Énoncez le théorème des fonctions implicites. Conditions nécessaires pour l'extremum d'une fonction de plusieurs variables

Si une fonction est donnée par l'équation y=ƒ(x), résolue par rapport à y, alors la fonction est donnée sous forme explicite (fonction explicite).

Sous tâche implicite les fonctions comprennent la définition d'une fonction sous la forme d'une équation F(x;y)=0, non résolue par rapport à y.

Toute fonction explicitement donnée y=ƒ (x) peut être écrite comme implicitement donnée par l'équation ƒ(x)-y=0, mais pas l'inverse.

Il n'est pas toujours facile, et parfois impossible, de résoudre une équation pour y (par exemple, y+2x+cozy-1=0 ou 2 y -x+y=0).

Si la fonction implicite est donnée par l'équation F(x; y) = 0, alors pour trouver la dérivée de y par rapport à x il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation par rapport à y : il suffit de différencier cette équation par rapport à x, en considérant y en fonction de x, puis résolvez l'équation résultante pour y."

La dérivée d'une fonction implicite est exprimée en termes d'argument x et de fonction y.

Théorème d'existence et de différentiabilité d'une fonction définie implicitement

Laissez la fonction F(x,oui) satisfait aux conditions

F(x 0,oui 0) = 0 ;

dérivées partielles F"x Et F"oui continu dans un certain voisinage du point ( x 0,oui 0) ;

F"oui(x 0,oui 0) ≠ 0 .

équation F(x,oui) = 0 définit implicitement dans un certain voisinage du point x 0 la seule fonction continue oui(x) satisfaisant la condition oui(x 0) =oui 0 .

fonction oui(x) a une dérivée continue au voisinage du point x 0 .

Découvrons la signification des conditions du théorème.

Existence d'une fonction implicite continue oui=f(x) à proximité du point ( x 0,oui 0) découle du théorème d'existence, puisque :

la condition 1 garantit l'existence d'un point dont les coordonnées satisfont à l'équation F(x,oui) = 0 ;

La condition 2 implique la continuité de la fonction F(x,oui) à proximité du point ( x 0,oui 0) , et de la condition 3 - sa monotonie par rapport à oui pour chaque fixe x de ce voisinage.

Par conséquent, les conditions 1 à 3 garantissent le respect des conditions d'existence de la fonction implicite oui(x) satisfaisant la condition oui(x 0) =oui 0 et continu au voisinage du point x 0.

1. Calcul des dérivées partielles d'une fonction spécifiée implicitement.

Lorsque les conditions appropriées sont remplies, l’équation définit implicitement une fonction. La même équation peut définir implicitement la fonction ou.

Dérivée d'une fonction implicite. Lors du calcul de la dérivée d'une fonction implicite, nous utiliserons la règle de différenciation d'une fonction complexe. Différencions l'équation : . De là, nous obtenons une formule pour la dérivée d'une fonction spécifiée implicitement :. De la même manière, il n'est pas difficile d'obtenir des formules pour les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables spécifiées implicitement, par exemple par l'équation :,.

1. Conditions nécessaires pour un extremum local d'une fonction de plusieurs variables. Extremum local des fonctions de plusieurs variables. Conditions nécessaires à un extremum local inconditionnel.

Définition : Soit une fonction donnée n-variables

Soit un point M 0 avec des coordonnées , le point M 0 est appelé max(min) local si   okr du point M 0 : x  okr est valide

(x   env), env est appelé un ensemble (en n espace dimensionnel).

Point localmaximumouminappelé le point extrême.

Conditions nécessaires pour un extremum d'une fonction de plusieurs variables.

Définition: point fixe. Si une fonction est dérivable au point M 0, alors une condition nécessaire à l'existence d'un extremum en ce point est l'exigence qu'elle soit stationnaire :

(, Si)

Point fixe – le point où toutes les dérivées partielles par rapport à tous les arguments sont égales à 0.

Preuve: Corrigeons toutes les variables en ne laissant que x 1,

en fixant toute autre variable, nous obtenons la même chose.

Définition : Une condition nécessaire pour un extremum.

Au point extrême de la fonction n-variables, le différentiel passe à zéro.

Si extremum local, si- sont indépendants

Commentaire: si la condition nécessaire pour un extremum est satisfaite, alors ce n’est pas nécessairement un extremum.

Vérité : Si un point est stationnaire, alors ce n'est pas forcément un extremum, EN GÉNÉRAL ! L'extremum est toujours un point stationnaire !

Exemple : (0,0),x>0, y>0  z>0, x<0, y<0 z<0, но dz =0.

Théorème des fonctions implicites- un nom général pour les théorèmes qui garantissent l'existence locale et décrivent les propriétés fonction implicite, c'est-à-dire les fonctions

$y=f(x)$, $f:X\backslash à\; Y$,

donné par l'équation

$F(x,y)=z\_0$, $F:X\backslash fois\; Y\backslash à\; Z$

et le sens $z\_0\backslash dans\; Z$ fixé.

Cas unidimensionnel

Le théorème le plus simple sur la fonction implicite est le suivant.

On suppose généralement en outre que la fonction $F$ est continûment différentiable dans un voisinage du point $(x\_0,y\_0)$. Dans ce cas, une monotonie stricte découle de la condition $F\_y"(x\_0,y\_0)\backslash ne\; 0\backslash quad$, Où $F\_y"$ désigne la dérivée partielle $F$ Par $oui$. De plus, dans ce cas la fonction $f$ est également continuellement différentiable et sa dérivée peut être calculée à l'aide de la formule

$f"(x)\; =\; -\; \backslash frac(F\_x"(x,\; f(x)))(F\_y"(x,\; f(x))).$

Cas multidimensionnel

Laisser $\backslash R^n$ Et $\backslash R^m$- des espaces avec des coordonnées $x=(x\_1,\backslash points,x\_n)$ Et $y=(y\_1,\backslash points,y\_m)$, respectivement. Considérez la cartographie $F=(F\_1,\backslash ldots,F\_m),$ $F\_i\; =\; F\_i(x,y),$ qui affiche un quartier $W$ points $(x\_0,y\_0)\backslash in\backslash R^n\backslash times\backslash R^m$ dans l'espace $\backslash R^m$.

Une généralisation naturelle du théorème précédent au cas des applications non lisses est le théorème suivantː

Voir aussi

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Littérature

• Zorich V.A. Analyse mathématique, Toute édition
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Fondements de l'analyse mathématique, 3e éd., partie 1, M., 1971
• Kolmogorov A.N., Fomin S.V.Éléments de théorie des fonctions et analyse fonctionnelle, 5e éd., M., 1981
• Lyusternik L.A., Sobolev V.I.Éléments d'analyse fonctionnelle, 2e éd., M., 1965
• Nikolski S.M. Cours d'analyse mathématique, 2e éd., vol. 1-2, M., 1975
• Pontriaguine L.S.Équations différentielles ordinaires, 4e éd., M., 1974 - §33
• Schwartz L. Analyse, trad. du français, tome 1, M., 1972

Remarques

Extrait caractérisant le théorème des fonctions implicites

Lorsqu'une personne est en mouvement, elle se fixe toujours un objectif pour ce mouvement. Pour parcourir mille kilomètres à pied, une personne doit penser qu’il y a quelque chose de bon au-delà de ces mille kilomètres. Il faut avoir une idée de la terre promise pour avoir la force d'avancer.
La terre promise lors de l’avancée française était Moscou ; lors de la retraite, c’était la patrie. Mais la patrie était trop loin, et pour une personne marchant mille milles, il a certainement besoin de se dire, oubliant le but final : « Aujourd'hui, je parcourrai quarante milles vers un lieu de repos et d'hébergement pour la nuit », et au premier voyage, ce lieu de repos obscurcit le but final et concentre sur soi tous les désirs et tous les espoirs. Les aspirations exprimées chez un individu augmentent toujours dans la foule.
Pour les Français, qui reprenaient l'ancienne route de Smolensk, le but final de leur patrie était trop lointain, et le but le plus proche, celui vers lequel tendaient tous les désirs et tous les espoirs, s'intensifiant dans des proportions énormes dans la foule, était Smolensk. Non pas parce que les gens savaient qu'il y avait beaucoup de provisions et de troupes fraîches à Smolensk, non pas parce qu'on le leur avait dit (au contraire, les plus hauts gradés de l'armée et Napoléon lui-même savaient qu'il y avait peu de nourriture là-bas), mais parce que cela seul pourrait leur donner la force d’avancer et d’endurer de véritables épreuves. Ceux qui savaient et ceux qui ne savaient pas, se trompant également quant à la terre promise, se sont battus pour Smolensk.
Arrivés sur la grande route, les Français ont couru avec une énergie étonnante et une vitesse inouïe vers leur objectif imaginaire. Outre cette raison de désir commun, qui unissait les foules de Français en un tout et leur donnait de l'énergie, il y avait une autre raison qui les liait. La raison était leur nombre. Leur énorme masse elle-même, comme dans la loi physique de l'attraction, attirait des atomes individuels de personnes. Ils se déplaçaient avec leur masse de cent mille hommes comme un État tout entier.
Chacun d'eux ne voulait qu'une chose : être capturé, se débarrasser de toutes les horreurs et des malheurs. Mais, d’une part, la force du désir commun d’atteindre l’objectif de Smolensk a porté tout le monde dans la même direction ; d'autre part, il était impossible aux corps d'armée de se rendre à la compagnie en captivité, et, malgré le fait que les Français profitaient de toutes les occasions pour se débarrasser les uns des autres et, au moindre prétexte décent, pour se rendre en captivité, ces prétextes n'ont pas toujours eu lieu. Leur nombre même et leur mouvement serré et rapide les privaient de cette opportunité et rendaient non seulement difficile, mais impossible aux Russes d'arrêter ce mouvement, vers lequel était dirigée toute l'énergie de la masse des Français. La déchirure mécanique du corps ne pouvait accélérer le processus de décomposition au-delà d'une certaine limite.

THÉORIE DES FONCTIONS IMPLICITES ET SES APPLICATIONS

§ 1. La notion de fonction implicite

En mathématiques et dans leurs applications, on est confronté à des problèmes lorsque la variable toi, qui au sens du problème est fonction des arguments X, à, ... , est spécifié par équation fonctionnelle

F(toi, x, y, ...) = 0. (1)

Dans ce cas, ils disent que toi en fonction des arguments x, y,... est spécifié implicitement . Ainsi, par exemple, la fonction toi = - , vu en cercle x 2 + oui 2 ≤ 1 , peut être implicitement spécifié par l'équation fonctionnelle

F(toi, x, y) = u2+x 2 + oui 2 – 1 = 0. (2)

Naturellement, la question se pose dans quelles conditions l'équation fonctionnelle (1) certainement résoluble par rapport à toi, c'est-à-dire certainement définit une fonction explicite toi= φ(x, y, ...) et la question plus subtile dans quelles conditions cette fonction explicite est-elle continu et différenciable . Ces questions ne sont pas simples. Ainsi, l'équation fonctionnelle (2), d'une manière générale, définit dans le cercle x 2 + oui 2 ≤ 1 , à l'exception de la fonction explicite ci-dessus toi = - , une infinité d'autres fonctions. Ce sont la fonction toi = + , ainsi que toute fonction toi, égal + pour certains points (x, y) du cercle x 2 + oui 2 ≤ 1 et égal - pour les points restants de ce cercle. Clarifier la question des conditions qui garantissent la résolvabilité sans ambiguïté de l'équation (2) par rapport à toi, passons à l'illustration géométrique. L'équation (2) définit dans l'espace (toi, x, y) sphère S rayon 1 avec centre à l'origine (Fig. 1). Prenons-le sur la sphère S indiquer M. 0 (toi 0 , x 0 , oui 0), je ne suis pas allongé dans l'avion Ohoo, c'est-à-dire celui pour lequel toi 0 ≠ 0. Fait évidemment partie d'une sphère S, situé dans un voisinage suffisamment petit du point M. 0 , projeté de manière unique sur le plan Oxy . Analytiquement, cela signifie que si l’on considère la fonction F(toi, x, y) =toi 2 + x 2 + oui 2 – 1 uniquement dans le voisinage spécifié du point M. 0 , alors l'équation (2) peut être résolue de manière unique par rapport à toi et définit une seule fonction explicite toi = + à toi 0 > 0 et toi = - à toi 0 < 0

Si sur la sphère S prendre un point M. 1 (0, x 1, oui 1), allongé dans l'avion Ohoo(voir Fig. 1), alors il est évident qu'une partie de la sphère S, couché dans n'importe lequel quartier M. 1 est projeté de manière ambiguë sur le plan Oxy. Analytiquement, cela signifie que si l’on considère la fonction F(toi, x, y) =toi 2 + x 2 + oui 2 – 1 dans n'importe quel voisinage du point M. 1 , alors l'équation (2) ne peut pas être résolue de manière unique par rapport à toi.

Notons que la dérivée fréquente de la fonction F(toi, x, y) =toi 2 + x 2 + oui 2 – 1 ne disparaît pas au point M 0 et disparaît au point M1. Ci-dessous, nous établirons que pour une solvabilité unique au voisinage d'un point M 0équation fonctionnelle générale (1) par rapport à toi joue un rôle fondamental non-disparition au point M 0 de la dérivée partielle . En chemin, nous établirons les conditions dans lesquelles une fonction explicite qui représente la seule solution l'équation (1), est continu et différenciable .

Dans ce qui suit nous désignerons l'espace des variables (toi, x, y, ...) symbole R, et l'espace des variables (x, y, ...) symbole R". Par souci de concision et pour la commodité de l'illustration géométrique, nous considérerons deux variables x, y.

§ 2. Théorème d'existence et de différentiabilité

fonction implicite et certaines de ses applications

1. Théorème sur l'existence et la différentiabilité d'une fonction implicite.

Théorème 1. Soit la fonction F(toi, x, y) est différentiable dans un certain voisinage du pointM. 0 (toi 0 , x 0 , y 0) de l'espace R, et la dérivée partielle est continue au pointM. 0 . Alors, si au momentM. 0 la fonction F disparaît, mais la dérivée partielle ne disparaît pas, alors pour tout nombre positif suffisamment petit ε, il existe un tel voisinage du pointM. 0 ’(x 0 , y 0) espace R", que dans ce voisinage il existe une fonction uniquetoi= φ(x, y), qui satisfait la condition |toi - toi 0 | < ε et est une solution de l’équation

F(toi, x, y) = 0 (3)

Remarque 1. Dans les conditions du théorème 1, on peut omettre l'exigence de continuité de la dérivée partielle au point M. 0 , mais alors nous devrons en plus exiger que cette dérivée ne disparaisse pas seulement au point lui-même M. 0 , mais aussi dans un certain quartier de ce point et a conservé un certain signe dans ce quartier.

Preuve du théorème 1.

1.Tout d’abord, nous prouvons que pour des valeurs suffisamment petites ε>0 au voisinage du pointM. 0 '(x 0 , y 0) il existe une seule fonctiontoi= φ(x, y), qui satisfait la condition |toi - toi 0 | < ε et est une solution de l’équation (3). Pour rendre la preuve plus visuelle, nous l'accompagnerons d'une illustration géométrique. Depuis géométrie analytique on sait que l'équation (3) définit dans l'espace R. une certaine surface S(Fig. 2) et, en raison de l'état F(M. 0 ) = 0 , indiquer M. 0 se trouve sur cette surface. AVEC point géométrique De notre point de vue, la résolvabilité sans ambiguïté de l’équation (3) par rapport à toi signifie qu'une partie de la surface S, situé à proximité du point M. 0 , peut être projeté de manière unique sur le plan de coordonnées Ohoo.

Par souci de précision, nous supposerons que la dérivée partielle positif au point M. 0 . Alors de la continuité de la dérivée indiquée dans M. 0 et du théorème sur la stabilité du signe fonction continue il s'ensuit que il y a un tel voisinage du point M. 0 , partout à l'intérieur duquel positif . On peut prendre ce voisinage sous la forme d'une boule Ω de rayon suffisamment petit de centre au point M. 0 . Nous réparons plus loin nombre positif ε si petit que chaque point M. 1 (toi 0 - ε, x 0, y 0) Et M. 2 (toi 0 + ε, x 0, y 0) poser à l'intérieur de la balle Ω (pour cela il suffit de prendre ε inférieur au rayon de la balle Ω). Soulignons qu'en même temps d'en bas ε n'est limité que par zéro, et nous pouvons le prendre aussi petit que nous le souhaitons - nous l'utiliserons ci-dessous.

Considérez la fonction F(toi, x 0 , oui 0) une variable par segment toi 0 – ε ≤ toi ≤ toi 0 + ε . D'un point de vue géométrique, cela signifie que l'on considère une fonction de trois variables F(toi, x, y) le long du segment M1 M2(Fig.2). Depuis la dérivée (toi, x 0 , oui 0) positif sur le segment toi 0 – ε ≤ toi ≤ toi 0 + ε alors la fonction F(toi, x 0 , oui 0) augmente sur ce segment. Mais alors, puisque cette fonction est nulle au milieu du segment spécifié (c'est-à-dire lorsque toi = toi 0 ), Que F(toi, x 0 , oui 0) a valeur négativeà l'extrémité gauche et une valeur positive à l'extrémité droite du segment spécifié, c'est-à-dire

F(M. 1 ) < 0, F(M2) > 0

Ensuite, regardons les fonctions F(toi - ε, x, y) Et F(toi + ε, x, y) deux variables X Et à, c'est-à-dire, en langage géométrique, considérons la fonction F(toi, x, y) sur deux plans parallèles au plan de coordonnées Ohoo, dont le premier passe par le point M. 1 et le second - à travers le point M. 2 . Parce que F(M. 1 ) < 0, F(M. 2 ) > 0 et fonction F(toi, x, y) est continue partout dans la boule Ω, alors par le théorème sur la stabilité du signe d'une fonction continue sur les plans indiqués il y a un tel environnement points M. 1 Et M. 2 , au sein duquel la fonction F conserve les mêmes signes qu'aux points M. 1 Et M. 2 . On peut prendre ces quartiers sous forme de carrés ouverts avec des centres en points M. 1 Et M. 2 et avec un côté 2δ assez petit (sur la figure 2, les carrés indiqués sont ombrés). Analytiquement, le fait que la fonction F(toi, x, y) conserve un signe constant sur les carrés indiqués, exprimé par les inégalités

F(toi 0 – ε, x, y)< 0

À | x – x 0 | < δ , | oui – oui 0 | < δ (4)

F(toi 0 + ε, x, y) > 0

Nous soumettrons le choix du côté de ces carrés à une condition supplémentaire : prenons δ si petit que les deux carrés indiqués se trouvent à l'intérieur de la boule Ω (cela est certainement possible, car les centres des carrés M. 1 Et M. 2 sont des points intérieurs de la balle Ω). Avec ce choix de δ, tout point de l'espace (toi, x, y), dont les coordonnées satisfont aux inégalités

| x – x 0 |< δ , | oui – oui 0 |< δ , | tu – tu 0 |< ε (5)

se trouvera à l’intérieur de la balle Ω. D'un point de vue géométrique, les inégalités (5) définissent un espace ouvert cuboïde centré en un point M. 0 et avec des côtés parallèles aux axes de coordonnées toi, x, y et respectivement égal à 2ε, 2δ et 2δ. Nous désignerons ce parallélépipède par le symbole P. Puisque le parallélépipède P se trouve à l'intérieur de la boule Ω, alors partout dans le parallélépipède P (y compris les carrés ouverts situés à ses bases) la dérivée positif . De plus, en raison des inégalités (4), la fonction F( toi , x, y) est négatif sur la base inférieure et positif sur la base supérieure P .

Montrons maintenant que l'équation (3) est résoluble de manière unique par rapport à toi, si la fonction F(toi, x, y) considérer uniquement pour les valeurs toi, x, y, situé à l’intérieur du parallélépipède P. Comprenons ce qui doit être prouvé. Laisser M.'(x, y) - n'importe quel point de l'espace R", dont les coordonnées satisfont aux inégalités

| x – x 0 | < δ , | oui – oui 0 | < δ (6)

En d'autres termes, laissez M.'(x, y)- n'importe quel point de l'avion Ohoo, situé à l'intérieur d'un carré centré au point M. 0 '(x 0, y 0) et de côtés égaux à 2δ. Il faut prouver que pour les coordonnées x, y points M" il y en aura, et en plus la seule chose , nombre toi de l'intervalle toi 0 – ε < toi < toi 0 + ε tel que F(toi, x, y) = 0. (D'un point de vue géométrique, cela signifie que toute droite parallèle à l'axe toi et coupant le parallélépipède P, coupe la surface Sà l'intérieur du parallélépipède P en un seul point.)

Après avoir fixé les valeurs X Et à satisfaisant les inégalités (6), considérons la fonction F(u,x,y) argument toi sur le segment toi 0 – ε ≤ toi ≤ toi 0 + ε , c'est-à-dire considérons la fonction F(u,x,y) sur le segment M. 1 ’ M. 2 ’ Où M. 1 ’ Et M. 2 ’ - points d'intersection d'une droite passant par un point M.'(x, y) et parallèle à l'axe Ou, avec les bases du parallélépipède P (voir Fig. 2). Depuis la dérivée (toi, x, y) positif sur le segment toi 0 – ε ≤ toi ≤ toi 0 + ε , alors la fonction F(u,x,y) augmente sur ce segment (ou, ce qui revient au même, augmente sur le segment M. 1 ’ M. 2 ’ ). Mais d'après les conditions F(M. 1 ’) < 0, F(M. 2 ’) > 0 il s'ensuit qu'à l'intérieur du segment toi 0 – ε ≤ toi ≤ toi 0 + ε il n'y a qu'un seul sens toi tel que F(u,x,y) = 0(ou, géométriquement parlant, à l'intérieur du segment M. 1 ’ M. 2 ’ il n'y a qu'un seul point M., couché à la surface S).

Laissez maintenant la fonction toi= φ(x, y) symbolise la règle selon laquelle chaque point M.'(x, y) depuis le quartier (6) un numéro unique est attribué toi de l'intervalle toi 0 – ε < toi < toi 0 + ε, pour lequel F(u,x,y) = 0. Nous avons prouvé qu’au voisinage de (6) il existe une fonction unique toi= φ(x, y), satisfaisant la condition | toi – toi 0 | < ε et qui est une solution à l'équation (3).

2. Montrons maintenant que fonction toi = φ(x, y) est continu en tout point M. ’(x, y) quartier (6) . Puisque pour n'importe quel point M.'(x, y) du quartier (6), les mêmes conditions sont remplies (à savoir, vers n'importe quel point M. '(x, y) du quartier (6) correspond au point M.(u, x, y) espace R. telle que la fonction F(u,x,y) disparaît au point M., est différentiable dans un certain voisinage du point M. et a une dérivée partielle non nulle dans ce voisinage ) quant au point M. 0 '(x 0, y 0), alors il suffit de prouver la continuité de la fonction toi= φ(x, y) seulement à un moment donné M. 0 '(x 0, y 0). Nous devons prouver que pour tout positif suffisamment petit ε il y a un nombre positif δ de telle sorte que pour tout X Et à, satisfaisant les inégalités | x – x 0 | < δ , | oui – oui 0 | < δ , l'inégalité est vraie | toi – toi 0 | < ε Où toi= φ(x, y), toi 0 = φ(x 0, y 0). Si l’on prend pour ε le nombre choisi ci-dessus en considérant le point 1, alors l’existence δ est assuré par les inégalités (5). Reste à noter que dans le raisonnement du point 1 le nombre positif ε peut être pris aussi petit que tu veux (cela a été noté au paragraphe 1).

3. Il reste à prouver différentiabilité fonctions toi= φ(x, y)à tout moment M.'(x, y) environs (6). En vertu de la remarque faite au paragraphe 2, il suffit de prouver la différentiabilité de la fonction toi= φ(x, y) au point même M. 0 '(x 0, y 0). Pour ce faire, calculons l'incrément total Δ toi fonctions toi= φ(x, y) au point M. 0 '(x 0, y 0) Δ x Et Δ oui. Parce que F(toi 0 , X 0 , oui 0) = 0 Et F(toi 0 + Δ toi, x 0 + Δx, à 0 + Δoui) = 0 , Que incrément total Δ F fonctions F(u, x, y) au point M. 0 '(x 0, y 0), correspondant aux incréments d'argument Δ toi, Δ x Et Δ oui, égal à zéro . Mais en raison de la condition de différentiabilité de la fonction F(u,x,y) au point M. 0 (toi 0 , x 0 , oui 0) cet incrément total a la forme

Ici toutes les dérivées partielles , et sont pris au point M. 0 (toi 0 , x 0, oui 0); α, β et γ→0à

Nous obtenons donc

Selon la forme différentielle de la condition de continuité de fonction toi= φ(x, y) au point M. 0 '(x 0, y 0) Δ toi→ 0 à. Ainsi, on peut affirmer que α, β et γ→0 seulement à condition .

D'après les conditions du théorème, la dérivée partielle est non nulle au point M. 0 . Parce que γ→0 à, alors pour Δ suffisamment petit x et Δ oui expression ne disparaît pas . Dans ce cas, la formule (7) peut être divisée par ce qui permet d'obtenir

D'après le théorème sur la valeur limite du quotient de deux fonctions, on peut affirmer que

où μ et υ→0 à.

En comparant les formules (8) et (9), on obtient finalement

La formule (10) prouve la différentiabilité de la fonction toi= φ(x, y) au point M. 0 '(x 0, y 0). Ainsi, le théorème 1 est complètement prouvé.

Remarque 2. La preuve ci-dessus peut être reportée sans aucune difficulté au cas d'une fonction implicite qui dépend non pas de deux, mais de n'importe quel nombre fini arguments x 1 , x 2 , …,xm(et, en particulier, d'un argument). Le cas de deux arguments X Et à a seulement l'avantage de permettre une illustration géométrique visuelle dans l'espace (u, x, y) .

2. Calcul implicite des dérivées partielles fonction donnée. Arrêtons-nous sur le calcul des dérivées partielles de la fonction implicitement spécifiée par l'équation (3). Soit les conditions du théorème 1 remplies. Alors pour l'incrément complet de la fonction. toi= φ(x, y) la représentation (10) est valide. Cette représentation permet d'affirmer que les dérivées partielles de la fonction toi= φ(x, y) sont déterminés par les formules

Des formules similaires sont valables dans le cas où une fonction spécifiée implicitement ne dépend pas de deux, mais d'un nombre fini d'arguments. x 1 , x 2 , …,xm. Dans ce cas (k = 1, 2, …, m)

Si nous voulons garantir l'existence d'une fonction implicitement définie toi= φ(x, y) dérivées partielles deuxième ordre, alors, naturellement, il faut renforcer les exigences imposées à la fonction F(u,x,y) dans le théorème 1, il faut en plus exiger que la fonction F(u,x,y)était deux fois différentiable au point considéré. Sous ces hypothèses, nous nous concentrerons sur le calcul dérivées partielles du second ordre .

Selon la règle de différenciation fonction complexe on obtient les formules suivantes pour les dérivées partielles totales indiquées :

Passons au calcul des dérivées partielles du second ordre d'une fonction implicitement donnée. Par souci de précision, calculons la dérivée. Différencier la première des formules (11) par rapport à à et en tenant compte du fait que chacune des dérivées partielles et dépend de trois arguments toi, x, y, dont la première est elle-même une fonction X Et à, nous aurons

En insérant dans la formule résultante l'expression déterminée par la seconde des formules (11), nous aurons finalement

Les dérivées partielles et sont calculées exactement de la même manière. Les dérivées partielles du troisième ordre et des ordres suivants peuvent être calculées en utilisant une méthode similaire (à condition que la fonction F(u,x,y) différentiable en un point donné un nombre de fois correspondant).

EXEMPLES. 1) Calculer la dérivée partielle de la fonction toi= φ(x, y), donné par l'équation x + oui + toi – e - (x + oui + toi) = 0 .

Tout d'abord, à l'aide des formules (11), nous calculons les dérivées partielles du premier ordre. De plus, il est évident que = 0 .

2) La même question pour la fonction donnée par l'équation toi 2 + x 2 + oui 2 - un 2 = 0 . En utilisant les formules (11), on obtient, . Ensuite, nous aurons

3.Points singuliers d’une surface et d’une courbe plane. Considérez une surface S(courbe plate L), défini dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes donné par l'équation F(x, y,z)=0 (F(x, y,)=0). Concernant la fonction F(x, y,z) (F(x,y,)) supposons qu'il ait des dérivées partielles continues du premier ordre par rapport à tous les arguments partout dans un certain voisinage de n'importe quel point de la surface S(courbé L). Nous appellerons ce point de surface S(courbé L) spécial si à ce stade toutes les dérivées partielles du premier ordre de la fonction disparaissent F(x, y,z) (F(x,y,)). Au voisinage d'un point singulier il ne s'applique pas à l'équation F(x, y,z)=0 (F(x, y,)=0) Théorème 1, c'est-à-dire on ne peut pas dire que cette équation soit résoluble par rapport à au moins une des variables x, y, z (x, y). Ainsi, la superficie S(courbé L), adjacent à un point singulier, ne peut permettre une projection unique sur aucun des plans de coordonnées(pas sur aucun des axes de coordonnées). Structure superficielle S(courbé L) au voisinage d'un point singulier peut être très complexe et nécessite des recherches supplémentaires.

Points de surface S(courbé L), qui ne sont pas spéciaux, sont généralement appelés ordinaire . Au voisinage d'un point ordinaire, le théorème 1 s'applique, de sorte que la partie de la surface adjacente au point ordinaire S(courbé L) permet une projection sans ambiguïté sur au moins un des plans de coordonnées (au moins sur un des axes de coordonnées), ce qui facilite grandement l'étude de cette zone.

EXEMPLES. 1) Trouver points singuliers cône circulaire x 2 + oui 2 – z 2 = 0.

Depuis F(x, y,z) = x 2 + oui 2 – z 2 , Que, . Le seul point singulier est l'origine. Il est bien connu qu'au voisinage de ce point, la surface du cône ne peut être projetée de manière unique sur aucun des plans de coordonnées (Fig. 15.3).

2) Même question concernant une courbe plate x 2 - oui 2 + x 3 = 0 .

Les dérivées partielles ont la forme . Les deux dérivées partielles disparaissent en deux points du plan (0, 0) Et (- , 0) . De ces deux points, seul le premier appartient à la courbe considérée, c'est-à-dire qu'il est particulier. Après avoir construit une courbe x 2 - oui 2 + x 3 = 0 à proximité d'un point (0, 0) , nous veillerons à ce que ce point soit le point d'auto-intersection du graphique (Fig. 15.4). Il est clair qu'au voisinage de ce point la courbe ne peut pas être projetée uniquement sur l'axe Oh, pas sur l'axe Oh.

4. Conditions assurant l'existence d'une fonction y=f(x) fonction inverse. Appliquons le théorème 1 pour clarifier les conditions dans lesquelles la fonction y=f(x) a des points dans certains quartiers x 0 fonction inverse x=f -1 (y), défini dans un certain voisinage du point oui 0 , Où oui 0 = f(x 0). Nous considérerons la fonction y=f(x) comme fonction définie par une équation fonctionnelle de la forme F(x, y) = f(x) – y = 0.

Alors la question de l’existence d’une fonction inverse coïncide avec la question de la solvabilité par rapport à X l'équation fonctionnelle spécifiée. En conséquence du théorème 1 et de la remarque 1 avant la preuve de ce théorème, on obtient déclaration suivante: si la fonction y=f(x) a une dérivée non nulle dans un certain voisinage du point x 0, alors pour cette fonction au voisinage de x 0 il y a fonction inverse x=f -1 (y), défini et différentiable dans un certain voisinage du point y 0, où oui 0 = f(x 0). Dérivée de la fonction inverse spécifiée au point oui 0 grâce à la seconde des formules (11) est égal à .