été découverts au Moyen Âge. Mais plus tard, ils se sont révélés oubliés et ont été redécouverts au cours de notre siècle.

Les logiciens médiévaux n'étaient pas conscients des concepts d'« ensemble » et d'« élément d'un ensemble », qui n'ont été introduits dans la science que dans la seconde moitié du XIXe siècle. Mais le sens des paradoxes s’est tellement affiné au Moyen Âge que déjà à cette époque antique certaines inquiétudes étaient exprimées quant aux concepts auto-applicables. L'exemple le plus simple est le concept « d'être son propre élément », qui apparaît dans de nombreux paradoxes actuels.

Cependant, de telles préoccupations, comme tous les avertissements concernant les paradoxes en général, n’étaient pas suffisamment systématiques et précis jusqu’à notre siècle. Elles n’ont abouti à aucune proposition claire de révision des modes de pensée et d’expression habituels.

Seule la logique moderne a sorti de l'oubli le problème même des paradoxes et découvert ou redécouvert la plupart des paradoxes logiques spécifiques. Elle a en outre montré que les méthodes de pensée traditionnellement étudiées par la logique sont totalement insuffisantes pour éliminer les paradoxes et a indiqué des méthodes fondamentalement nouvelles pour y faire face.

Les paradoxes posent une question importante : où, en fait, certaines méthodes conventionnelles de formation de concepts et de raisonnement nous échouent-elles ? Après tout, ils semblaient tout à fait naturels et convaincants, jusqu'à ce qu'il s'avère qu'ils étaient paradoxaux.

Les paradoxes ébranlent la croyance selon laquelle les méthodes habituelles de pensée théorique, à elles seules et sans aucun contrôle particulier sur elles, permettent un progrès fiable vers la vérité.

Exigeant un changement radical dans une approche trop crédule de la théorisation, les paradoxes représentent une critique acerbe de la logique dans sa forme naïve et intuitive. Ils jouent le rôle d'un facteur qui contrôle et impose des restrictions sur la manière de construire des systèmes de logique déductifs. Et ce rôle peut être comparé à celui d’une expérience qui teste l’exactitude d’hypothèses dans des sciences telles que la physique et la chimie et force des modifications à ces hypothèses.

Un paradoxe dans une théorie parle de l'incompatibilité des hypothèses qui la sous-tendent. Il s’agit d’un symptôme détecté à temps de la maladie, sans lequel il aurait pu être négligé.

Bien entendu, la maladie se manifeste de diverses manières et, en fin de compte, elle peut être révélée sans symptômes aussi aigus que les paradoxes. Par exemple, les fondements de la théorie des ensembles auraient été analysés et clarifiés même si aucun paradoxe n’avait été découvert dans ce domaine. Mais il n’y aurait pas eu l’acuité et l’urgence avec lesquelles les paradoxes qui y étaient découverts posaient le problème de la révision de la théorie des ensembles.

Une littérature abondante est consacrée aux paradoxes, et un grand nombre d'explications ont été proposées. Mais aucune de ces explications n'est généralement acceptée, et il n'y a pas d'accord complet sur l'origine des paradoxes et les moyens de s'en débarrasser.

« Au cours des soixante dernières années, des centaines de livres et d'articles ont été consacrés à la résolution des paradoxes, mais les résultats sont étonnamment médiocres en comparaison des efforts déployés », écrit A. Frenkel. "Il semble", conclut H. Curry son analyse des paradoxes, "qu'une réforme complète de la logique est nécessaire, et la logique mathématique peut devenir l'outil principal pour mener à bien cette réforme."

Éliminer et expliquer les paradoxes

Il y a une différence importante à noter.

Éliminer les paradoxes et les résoudre n’est pas la même chose. Éliminer un paradoxe d'une théorie signifie le reconstruire de telle sorte que l'énoncé paradoxal qu'elle contient s'avère indémontrable. Chaque paradoxe repose sur un grand nombre de définitions, d'hypothèses et d'arguments. Sa conclusion théorique représente une certaine chaîne de raisonnement. Formellement parlant, vous pouvez remettre en question n'importe lequel de ses maillons, les jeter et ainsi briser la chaîne et éliminer le paradoxe. Dans de nombreux travaux, cela se fait et se limite à cela.

Mais cela ne constitue pas encore une solution au paradoxe. Il ne suffit pas de trouver un moyen de l’exclure ; il faut justifier de manière convaincante la solution proposée. Le doute lui-même quant à toute démarche conduisant à un paradoxe doit être fondé.

Tout d’abord, la décision d’abandonner certains moyens logiques utilisés pour dériver un énoncé paradoxal doit être liée à nos considérations générales concernant la nature de la preuve logique et d’autres intuitions logiques. Si tel n’est pas le cas, l’élimination du paradoxe s’avère dépourvue de fondements solides et stables et dégénère en une tâche essentiellement technique.

De plus, le rejet d’une hypothèse, même s’il assure l’élimination d’un paradoxe particulier, ne garantit pas automatiquement l’élimination de tous les paradoxes. Cela suggère que les paradoxes ne devraient pas être « chassés » individuellement. L'exclusion de l'un d'entre eux doit toujours être justifiée de telle sorte qu'il existe une certaine garantie que d'autres paradoxes seront éliminés par la même démarche.

Chaque fois qu'un paradoxe est découvert, écrit A. Tarski, « nous devons soumettre nos modes de pensée à une révision en profondeur, rejeter certaines prémisses auxquelles nous croyions et améliorer les méthodes d'argumentation que nous avons utilisées. Nous faisons cela dans le but non seulement de nous débarrasser des antinomies, mais aussi d’empêcher l’émergence de nouvelles. »

Et enfin, un rejet irréfléchi et imprudent d’hypothèses trop nombreuses ou trop fortes peut simplement conduire au fait que le résultat, bien que ne contenant pas de paradoxes, est une théorie nettement plus faible qui n’a qu’un intérêt privé.

Quel pourrait être l’ensemble de mesures minimum, le moins radical, pour éviter les paradoxes connus ?

Grammaire logique

Une solution consiste à isoler, outre les phrases vraies et fausses, les phrases dénuées de sens. Cette voie a été adoptée par B. Russell. Il a déclaré le raisonnement paradoxal dénué de sens au motif qu'il violait les exigences de la grammaire logique. Toutes les phrases qui ne violent pas les règles de la grammaire ordinaire n’ont pas de sens – elles doivent également satisfaire aux règles d’une grammaire logique spéciale.

Russell a construit une théorie des types logiques, une sorte de grammaire logique dont la tâche était d'éliminer toutes les antinomies connues. Par la suite, cette théorie a été considérablement simplifiée et a été appelée théorie des types simples.

L'idée principale de la théorie des types est l'identification de types d'objets logiquement différents, l'introduction d'une sorte de hiérarchie, ou échelle, des objets considérés. Le type le plus bas, ou zéro, inclut des objets individuels qui ne sont pas des ensembles. Le premier type comprend des ensembles d'objets de type zéro, c'est-à-dire les particuliers ; au second - des ensembles d'ensembles d'individus, etc. En d’autres termes, une distinction est faite entre les objets, les propriétés des objets, les propriétés des propriétés des objets, etc. Parallèlement, certaines restrictions sont introduites sur la construction des propositions. Les propriétés peuvent être attribuées aux objets, les propriétés des propriétés aux propriétés, etc. Mais on ne peut pas affirmer de manière significative que les objets ont des propriétés.

Prenons une série de phrases :

Cette maison est rouge.

Le rouge est une couleur.

La couleur est un phénomène optique.

Dans ces phrases, l'expression « cette maison » désigne un certain objet, le mot « rouge » indique une propriété inhérente à cet objet, « est une couleur » - la propriété de cette propriété (« être rouge ») et « être un phénomène optique" - indique que la propriété "être une couleur" appartient à la propriété "être rouge". Ici, nous avons affaire non seulement aux objets et à leurs propriétés, mais aussi aux propriétés des propriétés (« la propriété d'être rouge a la propriété d'être une couleur »), et même aux propriétés des propriétés des propriétés.

Les trois phrases de la série ci-dessus sont, bien entendu, significatives. Ils sont construits conformément aux exigences de la théorie des types. Mais disons que la phrase « Cette maison est une couleur » viole ces exigences. Il attribue à un objet cette caractéristique qui ne peut appartenir qu'aux propriétés, mais pas aux objets. Une violation similaire est contenue dans la phrase « Cette maison est un phénomène optique ». Ces deux phrases doivent être considérées comme dénuées de sens.

La théorie des types simple élimine le paradoxe de Russell. Cependant, pour éliminer les paradoxes de Liar et Berry, il ne suffit plus de diviser simplement les objets en question en types. Il est nécessaire d’introduire un ordre supplémentaire au sein des types eux-mêmes.

L'élimination des paradoxes peut également être obtenue en refusant d'utiliser des ensembles trop grands, semblables à l'ensemble de tous les ensembles. Cette voie a été proposée par le mathématicien allemand E. Zermelo, qui a relié l'émergence de paradoxes à la construction illimitée d'ensembles. Les ensembles admissibles étaient définis par lui par une certaine liste d'axiomes, formulés de telle manière qu'aucun paradoxe bien connu n'en serait dérivé. En même temps, ces axiomes étaient suffisamment forts pour en déduire les raisonnements habituels des mathématiques classiques, mais sans paradoxes.

Ni ces deux moyens, ni les autres moyens proposés pour éliminer les paradoxes, ne sont généralement acceptés. Il n'y a pas de consensus sur le fait qu'aucune des théories proposées résout les paradoxes logiques, plutôt que de simplement les rejeter sans explication approfondie. Le problème de l’explication des paradoxes est toujours ouvert et toujours important.

L'avenir des paradoxes

G. Frege, le plus grand logicien du siècle dernier, avait malheureusement un très mauvais caractère. De plus, il était inconditionnel et même cruel dans ses critiques envers ses contemporains.

C’est peut-être la raison pour laquelle sa contribution à la logique et aux fondements des mathématiques n’a pas été reconnue pendant longtemps. Et quand la renommée commença à lui venir, le jeune logicien anglais B. Russell lui écrivit qu'une contradiction surgissait dans le système publié dans le premier volume de son livre « Lois fondamentales de l'arithmétique ». Le deuxième volume de ce livre était déjà imprimé, et Frege ne pouvait y ajouter qu'une annexe spéciale, dans laquelle il décrivait cette contradiction (appelée plus tard « le paradoxe de Russell ») et admettait qu'il était incapable de l'éliminer.

Cependant, les conséquences de cette reconnaissance furent tragiques pour Frege. Il a subi un choc violent. Et bien qu'il n'ait alors que 55 ans, il n'a pas publié d'ouvrages plus significatifs sur la logique, bien qu'il ait vécu plus de vingt ans. Il n'a même pas répondu au débat animé suscité par le paradoxe de Russell, ni aux nombreuses solutions proposées à ce paradoxe.

L'impression produite sur les mathématiciens et les logiciens par les paradoxes nouvellement découverts a été bien exprimée par D. Hilbert : « … L'état dans lequel nous nous trouvons actuellement en ce qui concerne les paradoxes est insupportable pour longtemps. Pensez : en mathématiques – cet exemple de fiabilité et de vérité – la formation des concepts et le déroulement des déductions, à mesure que chacun les étudie, les enseigne et les applique, mène à l’absurdité. Où chercher la fiabilité et la vérité, si même la pensée mathématique elle-même échoue ?

Frege était un représentant typique de la logique de la fin du XIXe siècle, libre de tout paradoxe, logique, confiant en ses capacités et prétendant être un critère de rigueur même pour les mathématiques. Les paradoxes montraient que la rigueur absolue atteinte par la prétendue logique n’était qu’une illusion. Ils ont montré sans conteste que la logique – dans la forme intuitive qu’elle avait au tournant du siècle – a besoin d’une profonde révision.

Environ un siècle s'est écoulé depuis le début d'un débat animé sur les paradoxes. La tentative de révision de la logique n’a cependant pas permis de les résoudre sans ambiguïté.

Et en même temps, cette condition n’inquiète pratiquement personne aujourd’hui. Au fil du temps, l'attitude envers les paradoxes est devenue plus calme et encore plus tolérante qu'au moment de leur découverte. Le fait n’est pas seulement que les paradoxes sont devenus quelque chose de familier. Et bien sûr, ils ne les ont pas acceptés. Ils restent toujours au centre de l'attention des logiciens et la recherche de leurs solutions se poursuit activement. La situation a changé avant tout parce que les paradoxes se sont révélés pour ainsi dire localisés. Ils ont trouvé leur place définitive, quoique troublée, dans le large spectre de la recherche logique. Il est devenu clair que la sévérité absolue, telle qu’elle était représentée à la fin du siècle dernier et même parfois au début de celui-ci, est, en principe, un idéal inaccessible.

On s’est également rendu compte qu’il n’existe pas de problème de paradoxes isolé. Les problèmes qui leur sont associés appartiennent à différents types et affectent, par essence, toutes les sections principales de la logique. La découverte d'un paradoxe nous oblige à analyser en profondeur nos intuitions logiques et à nous engager dans une refonte systématique des fondements de la science logique. Dans le même temps, le désir d’éviter les paradoxes n’est ni la seule ni peut-être la tâche principale. Bien qu’ils soient importants, ils ne sont qu’une raison pour réfléchir aux thèmes centraux de la logique. En poursuivant la comparaison des paradoxes avec des symptômes particulièrement distincts d'une maladie, on peut dire que le désir d'éliminer immédiatement les paradoxes s'apparenterait au désir de supprimer de tels symptômes sans se soucier particulièrement de la maladie elle-même. Il ne s’agit pas seulement de résoudre les paradoxes, il faut les expliquer, en approfondissant notre compréhension des lois logiques de la pensée.

2. Paradoxe. Concept, exemples

Passant à la question des paradoxes, on ne peut s'empêcher de parler de leur rapport avec les sophismes. Le fait est que parfois, il n’y a pas de ligne claire permettant de comprendre à quoi vous avez affaire.

Cependant, les paradoxes sont considérés avec une approche beaucoup plus sérieuse, alors que le sophisme joue souvent le rôle d'une plaisanterie, rien de plus. Cela est dû à la nature de la théorie et de la science : si elle contient des paradoxes, cela signifie que les idées sous-jacentes sont imparfaites.

Ce qui précède peut signifier que l’approche moderne des sophismes ne couvre pas toute l’étendue du problème. De nombreux paradoxes sont interprétés comme du sophisme, même s'ils ne perdent pas leurs propriétés originelles.

Paradoxe on peut appeler un raisonnement qui prouve non seulement la vérité, mais aussi la fausseté d'un certain jugement, c'est-à-dire prouvant à la fois le jugement lui-même et sa négation. Autrement dit, paradoxe- ce sont deux affirmations opposées et incompatibles, pour chacune desquelles il existe des arguments apparemment convaincants.

L'un des premiers paradoxes et, bien sûr, exemplaires, a été enregistré Eubulide- Poète et philosophe grec, crétois. Le paradoxe s'appelle "Menteur". Ce paradoxe nous est parvenu sous cette forme : « Épiménide prétend que tous les Crétois sont des menteurs. S’il dit la vérité, alors il ment. Est-ce qu'il ment ou dit la vérité ? Ce paradoxe est appelé le « roi des paradoxes logiques ». À ce jour, personne n’a réussi à le résoudre. L’essence de ce paradoxe est que lorsqu’une personne dit : « Je mens », elle ne ment pas et ne dit pas la vérité, mais, plus précisément, elle fait les deux à la fois. En d’autres termes, si nous supposons qu’une personne dit la vérité, il s’avère qu’elle ment en réalité, et si elle ment, cela signifie qu’elle a déjà dit la vérité à ce sujet. Ces deux faits contradictoires sont énoncés ici. Bien sûr, selon la loi du tiers exclu, cela est impossible, mais c'est pourquoi ce paradoxe a reçu un « titre » si élevé.

Les habitants de la ville d'Élée, les Éléates, ont grandement contribué au développement de la théorie de l'espace et du temps. Ils s’appuyaient sur l’idée de​​l’impossibilité de la non-existence, qui appartient à Parménide. Toute pensée selon cette idée est une pensée sur ce qui existe. En même temps, tout mouvement était nié : l'espace du monde était considéré comme un tout, le monde était un, sans parties.

Philosophe grec ancien Zénon d'Élée connu pour avoir composé une série de paradoxes sur l'infini - la soi-disant aporie de Zénon.

Zénon, élève de Parménide, développa ces idées, pour lesquelles il fut appelé Aristote"le fondateur de la dialectique". La dialectique était comprise comme l’art d’atteindre la vérité dans un différend en identifiant les contradictions dans le jugement de l’adversaire et en les détruisant.

"Achille et la tortue" représente une aporie sur le mouvement. Comme vous le savez, Achille est un ancien héros grec. Il avait des capacités sportives remarquables. La tortue est un animal très lent. Cependant, dans l'aporie, Achille perd une course face à la tortue. Disons qu'Achille doit courir une distance égale à 1, et qu'il court deux fois plus vite que la tortue, cette dernière doit courir 1/2. Leur mouvement commence simultanément. Il s'avère qu'après avoir parcouru une distance de 1/2, Achille constatera que la tortue a réussi à parcourir une distance de 1/4 en même temps. Peu importe combien Achille essaie de dépasser la tortue, elle aura exactement la moitié de l'avance. Achille n’est donc pas destiné à rattraper la tortue, ce mouvement est éternel, il ne peut s’achever.

L’impossibilité de terminer cette séquence est qu’il lui manque le dernier élément. A chaque fois, après avoir indiqué le membre suivant de la séquence, on peut continuer en indiquant le suivant.

Le paradoxe réside ici dans le fait que la séquence sans fin d’événements successifs doit en réalité prendre fin, même si nous ne pouvions pas imaginer cette fin.

Une autre aporie s'appelle "dichotomie". Le raisonnement repose sur les mêmes principes que le précédent. Pour aller jusqu'au bout, il faut faire la moitié du chemin. Dans ce cas, la moitié du chemin devient un chemin, et pour le parcourir, il faut en mesurer la moitié (c'est-à-dire déjà la moitié de la moitié). Cela continue à l’infini.

Ici l'ordre d'apparition est inversé par rapport à l'aporie précédente, c'est-à-dire (1/2)n..., (1/2)3, (1/2)2, (1/2)1. La série ici n’a pas de premier point, tandis que l’aporie « Achille et la Tortue » n’a pas eu de dernier.

De cette aporie on tire la conclusion que le mouvement ne peut pas commencer. Sur la base des apories évoquées, le mouvement ne peut ni se terminer ni commencer. Cela veut dire qu'il est parti.

Réfutation de l’aporie « Achille et la Tortue ».

Comme dans l'aporie, Achille apparaît dans sa réfutation, non pas une, mais deux tortues. L'un d'eux est plus proche que l'autre. Le mouvement commence également simultanément. Achille court en dernier. Pendant le temps qu'Achille parcourt dans un premier temps la distance qui les sépare, la tortue la plus proche aura le temps de ramper un peu en avant, ce qui continuera indéfiniment. Achille se rapprochera de plus en plus de la tortue, mais ne pourra jamais la rattraper. Malgré la fausseté évidente, il n'y a pas de réfutation logique à une telle affirmation. Cependant, si Achille commence à rattraper la tortue lointaine, sans prêter attention à celle qui se trouve à proximité, il pourra, selon la même aporie, s'en approcher. Et si tel est le cas, il dépassera la tortue la plus proche.

Cela conduit à une contradiction logique.

Pour réfuter la réfutation, c'est-à-dire pour défendre l'aporie, ce qui est étrange en soi, ils proposent de se débarrasser du fardeau des idées figuratives. Et révéler l’essence formelle de l’affaire. Ici, il faut dire que l'aporie elle-même repose sur des idées figuratives, et les rejeter signifie aussi la réfuter. Et la réfutation est assez formelle. Le fait qu’au lieu d’une dans la réfutation il y ait deux tortues ne la rend pas plus figurative qu’une aporie. En général, il est difficile de parler de concepts qui ne reposent pas sur des idées figuratives. Même des concepts philosophiques aussi très abstraits que l'être, la conscience et autres ne sont compris que grâce aux images qui leur correspondent. Sans l’image derrière le mot, celui-ci ne resterait qu’un ensemble de symboles et de sons.

Les étapes impliquent l'existence de segments indivisibles dans l'espace et le mouvement des objets qui s'y trouvent. Cette aporie s’appuie sur les précédentes. Prenez une rangée d'objets stationnaires et deux se rapprochant l'un de l'autre. De plus, chaque ligne mobile par rapport à la ligne immobile ne traverse qu'un seul segment par unité de temps. Cependant, par rapport au mouvement un - deux. Ce qui est considéré comme contradictoire. On dit aussi qu'en position intermédiaire (quand une rangée a déjà bougé, mais pas l'autre), il n'y a pas de place pour une rangée stationnaire. La position intermédiaire résulte du fait que les segments sont indivisibles et que le mouvement, même s'il est commencé en même temps, doit passer par une étape intermédiaire lorsque la première valeur d'une ligne mobile coïncide avec la deuxième valeur de la seconde (mouvement sous la ligne mobile). la condition d'indivisibilité des segments est dépourvue de finesse). L'état de repos se produit lorsque les secondes valeurs de toutes les séries coïncident. Une rangée stationnaire, si l'on suppose le mouvement simultané des rangées, doit être dans une position intermédiaire entre les rangées mobiles, mais cela est impossible, puisque les segments sont indivisibles.

1. Sophisme. Concept, exemples En élargissant cette problématique, il faut dire que tout sophisme est une erreur. Les paralogismes se distinguent également en logique. La différence entre ces deux types d’erreurs est que la première (sophisme) a été commise intentionnellement, tandis que la seconde (paralogisme) a été commise par accident.