Simplification des inégalités. Méthode des intervalles : résolution des inégalités strictes les plus simples

Pour commencer, un peu de poésie pour avoir une idée du problème que résout la méthode des intervalles. Disons que nous devons résoudre l'inégalité suivante :

(x − 5)(x + 3) > 0

Quelles sont les options ? La première chose qui vient à l’esprit de la plupart des étudiants est les règles « plus sur plus donne plus » et « moins sur moins donne plus ». Par conséquent, il suffit de considérer le cas où les deux parenthèses sont positives : x − 5 > 0 et x + 3 > 0. Ensuite, nous considérons également le cas où les deux parenthèses sont négatives : x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Les élèves plus avancés se souviendront (peut-être) qu’à gauche se trouve une fonction quadratique dont le graphique est une parabole. De plus, cette parabole coupe l'axe OX aux points x = 5 et x = −3. Pour des travaux ultérieurs, vous devez ouvrir les supports. Nous avons:

x 2 − 2x − 15 > 0

Or, il est clair que les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, car coefficient a = 1 > 0. Essayons de tracer un schéma de cette parabole :

La fonction est supérieure à zéro là où elle passe au-dessus de l'axe OX. Dans notre cas, ce sont les intervalles (−∞ −3) et (5 ; +∞) - c'est la réponse.

Attention : l'image montre exactement diagramme de fonction, pas son emploi du temps. Parce que pour un vrai graphique, il faut compter des coordonnées, calculer des déplacements et autres conneries dont nous n'avons absolument aucune utilité pour l'instant.

Pourquoi ces méthodes sont-elles inefficaces ?

Nous avons donc envisagé deux solutions à la même inégalité. Les deux se sont révélés assez encombrants. La première décision se pose : réfléchissez-y ! — un ensemble de systèmes d'inégalités. La deuxième solution n'est pas non plus particulièrement simple : vous devez vous souvenir du graphique de la parabole et d'un tas d'autres petits faits.

C'était une inégalité très simple. Il n'a que 2 multiplicateurs. Imaginez maintenant qu'il n'y aura pas 2, mais au moins 4 multiplicateurs. Par exemple :

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Comment résoudre une telle inégalité ? Passer en revue toutes les combinaisons possibles d’avantages et d’inconvénients ? Oui, nous nous endormirons plus vite que nous ne trouverons de solution. Dessiner un graphique n'est pas non plus une option, car le comportement d'une telle fonction sur le plan de coordonnées n'est pas clair.

Pour de telles inégalités, un algorithme de solution spécial est nécessaire, que nous examinerons aujourd'hui.

Quelle est la méthode des intervalles

La méthode des intervalles est un algorithme spécial conçu pour résoudre des inégalités complexes de la forme f (x) > 0 et f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Résolvez l'équation f (x) = 0. Ainsi, au lieu d'une inégalité, nous obtenons une équation beaucoup plus simple à résoudre ;
2. Marquez toutes les racines obtenues sur la ligne de coordonnées. Ainsi, la ligne droite sera divisée en plusieurs intervalles ;
3. Découvrez le signe (plus ou moins) de la fonction f (x) sur l'intervalle le plus à droite. Pour ce faire, il suffit de substituer dans f (x) n'importe quel nombre qui se trouvera à droite de toutes les racines marquées ;
4. Marquez les panneaux aux intervalles restants. Pour ce faire, rappelez-vous simplement qu'en passant par chaque racine, le signe change.

C'est ça! Après cela, il ne reste plus qu'à noter les intervalles qui nous intéressent. Ils sont marqués du signe « + » si l'inégalité était de la forme f (x) > 0, ou du signe « - » si l'inégalité était de la forme f (x)< 0.

À première vue, il peut sembler que la méthode des intervalles soit une sorte de chose minuscule. Mais en pratique, tout sera très simple. Entraînez-vous un peu et tout deviendra clair. Jetez un œil aux exemples et voyez par vous-même :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

(x − 2)(x + 7)< 0

Nous travaillons selon la méthode des intervalles. Étape 1 : remplacez l'inégalité par une équation et résolvez-la :

(x − 2)(x + 7) = 0

Le produit est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul :

x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Nous avons deux racines. Passons à l'étape 2 : marquez ces racines sur la ligne de coordonnées. Nous avons:

Maintenant étape 3 : trouvez le signe de la fonction sur l'intervalle le plus à droite (à droite du point marqué x = 2). Pour ce faire, vous devez prendre n'importe quel nombre supérieur au nombre x = 2. Par exemple, prenons x = 3 (mais personne n'interdit de prendre x = 4, x = 10 et même x = 10 000). On obtient :

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3 ;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10 ;

Nous trouvons que f (3) = 10 > 0, nous mettons donc un signe plus dans l'intervalle le plus à droite.

Passons au dernier point : nous devons noter les signes sur les intervalles restants. Nous rappelons qu'en passant par chaque racine, le signe doit changer. Par exemple, à droite de la racine x = 2 il y a un plus (nous nous en sommes assurés à l'étape précédente), il doit donc y avoir un moins à gauche.

Ce moins s'étend sur tout l'intervalle (−7 ; 2), il y a donc un moins à droite de la racine x = −7. Par conséquent, à gauche de la racine x = −7 il y a un plus. Il reste à marquer ces signes sur l'axe des coordonnées. Nous avons:

Revenons à l'inégalité originelle, qui avait la forme :

(x − 2)(x + 7)< 0

La fonction doit donc être inférieure à zéro. Cela signifie que nous nous intéressons au signe moins, qui n'apparaît que sur un seul intervalle : (−7 ; 2). Ce sera la réponse.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Étape 1 : mettre le côté gauche à zéro :

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9 ;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3 ;
1 − X = 0 ⇒ X = 1.

Rappel : le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro. C’est pourquoi nous avons le droit d’assimiler chaque tranche à zéro.

Étape 2 : marquez toutes les racines sur la ligne de coordonnées :

Étape 3 : découvrez le signe de l'écart le plus à droite. On prend n'importe quel nombre supérieur à x = 1. Par exemple, on peut prendre x = 10. On a :

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10 ;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197 ;
f (10) = −1197< 0.

Étape 4 : placement des panneaux restants. Nous rappelons qu'en passant par chaque racine, le signe change. En conséquence, notre image ressemblera à ceci :

C'est ça. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse. Jetez un autre regard sur l’inégalité d’origine :

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

C'est une inégalité de la forme f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9 ; 1) ∪ (3 ; +∞)

C'est la réponse.

Une remarque sur les signes de fonction

La pratique montre que les plus grandes difficultés de la méthode des intervalles surviennent dans les deux dernières étapes, c'est-à-dire lors de la pose de panneaux. De nombreux étudiants commencent à se perdre : quels chiffres prendre et où placer les panneaux.

Pour enfin comprendre la méthode des intervalles, considérons deux observations sur lesquelles elle se base :

1. Une fonction continue change de signe uniquement à ces points où il est égal à zéro. De tels points divisent l'axe des coordonnées en morceaux au sein desquels le signe de la fonction ne change jamais. C'est pourquoi nous résolvons l'équation f (x) = 0 et marquons les racines trouvées sur la ligne droite. Les chiffres trouvés sont des points « limites » séparant le pour et le contre.
2. Pour connaître le signe d'une fonction sur n'importe quel intervalle, il suffit de substituer n'importe quel nombre de cet intervalle dans la fonction. Par exemple, pour l'intervalle (−5 ; 6) on a le droit de prendre x = −4, x = 0, x = 4 et même x = 1,29374 si on veut. Pourquoi est-ce important ? Oui, car le doute commence à ronger de nombreux étudiants. Par exemple, et si pour x = −4 nous obtenions un plus, et pour x = 0 nous obtenions un moins ? Mais rien de tel n’arrivera jamais. Tous les points d'un même intervalle donnent le même signe. Rappelez-vous ceci.

C'est tout ce que vous devez savoir sur la méthode des intervalles. Bien entendu, nous l’avons analysé sous sa forme la plus simple. Il existe des inégalités plus complexes - non strictes, fractionnaires et à racines répétées. Vous pouvez également utiliser la méthode des intervalles pour eux, mais il s'agit d'un sujet pour une grande leçon distincte.

J'aimerais maintenant examiner une technique avancée qui simplifie considérablement la méthode des intervalles. Plus précisément, la simplification n'affecte que la troisième étape : le calcul du signe sur le morceau le plus à droite de la ligne. Pour une raison quelconque, cette technique n'est pas enseignée dans les écoles (du moins personne ne me l'a expliqué). Mais en vain - car en fait cet algorithme est très simple.

Ainsi, le signe de la fonction se trouve sur la partie droite de la droite numérique. Cette pièce a la forme (a ; +∞), où a est la plus grande racine de l’équation f (x) = 0. Afin de ne pas vous épater, considérons un exemple précis :

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ;
2 + X = 0 ⇒ X = −2 ;
7 − X = 0 ⇒ X = 7 ;

Nous avons 3 racines. Listons-les par ordre croissant : x = −2, x = 1 et x = 7. Évidemment, la plus grande racine est x = 7.

Pour ceux qui trouvent plus facile de raisonner graphiquement, je marquerai ces racines sur la ligne de coordonnées. Voyons ce qui se passe :

Il faut trouver le signe de la fonction f (x) sur l'intervalle le plus à droite, c'est-à-dire à (7; +∞). Mais comme nous l'avons déjà noté, pour déterminer le signe, vous pouvez prendre n'importe quel nombre de cet intervalle. Par exemple, vous pouvez prendre x = 8, x = 150, etc. Et maintenant - la même technique qui n'est pas enseignée dans les écoles : prenons l'infini comme nombre. Plus précisément, plus l'infini, c'est-à-dire +∞.

« Etes-vous défoncé ? Comment pouvez-vous substituer l’infini dans une fonction ? » - pourriez-vous demander. Mais réfléchissez-y : nous n’avons pas besoin de la valeur de la fonction elle-même, nous avons seulement besoin du signe. Ainsi, par exemple, les valeurs f (x) = −1 et f (x) = −938 740 576 215 signifient la même chose : la fonction sur un intervalle donné est négative. Il vous suffit donc de trouver le signe qui apparaît à l'infini, et non la valeur de la fonction.

En fait, remplacer l’infini est très simple. Revenons à notre fonction :

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Imaginez que x soit un très grand nombre. Des milliards, voire des milliards. Voyons maintenant ce qui se passe dans chaque tranche.

Première parenthèse : (x − 1). Que se passe-t-il si vous soustrayez un d’un milliard ? Le résultat sera un nombre peu différent d’un milliard, et ce nombre sera positif. De même avec la deuxième parenthèse : (2 + x). Si vous ajoutez un milliard à deux, vous obtenez un milliard et des kopecks - c'est un nombre positif. Enfin, la troisième parenthèse : (7 − x ). Ici, il y aura moins un milliard, dont un morceau pathétique en forme de sept a été « rongé ». Ceux. le nombre résultant ne différera pas beaucoup de moins un milliard - il sera négatif.

Il ne reste plus qu'à retrouver le signe de l'ensemble de l'œuvre. Puisque nous avons eu un plus dans les premières parenthèses et un moins dans la dernière, nous obtenons la construction suivante :

(+) · (+) · (−) = (−)

Le signe final est moins ! Et peu importe la valeur de la fonction elle-même. L'essentiel est que cette valeur soit négative, c'est-à-dire l'intervalle le plus à droite a un signe moins. Il ne reste plus qu'à réaliser la quatrième étape de la méthode des intervalles : disposer tous les signes. Nous avons:

L’inégalité initiale était :

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Nous nous intéressons donc aux intervalles marqués d'un signe moins. Nous écrivons la réponse :

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

C'est toute l'astuce que je voulais vous raconter. En conclusion, voici une autre inégalité qui peut être résolue par la méthode des intervalles en utilisant l'infini. Pour raccourcir visuellement la solution, je n'écrirai pas de numéros d'étape ni de commentaires détaillés. Je n'écrirai que ce dont vous avez réellement besoin pour résoudre de vrais problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Nous remplaçons l'inégalité par une équation et la résolvons :

x (2x + 8)(x − 3) = 0 ;
x = 0 ;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4 ;
X − 3 = 0 ⇒ X = 3.

Nous marquons les trois racines sur la ligne de coordonnées (avec des signes à la fois) :

Il y a un plus sur le côté droit de l'axe des coordonnées, car la fonction ressemble à :

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Et si nous substituons l'infini (par exemple, un milliard), nous obtenons trois parenthèses positives. Puisque l’expression originale doit être supérieure à zéro, nous ne nous intéressons qu’aux positifs. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse :

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Dans cet article, je réponds à une autre question de mes abonnés. Les questions viennent de différentes manières. Tous ne sont pas formulés correctement. Et certains d’entre eux sont formulés de telle manière qu’il n’est pas immédiatement clair ce que l’auteur veut demander. Par conséquent, parmi la grande variété de questions envoyées, je dois sélectionner des questions vraiment intéressantes, de telles « perles », dont la réponse est non seulement passionnante, mais aussi utile, me semble-t-il, pour mes autres lecteurs. Et aujourd’hui je réponds à l’une de ces questions. Comment décrire l’ensemble des solutions à un système d’inégalités ?


C'est une très bonne question. Parce que la méthode de résolution graphique de problèmes en mathématiques est une méthode très puissante. Une personne est conçue de telle manière qu'il lui est plus pratique de percevoir des informations à l'aide de divers matériaux visuels. Par conséquent, si vous maîtrisez cette méthode, alors croyez-moi, elle vous sera indispensable à la fois pour résoudre les tâches de l'examen d'État unifié, notamment de la deuxième partie, d'autres examens, et pour résoudre des problèmes d'optimisation, et ainsi de suite. .

Alors voilà. Comment pouvons-nous répondre à cette question ? Commençons simplement. Supposons que le système d'inégalités ne contienne qu'une seule variable.

Simplifions ce système. Pour ce faire, ajoutez 7 aux deux côtés de la première inégalité et divisez les deux côtés par 2, sans changer le signe de l'inégalité, puisque 2 est un nombre positif. On ajoute 4 aux deux côtés de la deuxième inégalité. On obtient ainsi le système d'inégalités suivant :

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Un tel problème est généralement appelé unidimensionnel. Pourquoi? Oui, car pour décrire nombre de ses solutions, il est suffisamment direct. Une droite numérique, pour être précis. Marquons les points 6 et 8 sur cette droite numérique. Il est clair que le point 8 sera plus à droite que le point 6, car sur la droite numérique, les plus grands nombres se trouvent à droite des plus petits. De plus, le point 8 sera ombré, puisque, d'après la notation de la première inégalité, il est inclus dans sa solution. Au contraire, le point 6 sera en grisé, puisqu'il n'est pas inclus dans la solution de la deuxième inégalité :

Marquons maintenant avec une flèche au dessus les valeurs inférieures ou égales à 8, comme l'exige la première inégalité du système, et avec une flèche en dessous - les valeurs supérieures à 6, comme l'exige la deuxième inégalité du système :

Il reste à répondre à la question de savoir où se situent sur la droite numérique les solutions au système d’inégalités. Rappelez-vous une fois pour toutes. Le symbole du système - l'accolade - en mathématiques remplace la conjonction "I". Autrement dit, en traduisant le langage des formules en langage humain, nous pouvons dire que nous devons indiquer des valeurs supérieures à 6 ET inférieures ou égales à 8. C'est-à-dire que l'intervalle requis se situe à l'intersection du marqué intervalles :

Nous avons donc représenté l'ensemble des solutions du système d'inégalités sur la droite numérique dans le cas où le système d'inégalités ne contient qu'une seule variable. Cet intervalle ombré comprend toutes les valeurs pour lesquelles toutes les inégalités écrites dans le système sont satisfaites.

Considérons maintenant un cas plus complexe. Supposons que notre système contienne des inégalités à deux variables et . Dans ce cas, il ne sera pas possible d’utiliser uniquement une ligne droite pour représenter les solutions d’un tel système. Nous allons au-delà du monde unidimensionnel et y ajoutons une autre dimension. Ici, nous avons besoin d'un avion entier. Examinons la situation à l'aide d'un exemple précis.

Alors, comment pouvons-nous représenter l’ensemble des solutions d’un système d’inégalités donné à deux variables dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan ? Commençons par le plus simple. Demandons-nous quelle région de ce plan est déterminée par l'inégalité. L'équation spécifie une ligne droite perpendiculaire à l'axe BŒUF passant par le point (0;0). C'est en fait que cette droite coïncide avec l'axe OY. Eh bien, puisque nous nous intéressons aux valeurs supérieures ou égales à 0, alors tout le demi-plan situé à droite de la droite convient :

De plus, tous les points qui se trouvent sur l'axe OY, nous conviennent également, car l’inégalité n’est pas stricte.

Pour comprendre quelle aire sur le plan de coordonnées définit la troisième inégalité, vous devez tracer la fonction. Il s'agit d'une droite passant par l'origine et par exemple le point (1;1). Autrement dit, il s’agit d’une ligne droite contenant la bissectrice de l’angle formant le premier quart de coordonnées.

Examinons maintenant la troisième inégalité du système et réfléchissons. Quelle zone devons-nous trouver ? Regardons : . Signe supérieur ou égal. Autrement dit, la situation est similaire à celle de l’exemple précédent. Seulement ici, « plus » ne signifie pas « plus à droite », mais « plus haut ». Parce que OY- c'est notre axe vertical. C'est-à-dire que l'aire définie sur le plan par la troisième inégalité est l'ensemble des points situés au-dessus de la ligne ou sur celle-ci :

Avec la première inégalité, le système est un peu moins pratique. Mais une fois que nous avons pu déterminer l’aire définie par la troisième inégalité, je pense que la manière d’agir est déjà claire.

Il faut présenter cette inégalité de telle manière qu'il n'y ait que la variable à gauche, et uniquement la variable à droite. Pour ce faire, soustrayez des deux côtés de l'inégalité et divisez les deux côtés par 2, sans changer le signe de l'inégalité, car 2 est un nombre positif. On obtient alors l’inégalité suivante :

Il ne reste plus qu'à tracer une ligne droite sur le plan de coordonnées qui coupe l'axe OY au point A(0;4) et une droite au point . J'ai appris ce dernier en égalisant les membres droits des équations de droites et en obtenant l'équation. A partir de cette équation, la coordonnée du point d'intersection est trouvée, et la coordonnée, je pense que vous l'avez deviné, est égale à la coordonnée. Pour ceux qui ne l’auraient pas encore deviné, c’est parce que nous avons l’équation d’une des droites sécantes : .

Dès que nous avons tracé cette ligne droite, nous pouvons immédiatement marquer la zone souhaitée. Le signe d’inégalité ici est « inférieur ou égal à ». Cela signifie que la zone souhaitée se trouve en dessous ou directement sur la ligne droite représentée :

Eh bien, la dernière question. Où est la région souhaitée qui satisfait les trois inégalités du système ? Il est évidemment situé à l’intersection des trois zones balisées. Encore une traversée ! N'oubliez pas : le signe système en mathématiques signifie intersection. Voilà, cette zone :

Eh bien, le dernier exemple. Encore plus général. Supposons maintenant que nous n'ayons pas une variable dans le système, ni deux, mais jusqu'à trois !

Puisqu’il existe trois variables, pour décrire l’ensemble des solutions à un tel système d’inégalités, nous aurons besoin d’une troisième dimension en plus des deux avec lesquelles nous avons travaillé dans l’exemple précédent. Autrement dit, nous sortons de l'avion dans l'espace et représentons un système de coordonnées spatiales à trois dimensions : X, Oui Et Z. Ce qui correspond à la longueur, la largeur et la hauteur.

Commençons par représenter dans ce système de coordonnées la surface spécifiée par l'équation. Sous la forme, elle est très similaire à l'équation d'un cercle sur un plan, un seul terme supplémentaire est ajouté avec la variable . Il est facile de deviner qu'il s'agit de l'équation d'une sphère ayant un centre au point (1;3;2), dont le carré du rayon est 4. C'est-à-dire que le rayon lui-même est 2.

Puis une question. Alors, que détermine l’inégalité elle-même ? Pour ceux qui sont perplexes face à cette question, je propose de raisonner comme suit. En traduisant le langage des formules en langage humain, on peut dire qu'il faut indiquer toutes les sphères ayant un centre au point (1;3;2), dont les rayons sont inférieurs ou égaux à 2. Mais alors toutes ces sphères seront situées à l’intérieur de la sphère représentée ! Autrement dit, cette inégalité définit toute la région interne de la sphère représentée. Si vous le souhaitez, une boule est définie, délimitée par la sphère représentée :

La surface définie par l'équation x+y+z=4 est un plan qui coupe les axes de coordonnées aux points (0;0;4), (0;4;0) et (4;0;0). Eh bien, il est clair que plus le nombre à droite du signe égal est grand, plus les points d'intersection de ce plan avec les axes de coordonnées seront éloignés du centre de coordonnées. Autrement dit, la deuxième inégalité spécifie un demi-espace situé « au-dessus » d’un plan donné. En utilisant le terme conventionnel « supérieur », j'entends plus loin dans le sens d'une augmentation des valeurs de coordonnées le long des axes.

Ce plan coupe la sphère représentée. Dans ce cas, la section d'intersection est un cercle. Vous pouvez même calculer à quelle distance du centre du système de coordonnées se trouve le centre de ce cercle. À propos, quiconque devine comment procéder, écrivez vos solutions et réponses dans les commentaires. Ainsi, le système d'inégalités initial spécifie une région de l'espace située plus loin de ce plan dans le sens de coordonnées croissantes, mais enfermée dans la sphère représentée :

C’est ainsi que sont représentées de nombreuses solutions à un système d’inégalités. S'il y a plus de variables dans le système que 3 (par exemple 4), il ne sera plus possible de décrire clairement l'ensemble des solutions. Parce que cela nécessiterait un système de coordonnées à 4 dimensions. Mais une personne normale n’est pas capable d’imaginer comment localiser 4 axes de coordonnées mutuellement perpendiculaires. Bien que j'ai un ami qui prétend qu'il peut le faire, et facilement. Je ne sais pas s’il dit la vérité, peut-être qu’il dit la vérité. Mais l’imagination humaine normale ne permet pas que cela soit possible.

J'espère que vous avez trouvé la leçon d'aujourd'hui utile. Pour vérifier si vous l’avez bien compris, faites les devoirs ci-dessous.

Dessinez l’ensemble des solutions du système d’inégalités :

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Matériel préparé par Sergey Valerievich

Dans l'article, nous considérerons résoudre les inégalités. Nous vous expliquerons clairement comment construire une solution aux inégalités, avec des exemples clairs !

Avant d’envisager de résoudre les inégalités à l’aide d’exemples, comprenons les concepts de base.

Informations générales sur les inégalités

Inégalité est une expression dans laquelle les fonctions sont reliées par des signes de relation >, . Les inégalités peuvent être à la fois numériques et littérales.
Les inégalités avec deux signes du rapport sont appelées doubles, avec trois - triples, etc. Par exemple:
une(x) > b(x),
une(x) une(x) b(x),
une(x)b(x).
a(x) Les inégalités contenant le signe > ou ou - ne sont pas strictes.
Résoudre les inégalités est n'importe quelle valeur de la variable pour laquelle cette inégalité sera vraie.
"Résoudre les inégalités" signifie qu'il faut trouver l'ensemble de toutes ses solutions. Il existe différentes méthodes pour résoudre les inégalités. Pour solutions aux inégalités Ils utilisent la droite numérique, qui est infinie. Par exemple, solution aux inégalités x > 3 est l'intervalle de 3 à +, et le nombre 3 n'est pas inclus dans cet intervalle, donc le point sur la ligne est désigné par un cercle vide, car l'inégalité est stricte.
+
La réponse sera : x (3 ; +).
La valeur x=3 n'est pas incluse dans l'ensemble de solutions, la parenthèse est donc ronde. Le signe infini est toujours mis en évidence par une parenthèse. Le signe signifie « appartenance ».
Voyons comment résoudre les inégalités à l'aide d'un autre exemple avec un signe :
x2
-+
La valeur x=2 est incluse dans l'ensemble des solutions, donc la parenthèse est carrée et le point sur la ligne est indiqué par un cercle plein.
La réponse sera : x.

Troisième exemple. |1 -x| > 2 |x - 1|.

Solution. La première étape consiste à déterminer les points auxquels les fonctions disparaissent. Pour celui de gauche, ce nombre sera 2, pour celui de droite - 1. Ils doivent être marqués sur la poutre et les intervalles de constance du signe doivent être déterminés.

Sur le premier intervalle, de moins l'infini à 1, la fonction du côté gauche de l'inégalité prend des valeurs positives et la fonction du côté droit prend des valeurs négatives. Sous l'arc, vous devez écrire deux signes « + » et « - » côte à côte.

L'intervalle suivant est de 1 à 2. Sur celui-ci, les deux fonctions prennent des valeurs positives. Cela signifie qu'il y a deux avantages sous l'arc.

Le troisième intervalle de 2 à l'infini donnera le résultat suivant : la fonction de gauche est négative, la fonction de droite est positive.

En tenant compte des signes résultants, vous devez calculer les valeurs d'inégalité pour tous les intervalles.

Dans un premier temps, on obtient l'inégalité suivante : 2 - x > - 2 (x - 1). Le moins avant les deux dans la deuxième inégalité est dû au fait que cette fonction est négative.

Après transformation, l'inégalité ressemble à ceci : x > 0. Elle donne immédiatement les valeurs de la variable. Autrement dit, à partir de cet intervalle, seul l'intervalle de 0 à 1 recevra une réponse.

Sur le second : 2 - x > 2 (x - 1). Les transformations donneront l'inégalité suivante : -3x + 4 est supérieur à zéro. Son zéro sera x = 4/3. Compte tenu du signe d'inégalité, il s'avère que x doit être inférieur à ce nombre. Cela signifie que cet intervalle est réduit à un intervalle de 1 à 4/3.

Cette dernière donne l'inégalité suivante : - (2 - x) > 2 (x - 1). Sa transformation conduit à ce qui suit : -x > 0. Autrement dit, l'équation est vraie lorsque x est inférieur à zéro. Cela signifie que sur l’intervalle requis, l’inégalité ne fournit pas de solutions.

Dans les deux premiers intervalles, le nombre limite s'est avéré être 1. Il doit être vérifié séparément. Autrement dit, remplacez-le par l'inégalité d'origine. Il s'avère : |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Le comptage montre que 1 est supérieur à 0. C’est une affirmation vraie, donc une est incluse dans la réponse.

Réponse : x se situe dans l'intervalle (0 ; 4/3).

Que devez-vous savoir sur les icônes d’inégalité ? Inégalités avec icône plus (> ), ou moins (< ) sont appelés strict. Avec des icônes supérieur ou égal à (≥ ), inférieur ou égal à (≤ ) sont appelés pas strict. Icône pas égal (≠ ) se démarque, mais vous devez également résoudre à tout moment des exemples avec cette icône. Et nous déciderons.)

L'icône elle-même n'a pas beaucoup d'influence sur le processus de résolution. Mais à la fin de la décision, au moment de choisir la réponse finale, la signification de l'icône apparaît dans toute sa force ! C’est ce que nous verrons ci-dessous dans des exemples. Il y a des blagues là-bas...

Les inégalités, comme les égalités, existent fidèle et infidèle. Ici, tout est simple, pas d'astuces. Disons 5 > 2 est une véritable inégalité. 5 < 2 - incorrect.

Cette préparation œuvre pour les inégalités n'importe quelle sorte et simple jusqu'à l'horreur.) Il vous suffit d'effectuer correctement deux (seulement deux !) actions élémentaires. Ces actions sont familières à tout le monde. Mais, de manière caractéristique, les erreurs dans ces actions sont la principale erreur dans la résolution des inégalités, oui... Par conséquent, ces actions doivent être répétées. Ces actions sont appelées comme suit :

Transformations identiques des inégalités.

Les transformations identiques des inégalités sont très similaires aux transformations identiques des équations. En fait, c'est le principal problème. Les différences vous dépassent la tête et... vous y êtes.) C'est pourquoi je soulignerai particulièrement ces différences. Donc, première transformation identique des inégalités :

1. Le même nombre ou expression peut être ajouté (soustrait) aux deux côtés de l’inégalité. N'importe lequel. Cela ne changera pas le signe de l'inégalité.

En pratique, cette règle est utilisée comme un transfert de termes du côté gauche de l'inégalité vers la droite (et vice versa) avec un changement de signe. Avec un changement de signe du terme, pas l'inégalité ! La règle un-à-un est la même que celle des équations. Mais les transformations identiques suivantes dans les inégalités diffèrent considérablement de celles dans les équations. Je les surligne donc en rouge :

2. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosepositifnombre. Pour toutpositif ne changera pas.

3. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosenégatif nombre. Pour toutnégatifnombre. Le signe d'inégalité de cecichangera à l’opposé.

Vous vous souvenez (j'espère...) que l'équation peut être multipliée/divisée par n'importe quoi. Et pour n’importe quel nombre, et pour une expression avec un X. Si seulement ce n'était pas zéro. Cela fait de lui, l'équation, ni chaud ni froid.) Cela ne change pas. Mais les inégalités sont plus sensibles à la multiplication/division.

Un exemple clair pour une longue mémoire. Écrivons une inégalité qui ne fait pas de doute :

5 > 2

Multipliez les deux côtés par +3, on obtient :

15 > 6

Des objections ? Il n'y a pas d'objections.) Et si nous multiplions les deux côtés de l'inégalité initiale par -3, on obtient :

15 > -6

Et c'est un mensonge pur et simple.) Des mensonges complets ! Tromperie du peuple ! Mais dès que l'on change le signe de l'inégalité par le signe opposé, tout se met en place :

15 < -6

Je ne jure pas seulement sur les mensonges et la tromperie.) "J'ai oublié de changer le signe égal..."- Ce maison erreur dans la résolution des inégalités. Cette règle triviale et simple a fait du mal à tant de gens ! Ce qu'ils ont oublié...) Alors je le jure. Peut-être que je m'en souviendrai...)

Les personnes particulièrement attentives remarqueront que les inégalités ne peuvent pas être multipliées par une expression avec un X. Respect à ceux qui sont attentifs !) Pourquoi pas ? La réponse est simple. On ne connaît pas le signe de cette expression avec un X. Cela peut être positif, négatif... On ne sait donc pas quel signe d'inégalité mettre après la multiplication. Dois-je le changer ou pas ? Inconnu. Bien entendu, cette restriction (l’interdiction de multiplier/diviser une inégalité par une expression avec un x) peut être contournée. Si vous en avez vraiment besoin. Mais c'est un sujet pour d'autres leçons.

Ce sont toutes des transformations identiques des inégalités. Permettez-moi de vous rappeler encore une fois qu'ils travaillent pour n'importe lequel inégalités Vous pouvez maintenant passer à des types spécifiques.

Inégalités linéaires. Solution, exemples.

Les inégalités linéaires sont des inégalités dans lesquelles x est à la première puissance et il n'y a pas de division par x. Taper:

x+3 > 5x-5

Comment ces inégalités sont-elles résolues ? Ils sont très faciles à résoudre ! A savoir : avec l'aide de nous réduisons l'inégalité linéaire la plus déroutante directement à la réponse. C'est la solution. Je soulignerai les principaux points de la décision. Pour éviter des erreurs stupides.)

Résolvons cette inégalité :

x+3 > 5x-5

Nous le résolvons exactement de la même manière qu’une équation linéaire. Avec la seule différence :

Nous surveillons attentivement le signe d'inégalité !

La première étape est la plus courante. Avec des X - à gauche, sans X - à droite... C'est la première transformation identique, simple et sans problème.) N'oubliez pas de changer les signes des termes transférés.

Le signe de l'inégalité reste :

x-5x > -5-3

En voici des similaires.

Le signe de l'inégalité reste :

4x > -8

Il reste à appliquer la dernière transformation identique : diviser les deux côtés par -4.

Diviser par négatif nombre.

Le signe de l'inégalité changera à l'opposé :

X < 2

C'est la réponse.

C’est ainsi que toutes les inégalités linéaires sont résolues.

Attention! Le point 2 est dessiné en blanc, c'est-à-dire non peint. Vide à l'intérieur. Cela signifie qu'elle n'est pas incluse dans la réponse ! Je l'ai dessinée exprès en si bonne santé. Un tel point (vide, pas sain !)) en mathématiques s'appelle point percé.

Les nombres restants sur l’axe peuvent être marqués, mais ce n’est pas nécessaire. Les nombres superflus qui ne sont pas liés à nos inégalités peuvent prêter à confusion, oui... Il faut juste se rappeler que les nombres augmentent dans le sens de la flèche, c'est-à-dire numéros 3, 4, 5, etc. sont À droite sont des deux et les nombres sont 1, 0, -1, etc. - À gauche.

Inégalité x < 2 - strict. X est strictement inférieur à deux. En cas de doute, la vérification est simple. Nous substituons le nombre douteux à l'inégalité et pensons : « Deux est inférieur à deux ? Non, bien sûr ! C'est exact. Inégalité 2 < 2 incorrect. Un deux en retour n'est pas approprié.

Est-ce que ça va ? Certainement. Moins... Et zéro est bon, et -17, et 0,34... Oui, tous les nombres inférieurs à deux sont bons ! Et même 1,9999.... Au moins un peu, mais moins !

Marquons donc tous ces nombres sur l’axe des nombres. Comment? Il y a des options ici. La première option est l’ombrage. Nous déplaçons la souris sur l'image (ou touchons l'image sur la tablette) et voyons que la zone de tous les x qui remplissent la condition x est ombrée < 2 . C'est ça.

Examinons la deuxième option en utilisant le deuxième exemple :

X ≥ -0,5

Dessinez un axe et marquez le nombre -0,5. Comme ça:

Remarquez la différence ?) Eh bien oui, c'est difficile de ne pas le remarquer... Ce point est noir ! Peint. Cela signifie -0,5 est inclus dans la réponse. Soit dit en passant, la vérification peut dérouter quelqu'un. Remplaçons :

-0,5 ≥ -0,5

Comment ça? -0,5 n'est pas plus de -0,5 ! Et il y a plus d'icônes...

C'est bon. Dans une inégalité faible, tout ce qui correspond à l'icône convient. ET est égal bien, et plus bien. Par conséquent, -0,5 est inclus dans la réponse.

Nous avons donc marqué -0,5 sur l'axe ; il reste à marquer tous les nombres supérieurs à -0,5. Cette fois, je marque la zone des valeurs x appropriées arc(du mot arc), plutôt que d’ombrager. Nous passons le curseur sur le dessin et voyons cet arc.

Il n'y a pas de différence particulière entre l'ombrage et les bras. Faites ce que dit le professeur. S'il n'y a pas de professeur, dessinez des arcs. Dans les tâches plus complexes, l’ombrage est moins évident. Vous pouvez être confus.

C'est ainsi que les inégalités linéaires sont tracées sur un axe. Passons à la caractéristique suivante des inégalités.

Écrire la réponse aux inégalités.

Les équations étaient bonnes.) Nous avons trouvé x et noté la réponse, par exemple : x=3. Il existe deux formes d’écriture des réponses sur les inégalités. L’une est sous la forme d’une inégalité finale. Bon pour les cas simples. Par exemple:

X< 2.

C'est une réponse complète.

Parfois, vous devez écrire la même chose, mais sous une forme différente, à intervalles numériques. Ensuite, l’enregistrement commence à paraître très scientifique) :

x ∈ (-∞; 2)

Sous l'icône ∈ le mot est caché "appartient"

L'entrée se lit comme ceci : x appartient à l'intervalle de moins l'infini à deux sans compter. Assez logique. X peut être n’importe quel nombre parmi tous les nombres possibles de moins l’infini à deux. Il ne peut pas y avoir de double X, c'est ce que nous dit le mot "non compris".

Et où dans la réponse est-il clair que "sans compter"? Ce fait est noté dans la réponse rond parenthèse immédiatement après les deux. Si les deux étaient inclus, le support serait carré. C'est ici:]. L'exemple suivant utilise une telle parenthèse.

Écrivons la réponse : x ≥ -0,5 à intervalles :

x ∈ [-0,5 ; +∞)

Lit : x appartient à l'intervalle de moins 0,5, y compris,à plus l'infini.

L'infini ne peut jamais être activé. Ce n'est pas un chiffre, c'est un symbole. Par conséquent, dans de telles notations, l’infini est toujours adjacent à une parenthèse.

Cette forme d'enregistrement est pratique pour les réponses complexes composées de plusieurs espaces. Mais juste pour des réponses définitives. Dans les résultats intermédiaires, où une solution supplémentaire est attendue, il est préférable d'utiliser la forme habituelle, sous la forme d'une inégalité simple. Nous en traiterons dans les rubriques correspondantes.

Tâches populaires avec inégalités.

Les inégalités linéaires elles-mêmes sont simples. Les tâches deviennent donc souvent plus difficiles. Il fallait donc réfléchir. Ceci, si on n’y est pas habitué, n’est pas très agréable.) Mais c’est utile. Je vais montrer des exemples de telles tâches. Ce n’est pas à vous de les apprendre, c’est inutile. Et pour ne pas avoir peur face à de tels exemples. Réfléchissez un peu - et c'est simple !)

1. Trouvez deux solutions quelconques à l'inégalité 3x - 3< 0

Si vous ne savez pas vraiment quoi faire, rappelez-vous la règle principale des mathématiques :

Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !)

X < 1

Et quoi ? Rien de spécial. Que nous demandent-ils ? On nous demande de trouver deux nombres spécifiques qui sont la solution à une inégalité. Ceux. correspond à la réponse. Deux n'importe lequel Nombres. En fait, c'est déroutant.) Quelques valeurs de 0 et 0,5 conviennent. Un couple -3 et -8. Il existe un nombre infini de ces couples ! Quelle réponse est correcte ?!

Je réponds : tout ! Toute paire de nombres dont chacun est inférieur à un, sera la bonne réponse.Écrivez lequel vous voulez. Passons à autre chose.

2. Résolvez l’inégalité :

4x-3 ≠ 0

Les tâches sous cette forme sont rares. Mais, en tant qu'inégalités auxiliaires, lors de la recherche d'ODZ, par exemple, ou lors de la recherche du domaine de définition d'une fonction, elles surviennent tout le temps. Une telle inégalité linéaire peut être résolue comme une équation linéaire ordinaire. Uniquement partout sauf le signe "=" ( est égal) mettre un signe " ≠ " (pas égal). Voici comment aborder la réponse, avec un signe d'inégalité :

X ≠ 0,75

Dans des exemples plus complexes, il vaut mieux faire les choses différemment. Faire de l'égalité l'inégalité. Comme ça:

4x-3 = 0

Résolvez-le calmement comme enseigné et obtenez la réponse :

x = 0,75

L'essentiel est qu'à la toute fin, en écrivant la réponse finale, n'oubliez pas que nous avons trouvé x, ce qui donne égalité. Et nous avons besoin - inégalité. Par conséquent, nous n’avons pas vraiment besoin de ce X.) Et nous devons l’écrire avec le symbole correct :

X ≠ 0,75

Cette approche entraîne moins d’erreurs. Ceux qui résolvent les équations automatiquement. Et pour ceux qui ne résolvent pas les équations, les inégalités ne servent en fait à rien...) Autre exemple de tâche populaire :

3. Trouvez la plus petite solution entière de l'inégalité :

3(x-1) < 5x + 9

Tout d’abord, nous résolvons simplement l’inégalité. On ouvre les parenthèses, on les déplace, on en amène des similaires... On obtient :

X > - 6

Cela n'a-t-il pas fonctionné comme ça !? Avez-vous suivi les panneaux !? Et derrière les pancartes des adhérents, et derrière les pancartes des inégalités…

Réfléchissons-y à nouveau. Nous devons trouver un numéro spécifique qui correspond à la fois à la réponse et à la condition "le plus petit entier". Si cela ne vous vient pas tout de suite à l’esprit, vous pouvez simplement prendre n’importe quel chiffre et le découvrir. Deux sur moins six ? Certainement! Existe-t-il un nombre inférieur approprié ? Bien sûr. Par exemple, zéro est supérieur à -6. Et encore moins ? Nous avons besoin de la plus petite chose possible ! Moins trois, c'est plus que moins six ! Vous pouvez déjà saisir le schéma et arrêter de parcourir bêtement les chiffres, n'est-ce pas ?)

Prenons un nombre plus proche de -6. Par exemple, -5. La réponse est remplie, -5 > - 6. Est-il possible de trouver un autre nombre inférieur à -5 mais supérieur à -6 ? Vous pouvez par exemple -5,5... Stop ! On nous dit entier solution! Ne lance pas -5,5 ! Et moins six ? Euh-euh ! L'inégalité est stricte, moins 6 n'est en aucun cas inférieur à moins 6 !

La bonne réponse est donc -5.

J'espère que tout est clair avec le choix de la valeur de la solution générale. Autre exemple :

4. Résoudre les inégalités :

7 < 3x+1 < 13

Ouah! Cette expression s'appelle triple inégalité. Il s’agit à proprement parler d’une forme abrégée d’un système d’inégalités. Mais de telles triples inégalités doivent encore être résolues dans certaines tâches... Elles peuvent être résolues sans aucun système. Selon les mêmes transformations identiques.

Il faut simplifier, ramener cette inégalité à X pur. Mais... Que faut-il déplacer où ?! C’est là qu’il est temps de se rappeler que se déplacer à gauche et à droite est forme abrégée première transformation identitaire.

Et la forme complète ressemble à ceci : N'importe quel nombre ou expression peut être ajouté/soustrait aux deux côtés de l'équation (inégalité).

Il y a trois parties ici. Nous appliquerons donc des transformations identiques aux trois parties !

Alors, débarrassons-nous de celui qui se trouve au milieu de l’inégalité. Soustrayons un de toute la partie médiane. Pour que l’inégalité ne change pas, on soustrait une des deux parties restantes. Comme ça:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

C'est mieux, non ?) Il ne reste plus qu'à diviser les trois parties en trois :

2 < X < 4

C'est ça. C'est la réponse. X peut être n'importe quel nombre compris entre deux (non compris) et quatre (non compris). Cette réponse est également écrite à intervalles ; ces entrées seront en inégalités quadratiques. Là, c'est la chose la plus courante.

À la fin de la leçon, je répéterai la chose la plus importante. Le succès dans la résolution des inégalités linéaires dépend de la capacité à transformer et à simplifier des équations linéaires. Si en même temps surveillez le signe d'inégalité, il n'y aura aucun problème. C'est ce que je te souhaite. Aucun problème.)

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