Cône. cône tronqué

Surface conique est la surface formée de toutes les droites passant par chaque point d'une courbe donnée et un point extérieur à la courbe (Fig. 32).

Cette courbe est appelée guide , droit - formation , indiquer - haut surface conique.

Surface conique circulaire droite est la surface formée de toutes les droites passant par chaque point d'un cercle donné et d'un point d'une droite perpendiculaire au plan du cercle et passant par son centre. Dans ce qui suit nous appellerons brièvement cette surface surface conique (Fig. 33).

Cône (cône circulaire droit ) s'appelle corps géométrique, limité par une surface conique et un plan parallèle au plan du cercle de guidage (Fig. 34).

Riz. 32 Fig. 33 Fig. 34

Le cône peut être considéré comme un corps obtenu par rotation triangle rectangle autour d'un axe contenant l'une des branches du triangle.

Le cercle entourant un cône s’appelle base . Le sommet d’une surface conique s’appelle haut cône Le segment reliant le sommet d'un cône au centre de sa base s'appelle hauteur cône Formation de segments surface conique, sont appelés formation cône Axe d'un cône est une ligne droite passant par le sommet du cône et le centre de sa base. Section axiale appelée section passant par l’axe du cône. Développement de la surface latérale d'un cône est un secteur dont le rayon égal à la longueur génératrice du cône, et la longueur de l'arc du secteur est égale à la circonférence de la base du cône.

Les formules correctes pour un cône sont :

Où R.– rayon de la base ;

H- hauteur;

je– longueur de la génératrice ;

Socle S– la superficie de base ;

Côté S

S plein

V– le volume du cône.

Cône tronqué appelée partie du cône comprise entre la base et le plan de coupe, parallèle à la base cône (Fig. 35).

Un tronc de cône peut être considéré comme un corps obtenu par rotation trapèze rectangulaire autour d'un axe contenant côté trapèze perpendiculaire aux bases.

Les deux cercles entourant un cône sont appelés son raisons . Hauteur d’un cône tronqué est la distance entre ses bases. Les segments formant la surface conique d'un cône tronqué sont appelés formation . Une ligne droite passant par les centres des bases s'appelle axe cône tronqué. Section axiale appelé la section passant par l’axe d’un cône tronqué.

Pour un cône tronqué, les formules correctes sont :

(8)

Où R.– rayon de la base inférieure ;

r– rayon de la base supérieure ;

H– hauteur, l – longueur de la génératrice ;

Côté S– surface latérale ;

S plein- carré pleine surface;

V– volume d’un cône tronqué.

Exemple 1. La section transversale du cône parallèle à la base divise la hauteur dans un rapport de 1:3, en partant du haut. Trouvez la surface latérale d'un cône tronqué si le rayon de la base et la hauteur du cône sont 9 cm et 12 cm.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 36).

Pour calculer l'aire de la surface latérale d'un cône tronqué, nous utilisons la formule (8). Trouvons les rayons des bases Environ 1 A Et Environ 1 V et former AB.

Considérons triangles similaires SO2B Et DONC 1 UN, coefficient de similarité, alors

D'ici

Depuis lors

La surface latérale d'un tronc de cône est égale à :

Répondre: .

Exemple 2. Un quart de cercle de rayon est plié en une surface conique. Trouvez le rayon de la base et la hauteur du cône.

Solution. Le quadrant du cercle est le développement de la surface latérale du cône. Notons r– rayon de sa base, H – hauteur. Calculons la surface latérale à l'aide de la formule : . Elle est égale à l'aire d'un quart de cercle : . On obtient une équation à deux inconnues r Et je(formant un cône). DANS dans ce cas la génératrice est égale au rayon du quart de cercle R., alors on obtient l'équation suivante: , d'où, connaissant le rayon de la base et la génératrice, on retrouve la hauteur du cône :

Répondre: 2 cm, .

Exemple 3. Trapèze rectangulaire avec angle aigu 45 Ah moindre base 3 cm et un côté incliné égal à , tourne autour du côté perpendiculaire aux bases. Trouvez le volume du corps de révolution résultant.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 37).

Suite à la rotation, on obtient un tronc de cône ; pour trouver son volume, on calcule le rayon ; base plus grande et la hauteur. Au trapèze O 1 O 2 AB nous allons procéder AC ^ O 1 B. B on a : cela veut dire que ce triangle est isocèle A.C.=Colombie-Britannique=3cm.

Répondre:

Exemple 4. Un triangle de côtés 13 cm, 37 cm et 40 cm tourne autour d'un axe externe parallèle côté plus grand et se situe à une distance de 3 cm de celui-ci (l'axe est situé dans le plan du triangle). Trouvez la surface du corps de révolution résultant.

Solution . Faisons un dessin (Fig. 38).

La surface du corps de révolution résultant est constituée des surfaces latérales de deux cônes tronqués et de la surface latérale d'un cylindre. Afin de calculer ces aires, il faut connaître les rayons des bases des cônes et du cylindre ( ÊTRE Et O.C.), formant des cônes ( Colombie-Britannique Et A.C.) et la hauteur du cylindre ( AB). La seule inconnue est CO. c'est la distance entre le côté du triangle et l'axe de rotation. Nous trouverons CC. Carré triangle ABC d'un côté est égal au produit de la moitié du côté AB et de la hauteur qui y est tracée CC, par contre, connaissant tous les côtés du triangle, on calcule son aire à l’aide de la formule de Héron.

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Conférence: Cône. Base, hauteur, surface latérale, génératrice, développement

Cône- il s'agit d'un corps constitué d'un cercle situé à la base d'un point équidistant de tous les points du cercle, ainsi que de lignes droites reliant ce point (sommet) à tous les points du cercle.

Quelques questions plus tôt, nous avons regardé la pyramide. Le cône est donc cas particulier une pyramide avec un cercle à sa base. Presque toutes les propriétés d’une pyramide s’appliquent à un cône.

Comment obtenir un cône ? Souviens-toi dernière question et comment nous avons obtenu le cylindre. Maintenant, prends triangle isocèle et faites-le pivoter autour de son axe - vous obtiendrez un cône.

Générateurs du cône- ce sont des segments enfermés entre les pointes du cercle et le sommet du cône. Les génératrices du cône sont égales entre elles.

Pour trouver la longueur de la génératrice, vous devez utiliser la formule :

Si tous les générateurs sont connectés les uns aux autres, on peut obtenir surface latérale cône Sa surface générale est constituée d'une surface latérale et d'une base en forme de cercle.

Le cône a hauteur. Pour l'obtenir, il suffit d'abaisser la perpendiculaire du haut directement jusqu'au centre de la base.

Pour trouver la surface latérale, utilisez la formule :

Pour trouver zone complète surface du cône, utilisez la formule suivante.

Un cône tronqué est obtenu si le cône est coupé cône plus petit plan parallèle à la base (Fig. 8.10). Un cône tronqué a deux bases : « inférieure » - la base du cône d'origine - et « supérieure » - la base du cône coupé. D'après le théorème de la section d'un cône, les bases d'un cône tronqué sont similaires. .

L'altitude d'un cône tronqué est la perpendiculaire tracée d'un point d'une base au plan d'une autre. Toutes ces perpendiculaires sont égales (voir section 3.5). La hauteur est aussi appelée leur longueur, c'est-à-dire la distance entre les plans des bases.

Le tronc de cône de révolution est obtenu à partir du cône de révolution (Fig. 8.11). Par conséquent, ses bases et toutes ses sections qui leur sont parallèles sont des cercles dont les centres sont sur la même ligne droite - sur l'axe. Un tronc de cône de révolution est obtenu en faisant tourner un trapèze rectangulaire autour de son côté perpendiculaire aux bases, ou en faisant tourner

trapèze isocèle autour de l'axe de symétrie (Fig. 8.12).

Surface latérale d'un cône tronqué de révolution

C'est sa partie de la surface latérale du cône de révolution dont elle est issue. La surface d'un tronc de cône de révolution (ou sa surface totale) est constituée de ses bases et de sa surface latérale.

8.5. Images de cônes de révolution et de cônes tronqués de révolution.

Un cône circulaire droit est dessiné ainsi. Tout d'abord, dessinez une ellipse représentant le cercle de la base (Fig. 8.13). Ensuite, ils trouvent le centre de la base - le point O et dessinent un segment vertical PO, qui représente la hauteur du cône. A partir du point P, tracez des lignes tangentes (de référence) à l'ellipse (en pratique cela se fait à l'œil nu, en appliquant une règle) et sélectionnez les segments RA et PB de ces lignes du point P aux points de tangence A et B. Veuillez noter que le segment AB n'est pas le diamètre du cône de base, et le triangle ARV n'est pas la section axiale du cône. La section axiale du cône est un triangle APC : le segment AC passe par le point O. Les lignes invisibles sont tracées avec des traits ; Le segment OP n'est souvent pas dessiné, mais seulement tracé mentalement afin de représenter le sommet du cône P directement au-dessus du centre du point de base O.

Lorsqu'on représente un tronc de cône de révolution, il est pratique de dessiner d'abord le cône à partir duquel le tronc de cône est obtenu (Fig. 8.14).

8.6. Sections coniques. Nous avons déjà dit que le plan coupe la surface latérale du cylindre de rotation le long d'une ellipse (section 6.4). Aussi, la section de la surface latérale d'un cône de rotation par un plan qui ne coupe pas sa base est une ellipse (Fig. 8.15). Une ellipse est donc appelée section conique.

Les sections coniques comprennent également d'autres courbes bien connues - les hyperboles et les paraboles. Considérons un cône illimité obtenu en prolongeant la surface latérale du cône de révolution (Fig. 8.16). Coupons-le par un plan a qui ne passe pas par le sommet. Si a coupe toutes les génératrices du cône, alors dans la section, comme déjà dit, on obtient une ellipse (Fig. 8.15).

En faisant tourner le plan OS, on peut s'assurer qu'il coupe toutes les génératrices du cône K, sauf une (à laquelle l'OS est parallèle). Ensuite, dans la coupe transversale, nous obtenons une parabole (Fig. 8.17). Enfin, en faisant tourner davantage le plan OS, on le transfère dans une position telle que a, coupant une partie des génératrices du cône K, ne coupe plus ensemble infini ses autres constituants et parallèle à deux d'entre eux (Fig. 8.18). Puis dans la section du cône K avec le plan a on obtient une courbe appelée hyperbole (plus précisément une de ses « branches »). Ainsi, une hyperbole, qui est le graphe d'une fonction, est un cas particulier d'hyperbole - une hyperbole équilatérale, tout comme un cercle est un cas particulier d'ellipse.

Toutes les hyperboles peuvent être obtenues à partir d'hyperboles équilatérales en utilisant la projection, de la même manière qu'une ellipse est obtenue conception parallèle cercles.

Pour obtenir les deux branches de l'hyperbole, il faut prendre une section d'un cône comportant deux « cavités », c'est-à-dire un cône formé non pas de rayons, mais de lignes droites contenant les génératrices des surfaces latérales du cône de révolution (Fig. 8.19).

Les sections coniques étaient étudiées par les géomètres grecs anciens et leur théorie constituait l'un des sommets de la géométrie antique. La plupart recherche complète Les sections coniques dans l'Antiquité ont été réalisées par Apollonius de Perge (IIIe siècle avant JC).

Il y a un certain nombre propriétés importantes, combinant les ellipses, les hyperboles et les paraboles en une seule classe. Par exemple, ils épuisent les « non dégénérées », c'est-à-dire les courbes non réductibles à un point, une droite ou une paire de droites, définies sur un plan en Coordonnées cartésienneséquations de la forme

Les sections coniques jouent rôle important dans la nature : les corps se déplacent sur des orbites elliptiques, paraboliques et hyperboliques dans un champ gravitationnel (rappelez-vous les lois de Kepler). Propriétés remarquables les sections coniques sont souvent utilisées en science et technologie, par exemple dans la fabrication de certains instruments optiques ou des projecteurs (la surface du miroir sous le projecteur est obtenue en faisant tourner l'arc d'une parabole autour de l'axe de la parabole). Des sections coniques peuvent être observées comme limites de l'ombre des abat-jour ronds (Fig. 8.20).

Cône (du grec « konos »)- pomme de pin. Le cône est connu des hommes depuis l'Antiquité. En 1906, le livre « De la méthode », écrit par Archimède (287-212 av. J.-C.), est découvert ; ce livre donne une solution au problème du volume de la partie commune des cylindres qui se croisent. Archimède dit que cette découverte appartient au philosophe grec Démocrite (470-380 avant JC), qui, avec l'aide ce principe reçu des formules pour calculer le volume d'une pyramide et d'un cône.

Un cône (cône circulaire) est un corps constitué d'un cercle - la base du cône, un point n'appartenant pas au plan de ce cercle - le sommet du cône et tous les segments reliant le sommet du cône et les points de le cercle de base. Les segments qui relient le sommet du cône aux points du cercle de base sont appelés générateurs du cône. La surface du cône est constituée d'une base et d'une surface latérale.

Un cône est dit droit si la droite qui relie le sommet du cône au centre de la base est perpendiculaire au plan de la base. Un cône circulaire droit peut être considéré comme un corps obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de sa jambe comme axe.

La hauteur d'un cône est la perpendiculaire descendante de son sommet jusqu'au plan de la base. Pour un cône droit, la base de la hauteur coïncide avec le centre de la base. L'axe d'un cône droit est la droite contenant sa hauteur.

Section d'un cône par un plan passant par la génératrice du cône et perpendiculaire à coupe axiale tracé par cette génératrice est appelé plan tangent au cône.

Un plan perpendiculaire à l'axe du cône coupe le cône en cercle, et la surface latérale coupe un cercle centré sur l'axe du cône.

Un plan perpendiculaire à l'axe du cône en coupe un cône plus petit. La partie restante est appelée un cône tronqué.

Le volume d'un cône est égal au tiers du produit de la hauteur et de l'aire de la base. Ainsi, tous les cônes reposant sur une base donnée et ayant un sommet situé sur un plan donné parallèle à la base ont volume égal, puisque leurs hauteurs sont égales.

La surface latérale du cône peut être trouvée à l'aide de la formule :

Côté S = πRl,

La surface totale du cône se trouve par la formule :

S con = πRl + πR 2,

où R est le rayon de la base, l est la longueur de la génératrice.

Le volume d'un cône circulaire est égal à

V = 1/3 πR 2 H,

où R est le rayon de la base, H est la hauteur du cône

La surface latérale d'un cône tronqué peut être trouvée à l'aide de la formule :