ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટેની 10 તકનીકો. સંશોધન પેપર "ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની 10 રીતો"

સ્લાઇડ 1

સ્લાઇડ 2

સ્લાઇડ 3

સ્લાઇડ 4

સ્લાઇડ 5

સ્લાઇડ 6

સ્લાઇડ 7

સ્લાઇડ 8

સ્લાઇડ 9

સ્લાઇડ 10

સ્લાઇડ 11

સ્લાઇડ 12

સ્લાઇડ 13

સ્લાઇડ 14

સ્લાઇડ 15

સ્લાઇડ 16

સ્લાઇડ 17

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળ માટેના સૂત્રોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, જેની મદદથી તમે કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલી શકો છો. જો કે, ચતુર્ભુજ સમીકરણોને હલ કરવાની અન્ય રીતો છે જે તમને ઘણા સમીકરણોને ખૂબ જ ઝડપથી અને અસરકારક રીતે ઉકેલવા દે છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની દસ રીતો છે. મારા કાર્યમાં, મેં તેમાંના દરેકનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કર્યું.

1. પદ્ધતિ : સમીકરણની ડાબી બાજુ ફેક્ટરિંગ.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ

x 2 + 10x - 24 = 0.

ચાલો ડાબી બાજુ ફેક્ટરાઇઝ કરીએ:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

તેથી, સમીકરણ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

(x + 12)(x - 2) = 0

કારણ કે ઉત્પાદન શૂન્ય છે, પછી તેના પરિબળોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય છે. તેથી, સમીકરણની ડાબી બાજુ શૂન્ય પર બને છે x = 2, અને જ્યારે પણ x = - 12. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા 2 અને - 12 સમીકરણના મૂળ છે x 2 + 10x - 24 = 0.

2. પદ્ધતિ : સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ x 2 + 6x - 7 = 0.

ડાબી બાજુએ એક સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરો.

આ કરવા માટે, અમે નીચેના સ્વરૂપમાં x 2 + 6x અભિવ્યક્તિ લખીએ છીએ:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં, પ્રથમ પદ x સંખ્યાનો વર્ગ છે, અને બીજો શબ્દ x નું બમણું ગુણાંક છે 3. તેથી, સંપૂર્ણ વર્ગ મેળવવા માટે, તમારે 3 2 ઉમેરવાની જરૂર છે, કારણ કે

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

ચાલો હવે સમીકરણની ડાબી બાજુ બદલીએ

x 2 + 6x - 7 = 0,

તેમાં ઉમેરો અને 3 2 બાદ કરો. અમારી પાસે:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

આમ, આ સમીકરણ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

આથી, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, અથવા x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. પદ્ધતિ :સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરીએ

આહ 2 +bx + c = 0, a ≠ 0

4a પર અને ક્રમિક રીતે અમારી પાસે છે:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2axb + b 2 ) - b 2 + 4 એસી = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

ઉદાહરણો.

અ)ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,ડી = b 2 - 4 એસી = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

ડી > 0, બે અલગ અલગ મૂળ;

આમ, હકારાત્મક ભેદભાવના કિસ્સામાં, એટલે કે. ખાતે

b 2 - 4 એસી >0 , સમીકરણ આહ 2 +bx + c = 0બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે.

b)ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, s = 1,ડી = b 2 - 4 એસી = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

ડી = 0, એક મૂળ;

તેથી, જો ભેદભાવ શૂન્ય છે, એટલે કે. b 2 - 4 એસી = 0 , પછી સમીકરણ

આહ 2 +bx + c = 0એક જ મૂળ ધરાવે છે

વી)ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,ડી = b 2 - 4 એસી = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , ડી < 0.

આ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી.

તેથી, જો ભેદભાવ નકારાત્મક છે, એટલે કે. b 2 - 4 એસી < 0 ,

સમીકરણ આહ 2 +bx + c = 0કોઈ મૂળ નથી.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનું સૂત્ર (1). આહ 2 +bx + c = 0તમને મૂળ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ (જો કોઈ હોય તો), ઘટાડો અને અપૂર્ણ સહિત. ફોર્મ્યુલા (1) નીચે પ્રમાણે મૌખિક રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ એવા અપૂર્ણાંકના સમાન હોય છે જેનો અંશ વિરોધી ચિન્હ સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંક જેટલો હોય છે, વત્તા આ ગુણાંકના વર્ગના વર્ગમૂળને બાદબાકી મુક્ત પદ દ્વારા પ્રથમ ગુણાંકના ગુણાંકને ચાર ગણો કર્યા વિના, અને છેદ પ્રથમ ગુણાંક કરતા બમણો છે.

4. પદ્ધતિ: વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.

જેમ જાણીતું છે, ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

x 2 +px + c = 0. (1)

તેના મૂળ વિયેટાના પ્રમેયને સંતોષે છે, જે, ક્યારે a =1જેવો દેખાય છે

x 1 + x 2 = - પી

આના પરથી આપણે નીચેના તારણો દોરી શકીએ છીએ (ગુણાંકો p અને q પરથી આપણે મૂળના ચિહ્નોની આગાહી કરી શકીએ છીએ).

a) જો અડધા સભ્ય qઆપેલ સમીકરણ (1) હકારાત્મક છે ( q > 0 ), તો સમીકરણમાં સમાન ચિહ્નના બે મૂળ હોય છે અને આ બીજા ગુણાંક પર આધાર રાખે છે પી. જો આર< 0 , તો બંને મૂળ ઋણ છે જો આર< 0 , તો બંને મૂળ હકારાત્મક છે.

દાખ્લા તરીકે,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 અને x 2 = 1, કારણ કે q = 2 > 0 અને પી = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 અને x 2 = - 1, કારણ કે q = 7 > 0 અને પી= 8 > 0.

b) જો મફત સભ્ય qઆપેલ સમીકરણ (1) નકારાત્મક છે ( q < 0 ), તો પછી સમીકરણમાં અલગ-અલગ ચિહ્નના બે મૂળ હોય છે, અને મોટા મૂળ જો ધન હશે પી < 0 , અથવા નકારાત્મક જો પી > 0 .

દાખ્લા તરીકે,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 અને x 2 = 1, કારણ કે q= - 5 < 0 અને પી = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 અને x 2 = - 1, કારણ કે q = - 9 < 0 અને પી = - 8 < 0.

5. પદ્ધતિ: "થ્રો" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.

ચતુર્ભુજ સમીકરણનો વિચાર કરો

આહ 2 +bx + c = 0,જ્યાં a ≠ 0.

બંને બાજુઓને a વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

દો ah = y, ક્યાં x = y/a; પછી આપણે સમીકરણ પર આવીએ છીએ

y 2 +દ્વારા+ ac = 0,

આની સમકક્ષ છે. તેના મૂળ 1 પરઅને ખાતેવિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને 2 શોધી શકાય છે.

આખરે આપણને મળે છે

x 1 = y 1 /aઅને x 1 = y 2 /a.

આ પદ્ધતિ સાથે ગુણાંક એમફત શબ્દ દ્વારા ગુણાકાર, જાણે તેને "ફેંકવામાં" આવે છે, તેથી જ તેને કહેવામાં આવે છે ટ્રાન્સફર પદ્ધતિ. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે તમે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ સરળતાથી શોધી શકો છો અને, સૌથી અગત્યનું, જ્યારે ભેદભાવ ચોક્કસ ચોરસ હોય.

ઉદાહરણ.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ 2x 2 – 11x + 15 = 0.

ઉકેલ.ચાલો ગુણાંક 2 ને ફ્રી ટર્મમાં "ફેંકીએ" અને પરિણામે આપણને સમીકરણ મળે છે

y 2 – 11y + 30 = 0.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ

y 2 = 6x 2 = 6/2 x 2 = 3.

જવાબ: 2.5; 3.

6. પદ્ધતિ: ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકના ગુણધર્મ.

એ. ચતુર્ભુજ સમીકરણ આપવા દો

આહ 2 +bx + c = 0,જ્યાં a ≠ 0.

1) જો, a+b+ c = 0 (એટલે ​​​​કે ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય છે), પછી x 1 = 1,

x 2 = s/a.

પુરાવો.સમીકરણની બંને બાજુઓને ≠ 0 વડે ભાગતા, આપણે ઘટાડેલું ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવીએ છીએ

x 2 + b/ a x + c/ a = 0.

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1 c/ a.

શરતે A -b+ c = 0,જ્યાં b= a + c.આમ,

x 1 x 2 = - 1 (- c/a),

તે x 1 = -1અને x 2 =c/ a, જે અમારે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

ઉદાહરણો.

1) ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ 345x 2 – 137x – 208 = 0.

ઉકેલ.કારણ કે એ +b+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0),તે

x 1 = 1, x 2 =c/ a = -208/345.

જવાબ: 1; -208/345.

2) સમીકરણ ઉકેલો 132x 2 – 247x + 115 = 0.

ઉકેલ.કારણ કે એ +b+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0),તે

x 1 = 1, x 2 =c/ a = 115/132.

જવાબ: 1; 115/132.

બી. જો બીજા ગુણાંક b = 2 kએક સમ સંખ્યા છે, પછી મૂળ સૂત્ર

ઉદાહરણ.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ 3x2 - 14x + 16 = 0.

ઉકેલ. અમારી પાસે: a = 3,b= - 14, સે = 16,k = - 7 ;

ડી = k 2 – એસી = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, ડી > 0, બે અલગ અલગ મૂળ;

કોપયેવસ્કાયા ગ્રામીણ માધ્યમિક શાળા

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની 10 રીતો

વડા: પેટ્રિકીવા ગાલિના એનાટોલીયેવના,

ગણિત શિક્ષક

કોપેવો ગામ, 2007

1. ચતુર્ભુજ સમીકરણોના વિકાસનો ઇતિહાસ

1.1 પ્રાચીન બેબીલોનમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો

1.2 કેવી રીતે ડાયોફન્ટસે ચતુર્ભુજ સમીકરણો બનાવ્યા અને ઉકેલ્યા

1.3 ભારતમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો

1.4 અલ-ખોરેઝમી દ્વારા ચતુર્ભુજ સમીકરણો

1.5 યુરોપ XIII - XVII સદીઓમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો

1.6 વિએટાના પ્રમેય વિશે

2. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

નિષ્કર્ષ

સાહિત્ય

1. ચતુર્ભુજ સમીકરણોના વિકાસનો ઇતિહાસ

1.1 પ્રાચીન બેબીલોનમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો

પ્રાચીન સમયમાં પણ, માત્ર પ્રથમના જ નહીં, પણ બીજા સ્તરના સમીકરણોને ઉકેલવાની જરૂરિયાત, જમીનના પ્લોટના વિસ્તારો શોધવા અને લશ્કરી પ્રકૃતિના ખોદકામ સાથે સંબંધિત સમસ્યાઓને ઉકેલવાની જરૂરિયાતને કારણે થઈ હતી. ખગોળશાસ્ત્ર અને ગણિતના વિકાસની જેમ. 2000 બીસીની આસપાસ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલી શકાય છે. ઇ. બેબીલોનીઓ.

આધુનિક બીજગણિત સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કહી શકીએ કે તેમના ક્યુનિફોર્મ ગ્રંથોમાં, અપૂર્ણ ઉપરાંત, જેમ કે, સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો છે:

એક્સ2 + એક્સ= ¾; એક્સ2 - એક્સ= 14,5

આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેનો નિયમ, બેબીલોનિયન ગ્રંથોમાં નિર્ધારિત, આવશ્યકપણે આધુનિક સાથે એકરુપ છે, પરંતુ બેબીલોનીઓ આ નિયમ પર કેવી રીતે પહોંચ્યા તે જાણી શકાયું નથી. અત્યાર સુધી મળેલા લગભગ તમામ ક્યુનિફોર્મ ગ્રંથો માત્ર રેસિપીના રૂપમાં રજૂ કરાયેલા ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓ જ પ્રદાન કરે છે, તે કેવી રીતે મળી તે અંગે કોઈ સંકેત નથી.

બેબીલોનમાં બીજગણિતના ઉચ્ચ સ્તરના વિકાસ હોવા છતાં, ક્યુનિફોર્મ ગ્રંથોમાં નકારાત્મક સંખ્યા અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિઓનો અભાવ છે.

1.2 કેવી રીતે ડાયોફન્ટસે ચતુર્ભુજ સમીકરણો બનાવ્યા અને ઉકેલ્યા.

ડાયોફેન્ટસના અંકગણિતમાં બીજગણિતની વ્યવસ્થિત રજૂઆત નથી, પરંતુ તેમાં સમસ્યાઓની વ્યવસ્થિત શ્રેણી છે, જેમાં સમજૂતી સાથે અને વિવિધ ડિગ્રીના સમીકરણો બનાવીને ઉકેલવામાં આવે છે.

સમીકરણો કંપોઝ કરતી વખતે, ડાયોફન્ટસ નિરાકરણને સરળ બનાવવા માટે કુશળતાપૂર્વક અજાણ્યાઓને પસંદ કરે છે.

અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, તેના કાર્યોમાંનું એક છે.

સમસ્યા 11."બે નંબરો એ જાણીને શોધો કે તેમનો સરવાળો 20 છે અને તેમનું ઉત્પાદન 96 છે"

ડાયોફેન્ટસના કારણો નીચે મુજબ છે: સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી તે અનુસરે છે કે જરૂરી સંખ્યાઓ સમાન નથી, કારણ કે જો તેઓ સમાન હોત, તો પછી તેમનું ઉત્પાદન 96 જેટલું નહીં, પરંતુ 100 જેટલું હશે. આમ, તેમાંથી એક કરતાં વધુ હશે. તેમની રકમનો અડધો ભાગ, એટલે કે. 10 + x, અન્ય ઓછું છે, એટલે કે. 10. તેમની વચ્ચે તફાવત 2x.

તેથી સમીકરણ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 2 = 96

એક્સ 2 - 4 = 0 (1)

અહીંથી x = 2. જરૂરી સંખ્યાઓમાંથી એક સમાન છે 12 , અન્ય 8 . ઉકેલ x = -2ડાયોફેન્ટસ માટે અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે ગ્રીક ગણિત માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓ જાણતું હતું.

જો આપણે જરૂરી સંખ્યાઓમાંથી એકને અજાણ્યા તરીકે પસંદ કરીને આ સમસ્યા હલ કરીએ, તો આપણે સમીકરણના ઉકેલ પર આવીશું.

y(20 - y) = 96,

ખાતે2 - 20у + 96 = 0. (2)

તે સ્પષ્ટ છે કે અજ્ઞાત તરીકે જરૂરી સંખ્યાઓના અડધા તફાવતને પસંદ કરીને, ડાયોફન્ટસ ઉકેલને સરળ બનાવે છે; તે અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ (1) ઉકેલવા માટે સમસ્યાને ઘટાડવાનું સંચાલન કરે છે.

1.3 ભારતમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો

ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી અને ખગોળશાસ્ત્રી આર્યભટ્ટ દ્વારા 499 માં સંકલિત ખગોળશાસ્ત્રીય ગ્રંથ "આર્યભટ્ટિયમ" માં ચતુર્ભુજ સમીકરણો પરની સમસ્યાઓ પહેલેથી જ જોવા મળે છે. અન્ય ભારતીય વૈજ્ઞાનિક, બ્રહ્મગુપ્ત (7મી સદી), એ એક સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડીને ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેના સામાન્ય નિયમની રૂપરેખા આપી હતી:

ઓહ2 + bx = c, a > 0. (1)

સમીકરણ (1) માં, ગુણાંક, સિવાય એ, નકારાત્મક પણ હોઈ શકે છે. બ્રહ્મગુપ્તનું શાસન અનિવાર્યપણે આપણા જેવું જ છે.

પ્રાચીન ભારતમાં, મુશ્કેલ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની જાહેર સ્પર્ધાઓ સામાન્ય હતી. જૂની ભારતીય પુસ્તકોમાંની એક આવી સ્પર્ધાઓ વિશે નીચે મુજબ કહે છે: "જેમ સૂર્ય તેની તેજસ્વીતાથી તારાઓને ચમકાવે છે, તેવી જ રીતે એક વિદ્વાન માણસ બીજગણિતની સમસ્યાઓની દરખાસ્ત અને નિરાકરણ કરીને જાહેર સભાઓમાં બીજાની કીર્તિને આગળ વધારશે." સમસ્યાઓ ઘણીવાર કાવ્યાત્મક સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવતી હતી.

12મી સદીના પ્રખ્યાત ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીની આ એક સમસ્યા છે. ભાસ્કર.

સમસ્યા 13.

"ફ્રીસ્કી વાંદરાઓનું ટોળું અને વેલાઓ સાથે બાર...

અધિકારીઓએ ખાધું, મજા પડી. તેઓ કૂદવા લાગ્યા, લટકવા લાગ્યા...

તેઓ ચોરસમાં છે, આઠમાં કેટલા વાંદરાઓ હતા?

મને ક્લીયરિંગમાં મજા આવી રહી હતી. મને કહો, આ પેકમાં?

ભાસ્કરનો ઉકેલ સૂચવે છે કે તે જાણતો હતો કે ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળ બે-મૂલ્યવાળું છે (ફિગ. 3).

સમસ્યા 13 ને અનુરૂપ સમીકરણ છે:

(x/8) 2 + 12 = x

ભાસ્કર આડમાં લખે છે:

એક્સ2 - 64x = -768

અને, આ સમીકરણની ડાબી બાજુને ચોરસમાં પૂર્ણ કરવા માટે, બંને બાજુઓ ઉમેરે છે 32 2 , પછી મેળવો:

એક્સ2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x - 32 = ± 16,

એક્સ1 = 16, એક્સ2 = 48.

1.4 અલ - ખોરેઝમીમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો

અલ-ખોરેઝમીના બીજગણિત ગ્રંથમાં, રેખીય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું વર્ગીકરણ આપવામાં આવ્યું છે. લેખક 6 પ્રકારના સમીકરણોની ગણતરી કરે છે, તેમને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરે છે:

1) "ચોરસ મૂળના સમાન છે," એટલે કે ઓહ2 + c =bએક્સ.

2) "ચોરસ સંખ્યાઓ સમાન છે", એટલે કે. ઓહ2 = સે.

3) "મૂળ સંખ્યા સમાન છે", એટલે કે. ah = s.

4) “ચોરસ અને સંખ્યાઓ મૂળ સમાન છે,” એટલે કે. ઓહ2 + c =bએક્સ.

5) “ચોરસ અને મૂળ સંખ્યાઓ સમાન છે”, એટલે કે. ઓહ2 + bx= સે.

6) “મૂળ અને સંખ્યાઓ ચોરસ સમાન છે,” એટલે કે.bx+ c = આહ2 .

અલ-ખોરેઝમી માટે, જેમણે નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવાનું ટાળ્યું હતું, આ દરેક સમીકરણોની શરતો ઉમેરણો છે અને બાદબાકી કરી શકાય તેવી નથી. આ કિસ્સામાં, જે સમીકરણો હકારાત્મક ઉકેલો ધરાવતા નથી તે દેખીતી રીતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતાં નથી. લેખક અલ-જબર અને અલ-મુકાબાલાની તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ સુયોજિત કરે છે. તેના નિર્ણયો, અલબત્ત, સંપૂર્ણપણે આપણા સાથે સુસંગત નથી. એ વાતનો ઉલ્લેખ ન કરવો કે તે કેવળ રેટરિકલ છે, એ નોંધવું જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે પ્રથમ પ્રકારનું અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરવામાં આવે ત્યારે

અલ-ખોરેઝમી, 17મી સદી પહેલાના તમામ ગણિતશાસ્ત્રીઓની જેમ, શૂન્ય ઉકેલને ધ્યાનમાં લેતા નથી, કદાચ કારણ કે ચોક્કસ વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં તે કોઈ વાંધો નથી. સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, અલ-ખોરેઝમી ચોક્કસ સંખ્યાત્મક ઉદાહરણો અને પછી ભૌમિતિક પુરાવાઓનો ઉપયોગ કરીને તેમને ઉકેલવા માટેના નિયમો નક્કી કરે છે.

સમસ્યા 14.“ચોરસ અને નંબર 21 એ 10 મૂળ સમાન છે. મૂળ શોધો" (સમીકરણ xનું મૂળ ધારીને2 + 21 = 10x).

લેખકનું સોલ્યુશન કંઈક આના જેવું છે: મૂળની સંખ્યાને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરો, તમને 5 મળે છે, 5 ને તેના દ્વારા ગુણાકાર કરો, ઉત્પાદનમાંથી 21 બાદ કરો, જે 4 રહે છે. 4 માંથી મૂળ લો, તમને 2 મળશે. 5 માંથી 2 બાદ કરો. , તમને 3 મળશે, આ ઇચ્છિત રુટ હશે. અથવા 2 થી 5 ઉમેરો, જે 7 આપે છે, આ પણ એક મૂળ છે.

અલ-ખોરેઝમીનો ગ્રંથ એ પ્રથમ પુસ્તક છે જે આપણી પાસે આવ્યું છે, જે વ્યવસ્થિત રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું વર્ગીકરણ નક્કી કરે છે અને તેમના ઉકેલ માટે સૂત્રો આપે છે.

1.5 યુરોપમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણોXIII- XVIIbb

યુરોપમાં અલ-ખ્વારિઝ્મીની રેખાઓ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રો સૌપ્રથમ ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો ફિબોનાકી દ્વારા 1202માં લખાયેલા પુસ્તક અબેકસમાં દર્શાવવામાં આવ્યા હતા. આ વિશાળ કાર્ય, જે ઇસ્લામના દેશો અને પ્રાચીન ગ્રીસ બંનેના ગણિતના પ્રભાવને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેની સંપૂર્ણતા અને પ્રસ્તુતિની સ્પષ્ટતા દ્વારા અલગ પડે છે. લેખકે સ્વતંત્ર રીતે સમસ્યાઓ ઉકેલવાના કેટલાક નવા બીજગણિત ઉદાહરણો વિકસાવ્યા હતા અને નકારાત્મક સંખ્યાઓના પરિચયનો સંપર્ક કરનાર યુરોપમાં પ્રથમ હતા. તેમના પુસ્તકે માત્ર ઇટાલીમાં જ નહીં, પણ જર્મની, ફ્રાન્સ અને અન્ય યુરોપિયન દેશોમાં પણ બીજગણિતીય જ્ઞાનના પ્રસારમાં ફાળો આપ્યો. 16મી - 17મી સદીના લગભગ તમામ યુરોપીયન પાઠ્યપુસ્તકોમાં અબેકસના પુસ્તકમાંથી ઘણી સમસ્યાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. અને અંશતઃ XVIII.

PAGE_BREAK--

ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેનો સામાન્ય નિયમ એક કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યો છે:

એક્સ2 + bx= c,

ગુણાંક ચિહ્નોના તમામ સંભવિત સંયોજનો માટે b, સાથેએમ. સ્ટીફેલ દ્વારા 1544 માં જ યુરોપમાં ઘડવામાં આવ્યું હતું.

સામાન્ય સ્વરૂપમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવા માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ વિએથમાંથી ઉપલબ્ધ છે, પરંતુ વિયેથ માત્ર હકારાત્મક મૂળને જ ઓળખે છે. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ ટાર્ટાગ્લિયા, કાર્ડાનો, બોમ્બેલી 16મી સદીમાં પ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં સામેલ હતા. સકારાત્મક ઉપરાંત, નકારાત્મક મૂળને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. માત્ર 17મી સદીમાં. ગિરાર્ડ, ડેસકાર્ટેસ, ન્યૂટન અને અન્ય વૈજ્ઞાનિકોના કાર્યને આભારી, ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિ આધુનિક સ્વરૂપ ધારણ કરે છે.

1.6 વિએટાના પ્રમેય વિશે

ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંક અને તેના મૂળ વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરતું પ્રમેય, જેનું નામ વિએટા છે, તે 1591માં તેમના દ્વારા પ્રથમવાર નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવ્યું હતું: “જો બી+ ડી, વડે ગુણાકાર એ- એ2 , બરાબર બી.ડી, તે એબરાબર INઅને સમાન ડી».

વિએટાને સમજવા માટે, આપણે તે યાદ રાખવું જોઈએ એ, કોઈપણ સ્વર અક્ષરની જેમ, અજ્ઞાત (અમારું એક્સ), સ્વરો માં,ડી- અજ્ઞાત માટે ગુણાંક. આધુનિક બીજગણિતની ભાષામાં, ઉપરોક્ત વિએટા ફોર્મ્યુલેશનનો અર્થ છે: જો ત્યાં છે

(એ +b)x - x2 = ab,

એક્સ2 - (એ +b)x + ab= 0,

એક્સ1 = a, x2 = b.

પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરીને લખેલા સામાન્ય સૂત્રો સાથેના સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરતાં, વિયેટે સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિઓમાં એકરૂપતા સ્થાપિત કરી. જો કે, વિયેટનું પ્રતીકવાદ હજી પણ તેના આધુનિક સ્વરૂપથી દૂર છે. તે નકારાત્મક સંખ્યાઓને ઓળખતો ન હતો અને તેથી, સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, તેણે ફક્ત એવા કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લીધા કે જ્યાં તમામ મૂળ હકારાત્મક હતા.

2. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

ચતુર્ભુજ સમીકરણો એ પાયો છે જેના પર બીજગણિતની ભવ્ય ઈમારત ટકી છે. ત્રિકોણમિતિ, ઘાતાંકીય, લઘુગણક, અતાર્કિક અને અતીન્દ્રિય સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં ચતુર્ભુજ સમીકરણોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. શાળા (8મા ધોરણ)થી ગ્રેજ્યુએશન સુધી ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે આપણે બધા જાણીએ છીએ.

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળ માટેના સૂત્રોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, જેની મદદથી તમે કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલી શકો છો. જો કે, ચતુર્ભુજ સમીકરણોને હલ કરવાની અન્ય રીતો છે જે તમને ઘણા સમીકરણોને ખૂબ જ ઝડપથી અને અસરકારક રીતે ઉકેલવા દે છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની દસ રીતો છે. મારા કાર્યમાં, મેં તેમાંના દરેકનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કર્યું.

1. પદ્ધતિ : સમીકરણની ડાબી બાજુ ફેક્ટરિંગ.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ

એક્સ2 + 10x - 24 = 0.

ચાલો ડાબી બાજુ ફેક્ટરાઇઝ કરીએ:

એક્સ2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

તેથી, સમીકરણ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

(x + 12)(x - 2) = 0

કારણ કે ઉત્પાદન શૂન્ય છે, પછી તેના પરિબળોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય છે. તેથી, સમીકરણની ડાબી બાજુ શૂન્ય પર બને છે x = 2, અને જ્યારે પણ x = - 12. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા 2 અને - 12 સમીકરણના મૂળ છે એક્સ2 + 10x - 24 = 0.

2. પદ્ધતિ : સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ એક્સ2 + 6x - 7 = 0.

ડાબી બાજુએ એક સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરો.

આ કરવા માટે, અમે નીચેના સ્વરૂપમાં x2 + 6x અભિવ્યક્તિ લખીએ છીએ:

એક્સ2 + 6x = x2 + 2 x 3.

પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં, પ્રથમ પદ x સંખ્યાનો વર્ગ છે, અને બીજો શબ્દ x નું 3 બાયનું બમણું ઉત્પાદન છે. તેથી, સંપૂર્ણ વર્ગ મેળવવા માટે, તમારે 32 ઉમેરવાની જરૂર છે, કારણ કે

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2 .

ચાલો હવે સમીકરણની ડાબી બાજુ બદલીએ

એક્સ2 + 6x - 7 = 0,

તેમાં ઉમેરો અને બાદબાકી 32. અમારી પાસે છે:

એક્સ2 + 6x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 3 2 - 7 = (x + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.

આમ, આ સમીકરણ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.

(x + 3)2 - 16 =0, (x + 3)2 = 16.

આથી, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, અથવા x + 3 = -4, x2 = -7.

3. પદ્ધતિ :સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરીએ

ઓહ2 + bx + c = 0, a ≠ 0

4a પર અને ક્રમિક રીતે અમારી પાસે છે:

4a2 એક્સ2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ah)2 + 2ahb+ b2 ) - b2 + 4 એસી= 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

ઉદાહરણો.

અ)ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,ડી= b2 - 4 એસી= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

ડી> 0, બે અલગ અલગ મૂળ;

આમ, હકારાત્મક ભેદભાવના કિસ્સામાં, એટલે કે. ખાતે

b2 - 4 એસી>0 , સમીકરણ ઓહ2 + bx + c = 0બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે.

b)ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ: 4x2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, s = 1,ડી= b2 - 4 એસી= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

ડી= 0, એક મૂળ;

તેથી, જો ભેદભાવ શૂન્ય છે, એટલે કે. b2 - 4 એસી= 0 , પછી સમીકરણ

ઓહ2 + bx + c = 0એક જ મૂળ ધરાવે છે

વી)ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ: 2x2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,ડી= b2 - 4 એસી= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, ડી< 0.

ચાલુ
--PAGE_BREAK--

આ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી.

તેથી, જો ભેદભાવ નકારાત્મક છે, એટલે કે. b2 - 4 એસી< 0 ,

સમીકરણ ઓહ2 + bx + c = 0કોઈ મૂળ નથી.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનું સૂત્ર (1). ઓહ2 + bx + c = 0તમને મૂળ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ (જો કોઈ હોય તો), ઘટાડો અને અપૂર્ણ સહિત. ફોર્મ્યુલા (1) નીચે પ્રમાણે મૌખિક રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ એવા અપૂર્ણાંકના સમાન હોય છે જેનો અંશ વિરોધી ચિન્હ સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંક જેટલો હોય છે, વત્તા આ ગુણાંકના વર્ગના વર્ગમૂળને બાદબાકી મુક્ત પદ દ્વારા પ્રથમ ગુણાંકના ગુણાંકને ચાર ગણો કર્યા વિના, અને છેદ પ્રથમ ગુણાંક કરતા બમણો છે.

4. પદ્ધતિ: વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.

જેમ જાણીતું છે, ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

એક્સ2 + px+ c= 0. (1)

તેના મૂળ વિયેટાના પ્રમેયને સંતોષે છે, જે, ક્યારે a =1જેવો દેખાય છે

/>x1 x2 = q,

x1 + x2 = - પી

આના પરથી આપણે નીચેના તારણો દોરી શકીએ છીએ (ગુણાંકો p અને q પરથી આપણે મૂળના ચિહ્નોની આગાહી કરી શકીએ છીએ).

a) જો અડધા સભ્ય qઆપેલ સમીકરણ (1) હકારાત્મક છે ( q> 0 ), તો સમીકરણમાં સમાન ચિહ્નના બે મૂળ હોય છે અને આ બીજા ગુણાંક પર આધાર રાખે છે પી. જો આર< 0 , તો બંને મૂળ ઋણ છે જો આર< 0 , તો બંને મૂળ હકારાત્મક છે.

દાખ્લા તરીકે,

x2 – 3 x+ 2 = 0; x1 = 2 અને x2 = 1, કારણ કે q= 2 > 0 અને પી= - 3 < 0;

x2 + 8 x+ 7 = 0; x1 = - 7 અને x2 = - 1, કારણ કે q= 7 > 0 અને પી= 8 > 0.

b) જો મફત સભ્ય qઆપેલ સમીકરણ (1) નકારાત્મક છે ( q< 0 ), તો પછી સમીકરણમાં અલગ-અલગ ચિહ્નના બે મૂળ હોય છે, અને મોટા મૂળ જો ધન હશે પી< 0 , અથવા નકારાત્મક જો પી> 0 .

દાખ્લા તરીકે,

x2 + 4 x– 5 = 0; x1 = - 5 અને x2 = 1, કારણ કે q= - 5 < 0 અને પી= 4 > 0;

x2 – 8 x– 9 = 0; x1 = 9 અને x2 = - 1, કારણ કે q= - 9 < 0 અને પી= - 8 < 0.

5. પદ્ધતિ: "થ્રો" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.

ચતુર્ભુજ સમીકરણનો વિચાર કરો

ઓહ2 + bx + c = 0,જ્યાં a ≠ 0.

બંને બાજુઓને a વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

એ2 એક્સ2 + એbx + ac = 0.

દો ah = y, ક્યાં x = y/a; પછી આપણે સમીકરણ પર આવીએ છીએ

ખાતે2 + દ્વારા+ એસી = 0,

આની સમકક્ષ છે. તેના મૂળ ખાતે1 અને ખાતેવિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને 2 શોધી શકાય છે.

આખરે આપણને મળે છે

એક્સ1 = y1 /એઅને એક્સ1 = y2 /એ.

આ પદ્ધતિ સાથે ગુણાંક એમફત શબ્દ દ્વારા ગુણાકાર, જાણે તેને "ફેંકવામાં" આવે છે, તેથી જ તેને કહેવામાં આવે છે ટ્રાન્સફર પદ્ધતિ. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે તમે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ સરળતાથી શોધી શકો છો અને, સૌથી અગત્યનું, જ્યારે ભેદભાવ ચોક્કસ ચોરસ હોય.

ઉદાહરણ.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ 2x2 – 11x + 15 = 0.

ઉકેલ.ચાલો ગુણાંક 2 ને ફ્રી ટર્મમાં "ફેંકીએ" અને પરિણામે આપણને સમીકરણ મળે છે

ખાતે2 – 11у + 30 = 0.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ

/>/>/>/>/>ખાતે1 = 5 x1 = 5/2 x1 = 2,5

ખાતે2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

જવાબ: 2.5; 3.

6. પદ્ધતિ: ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકના ગુણધર્મ.

એ. ચતુર્ભુજ સમીકરણ આપવા દો

ઓહ2 + bx + c = 0,જ્યાં a ≠ 0.

1) જો, a+b+ c = 0 (એટલે ​​​​કે ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય છે), પછી x1 = 1,

એક્સ2 = s/a.

પુરાવો.સમીકરણની બંને બાજુઓને ≠ 0 વડે ભાગતા, આપણે ઘટાડેલું ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવીએ છીએ

x2 + b/ a x+ c/ a= 0.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ

x1 + x2 = - b/ a,

x1 x2 = 1 c/ a.

શરતે A -b+ c = 0,જ્યાં b= a + c.આમ,

/>x1 +x2 = - એ+ b/a= -1 – c/a,

x1 x2 = - 1 (- c/a),

તે એક્સ1 = -1 અને એક્સ2 = c/ a, જે અમારે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

ઉદાહરણો.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ 345x2 – 137x – 208 = 0.

ઉકેલ.કારણ કે એ +b+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0),તે

એક્સ1 = 1, x2 = c/ a= -208/345.

જવાબ: 1; -208/345.

2) સમીકરણ ઉકેલો 132x2 – 247x + 115 = 0.

ઉકેલ.કારણ કે એ +b+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0),તે

એક્સ1 = 1, x2 = c/ a= 115/132.

જવાબ: 1; 115/132.

બી. જો બીજા ગુણાંક b= 2 kએક સમ સંખ્યા છે, પછી મૂળ સૂત્ર

ચાલુ
--PAGE_BREAK--

ઉદાહરણ.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ 3x2 - 14x + 16 = 0.

ઉકેલ. અમારી પાસે: a = 3,b= - 14, સે = 16,k= - 7 ;

ડી= k2 – એસી= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, ડી> 0, બે અલગ અલગ મૂળ;

જવાબ: 2; 8/3

IN ઘટાડો સમીકરણ

એક્સ2 + px +q= 0

જેમાં સામાન્ય સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે a = 1, b= પીઅને c =q. તેથી, ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે, મૂળ સૂત્ર છે

ફોર્મ લે છે:

ફોર્મ્યુલા (3) જ્યારે વાપરવા માટે ખાસ કરીને અનુકૂળ છે આર- બેકી સંખ્યા.

ઉદાહરણ.ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ એક્સ2 – 14x – 15 = 0.

ઉકેલ.અમારી પાસે: એક્સ1,2 =7±

જવાબ: x1 = 15; એક્સ2 = -1.

7. પદ્ધતિ: ચતુર્ભુજ સમીકરણનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન.

જો Eq માં.

એક્સ2 + px+ q= 0

બીજા અને ત્રીજા પદોને જમણી બાજુએ ખસેડો, આપણને મળે છે

એક્સ2 = - px- q.

ચાલો નિર્ભરતા y = x2 અને y = - px- q ના ગ્રાફ બનાવીએ.

પ્રથમ અવલંબનનો આલેખ એ મૂળમાંથી પસાર થતો પેરાબોલા છે. બીજો નિર્ભરતા ગ્રાફ -

સીધા (ફિગ. 1). નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:

એક સીધી રેખા અને પેરાબોલા બે બિંદુઓ પર છેદે છે, આંતરછેદ બિંદુઓના એબ્સિસાસ એ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે;

એક સીધી રેખા અને પેરાબોલા સ્પર્શ કરી શકે છે (માત્ર એક સામાન્ય બિંદુ), એટલે કે. સમીકરણનો એક ઉકેલ છે;

સીધી રેખા અને પેરાબોલામાં સામાન્ય બિંદુઓ હોતા નથી, એટલે કે. ચતુર્ભુજ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી.

ઉદાહરણો.

1) ચાલો સમીકરણને ગ્રાફિકલી હલ કરીએ એક્સ2 - 3x - 4 = 0(ફિગ. 2).

ઉકેલ.ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ એક્સ2 = 3x + 4.

ચાલો એક પેરાબોલા બનાવીએ y = x2 અને પ્રત્યક્ષ y = 3x + 4. પ્રત્યક્ષ

y = 3x + 4બે બિંદુઓથી બનાવી શકાય છે M (0; 4)અને

એન(3; 13) . એક સીધી રેખા અને પેરાબોલા બે બિંદુઓ પર છેદે છે

એઅને IN abscissas સાથે એક્સ1 = - 1 અને એક્સ2 = 4 . જવાબ આપો : એક્સ1 = - 1;

એક્સ2 = 4.

2) ચાલો સમીકરણને ગ્રાફિકલી હલ કરીએ (ફિગ. 3) એક્સ2 - 2x + 1 = 0.

ઉકેલ.ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ એક્સ2 = 2x - 1.

ચાલો એક પેરાબોલા બનાવીએ y = x2 અને સીધા y = 2x - 1.

પ્રત્યક્ષ y = 2x - 1બે બિંદુઓથી બનાવો M (0; - 1)

અને એન(1/2; 0) . એક સીધી રેખા અને પેરાબોલા એક બિંદુ પર છેદે છે એસાથે

એબ્સીસા x = 1. જવાબ: x = 1.

3) ચાલો સમીકરણને ગ્રાફિકલી હલ કરીએ એક્સ2 - 2x + 5 = 0(ફિગ. 4).

ઉકેલ.ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ એક્સ2 = 5x - 5. ચાલો એક પેરાબોલા બનાવીએ y = x2 અને પ્રત્યક્ષ y = 2x - 5. પ્રત્યક્ષ y = 2x - 5ચાલો બે બિંદુઓ M(0; - 5) અને N(2.5; 0) થી બનાવીએ. સીધી રેખા અને પેરાબોલામાં આંતરછેદ બિંદુઓ નથી, એટલે કે. આ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ આપો.સમીકરણ એક્સ2 - 2x + 5 = 0કોઈ મૂળ નથી.

8. પદ્ધતિ: હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.

પેરાબોલાના ઉપયોગથી ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ અસુવિધાજનક છે. જો તમે પોઈન્ટમાંથી પેરાબોલા બનાવો છો, તો તે ઘણો સમય લે છે, અને પ્રાપ્ત પરિણામોની ચોકસાઈની ડિગ્રી ઓછી છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટે હું નીચેની પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું ઓહ2 + bx + c = 0હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને (ફિગ. 5).

ચાલો ધારીએ કે ઇચ્છિત વર્તુળ અક્ષને છેદે છે

પોઈન્ટમાં abscissa B(x1 ; 0) અને ડી(એક્સ2 ; 0), જ્યાં એક્સ1 અને એક્સ2 - સમીકરણના મૂળ ઓહ2 + bx + c = 0, અને પોઈન્ટમાંથી પસાર થાય છે

A(0; 1)અને C(0;c/ a) ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર. પછી, સેકન્ટ પ્રમેય દ્વારા, આપણી પાસે છે ઓ.બી. ઓ.ડી.= ઓ.એ. ઓ.સી., ક્યાં ઓ.સી.= ઓ.બી. ઓ.ડી./ ઓ.એ.= x1 એક્સ2 / 1 = c/ a.

વર્તુળનું કેન્દ્ર કાટખૂણેના આંતરછેદના બિંદુ પર છે એસએફઅને એસ.કે., તારોની મધ્યમાં પુનઃસ્થાપિત A.C.અને બી.ડી, એ કારણે

1) બિંદુઓ બાંધો (વર્તુળનું કેન્દ્ર) અને એ(0; 1) ;

2) ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળ દોરો એસ.એ.;

3) અક્ષ સાથે આ વર્તુળના આંતરછેદના બિંદુઓના એબ્સિસાસ ઓહમૂળ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે.

આ કિસ્સામાં, ત્રણ કેસો શક્ય છે.

1) વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્રના ઓર્ડિનેટ કરતા વધારે છે (એ.એસ> એસ.કે., અથવાઆર> a+ c/2 a) , વર્તુળ બળદની ધરીને બે બિંદુઓ પર છેદે છે (ફિગ. 6, a) B(x1 ; 0) અને ડી(એક્સ2 ; 0) , ક્યાં એક્સ1 અને એક્સ2 - ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ ઓહ2 + bx + c = 0.

2) વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્રના ઓર્ડિનેટ જેટલી છે (એ.એસ= એસ.બી., અથવાઆર= a+ c/2 a) , વર્તુળ બિંદુ પર ઓક્સ અક્ષ (ફિગ. 6, b) ને સ્પર્શે છે B(x1 ; 0) , જ્યાં x1 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણનું મૂળ છે.

ચાલુ
--PAGE_BREAK--

3) વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્રના ઓર્ડિનેટ કરતા ઓછી છે; વર્તુળમાં એબ્સીસા અક્ષ (ફિગ. 6, c) સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી, આ કિસ્સામાં સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

ઉદાહરણ.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ એક્સ2 - 2x - 3 = 0(ફિગ. 7).

ઉકેલ.ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના કેન્દ્રબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ:

ચાલો ત્રિજ્યા SA નું વર્તુળ દોરીએ, જ્યાં A (0; 1).

જવાબ:એક્સ1 = - 1; એક્સ2 = 3.

9. પદ્ધતિ: નોમોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની આ એક જૂની અને અયોગ્ય રીતે ભૂલી ગયેલી પદ્ધતિ છે, જે પૃષ્ઠ 83 પર મૂકવામાં આવી છે (જુઓ બ્રાડીસ વી.એમ. ચાર-અંકના ગાણિતિક કોષ્ટકો. - એમ., પ્રોસ્વેશેની, 1990).

કોષ્ટક XXII. સમીકરણ ઉકેલવા માટે નોમોગ્રામ z2 + pz+ q= 0 . આ નોમોગ્રામ, ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલ્યા વિના, તેના ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ નક્કી કરવા માટે પરવાનગી આપે છે.

નોમોગ્રામનું વક્રીકૃત સ્કેલ સૂત્રો (ફિગ. 11) અનુસાર બનાવવામાં આવ્યું છે:

માનતા OS = p,ઇડી= q, OE = a(બધા સે.મી.માં), ત્રિકોણની સમાનતાથી સાનઅને સીડીએફઅમને પ્રમાણ મળે છે

જે, અવેજી અને સરળીકરણ પછી, સમીકરણ પ્રાપ્ત કરે છે

z2 + pz+ q= 0,

અને પત્ર zવક્ર સ્કેલ પર કોઈપણ બિંદુનું ચિહ્ન.

ઉદાહરણો.

1) સમીકરણ માટે z2 - 9 z+ 8 = 0 નોમોગ્રામ મૂળ આપે છે

z1 = 8,0 અને z2 = 1,0 (ફિગ. 12).

2) નોમોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ

2 z2 - 9 z+ 2 = 0.

આ સમીકરણના ગુણાંકને 2 વડે ભાગતા, આપણને સમીકરણ મળે છે

z2 - 4,5 z+ 1 = 0.

નોમોગ્રામ મૂળ આપે છે z1 = 4 અને z2 = 0,5.

3) સમીકરણ માટે

z2 - 25 z+ 66 = 0

ગુણાંક p અને q સ્કેલની બહાર છે, ચાલો અવેજી કરીએ z= 5 t, આપણને સમીકરણ મળે છે

t2 - 5 t+ 2,64 = 0,

જે આપણે નોમોગ્રામની મદદથી ઉકેલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ t1 = 0,6 અને t2 = 4,4, જ્યાં z1 = 5 t1 = 3,0 અને z2 = 5 t2 = 22,0.

10. પદ્ધતિ: ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે ભૌમિતિક પદ્ધતિ.

પ્રાચીન સમયમાં, જ્યારે બીજગણિત કરતાં ભૂમિતિ વધુ વિકસિત હતી, ત્યારે ચતુર્ભુજ સમીકરણો બીજગણિતીય રીતે નહીં, પણ ભૌમિતિક રીતે ઉકેલવામાં આવતા હતા. હું અલ-ખોરેઝમીના "બીજગણિત" માંથી એક પ્રખ્યાત ઉદાહરણ આપીશ.

ઉદાહરણો.

1) ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ એક્સ2 + 10x = 39.

મૂળમાં, આ સમસ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે: "એક ચોરસ અને દસ મૂળ 39 સમાન છે" (ફિગ. 15).

ઉકેલ.બાજુ x સાથેના ચોરસને ધ્યાનમાં લો, તેની બાજુઓ પર લંબચોરસ બાંધવામાં આવે છે જેથી તેમાંથી દરેકની બીજી બાજુ 2.5 હોય, તેથી, દરેકનું ક્ષેત્રફળ 2.5x છે. પરિણામી આકૃતિને પછી નવા ચોરસ ABCD સાથે પૂરક બનાવવામાં આવે છે, ખૂણામાં ચાર સમાન ચોરસ બનાવે છે, તેમાંના દરેકની બાજુ 2.5 છે અને ક્ષેત્રફળ 6.25 છે.

ચોરસ એસચોરસ એ બી સી ડીવિસ્તારોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: મૂળ ચોરસ એક્સ2 , ચાર લંબચોરસ (4 2.5x = 10x)અને ચાર જોડાયેલા ચોરસ (6,25 4 = 25) , એટલે કે એસ= એક્સ2 + 10x + 25.બદલી રહ્યા છે

એક્સ2 + 10xસંખ્યા 39 , અમને તે મળે છે એસ= 39 + 25 = 64 , જેનો અર્થ થાય છે કે ચોરસની બાજુ એ બી સી ડી, એટલે કે રેખાખંડ AB = 8. જરૂરી બાજુ માટે એક્સઅમને મૂળ ચોરસ મળે છે

2) પરંતુ, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાચીન ગ્રીકોએ સમીકરણ કેવી રીતે હલ કર્યું ખાતે2 + 6у - 16 = 0.

ઉકેલફિગમાં બતાવેલ છે. 16, ક્યાં

ખાતે2 + 6y = 16, અથવા y2 + 6y + 9 = 16 + 9.

ઉકેલ.અભિવ્યક્તિઓ ખાતે2 + 6у + 9અને 16 + 9 ભૌમિતિક રીતે સમાન ચોરસ અને મૂળ સમીકરણ રજૂ કરે છે ખાતે2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- સમાન સમીકરણ. જ્યાંથી આપણે તે મેળવીએ છીએ y + 3 = ± 5,અથવા ખાતે1 = 2, વાય2 = - 8 (ફિગ. 16).

3) ભૌમિતિક સમીકરણ ઉકેલો ખાતે2 - 6у - 16 = 0.

સમીકરણને રૂપાંતરિત કરવાથી, આપણને મળે છે

ખાતે2 - 6y = 16.

ફિગ માં. 17 અભિવ્યક્તિની "છબીઓ" શોધો ખાતે2 - 6u,તે બાજુ y સાથેના ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી, સમાન બાજુવાળા ચોરસના ક્ષેત્રફળને બાદ કરો 3 . આનો અર્થ એ છે કે જો અભિવ્યક્તિ માટે ખાતે2 - 6уઉમેરો 9 , પછી આપણને બાજુવાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ મળે છે y - 3. અભિવ્યક્તિને બદલીને ખાતે2 - 6уતેની સમાન સંખ્યા 16,

અમને મળે છે: (y - 3)2 = 16 + 9, તે y - 3 = ± √25, અથવા y - 3 = ± 5, જ્યાં ખાતે1 = 8 અને ખાતે2 = - 2.

નિષ્કર્ષ

ત્રિકોણમિતિ, ઘાતાંકીય, લઘુગણક, અતાર્કિક અને અતીન્દ્રિય સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં ચતુર્ભુજ સમીકરણોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

જો કે, ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું મહત્વ માત્ર સમસ્યાઓના નિરાકરણની લાવણ્ય અને સંક્ષિપ્તતામાં જ નથી, જો કે આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. તે એટલું જ મહત્વનું છે કે સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉપયોગના પરિણામે, ઘણી વખત નવી વિગતો શોધવામાં આવે છે, રસપ્રદ સામાન્યીકરણો કરી શકાય છે અને સ્પષ્ટતાઓ કરી શકાય છે, જે પરિણામી સૂત્રો અને સંબંધોના વિશ્લેષણ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

હું એ પણ નોંધવા માંગુ છું કે આ કાર્યમાં પ્રસ્તુત વિષયનો હજી સુધી બહુ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી, તે ફક્ત અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી, તેથી તે ઘણી બધી છુપાયેલી અને અજાણી વસ્તુઓથી ભરપૂર છે, જે આગળના કાર્ય માટે ઉત્તમ તક પૂરી પાડે છે. તેના પર.

અહીં મેં ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના મુદ્દા પર ધ્યાન આપ્યું, અને શું,

જો તેમને હલ કરવાની અન્ય રીતો હોય તો?! ફરીથી, સુંદર પેટર્ન શોધો, કેટલીક હકીકતો, સ્પષ્ટતાઓ, સામાન્યીકરણ કરો, વધુ અને વધુ નવી વસ્તુઓ શોધો. પરંતુ આ ભવિષ્યના કામ માટેના પ્રશ્નો છે.

સારાંશ માટે, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ: ગણિતના વિકાસમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો મોટી ભૂમિકા ભજવે છે. શાળા (8મા ધોરણ)થી ગ્રેજ્યુએશન સુધી ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે આપણે બધા જાણીએ છીએ. આ જ્ઞાન આપણને જીવનભર ઉપયોગી થઈ શકે છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની આ પદ્ધતિઓ ઉપયોગમાં સરળ હોવાથી, તે ગણિતમાં રસ ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓ માટે ચોક્કસપણે રસ ધરાવતી હોવી જોઈએ. મારું કાર્ય ગણિત આપણને જે કાર્યો કરે છે તેને અલગ રીતે જોવાનું શક્ય બનાવે છે.

સાહિત્ય:

1. અલીમોવ શ.એ., ઇલીન વી.એ. અને અન્ય બીજગણિત, 6-8. 6-8 ગ્રેડ હાઇસ્કૂલ માટે અજમાયશ પાઠ્યપુસ્તક. - એમ., શિક્ષણ, 1981.

2. બ્રાડીસ વી.એમ. ઉચ્ચ શાળા માટે ચાર-અંકના ગણિત કોષ્ટકો. 57મી. - એમ., શિક્ષણ, 1990. પૃષ્ઠ 83.

3. ક્રુઝેપોવ એ.કે., રુબાનોવ એ.ટી. બીજગણિત અને પ્રાથમિક કાર્યો પર સમસ્યા પુસ્તક. માધ્યમિક વિશિષ્ટ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠયપુસ્તક. - એમ., ઉચ્ચ શાળા, 1969.

4. ઓકુનેવ એ.કે. ચતુર્ભુજ કાર્યો, સમીકરણો અને અસમાનતાઓ. શિક્ષકની માર્ગદર્શિકા. - એમ., શિક્ષણ, 1972.

5. પ્રેસમેન એ.એ. હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું. - એમ., કવંત, નંબર 4/72. પૃષ્ઠ 34.

6. સોલોમનિક વી.એસ., મિલોવ પી.આઈ. ગણિતમાં પ્રશ્નો અને સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. એડ. - 4 થી, વધારાના - એમ., ઉચ્ચ શાળા, 1973.

7. ખુદોબીન એ.આઈ. બીજગણિત અને પ્રાથમિક કાર્યો પર સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. શિક્ષકની માર્ગદર્શિકા. એડ. 2જી. - એમ., શિક્ષણ, 1970.

ટીકા

1. પદ્ધતિ: સમીકરણની ડાબી બાજુ ફેક્ટરિંગ

2. પદ્ધતિ: સંપૂર્ણ ચોરસ નિષ્કર્ષણ પદ્ધતિ.

4. પદ્ધતિ: વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.

5. પદ્ધતિ: "ટ્રાન્સફર" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.

6. પદ્ધતિ: ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકના ગુણધર્મ

7. પદ્ધતિ: ચતુર્ભુજ સમીકરણનું ગ્રાફિક સોલ્યુશન

8. પદ્ધતિ: હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.

9. પદ્ધતિ: નોમોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.

નિષ્કર્ષ

તોચિલ્કીના યુલિયા

"ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની 10 રીતો" વિષય પર સંશોધન પેપર

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

મ્યુનિસિપલ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા

"માધ્યમિક શાળા નંબર 59"

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની 10 રીતો

(અમૂર્ત કાર્ય)

આના દ્વારા પૂર્ણ: 8A ગ્રેડ વિદ્યાર્થી

MBOU "બાર્નૌલની માધ્યમિક શાળા નંબર 59

તોચિલ્કીના યુલિયા

સુપરવાઈઝર:

ઝખારોવા લ્યુડમિલા વ્લાદિમીરોવના,

ગણિત શિક્ષક, MBOU "માધ્યમિક શાળા નંબર 59"

બાર્નૌલ

પરિચય ……………………………………………………………...2

I. ચતુર્ભુજ સમીકરણોના વિકાસનો ઇતિહાસ ……………………………...3

1. પ્રાચીન બેબીલોનમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો……………………………….4

2. કેવી રીતે ડાયોફન્ટસે ચતુર્ભુજ સમીકરણો બનાવ્યા અને હલ કર્યા………………………5

3. ભારતમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો………………………………………………………6

4. અલ-ખોરેઝમીમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો……………………………………….7

5. યુરોપ XIII - XVII સદીઓમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો………………………9

6. વિયેટાના પ્રમેય વિશે……………………………………………………………………….10

……………………….........11

1. સમીકરણની ડાબી બાજુ ફેક્ટરિંગ………………………………12
2. સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની પદ્ધતિ. ………………………………………………………
3. સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા………………………………14
4. વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા ………………………16

5. ટ્રાન્સફર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા”……………………………….18

1. ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકના ગુણધર્મ………………………….19

7. ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન………………………………………. 21

8. હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા ……….. 24

9. નોમોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા………………. 26

10. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે ભૌમિતિક પદ્ધતિ……………….28

III. નિષ્કર્ષ …………………………………………………..........................30

સાહિત્ય………………………………………………………………………………………….32

બીજગણિતનો અભ્યાસ કરતી વ્યક્તિ માટે ત્રણ કે ચાર જુદી જુદી સમસ્યાઓ ઉકેલવા કરતાં એક જ સમસ્યાને ત્રણ અલગ અલગ રીતે હલ કરવી તે ઘણી વખત વધુ ઉપયોગી છે. વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને એક સમસ્યા હલ કરીને, તમે સરખામણીઓ દ્વારા શોધી શકો છો કે કઈ ટૂંકી અને વધુ કાર્યક્ષમ છે. આ રીતે અનુભવ વિકસિત થાય છે."

ડબલ્યુ. સોયર

1. પરિચય

સમીકરણોનો સિદ્ધાંત શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં અગ્રણી સ્થાન ધરાવે છે. શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં અન્ય કોઈપણ વિષય કરતાં તેમના અભ્યાસમાં વધુ સમય ફાળવવામાં આવે છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે જીવનમાં મોટાભાગની સમસ્યાઓ વિવિધ પ્રકારના સમીકરણોને ઉકેલવામાં આવે છે.

8મા ધોરણના બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકમાં, અમને અનેક પ્રકારના ચતુર્ભુજ સમીકરણોનો પરિચય આપવામાં આવ્યો છે અને સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને તેમને ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરવામાં આવી છે. મને એક પ્રશ્ન હતો: “શું ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે અન્ય પદ્ધતિઓ છે? આ પદ્ધતિઓ કેટલી જટિલ છે અને તેનો વ્યવહારમાં ઉપયોગ કરી શકાય છે? તેથી, આ શૈક્ષણિક વર્ષમાં મેં ચતુર્ભુજ સમીકરણોથી સંબંધિત એક સંશોધન વિષય પસંદ કર્યો, અને મારા કાર્ય દરમિયાન તેને "ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની 10 રીતો" કહેવામાં આવી.આ વિષયની સુસંગતતાબીજગણિત, ભૂમિતિ અને ભૌતિકશાસ્ત્રના પાઠોમાં આપણે ઘણી વાર ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલતા હોઈએ છીએ. તેથી, દરેક વિદ્યાર્થીએ ચતુર્ભુજ સમીકરણો યોગ્ય રીતે અને તર્કસંગત રીતે ઉકેલવા માટે સક્ષમ હોવા જોઈએ, જ્યારે પરીક્ષા પાસ કરતી વખતે 9મા ધોરણ સહિત વધુ જટિલ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આ મારા માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

કાર્યનું લક્ષ્ય: ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાનું શીખો, તેમને ઉકેલવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરો.

આ ધ્યેયના આધારે, મેં નીચેનું સેટ કર્યુંકાર્યો:

ચતુર્ભુજ સમીકરણોના વિકાસના ઇતિહાસનો અભ્યાસ કરો;

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે પ્રમાણભૂત અને બિન-માનક પદ્ધતિઓનો વિચાર કરો;

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે સૌથી અનુકૂળ રીતો ઓળખો;

ચતુર્ભુજ સમીકરણોને વિવિધ રીતે ઉકેલતા શીખો.

અભ્યાસનો હેતુ: ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

અભ્યાસનો વિષય: માર્ગદર્શિકામાંથી ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.

સંશોધન પદ્ધતિઓ:

સૈદ્ધાંતિક: સંશોધન વિષય પર સાહિત્યનો અભ્યાસ;

ઇન્ટરનેટ માહિતી.

વિશ્લેષણ: સાહિત્યનો અભ્યાસ કરીને મેળવેલી માહિતી;

વિવિધ રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે પ્રાપ્ત પરિણામો.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવામાં તેમના ઉપયોગની તર્કસંગતતા માટેની પદ્ધતિઓની સરખામણી.

ચતુર્ભુજ સમીકરણોના વિકાસનો ઇતિહાસ.

1. પ્રાચીન બેબીલોનમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

માત્ર પ્રથમના જ નહીં, પણ બીજા અંશના સમીકરણોને પણ ઉકેલવાની જરૂરિયાત, પ્રાચીન સમયમાં પણ, લશ્કરી પ્રકૃતિના ખોદકામ સાથે, જમીનના વિસ્તારો શોધવા સંબંધિત સમસ્યાઓ હલ કરવાની જરૂરિયાતને કારણે થઈ હતી. ખગોળશાસ્ત્ર અને ગણિતના વિકાસ સાથે. 2000 બીસીની આસપાસ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલી શકાય છે. ઇ. બેબીલોનીઓ.

આધુનિક બીજગણિત સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કહી શકીએ કે તેમના ક્યુનિફોર્મ ગ્રંથોમાં, અપૂર્ણ ઉપરાંત, જેમ કે, સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો છે:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14.5

આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેનો નિયમ, બેબીલોનિયન ગ્રંથોમાં નિર્ધારિત, આવશ્યકપણે આધુનિક સાથે એકરુપ છે, પરંતુ બેબીલોનીઓ આ નિયમ પર કેવી રીતે પહોંચ્યા તે જાણી શકાયું નથી. અત્યાર સુધી મળેલા લગભગ તમામ ક્યુનિફોર્મ ગ્રંથો માત્ર રેસિપીના રૂપમાં રજૂ કરાયેલા ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓ જ પ્રદાન કરે છે, તે કેવી રીતે મળી તે અંગે કોઈ સંકેત નથી.

બેબીલોનમાં બીજગણિતના ઉચ્ચ સ્તરના વિકાસ હોવા છતાં, ક્યુનિફોર્મ ગ્રંથોમાં નકારાત્મક સંખ્યા અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિઓનો અભાવ છે.

2. ગ્રીસમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો અથવા કેવી રીતે ડાયોફન્ટસે ચતુર્ભુજ સમીકરણો રચ્યા અને હલ કર્યા.

ડાયોફેન્ટસના અંકગણિતમાં બીજગણિતની વ્યવસ્થિત રજૂઆત નથી, પરંતુ તેમાં સમસ્યાઓની વ્યવસ્થિત શ્રેણી છે, જેમાં સમજૂતી સાથે અને વિવિધ ડિગ્રીના સમીકરણો બનાવીને ઉકેલવામાં આવે છે.

સમીકરણો કંપોઝ કરતી વખતે, ડાયોફન્ટસ નિરાકરણને સરળ બનાવવા માટે કુશળતાપૂર્વક અજાણ્યાઓને પસંદ કરે છે.

અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, તેના કાર્યોમાંનું એક છે.

સમસ્યા 11. "બે નંબરો એ જાણીને શોધો કે તેમનો સરવાળો 20 છે અને તેમનું ઉત્પાદન 96 છે"

ડાયોફેન્ટસના કારણો નીચે મુજબ છે: સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી તે અનુસરે છે કે જરૂરી સંખ્યાઓ સમાન નથી, કારણ કે જો તેઓ સમાન હોત, તો પછી તેમનું ઉત્પાદન 96 જેટલું નહીં, પરંતુ 100 જેટલું હશે. આમ, તેમાંથી એક કરતાં વધુ હશે. તેમની રકમનો અડધો ભાગ, એટલે કે. 10 + x , અન્ય ઓછું છે, એટલે કે. 10 . તેમની વચ્ચે તફાવત 2x.

તેથી સમીકરણ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

તેથી x = 2 . જરૂરી સંખ્યાઓમાંથી એક સમાન છે 12, અન્ય 8. ઉકેલ x = -2 ડાયોફેન્ટસ માટે અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે ગ્રીક ગણિત માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓ જાણતું હતું.

જો આપણે જરૂરી સંખ્યાઓમાંથી એકને અજાણ્યા તરીકે પસંદ કરીને આ સમસ્યા હલ કરીએ, તો આપણે સમીકરણના ઉકેલ પર આવીશું.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

તે સ્પષ્ટ છે કે અજ્ઞાત તરીકે જરૂરી સંખ્યાઓના અડધા તફાવતને પસંદ કરીને, ડાયોફન્ટસ ઉકેલને સરળ બનાવે છે; તે અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ (1) ઉકેલવા માટે સમસ્યાને ઘટાડવાનું સંચાલન કરે છે.

3. ભારતમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી અને ખગોળશાસ્ત્રી આર્યભટ્ટ દ્વારા 499 માં સંકલિત ખગોળશાસ્ત્રીય ગ્રંથ "આર્યભટ્ટિયમ" માં ચતુર્ભુજ સમીકરણો પરની સમસ્યાઓ જોવા મળે છે. અન્ય ભારતીય વૈજ્ઞાનિક, બ્રહ્મગુપ્ત (7મી સદી), એ એક સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડીને ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેના સામાન્ય નિયમની રૂપરેખા આપી હતી: ax 2 + bx = c, a > 0. (1)

સમીકરણ (1) માં, ગુણાંક, સિવાયએ , નકારાત્મક પણ હોઈ શકે છે. બ્રહ્મગુપ્તનું શાસન અનિવાર્યપણે આપણા જેવું જ છે. પ્રાચીન ભારતમાં, મુશ્કેલ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની જાહેર સ્પર્ધાઓ સામાન્ય હતી. જૂની ભારતીય પુસ્તકોમાંની એક આવી સ્પર્ધાઓ વિશે નીચે મુજબ કહે છે: "જેમ સૂર્ય તેની તેજસ્વીતાથી તારાઓને ચમકાવે છે, તેવી જ રીતે એક વિદ્વાન માણસ બીજગણિતની સમસ્યાઓની દરખાસ્ત અને નિરાકરણ કરીને જાહેર સભાઓમાં બીજાની કીર્તિને આગળ વધારશે." સમસ્યાઓ ઘણીવાર કાવ્યાત્મક સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવતી હતી.

12મી સદીના પ્રખ્યાત ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીની આ એક સમસ્યા છે. ભાસ્કર.

કાર્ય.

"ફ્રીસ્કી વાંદરાઓનું ટોળું અને વેલાઓ સાથે બાર...

અધિકારીઓએ ખાધું, મજા પડી. તેઓ કૂદવા લાગ્યા, લટકવા લાગ્યા...

તેઓ ચોરસમાં છે, આઠમાં કેટલા વાંદરાઓ હતા?

મને ક્લીયરિંગમાં મજા આવી રહી હતી. મને કહો, આ પેકમાં?

ભાસ્કરનો ઉકેલ સૂચવે છે કે તે જાણતો હતો કે ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળ બે-મૂલ્યવાળું છે (ફિગ. 1).

સમસ્યાને અનુરૂપ સમીકરણ છે:

(x/8) 2 + 12 = x

ભાસ્કર આડમાં લખે છે: x 2 - 64x = -768

અને આની ડાબી બાજુ પૂર્ણ કરવા માટે

ચોરસનું સમીકરણ, બંને બાજુ ઉમેરે છે 32 2, પછી મેળવવું: x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024, ફિગ. 1

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

4. અલ-ખોરેઝમીના ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

અલ-ખોરેઝમીના બીજગણિત ગ્રંથમાં, રેખીય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું વર્ગીકરણ આપવામાં આવ્યું છે. લેખક 6 પ્રકારના સમીકરણોની ગણતરી કરે છે, તેમને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરે છે:

1) "ચોરસ મૂળના સમાન છે," એટલે કે ઓહ 2 + c = bx.

2) "ચોરસ સંખ્યાઓ સમાન છે", એટલે કે. ઓહ 2 = સે.

3) "મૂળ સંખ્યા સમાન છે", એટલે કે. ah = s.

4) “ચોરસ અને સંખ્યાઓ મૂળ સમાન છે,” એટલે કે. ઓહ 2 + c = bx.

5) “ચોરસ અને મૂળ સંખ્યાઓ સમાન છે”, એટલે કે. ઓહ 2 + bx = c.

6) “મૂળ અને સંખ્યાઓ ચોરસ સમાન છે,” એટલે કે. bx + c = ah 2 .

અલ-ખોરેઝમી માટે, જેમણે નકારાત્મક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવાનું ટાળ્યું હતું, આ દરેક સમીકરણોની શરતો ઉમેરણો છે અને બાદબાકી કરી શકાય તેવી નથી. આ કિસ્સામાં, જે સમીકરણો હકારાત્મક ઉકેલો ધરાવતા નથી તે દેખીતી રીતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતાં નથી. લેખક અલ-જબર અને અલ-મુકાબાલાની તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ સુયોજિત કરે છે. તેનો ઉકેલ, અલબત્ત, આધુનિક ઉકેલ સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત નથી. એ વાતનો ઉલ્લેખ ન કરવો કે તે કેવળ રેટરિકલ છે, ઉદાહરણ તરીકે, એ નોંધવું જોઈએ કે પ્રથમ પ્રકારનું અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, અલ-ખોરેઝમી, 17મી સદી સુધીના તમામ ગણિતશાસ્ત્રીઓની જેમ, શૂન્ય ઉકેલને ધ્યાનમાં લેતા નથી, સંભવતઃ કારણ કે ચોક્કસ વ્યવહારિકમાં તે કાર્યોમાં વાંધો નથી. સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, અલ-ખોરેઝમી ચોક્કસ સંખ્યાત્મક ઉદાહરણો અને પછી ભૌમિતિક પુરાવાઓનો ઉપયોગ કરીને તેમને ઉકેલવા માટેના નિયમો નક્કી કરે છે.

કાર્ય. “ચોરસ અને નંબર 21 એ 10 મૂળ સમાન છે. મૂળ શોધો"

(સમીકરણ xનું મૂળ ધારીને 2 + 21 = 10x).

લેખકનું સોલ્યુશન કંઈક આના જેવું છે: મૂળની સંખ્યાને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરો, તમને 5 મળે છે, 5 ને તેના દ્વારા ગુણાકાર કરો, ઉત્પાદનમાંથી 21 બાદ કરો, જે 4 રહે છે. 4 માંથી મૂળ લો, તમને 2 મળશે. 5 માંથી 2 બાદ કરો. , તમને 3 મળશે, આ ઇચ્છિત રુટ હશે. અથવા 2 થી 5 ઉમેરો, જે 7 આપે છે, આ પણ એક મૂળ છે.

અલ-ખોરેઝમીનો ગ્રંથ એ પ્રથમ પુસ્તક છે જે આપણી પાસે આવ્યું છે, જે વ્યવસ્થિત રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું વર્ગીકરણ નક્કી કરે છે અને તેમના ઉકેલ માટે સૂત્રો આપે છે.

5. યુરોપ XIII - XVII સદીઓમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

યુરોપમાં અલ-ખોરેઝ્મીની રેખાઓ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રો સૌપ્રથમ ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો ફિબોનાકી દ્વારા 1202 માં લખાયેલા "બુક ઑફ અબેકસ" માં નિર્ધારિત કરવામાં આવ્યા હતા. આ વિશાળ કાર્ય, જે ઇસ્લામના દેશો અને પ્રાચીન ગ્રીસ બંનેના ગણિતના પ્રભાવને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેની સંપૂર્ણતા અને પ્રસ્તુતિની સ્પષ્ટતા દ્વારા અલગ પડે છે. લેખકે સ્વતંત્ર રીતે સમસ્યાઓ ઉકેલવાના કેટલાક નવા બીજગણિત ઉદાહરણો વિકસાવ્યા હતા અને નકારાત્મક સંખ્યાઓના પરિચયનો સંપર્ક કરનાર યુરોપમાં પ્રથમ હતા. તેમના પુસ્તકે માત્ર ઇટાલીમાં જ નહીં, પણ જર્મની, ફ્રાન્સ અને અન્ય યુરોપિયન દેશોમાં પણ બીજગણિતીય જ્ઞાનના પ્રસારમાં ફાળો આપ્યો. 16મી - 17મી સદીના લગભગ તમામ યુરોપીયન પાઠ્યપુસ્તકોમાં અબેકસના પુસ્તકમાંથી ઘણી સમસ્યાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. અને અંશતઃ XVIII.

ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેનો સામાન્ય નિયમ એક કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યો છે: x 2 + bx = c,

ગુણાંક ચિહ્નોના તમામ સંભવિત સંયોજનો માટે b, c એમ. સ્ટીફેલ દ્વારા 1544 માં જ યુરોપમાં ઘડવામાં આવ્યું હતું.

સામાન્ય સ્વરૂપમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવા માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ વિએથમાંથી ઉપલબ્ધ છે, પરંતુ વિયેથ માત્ર હકારાત્મક મૂળને જ ઓળખે છે. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ ટાર્ટાગ્લિયા, કાર્ડાનો, બોમ્બેલી 16મી સદીમાં પ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં સામેલ હતા. સકારાત્મક ઉપરાંત, નકારાત્મક મૂળને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. માત્ર 17મી સદીમાં. ગિરાર્ડ, ડેસકાર્ટેસ, ન્યૂટન અને અન્ય વૈજ્ઞાનિકોના કાર્યને આભારી, ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિ આધુનિક સ્વરૂપ ધારણ કરે છે.

6. વિયેટાના પ્રમેય વિશે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંક અને તેના મૂળ વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરતું પ્રમેય, જેનું નામ વિએટા છે, તે 1591માં તેમના દ્વારા પ્રથમવાર નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવ્યું હતું: “જો B + D ગુણ્યા A - A 2 બરાબર BD, પછી A બરાબર B અને બરાબર D."

વિએટાને સમજવા માટે, આપણે તે યાદ રાખવું જોઈએએ , કોઈપણ સ્વર અક્ષરની જેમ, અજ્ઞાત (અમારું x), સ્વરો B, D - અજ્ઞાત માટે ગુણાંક. આધુનિક બીજગણિતની ભાષામાં, ઉપરોક્ત વિએટા ફોર્મ્યુલેશનનો અર્થ છે: જો ત્યાં છે

(a + b)x - x 2 = ab, એટલે કે.

x 2 - (a + b)x + ab = 0, પછી

x 1 = a, x 2 = b.

પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરીને લખેલા સામાન્ય સૂત્રો સાથેના સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરતાં, વિયેટે સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિઓમાં એકરૂપતા સ્થાપિત કરી. જો કે, વિયેટનું પ્રતીકવાદ હજી પણ તેના આધુનિક સ્વરૂપથી દૂર છે. તે નકારાત્મક સંખ્યાઓને ઓળખતો ન હતો અને તેથી, સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, તેણે ફક્ત એવા કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લીધા કે જ્યાં તમામ મૂળ હકારાત્મક હતા.

II. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

ચતુર્ભુજ સમીકરણો એ પાયો છે જેના પર બીજગણિતની ભવ્ય ઈમારત ટકી છે. ત્રિકોણમિતિ, ઘાતાંકીય, લઘુગણક, અતાર્કિક અને અતીન્દ્રિય સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવામાં ચતુર્ભુજ સમીકરણોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.તેમની મદદથી ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓ ઉકેલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ તમને કારના બ્રેકિંગ અંતર, અવકાશયાનને ભ્રમણકક્ષામાં પ્રક્ષેપિત કરવા માટે રોકેટની શક્તિ અને પ્રારંભિક કણોથી તારાઓ સુધીના વિવિધ ભૌતિક પદાર્થોના માર્ગની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

શાળામાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળ માટેના સૂત્રોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, જેની મદદથી તમે કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને હલ કરી શકો છો. જો કે, ચતુર્ભુજ સમીકરણોને હલ કરવાની અન્ય રીતો છે જે તમને ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ખૂબ જ ઝડપથી અને અસરકારક રીતે ઉકેલવા દે છે. ગાણિતિક સાહિત્યમાં મને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની દસ રીતો મળી અને મારા કાર્યમાં મેં તેમાંથી દરેકનું વિશ્લેષણ કર્યું.

વ્યાખ્યા 1. ચતુર્ભુજ સમીકરણ એ સ્વરૂપ કુહાડીનું સમીકરણ છે 2 + bx + c = 0, જ્યાં ગુણાંક a, b, c વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, a ≠ 0.

વ્યાખ્યા 2. સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ એ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે જેમાં ત્રણેય પદો હાજર છે એટલે કે. અને с માં ગુણાંક શૂન્યથી અલગ છે.

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે જેમાં ઓછામાં ઓછું એક ગુણાંક અથવા, c શૂન્ય બરાબર છે.

વ્યાખ્યા 3. ચતુર્ભુજ સમીકરણનું મૂળ એહ છે 2 + in + c = 0 એ ચલ x ની કોઈપણ કિંમત છે જેના માટે ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી અક્ષ 2 + in + c શૂન્ય પર જાય છે.

વ્યાખ્યા 4. ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું એટલે તે બધું શોધવું

મૂળ અથવા સ્થાપિત કરો કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

1. સમીકરણની ડાબી બાજુ ફેક્ટરિંગ.

ચાલો સમીકરણ x 2 + 10x - 24 = 0 હલ કરીએ.

ચાલો ડાબી બાજુ ફેક્ટરાઇઝ કરીએ:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

તેથી, સમીકરણ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

(x + 12)(x - 2) = 0

અવયવોનું ઉત્પાદન શૂન્ય છે જો તેના અવયવોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય હોય.

x + 12= 0 અથવા x – 2=0

x=-12 x=2

જવાબ: -12; 2.

1. સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ.

ચાલો સમીકરણ x 2 + 6x - 7 = 0 હલ કરીએ.

ડાબી બાજુએ એક સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરો:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

પછી, આ સમીકરણ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય:

(x + 3) 2 - 16 =0,

(x + 3) 2 = 16.

x + 3=4 અથવા x + 3 = -4

X 1 = 1 x 2 = -7

જવાબ: 1; -7.

1. સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરીએ ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 બાય 4a, પછી

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

1. આમ, હકારાત્મક ભેદભાવના કિસ્સામાં, એટલે કે. ખાતે b 2 - 4ac >0, સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે.

2. જો ભેદભાવ શૂન્ય છે, એટલે કે. b 2 - 4ac = 0 , તો સમીકરણનું એક મૂળ છે.

3. જો ભેદભાવ નકારાત્મક છે, એટલે કે. b 2 - 4ac, સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 કોઈ મૂળ નથી.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનું સૂત્ર (1). ax 2 + bx + c = 0 તમને મૂળ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છેકોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ (જો કોઈ હોય તો), ઘટાડો અને અપૂર્ણ સહિત. ફોર્મ્યુલા (1) નીચે પ્રમાણે મૌખિક રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ એવા અપૂર્ણાંકના સમાન હોય છે જેનો અંશ વિરોધી ચિન્હ સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંક જેટલો હોય છે, વત્તા આ ગુણાંકના વર્ગના વર્ગમૂળને બાદબાકી મુક્ત પદ દ્વારા પ્રથમ ગુણાંકના ગુણાંકને ચાર ગણો કર્યા વિના, અને છેદ પ્રથમ ગુણાંક કરતા બમણો છે.

ઉદાહરણો.

અ) ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ:

4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3.

D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,D > 0,

જવાબ: 1; .

b) ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ:

4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1,

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0, D = 0, સમીકરણનું એક મૂળ છે;

જવાબ:

વી) ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D

આ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ: કોઈ મૂળ નથી.

1. વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.

કવિતામાં ગાવા યોગ્ય છે

મૂળના ગુણધર્મો પર વિએટાનું પ્રમેય.

એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ આપ્યુંફોર્મનું સમીકરણ કહેવાય છે(1) જ્યાં અગ્રણી ગુણાંક એક સમાન છે.

ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

તમે નીચેની કવિતાને યાદ કરીને આ સૂત્ર યાદ રાખી શકો છો.

ઉલટામાં લેવાયેલ ચિહ્ન સાથે પી

અમે તેને 2 વડે ભાગીશું,

અને મૂળમાંથી હું કાળજીપૂર્વક સહી કરું છુંચાલો અલગ કરીએ

અને મૂળ હેઠળ તે ખૂબ જ ઉપયોગી છે

અડધા ચોરસ

માઈનસ - અને અહીં એક નાના સમીકરણનો ઉકેલ છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ બનાવવા માટેઘટાડેલા ફોર્મ તરફ દોરી જાય છે, તમારે તેની બધી શરતોને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે a , પછી

કવિતામાં ગાવા યોગ્ય છે
મૂળના ગુણધર્મો પર વિએટાનું પ્રમેય.
શું સારું છે, મને કહો, આના જેવી સુસંગતતા:
તમે મૂળનો ગુણાકાર કરો અને અપૂર્ણાંક તૈયાર છે:
અંશ c છે, છેદ a છે,
અને મૂળનો સરવાળો પણ અપૂર્ણાંક સમાન છે.
જો આ અપૂર્ણાંક માઈનસ હોય તો પણ શું સમસ્યા છે -
અંશ b છે, છેદ a છે.

જો આપણે નિયુક્ત કરીએ , પછી આપણને ફોર્મનું સમીકરણ મળે છે. અને સૂત્રો () ફોર્મ લેશે

આમ: ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો વિરોધી ચિન્હ સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંક જેટલો છે, અને મૂળનું ઉત્પાદન મુક્ત પદની બરાબર છે.

p અને q ગુણાંકમાંથી કોઈ પણ મૂળના ચિહ્નોની આગાહી કરી શકે છે.

અ) જો ઉપરોક્ત સમીકરણ (1) નો સારાંશ શબ્દ q હકારાત્મક (q > 0) હોય, તો સમીકરણમાં સમાન ચિહ્નના બે મૂળ હોય છે, અને આ બીજા ગુણાંક પર આધાર રાખે છે:

જો આર , પછી બંને મૂળ હકારાત્મક છે;

જો p > 0 , તો બંને મૂળ નકારાત્મક છે.

દાખ્લા તરીકે,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 અને x 2 = 1, કારણ કે q = 2 > 0 અને p = - 3

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 અને x 2 = - 1, ત્યારથી q = 7 > 0 અને p = 8 > 0.

બી) જો આપેલ સમીકરણ (1) નો મફત શબ્દ q નકારાત્મક છે (q 0 .

દાખ્લા તરીકે,

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 અને x 2 = - 1, ત્યારથી q = - 9 અને p = - 8

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 અને x 2 = 1, ત્યારથી q= - 5 અને p = 4 > 0.

1. "થ્રો" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા.

ચતુર્ભુજ સમીકરણનો વિચાર કરો

બંને બાજુઓને a વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ a 2 x 2 + abx + ac = 0.

ચાલો ax = y, જ્યાંથી x = y/a ; પછી આપણે સમીકરણ પર આવીએ છીએ y 2 + by + ac = 0,

આની સમકક્ષ છે.

તેના મૂળ 1 અને 2 છે અમે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ અને અંતે:

x 1 = y 1 /a અને x 1 = y 2 /a.

આ પદ્ધતિ સાથે ગુણાંકએ મફત શબ્દ દ્વારા ગુણાકાર, જાણે તેને "ફેંકવામાં" આવે છે, તેથી જ તેને કહેવામાં આવે છેટ્રાન્સફર પદ્ધતિ. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે તમે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ સરળતાથી શોધી શકો છો અને, સૌથી અગત્યનું, જ્યારે ભેદભાવ ચોક્કસ ચોરસ હોય.

ઉદાહરણ.

ચાલો સમીકરણ 2x 2 – 11x + 15 = 0 હલ કરીએ.

ઉકેલ. ચાલો ગુણાંક 2 ને ફ્રી ટર્મમાં "ફેંકીએ" અને પરિણામે આપણને સમીકરણ મળે છે

y 2 – 11y + 30 = 0.

વિએટાના પ્રમેય મુજબ

Y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5

Y 2 = 6; x 2 = 6/2; x 2 = 3.

જવાબ: 2.5; 3.

1. ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકના ગુણધર્મ.

1. ચતુર્ભુજ સમીકરણ આપવા દો ax 2 + bx + c = 0, જ્યાં a ≠ 0.

1. જો a + b + c = 0 (એટલે ​​કે ગુણાંકનો સરવાળો શૂન્ય છે),

પછી x 1 = 1, x 2 = s/a.

1. જો a – b + c=0, તો x 2 = -1, x 2 = -s/a

ઉદાહરણો.

1. A. ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ 345x 2 – 137x – 208 = 0.

ઉકેલ. કારણ કે a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0),તે

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

જવાબ: 1; -208/345.

B. સમીકરણ ઉકેલો 132x 2 – 247x + 115 = 0.

ઉકેલ. કારણ કે a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0),તે

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

જવાબ: 1; 115/132.

2) ચાલો સમીકરણ 2x હલ કરીએ 2 + 3x +1= 0. 2 થી - 3+1=0, પછી x 1 = - 1, x 2 = -c/a= -1/2

જવાબ: x 1 = -1, x 2 = -1/2.

આ પદ્ધતિ મોટા ગુણાંક સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણો પર લાગુ કરવા માટે અનુકૂળ છે.

2. જો સમીકરણનો બીજો ગુણાંક b = 2k એક સમ સંખ્યા છે, પછી મૂળ સૂત્રફોર્મમાં લખી શકાય છે

ઉદાહરણ.

ચાલો સમીકરણ 3x 2 - 14x + 16 = 0 હલ કરીએ.

ઉકેલ. અમારી પાસે: a = 3, b = - 14 (k = -7), c = 16,

D 1 = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D 1 > 0, સમીકરણ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે;

જવાબ: 2; 8/3

ઘટાડો સમીકરણ x 2 + px + q = 0 જેમાં સામાન્ય સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે a = 1, b = p અને c = q . તેથી, આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે, મૂળ સૂત્ર ફોર્મ લે છે

જ્યારે ફોર્મ્યુલા () વાપરવા માટે અનુકૂળ છે p એ સમ સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ. ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ x 2 – 14x – 15 = 0.

ઉકેલ. આપણી પાસે a = 1, b = -14, (k = -7), c = -15 છે.

x 1.2 = 7± =7 ± ,

x 1.2 = 15; x 2 = -1.

જવાબ: x 1 = 15; x 2 = -1.

7. ચતુર્ભુજ સમીકરણનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન.

અને ચતુર્ભુજ અને રેખીય કાર્યો અને તેમના ગ્રાફ વિશેના જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરીને, તમે કહેવાતા ચતુર્ભુજ સમીકરણને હલ કરી શકો છો.કાર્યાત્મક-ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ.આ ઉપરાંત, કેટલાક ચતુર્ભુજ સમીકરણો વિવિધ રીતે ઉકેલી શકાય છે;

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો=0

1 રસ્તો . ચાલો ફંક્શનને પ્લોટ કરીએઅલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને.

1) અમારી પાસે છે:

આનો અર્થ એ છે કે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ એ બિંદુ (1;-4) છે અને પેરાબોલાની ધરી સીધી રેખા x=1 છે

2) x-અક્ષ પર બે બિંદુઓ લો જે પેરાબોલાના અક્ષના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, ઉદાહરણ તરીકે ફિગ. 2 માંના બિંદુઓ

X= -1 અને x=3, પછી f(-1)=f(3)=0.

3) બિંદુઓ (-1;0), (1;-4), (3;0) દ્વારા આપણે એક પેરાબોલા દોરીએ છીએ (આકૃતિ 2).

સમીકરણોના મૂળx-અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુઓના એબ્સિસાસ છે; આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણના મૂળ

પદ્ધતિ 2

ચાલો સમીકરણને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

અને (આકૃતિ 3).

તેઓ બે બિંદુઓ A(-1;1) અને B(3;9) પર છેદે છે. સમીકરણના મૂળ એ પોઈન્ટ A અને B ના એબ્સીસાસ છે, જેનો અર્થ થાય છે.

ફિગ.3

3 માર્ગ

ચાલો સમીકરણોને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

ચાલો એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવીએઅને (ફિગ.4) તેઓ બે બિંદુઓ A(-1;-2) અને B (3;6) પર છેદે છે. સમીકરણના મૂળ એ પોઈન્ટ A અને B ના એબ્સિસાસ છે, તેથી.

ફિગ.4

4 માર્ગ

ચાલો સમીકરણને સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત કરીએતે

ચાલો એક સંકલન પ્રણાલીમાં પેરાબોલા બનાવીએઅને સીધા . તેઓ પોઈન્ટ A(-1;4) અને B(3;4) પર છેદે છે. સમીકરણોના મૂળ એ પોઈન્ટ A અને B ના એબ્સિસાસ છે, તેથી(ફિગ. 5).

ફિગ.5

5 માર્ગ

સમીકરણની બંને બાજુઓને x ટર્મ દ્વારા ટર્મ દ્વારા વિભાજીત કરવાથી, આપણને મળે છે:

;

.

ફિગ.6

ચાલો એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં હાઇપરબોલા બનાવીએઅને સીધા (ફિગ. 6). તેઓ બે બિંદુઓ A(-1;-3) અને B(3;1) પર છેદે છે. સમીકરણોના મૂળ એ પોઈન્ટ A અને B ના એબ્સિસાસ છે, તેથી,.

પ્રથમ ચાર પદ્ધતિઓ ફોર્મના કોઈપણ સમીકરણોને લાગુ પડે છે

આહ 2 + bх + c = 0, અને પાંચમો - ફક્ત તે માટે કે જેના માટે c શૂન્યની બરાબર નથી.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિઓ સુંદર છે, પરંતુ કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવાની 100% ગેરંટી આપતી નથી.

8. હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા અને

શાસકો.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટે હું નીચેની પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું ax 2 + bx + c = 0 હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને (ફિગ. 7).

ચાલો ધારીએ કે ઇચ્છિત વર્તુળ અક્ષને છેદે છે

પોઈન્ટમાં abscissa B(x 1; 0) અને D (x 2; 0), જ્યાં x 1 અને x 2 - સમીકરણના મૂળ ax 2 + bx + c = 0 , અને પોઈન્ટમાંથી પસાર થાય છે

A(0; 1) અને C(0; c/a) ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર. પછી, સેકન્ટ પ્રમેય દ્વારા, આપણી પાસે છે OB OD = OA OC, જ્યાંથી OC = OB OD / OA = x 1 x 2 / 1 = c/a.

વર્તુળનું કેન્દ્ર કાટખૂણેના આંતરછેદના બિંદુ પર છે SF અને SK , તારોની મધ્યમાં પુનઃસ્થાપિતએસી અને બીડી, તેથી

તેથી:

1) બિંદુઓ બાંધો (વર્તુળનું કેન્દ્ર) અને A(0; 1);

2) ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળ દોરો SA ;

3) અક્ષ સાથે આ વર્તુળના આંતરછેદના બિંદુઓના એબ્સિસાસઓહ મૂળ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે.

આ કિસ્સામાં, ત્રણ કેસો શક્ય છે.

1) વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્રના ઓર્ડિનેટ કરતા વધારે છે(AS > SK, અથવા R > a + c/2a), વર્તુળ બળદની ધરીને બે બિંદુઓ પર છેદે છે (ફિગ. 8a) B(x 1; 0) અને D(x 2; 0), જ્યાં x 1 અને x 2 - ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ ax 2 + bx + c = 0.

2) વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્રના ઓર્ડિનેટ જેટલી છે(AS = SB, અથવા R = a + c/2a), વર્તુળ બિંદુ પર ઓક્સ અક્ષ (ફિગ. 8b) ને સ્પર્શે છે B(x 1; 0), જ્યાં x 1 - ચતુર્ભુજ સમીકરણનું મૂળ.

3) વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્રના ઓર્ડિનેટ કરતા ઓછી છે

વર્તુળમાં એબ્સીસા અક્ષ (ફિગ. 8c) સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી, આ કિસ્સામાં સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

ફિગ.8

a B C)

ઉદાહરણ.

ચાલો સમીકરણ x 2 - 2x - 3 = 0 (ફિગ. 9) હલ કરીએ.

ઉકેલ. ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના કેન્દ્રબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ:

ચાલો ત્રિજ્યા SA નું વર્તુળ દોરીએ, જ્યાં A (0; 1).

જવાબ: x 1 = - 1; x 2 = 3.

9. નો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા

નોમોગ્રામ્સ.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની આ એક જૂની અને હાલમાં ભૂલી ગયેલી પદ્ધતિ છે, જે સંગ્રહના પૃષ્ઠ 83 પર મૂકવામાં આવી છે: બ્રાડિસ વી.એમ. ચાર-અંકના ગણિત કોષ્ટકો. - એમ., શિક્ષણ, 1990.

કોષ્ટક XXII. સમીકરણ ઉકેલવા માટે નોમોગ્રામ z 2 + pz + q = 0. આ નોમોગ્રામ ચતુર્ભુજ સમીકરણને તેના ગુણાંક દ્વારા હલ કર્યા વિના પરવાનગી આપે છે

ત્યાં સમીકરણના મૂળ નક્કી કરવા માટે.

નોમોગ્રામનું વક્રીકૃત સ્કેલ બનાવવામાં આવે છે

સૂત્રો અનુસાર (ફિગ. 10):

માનતાOS = p, ED = q, OE = a(બધા સે.મી.માં), થી

ત્રિકોણની સમાનતાસાનઅનેસીડીએફઅમે મેળવીએ છીએ

પ્રમાણ

જે, અવેજી અને સરળીકરણ પછી, સમીકરણ પ્રાપ્ત કરે છે

z2 + pz + q = 0,

અને પત્રzવક્ર સ્કેલ પર કોઈપણ બિંદુનું ચિહ્ન.

ઉદાહરણો.

1) સમીકરણ માટેz2 - 9z + 8 = 0નોમોગ્રામ મૂળ આપે છેz1 = 8,0 અનેz2 = 1,0 (ફિગ. 11).

જવાબ:8,0 ; 1,0.

2) ચાલો તેને મદદ સાથે હલ કરીએનોમોગ્રામસમીકરણ

2z2 - 9z + 2 = 0.

ચાલો આ સમીકરણના ગુણાંકને 2 વડે ભાગીએ,

અમને સમીકરણ મળે છેz2 - 4.5z + 1 = 0.

નોમોગ્રામ મૂળ આપે છેz1 = 4 અનેz2 = 0,5.

જવાબ: 4; 0.5.

3) સમીકરણ માટેz2 - 25z + 66 = 0ગુણાંક p અને q સ્કેલની બહાર છે, ચાલો અવેજી કરીએz = 5t, આપણને સમીકરણ મળે છેt2 - 5t + 2.64 = 0,

જે આપણે નોમોગ્રામની મદદથી ઉકેલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએt1 = 0,6 અનેt2 = 4,4, જ્યાંz1 = 5t1 = 3,0 અનેz2 = 5t2 = 22,0.

જવાબ: 3; 22.

10. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે ભૌમિતિક પદ્ધતિ.

પ્રાચીન સમયમાં, જ્યારે બીજગણિત કરતાં ભૂમિતિ વધુ વિકસિત હતી, ત્યારે ચતુર્ભુજ સમીકરણો બીજગણિતીય રીતે નહીં, પણ ભૌમિતિક રીતે ઉકેલવામાં આવતા હતા. હું અલ-ખોરેઝમીના "બીજગણિત" માંથી એક પ્રખ્યાત ઉદાહરણ આપીશ.

ઉદાહરણો.

1) ચાલો સમીકરણ હલ કરીએએક્સ2 + 10x = 39.

મૂળમાં, આ સમસ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે: "એક ચોરસ અને દસ મૂળ 39 સમાન છે" (ફિગ. 12).

ઉકેલ.બાજુ x સાથેના ચોરસને ધ્યાનમાં લો, તેની બાજુઓ પર લંબચોરસ બાંધવામાં આવે છે જેથી તેમાંથી દરેકની બીજી બાજુ 2.5 હોય, તેથી, દરેકનું ક્ષેત્રફળ 2.5x છે. પરિણામી આકૃતિને પછી નવા ચોરસ ABCD સાથે પૂરક બનાવવામાં આવે છે, ખૂણામાં ચાર સમાન ચોરસ બનાવે છે, તેમાંના દરેકની બાજુ 2.5 છે અને ક્ષેત્રફળ 6.25 છે.

ચોરસએસચોરસએ બી સી ડીવિસ્તારોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: મૂળ ચોરસએક્સ2 , ચાર લંબચોરસ(4 2.5x = 10x)અને ચાર જોડાયેલા ચોરસ(6,25 4 = 25) , એટલે કેએસ=એક્સ2 + 10x + 25.બદલી રહ્યા છે

એક્સ2 + 10xસંખ્યા39 , અમને તે મળે છેS = 39 + 25 = 64, જેનો અર્થ થાય છે કે ચોરસની બાજુએ બી સી ડી, એટલે કે રેખાખંડAB = 8. જરૂરી બાજુ માટેએક્સઅમને મૂળ ચોરસ મળે છે

2) પરંતુ, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાચીન ગ્રીકોએ સમીકરણ કેવી રીતે હલ કર્યુંખાતે2 + 6у - 16 = 0.

ઉકેલફિગ માં પ્રસ્તુત. 13. જ્યાં

ખાતે2 + 6y = 16, અથવા y2 + 6y + 9 = 16 + 9.

ઉકેલ.અભિવ્યક્તિઓખાતે2 + 6у + 9અને16 + 9 ભૌમિતિક રીતે રજૂ કરે છે

સમાન ચોરસ અને મૂળ સમીકરણખાતે2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- સમાન સમીકરણ. જ્યાંથી આપણે તે મેળવીએ છીએy + 3 = ± 5,અથવાખાતે1 = 2, વાય2 = - 8 (ચોખા..

ફિગ.13

3) ભૌમિતિક સમીકરણ ઉકેલોખાતે2 - 6у - 16 = 0.

સમીકરણને રૂપાંતરિત કરવાથી, આપણને મળે છે

ખાતે2 - 6y = 16.

ફિગ. 14 માં આપણને અભિવ્યક્તિની "છબીઓ" મળે છેખાતે2 - 6u,તે બાજુ y સાથેના ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી, સમાન બાજુવાળા ચોરસના ક્ષેત્રફળને બાદ કરો3 . આનો અર્થ એ છે કે જો અભિવ્યક્તિ માટેખાતે2 - 6уઉમેરો9 , પછી આપણને બાજુવાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ મળે છેy - 3. અભિવ્યક્તિને બદલીનેખાતે2 - 6уતેની સમાન સંખ્યા 16,

અમને મળે છે:(y - 3)2 = 16 + 9, તેy - 3 = ± √25, અથવા y - 3 = ± 5, જ્યાંખાતે1 = 8 અનેખાતે2 = - 2.

ફિગ.14

નિષ્કર્ષ

મારા સંશોધન કાર્યને હાથ ધરવા દરમિયાન, હું માનું છું કે મેં મારા ધ્યેય અને ઉદ્દેશ્યો સિદ્ધ કર્યા છે, હું ઉપરોક્ત વિષય પર અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ કરવામાં સક્ષમ હતો.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની ઘણી રીતો છે. મને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની 10 રીતો મળી. એ નોંધવું જોઇએ કે તે બધા ઉકેલવા માટે અનુકૂળ નથી, પરંતુ તેમાંથી દરેક તેની પોતાની રીતે અનન્ય છે. કેટલાક ઉકેલો સમય બચાવવામાં મદદ કરે છે, જે પરીક્ષણો અને પરીક્ષાઓ પરના કાર્યોને હલ કરતી વખતે મહત્વપૂર્ણ છે. વિષય પર કામ કરતી વખતે, મેં કઈ પદ્ધતિઓ પ્રમાણભૂત છે અને કઈ બિન-માનક છે તે શોધવાનું કાર્ય સેટ કર્યું છે.

તેથી,પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓ(ક્વાડ્રેટિક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે વધુ વખત વપરાય છે):

• સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા
• વિયેટાનું પ્રમેય
• સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન
• ડાબી બાજુ ફેક્ટરિંગ
• સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

બિન-માનક પદ્ધતિઓ:

• ગુણાંકને સ્થાનાંતરિત કરીને ઉકેલ
• ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકના ગુણધર્મ
• હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.
• નોમોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ
• ભૌમિતિક પદ્ધતિ

મારા માટે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, મેં નીચેના તારણો કાઢ્યા: કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને સારી રીતે ઉકેલવા માટે, તમારે જાણવાની જરૂર છે:

ભેદભાવ કરનારને શોધવા માટેનું સૂત્ર;

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટેનું સૂત્ર;

આ પ્રકારના સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગાણિતીક નિયમો.

સક્ષમ થાઓ:

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલો;

સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલો;

આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલો;

ઉકેલાયેલા સમીકરણોમાં ભૂલો શોધો અને તેને સુધારો;

તપાસ કરો.

મને લાગે છે કે મારું કાર્ય 8મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે તેમજ તર્કસંગત ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા અને અંતિમ પરીક્ષા માટે સારી તૈયારી કરવી તે શીખવા માગતા હોય તેવા વિદ્યાર્થીઓ માટે રસ ધરાવશે. ગણિતના પાઠ દરમિયાન, મેં મારા સહપાઠીઓને ચતુર્ભુજ સમીકરણો નં. 5 અને 6 ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ કહી, છોકરાઓને તે ગમ્યા. તે ગણિતના શિક્ષકો માટે પણ રસપ્રદ રહેશે, કારણ કે મારા કાર્યમાં મેં માત્ર ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ જ નહીં, પણ તેમના વિકાસના ઇતિહાસની પણ તપાસ કરી.

એલસાહિત્ય

1. મોર્ડકોવિચ, એ.જી. બીજગણિત.8મો ગ્રેડ. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / A.G. મોર્ડકોવિચ.-એમ. : નેમોસીન 2011.-260 પૃષ્ઠ.
2. મોર્ડકોવિચ, એ.જી. બીજગણિત.8મું ધોરણ. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / A.G. મોર્ડકોવિચ.-એમ. : નેમોસીન 2011.-270 પૃષ્ઠ.
3. ગ્લેઝર, જી.આઈ. શાળામાં ગણિતનો ઇતિહાસ / G.I. ગ્લેઝર.-એમ.: એનલાઈટનમેન્ટ, 1982- 340 પૃ.
4. ગુસેવ, વી.એ. ગણિત. સંદર્ભ સામગ્રી/ V.A. ગુસેવ, એ.જી. મોર્ડકોવિચ - એમ.: શિક્ષણ, 1988, 372 પૃ.
5. બ્રાડીસ, વી.એમ. માધ્યમિક શાળા/વી.એમ., બ્રાડીસ-એમ.: શિક્ષણ, 1990- માટે ચાર-અંકના ગાણિતિક કોષ્ટકો
6. વિએટાનું પ્રમેય – એક્સેસ મોડ:.http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta / વિયેટાનું પ્રમેય(રિમોટ એક્સેસ સંસાધનો (ઇન્ટરનેટ)). 12/10/2013.
7. ચતુર્ભુજ સમીકરણો - ઍક્સેસ મોડ:http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (રિમોટ એક્સેસ સંસાધનો (ઇન્ટરનેટ)). 10.01.2014.