Types de cercles. Qu'est-ce qu'un cercle en tant que figure géométrique : propriétés et caractéristiques de base

Cercle est une figure composée de tous les points du plan équidistants d’un point donné. Ce point est appelé le centre du cercle.

Un cercle de rayon nul (cercle dégénéré) est un point ; parfois ce cas est exclu de la définition.

YouTube encyclopédique

1 / 5

Cercle et ses propriétés (bezbotvy)

Cercle inscrit et circonscrit - de bezbotvy

Mathématiques : préparation à l'OGE et à l'Examen d'État unifié. Planimétrie. Cercles et leurs propriétés

Mathématiques 26. Boussoles. Cercle et cercle - École Shishkina

ÉQUATION DU CERCLE. TÂCHE 18 (C5). ARTHUR CHARIFOV

Sous-titres

Désignation

Si un cercle passe, par exemple, par les points A, B, C, alors il est noté en indiquant ces points entre parenthèses : (A, B, C). Alors l'arc de cercle passant par les points A, B, C est noté arc ABC (ou arc AC), ainsi que υ ABC (ou υ AC).

Autres définitions

• Cercle de diamètre AB A, B AB visible à angle droit (Définition par l'angle basée sur le diamètre du cercle).

• Cercle avec accord AB est une figure composée de points A, B et tous les points du plan à partir duquel le segment AB visible sous un angle constant d'un côté, égal à angle d'arc inscrit AB, et à un autre angle constant de l'autre côté, égal à 180 degrés moins angle d'arc inscrit AB, indiqué ci-dessus (Définition par un angle inscrit).
• Un chiffre composé de tels points X , (\style d'affichage X,) que le rapport des longueurs des segments HACHE Et BX en permanence: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,) est un cercle (Définition par le cercle d'Apollonius).
• Une figure composée de tous ces points, pour chacun desquels la somme des carrés des distances à deux points donnés est égale à une valeur donnée supérieure à la moitié du carré de la distance entre les points donnés, est également un cercle (Définition par le théorème de Pythagore pour un triangle rectangle arbitraire inscrit dans un cercle avec une hypoténuse, qui est le diamètre du cercle).
• M. dessine des accords à l'intérieur AB, CD, E.F. etc., alors les égalités sont valables : A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots ). Les égalités seront toujours satisfaites quel que soit le choix du point M. et les directions des accords qui le traversent (Définition par accords qui se croisent).
• Un cercle est une figure fermée et sans intersection avec la propriété suivante. Si par un point arbitraire M.à l'extérieur, tracez deux tangentes aux points de leur contact avec le cercle, par exemple, UN Et B, alors leurs longueurs seront toujours égales : M A = M B (\displaystyle MA=MB). L'égalité sera toujours valable quel que soit le choix du point M.(Définition par tangentes égales).
• Un cercle est une figure fermée et sans intersection avec la propriété suivante. Le rapport entre la longueur de l'une de ses cordes et le sinus de l'une de ses angle inscrit, basé sur cette corde, est une valeur constante égale au diamètre de ce cercle (Définition par le théorème des sinus).
• Un cercle est un cas particulier d'ellipse, dans lequel la distance entre foyers est nulle (Définition en termes d'ellipse dégénérée).

Définitions associées pour un cercle

• Le lieu géométrique des points dans le plan, dont la distance à un point donné n'est pas supérieure à une distance donnée non nulle, est appelé tout autour .
• Rayon- non seulement la distance, mais aussi un segment reliant le centre du cercle à l'un de ses points. Le rayon est toujours la moitié diamètre cercles.
• Le rayon est toujours perpendiculaire à la tangente tracée au cercle en son point commun avec le cercle. Autrement dit, le rayon est également la normale au cercle.
• Le cercle s'appelle célibataire , si son rayon est égal à un. Cercle unité est l'un des principaux objets de la trigonométrie.
• Un segment reliant deux points sur un cercle est appelé son accord. Une corde passant par le centre d'un cercle s'appelle diamètre.
• Deux points non coïncidants sur un cercle le divisent en deux parties. Chacune de ces parties est appelée arc de cercle. L'arc s'appelle demi-cercle, si le segment reliant ses extrémités est un diamètre.
• La longueur d’un demi-cercle unité est notée .

• Une droite qui a exactement un point commun avec un cercle s'appelle tangenteà un cercle, et leur point commun est appelé point de tangence de la droite et du cercle.
• Tangenteà un cercle est toujours perpendiculaire à son rayon (et son diamètre) tracé au point de contact, qui est normale, effectué à ce stade.
• Une droite passant par deux points différents sur un cercle s'appelle sécante.

Définir des triangles pour un cercle

• Le triangle ABC s'appelle inscrit dans un cercle(A,B,C) si ses trois sommets A, B et C se trouvent sur ce cercle. Dans ce cas, le cercle s'appelle cercle circonscrit triangle ABC (Voir Circoncercle).
• Tangenteà un cercle tracé par n'importe quel sommet d'un triangle qui y est inscrit est antiparallèle au côté du triangle opposé au sommet donné.
• Le triangle ABC s'appelle circonscrit à un cercle(A",B",C"), si ses trois côtés AB, BC et CA touchent ce cercle en certains points C", A" et B", respectivement. Dans ce cas, le cercle s'appelle cercle inscrit triangle ABC (Voir Cercle inscrit).

Définitions des angles pour un cercle

• L'angle formé par un arc de cercle de longueur égale au rayon est pris égal à 1 radian.

• Central angle - un angle dont le sommet est au centre du cercle. L'angle au centre est égal à la mesure radian/degré de l'arc sur lequel il repose (voir figure).
• Inscrit  angle - un angle dont le sommet se trouve sur un cercle et dont les côtés coupent ce cercle. Angle inscritégal à la moitié du degré de mesure de l'arc sur lequel il repose (voir figure).
• Coin extérieur Pour Inscrit  angle - l'angle formé par un côté et le prolongement de l'autre côté inscrit angle (voir fig. angle θ brun). Coin extérieur car un angle inscrit de l'autre côté d'un cercle a la même valeur θ .
• Angle entre un cercle et une droite- l'angle entre une droite et une tangente à un cercle au point d'intersection de la droite et du cercle. Les deux angles entre un cercle sécant et une ligne droite sont égaux.
• Angle sous-tendu par le diamètre d'un cercle- un angle inscrit dans ce cercle dont les côtés contiennent les extrémités du diamètre. Il est toujours direct.

Définitions associées pour deux cercles

• Deux cercles ayant un centre commun sont appelés concentrique.
• Deux cercles n'ayant qu'un seul point commun s'appellent concernant extérieurement si leurs cercles n'ont pas d'autres points communs, et intérieurement si leurs cercles se trouvent l'un dans l'autre.
• Deux cercles ayant deux points communs sont appelés sécante. Leurs cercles (délimités par eux) se coupent dans une zone appelée segment de double cercle.
• Angle entre deux cercles sécants (ou tangents) est l'angle entre leurs tangentes tracées au point commun d'intersection (ou tangence).
• Aussi angle entre deux cercles sécants (ou tangents), on peut considérer l'angle que font leurs rayons (diamètres) tracés au point commun d'intersection (ou tangence).
• Puisque pour tout cercle, son rayon (ou diamètre) et sa tangente passant par n'importe quel point du cercle sont mutuellement perpendiculaires, le rayon (ou diamètre) peut être considéré normaleà un cercle construit en un point donné. Par conséquent, les deux types d'angles définis dans les deux paragraphes précédents seront toujours égaux entre eux, comme les angles à côtés perpendiculaires entre eux.
• l'angle droit s'appelle orthogonal. Les cercles peuvent être comptés orthogonal, s'ils forment un angle droit entre eux.
• Axe radical de deux cercles- lieu géométrique des points dont les degrés par rapport à deux cercles donnés sont égaux. En d’autres termes, les longueurs de quatre tangentes tracées à deux cercles donnés à partir de n’importe quel point sont égales M. emplacement géométrique donné des points.

Définitions d'angle pour deux cercles

• Angle entre deux cercles qui se croisent- l'angle entre les tangentes aux cercles au point d'intersection de ces cercles. Les deux angles entre deux cercles sécants sont égaux.
• Angle entre deux cercles disjoints- l'angle entre deux tangentes communes à deux cercles, formé au point d'intersection de ces deux tangentes. Le point d'intersection de ces deux tangentes doit se situer entre les deux cercles, et non du côté de l'un d'eux (cet angle n'est pas pris en compte). Les deux angles verticaux entre deux cercles disjoints sont égaux.

Orthogonalité

• Deux cercles se coupant à angle droit sont appelés orthogonal. Les cercles peuvent être comptés orthogonal, s'ils forment un angle droit entre eux.
• Deux cercles se coupant en les points A et B de centres O et O" sont appelés orthogonal, si les angles OAO" et OBO" sont des angles droits. C'est cette condition qui garantit angle droit entre les cercles. Dans ce cas, les rayons (normales) des deux cercles tracés jusqu'au point de leur intersection sont perpendiculaires. Par conséquent, les tangentes de deux cercles tracés au point de leur intersection sont également perpendiculaires. La tangente d'un cercle est perpendiculaire au rayon (normal) tracé au point de tangence. Généralement, l'angle entre les courbes est l'angle entre leurs tangentes tracées au point de leur intersection.
• Une autre condition supplémentaire est possible. Supposons que deux cercles se coupant aux points A et B aient les milieux des arcs sécants aux points C et D, c'est-à-dire que l'arc AC est égal à l'arc CB, l'arc AD est égal à l'arc DB. Alors ces cercles sont appelés orthogonal, si les angles CAD et CBD sont des angles droits.

Définitions associées pour trois cercles

• Trois cercles sont appelés mutuellement tangents (se croisant) si deux d'entre eux se touchent (se croisent).
• En géométrie centre radical trois cercles est le point d'intersection des trois axes radicaux de paires de cercles. Si le centre radical se situe en dehors des trois cercles, alors c'est le centre d'un seul cercle ( cercle radical), qui coupe trois cercles donnés orthogonal.

Lemme d'Archimède

Preuve

Laisser G (style d'affichage G)- une homothétie qui transforme un petit cercle en un grand. Il est alors clair que UNE 1 (\ displaystyle A_ (1)) est le centre de cette homothétie. Puis tout droit B C (\ displaystyle BC) ira dans une sorte de ligne droite une (\style d'affichage a) tangent au grand cercle, et UNE 2 (\ displaystyle A_ (2)) ira à un point sur cette droite et appartenant à un grand cercle. En rappelant que l'homothétie transforme les droites en droites parallèles à elles, on comprend que une ∥ B C (\displaystyle a\parallel BC). Laisser G (UNE 2) = UNE 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3)) Et ré (style d'affichage D)- pointer sur une ligne une (\style d'affichage a), de telle sorte qu'il soit net, et E (style d'affichage E)- un tel point sur une ligne une (\style d'affichage a), Quoi ∠ B A 3 E (\ displaystyle \ angle BA_ (3) E)- épicé. Puis, puisque une (\style d'affichage a)- tangent au grand cercle ∠ C A 3 D (\ displaystyle \ angle CA_ (3) D)= (\style d'affichage =)∠ C B A 3 (\ displaystyle \ angle CBA_ (3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3)). Ainsi △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- isocèle, ce qui signifie ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3)), c'est UNE 1 UNE 2 (\ displaystyle A_ (1) A_ (2))- bissectrice de l'angle ∠ B A 1 C (\ displaystyle \ angle BA_ (1) C).

Théorème de Descartes pour les rayons de quatre cercles tangents deux à deux

Théorème de Descartes" déclare que les rayons de quatre cercles mutuellement tangents satisfont à une certaine équation quadratique. Ils sont parfois appelés cercles Soddy.

Propriétés

(\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).) Équation d'un cercle passant par des points(x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\right),\left(x_(3),y_(3)\right),)

x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 |

(\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).)

y = ± R 2 − X 2 .

(\displaystyle y=\pm (\sqrt (R^(2)-x^(2))).) Coordonnées polaires Rayon du cercle R (style d'affichage R).

centré en un point(ρ 0 , ϕ 0) (\displaystyle \left(\rho _(0),\phi _(0)\right))

Cercle

est une figure composée de tous les points du plan équidistants d'un point donné. Notions de base :

Rayon Centre du cercle

est un point équidistant des points du cercle.– c'est la distance des points du cercle à son centre (égale à la moitié du diamètre, Fig. 1).

Diamètre est une corde passant par le centre du cercle (Fig. 1).

Tangente Accord

est un segment reliant deux points sur un cercle (Fig. 1). est une droite qui n’a qu’un seul point commun avec un cercle. Passe par un point du cercle perpendiculaire au diamètre tracé jusqu'à ce point (Fig. 1).

Sécante est une droite passant par deux points différents du cercle (Fig. 1).

Cercle unité est un cercle dont le rayon est égal à un.

Arc de cercle est une partie d'un cercle divisée par deux points divergents sur le cercle.
1 radian

est l'angle formé par un arc de cercle égal à la longueur du rayon (Fig. 4). 1 radian = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Angle inscrit Angle central

Deux cercles ayant un centre commun sont appelés concentrique.

est un angle dont le sommet est au centre du cercle. Égal à la mesure en degré de l'arc sur lequel il repose (Fig. 2). orthogonal.

est un angle dont le sommet se trouve sur un cercle et dont les côtés coupent ce cercle. Égal à la moitié de la mesure en degré de l'arc sur lequel il repose (Fig. 3).

Deux cercles se coupant à angle droit sont appelés
Circonférence et aire d'un cercle :
Désignations :
Circonférence – C

Diamètre longueur – dπ :
Longueur du rayon – r

22
π = -
7

Signification

Le rapport entre la circonférence d'un cercle et la longueur de son diamètre est désigné par la lettre grecque π (pi).

Formule de circonférence :

C = πd, ou C = 2πr
Formules pour l'aire d'un cercle :
2

C r
S = --
4

π ré 2

Équation d'un cercle en coordonnées cartésiennesx, oui avec le centre au point (un; b):

(x –un) 2 + (y–b) 2 = Où 2

Un cercle circonscrit à un triangle (Fig. 4).

Un cercle inscrit dans un triangle (Fig. 5).

Angles inscrits dans un cercle (Fig. 3).

Un angle dont le sommet se trouve sur un cercle et dont les côtés coupent ce cercle s'appelle inscrit dans un cercle.

Cercle

Un angle divise un plan en deux parties. Chacune de ces parties est appelée angle plat.

Les angles plans ayant des côtés communs sont appelés supplémentaire.

Un angle plan dont le sommet est au centre du cercle est appelé angle central(Fig.2)

Proportionnalité des segments de cordes et sécantes d'un cercle.

Cas particuliers et formules :

1) A partir du point C, situé à l'extérieur du cercle, tracez une tangente au cercle et notez le point de leur contact par la lettre D.

Ensuite, nous dessinons une sécante à partir du même point C et désignons les points d'intersection de la sécante et du cercle par les lettres A et B (Fig. 8).

Dans ce cas:

CD2 =CA ·Colombie-Britannique

2) Dessinez le diamètre AB dans un cercle. Puis, à partir du point C situé sur le cercle, tracez une perpendiculaire à ce diamètre et notez le segment CD obtenu (Fig. 9).

Dans ce cas:

CD2 =ANNONCE. ·B.D.

Pour avoir une idée générale de ce qu'est un cercle, regardez un anneau ou un cerceau. Vous pouvez également prendre un verre et une tasse rondes, les placer à l’envers sur une feuille de papier et les tracer avec un crayon. Avec un grossissement répété, la ligne résultante deviendra épaisse et pas entièrement lisse, et ses bords seront flous. Un cercle en tant que figure géométrique n'a pas de caractéristique telle que l'épaisseur.

Cercle : définition et moyens de description de base

Un cercle est une courbe fermée constituée de nombreux points situés dans un même plan et à égale distance du centre du cercle. Dans ce cas, le centre est dans le même plan. En règle générale, il est désigné par la lettre O.

La distance entre n'importe quel point du cercle et le centre est appelée rayon et est désignée par la lettre R.

Si vous connectez deux points sur un cercle, le segment résultant sera appelé une corde. La corde passant par le centre du cercle est le diamètre, désigné par la lettre D. Le diamètre divise le cercle en deux arcs égaux et est le double de la longueur du rayon. Ainsi, D = 2R, ou R = D/2.

Propriétés des accords

1. Si une corde est tracée à travers deux points quelconques du cercle, puis qu'un rayon ou un diamètre est tracé perpendiculairement à ce dernier, alors ce segment divisera à la fois la corde et l'arc qu'elle coupe en deux parties égales. L'affirmation inverse est également vraie : si le rayon (diamètre) divise la corde en deux, alors il lui est perpendiculaire.
2. Si deux cordes parallèles sont tracées dans le même cercle, alors les arcs coupés par elles, ainsi que ceux enfermés entre elles, seront égaux.
3. Traçons deux cordes PR et QS se coupant dans le cercle au point T. Le produit des segments d'une corde sera toujours égal au produit des segments d'une autre corde, c'est-à-dire PT x TR = QT x TS.

Circonférence : concept général et formules de base

L'une des caractéristiques fondamentales de cette figure géométrique est la circonférence. La formule est dérivée en utilisant des quantités telles que le rayon, le diamètre et la constante « π », reflétant la constance du rapport entre la circonférence et son diamètre.

Ainsi, L = πD, ou L = 2πR, où L est la circonférence, D est le diamètre, R est le rayon.

La formule de circonférence peut être considérée comme la formule initiale pour trouver le rayon ou le diamètre pour une circonférence donnée : D = L/π, R = L/2π.

Qu'est-ce qu'un cercle : postulats de base

• n'ont pas de points communs ;
• avoir un point commun, et la droite s'appelle une tangente : si vous tracez un rayon passant par le centre et le point de tangence, alors il sera perpendiculaire à la tangente ;
• ont deux points communs, et la ligne est appelée sécante.

2. À travers trois points arbitraires situés dans le même plan, on ne peut pas tracer plus d'un cercle.

3. Deux cercles ne peuvent se toucher qu'en un seul point, situé sur le segment reliant les centres de ces cercles.

4. Pour toute rotation par rapport au centre, le cercle se transforme en lui-même.

5. Qu'est-ce qu'un cercle en termes de symétrie ?

• la même courbure de la ligne en tout point ;
• par rapport au point O ;
• symétrie miroir par rapport au diamètre.

6. Si vous construisez deux angles inscrits arbitraires basés sur le même arc de cercle, ils seront égaux. Un angle fondé sur un arc égal à la moitié, c'est-à-dire coupé par un diamètre de corde, est toujours égal à 90°.

7. Si vous comparez des lignes courbes fermées de même longueur, il s'avère que le cercle délimite la section du plan ayant la plus grande surface.

Cercle inscrit et circonscrit par un triangle

L'idée de ce qu'est un cercle sera incomplète sans une description des caractéristiques de sa relation avec les triangles.

1. Lors de la construction d'un cercle inscrit dans un triangle, son centre coïncidera toujours avec le point d'intersection du triangle.
2. Le centre d'un cercle circonscrit à un triangle est situé à l'intersection des perpendiculaires médianes à chacun des côtés du triangle.
3. Si nous décrivons un cercle, alors son centre sera au milieu de l'hypoténuse, c'est-à-dire que cette dernière sera le diamètre.
4. Les centres des cercles inscrits et circonscrits seront au même point si la base de la construction est

Déclarations de base sur les cercles et les quadrilatères

1. Un cercle ne peut être décrit autour d’un quadrilatère convexe que lorsque la somme de ses angles internes opposés est égale à 180°.
2. Il est possible de construire un cercle inscrit dans un quadrilatère convexe si la somme des longueurs de ses côtés opposés est la même.
3. Vous pouvez décrire un cercle autour d’un parallélogramme si ses angles sont droits.
4. Un cercle peut être inscrit dans un parallélogramme si tous ses côtés sont égaux, c'est-à-dire s'il s'agit d'un losange.
5. Vous pouvez construire un cercle passant par les coins d’un trapèze uniquement s’il est isocèle. Dans ce cas, le centre du cercle circonscrit sera situé à l'intersection du quadrilatère et de la perpendiculaire médiane tracée sur le côté.

ET cercle- des formes géométriques interconnectées. il y a une ligne brisée de frontière (courbe) cercle,

Définition. Un cercle est une courbe fermée dont chaque point est équidistant d’un point appelé centre du cercle.

Pour construire un cercle, un point arbitraire O est sélectionné, pris comme centre du cercle, et une ligne fermée est tracée à l'aide d'un compas.

Si le point O du centre du cercle est connecté à des points arbitraires du cercle, alors tous les segments résultants seront égaux les uns aux autres, et ces segments sont appelés rayons, abrégés par la lettre latine minuscule ou majuscule « er » ( r ou Où). Vous pouvez tracer autant de rayons dans un cercle qu’il y a de points sur la longueur du cercle.

Un segment reliant deux points d'un cercle et passant par son centre est appelé diamètre. est un point équidistant des points du cercle. se compose de deux rayons, couché sur la même ligne droite. Le diamètre est indiqué par la lettre latine minuscule ou majuscule « de » ( d ou D).

Règle. est un point équidistant des points du cercle. un cercle est égal à deux de ses rayons.

d = 2r
D=2R

La circonférence d'un cercle est calculée par la formule et dépend du rayon (diamètre) du cercle. La formule contient le nombre ¶, qui indique combien de fois la circonférence est supérieure à son diamètre. Le nombre ¶ a un nombre infini de décimales. Pour les calculs, ¶ = 3,14 a été pris.

La circonférence d'un cercle est désignée par la lettre majuscule latine « tse » ( C). La circonférence d'un cercle est proportionnelle à son diamètre. Formules pour calculer la circonférence d'un cercle en fonction de son rayon et de son diamètre :

C = ¶d
C = 2¶r

• Exemples
• Étant donné : d = 100 cm.
• Circonférence : C = 3,14 * 100 cm = 314 cm
• Étant donné : d = 25 mm.
• Circonférence : C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Circulaire sécante et arc de cercle

Chaque sécante (ligne droite) coupe un cercle en deux points et le divise en deux arcs. La taille de l'arc de cercle dépend de la distance entre le centre et la sécante et se mesure le long d'une courbe fermée depuis le premier point d'intersection de la sécante avec le cercle jusqu'au second.

Arcs les cercles sont divisés sécante en un majeur et un mineur si la sécante ne coïncide pas avec le diamètre, et en deux arcs égaux si la sécante passe le long du diamètre du cercle.

Si une sécante passe par le centre d'un cercle, alors son segment situé entre les points d'intersection avec le cercle est le diamètre du cercle, ou la plus grande corde du cercle.

Plus la sécante est éloignée du centre du cercle, plus la mesure en degrés du plus petit arc de cercle est petite et plus le plus grand arc de cercle est grand, et le segment de la sécante, appelé accord, diminue à mesure que la sécante s'éloigne du centre du cercle.

Définition. Un cercle est une partie d'un plan situé à l'intérieur d'un cercle.

Le centre, le rayon et le diamètre d'un cercle sont simultanément le centre, le rayon et le diamètre du cercle correspondant.

Puisqu’un cercle fait partie d’un plan, l’un de ses paramètres est l’aire.

Règle. Aire d'un cercle ( – c'est la partie commune d'un cercle et d'un demi-plan.) est égal au produit du carré du rayon ( r2) au nombre ¶.

• Exemples
• Étant donné : r = 100 cm
• Zone du cercle :
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Étant donné : d = 50 mm
• Zone du cercle :
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Si vous dessinez deux rayons dans un cercle vers différents points du cercle, alors deux parties du cercle sont formées, appelées secteurs. Si vous dessinez une corde dans un cercle, alors la partie du plan entre l'arc et la corde s'appelle segment de cercle.

Tout d'abord, comprenons la différence entre un cercle et un cercle. Pour voir cette différence, il suffit de considérer quels sont les deux chiffres. Il s'agit d'un nombre infini de points sur le plan, situés à égale distance d'un seul point central. Mais si le cercle est également constitué d’espace interne, alors il n’appartient pas au cercle. Il s'avère qu'un cercle est à la fois un cercle qui le limite (cercle(r)) et un nombre incalculable de points qui se trouvent à l'intérieur du cercle.

Pour tout point L situé sur le cercle, l'égalité OL=R s'applique. (La longueur du segment OL est égale au rayon du cercle).

Un segment qui relie deux points sur un cercle est son accord.

Une corde passant directement par le centre d'un cercle est diamètre ce cercle (D). Le diamètre peut être calculé à l'aide de la formule : D=2R

Circonférence calculé par la formule : C=2\pi R

Aire d'un cercle: S=\piR^(2)

Arc de cercle s'appelle la partie qui se situe entre ses deux points. Ces deux points définissent deux arcs de cercle. L'accord CD sous-tend deux arcs : CMD et CLD. Des accords identiques sous-tendent des arcs égaux.

Angle central Un angle compris entre deux rayons est appelé.

Longueur de l'arc peut être trouvé en utilisant la formule :

1. Utilisation de la mesure du degré : CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. En utilisant la mesure du radian : CD = \alpha R

Le diamètre, perpendiculaire à la corde, divise en deux la corde et les arcs qu'elle contracte.

Si les cordes AB et CD d'un cercle se coupent au point N, alors les produits des segments de cordes séparés par le point N sont égaux entre eux.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangente à un cercle

Tangente à un cercle Il est d'usage d'appeler une ligne droite ayant un point commun avec un cercle.

Si une droite a deux points communs, on l’appelle sécante.

Si vous dessinez le rayon au point tangent, il sera perpendiculaire à la tangente au cercle.

Traçons deux tangentes de ce point à notre cercle. Il s'avère que les segments tangents seront égaux les uns aux autres et que le centre du cercle sera situé sur la bissectrice de l'angle avec le sommet en ce point.

CA = CB

Traçons maintenant une tangente et une sécante au cercle à partir de notre point. On obtient que le carré de la longueur du segment tangent sera égal au produit de l'ensemble du segment sécant et de sa partie extérieure.

AC^(2) = CD \cdot BC

On peut conclure : le produit d'un segment entier de la première sécante et de sa partie externe est égal au produit d'un segment entier de la deuxième sécante et de sa partie externe.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Angles dans un cercle

Les mesures en degrés de l'angle au centre et de l'arc sur lequel il repose sont égales.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Angle inscrit est un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés contiennent des cordes.

Vous pouvez le calculer en connaissant la taille de l'arc, puisqu'elle est égale à la moitié de cet arc.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Basé sur un diamètre, un angle inscrit, un angle droit.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Les angles inscrits qui sous-tendent le même arc sont identiques.

Les angles inscrits reposant sur une corde sont identiques ou leur somme est égale à 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Sur un même cercle se trouvent les sommets de triangles ayant des angles identiques et une base donnée.

Un angle dont le sommet est à l'intérieur du cercle et situé entre deux cordes est identique à la moitié de la somme des valeurs angulaires des arcs de cercle contenus dans les angles donnés et verticaux.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Un angle dont le sommet est extérieur au cercle et situé entre deux sécantes est identique à la moitié de la différence des valeurs angulaires des arcs de cercle contenus à l'intérieur de l'angle.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Cercle inscrit

Cercle inscrit est un cercle tangent aux côtés d'un polygone.

Au point d'intersection des bissectrices des coins d'un polygone, se trouve son centre.

Un cercle ne peut pas être inscrit dans chaque polygone.

L'aire d'un polygone avec un cercle inscrit se trouve par la formule :

S = pr,

p est le demi-périmètre du polygone,

r est le rayon du cercle inscrit.

Il s'ensuit que le rayon du cercle inscrit est égal à :

r = \frac(S)(p)

Les sommes des longueurs des côtés opposés seront identiques si le cercle est inscrit dans un quadrilatère convexe. Et vice versa : un cercle s'inscrit dans un quadrilatère convexe si les sommes des longueurs des côtés opposés sont identiques.

AB + DC = AD + BC

Il est possible d'inscrire un cercle dans n'importe lequel des triangles. Un seul. Au point d'intersection des bissectrices des angles internes de la figure, se trouvera le centre de ce cercle inscrit.

Le rayon du cercle inscrit est calculé par la formule :

r = \frac(S)(p) ,

où p = \frac(a + b + c)(2)

Circoncercle

Si un cercle passe par chaque sommet d'un polygone, alors un tel cercle est généralement appelé décrit à propos d'un polygone.

Au point d'intersection des médiatrices des côtés de cette figure se trouvera le centre du cercle circonscrit.

Le rayon peut être trouvé en le calculant comme le rayon du cercle circonscrit au triangle défini par 3 sommets quelconques du polygone.

On a la condition suivante : un cercle ne peut être décrit autour d'un quadrilatère que si la somme de ses angles opposés est égale à 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Autour de n'importe quel triangle, vous pouvez décrire un cercle, et un seul. Le centre d'un tel cercle sera situé au point d'intersection des médiatrices perpendiculaires des côtés du triangle.

Le rayon du cercle circonscrit peut être calculé à l'aide des formules :

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c sont les longueurs des côtés du triangle,

S est l'aire du triangle.

Théorème de Ptolémée

Enfin, considérons le théorème de Ptolémée.

Le théorème de Ptolémée stipule que le produit des diagonales est identique à la somme des produits des côtés opposés d'un quadrilatère cyclique.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD