Le paramètre a une solution unique. "méthodes pour résoudre les problèmes avec les paramètres"

MKOU "École secondaire Lodeynopolskaya n° 68"

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Discours lors d'une réunion de la région de Moscou

Méthodes de résolution de problèmes

avec paramètres

Prokooucheva Natalia Gennadievna

Pôle Lodeïnoye

2013-2014

Problèmes avec les paramètres

Les problèmes liés aux paramètres comptent parmi les problèmes les plus difficiles proposés à la fois lors de l'examen d'État unifié et lors des concours supplémentaires dans les universités.

Ils jouent un rôle important dans la formation de la pensée logique et de la culture mathématique. Les difficultés qui surviennent lors de leur résolution sont dues au fait que chaque problème avec paramètres représente toute une classe de problèmes ordinaires, pour chacun desquels une solution doit être obtenue.

Si dans une équation (inégalité) certains coefficients ne sont pas donnés par des valeurs numériques spécifiques, mais sont désignés par des lettres, alors ils sont appelés paramètres et l'équation (inégalité) est paramétrique.

En règle générale, les inconnues sont désignées par les dernières lettres de l'alphabet latin : x, y, z, ..., et les paramètres par les premières : a, b, c, ...

Résoudre une équation (inégalité) avec des paramètres signifie indiquer à quelles valeurs des paramètres des solutions existent et quelles sont elles. Deux équations (inégalités) contenant les mêmes paramètres sont dites équivalentes si :

a) ils ont un sens pour les mêmes valeurs de paramètres ;

b) toute solution de la première équation (inégalité) est une solution de la seconde et vice versa.

Naturellement, une si petite classe de problèmes ne permet pas à beaucoup de saisir l’essentiel : le paramètre, étant un nombre fixe mais inconnu, a une double nature. Premièrement, la prétendue renommée permet de « communiquer » avec le paramètre sous forme de nombre, et deuxièmement, le degré de liberté de communication est limité par son obscurité. Ainsi, diviser par une expression contenant un paramètre et extraire la racine d'un degré pair de ces expressions nécessite des recherches préalables. Généralement, les résultats de ces études influencent à la fois la décision et la réponse.

Comment commencer à résoudre de tels problèmes ? N'ayez pas peur des problèmes avec les paramètres. Tout d'abord, vous devez faire ce qui est fait lors de la résolution d'une équation ou d'une inégalité - réduire l'équation donnée (inégalité) à une forme plus simple, si possible : factoriser une expression rationnelle, factoriser un polynôme trigonométrique, supprimer les modules, les logarithmes, et etc. alors vous devez lire attentivement la tâche encore et encore.

Lors de la résolution de problèmes contenant un paramètre, certains problèmes peuvent être divisés en deux grandes classes. La première classe comprend des problèmes dans lesquels il est nécessaire de résoudre une inégalité ou une équation pour toutes les valeurs possibles d'un paramètre. La deuxième classe comprend les tâches dans lesquelles il est nécessaire de trouver non pas toutes les solutions possibles, mais uniquement celles qui satisfont à certaines conditions supplémentaires.

La manière la plus compréhensible pour les écoliers de résoudre de tels problèmes est de trouver d’abord toutes les solutions, puis de sélectionner celles qui satisfont à des conditions supplémentaires. Mais ce n'est pas toujours possible. Il existe un grand nombre de problèmes pour lesquels il est impossible de trouver toutes les solutions possibles, et on ne nous demande pas de le faire. Par conséquent, nous devons chercher un moyen de résoudre le problème sans avoir à notre disposition l'ensemble des solutions à une équation ou une inégalité donnée, par exemple rechercher les propriétés des fonctions incluses dans l'équation qui nous permettront de juger l'existence d'un certain ensemble de solutions.

Principaux types de tâches avec paramètres

Type 1.Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles qui doivent être résolus soit pour n'importe quelle valeur du paramètre (paramètres), soit pour des valeurs de paramètres appartenant à un ensemble prédéterminé.

Ce type de problème est fondamental lors de la maîtrise du thème « Problèmes avec paramètres », car le travail investi prédétermine le succès dans la résolution de problèmes de tous les autres types de base.

Type 2.Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles, pour lesquels il faut déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur du (des) paramètre(s).

Nous attirons votre attention sur le fait que lors de la résolution de problèmes de ce type, il n'est nécessaire ni de résoudre des équations données, des inégalités, leurs systèmes et combinaisons, etc., ni de fournir ces solutions ; Dans la plupart des cas, un tel travail inutile est une erreur tactique qui entraîne une perte de temps inutile. Cependant, il ne faut pas rendre cela absolu, car parfois une solution directe selon le type 1 est le seul moyen raisonnable d'obtenir une réponse lors de la résolution d'un problème de type 2.

Tapez 3.Équations, inégalités, leurs systèmes et collections, pour lesquelles il est nécessaire de trouver toutes les valeurs de paramètres pour lesquelles les équations, inégalités, leurs systèmes et collections spécifiés ont un nombre donné de solutions (en particulier, elles n'ont pas ou n'ont pas un nombre infini de solutions).

Il est facile de voir que les problèmes de type 3 sont en quelque sorte l’inverse des problèmes de type 2.

Tapez 4.Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles, pour lesquels, pour les valeurs requises du paramètre, l'ensemble des solutions satisfait aux conditions spécifiées dans le domaine de définition.

Par exemple, recherchez les valeurs des paramètres auxquelles :

1) l'équation est satisfaite pour toute valeur de la variable d'un intervalle donné ;
2) l'ensemble des solutions de la première équation est un sous-ensemble de l'ensemble des solutions de la deuxième équation, etc.

Un commentaire. La variété des problèmes avec un paramètre couvre l'ensemble du cours de mathématiques scolaires (algèbre et géométrie), mais l'écrasante majorité d'entre eux lors des examens finaux et d'entrée appartiennent à l'un des quatre types répertoriés, qui pour cette raison sont appelés fondamentaux.

La classe de problèmes avec un paramètre la plus répandue est celle des problèmes avec une inconnue et un paramètre. Le paragraphe suivant indique les principaux moyens de résoudre les problèmes de cette classe particulière.

Méthodes de base pour résoudre des problèmes avec un paramètre

Méthode I(analytique). Il s'agit d'une méthode dite de solution directe, répétant des procédures standard pour trouver la réponse à des problèmes sans paramètre. Parfois, ils disent qu'il s'agit d'une méthode de solution énergique, dans le bon sens, « arrogante ».

Méthode II(graphique). En fonction de la tâche (avec variable X et paramètre un) les graphiques sont considérés ou dans le plan de coordonnées ( X; oui), ou dans le plan de coordonnées ( X; un).

Un commentaire. La clarté et la beauté exceptionnelles de la méthode graphique de résolution de problèmes avec un paramètre captivent tellement les étudiants du sujet « Problèmes avec un paramètre » qu'ils commencent à ignorer les autres méthodes de solution, oubliant le fait bien connu : pour toute classe de problèmes , leurs auteurs peuvent en formuler une qui est brillamment résolue de cette manière et avec des difficultés colossales d'autres manières. Par conséquent, au stade initial de l'étude, il est dangereux de commencer par des techniques graphiques pour résoudre des problèmes avec un paramètre.

Méthode III(décision concernant le paramètre). En résolvant de cette façon, les variables X Et un sont acceptés comme égaux et la variable par rapport à laquelle la solution analytique est considérée comme la plus simple est sélectionnée. Après des simplifications naturelles, on revient au sens originel des variables X Et un et terminez la solution.

Passons maintenant à la démonstration de ces méthodes pour résoudre des problèmes avec un paramètre.

1. Équations linéaires et inégalités avec paramètres

Fonction linéaire: – équation d'une droite avec coefficient de pente . Le coefficient angulaire est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à la direction positive de l'axe .

Équations linéaires avec paramètres de la forme

Si , l'équation a la seule chose solution.

Si , cette équation n'a pas de solutions, Quand , et l'équation a une infinité de solutions, Quand .

Exemple 1. Résous l'équation | X | = un .

Solution:

un > 0, => X 1,2 = ± un

un = 0, => X = 0

un < 0, =>il n'y a pas de solutions.

Répondre: X 1,2 = ± unà un > 0; X= 0 à un= 0 ; il n'y a pas de solutions pour un < 0.

Exemple 2. Résoudre l’équation |3 – X | = un .

Solution:

un > 0, => 3 – X = ± un , => X= 3 ± un

un = 0, => 3 – X = 0. => X = 3

un < 0, =>il n'y a pas de solutions.

Répondre: X 1,2 = 3 ± unà un > 0; X= 3 à un= 0 ; il n'y a pas de solutions pour un < 0.

Exemple 3. Résous l'équation m ² X – m = X + 1.

Solution:

m ² X – m = X + 1

m ² X – X = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

Répondre:
à m ≠ ± 1; X Є R.à m= –1 ; il n'y a pas de solutions pour m = 1.

Exemple 4. UN résous l'équation: ( un 2 – 4) X = un + 2 .

Solution: Factorisons le coefficient. .

Si , l'équation a la seule chose solution: .

Si , l'équation n'a pas de solutions.

Si , alors l'équation a une infinité de solutions .

Exemple 6. Pour toutes les valeurs de paramètres un résous l'équation:
.

Solution: ODZ : . Dans cette condition, l’équation est équivalente à la suivante : . Vérifions si vous appartenez à l'ODZ : , Si . Si , alors l'équation n'a pas de solutions.

Exemple 7. Pour toutes les valeurs de paramètres UN résoudre l'équation : | X + 3| – un | X – 1| = 4.

Solution: Divisons la droite numérique en 3 parties par les points auxquels les expressions sous le signe du module disparaissent et résolvons 3 systèmes :

1) , Si . Trouvé sera la solution si .

2) , Si . Celui trouvé satisfait à l’inégalité requise est donc une solution pour . Si , alors la solution est n'importe laquelle .

3) , Si . Trouvé Pas satisfait l’inégalité requise, donc, Pas est une solution quand . Si , alors la solution est n'importe quel x > 1.

Répondre: à ; à ;

P. ri ; est aussi une solution pour tous .

Exemple 8. Trouver tout UN, pour chacun desquels au moins une des solutions de l'équation 15 X – 7un = 2 – 3hache + 6un moins 2 .

Solution: Trouvons des solutions à l'équation pour chacun . , Si . Résolvons l'inégalité : .

Quand l'équation n'a pas de solution.

Répondre : UNÎ (–5 , 4) .

Inégalités linéaires avec paramètres

Par exemple: Résoudre les inégalités : kx < b .

Si k> 0, alors
. Si k < 0, то
. Si k= 0, alors quand b> 0 solution est quelconque X Є R., et quand
il n'y a pas de solutions.

Résolvez les inégalités restantes dans la boîte de la même manière.

Exemple 1. Pour toutes les valeurs du paramètre a, résoudre l'inégalité
.

Solution:

. Si la parenthèse est avant X est positif, c'est-à-dire à
, Que
. Si la parenthèse est avant X négatif, c'est-à-dire à
, Que
. Si un= 0 ou a = , alors il n'y a pas de solutions.

Répondre:
à
;
à
;

il n'y a pas de solutions pour un= 0 ou a = .

Exemple 2. Pour toutes les valeurs de paramètres UN résoudre les inégalités | X– un| – | X + un| < 2un .

Solution:

À un=0 nous avons une inégalité incorrecte 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, puis à x< –un les deux modules sont développés avec un moins et nous obtenons l'inégalité incorrecte 2 un < 2un, c'est à dire. il n'y a pas de solutions. Si X Є [– un ; un] , alors le premier module s'ouvre par un moins, et le second par un plus, et on obtient l'inégalité –2 X < 2un, c'est à dire. X > –un, c'est-à-dire que la solution est quelconque X Є (– un ; un]. Si X > un les deux modules s'ouvrent avec un plus et on obtient la bonne inégalité –2 un < 2un, c'est à dire. , la solution est n'importe laquelle X Є ( un; +∞). En combinant les deux réponses, nous obtenons cela lorsque un > 0 X Є (– un ; +∞).

Laisser un < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2un. Ainsi, avec un < 0 решений нет.

Répondre: X Є (– un; +∞) à un> 0, il n'y a pas de solution pour
.

Commentaire. La solution à ce problème est plus rapide et plus simple si vous utilisez l'interprétation géométrique du module de la différence de deux nombres comme distance entre les points. Alors l'expression du côté gauche peut être interprétée comme la différence de distances du point X aux points UN Et - UN .

Exemple 3. Trouver tout UN, pour chacun desquels toutes les solutions de l'inégalité
satisfaire l'inégalité 2 X – un² + 5< 0.

Solution:

La solution à l’inégalité |x | ≤ 2 est un ensemble UN=[–2; 2], et la solution aux inégalités 2 X – un² + 5< 0 является множество B = (–∞;
) . Pour satisfaire les conditions du problème, il faut que l'ensemble A soit inclus dans l'ensemble B(). Cette condition sera satisfaite si et seulement si .

Répondre: une Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Exemple 4. Trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles l'inégalité
court pour tout le monde X du segment.

Solution:

Une fraction est inférieure à zéro entre les racines, vous devez donc déterminer quelle racine est la plus grande.

–3un + 2 < 2un + 4
et –3 un + 2 > 2un + 4
. Ainsi, avec
XЄ (–3 un + 2; 2un+ 4) et pour que l'inégalité soit valable pour tout x du segment , il faut que

À
XЄ (2 un + 4; –3un+ 2) et pour que l'inégalité soit valable pour tous X du segment, il faut que

Quand a = – (quand les racines coïncident) il n’y a pas de solutions, car dans ce cas l'inégalité prend la forme : .

Répondre:
.

Exemple 5. UN l'inégalité est valable pour toutes les valeurs négatives X?

Solution:

La fonction augmente de façon monotone si le coefficient à X non négatif, et il diminue de façon monotone si le coefficient à X négatif.

Découvrons le signe du coefficient à

un ≤ –3,

un ≥ 1; (un² + 2 un – 3) < 0 <=> –3 < un < 1.

un ≤ –3,

Laisser un≥ 1. Alors la fonction F (X ) ne diminue pas de façon monotone, et la condition du problème sera satisfaite si F (X ) ≤ 0 <=> 3un ² – un – 14 ≤ 0 <=>
.

un ≤ –3,

Avec les conditions un≥ 1 ; on a:

Soit -3< un < 1. Тогда функция F (X ) diminue de façon monotone et la condition du problème ne peut jamais être satisfaite.

Répondre:
.

2. Équations quadratiques et inégalités avec paramètres

Fonction quadratique:
.

Dans l’ensemble des nombres réels, cette équation est étudiée selon le schéma suivant.

Exemple 1. A quelles valeurs un l'équationX ² – hache + 1 = 0 n'a pas de vraies racines ?

Solution:

X ² – hache + 1 = 0

D = un ² – 4 1 =un ² – 4

un ² – 4< 0 + – +

( un – 2)( un + 2) < 0 –2 2

Répondre: àune Є (–2 ; 2)

Exemple 2.Pour quelles valeurs de a l'équation UN (X ² – X + 1) = 3 X + 5 a deux vraies racines différentes ?

Solution:

UN (X ² – X + 1) = 3 X + 5, UN ≠ 0

Oh ² – ah+ un – 3 X – 5 = 0

Oh ² – ( UN + 3) X + UN – 5 = 0

D = ( un +3)² – 4un ( un – 5) = un ² +6un + 9 – 4 un ² + 20un = –3 un ² + 26un + 9

–3 un ² + 26 un + 9 > 0

3 un ² – 26un – 9 < 0

D = 26² – 4 3 (–9) = 784

un 1 =
; un 2 =
+ – +

0 9

Répondre:àunЄ (–1/3 ; 0)U (0; 9)

Exemple 3 : Résoudre l'équation
.

Solution:

ODZ: X ≠1, X ≠ un

X – 1 + X – un = 2, 2 X = 3 + un ,

1)
; 3 + un ≠ 2; un ≠ –1

2)
; 3 + un ≠ 2 un ; un ≠ 3

Répondre:
àun Є (–∞; –1)U (–1; 3) U (3; +∞);

il n'y a pas de solutions pourune = –1 ; 3.

Exemple4 . Résous l'équation | X ²–2 X –3 | = un .

Solution:

Regardons les fonctions oui = | X ²–2 X –3 | Etoui = un .

À un < 0 aucune solution ;
à un = 0 et un> 4 deux solutions ;
à 0< un < 4 – четыре решения;
à un= 4 – trois solutions.

Répondre:

à un < 0 нет решений;
à un= 0 et un> 4 deux solutions ;
à 0< un < 4 – четыре решения;
à un= 4 – trois solutions.

Exemple 5.Trouver toutes les valeurs un , pour chacun desquels l'équation | X ²–( un +2) X +2 un | = | 3 X –6 |
a exactement deux racines. Si de telles valeurs un plusieurs, indiquez leur produit dans votre réponse.

Solution:

Développons le trinôme quadratique X ²–( un +2) X +2 un par des multiplicateurs.
;
;
;

On a | ( X –2)( X – un ) | = 3 | X –2 |.
Cette équation est équivalente à l'ensemble

Cette équation a donc exactement deux racines si un+ 3 = 2 et un – 3 = 2.
De là, nous constatons que les valeurs souhaitées un sont un 1 = –1; un 2 = 5; un 1 · un 2 = –5.

Répondre: –5.

Exemple 6.Trouver toutes les valeurs un , pour lequel les racines de l'équation hache ² – 2( un + 1) X – un + 5 = 0 sont positifs.

Solution:

Point de contrôle un= 0, parce que change l’essence de l’équation.

1. un = 0 –2X + = 0;

Répondre: une Є U .

Exemple 7.Àquelles valeurs de paramètres un l'équation | X ² – 4 X + 3 | = hache a 3 racines.

Solution:

Construisons des graphiques de fonctions oui = | X ² – 4 X + 3 | Et oui = hache .

La fonction est représentée graphiquement sur le segment
.
Cette équation aura trois racines si le graphique de la fonction oui = hache sera tangent au graphique oui = X ²+ 4 X – 3 sur
segment

L'équation tangente a la forme oui = F (X 0 ) + F ’(X 0 )(X – X 0 ),



Parce que équation tangente oui = un, on obtient un système d'équations

Parce que X 0 Є ,

Répondre:à un = 4 – 2
.

Inégalités quadratiques avec paramètres

Exemple.Rechercher toutes les valeurs des paramètres un , pour chacune d'elles parmi les solutions aux inégalités
il n'y a aucun point sur le segment de droite.

Solution:

Tout d'abord, résolvons l'inégalité pour toutes les valeurs du paramètre, puis trouvons celles pour lesquelles il n'y a pas un seul point du segment parmi les solutions .
Laisser
, hache = t ²

t ≥ 0

Avec un tel remplacement de variables, l'ODZ d'inégalité est effectuée automatiquement. X peut s'exprimer à travers t, Si un≠ 0. Par conséquent, le cas où un = 0, nous considérerons séparément.
1.Laissez un = 0, alors X> 0, et le segment donné est une solution.
2.Laissez un≠ 0, alors
et les inégalités
prendra la forme
,

La solution à l'inégalité dépend des valeurs un, nous devons donc considérer deux cas.
1) Si un>0, alors
à
, ou dans d'anciennes variables,

La solution ne contient pas un seul point du segment donné si et seulement si les conditions sont remplies un ≤ 7,

16un≥ 96. Par conséquent, un Є .
2). Si UN< 0, то
;
; tЄ (4 un ; un). Parce que t≥ 0, alors il n’y a pas de solutions.

Répondre: .

Équations irrationnelles avec paramètres

Lors de la résolution d'équations irrationnelles et d'inégalités avec un paramètre, il convient tout d'abord de prendre en compte la plage de valeurs acceptables. Deuxièmement, si les deux côtés de l’inégalité sont des expressions non négatives, alors une telle inégalité peut être quadragée tout en conservant le signe de l’inégalité.
Dans de nombreux cas, les équations et inégalités irrationnelles sont réduites à des équations quadratiques après avoir changé les variables.

Exemple 1. Résous l'équation
.

Solution:

ODZ : X + 1 ≥ 0, X ≥ –1, un ≥ 0.

X + 1 = un ².

Si X = un² – 1, alors la condition est satisfaite.

Répondre: X = un² – 1 à UN≥ 0 ; il n'y a pas de solutions pour un < 0.

Exemple 2 : Résoudre l'équation
.

Solution:

ODZ : X + 3 ≥ 0, X ≥ –3,

hache ≥ 0; X ≤ un;

X + 3 = hache,

2X = un – 3,

<=>
<=>
<=> un ≥ –3.

Répondre:
à un≥ –3 ; il n'y a pas de solutions pour un < –3.

Exemple 3. Combien de racines l’équation a-t-elle ?
en fonction des valeurs des paramètres UN?

Solution:

Plage de valeurs acceptables de l'équation : x Є [–2 ; 2]

Construisons des graphiques de fonctions. Le graphique de la première fonction est la moitié supérieure du cercle X² + oui² = 4. Le graphique de la deuxième fonction est la bissectrice des premier et deuxième angles de coordonnées. Du graphique de la première fonction, soustrayez le graphique de la seconde et obtenez le graphique de la fonction
. Si vous remplacez à sur UN, alors le dernier graphique de la fonction est l'ensemble des points (x; a) satisfaisant l'équation d'origine.

D'après le graphique, nous voyons la réponse.

Répondre:à UNЄ (–∞ ; –2) U (1 ; +∞), pas de racines ;

à UNЄ [–2 ; 2), deux racines ;

à UN= 1, une racine.

Exemple 4.À quelles valeurs de paramètre UN l'équation
a une seule solution ?

Solution:

Méthode 1 (analytique) :

Répondre:

Méthode 2 (graphique) :

Répondre: pour a ≥ –2 l’équation a une solution unique

Exemple 5. Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation = 2 + x a-t-elle une solution unique.

Solution:

Considérons une version graphique de la solution de cette équation, c'est-à-dire que nous construirons deux fonctions :
à 1 = 2 + X Et à 2 =

La première fonction est linéaire et passe par les points (0 ; 2) et (–2 ; 0).
Le graphique de la deuxième fonction contient un paramètre. Considérons d'abord le graphique de cette fonction à UN= 0 (Fig.1). Lors de la modification de la valeur du paramètre, le graphique se déplacera le long de l'axe OH par la valeur correspondante à gauche (pour positif UN) ou vers la droite (pour les valeurs négatives UN) (Fig.2)

D'après la figure, il est clair que lorsque UN < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Répondre:à un≥ –2 l’équation a une solution unique.

Équations trigonométriques avec paramètres.

Exemple 1.Résous l'équation péché (– X + 2 X – 1) = b + 1.

Solution:

Compte tenu de l'étrangeté de la fonction
, on réduit cette équation à l'équivalent
.

1. b = –1

3. b =–2

4. | b + 1| > 1

Il n'y a pas de solutions.

5. bЄ(–1 ; 0)

6. bЄ(–2 ; –1)

Exemple 2.Trouver toutes les valeurs du paramètre p pour lesquelles l'équation
n'a pas de solutions.

Solution:

Exprimons cos 2 Xà travers péché.

Laisser
alors la tâche était réduite à trouver toutes les valeurs p, pour laquelle l'équation n'a pas de solutions sur [–1; 1]. L'équation ne peut pas être résolue de manière algorithmique, nous allons donc résoudre le problème à l'aide d'un graphique. Écrivons l'équation sous la forme , et maintenant un croquis du graphique du côté gauche
facile à construire.
L'équation n'a pas de solution si la droite oui = p+ 9 ne coupe pas le graphique sur l'intervalle [–1 ; 1], c'est-à-dire

Répondre:p Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Systèmes d'équations avec paramètres

Systèmes de deux équations linéaires avec paramètres

Système d'équations

Les solutions d'un système de deux équations linéaires sont les points d'intersection de deux droites : et .

Il y a 3 cas possibles :

1. Les lignes ne sont pas parallèles . Alors leurs vecteurs normaux ne sont pas parallèles, c'est-à-dire . Dans ce cas, le système a seule décision.

2. Les lignes sont parallèles et ne coïncident pas. Alors leurs vecteurs normaux sont parallèles, mais les déplacements sont différents, c'est-à-dire .

Dans ce cas le système n'a pas de solutions .

3. Les lignes droites coïncident. Alors leurs vecteurs normaux sont parallèles et les déplacements coïncident, c'est-à-dire . Dans ce cas, le système a une infinité de solutions - tous les points d'une ligne .

Reportage sur l'OGM d'un professeur de mathématiques au Lycée MBOU n°9

Molchanova Elena Vladimirovna

"Préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques : problèmes avec les paramètres."

Puisqu'il n'y a pas de définition du paramètre dans les manuels scolaires, je propose de prendre comme base la version la plus simple suivante.

Définition . Un paramètre est une variable indépendante dont la valeur dans le problème est considérée comme un nombre réel fixe ou arbitraire donné, ou un nombre appartenant à un ensemble prédéterminé.

Que signifie « résoudre un problème avec un paramètre » ?

Naturellement, cela dépend de la question du problème. Si, par exemple, il est nécessaire de résoudre une équation, une inégalité, un système ou un ensemble d'entre eux, alors cela signifie présenter une réponse raisonnée soit pour n'importe quelle valeur d'un paramètre, soit pour une valeur d'un paramètre appartenant à un ensemble prédéterminé. .

Si vous avez besoin de trouver des valeurs de paramètres pour lesquelles l'ensemble des solutions d'une équation, d'une inégalité, etc. satisfait à la condition déclarée, alors, évidemment, la solution au problème consiste à trouver les valeurs de paramètres spécifiées.

Le lecteur développera une compréhension plus transparente de ce que signifie résoudre un problème avec un paramètre après avoir lu les exemples de résolution de problèmes dans les pages suivantes.

Quels sont les principaux types de problèmes liés aux paramètres ?

Type 1. Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles qui doivent être résolus soit pour n'importe quelle valeur du paramètre (paramètres), soit pour des valeurs de paramètres appartenant à un ensemble prédéterminé.

Ce type de problème est fondamental lors de la maîtrise du thème « Problèmes avec paramètres », car le travail investi prédétermine le succès dans la résolution de problèmes de tous les autres types de base.

Type 2. Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles, pour lesquels il faut déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur du (des) paramètre(s).

J'attire votre attention sur le fait que pour résoudre des problèmes de ce type, il n'est pas nécessaire ni de résoudre des équations données, des inégalités, leurs systèmes et combinaisons, etc., ni de fournir ces solutions ; Dans la plupart des cas, un tel travail inutile est une erreur tactique qui entraîne une perte de temps inutile. Cependant, il ne faut pas rendre cela absolu, car parfois une solution directe selon le type 1 est le seul moyen raisonnable d'obtenir une réponse lors de la résolution d'un problème de type 2.

Tapez 3. Équations, inégalités, leurs systèmes et collections, pour lesquelles il est nécessaire de trouver toutes les valeurs de paramètres pour lesquelles les équations, inégalités, leurs systèmes et collections spécifiés ont un nombre donné de solutions (en particulier, elles n'ont pas ou n'ont pas un nombre infini de solutions).

Il est facile de voir que les problèmes de type 3 sont en quelque sorte l’inverse des problèmes de type 2.

Tapez 4. Équations, inégalités, leurs systèmes et ensembles, pour lesquels, pour les valeurs requises du paramètre, l'ensemble des solutions satisfait aux conditions spécifiées dans le domaine de définition.

Par exemple, recherchez les valeurs des paramètres auxquelles :

1) l'équation est satisfaite pour toute valeur de la variable d'un intervalle donné ;
2) l'ensemble des solutions de la première équation est un sous-ensemble de l'ensemble des solutions de la deuxième équation, etc.

Un commentaire. La variété des problèmes avec un paramètre couvre l'ensemble du cours de mathématiques scolaires (algèbre et géométrie), mais l'écrasante majorité d'entre eux lors des examens finaux et d'entrée appartiennent à l'un des quatre types répertoriés, qui pour cette raison sont appelés fondamentaux.

La classe de problèmes avec un paramètre la plus répandue est celle des problèmes avec une inconnue et un paramètre. Le paragraphe suivant indique les principaux moyens de résoudre les problèmes de cette classe particulière.

Quelles sont les principales manières (méthodes) de résoudre des problèmes avec un paramètre ?

Méthode I (analytique). Il s'agit d'une méthode dite de solution directe, répétant des procédures standard pour trouver la réponse à des problèmes sans paramètre. Parfois, ils disent qu'il s'agit d'une méthode de solution énergique, dans le bon sens, « arrogante ».

Un commentaire. La méthode analytique pour résoudre des problèmes avec un paramètre est la méthode la plus difficile, nécessitant un niveau élevé d'alphabétisation et le plus grand effort pour la maîtriser.

Méthode II (graphique). En fonction de la tâche (avec variable x et paramètreun ) les graphiques sont considérés soit dans le plan de coordonnées (x; y), soit dans le plan de coordonnées (x;un ).

Un commentaire. La clarté et la beauté exceptionnelles de la méthode graphique de résolution de problèmes avec un paramètre captivent tellement les étudiants du sujet « Problèmes avec un paramètre » qu'ils commencent à ignorer les autres méthodes de solution, oubliant le fait bien connu : pour toute classe de problèmes , leurs auteurs peuvent en formuler une qui est brillamment résolue de cette manière et avec des difficultés colossales d'autres manières. Par conséquent, au stade initial de l'étude, il est dangereux de commencer par des techniques graphiques pour résoudre des problèmes avec un paramètre.

Méthode III (décision concernant le paramètre). Lors de la résolution de cette manière, les variables x et a sont supposées égales et la variable par rapport à laquelle la solution analytique est considérée comme la plus simple est sélectionnée. Après des simplifications naturelles, nous revenons au sens originel des variables x et a et complétons la solution.

Je vais maintenant passer à la démonstration de ces méthodes pour résoudre des problèmes avec un paramètre, car c'est ma méthode préférée pour résoudre des problèmes de ce type.

Après avoir analysé toutes les tâches avec des paramètres résolus graphiquement, je commence ma connaissance des paramètres avec les tâches de l'examen d'État unifié B7 2002 :

À quelle est la valeur entière de l'équation 45x – 3x 2 - X 3 + 3k = 0 a exactement deux racines ?

Ces tâches permettent, d'une part, de rappeler comment construire des graphiques à l'aide de la dérivée, et d'autre part, d'expliquer la signification de la droite y = k.

Dans les cours suivants, j'utilise une sélection de problèmes compétitifs de niveau facile et moyen avec des paramètres de préparation à l'examen d'État unifié, des équations avec un module. Ces tâches peuvent être recommandées aux professeurs de mathématiques comme ensemble d'exercices de départ pour apprendre à travailler avec le paramètre indiqué sous le signe du module. La plupart des nombres sont résolus graphiquement et fournissent à l'enseignant un plan de cours prêt à l'emploi (ou deux leçons) avec un élève fort. Préparation initiale à l'examen d'État unifié de mathématiques à l'aide d'exercices proches en complexité des nombres réels C5. De nombreuses tâches proposées sont tirées de documents de préparation à l'examen d'État unifié 2009, et certaines proviennent d'Internet grâce à l'expérience de collègues.

1) Spécifiez toutes les valeurs des paramètresp , pour lequel l'équation a 4 racines ?
Répondre:

2) A quelles valeurs du paramètreUN l'équation n'a pas de solutions ?
Répondre:

3) Trouver toutes les valeurs de a, pour chacune desquelles l'équation a exactement 3 racines ?
Réponse : a=2

4) À quelles valeurs de paramètresb l'équation a une seule solution ? Répondre:

5) Trouver toutes les valeursm , pour lequel l'équation n'a pas de solutions.
Répondre:

6) Trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles l'équation a exactement 3 racines différentes. (S'il y a plus d'une valeur de a, notez leur somme dans votre réponse.)

Réponse : 3

7) A quelles valeursb l'équation a exactement 2 solutions ?
Répondre:

8) Précisez ces paramètresk , pour lequel l'équation a au moins deux solutions.
Répondre:

9) À quelles valeurs de paramètresp l'équation il n'y a qu'une seule solution ?
Répondre:

10) Trouver toutes les valeurs de a, pour chacune desquelles l'équation (x + 1)a exactement 2 racines ? S'il existe plusieurs valeurs de a, notez leur somme en réponse.

Réponse : - 3

11) Trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles l'équation a exactement 3 racines ? (S'il y a plus d'une valeur de a, notez leur somme en réponse).

Réponse : 4

12) A quelle plus petite valeur naturelle du paramètre a se trouve l'équation – = 11 n'a que des racines positives ?

Réponse : 19

13) Trouver toutes les valeurs de a, pour chacune desquelles l'équation = 1 a exactement 3 racines ? (S'il y a plus d'une valeur de a, notez leur somme dans votre réponse).

Réponse : - 3

14) Spécifiez les valeurs de paramètres suivantest , pour lequel l'équation a 4 solutions différentes. Répondre:

15) Retrouvez ces paramètresm , pour lequel l'équation a deux solutions différentes. Répondre:

16) A quelles valeurs du paramètrep l'équation a exactement 3 extrema ? Répondre:

17) Indiquer tous les paramètres n possibles pour lesquels la fonction a exactement un point minimum. Répondre:

J'utilise régulièrement l'ensemble publié pour travailler avec un étudiant capable, mais pas le plus fort, qui aspire néanmoins à un score élevé à l'examen d'État unifié en résolvant le numéro C5. L'enseignant prépare un tel étudiant en plusieurs étapes, en attribuant des cours séparés pour développer les compétences individuelles nécessaires à la recherche et à la mise en œuvre de solutions à long terme. Cette sélection convient à l'étape de formation d'idées sur les modèles flottants, en fonction du paramètre. Les numéros 16 et 17 sont basés sur le modèle d'une équation réelle avec un paramètre de l'examen d'État unifié 2011. Les tâches sont classées par ordre de difficulté croissante.

Devoir C5 en mathématiques Examen d'État unifié 2012

Nous avons ici un problème de paramètres traditionnel qui nécessite une maîtrise modérée du matériau et l’application de plusieurs propriétés et théorèmes. Cette tâche est l'une des tâches les plus difficiles de l'examen d'État unifié en mathématiques. Il est conçu principalement pour ceux qui ont l'intention de poursuivre leurs études dans des universités avec des exigences accrues en matière de préparation mathématique des candidats. Pour résoudre avec succès un problème, il est important d'opérer librement avec les définitions, propriétés, théorèmes étudiés, de les appliquer dans diverses situations, d'analyser la condition et de trouver des solutions possibles.

Sur le site de préparation à l'examen d'État unifié d'Alexandre Larin, à partir du 11 mai 2012, les options de formation n°1 à 22 ont été proposées avec des tâches de niveau « C », certaines d'entre elles C5 étaient similaires aux tâches de l'examen réel. . Par exemple, retrouvez toutes les valeurs du paramètre a, pour chacune desquelles les graphiques des fonctionsF(x) = Etg(x) = a(x + 5) + 2 n'ont pas de points communs ?

Regardons la solution à la tâche C5 de l'examen de 2012.

Tâche C5 de l'examen d'État unifié 2012

Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation est-elle a au moins deux racines.

Résolvons ce problème graphiquement. Traçons le côté gauche de l'équation : et le graphique à droite :et formulez la question problématique comme suit : à quelles valeurs du paramètre a se trouvent les graphiques des fonctions Etavoir deux ou plusieurs points communs.

Il n'y a pas de paramètre sur le côté gauche de l'équation d'origine, nous pouvons donc tracer la fonction.

Nous allons construire ce graphique en utilisant les fonctions:

1. Décalez le graphique de la fonction3 unités plus bas le long de l'axe OY, on obtient le graphique de la fonction:

2. Traçons la fonction . Pour ce faire, une partie du graphique de la fonction , situé en dessous de l'axe OX, sera affiché symétriquement par rapport à cet axe :

Donc, le graphique de la fonctiona la forme :

Graphique d'une fonction

1. Tâche.
À quelles valeurs de paramètre un l'équation ( un - 1)X 2 + 2X + un- Est-ce que 1 = 0 a exactement une racine ?

1. Solutions.
À un= 1 l'équation est 2 X= 0 et a évidemment une seule racine X= 0. Si un N° 1, alors cette équation est quadratique et a une racine unique pour les valeurs de paramètres pour lesquelles le discriminant du trinôme quadratique est égal à zéro. En assimilant le discriminant à zéro, on obtient une équation pour le paramètre un 4un 2 - 8un= 0, d'où un= 0 ou un = 2.

1. Réponse : l'équation a une seule racine en un O (0 ; 1 ; 2).

2. Tâche.
Rechercher toutes les valeurs des paramètres un, pour laquelle l'équation a deux racines différentes X 2 +4hache+8un+3 = 0.
2. Solutions.
L'équation X 2 +4hache+8un+3 = 0 a deux racines distinctes si et seulement si D = 16un 2 -4(8un+3) > 0. On obtient (après réduction par un facteur commun à 4) 4 un 2 -8un-3 > 0, d'où

2. Réponse :

3. Tâche.
Il est connu que
F 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Représenter graphiquement la fonction F 1 (X) à un = 1.
b) A quelle valeur un graphiques de fonctions F 1 (X) Et F 2 (X) ont un seul point commun ?

3. Solutions.
3.a. Transformons-nous F 1 (X) de la manière suivante
Le graphique de cette fonction à un= 1 est indiqué dans la figure de droite.
3.b. Notons immédiatement que les graphiques de fonctions oui = kx+b Et oui = hache 2 +bx+c (un N° 0) se coupent en un seul point si et seulement si l'équation quadratique kx+b = hache 2 +bx+c a une seule racine. Utiliser la vue F 1 de 3.a, égalisons le discriminant de l'équation un = 6X-X 2 -6 à zéro. De l'équation 36-24-4 un= 0 on obtient un= 3. Faites de même avec l'équation 2 X-un = 6X-X 2 -6 nous trouverons un= 2. Il est facile de vérifier que ces valeurs de paramètres satisfont aux conditions du problème. Répondre: un= 2 ou un = 3.

4. Tâche.
Trouver toutes les valeurs un, pour lequel l'ensemble des solutions à l'inégalité X 2 -2hache-3un i 0 contient le segment .

4. Solutions.
Première coordonnée du sommet de la parabole F(X) = X 2 -2hache-3unégal à X 0 = un. A partir des propriétés d'une fonction quadratique, la condition F(X) i 0 sur le segment équivaut à un ensemble de trois systèmes
a exactement deux solutions ?

5. Solutions.
Réécrivons cette équation sous la forme X 2 + (2un-2)X - 3un+7 = 0. Il s'agit d'une équation quadratique ; elle a exactement deux solutions si son discriminant est strictement supérieur à zéro. En calculant le discriminant, nous constatons que la condition pour la présence d'exactement deux racines est la réalisation de l'inégalité un 2 +un-6 > 0. En résolvant l'inégalité, on trouve un < -3 или un> 2. La première des inégalités n'a évidemment pas de solution en nombres naturels, et la plus petite solution naturelle de la seconde est le nombre 3.

5. Réponse : 3.

6. Problème (10 clés)
Trouver toutes les valeurs un, pour lequel le graphe de la fonction ou, après transformations évidentes, un-2 = | 2-un| . La dernière équation est équivalente à l'inégalité un je 2.

6. Réponse : unÀ PROPOS )