ભૂમિતિના પાઠોમાં શાળાના અભ્યાસક્રમમાં, તમારે વિવિધ પ્રકારના ચતુષ્કોણ સાથે કામ કરવું પડશે: સમચતુર્ભુજ, સમાંતર, લંબચોરસ, ટ્રેપેઝોઇડ્સ, ચોરસ. અભ્યાસ કરવા માટેના સૌથી પહેલા આકારો લંબચોરસ અને ચોરસ છે.

તો લંબચોરસ શું છે? માધ્યમિક શાળાના 2જા ધોરણ માટેની વ્યાખ્યા આના જેવી દેખાશે: આ ચારેય ખૂણાઓ સાથેનો ચતુષ્કોણ છે. લંબચોરસ કેવો દેખાય છે તેની કલ્પના કરવી સરળ છે: તે 4 કાટકોણ અને બાજુઓ જોડીમાં એકબીજાની સમાંતર સાથેની આકૃતિ છે.

ના સંપર્કમાં છે

બીજી ભૌમિતિક સમસ્યા હલ કરતી વખતે આપણે કઈ રીતે સમજી શકીએ કે આપણે કયા ચતુષ્કોણ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ? ત્યાં ત્રણ મુખ્ય ચિહ્નો છે, જેના દ્વારા કોઈ નિશ્ચિતપણે નક્કી કરી શકે છે કે આપણે એક લંબચોરસ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. ચાલો તેમને કૉલ કરીએ:

• આકૃતિ એક ચતુર્ભુજ છે જેના ત્રણ ખૂણા 90°ના બરાબર છે;
• રજૂ થયેલ ચતુષ્કોણ સમાન કર્ણ સાથેનો સમાંતરગ્રામ છે;
• એક સમાંતરગ્રામ કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક કાટકોણ હોય.

તે જાણવું રસપ્રદ છે: બહિર્મુખ શું છે, તેના લક્ષણો અને લક્ષણો.

લંબચોરસ સમાંતર ચતુષ્કોણ (એટલે ​​​​કે, સમાંતર વિરોધી બાજુઓની જોડી સાથેનો ચતુર્ભુજ) હોવાથી, તેના માટે તેના તમામ ગુણધર્મો અને લાક્ષણિકતાઓ પૂર્ણ થશે.

બાજુની લંબાઈની ગણતરી માટેના સૂત્રો

એક લંબચોરસ માંવિરોધી બાજુઓ સમાન અને પરસ્પર સમાંતર છે. લાંબી બાજુને સામાન્ય રીતે લંબાઈ કહેવામાં આવે છે (a દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે), ટૂંકી બાજુને પહોળાઈ કહેવામાં આવે છે (b દ્વારા સૂચિત). ઇમેજમાં લંબચોરસમાં, લંબાઈ એ AB અને CD બાજુઓ છે અને પહોળાઈ AC અને B. D છે. તેઓ પાયાને પણ લંબરૂપ છે (એટલે ​​​​કે, તેઓ ઊંચાઈ છે).

બાજુઓ શોધવા માટે, તમે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તેઓ નીચેના સંમેલનોનો ઉપયોગ કરે છે: a - લંબચોરસની લંબાઈ, b - તેની પહોળાઈ, d - કર્ણ (એકબીજાની સામે આવેલા બે ખૂણાઓના શિરોબિંદુઓને જોડતો ભાગ), S - આકૃતિનો વિસ્તાર, P - પરિમિતિ, α - કર્ણ અને લંબાઈ વચ્ચેનો કોણ, β એ બંને કર્ણ દ્વારા રચાયેલો તીવ્ર કોણ છે. બાજુની લંબાઈ શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ:

• કર્ણ અને જાણીતી બાજુનો ઉપયોગ કરીને: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• આકૃતિના ક્ષેત્રફળ અને તેની એક બાજુના આધારે: a = S/b, b = S/a.
• પરિમિતિ અને જાણીતી બાજુનો ઉપયોગ કરીને: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• કર્ણ અને તેની વચ્ચેના કોણ અને લંબાઈ દ્વારા: a = d sinα, b = d cosα.
• વિકર્ણ અને કોણ β દ્વારા: a = d sin 0.5 β, b = d cos 0.5 β.

પરિમિતિ અને વિસ્તાર

ચતુષ્કોણની પરિમિતિ કહેવાય છેતેની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો. પરિમિતિની ગણતરી કરવા માટે, નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

• બંને બાજુઓ દ્વારા: P = 2 (a + b).
• વિસ્તાર અને બાજુઓમાંથી એક દ્વારા: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

વિસ્તાર એ પરિમિતિ દ્વારા બંધાયેલ જગ્યા છે. વિસ્તારની ગણતરી કરવાની ત્રણ મુખ્ય રીતો:

• બંને બાજુઓની લંબાઈ દ્વારા: S = a*b.
• પરિમિતિ અને કોઈપણ એક જાણીતી બાજુનો ઉપયોગ કરીને: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• ત્રાંસા અને કોણ β: S = 0.5 d² sinβ.

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં સમસ્યાઓ માટે ઘણીવાર સારી કમાન્ડની જરૂર પડે છે લંબચોરસના કર્ણના ગુણધર્મો. અમે મુખ્યને સૂચિબદ્ધ કરીએ છીએ:

1. કર્ણ એકબીજાના સમાન હોય છે અને તેમના આંતરછેદના બિંદુએ બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે.
2. કર્ણને બંને બાજુઓના વર્ગના સરવાળાના મૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે).
3. કર્ણ એક લંબચોરસને બે જમણા-કોણ ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.
4. આંતરછેદ બિંદુ ઘેરાયેલા વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે, અને કર્ણ પોતે તેના વ્યાસ સાથે એકરુપ છે.

કર્ણની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

• આકૃતિની લંબાઈ અને પહોળાઈનો ઉપયોગ કરીને: d = √(a² + b²).
• ચતુષ્કોણની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને: d = 2 R.

ચોરસની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો

ચોરસ એ સમચતુર્ભુજ, સમાંતર અથવા લંબચોરસનો વિશિષ્ટ કેસ છે. આ આંકડાઓથી તેનો તફાવત એ છે કે તેના તમામ ખૂણા સાચા છે અને ચારેય બાજુઓ સમાન છે. ચોરસ એ નિયમિત ચતુષ્કોણ છે.

નીચેના કેસોમાં ચતુષ્કોણને ચોરસ કહેવામાં આવે છે:

1. જો તે એક લંબચોરસ છે જેની લંબાઈ a અને પહોળાઈ b સમાન છે.
2. જો તે કર્ણની સમાન લંબાઈ અને ચાર કાટકોણ ધરાવતો સમચતુર્ભુજ હોય.

ચોરસના ગુણધર્મોમાં લંબચોરસ સંબંધિત અગાઉ ચર્ચા કરાયેલા તમામ ગુણધર્મો તેમજ નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

1. કર્ણ એકબીજાને લંબરૂપ હોય છે (રોમ્બસ પ્રોપર્ટી).
2. આંતરછેદ બિંદુ અંકિત વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે.
3. બંને કર્ણ ચતુર્ભુજને ચાર સમાન જમણા અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.

અહીં માટે વારંવાર વપરાતા સૂત્રો છે પરિમિતિ, વિસ્તાર અને ચોરસ તત્વોની ગણતરીઓ:

• વિકર્ણ d = a √2.
• પરિમિતિ P = 4 એ.
• વિસ્તાર S = a².
• ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા અડધી કર્ણ છે: R = 0.5 a √2.
• અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા બાજુની અડધી લંબાઈ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે: r = a / 2.

પ્રશ્નો અને કાર્યોના ઉદાહરણો

ચાલો કેટલાક પ્રશ્નો જોઈએ જે શાળામાં ગણિતના અભ્યાસક્રમનો અભ્યાસ કરતી વખતે તમને આવી શકે છે, અને કેટલીક સરળ સમસ્યાઓ હલ કરીએ.

સમસ્યા 1. જો તેની બાજુઓની લંબાઈ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે તો લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે બદલાશે?

ઉકેલ : ચાલો મૂળ આકૃતિના ક્ષેત્રફળને S0 તરીકે દર્શાવીએ અને તેની બાજુઓની લંબાઈના ત્રણ ગણા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ S1 તરીકે દર્શાવીએ. અગાઉ ચર્ચા કરેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ: S0 = ab. હવે ચાલો લંબાઈ અને પહોળાઈને 3 ગણો વધારીએ અને લખીએ: S1= 3 a 3 b = 9 ab. S0 અને S1 ની સરખામણી કરતા, તે સ્પષ્ટ બને છે કે બીજો વિસ્તાર પ્રથમ કરતા 9 ગણો મોટો છે.

પ્રશ્ન 1. શું કાટકોણ ધરાવતો ચતુષ્કોણ ચોરસ છે?

ઉકેલ : વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે કાટખૂણો સાથેની આકૃતિ એ ચોરસ છે જો તેની બધી બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય. અન્ય કિસ્સાઓમાં, આકૃતિ એક લંબચોરસ છે.

સમસ્યા 2. લંબચોરસના કર્ણ 60 ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવે છે. લંબચોરસની પહોળાઈ 8 છે. કર્ણ શું છે તેની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:યાદ કરો કે કર્ણને આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે. આમ, આપણે 60°ના સર્વોચ્ચ કોણ સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી, આધાર પરના ખૂણાઓ પણ સમાન હશે. સરળ ગણતરીઓ દ્વારા આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે તેમાંથી દરેક 60° ની બરાબર છે. તે અનુસરે છે કે ત્રિકોણ સમભુજ છે. આપણે જાણીએ છીએ તે પહોળાઈ ત્રિકોણનો આધાર છે, તેથી કર્ણનો અડધો ભાગ પણ 8 ની બરાબર છે, અને સમગ્ર કર્ણની લંબાઈ બમણી મોટી અને 16 જેટલી છે.

પ્રશ્ન 2. શું લંબચોરસની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે કે નહીં?

ઉકેલ : તે યાદ રાખવું પૂરતું છે કે ચોરસમાં બધી બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ, જે લંબચોરસનો વિશેષ કેસ છે. અન્ય તમામ કેસોમાં, પર્યાપ્ત સ્થિતિ એ ઓછામાં ઓછા 3 કાટકોણની હાજરી છે. પક્ષકારોની સમાનતા એ ફરજિયાત લક્ષણ નથી.

સમસ્યા 3. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ જાણીતું છે અને 289 બરાબર છે. અંકિત અને પરિમાણિત વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ : ચોરસ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેની ગણતરીઓ હાથ ધરીશું:

• ચાલો નક્કી કરીએ કે ચોરસના મૂળભૂત તત્વો શું સમાન છે: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• ચાલો ચતુષ્કોણની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યાની ગણતરી કરીએ: R = 0.5 d = 8.5√2.
• ચાલો અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધીએ: r = a / 2 = 17 / 2 = 8.5.

વ્યાખ્યા.સમાંતર ચતુષ્કોણ એ ચતુષ્કોણ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર હોય છે.

મિલકત.સમાંતરગ્રામમાં, વિરોધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને વિરોધી ખૂણા સમાન હોય છે.

મિલકત.સમાંતરગ્રામના કર્ણને આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે.

સમાંતરગ્રામનું 1 ચિહ્ન.જો ચતુષ્કોણની બે બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય, તો ચતુષ્કોણ એ સમાંતરગ્રામ છે.

સમાંતરગ્રામનું 2 ચિહ્ન.જો ચતુર્ભુજમાં વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાન હોય, તો આ ચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે.

સમાંતરગ્રામનું 3 ચિહ્ન.જો ચતુષ્કોણના કર્ણ એકબીજાને છેદે છે અને આંતરછેદના બિંદુથી દ્વિભાજિત છે, તો ચતુર્ભુજ એ સમાંતરગ્રામ છે.

વ્યાખ્યા.ટ્રેપેઝોઇડ એ એક ચતુર્ભુજ છે જેમાં બે બાજુઓ સમાંતર હોય છે અને બીજી બે બાજુઓ સમાંતર હોતી નથી. સમાંતર બાજુઓ કહેવામાં આવે છે કારણો

ટ્રેપેઝોઇડ કહેવામાં આવે છે સમદ્વિબાજુ, જો તેની બાજુઓ સમાન હોય. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડમાં, પાયા પરના ખૂણા સમાન હોય છે.

લંબચોરસ.

ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખા. મધ્ય રેખા પાયાની સમાંતર છે અને તેમના અર્ધ સરવાળા જેટલી છે.

લંબચોરસ

વ્યાખ્યા.

મિલકત.લંબચોરસના કર્ણ સમાન છે.

લંબચોરસ ચિહ્ન.જો સમાંતરગ્રામના કર્ણ સમાન હોય, તો આ સમાંતરગ્રામ એક લંબચોરસ છે.

વ્યાખ્યા.

મિલકત.સમચતુર્ભુજના કર્ણ પરસ્પર લંબ હોય છે અને તેના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે.

વ્યાખ્યા.

ચોરસ એ એક ખાસ પ્રકારનો લંબચોરસ છે, તેમજ એક ખાસ પ્રકારનો રોમ્બસ છે. તેથી તે તેમની તમામ ગુણધર્મો ધરાવે છે.

ગુણધર્મો:
1. ચોરસના બધા ખૂણા સાચા છે

ચતુર્ભુજ બધા નિયમો

કીવર્ડ્સ:
ચતુર્ભુજ, બહિર્મુખ, ખૂણાઓનો સરવાળો, ચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ

ચતુષ્કોણએક આકૃતિ છે જેમાં ચાર પોઈન્ટ અને તેમને જોડતા સતત ચાર સેગમેન્ટનો સમાવેશ થાય છે. આ કિસ્સામાં, આમાંથી કોઈ ત્રણ બિંદુઓ એક જ સીધી રેખા પર ન હોવા જોઈએ, અને તેમને જોડતા ભાગો એકબીજાને છેદવા જોઈએ નહીં.

• ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે પડોશી , જો તેઓ તેની એક બાજુના છેડા હોય.
• શિરોબિંદુઓ જે અડીને નથી , ને બોલાવ્યા હતા વિરુદ્ધ .
• ચતુર્ભુજના વિરોધી શિરોબિંદુઓને જોડતા ભાગો કહેવામાં આવે છે કર્ણ .
• સમાન શિરોબિંદુથી શરૂ થતી ચતુષ્કોણની બાજુઓને કહેવામાં આવે છે પડોશી પક્ષો
• જે પક્ષોને સામાન્ય અંત નથી તે કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ પક્ષો
• ચતુર્ભુજ કહેવાય છે બહિર્મુખ , જો તે તેની કોઈપણ બાજુ ધરાવતી સીધી રેખાની તુલનામાં અડધા-વિમાનમાં સ્થિત છે.

ચતુષ્કોણના પ્રકાર

1. સમાંતરગ્રામ - એક ચતુષ્કોણ જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર હોય
   • લંબચોરસ - બધા કાટકોણો સાથેનો સમાંતરગ્રામ
   • રોમ્બસ - બધી બાજુઓ સમાન ધરાવતો સમાંતરગ્રામ
   • ચોરસ - બધી બાજુઓ સમાન સાથે એક લંબચોરસ
2. ટ્રેપેઝોઇડ - એક ચતુષ્કોણ જેમાં બે બાજુઓ સમાંતર હોય અને બીજી બે બાજુઓ સમાંતર ન હોય
3. ડેલ્ટોઇડ - એક ચતુર્ભુજ જેમાં અડીને બાજુઓની બે જોડી સમાન હોય છે

ચતુર્ભુજ

ચતુષ્કોણએક આકૃતિ છે જેમાં ચાર પોઈન્ટ અને તેમને જોડતા સતત ચાર સેગમેન્ટનો સમાવેશ થાય છે. તદુપરાંત, આમાંથી કોઈ ત્રણ બિંદુઓ એક જ સીધી રેખા પર નથી, અને તેમને જોડતા ભાગો એકબીજાને છેદતા નથી.

વિરુદ્ધ. વિરુદ્ધ.

ચતુષ્કોણના પ્રકાર

સમાંતરગ્રામ

સમાંતરગ્રામએક ચતુર્ભુજ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર હોય છે.

સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો

• વિરોધી બાજુઓ સમાન છે;
• વિરોધી ખૂણા સમાન છે;
• કર્ણના ચોરસનો સરવાળો બધી બાજુઓના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે:

સમાંતરગ્રામના ચિહ્નો

ટ્રેપેઝએક ચતુષ્કોણ છે જેમાં બે વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર છે અને અન્ય બે બિન-સમાંતર છે.

ટ્રેપેઝોઇડની સમાંતર બાજુઓને તેની કહેવામાં આવે છે કારણોઅને બિન-સમાંતર બાજુઓ - બાજુઓબાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને કહેવામાં આવે છે મધ્ય રેખા.

ટ્રેપેઝોઇડ કહેવામાં આવે છે સમદ્વિબાજુ(અથવા સમદ્વિબાજુ), જો તેની બાજુઓ સમાન હોય.

ટ્રેપેઝોઇડ, જેનો એક ખૂણો જમણો છે, કહેવાય છે લંબચોરસ

ટ્રેપેઝોઇડના ગુણધર્મો

ટ્રેપેઝોઇડના ચિહ્નો

લંબચોરસ

લંબચોરસસમાંતર ચતુષ્કોણ કહેવાય છે જેમાં બધા ખૂણા સાચા હોય છે.

લંબચોરસ ગુણધર્મો

લંબચોરસ ચિહ્નો

સમાંતરગ્રામ એક લંબચોરસ છે જો:

1. તેનો એક ખૂણો સીધો છે.
2. તેના કર્ણ સમાન છે.

હીરાતેને સમાંતરગ્રામ કહેવામાં આવે છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

રોમ્બસના ગુણધર્મો

• સમાંતરગ્રામના તમામ ગુણધર્મો;
• કર્ણ કાટખૂણે છે;

હીરાના ચિહ્નો

ચોરસએક લંબચોરસ કહેવાય છે જેની તમામ બાજુઓ સમાન હોય છે.

ચોરસના ગુણધર્મો

• ચોરસના બધા ખૂણા સાચા છે;
• ચોરસના કર્ણ સમાન છે, પરસ્પર લંબ છે, આંતરછેદનું બિંદુ ચોરસના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે અને દ્વિભાજિત કરે છે.

ચોરસના ચિહ્નો

મૂળભૂત સૂત્રો

S=d 1 ડી 2 પાપ

સમાંતરગ્રામ
aઅને b-અડીને બાજુઓ; - તેમની વચ્ચેનો કોણ; h a -ઊંચાઈ બાજુ પર દોરવામાં આવે છે a.

S = ab sin

S=d 1 ડી 2 પાપ

ટ્રેપેઝોઇડ
aઅને b- મેદાન; h-તેમની વચ્ચેનું અંતર; એલ-મધ્ય રેખા .

લંબચોરસ

S=d 1 ડી 2 પાપ

S = a 2 પાપ

S=d 1 ડી 2

ચોરસ
ડી- કર્ણ.

www.univer.omsk.su

ચતુર્ભુજના ગુણધર્મો. ચતુષ્કોણના પ્રકાર. મનસ્વી ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો. સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો. રોમ્બસના ગુણધર્મો. લંબચોરસના ગુણધર્મો. ચોરસના ગુણધર્મો. ટ્રેપેઝોઇડના ગુણધર્મો. આશરે 7-9 ગ્રેડ (13-15 વર્ષ જૂના)

ચતુર્ભુજના ગુણધર્મો. ચતુષ્કોણના પ્રકાર. મનસ્વી ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો.
સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો. રોમ્બસના ગુણધર્મો. લંબચોરસના ગુણધર્મો. ચોરસના ગુણધર્મો. ટ્રેપેઝોઇડના ગુણધર્મો.

ચતુષ્કોણના પ્રકારો:

• સમાંતરગ્રામએક ચતુર્ભુજ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર છે

• રોમ્બસએક સમાંતરગ્રામ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

• લંબચોરસએક સમાંતરગ્રામ છે જેમાં બધા ખૂણા સાચા હોય છે.

• ચોરસબધી બાજુઓ સમાન ધરાવતો લંબચોરસ છે.

મનસ્વી ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો:

સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો:

રોમ્બસના ગુણધર્મો:

લંબચોરસ ગુણધર્મો:

ચોરસના ગુણધર્મો:

ટ્રેપેઝોઇડ ગુણધર્મો:

કન્સલ્ટિંગ અને ટેક્નિકલ
સાઇટ સપોર્ટ: ઝવેરકા ટીમ

ચતુર્ભુજ બધા નિયમો

નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ, ભૂમિતિ સમાન ભૂમિતિ યુક્લિડતેમાં તે આકૃતિઓની હિલચાલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, પરંતુ તે યુક્લિડિયન ભૂમિતિથી અલગ છે કે તેના પાંચ પોસ્ટ્યુલેટ્સમાંથી એક (બીજો કે પાંચમો) તેના નકાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન પોસ્ટ્યુલેટ્સ (1825) માંથી એકનો નકાર એ વિચારના ઇતિહાસમાં એક નોંધપાત્ર ઘટના હતી, કારણ કે તે આ તરફના પ્રથમ પગલા તરીકે સેવા આપી હતી. સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત.

યુક્લિડનું બીજું અનુમાન જણાવે છે કે કોઈપણ સીધી રેખા સેગમેન્ટને અનિશ્ચિત સમય માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. યુક્લિડ દેખીતી રીતે માનતા હતા કે આ ધારણામાં એવું નિવેદન પણ છે કે સીધી રેખા અનંત લંબાઈ ધરાવે છે. જોકે "લંબગોળ" ભૂમિતિમાં, કોઈપણ સીધી રેખા મર્યાદિત હોય છે અને વર્તુળની જેમ બંધ હોય છે.

પાંચમી ધારણા જણાવે છે કે જો કોઈ રેખા બે આપેલ રેખાઓને એવી રીતે છેદે છે કે તેની એક બાજુના બે આંતરિક ખૂણાઓ બેથી ઓછા કાટખૂણો સુધી ઉમેરે છે, તો આ બે રેખાઓ, જો અનિશ્ચિત સમય સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવે તો, તે બાજુ પર છેદે છે જ્યાં આ ખૂણાઓનો સરવાળો બે સીધી રેખાઓના સરવાળા કરતા ઓછો છે. પરંતુ "હાયપરબોલિક" ભૂમિતિમાં એક રેખા CB હોઈ શકે છે (આકૃતિ જુઓ), આપેલ રેખા r પર બિંદુ C પર લંબરૂપ અને બિંદુ B પર તીવ્ર કોણ પર બીજી રેખા s ને છેદે છે, પરંતુ, તેમ છતાં, અનંત રેખાઓ r અને s કરશે. ક્યારેય છેદશો નહીં.

આ સંશોધિત ધારણાઓમાંથી તે અનુસરવામાં આવ્યું છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો, યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં 180° જેટલો છે, જે લંબગોળ ભૂમિતિમાં 180° કરતા વધારે છે અને હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં 180° કરતા ઓછો છે.

ચતુષ્કોણ

ચતુષ્કોણચાર શિરોબિંદુઓ અને ચાર બાજુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે.

ચતુષ્કોણ, ભૌમિતિક આકૃતિ એ ચાર ખૂણાઓ સાથેનો બહુકોણ છે, તેમજ આ આકારની કોઈપણ વસ્તુ અથવા ઉપકરણ છે.

ચતુષ્કોણની બે બિન-સંલગ્ન બાજુઓને કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ.અડીને ન હોય તેવા બે શિરોબિંદુઓને પણ કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ.

ચતુર્ભુજ બહિર્મુખ હોઈ શકે છે (જેમ કે ABCD) અને
બિન-બહિર્મુખ (A 1 B 1 C 1 D 1).

ચતુષ્કોણના પ્રકાર

• સમાંતરગ્રામ- એક ચતુર્ભુજ જેમાં બધી વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર હોય છે;
• લંબચોરસ- બધા કાટકોણો સાથેનો ચતુષ્કોણ;
• રોમ્બસ- બધી બાજુઓ સમાન સાથે ચતુર્ભુજ;
• ચોરસ- એક ચતુષ્કોણ જેમાં બધા ખૂણા સાચા હોય અને બધી બાજુઓ સમાન હોય;
• ટ્રેપેઝોઇડ- એક ચતુર્ભુજ જેની બે વિરોધી બાજુઓ સમાંતર છે;
• ડેલ્ટોઇડ- એક ચતુર્ભુજ જેમાં અડીને બાજુઓની બે જોડી સમાન હોય છે.

સમાંતરગ્રામ

સમાંતર ચતુષ્કોણ એ ચતુષ્કોણ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર હોય છે.

સમાંતરગ્રામ (ગ્રીક સમાંતર - સમાંતર અને ગ્રામે - રેખામાંથી), એટલે કે તેઓ સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા છે. સમાંતર ચતુષ્કોણના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ લંબચોરસ, ચોરસ અને સમચતુર્ભુજ છે.

• વિરોધી બાજુઓ સમાન છે;
• વિરોધી ખૂણા સમાન છે;
• કર્ણને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે;
• એક બાજુને અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે;
• કર્ણના ચોરસનો સરવાળો બધી બાજુઓના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે.

ચતુષ્કોણ એ સમાંતરગ્રામ છે જો:

1. તેની બે વિરોધી બાજુઓ સમાન અને સમાંતર છે.
2. વિરોધી બાજુઓ જોડીમાં સમાન છે.
3. વિરોધી ખૂણા જોડીમાં સમાન છે.
4. કર્ણને આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે.

લંબચોરસ

લંબચોરસ એ એક સમાંતરગ્રામ છે જેના ખૂણા બરાબર છે.

• વિરોધી બાજુઓ સમાન છે;
• વિરોધી ખૂણા સમાન છે;
• કર્ણને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે;
• એક બાજુને અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે;
• કર્ણ સમાન છે.

સમાંતરગ્રામ એક લંબચોરસ છે જો:

1. તેનો એક ખૂણો સીધો છે.
2. તેના કર્ણ સમાન છે.

સમચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

• વિરોધી બાજુઓ સમાન છે;
• વિરોધી ખૂણા સમાન છે;
• કર્ણને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે;
• એક બાજુને અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે;
• કર્ણના ચોરસનો સરવાળો બધી બાજુઓના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે;
• કર્ણ કાટખૂણે છે;
• કર્ણ તેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો છે.

સમાંતરચતુષ્કોણ એક સમચતુર્ભુજ છે જો:

1. તેની બે અડીને બાજુઓ સમાન છે.
2. તેના કર્ણ લંબ છે.
3. કર્ણમાંથી એક તેના કોણનું દ્વિભાજક છે.

ચોરસ એક લંબચોરસ છે જેની તમામ બાજુઓ સમાન છે.

• ચોરસના બધા ખૂણા સાચા છે;
• ચોરસના કર્ણ સમાન છે, પરસ્પર લંબ છે, આંતરછેદનું બિંદુ ચોરસના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે અને દ્વિભાજિત કરે છે.

1. લંબચોરસ એ ચોરસ છે જો તેમાં સમચતુર્ભુજની કોઈ વિશેષતાઓ હોય.

ટ્રેપેઝોઇડ એ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં બે વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર હોય છે અને અન્ય બે બિન-સમાંતર હોય છે.

ટ્રેપેઝોઇડની સમાંતર બાજુઓને તેના પાયા કહેવામાં આવે છે, અને બિન-સમાંતર બાજુઓને તેની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે. બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને મધ્યરેખા કહેવામાં આવે છે.

ટ્રેપેઝોઇડને સમદ્વિબાજુ (અથવા સમદ્વિબાજુ) કહેવામાં આવે છે જો તેની બાજુઓ સમાન હોય.

ટ્રેપેઝોઇડ, જેનો એક ખૂણો જમણો છે, તેને લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે.

• તેની મધ્યરેખા પાયાની સમાંતર અને તેમના અર્ધ સરવાળા જેટલી છે;
• જો ટ્રેપેઝોઇડ સમદ્વિબાજુ છે, તો તેના કર્ણ સમાન છે અને આધાર પરના ખૂણા સમાન છે;
• જો ટ્રેપેઝોઇડ સમદ્વિબાજુ છે, તો તેની આસપાસ એક વર્તુળ વર્ણવી શકાય છે;
• જો પાયાનો સરવાળો બાજુઓના સરવાળા જેટલો હોય, તો તેમાં એક વર્તુળ લખી શકાય છે.

1. ચતુષ્કોણ એ ટ્રેપેઝોઇડ છે જો તેની સમાંતર બાજુઓ સમાન ન હોય

ડેલ્ટોઇડ- સમાન લંબાઈની બાજુઓની બે જોડી સાથેનો ચતુષ્કોણ. સમાંતરગ્રામથી વિપરીત, તે વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાન નથી, પરંતુ અડીને બાજુઓની બે જોડી છે. ડેલ્ટોઇડનો આકાર પતંગ જેવો હોય છે.

• અસમાન લંબાઈની બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણા સમાન છે.
• ડેલ્ટોઇડ (અથવા તેમના વિસ્તરણ) ના કર્ણ કાટખૂણો પર છેદે છે.
• કોઈપણ બહિર્મુખ ડેલ્ટોઇડમાં વર્તુળ લખી શકાય છે, વધુમાં, જો ડેલ્ટોઇડ સમચતુર્ભુજ નથી, તો ચારે બાજુના વિસ્તરણને સ્પર્શતું બીજું વર્તુળ છે. બિન-બહિર્મુખ ડેલ્ટોઇડ માટે, આપણે બે મોટી બાજુઓ માટે વર્તુળ સ્પર્શક અને બે નાની બાજુઓના વિસ્તરણ અને બે નાની બાજુઓ માટે વર્તુળ સ્પર્શક અને બે મોટી બાજુઓના વિસ્તરણનું નિર્માણ કરી શકીએ છીએ.

• જો ડેલ્ટોઇડની અસમાન બાજુઓ વચ્ચેનો કોણ સાચો હોય, તો તેમાં એક વર્તુળ (સર્કમસ્ક્રાઇબ્ડ ડેલ્ટોઇડ) લખી શકાય છે.
• જો ડેલ્ટોઇડની વિરુદ્ધ બાજુઓની જોડી સમાન હોય, તો આવા ડેલ્ટોઇડ એક સમચતુર્ભુજ છે.
• જો ડેલ્ટોઇડની વિરુદ્ધ બાજુઓની જોડી અને બંને કર્ણ સમાન હોય, તો ડેલ્ટોઇડ એક ચોરસ છે. સમાન કર્ણ સાથેનો અંકિત ડેલ્ટોઇડ પણ એક ચોરસ છે.

ભૂમિતિનો ઉદભવ પ્રાચીન કાળનો છે અને તે માનવ પ્રવૃત્તિની વ્યવહારિક જરૂરિયાતો (જમીનના પ્લોટને માપવાની જરૂરિયાત, વિવિધ સંસ્થાઓના જથ્થાને માપવા વગેરે) દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવ્યો હતો.

સૌથી સરળ ભૌમિતિક માહિતી અને ખ્યાલો પ્રાચીન ઇજિપ્તમાં જાણીતા હતા. આ સમયગાળા દરમિયાન, ભૌમિતિક નિવેદનો પુરાવા વિના આપવામાં આવેલા નિયમોના સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવ્યા હતા.

પૂર્વે 7મી સદીથી. ઇ. 1 લી સદી એડી ઇ. પ્રાચીન ગ્રીસમાં વિજ્ઞાન તરીકે ભૂમિતિનો ઝડપથી વિકાસ થયો. આ સમયગાળા દરમિયાન, માત્ર વિવિધ ભૌમિતિક માહિતીનો સંચય જ થયો ન હતો, પરંતુ ભૌમિતિક વિધાનોને સાબિત કરવાની પદ્ધતિ પણ વિકસાવવામાં આવી હતી, અને ભૂમિતિની મુખ્ય પ્રાથમિક જોગવાઈઓ (સ્વયંતુઓ) ઘડવાનો પ્રથમ પ્રયાસ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમાંથી ઘણાં વિવિધ ભૌમિતિક નિવેદનો કેવળ તાર્કિક તર્ક દ્વારા લેવામાં આવે છે. પ્રાચીન ગ્રીસમાં ભૂમિતિના વિકાસનું સ્તર યુક્લિડના કાર્ય "તત્વો" માં પ્રતિબિંબિત થાય છે.

આ પુસ્તકમાં, પ્રથમ વખત, મૂળભૂત અનિશ્ચિત ભૌમિતિક ખ્યાલો અને સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો (પોસ્ટ્યુલેટ્સ) ના આધારે પ્લાનિમેટ્રીનું વ્યવસ્થિત બાંધકામ આપવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

ગણિતના ઈતિહાસમાં યુક્લિડનું પાંચમું અનુમાન (સમાંતર રેખાઓનું સ્વયંસિદ્ધ) વિશેષ સ્થાન ધરાવે છે. લાંબા સમય સુધી, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ યુક્લિડની બાકીની ધારણાઓમાંથી પાંચમી ધારણા કાઢવાનો અસફળ પ્રયાસ કર્યો, અને માત્ર 19મી સદીના મધ્યમાં, એન.આઈ. લોબાચેવ્સ્કી, બી. રીમેન અને જે. બોલ્યાઈના સંશોધનને આભારી, તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે પાંચમી ધારણા બાકીનામાંથી અનુમાનિત કરી શકાતી નથી, અને યુક્લિડ દ્વારા પ્રસ્તાવિત સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલી એકમાત્ર શક્ય નથી.

ગણિતના વિકાસ પર યુક્લિડના તત્વોનો ભારે પ્રભાવ હતો. બે હજારથી વધુ વર્ષોથી, આ પુસ્તક માત્ર ભૂમિતિ પરનું પાઠ્યપુસ્તક જ નહોતું, પણ ઘણા ગાણિતિક અભ્યાસો માટે પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે પણ કામ કર્યું હતું, જેના પરિણામે ગણિતની નવી સ્વતંત્ર શાખાઓ ઊભી થઈ હતી.

ભૂમિતિનું વ્યવસ્થિત બાંધકામ સામાન્ય રીતે નીચેની યોજના અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે:

આઈ.મૂળભૂત ભૌમિતિક ખ્યાલો સૂચિબદ્ધ છે, જે વ્યાખ્યાઓ વિના રજૂ કરવામાં આવે છે.

II.ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધ સૂત્રની રચના આપવામાં આવી છે.

III.સ્વયંસિદ્ધ અને મૂળભૂત ભૌમિતિક ખ્યાલોના આધારે, અન્ય ભૌમિતિક ખ્યાલો અને પ્રમેય ઘડવામાં આવે છે.

1. નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ નામનું મૂળ?
2. કયા આકારોને ચતુષ્કોણ કહેવામાં આવે છે?
3. સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો?
4. ચતુષ્કોણના પ્રકારો?

વપરાયેલ સ્ત્રોતોની યાદી

1. એ.જી. Tsypkin. ગણિતની હેન્ડબુક
2. “યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2006. ગણિત. વિદ્યાર્થીઓને તૈયાર કરવા માટેની શૈક્ષણિક અને તાલીમ સામગ્રી
3. મઝુર કે. આઈ. "એમ. આઈ. સ્કાનવી દ્વારા સંપાદિત સંગ્રહના ગણિતમાં મુખ્ય સ્પર્ધાની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ"

અમે પાઠ પર કામ કર્યું

તમે આધુનિક શિક્ષણ વિશે કોઈ પ્રશ્ન ઉઠાવી શકો છો, કોઈ વિચાર વ્યક્ત કરી શકો છો અથવા કોઈ મહત્વની સમસ્યાનું નિરાકરણ કરી શકો છો શૈક્ષણિક ફોરમ, જ્યાં તાજા વિચાર અને કાર્યની શૈક્ષણિક પરિષદ આંતરરાષ્ટ્રીય સ્તરે મળે છે. બનાવીને બ્લોગતમે માત્ર એક સક્ષમ શિક્ષક તરીકે તમારી સ્થિતિને સુધારશો નહીં, પરંતુ ભવિષ્યની શાળાના વિકાસમાં પણ મહત્વપૂર્ણ યોગદાન કરશો. શૈક્ષણિક નેતાઓનું ગિલ્ડટોચના ક્રમાંકિત નિષ્ણાતો માટે દરવાજા ખોલે છે અને તેમને વિશ્વની શ્રેષ્ઠ શાળાઓ બનાવવામાં સહકાર આપવા આમંત્રણ આપે છે.

પ્રખ્યાત:

• કલમ 282. ધિક્કાર અથવા દુશ્મનાવટ ઉશ્કેરવી, તેમજ માનવ ગૌરવનું અપમાન (જેમ કે ફેડરલ લો ડેટેડ ડિસેમ્બર 8, 2003 N 162-FZ દ્વારા સુધારેલ) ભાગ 1. ધિક્કાર અથવા દુશ્મનાવટને ઉશ્કેરવાના હેતુથી ક્રિયાઓ, તેમજ […]
• કોર્પોરેટ પ્રોપર્ટી ટેક્સ કેલ્ક્યુલેટર કોર્પોરેટ પ્રોપર્ટી ટેક્સની ગણતરી કેવી રીતે કરવી એડવાન્સ પેમેન્ટની ગણતરી માટેનું ફોર્મ બદલાઈ ગયું છે. 2017 ના પ્રથમ અર્ધવાર્ષિક અહેવાલ સાથે શરૂ કરીને, સંસ્થાઓ માટે મિલકત કરની ગણતરી […]
• ઇકોલોજીના કાયદાઓ વસ્તી અને સમુદાયોના 100 થી વધુ વર્ષોના વ્યાપક અભ્યાસમાં, મોટી માત્રામાં તથ્યો એકઠા કરવામાં આવ્યા છે. તેમની વચ્ચે રેન્ડમ અથવા અનિયમિત ઘટનાઓ અને પ્રક્રિયાઓને પ્રતિબિંબિત કરતી મોટી સંખ્યામાં છે. પણ નહીં […]
• ફરજિયાત પેન્શન વીમા પ્રણાલીમાં પેન્શનની જોગવાઈ માટેના વિકલ્પો 2015ના અંત સુધી, 1967માં જન્મેલા અને તેનાથી નાની ઉંમરના નાગરિકો પસંદ કરી શકે છે: પેન્શનની બચત કરવાનું ચાલુ રાખો અથવા ભંડોળનો ત્યાગ કરો […]
• 5 માર્ચ, 2009 ના રોજ રશિયન ફેડરેશનના ન્યાય મંત્રાલયમાં નોંધાયેલ કૃષિ મંત્રાલયનો ઓર્ડર 13476, રશિયન ફેડરેશનના કૃષિ મંત્રાલયની તારીખ 16 ડિસેમ્બર, 2008 એન 532 ટેક્નોલોજીની મંજૂરી પર ESTS અને […]
• 1 જાન્યુઆરી, 2018 થી વિકલાંગ બાળકો માટે પેન્શનમાં વધારો કરવો એ નાગરિકો માટે પેન્શનની જોગવાઈ એ રાજ્યને સોંપાયેલ જવાબદારી છે. આ દેશના કાયદાની સંહિતા - બંધારણમાં જણાવવામાં આવ્યું છે. વિકલાંગ લોકોમાં જેમને જરૂર છે [...]
• JSC રશિયન રેલ્વેના આંતરિક નિયમો OJSC "રશિયન રેલ્વે" ઓર્ડર ડેટેડ જુલાઈ 26, 2012 N 87 પ્રાદેશિક સેવાઓ (વિભાગ)ના વિકાસ અને વિકાસ માટેના આંતરિક શ્રમ નિયમોની મંજૂરી પર […]
• કોમ્ટેના 3 તબક્કાઓનો કાયદો દાર્શનિક ચળવળ તરીકે સકારાત્મકતાવાદ એ વિચાર પર આધારિત છે કે વિશ્વ, માણસ અને સમાજ વિશેનું મોટાભાગનું જ્ઞાન વિશેષ વિજ્ઞાનમાં મેળવવામાં આવે છે, કે "સકારાત્મક" વિજ્ઞાને પ્રયાસો છોડી દેવા જોઈએ […]

આજે આપણે ભૌમિતિક આકૃતિ - એક ચતુષ્કોણ પર વિચાર કરીશું. આ આકૃતિના નામ પરથી તે પહેલાથી જ સ્પષ્ટ થઈ જાય છે કે આ આકૃતિમાં ચાર ખૂણા છે. પરંતુ અમે નીચે આ આંકડોની બાકીની લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈશું.

ચતુર્ભુજ શું છે

ચતુર્ભુજ એ એક બહુકોણ છે જેમાં ચાર બિંદુઓ (શિરોબિંદુઓ) અને ચાર ભાગો (બાજુઓ) આ બિંદુઓને જોડીમાં જોડે છે. ચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ તેના કર્ણ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાના અડધા ગુણાંક જેટલું છે.

ચતુર્ભુજ એ ચાર શિરોબિંદુઓ સાથેનો બહુકોણ છે, જેમાંથી ત્રણ સીધી રેખા પર આવેલા નથી.

ચતુષ્કોણના પ્રકાર

• ચતુર્ભુજ જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર હોય તેને સમાંતર ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
• એક ચતુર્ભુજ કે જેમાં બે વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર હોય અને અન્ય બે ન હોય તેને ટ્રેપેઝોઈડ કહેવામાં આવે છે.
• બધા કાટકોણો સાથેનો ચતુષ્કોણ એ લંબચોરસ છે.
• બધી બાજુઓ સમાન ધરાવતો ચતુર્ભુજ એ સમચતુર્ભુજ છે.
• એક ચતુર્ભુજ કે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય અને બધા ખૂણા સાચા હોય તેને ચોરસ કહેવામાં આવે છે.

ચતુર્ભુજ હોઈ શકે છે:

સ્વયં છેદાય છે

બિન-બહિર્મુખ

બહિર્મુખ

સ્વ-છેદ ચતુર્ભુજએક ચતુર્ભુજ છે જેમાં તેની કોઈપણ બાજુ આંતરછેદ બિંદુ ધરાવે છે (આકૃતિમાં વાદળી રંગમાં).

બિન-બહિર્મુખ ચતુષ્કોણએ એક ચતુર્ભુજ છે જેમાં આંતરિક ખૂણોમાંથી એક 180 ડિગ્રી કરતા વધુ હોય છે (આકૃતિમાં નારંગી રંગમાં દર્શાવેલ છે).

ખૂણાઓનો સરવાળોકોઈપણ ચતુર્ભુજ કે જે સ્વ-છેદ ન હોય તે હંમેશા 360 ડિગ્રી સમાન હોય છે.

ખાસ પ્રકારના ચતુષ્કોણ

ચતુર્ભુજમાં વધારાના ગુણધર્મો હોઈ શકે છે, ખાસ પ્રકારના ભૌમિતિક આકારો બનાવે છે:

• સમાંતરગ્રામ
• લંબચોરસ
• ચોરસ
• ટ્રેપેઝોઇડ
• ડેલ્ટોઇડ
• પ્રતિસમાંતરચતુષ્કોણ

ચતુષ્કોણ અને વર્તુળ

એક ચતુર્ભુજ વર્તુળની ફરતે ઘેરાયેલું (એક વર્તુળ ચતુષ્કોણમાં અંકિત).

વર્ણવેલ ચતુષ્કોણની મુખ્ય મિલકત:

એક ચતુર્ભુજને વર્તુળની આસપાસ પરિક્રમા કરી શકાય છે જો અને માત્ર જો વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો સમાન હોય.

વર્તુળમાં અંકિત ચતુર્ભુજ (ચતુર્ભુજની ફરતે ઘેરાયેલું વર્તુળ)

અંકિત ચતુષ્કોણની મુખ્ય મિલકત:

એક ચતુર્ભુજને વર્તુળમાં અંકિત કરી શકાય છે જો અને માત્ર જો વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી જેટલો હોય.

ચતુષ્કોણની બાજુઓની લંબાઈના ગુણધર્મો

ચતુષ્કોણની કોઈપણ બે બાજુઓ વચ્ચેના તફાવતનું મોડ્યુલસતેની અન્ય બે બાજુઓના સરવાળા કરતાં વધી જતું નથી.

|a - b | ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

મહત્વપૂર્ણ. ચતુષ્કોણની બાજુઓના કોઈપણ સંયોજન માટે અસમાનતા સાચી છે. ડ્રોઇંગ ફક્ત સમજણની સરળતા માટે પ્રદાન કરવામાં આવ્યું છે.

કોઈપણ ચતુષ્કોણમાં તેની ત્રણ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો ચોથી બાજુની લંબાઈ કરતા ઓછો નથી.

મહત્વપૂર્ણ. શાળાના અભ્યાસક્રમમાં સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમે સખત અસમાનતાનો ઉપયોગ કરી શકો છો (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

વ્યાખ્યા.સમાંતર ચતુષ્કોણ એ ચતુષ્કોણ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર હોય છે.

મિલકત.સમાંતરગ્રામમાં, વિરોધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને વિરોધી ખૂણા સમાન હોય છે.

મિલકત.સમાંતરગ્રામના કર્ણને આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે.

સમાંતરગ્રામનું 1 ચિહ્ન.જો ચતુષ્કોણની બે બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય, તો ચતુષ્કોણ એ સમાંતરગ્રામ છે.

સમાંતરગ્રામનું 2 ચિહ્ન.જો ચતુર્ભુજમાં વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાન હોય, તો આ ચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે.

સમાંતરગ્રામનું 3 ચિહ્ન.જો ચતુષ્કોણના કર્ણ એકબીજાને છેદે છે અને આંતરછેદના બિંદુથી દ્વિભાજિત છે, તો ચતુર્ભુજ એ સમાંતરગ્રામ છે.

વ્યાખ્યા.ટ્રેપેઝોઇડ એ એક ચતુર્ભુજ છે જેમાં બે બાજુઓ સમાંતર હોય છે અને બીજી બે બાજુઓ સમાંતર હોતી નથી. સમાંતર બાજુઓ કહેવામાં આવે છે કારણો

ટ્રેપેઝોઇડ કહેવામાં આવે છે સમદ્વિબાજુ, જો તેની બાજુઓ સમાન હોય. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડમાં, પાયા પરના ખૂણા સમાન હોય છે.

ટ્રેપેઝોઇડ, જેનો એક ખૂણો જમણો છે, કહેવાય છે લંબચોરસ.

બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને કહેવામાં આવે છે ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખા. મધ્ય રેખા પાયાની સમાંતર છે અને તેમના અર્ધ સરવાળા જેટલી છે.

વ્યાખ્યા.લંબચોરસ એ એક સમાંતરગ્રામ છે જેના ખૂણા બરાબર છે.

મિલકત.લંબચોરસના કર્ણ સમાન છે.

લંબચોરસ ચિહ્ન.જો સમાંતરગ્રામના કર્ણ સમાન હોય, તો આ સમાંતરગ્રામ એક લંબચોરસ છે.

વ્યાખ્યા.સમચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

મિલકત.સમચતુર્ભુજના કર્ણ પરસ્પર લંબ હોય છે અને તેના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે.

વ્યાખ્યા.ચોરસ એક લંબચોરસ છે જેની તમામ બાજુઓ સમાન છે.

ચોરસ એ એક ખાસ પ્રકારનો લંબચોરસ છે, તેમજ એક ખાસ પ્રકારનો રોમ્બસ છે. તેથી તે તેમની તમામ ગુણધર્મો ધરાવે છે.

ગુણધર્મો:
1. ચોરસના બધા ખૂણા સાચા છે

2. ચોરસના કર્ણ સમાન છે, પરસ્પર કાટખૂણે છે, આંતરછેદનું બિંદુ ચોરસના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે અને દ્વિભાજિત કરે છે.

ચાર ખૂણા અને ચાર બાજુઓ સાથે. એક ચતુર્ભુજ બંધ તૂટેલી રેખા દ્વારા રચાય છે જેમાં ચાર કડીઓ હોય છે અને તૂટેલી રેખાની અંદરનો ભાગ હોય છે.

ચતુર્ભુજનું હોદ્દો તેના શિરોબિંદુ પર સ્થિત અક્ષરોથી બનેલું છે, તેમને ક્રમમાં નામ આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ કહે છે અથવા લખે છે: ચતુષ્કોણ એ બી સી ડી :

ચતુષ્કોણમાં એ બી સી ડીપોઈન્ટ એ, બી, સીઅને ડી- આ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ, સેગમેન્ટ્સ એબી, બી.સી., સીડીઅને ડી.એ. - બાજુઓ.

એક બાજુથી જોડાયેલા શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે પડોશી, પડોશી ન હોય તેવા શિરોબિંદુઓ કહેવાય છે વિરુદ્ધ:

ચતુષ્કોણમાં એ બી સી ડીશિખરો એઅને બી, બીઅને સી, સીઅને ડી, ડીઅને એ- પડોશી, અને શિરોબિંદુઓ એઅને સી, બીઅને ડી- વિરુદ્ધ. અડીને આવેલા શિરોબિંદુઓ પર આવેલા ખૂણાઓને અડીને પણ કહેવાય છે, અને વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ પર - વિરુદ્ધ.

ચતુર્ભુજની બાજુઓને જોડીમાં અડીને અને વિરુદ્ધમાં પણ વિભાજિત કરી શકાય છે: જે બાજુઓ સામાન્ય શિરોબિંદુ ધરાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે પડોશી(અથવા અડીને), બાજુઓ કે જેમાં સામાન્ય શિરોબિંદુઓ નથી - વિરુદ્ધ:

પક્ષો એબીઅને બી.સી., બી.સી.અને સીડી, સીડીઅને ડી.એ., ડી.એ.અને એબી- અડીને, અને બાજુઓ એબીઅને ડીસી, ઈ.સઅને બી.સી.- વિરુદ્ધ.

જો વિરોધી શિરોબિંદુઓ સેગમેન્ટ દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો આવા સેગમેન્ટને કહેવામાં આવશે ચતુષ્કોણનો કર્ણ. ચતુર્ભુજમાં વિરોધી શિરોબિંદુઓની માત્ર બે જોડી હોય છે તે ધ્યાનમાં લેતા, ત્યાં ફક્ત બે કર્ણ હોઈ શકે છે:

સેગમેન્ટ્સ A.C.અને બી.ડી- કર્ણ.

ચાલો બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના મુખ્ય પ્રકારોને ધ્યાનમાં લઈએ:

• ટ્રેપેઝોઇડ- એક ચતુર્ભુજ જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓની એક જોડી એકબીજાની સમાંતર હોય છે, અને બીજી જોડી સમાંતર નથી હોતી.
  • આઇસોસેલ્સ ટ્રેપેઝોઇડ- એક ટ્રેપેઝોઇડ જેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
  • લંબચોરસ ટ્રેપેઝોઇડ- ટ્રેપેઝોઇડ જેમાં એક ખૂણો સાચો હોય છે.
• સમાંતરગ્રામ- એક ચતુષ્કોણ જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓની બંને જોડી એકબીજાની સમાંતર હોય છે.
  • લંબચોરસ- એક સમાંતરગ્રામ જેમાં બધા ખૂણા સમાન હોય છે.
  • રોમ્બસ- બધી બાજુઓ સમાન ધરાવતો સમાંતરગ્રામ.
  • ચોરસ- સમાન બાજુઓ અને ખૂણાઓ સાથેનો સમાંતરગ્રામ. લંબચોરસ અને સમચતુર્ભુજ બંને એક ચોરસ હોઈ શકે છે.

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓના ગુણધર્મો

બધા બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ તેમના ખૂણા પર નીચેના બે ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1. 180° કરતા ઓછો કોઈપણ આંતરિક ખૂણો.
2. આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો 360° છે.