Le terme séquence. Opérations sur les séquences

Un nombre naturel est une caractéristique quantitative d'un ensemble immuable. Cependant, dans la pratique, le nombre d'objets change constamment, par exemple le nombre de têtes de bétail dans une certaine ferme. De plus, la séquence la plus simple, mais aussi la plus importante, apparaît immédiatement dans le processus de comptage : il s'agit de la séquence de nombres naturels : 1, 2, 3, ....

Si un changement dans le nombre d'objets dans une certaine population est fixé sous la forme d'une certaine séquence de nombres naturels (membres de la séquence), alors une autre séquence apparaît naturellement - une séquence de nombres, par exemple

A cet égard, le problème de la nomination des membres d'une séquence se pose. Désigner chaque membre avec une lettre spéciale est extrêmement gênant pour les raisons suivantes. Premièrement, la séquence peut contenir un nombre très grand, voire infini, de termes. Deuxièmement, des lettres différentes cachent le fait que les membres de la séquence appartiennent à la même population, bien que le nombre d'éléments change. Enfin, dans ce cas, les numéros de membres dans la séquence ne seront pas reflétés.

Ces raisons nous obligent à désigner les membres de la séquence par une seule lettre et à les distinguer par un index. Par exemple, une séquence composée de dix termes peut être désignée par la lettre UN: UN 1 , UN 2 , UN 3 , …, UN 10. Le fait que la séquence soit infinie est exprimé par les points de suspension, comme si on prolongeait indéfiniment cette séquence : UN 1 , UN 2 , UN 3, ... Parfois la séquence commence à être numérotée à partir de zéro : : UN 0 , UN 1 , UN 2 , UN 3 , …

Certaines séquences peuvent être perçues comme des ensembles aléatoires de nombres, puisque la loi de formation des membres de la séquence est inconnue, voire absente. Cependant, une attention particulière est portée aux séquences pour lesquelles une telle loi est connue.

Pour indiquer la loi de formation des membres de la séquence, deux méthodes sont le plus souvent utilisées. Le premier d’entre eux est le suivant. Le premier terme est précisé, puis la méthode selon laquelle le suivant est obtenu à partir du dernier terme déjà connu. Pour écrire une loi, un membre de séquence avec un numéro non spécifié est utilisé, par exemple, et k et le prochain membre et k +1, après quoi la formule qui les relie est écrite.

Les exemples les plus célèbres et les plus importants sont les progressions arithmétiques et géométriques. La progression arithmétique est définie par la formule et k +1 = et k + r(ou et k +1 = et k – r). Les termes d'une progression arithmétique augmentent uniformément (comme une échelle) ou diminuent uniformément (également comme une échelle). Ampleur r s'appelle la différence de progression parce que et k +1 – et k = r. Des exemples de progressions arithmétiques avec des termes naturels sont

a) nombres naturels ( un 1 = 1 ;et k +1 = et k + 1);

b) une séquence infinie 1, 3, 5, 7, … ( un 1 = 1 ;et k +1 = et k + 2);

c) la séquence finale 15, 12, 9, 6, 3 ( un 1 = 15 ;et k +1 = et k–3 ).

La progression géométrique est donnée par la formule b k +1 = bb ∙q. Ampleur q est appelé le dénominateur d'une progression géométrique car b k +1 : b k = q. Les progressions géométriques avec des termes naturels et un dénominateur supérieur à un grandissent et grandissent rapidement, même comme une avalanche. Des exemples de progressions géométriques avec des termes naturels sont

a) une séquence infinie 1, 2, 4, 8, … ( b1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2);

b) séquence infinie 3, 12, 48, 192, 768,… ( b1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4).

La deuxième façon d'indiquer la loi de détermination des termes d'une séquence est d'indiquer une formule qui permet de calculer un membre de séquence avec un nombre non précisé (terme commun), par exemple, et k, en utilisant le numéro k.

Les termes des progressions arithmétiques et géométriques peuvent également être calculés de cette manière. Puisque la progression arithmétique est définie par la formule et k +1 = et k + r, il est facile de comprendre comment le terme est exprimé et k en utilisant le numéro k:

un 1– déterminé arbitrairement ;

un 2 = une 1 + r= une 1 + 1∙r;

un 3 = une 2 + r = une 1 + r + r = une 1 + 2∙r;

un 4 = une 3 + r = une 1 + 2∙r + r = une 1 + 3∙r;

…………………………………

et k = une 1 + (k–1)∙r– formule finale.

Pour une progression géométrique, la formule du terme général est dérivée de la même manière : bb = b 1 ∙ q k –1 .

Outre les progressions arithmétiques et géométriques, d'autres séquences présentant un caractère particulier de changement peuvent être déterminées de la même manière. A titre d'exemple, nous donnons une suite de carrés de nombres naturels : sk = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

Il existe des manières plus complexes de former des séquences, par exemple, l'une est construite à l'aide d'une autre. La progression géométrique déterminée par les paramètres est particulièrement importante pour l'arithmétique. b1 = 1, q= 10, c'est-à-dire la séquence de puissances de dix : 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... Il est utilisé pour représenter les nombres naturels dans le nombre positionnel système. De plus, pour chaque nombre naturel n une séquence apparaît composée de nombres avec lesquels le nombre donné est écrit : une n une n – 1 ... une 2 une 1 une 0. Nombre et k indique combien de termes de type 10 k contient un numéro n.

Le concept de séquence conduit aux concepts les plus importants de quantité et de fonction pour les mathématiques. Une quantité est une caractéristique numérique changeante d’un objet ou d’un phénomène. Son changement est perçu comme une séquence de nombres. L'existence d'une relation entre les termes eux-mêmes et leurs nombres, ainsi que son expression à l'aide de formules, conduit étroitement à la notion de fonction.

10. Système de nombres décimaux.

La découverte mathématique la plus importante, utilisée par presque tous les membres d'une société assez développée, est le système de numérotation positionnelle. Il a permis de résoudre le problème principal du comptage, qui est la capacité de nommer de plus en plus de nouveaux nombres, en utilisant des notations (chiffres) uniquement pour les premiers nombres.

Le système de numérotation positionnelle est traditionnellement associé au nombre dix, mais d'autres systèmes, par exemple binaires, peuvent être construits sur les mêmes principes. Lors de la construction d'un système de nombres positionnels décimaux, dix chiffres arabes sont introduits : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Avec leur aide, un nombre peut être écrit qui exprime le nombre d'objets de tout ensemble fini. A cet effet, un algorithme spécial est utilisé, c'est-à-dire une séquence clairement définie d'actions élémentaires.

Les éléments comptés sont regroupés en groupes de dix, ce qui correspond à une division par dix avec un reste. En conséquence, deux ensembles sont formés : les uns et les dizaines. Les dizaines sont à nouveau regroupées par dizaines en centaines. Il est clair que le nombre de dizaines (on le note un 1) est nécessairement inférieur à dix et, par conséquent, un 1 peut être indiqué par un numéro. Ensuite, les centaines sont regroupées en milliers, les milliers en dizaines de milliers, etc. jusqu'à ce que tous les éléments soient regroupés. La construction du nombre se termine en écrivant les nombres résultants de gauche à droite des grands indices aux plus petits. Numérique et k correspondent au nombre de groupes d'objets de 10 k. L'enregistrement final d'un nombre consiste en une séquence finie de chiffres une n une n – 1 ... une 2 une 1 une 0. Le nombre correspondant est égal à l'expression

à n ·10 n + à n – 1 ·10 n – 1 + … + à 2 ·10 2 + à 1 ·10 1 + à 0 ·10 0.

Le mot « positionnel » dans le nom du système numérique est dû au fait qu'un nombre change de signification en fonction de sa position dans la notation du nombre. Le dernier chiffre précise le nombre d'unités, l'avant-dernier chiffre précise le nombre de dizaines, etc.

Notez que l'algorithme permettant d'obtenir un enregistrement de nombres dans un système numérique avec n'importe quelle base N: consiste en un regroupement séquentiel d'objets selon N des choses. Lorsque vous écrivez des nombres, vous devez utiliser N Nombres

Si chaque nombre naturel n est associé à un nombre réel x n, alors on dit que le nombre donné séquence de nombres

x 1 , x 2 , … xn , …

Nombre x 1 est appelé membre de la séquence avec le numéro 1 ou premier membre de la séquence, nombre x 2 - membre de la séquence avec le numéro 2 ou le deuxième membre de la séquence, etc. Le nombre x n est appelé membre de la séquence avec numéro n.

Il existe deux manières de spécifier des séquences de nombres : avec et avec formule récurrente.

Séquence utilisant formules pour le terme général d'une séquence– c'est une tâche séquentielle

x 1 , x 2 , … xn , …

en utilisant une formule exprimant la dépendance du terme x n sur son nombre n.

Exemple 1. Séquence numérique

1, 4, 9, … n 2 , …

donné en utilisant la formule du terme courant

xn = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Spécifier une séquence à l'aide d'une formule exprimant un membre de séquence x n à travers les membres de séquence avec les numéros précédents est appelé spécifier une séquence à l'aide de formule récurrente.

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé en séquence croissante, plus membre précédent.

Autrement dit, pour tout le monde n

x n + 1 >x n

Exemple 3. Séquence de nombres naturels

1, 2, 3, … n, …

est séquence ascendante.

Définition 2. Séquence numérique

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé séquence décroissante si chaque membre de cette séquence moins membre précédent.

Autrement dit, pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

x n + 1 < x n

Exemple 4. Sous-séquence

donné par la formule

est séquence décroissante.

Exemple 5. Séquence numérique

1, - 1, 1, - 1, …

donné par la formule

xn = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

n'est pas ni en augmentation ni en diminution séquence.

Définition 3. Les séquences de nombres croissants et décroissants sont appelées séquences monotones.

Séquences limitées et illimitées

Définition 4. Suite de nombres

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé limité d'en haut, s'il existe un nombre M tel que chaque membre de cette séquence moins les numéros M.

Autrement dit, pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

Définition 5. Séquence numérique

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé délimité en dessous, s'il existe un nombre m tel que chaque membre de cette séquence plus nombres m.

Autrement dit, pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

Définition 6. Séquence numérique

x 1 , x 2 , … xn , …

est appelé limité s'il limité au-dessus et au-dessous.

En d’autres termes, il existe des nombres M et m tels que pour tout n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

m< x n < M

Définition 7. Séquences numériques qui ne sont pas limités, appelé séquences illimitées.

Exemple 6. Séquence numérique

1, 4, 9, … n 2 , …

donné par la formule

xn = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

délimité en dessous, par exemple, le nombre 0. Cependant, cette séquence illimité d'en haut.

Exemple 7. Sous-séquence

donné par la formule

est séquence limitée, parce que pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

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Introduction…………………………………………………………………………………3

1. Partie théorique……………………………………………………………….4

Concepts et termes de base……………………………………………………………......4

1.1 Types de séquences……………………………………………………………...6

1.1.1.Séquences de numéros limitées et illimitées…..6

1.1.2.Monotonie des séquences…………………………………6

1.1.3.Séquences infiniment grandes et infinitésimales…….7

1.1.4.Propriétés des séquences infinitésimales…………………8

1.1.5.Séquences convergentes et divergentes et leurs propriétés.....9

1.2 Limite de séquence………………………………………………….11

1.2.1.Théorèmes sur les limites des suites……………………………15

1.3. Progression arithmétique…………………………………………………17

1.3.1. Propriétés de la progression arithmétique…………………………………..17

1.4Progression géométrique……………………………………………………………..19

1.4.1. Propriétés de la progression géométrique…………………………………….19

1.5. Nombres de Fibonacci……………………………………………………………..21

1.5.1 Connexion des nombres de Fibonacci avec d'autres domaines de connaissances………………….22

1.5.2. Utiliser la série de nombres de Fibonacci pour décrire la nature vivante et inanimée…………………………………………………………………………………………….23

2. Recherches personnelles…………………………………………………….28

Conclusion………………………………………………………………………………….30

Liste des références……………………………………………………………....31

Introduction.

Les séquences de nombres sont un sujet très intéressant et éducatif. Ce sujet se retrouve dans les tâches d'une complexité accrue qui sont proposées aux étudiants par les auteurs de matériel didactique, dans les problèmes des Olympiades de mathématiques, des examens d'entrée aux établissements d'enseignement supérieur et de l'examen d'État unifié. Je souhaite apprendre comment les séquences mathématiques sont liées à d'autres domaines de connaissances.

Objectif du travail de recherche : Développer les connaissances sur la séquence de nombres.

1. Considérez la séquence ;

2. Considérez ses propriétés ;

3. Considérez la tâche analytique de la séquence ;

4. Démontrer son rôle dans le développement d'autres domaines de connaissances.

5. Démontrer l’utilisation de la série de nombres de Fibonacci pour décrire la nature vivante et inanimée.

1. Partie théorique.

Concepts et termes de base.

Définition. Une séquence numérique est une fonction de la forme y = f(x), x О N, où N est l'ensemble des nombres naturels (ou une fonction d'un argument naturel), noté y = f(n) ou y1, y2, …, oui,…. Les valeurs y1, y2, y3,... sont appelées respectivement premier, deuxième, troisième,... membres de la séquence.

Un nombre a est appelé la limite de la séquence x = (x n ) si pour un nombre positif arbitrairement petit prédéterminé arbitrairement petit ε il existe un nombre naturel N tel que pour tout n>N l'inégalité |x n - a|< ε.

Si le nombre a est la limite de la séquence x = (x n ), alors ils disent que x n tend vers a, et écrivent

Une suite (yn) est dite croissante si chaque membre (sauf le premier) est supérieur au précédent :

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Une suite (yn) est dite décroissante si chaque membre (sauf le premier) est inférieur au précédent :

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Les séquences croissantes et décroissantes sont combinées sous le terme commun : séquences monotones.

Une séquence est dite périodique s'il existe un nombre naturel T tel que, à partir d'un certain n, l'égalité yn = yn+T est vraie. Le nombre T est appelé la durée de la période.

Une progression arithmétique est une suite (an) dont chaque terme, à partir du second, est égal à la somme du terme précédent et du même nombre d, est appelée progression arithmétique, et le nombre d est la différence d'un progression arithmétique.

Ainsi, une progression arithmétique est une suite numérique (an) définie de manière récurrente par les relations

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Une progression géométrique est une suite dans laquelle tous les termes sont différents de zéro et dont chaque terme, à partir du second, est obtenu à partir du terme précédent en multipliant par le même nombre q.

Ainsi, une progression géométrique est une suite numérique (bn) définie de manière récurrente par les relations

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Types de séquences.

1.1.1 Séquences restreintes et non restreintes.

Une séquence (bn) est dite bornée ci-dessus s'il existe un nombre M tel que pour tout nombre n l'inégalité bn≤ M est vraie ;

Une séquence (bn) est dite bornée ci-dessous s'il existe un nombre M tel que pour tout nombre n l'inégalité bn≥ M est vraie ;

Par exemple:

1.1.2 Monotonie des séquences.

Une séquence (bn) est dite non croissante (non décroissante) si pour tout nombre n l'inégalité bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) est vraie ;

Une séquence (bn) est dite décroissante (croissante) si pour tout nombre n l'inégalité bn > bn+1 (bn

Les séquences décroissantes et croissantes sont dites strictement monotones, les séquences non croissantes sont dites monotones au sens large.

Les séquences délimitées au-dessus et en dessous sont appelées limitées.

La séquence de tous ces types est dite monotone.

1.1.3 Séquences infiniment grandes et petites.

Une séquence infinitésimale est une fonction ou une séquence numérique qui tend vers zéro.

Une suite an est dite infinitésimale si

Une fonction est dite infinitésimale au voisinage du point x0 si ℓimx→x0 f(x)=0.

Une fonction est dite infinitésimale à l'infini si ℓimx→.+∞ f(x)=0 ou ℓimx→-∞ f(x)=0

Infinitésimal est également une fonction qui représente la différence entre une fonction et sa limite, c'est-à-dire que si ℓimx→.+∞ f(x)=a, alors f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Une séquence infiniment grande est une fonction ou une séquence numérique qui tend vers l'infini.

Une suite an est dite infiniment grande si

ℓimn→0 an=∞.

Une fonction est dite infiniment grande au voisinage du point x0 si ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Une fonction est dite infiniment grande à l’infini si

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ou ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Propriétés des séquences infinitésimales.

La somme de deux séquences infinitésimales est elle aussi une séquence infinitésimale.

La différence de deux séquences infinitésimales est elle-même aussi une séquence infinitésimale.

La somme algébrique de tout nombre fini de séquences infinitésimales est elle-même également une séquence infinitésimale.

Le produit d’une suite bornée et d’une suite infinitésimale est une suite infinitésimale.

Le produit de tout nombre fini de séquences infinitésimales est une séquence infinitésimale.

Toute séquence infinitésimale est bornée.

Si une séquence stationnaire est infinitésimale, alors tous ses éléments, à partir d'un certain point, sont égaux à zéro.

Si toute la séquence infinitésimale est constituée d’éléments identiques, alors ces éléments sont des zéros.

Si (xn) est une suite infiniment grande ne contenant aucun terme nul, alors il existe une suite (1/xn) qui est infinitésimale. Si, cependant, (xn) contient zéro élément, alors la séquence (1/xn) peut toujours être définie à partir d'un certain nombre n, et sera toujours infinitésimale.

Si (an) est une séquence infinitésimale ne contenant aucun terme nul, alors il existe une séquence (1/an) qui est infiniment grande. Si (an) contient néanmoins zéro élément, alors la séquence (1/an) peut toujours être définie à partir d'un certain nombre n, et sera toujours infiniment grande.

1.1.5 Séquences convergentes et divergentes et leurs propriétés.

Une séquence convergente est une séquence d'éléments d'un ensemble X qui a une limite dans cet ensemble.

Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente.

Toute séquence infinitésimale est convergente. Sa limite est nulle.

Supprimer un nombre fini d'éléments d'une séquence infinie n'affecte ni la convergence ni la limite de cette séquence.

Toute suite convergente est bornée. Cependant, toutes les séquences limitées ne convergent pas.

Si la suite (xn) converge, mais n'est pas infinitésimale, alors, à partir d'un certain nombre, on définit une suite (1/xn), qui est bornée.

La somme des séquences convergentes est également une séquence convergente.

La différence des séquences convergentes est également une séquence convergente.

Le produit de suites convergentes est aussi une suite convergente.

Le quotient de deux séquences convergentes est défini à partir d'un élément, sauf si la deuxième séquence est infinitésimale. Si le quotient de deux suites convergentes est défini, alors c’est une suite convergente.

Si une suite convergente est bornée en dessous, alors aucun de ses infimums ne dépasse sa limite.

Si une séquence convergente est bornée au-dessus, alors sa limite ne dépasse aucune de ses limites supérieures.

Si pour un nombre quelconque les termes d'une suite convergente ne dépassent pas les termes d'une autre suite convergente, alors la limite de la première suite ne dépasse pas non plus la limite de la seconde.

Considérons une série de nombres naturels : 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Si nous remplaçons chaque nombre naturel n dans cette série par un certain nombre un n, suivant une certaine loi, nous obtenons une nouvelle série de nombres :

un 1 , un 2 , un 3 , , un n –1 , un n , ,

brièvement désigné et appelé séquence numérique. Ampleur un n est appelé membre commun d’une séquence de nombres. Habituellement, la séquence de nombres est donnée par une formule un n = f(n) vous permettant de retrouver n'importe quel membre de la séquence par son numéro n; cette formule est appelée formule du terme général. Notez qu'il n'est pas toujours possible de définir une séquence numérique à l'aide d'une formule de terme général ; parfois, une séquence est spécifiée en décrivant ses membres.

Par définition, une séquence contient toujours un nombre infini d'éléments : deux éléments différents diffèrent au moins par leur nombre, qui est infini.

Une séquence de nombres est un cas particulier de fonction. Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des nombres naturels et prenant des valeurs dans l'ensemble des nombres réels, soit une fonction de la forme f : N  R..

Sous-séquence
appelé croissant(décroissant), le cas échéant n  N
De telles séquences sont appelées strictement monotone.

Parfois, il est pratique d'utiliser non pas tous les nombres naturels comme nombres, mais seulement certains d'entre eux (par exemple, les nombres naturels commençant à partir d'un nombre naturel n 0). Pour la numérotation, il est également possible d'utiliser non seulement des nombres naturels, mais également d'autres nombres, par exemple : n= 0, 1, 2,  (ici zéro est ajouté comme autre nombre à l'ensemble des nombres naturels). Dans de tels cas, lors de la spécification de la séquence, indiquez les valeurs que prennent les nombres n.

Si dans une certaine séquence pour n'importe quel n  N
alors la séquence s'appelle non décroissant(non croissant). De telles séquences sont appelées monotone.

Exemple 1 . La séquence numérique 1, 2, 3, 4, 5, ... est une série de nombres naturels et a un terme commun un n = n.

Exemple 2 . La séquence numérique 2, 4, 6, 8, 10, ... est une série de nombres pairs et a un terme commun un n = 2n.

Exemple 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – une séquence numérique de valeurs approximatives avec une précision croissante.

Dans le dernier exemple il est impossible de donner une formule pour le terme général de la suite.

Exemple 4 . Écrivez les 5 premiers termes d'une suite de nombres en utilisant son terme commun
. Pour calculer un 1 est nécessaire dans la formule du terme général un n au lieu de n remplacer 1 pour calculer un 2 − 2, etc. On a alors :

Essai 6 . Le membre commun de la séquence 1, 2, 6, 24, 120,  est :

Essai 7 .
est:

Essai 8 . Membre commun de la séquence
est:

Limite de séquence de numéros

Considérons une séquence de nombres dont le terme commun se rapproche d'un nombre UN quand le numéro de série augmente n. Dans ce cas, on dit que la séquence de nombres a une limite. Ce concept a une définition plus stricte.

Nombre UN appelé la limite d'une séquence de nombres
:

(1)

si pour tout  > 0 il existe un tel nombre n 0 = n 0 (), en fonction de , qui
à n > n 0 .

Cette définition signifie que UN il y a une limite à une séquence de nombres si son terme commun s'approche sans limite UN avec une augmentation n. Géométriquement, cela signifie que pour tout  > 0 on peut trouver un tel nombre n 0 , qui, à partir de n > n 0 , tous les membres de la séquence sont situés à l'intérieur de l'intervalle ( UN – , UN+ ). Une suite ayant une limite est appelée convergent; sinon - divergent.

Une séquence de nombres ne peut avoir qu'une seule limite (finie ou infinie) d'un certain signe.

Exemple 5 . Séquence harmonique a pour nombre limite 0. En effet, pour tout intervalle (–; +) comme nombre N 0 peut être n’importe quel entier supérieur à . Alors pour tout le monde n > n 0 >nous avons

Exemple 6 . La suite 2, 5, 2, 5,  est divergente. En effet, aucun intervalle de longueur inférieure par exemple à un ne peut contenir tous les membres de la séquence, à partir d'un certain nombre.

La séquence s'appelle limité, si un tel numéro existe M., Quoi
pour tout le monde n. Toute suite convergente est bornée. Toute séquence monotone et délimitée a une limite. Chaque séquence convergente a une limite unique.

Exemple 7 . Sous-séquence
est croissante et limitée. Elle a une limite
=e.

Nombre e appelé Numéro d'Euler et approximativement égal à 2,718 28.

Essai 9 . La séquence 1, 4, 9, 16,  est :

1) convergente ;

2) divergent ;

3) limité ;

Essai 10 . Sous-séquence
est:

1) convergente ;

2) divergent ;

3) limité ;

4) progression arithmétique ;

5) progression géométrique.

Essai 11 . Sous-séquence n'est pas :

1) convergente ;

2) divergent ;

3) limité ;

4) harmonique.

Test 12 . Limite d'une suite donnée par un terme commun
égal.

1 Définition

2 Exemples

3 Opérations sur les séquences

4 Sous-séquences

4.1 Exemples
4.2 Propriétés

5 Point limite de séquence

6 Limite de séquence

7 Certains types de séquences

7.1 Séquences limitées et illimitées
- 7.1.1 Critère de limitation d'une séquence numérique
  7.1.2 Propriétés des séquences bornées

7.2 Séquences infiniment grandes et infinitésimales

7.2.1 Propriétés des séquences infinitésimales

7.3 Séquences convergentes et divergentes

7.3.1 Propriétés des séquences convergentes

7.4 Séquences monotones

7.5 Séquences fondamentales

Séquence numérique- Ce sous-séquenceéléments de l’espace numérique.

Les séquences de nombres sont l'un des principaux objets de considération dans analyse mathématique.

Définition

Laissez l'ensemble X est soit l'ensemble des nombres réels, soit l'ensemble des nombres complexes. Alors la séquence des éléments de l'ensemble X appelé séquence numérique.

Exemples

Opérations sur les séquences

Sur beaucoup toutes les séquences d'éléments de l'ensemble X peut être déterminé arithmétique et d'autres opérations, s'ils sont définis sur l'ensemble X. De telles opérations sont généralement définies de manière naturelle, c'est-à-dire élément par élément.

Laisse sur le plateau X déterminé N-opération aire f:

Ensuite pour les éléments , , …, l'ensemble de toutes les séquences d'éléments de l'ensemble X opération f sera déterminé comme suit :

Par exemple, c'est ainsi que sont définies les opérations arithmétiques pour les séquences de nombres.

Montant x n) Et ( oui nz n) tel que z n = x n + oui n .

Par différence séquences de nombres ( x n) Et ( oui n) est appelé une séquence de nombres ( z n) tel que z n = x n − oui n .

Le travail séquences de nombres x n Et oui n appelé la séquence de nombres ( z n) tel que .

Privé séquence de nombres x n et séquence de nombres oui n, dont tous les éléments sont différents de zéro, est appelé une séquence de nombres . Si en séquence oui n position a toujours un élément zéro, alors le résultat de la division par une telle séquence peut toujours être défini comme la séquence .

Bien entendu, les opérations arithmétiques peuvent être définies non seulement sur un ensemble de séquences numériques, mais également sur n'importe quel ensemble de séquences d'éléments d'ensembles sur lesquels des opérations arithmétiques sont définies, que ce soit champs ou même anneaux.

Sous-séquences

Sous-séquence séquences ( x n) est une séquence où ( k n) est une séquence croissante d’éléments de l’ensemble des nombres naturels.

En d’autres termes, une sous-séquence est obtenue à partir d’une séquence en supprimant un nombre fini ou dénombrable d’éléments.

Exemples

Sous-séquence nombres premiers est une sous-séquence d’une séquence de nombres naturels.

Suite de nombres naturels, multiples 12 , est une sous-séquence de la séquence même nombres naturels.

Propriétés

Chaque séquence est sa propre sous-séquence.

Une sous-séquence d’une séquence convergente converge vers la même limite que la séquence d’origine.

Si toutes les sous-séquences d’une séquence originale convergent, alors leurs limites sont égales.

Toute sous-séquence d’une séquence infiniment grande est également infiniment grande.

À partir de n'importe quelle séquence de nombres illimités, on peut sélectionner une sous-séquence infiniment grande, dont tous les éléments ont un certain signe.

À partir de n'importe quelle séquence numérique, on peut sélectionner soit une sous-suite convergente, soit une sous-suite infiniment grande, dont tous les éléments ont un certain signe.

Point limite de séquence

Article principal: Point limite

Point limite de séquence est un point dans n'importe quel voisinage duquel il y a une infinité d'éléments de cette séquence. Pour les suites de nombres convergentes, le point limite coïncide avec limite.

Limite de séquence

Article principal: Limite de séquence

Limite de séquence - c'est un objet vers lequel les membres de la séquence se rapprochent à mesure que leur nombre augmente. Donc en gratuit espace topologique la limite d'une séquence est un élément dans tout quartier qui contient tous les termes de la suite, à partir de certains. En particulier, pour les séquences de nombres, une limite est un nombre dans n'importe quel voisinage duquel se trouvent tous les membres de la séquence à partir d'un certain point.

Limite de séquence partielle est la limite d'une de ses sous-séquences. Pour les suites de nombres convergentes, elle coïncide toujours avec la limite habituelle.

Limite supérieure de séquence est le plus grand point limite de cette séquence.

Limite inférieure de séquence est le plus petit point limite de cette séquence.

Certains types de séquences

Séquence stationnaire est une séquence dont tous les membres, à partir d’un point donné, sont égaux.

(x n) stationnaire

Séquences limitées et illimitées

Supposant ordre linéaire ensembles Xéléments d’une séquence, nous pouvons introduire les notions de séquences limitées et illimitées.

Séquence limitée supérieure X, dont tous les membres ne dépassent pas un élément de cet ensemble. Cet élément est appelé bord supérieur cette séquence.

(x n) délimité au-dessus

Séquence délimitée ci-dessous est une séquence d'éléments d'un ensemble X, pour lequel dans cet ensemble il existe un élément qui ne dépasse pas tous ses membres. Cet élément est appelé bord inférieur cette séquence.

(x n) délimité en dessous

Séquence limitée (séquence délimitée des deux côtés ) est une séquence délimitée à la fois au-dessus et au-dessous.

(x n) limité

Séquence illimitée est une séquence qui n’est pas limitée.

(x n) illimité

Critère de limitation d'une séquence numérique

Une suite de nombres est délimitée si et seulement s’il existe un nombre tel que modules de tous les membres de la séquence ne le dépassent pas.

(x n) limité

Propriétés des séquences bornées

Séquences infiniment grandes et infinitésimales

Séquence infinitésimale est une séquence limite qui est égal à zéro.

Séquence infiniment grande est une suite dont la limite est infini.

Propriétés des séquences infinitésimales

Les séquences infinitésimales se distinguent par un certain nombre de propriétés remarquables qui sont activement utilisées dans analyse mathématique, ainsi que dans des disciplines connexes et plus générales.

La somme de deux séquences infinitésimales est elle aussi une séquence infinitésimale.

La différence de deux séquences infinitésimales est elle-même aussi une séquence infinitésimale.

La somme algébrique de tout nombre fini de séquences infinitésimales est elle-même également une séquence infinitésimale.

Le produit d’une suite bornée et d’une suite infinitésimale est une suite infinitésimale.

Le produit de tout nombre fini de séquences infinitésimales est une séquence infinitésimale.

Toute séquence infinitésimale est bornée.

Si une suite stationnaire est infinitésimale, alors tous ses éléments, à partir de certains, sont égaux à zéro.

Si toute la séquence infinitésimale est constituée d’éléments identiques, alors ces éléments sont des zéros.

Si ( x n) est une suite infiniment grande qui ne contient pas de termes nuls, alors il existe une suite (1 / x n), ce qui est infinitésimal. x n Si ( x n n) contient toujours zéro élément, alors la séquence (1 /

, et sera toujours infinitésimal. n Si (α n) est une suite infinitésimale qui ne contient pas de termes nuls, alors il existe une suite (1 / α n), qui est infiniment grand. n Si (α n) contient toujours zéro élément, alors la séquence (1 / α

Séquences convergentes et divergentes

Séquence convergente est une séquence d'éléments d'un ensemble X, ayant limite dans cette multitude.

Séquence divergente est une suite qui n’est pas convergente.

Propriétés des séquences convergentes

Toute séquence infinitésimale est convergente. Sa limite est zéro.

Supprimer un nombre fini d'éléments d'une séquence infinie n'affecte ni la convergence ni la limite de cette séquence.

Toute séquence convergente d'éléments Espace Hausdorff n'a qu'une seule limite.

Toute suite convergente est bornée. Cependant, toutes les séquences limitées ne convergent pas.

Une suite converge si et seulement si elle est bornée et aussi limites supérieure et inférieure correspondre.

Si la séquence ( x n) converge, mais n'est pas infinitésimal, alors, à partir d'un certain nombre, la suite (1 / x n), ce qui est limité.

La somme des séquences convergentes est également une séquence convergente.

La différence des séquences convergentes est également une séquence convergente.

Le produit de suites convergentes est aussi une suite convergente.

Si une suite convergente est bornée en dessous, alors aucun de ses infimums ne dépasse sa limite.

Si une séquence convergente est bornée au-dessus, alors sa limite ne dépasse aucune de ses limites supérieures.

Si tous les éléments d'une certaine suite, à partir d'un certain nombre, se trouvent sur le segment compris entre les éléments correspondants de deux autres séquences convergeant vers la même limite, alors cette séquence converge également vers la même limite.

Toute suite convergente ( x n) peut être représenté par ( x n) = (un + α n), Où un- limite de séquence ( x n), et α n- une séquence infinitésimale.

Toute suite convergente est fondamental.

Dans ce cas, la séquence fondamentale de nombres converge toujours (comme toute séquence fondamentale d'éléments de l'espace complet).

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Séquences monotones Séquence monotone est une suite non croissante ou non décroissante. Dans ce cas, on suppose que sur l'ensemble d'où sont extraits les éléments de la séquence,.

relation d'ordre

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Séquences fondamentales (Séquence fondamentale , séquence convergente Séquence de Cauchy ) est une séquence d'éléments espace métrique

, dans lequel pour toute distance prédéterminée se trouve un élément tel que la distance à partir de laquelle l'un des éléments qui le suit ne dépasse pas celle spécifiée. Pour les suites de nombres, les notions de suites fondamentales et convergentes sont équivalentes, mais en général ce n'est pas le cas. Série de numéros de séquence

Résumé >> Mathématiques Va série convergente Numérique sous-séquence rangée - sans fin sous-séquence nombres reliés par signe... flux d'événements flux d'événements- événements qui se produisent au hasard... -va : 1. F(x) est défini partout numérique