કેવી રીતે સાબિત કરવું કે રેખાઓ સમાંતર નથી. સમાંતર રેખાઓ, ચિહ્નો અને સમાંતર રેખાઓ માટેની શરતો

તેઓ એકબીજાને છેદતા નથી, પછી ભલે તેઓ ગમે તેટલા લાંબા સમય સુધી ચાલુ રહે. લેખિતમાં સીધી રેખાઓની સમાનતા નીચે મુજબ સૂચવવામાં આવે છે: એબી|| સાથેઇ

આવી રેખાઓના અસ્તિત્વની શક્યતા પ્રમેય દ્વારા સાબિત થાય છે.

પ્રમેય.

આપેલ રેખાની બહાર લીધેલા કોઈપણ બિંદુ દ્વારા, વ્યક્તિ આ રેખાની સમાંતર બિંદુ દોરી શકે છે.

દો એબીઆ સીધી રેખા અને સાથેઅમુક બિંદુ તેની બહાર લેવામાં આવે છે. દ્વારા તે સાબિત કરવું જરૂરી છે સાથેતમે સીધી રેખા દોરી શકો છો સમાંતરએબી. ચાલો તેને નીચે કરીએ એબીબિંદુ થી સાથે લંબસાથેડીઅને પછી અમે આચાર કરીશું સાથેઇ^ સાથેડી, જે શક્ય છે. સીધું C.E.સમાંતર એબી.

આ સાબિત કરવા માટે, ચાલો આપણે વિપરીત ધારીએ, એટલે કે, તે C.E.સાથે છેદે છે એબીઅમુક સમયે એમ. પછી બિંદુ પરથી એમસીધી રેખા સુધી સાથેડીઅમારી પાસે બે અલગ અલગ લંબ હશે એમડીઅને એમ.એસ, જે અશક્ય છે. અર્થ, C.E.સાથે પાર કરી શકતા નથી એબી, એટલે કે સાથેઇસમાંતર એબી.

પરિણામ.

બે લંબ (Cઇઅનેડી.બી.) એક સીધી રેખા (Cડી) સમાંતર છે.

સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ.

એક જ બિંદુ દ્વારા એક જ રેખાની સમાંતર બે અલગ અલગ રેખાઓ દોરવી અશક્ય છે.

તેથી, જો સીધા સાથેડી, બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવે છે સાથેરેખાની સમાંતર એબી, પછી દરેક બીજી લાઇન સાથેઇ, સમાન બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવે છે સાથે, સમાંતર ન હોઈ શકે એબી, એટલે કે તેણી ચાલુ છે છેદશેસાથે એબી.

આ સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ સત્ય નથી સાબિત કરવું અશક્ય છે. તે જરૂરી ધારણા (પોસ્ટ્યુલેટમ) તરીકે, પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવે છે.

પરિણામો.

1. જો સીધા(સાથેઇ) એક સાથે છેદે છે સમાંતર(NE), પછી તે બીજા સાથે છેદે છે ( એબી), કારણ કે અન્યથા સમાન બિંદુ દ્વારા સાથેસમાંતર પસાર થતી બે જુદી જુદી રેખાઓ હશે એબી, જે અશક્ય છે.

2. જો બેમાંથી દરેક પ્રત્યક્ષ (એઅનેબી) એ જ ત્રીજી રેખાની સમાંતર છે ( સાથે) , પછી તેઓ સમાંતરપોતાની વચ્ચે.

ખરેખર, જો આપણે ધારીએ તો એઅને બીઅમુક બિંદુએ છેદે એમ, તો આ બિંદુની સમાંતર બે અલગ અલગ રેખાઓ પસાર થશે સાથે, જે અશક્ય છે.

પ્રમેય.

જો રેખા લંબ છેસમાંતર રેખાઓમાંથી એક પર, પછી તે બીજી તરફ લંબરૂપ છે સમાંતર.

દો એબી || સાથેડીઅને ઇ.એફ. ^ એબી.તે સાબિત કરવું જરૂરી છે ઇ.એફ. ^ સાથેડી.

લંબરૂપઇએફ, સાથે છેદે છે એબી, ચોક્કસપણે પાર કરશે અને સાથેડી. આંતરછેદ બિંદુ રહેવા દો એચ.

ચાલો હવે તે માની લઈએ સાથેડીમાટે લંબ નથી ઇ.એચ.. પછી કેટલીક અન્ય સીધી રેખા, ઉદાહરણ તરીકે એચ.કે., માટે લંબરૂપ હશે ઇ.એચ.અને તેથી તે જ બિંદુ દ્વારા એચત્યાં બે હશે સીધી સમાંતર એબી: એક સાથેડી, શરત દ્વારા, અને અન્ય એચ.કે.અગાઉ સાબિત થયા મુજબ. કારણ કે આ અશક્ય છે, એવું માની શકાય નહીં NEમાટે લંબરૂપ ન હતું ઇ.એચ..

પ્લેન પર, રેખાઓને સમાંતર કહેવામાં આવે છે જો તેમની પાસે સામાન્ય બિંદુઓ ન હોય, એટલે કે, તેઓ છેદતી નથી. સમાનતા દર્શાવવા માટે, વિશિષ્ટ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો || (સમાંતર રેખાઓ a || b).

અવકાશમાં પડેલી રેખાઓ માટે, ત્યાં કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી તે આવશ્યકતા પર્યાપ્ત નથી - તેમને અવકાશમાં સમાંતર રહેવા માટે, તેઓ સમાન પ્લેન સાથે જોડાયેલા હોવા જોઈએ (અન્યથા તેઓ છેદતી હશે).

તમારે સમાંતર રેખાઓના ઉદાહરણો માટે દૂર જવાની જરૂર નથી; તેઓ રૂમમાં દરેક જગ્યાએ અમારી સાથે છે - આ છત અને ફ્લોર સાથે દિવાલના આંતરછેદની રેખાઓ છે, નોટબુક શીટ પર - વિરુદ્ધ ધાર, વગેરે.

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે, પ્રથમ બેમાંથી એકની સમાંતર બે રેખાઓ અને ત્રીજી રેખા સમાંતર હોવાને કારણે, તે બીજી રેખાની પણ સમાંતર હશે.

પ્લેન પરની સમાંતર રેખાઓ એવા વિધાન દ્વારા સંબંધિત છે જે પ્લેનિમેટ્રીના સ્વયંસિદ્ધનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાતી નથી. તે એક તથ્ય તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે, એક સ્વયંસિદ્ધ તરીકે: પ્લેન પરના કોઈપણ બિંદુ માટે કે જે રેખા પર ન હોય, ત્યાં એક અનન્ય રેખા છે જે આપેલ એકની સમાંતર તેમાંથી પસાર થાય છે. દરેક છઠ્ઠા ધોરણનો વિદ્યાર્થી આ સિદ્ધાંત જાણે છે.

તેનું અવકાશી સામાન્યીકરણ, એટલે કે, અવકાશના કોઈપણ બિંદુ માટે કે જે રેખા પર ન હોય, ત્યાં એક અનન્ય રેખા છે જે આપેલ એકની સમાંતર તેમાંથી પસાર થાય છે, તે વિધાન પર સમાંતરતાના પહેલાથી જાણીતા સ્વયંસિદ્ધનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી સાબિત થાય છે. વિમાન

સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મો

• જો બે સમાંતર રેખાઓમાંથી કોઈપણ ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો તે પરસ્પર સમાંતર હોય છે.

પ્લેન અને સ્પેસ બંનેમાં સમાંતર રેખાઓ આ ગુણધર્મ ધરાવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટીરિયોમેટ્રીમાં તેના વાજબીતાને ધ્યાનમાં લો.

ચાલો ધારીએ કે રેખાઓ b અને રેખા a સમાંતર છે.

જ્યારે બધી સીધી રેખાઓ એક જ સમતલમાં પ્લેનિમેટ્રીમાં હોય ત્યારે અમે કેસ છોડી દઈશું.

ધારો કે a અને b બીટા પ્લેન સાથે સંબંધિત છે, અને ગામા એ પ્લેન છે કે જેમાં a અને c સંબંધ ધરાવે છે (અવકાશમાં સમાંતરતાની વ્યાખ્યા દ્વારા, સીધી રેખાઓ સમાન વિમાનની હોવી જોઈએ).

જો આપણે ધારીએ કે બીટા અને ગામા પ્લેન અલગ છે અને બીટા પ્લેનમાંથી લીટી b પર ચોક્કસ બિંદુ B ને ચિહ્નિત કરીએ છીએ, તો બિંદુ B અને રેખા c દ્વારા દોરવામાં આવેલ પ્લેન બીટા પ્લેનને સીધી રેખામાં છેદે છે (ચાલો તેને b1 દર્શાવીએ) .

જો પરિણામી સીધી રેખા b1 ગામા પ્લેનને છેદે છે, તો પછી, એક તરફ, આંતરછેદ બિંદુ a પર આવેલું હોવું જોઈએ, કારણ કે b1 બીટા પ્લેનનું છે, અને બીજી બાજુ, તે c નું પણ હોવું જોઈએ, કારણ કે b1 ત્રીજા પ્લેનનું છે.
પરંતુ સમાંતર રેખાઓ a અને c ને છેદે ન જોઈએ.

આમ, રેખા b1 એ બેટા પ્લેન સાથે સંબંધિત હોવી જોઈએ અને તે જ સમયે a સાથે સામાન્ય બિંદુઓ ન હોવા જોઈએ, તેથી, સમાંતરતા સ્વયંસિદ્ધ અનુસાર, તે b સાથે એકરુપ છે.
અમે રેખા b સાથે એકરૂપ રેખા b1 મેળવી છે, જે રેખા c સાથે સમાન સમતલની છે અને તેને છેદેતી નથી, એટલે કે b અને c સમાંતર છે.

• આપેલ રેખા પર આવેલા ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, ફક્ત એક જ સીધી રેખા આપેલ રેખાને સમાંતર પસાર કરી શકે છે.

• ત્રીજી તરફ લંબરૂપ સમતલ પર પડેલી બે રેખાઓ સમાંતર છે.

• જો પ્લેન બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો બીજી રેખા પણ સમાન સમતલને છેદે છે.

• તૃતીયાંશ સાથે બે સમાંતર સીધી રેખાઓના આંતરછેદ દ્વારા બનેલા અનુરૂપ અને ક્રોસ-લીંગ આંતરિક ખૂણા સમાન છે, રચાયેલા આંતરિક એક-બાજુવાળા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે.

વિરોધાભાસી નિવેદનો પણ સાચા છે, જેને બે સીધી રેખાઓની સમાનતાના ચિહ્નો તરીકે લઈ શકાય છે.

સમાંતર રેખાઓ માટેની સ્થિતિ

ઉપર ઘડવામાં આવેલ ગુણધર્મો અને લાક્ષણિકતાઓ રેખાઓની સમાંતરતા માટેની શરતોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને તે ભૂમિતિની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, હાલની બે રેખાઓની સમાંતરતાને સાબિત કરવા માટે, તે તેમની સમાંતરતાને ત્રીજી રેખા અથવા ખૂણાઓની સમાનતા સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે, પછી ભલે તે અનુરૂપ હોય કે ક્રોસવાઇઝ, વગેરે.

પુરાવા માટે, તેઓ મુખ્યત્વે "વિરોધાભાસ દ્વારા" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે, એટલે કે, ધારણા સાથે કે રેખાઓ સમાંતર નથી. આ ધારણાના આધારે, તે સરળતાથી બતાવી શકાય છે કે આ કિસ્સામાં નિર્દિષ્ટ શરતોનું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવ્યું છે, ઉદાહરણ તરીકે, એકબીજા પર પડેલા આંતરિક ખૂણાઓ અસમાન હોવાનું બહાર આવે છે, જે બનાવેલ ધારણાની અયોગ્યતાને સાબિત કરે છે.

બે રેખાઓની સમાંતરતાના ચિહ્નો

પ્રમેય 1. જો, જ્યારે બે રેખાઓ સેકન્ટ સાથે છેદે છે:

ક્રોસ કરેલા ખૂણા સમાન છે, અથવા

અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, અથવા

એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે, પછી

રેખાઓ સમાંતર છે(ફિગ. 1).

પુરાવો. અમે કેસ 1 સાબિત કરવા માટે અમારી જાતને મર્યાદિત કરીએ છીએ.

છેદતી રેખાઓ a અને b ને ક્રોસવાઇઝ થવા દો અને ખૂણા AB સમાન થવા દો. ઉદાહરણ તરીકે, ∠ 4 = ∠ 6. ચાલો સાબિત કરીએ કે a || b

ધારો કે રેખાઓ a અને b સમાંતર નથી. પછી તેઓ અમુક બિંદુ M પર છેદે છે અને તેથી, 4 અથવા 6 માંથી એક કોણ ત્રિકોણ ABM નો બાહ્ય કોણ હશે. નિશ્ચિતતા માટે, ∠ 4 એ ત્રિકોણ ABM નો બાહ્ય કોણ અને ∠ 6 એ આંતરિક ખૂણો છે. ત્રિકોણના બાહ્ય કોણ પરના પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે કે ∠ 4 એ ∠ 6 કરતા મોટો છે, અને આ સ્થિતિનો વિરોધાભાસ કરે છે, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ a અને 6 એકબીજાને છેદતી નથી, તેથી તેઓ સમાંતર છે.

કોરોલરી 1. સમાન રેખાના લંબરૂપ સમતલમાં બે જુદી જુદી રેખાઓ સમાંતર હોય છે(ફિગ. 2).

ટિપ્પણી. આપણે જે રીતે પ્રમેય 1 નો કેસ 1 સાબિત કર્યો છે તેને વિરોધાભાસ અથવા વાહિયાતતામાં ઘટાડો દ્વારા સાબિતીની પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિને તેનું પ્રથમ નામ મળ્યું કારણ કે દલીલની શરૂઆતમાં એક ધારણા કરવામાં આવે છે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે તેનાથી વિરુદ્ધ (વિરુદ્ધ) છે. તે હકીકતને કારણે વાહિયાતતા તરફ દોરી કહેવાય છે કે, ધારણાના આધારે તર્ક કરીને, આપણે વાહિયાત નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ (વાહિયાત તરફ). આવા નિષ્કર્ષ પ્રાપ્ત કરવાથી આપણે શરૂઆતમાં બનાવેલી ધારણાને નકારી કાઢવા અને જે સાબિત કરવાની જરૂર છે તેને સ્વીકારવાની ફરજ પાડે છે.

કાર્ય 1.આપેલ બિંદુ M માંથી પસાર થતી રેખા બનાવો અને આપેલ રેખા a ની સમાંતર, બિંદુ M માંથી પસાર થતી નથી.

ઉકેલ. અમે બિંદુ M દ્વારા સીધી રેખા a (ફિગ. 3) પર લંબરૂપ સીધી રેખા p દોરીએ છીએ.

પછી આપણે રેખા p પર લંબરૂપ M બિંદુ દ્વારા બી રેખા દોરીએ છીએ. પ્રમેય 1 ના કોરોલરી અનુસાર રેખા b એ રેખા aની સમાંતર છે.

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી સમસ્યામાંથી એક મહત્વપૂર્ણ નિષ્કર્ષ નીચે મુજબ છે:
આપેલ રેખા પર ન પડેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા દોરવાનું હંમેશા શક્ય છે.

સમાંતર રેખાઓની મુખ્ય મિલકત નીચે મુજબ છે.

સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ. આપેલ બિંદુ દ્વારા જે આપેલ રેખા પર આવેલો નથી, ત્યાં આપેલ એકની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે.

ચાલો સમાંતર રેખાઓના કેટલાક ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ જે આ ગૃહીતથી અનુસરે છે.

1) જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજીને પણ છેદે છે (ફિગ. 4).

2) જો બે જુદી જુદી રેખાઓ ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો તે સમાંતર છે (ફિગ. 5).

નીચેનું પ્રમેય પણ સાચું છે.

પ્રમેય 2. જો બે સમાંતર રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ દ્વારા છેદે છે, તો:

ક્રોસવાઇઝ ખૂણા સમાન છે;

અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે;

એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે.

કોરોલરી 2. જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને લંબરૂપ હોય, તો તે બીજી રેખાને પણ લંબરૂપ હોય છે.(ફિગ 2 જુઓ).

ટિપ્પણી. પ્રમેય 2 ને પ્રમેય 1 નું વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે. પ્રમેય 1 નું નિષ્કર્ષ એ પ્રમેય 2 ની સ્થિતિ છે. અને પ્રમેય 1 ની સ્થિતિ પ્રમેય 2 નું નિષ્કર્ષ છે. દરેક પ્રમેયમાં વ્યસ્ત નથી, એટલે કે, જો આપેલ પ્રમેય સાચું, તો વિપરીત પ્રમેય ખોટું હોઈ શકે છે.

ચાલો ઊભી ખૂણા પરના પ્રમેયના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આને સમજાવીએ. આ પ્રમેય નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: જો બે ખૂણા ઊભા હોય, તો તે સમાન હોય છે. કન્વર્ઝ પ્રમેય આ હશે: જો બે ખૂણા સમાન હોય, તો તે લંબરૂપ છે. અને આ, અલબત્ત, સાચું નથી. બે સમાન ખૂણાઓ ઊભા હોવા જરૂરી નથી.

ઉદાહરણ 1.બે સમાંતર રેખાઓ ત્રીજા દ્વારા ઓળંગી છે. તે જાણીતું છે કે બે આંતરિક એકતરફી કોણ વચ્ચેનો તફાવત 30° છે. આ ખૂણાઓ શોધો.

ઉકેલ. આકૃતિ 6 ને શરત પૂરી કરવા દો.

આ લેખમાં આપણે સમાંતર રેખાઓ વિશે વાત કરીશું, વ્યાખ્યાઓ આપીશું અને સમાંતરતાના સંકેતો અને શરતોની રૂપરેખા આપીશું. સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને સ્પષ્ટ બનાવવા માટે, અમે લાક્ષણિક ઉદાહરણો માટે ચિત્રો અને ઉકેલોનો ઉપયોગ કરીશું.

Yandex.RTB R-A-339285-1 વ્યાખ્યા 1

પ્લેન પર સમાંતર રેખાઓ- પ્લેન પર બે સીધી રેખાઓ જેમાં કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી.

વ્યાખ્યા 2

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સમાંતર રેખાઓ- ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બે સીધી રેખાઓ, એક જ પ્લેનમાં પડેલી અને કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી.

એ નોંધવું જરૂરી છે કે અવકાશમાં સમાંતર રેખાઓ નિર્ધારિત કરવા માટે, "એક જ પ્લેનમાં પડેલી" સ્પષ્ટતા અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે: ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બે રેખાઓ કે જેમાં સામાન્ય બિંદુઓ નથી અને તે જ પ્લેનમાં આવેલા નથી તે સમાંતર નથી. , પરંતુ છેદે છે.

સમાંતર રેખાઓ દર્શાવવા માટે, પ્રતીક ∥ નો ઉપયોગ કરવો સામાન્ય છે. એટલે કે, જો આપેલ રેખાઓ a અને b સમાંતર હોય, તો આ સ્થિતિ સંક્ષિપ્તમાં નીચે પ્રમાણે લખવી જોઈએ: a ‖ b. મૌખિક રીતે, રેખાઓની સમાંતરતા નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: રેખાઓ a અને b સમાંતર છે, અથવા રેખા a એ રેખા bની સમાંતર છે, અથવા રેખા b રેખા aની સમાંતર છે.

ચાલો એક નિવેદન ઘડીએ જે અભ્યાસ હેઠળના વિષયમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે.

સ્વયંસિદ્ધ

આપેલ રેખાથી સંબંધિત ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર એકમાત્ર સીધી રેખા પસાર થાય છે. આ વિધાન પ્લાનિમેટ્રીના જાણીતા સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના આધારે સાબિત કરી શકાતું નથી.

એવા કિસ્સામાં જ્યારે આપણે અવકાશ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, પ્રમેય સાચું છે:

પ્રમેય 1

અવકાશના કોઈપણ બિંદુ દ્વારા જે આપેલ રેખાથી સંબંધિત નથી, ત્યાં આપેલ રેખાની સમાંતર એક સીધી રેખા હશે.

ઉપરોક્ત સ્વયંસિદ્ધ (ગ્રેડ 10 - 11 માટે ભૂમિતિ પ્રોગ્રામ) ના આધારે આ પ્રમેય સાબિત કરવું સરળ છે.

સમાંતર માપદંડ એ એક પર્યાપ્ત સ્થિતિ છે, જેની પરિપૂર્ણતા રેખાઓની સમાંતરતાની બાંયધરી આપે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા સમાનતાની હકીકતની પુષ્ટિ કરવા માટે પૂરતી છે.

ખાસ કરીને, પ્લેન અને અવકાશમાં રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો છે. ચાલો સમજાવીએ: જરૂરી એટલે સમાંતર રેખાઓ માટે જરૂરી એવી સ્થિતિ; જો તે પરિપૂર્ણ ન થાય, તો રેખાઓ સમાંતર નથી.

સારાંશ માટે, રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ એવી શરત છે કે જેનું પાલન રેખાઓ એકબીજાની સમાંતર હોય તે માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે. એક તરફ, આ સમાંતરતાની નિશાની છે, બીજી તરફ, તે સમાંતર રેખાઓમાં સહજ મિલકત છે.

જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિની ચોક્કસ રચના આપતા પહેલા, ચાલો આપણે થોડા વધારાના ખ્યાલો યાદ કરીએ.

વ્યાખ્યા 3

સેકન્ટ લાઇન– આપેલ બેમાંથી દરેકને છેદતી એક સીધી રેખા.

બે સીધી રેખાઓને છેદે છે, ટ્રાંસવર્સલ આઠ અવિકસિત ખૂણા બનાવે છે. આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરત ઘડવા માટે, અમે ક્રોસ્ડ, અનુરૂપ અને એકતરફી જેવા પ્રકારના ખૂણાઓનો ઉપયોગ કરીશું. ચાલો તેમને ચિત્રમાં દર્શાવીએ:

પ્રમેય 2

જો એક સમતલમાં બે રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ દ્વારા છેદે છે, તો આપેલ રેખાઓ સમાંતર હોવા માટે તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે છેદતા ખૂણા સમાન હોય, અથવા અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય, અથવા એક-બાજુવાળા ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન હોય. 180 ડિગ્રી.

ચાલો પ્લેન પર રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિને ગ્રાફિકલી સમજાવીએ:

આ શરતોનો પુરાવો ગ્રેડ 7 - 9 માટેના ભૂમિતિ પ્રોગ્રામમાં હાજર છે.

સામાન્ય રીતે, આ શરતો ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા પર પણ લાગુ પડે છે, જો કે બે રેખાઓ અને એક સેકન્ટ એક જ પ્લેન સાથે સંબંધિત હોય.

ચાલો આપણે થોડા વધુ પ્રમેય સૂચવીએ જેનો ઉપયોગ ઘણીવાર એ હકીકતને સાબિત કરવા માટે થાય છે કે રેખાઓ સમાંતર છે.

પ્રમેય 3

પ્લેન પર, ત્રીજાની સમાંતર બે રેખાઓ એકબીજાની સમાંતર હોય છે. આ લક્ષણ ઉપર દર્શાવેલ સમાંતર સ્વતતિના આધારે સાબિત થાય છે.

પ્રમેય 4

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, ત્રીજાની સમાંતર બે રેખાઓ એકબીજાની સમાંતર હોય છે.

10મા ધોરણના ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં નિશાનીના પુરાવાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

ચાલો આ પ્રમેયનું ઉદાહરણ આપીએ:

ચાલો પ્રમેયની એક વધુ જોડી સૂચવીએ જે રેખાઓની સમાનતા સાબિત કરે છે.

પ્રમેય 5

પ્લેન પર, ત્રીજા ભાગની લંબરૂપ બે રેખાઓ એકબીજાની સમાંતર હોય છે.

ચાલો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ માટે સમાન વસ્તુ ઘડીએ.

પ્રમેય 6

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, ત્રીજા ભાગની લંબરૂપ બે રેખાઓ એકબીજાની સમાંતર હોય છે.

ચાલો સમજાવીએ:

ઉપરોક્ત તમામ પ્રમેય, ચિહ્નો અને શરતો ભૂમિતિની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને રેખાઓની સમાંતરતાને અનુકૂળ રીતે સાબિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે. એટલે કે, રેખાઓની સમાંતરતાને સાબિત કરવા માટે, કોઈ બતાવી શકે છે કે અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, અથવા એ હકીકત દર્શાવી શકે છે કે આપેલ બે રેખાઓ ત્રીજી સાથે લંબ છે, વગેરે. પરંતુ નોંધ કરો કે પ્લેન પર અથવા ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં રેખાઓની સમાંતરતાને સાબિત કરવા માટે સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે.

લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં રેખાઓની સમાંતરતા

આપેલ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, સંભવિત પ્રકારોમાંથી એકના પ્લેન પર સીધી રેખાના સમીકરણ દ્વારા સીધી રેખા નક્કી કરવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં વ્યાખ્યાયિત સીધી રેખા અવકાશમાં સીધી રેખા માટેના કેટલાક સમીકરણોને અનુરૂપ છે.

ચાલો આપેલ રેખાઓનું વર્ણન કરતા સમીકરણના પ્રકારને આધારે લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો લખીએ.

ચાલો પ્લેન પર રેખાઓની સમાંતરતાની સ્થિતિથી પ્રારંભ કરીએ. તે રેખાના દિશા વેક્ટર અને પ્લેન પરની રેખાના સામાન્ય વેક્ટરની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે.

પ્રમેય 7

સમતલ પર બે બિન-સંયોગી રેખાઓ સમાંતર હોય તે માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આપેલ રેખાઓના દિશા વેક્ટર સમરેખીય હોય, અથવા આપેલ રેખાઓના સામાન્ય વેક્ટર સમરેખીય હોય, અથવા એક રેખાનો દિશા વેક્ટર લંબરૂપ હોય. બીજી રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર.

તે સ્પષ્ટ બને છે કે પ્લેન પર રેખાઓની સમાંતરતાની સ્થિતિ વેક્ટરની સમકક્ષતાની સ્થિતિ અથવા બે વેક્ટરની લંબરૂપતાની સ્થિતિ પર આધારિત છે. એટલે કે, જો a → = (a x , a y) અને b → = (b x , b y) એ a અને b રેખાઓના દિશા વેક્ટર છે;

અને n b → = (n b x , n b y) એ રેખાઓ a અને b ના સામાન્ય વેક્ટર છે, તો પછી આપણે ઉપરોક્ત જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ નીચે પ્રમાણે લખીએ છીએ: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y અથવા n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y અથવા a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , જ્યાં t એ અમુક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. માર્ગદર્શિકાઓ અથવા સીધા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સીધી રેખાઓના આપેલ સમીકરણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ચાલો મુખ્ય ઉદાહરણો જોઈએ.

1. લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં રેખા a એ રેખાના સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; સીધી રેખા b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. પછી આપેલ રેખાઓના સામાન્ય વેક્ટરમાં અનુક્રમે કોઓર્ડિનેટ્સ (A 1, B 1) અને (A 2, B 2) હશે. અમે નીચે પ્રમાણે સમાંતર સ્થિતિ લખીએ છીએ:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. રેખા a એ y = k 1 x + b 1 સ્વરૂપની ઢાળવાળી રેખાના સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. સીધી રેખા b - y = k 2 x + b 2. પછી આપેલ રેખાઓના સામાન્ય વેક્ટરમાં અનુક્રમે કોઓર્ડિનેટ્સ (k 1, - 1) અને (k 2, - 1) હશે, અને આપણે નીચે પ્રમાણે સમાંતર સ્થિતિ લખીશું:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

આમ, જો લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પ્લેન પરની સમાંતર રેખાઓ કોણીય ગુણાંક સાથેના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો આપેલ રેખાઓના કોણીય ગુણાંક સમાન હશે. અને વિરુદ્ધ વિધાન સાચું છે: જો લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પ્લેન પર બિન-સંયોગી રેખાઓ સમાન કોણીય ગુણાંક સાથેની રેખાના સમીકરણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તો આ આપેલ રેખાઓ સમાંતર છે.

1. લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં રેખાઓ a અને b પ્લેન પરની રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: x - x 1 a x = y - y 1 a y અને x - x 2 b x = y - 2 b y અથવા પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા પ્લેન પરની રેખા: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y અને x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

પછી આપેલ રેખાઓના દિશા વેક્ટર હશે: a x, a y અને b x, b y, અનુક્રમે, અને આપણે નીચે પ્રમાણે સમાંતર સ્થિતિ લખીશું:

a x = t b x a y = t b y

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1

બે લીટીઓ આપવામાં આવી છે: 2 x - 3 y + 1 = 0 અને x 1 2 + y 5 = 1. તે નક્કી કરવું જરૂરી છે કે શું તેઓ સમાંતર છે.

ઉકેલ

ચાલો સામાન્ય સમીકરણના રૂપમાં સેગમેન્ટમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ લખીએ:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

આપણે જોઈએ છીએ કે n a → = (2, - 3) એ રેખા 2 x - 3 y + 1 = 0 નો સામાન્ય વેક્ટર છે, અને n b → = 2, 1 5 એ રેખા x 1 2 + y 5 નો સામાન્ય વેક્ટર છે. = 1.

પરિણામી વેક્ટર સમરેખા નથી, કારણ કે તત્નું એવું કોઈ મૂલ્ય નથી કે જે સમાનતા સાચી હશે:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

આમ, પ્લેન પર રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ સંતુષ્ટ નથી, જેનો અર્થ છે કે આપેલ રેખાઓ સમાંતર નથી.

જવાબ:આપેલ રેખાઓ સમાંતર નથી.

ઉદાહરણ 2

રેખાઓ y = 2 x + 1 અને x 1 = y - 4 2 આપવામાં આવી છે. શું તેઓ સમાંતર છે?

ઉકેલ

ચાલો સીધી રેખા x 1 = y - 4 2 ના પ્રમાણભૂત સમીકરણને ઢોળાવ સાથેની સીધી રેખાના સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

આપણે જોઈએ છીએ કે રેખાઓ y = 2 x + 1 અને y = 2 x + 4 ના સમીકરણો સમાન નથી (જો તે અન્યથા હોત, તો રેખાઓ સંયોગી હોત) અને રેખાઓના કોણીય ગુણાંક સમાન છે, જેનો અર્થ છે આપેલ રેખાઓ સમાંતર છે.

ચાલો સમસ્યાને અલગ રીતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. પ્રથમ, ચાલો તપાસીએ કે આપેલ રેખાઓ એકરૂપ છે કે કેમ. આપણે લીટી y = 2 x + 1 પર કોઈપણ બિંદુનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, (0, 1), આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ રેખા x 1 = y - 4 2 ના સમીકરણને અનુરૂપ નથી, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ શું કરે છે સુસંગત નથી.

આગળનું પગલું એ નક્કી કરવાનું છે કે આપેલ રેખાઓની સમાંતરતાની સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે કે કેમ.

રેખા y = 2 x + 1 નો સામાન્ય વેક્ટર એ વેક્ટર n a → = (2 , - 1) છે , અને બીજી આપેલ રેખાની દિશા વેક્ટર b → = (1 , 2) છે. આ વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

આમ, વેક્ટર્સ લંબરૂપ છે: આ આપણને મૂળ રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા દર્શાવે છે. તે. આપેલ રેખાઓ સમાંતર છે.

જવાબ:આ રેખાઓ સમાંતર છે.

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશની લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં રેખાઓની સમાંતરતાને સાબિત કરવા માટે, નીચેની આવશ્યક અને પર્યાપ્ત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય 8

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બે બિન-સંયોગી રેખાઓ સમાંતર હોવા માટે, આ રેખાઓના દિશા વેક્ટર સમરેખા હોવા જરૂરી અને પૂરતું છે.

તે. ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં રેખાઓના સમીકરણોને જોતાં, પ્રશ્નનો જવાબ: શું તેઓ સમાંતર છે કે નહીં, આપેલ રેખાઓના દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીને, તેમજ તેમની સમકક્ષતાની સ્થિતિ તપાસીને મળી આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો a → = (a x, a y, a z) અને b → = (b x, b y, b z) એ અનુક્રમે a અને b રેખાઓના દિશા વેક્ટર છે, તો તેમને સમાંતર હોવા માટે, અસ્તિત્વ આવી વાસ્તવિક સંખ્યા t જરૂરી છે, જેથી સમાનતા જળવાઈ રહે:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

ઉદાહરણ 3

રેખાઓ x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 અને x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ આપેલ છે. આ રેખાઓની સમાંતરતા સાબિત કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ

સમસ્યાની શરતો અવકાશમાં એક રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો અને અવકાશમાં બીજી રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે. માર્ગદર્શક વેક્ટર્સ a → અને b → આપેલ લીટીઓમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે: (1, 0, - 3) અને (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , પછી a → = 1 2 · b → .

પરિણામે, અવકાશમાં રેખાઓની સમાંતરતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે.

જવાબ:આપેલ રેખાઓની સમાંતરતા સાબિત થાય છે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

પ્રશ્નના વિભાગમાં કેવી રીતે સાબિત કરવું કે રેખાઓ સમાંતર છે???? લેખક દ્વારા આપવામાં આવેલ છે એલોન્કા યાકોવલેવાશ્રેષ્ઠ જવાબ છે સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મો
પ્રમેય
ત્રીજાની સમાંતર બે રેખાઓ સમાંતર છે.
પુરાવો.
રેખાઓ a અને b ને રેખા c ની સમાંતર રહેવા દો. ચાલો ધારીએ કે રેખાઓ a અને b સમાંતર નથી. પછી તેઓ અમુક બિંદુ C પર છેદે છે. તે તારણ આપે છે કે બિંદુ C દ્વારા સીધી રેખા c ની સમાંતર બે સીધી રેખાઓ છે. પરંતુ આ સ્વયંસિદ્ધનો વિરોધાભાસ કરે છે "આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, તમે આપેલ રેખાની સમાંતર એક કરતાં વધુ સીધી રેખા દોરી શકતા નથી." પ્રમેય સાબિત થયો છે.
પ્રમેય
જો બે સમાંતર રેખાઓ ત્રીજી રેખા દ્વારા છેદે છે, તો છેદતા આંતરિક ખૂણાઓ સમાન છે.
પુરાવો.
ચાલો ત્યાં સમાંતર રેખાઓ a અને b છે જે એક સેકન્ટ રેખા c દ્વારા છેદે છે. રેખા c રેખા a ને બિંદુ A પર અને રેખા b ને બિંદુ B પર છેદે છે. ચાલો બિંદુ A થી રેખા a1 દોરીએ જેથી ટ્રાંસવર્સલ c સાથે a1 અને b રેખાઓ ક્રોસવાઇઝ સ્થિત સમાન આંતરિક ખૂણા બનાવે. રેખાઓની સમાંતરતાના માપદંડ મુજબ, રેખાઓ a1 અને b સમાંતર છે. અને કારણ કે બિંદુ A દ્વારા b ની સમાંતર માત્ર એક રેખા દોરી શકાય છે, પછી a અને a1 એકરૂપ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે a અને b રેખાઓ દ્વારા રચાયેલા આંતરિક ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ સમાન છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.
પ્રમેયના આધારે તે સાબિત થાય છે:
જો બે સમાંતર રેખાઓ ત્રીજી રેખા દ્વારા છેદે છે, તો અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે.
જો બે સમાંતર રેખાઓ ત્રીજી રેખા દ્વારા છેદે છે, તો આંતરિક એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો 180º છે.