લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને કેવી રીતે હલ કરવી. લઘુગણક અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

ઉપયોગમાં લોગરિધમિક અસમાનતાઓ

સેચિન મિખાઇલ એલેક્ઝાન્ડ્રોવિચ

કઝાકિસ્તાન પ્રજાસત્તાકના વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્મોલ એકેડેમી ઓફ સાયન્સિસ "ઇસ્કેટેલ"

MBOU "સોવેત્સ્કાયા માધ્યમિક શાળા નંબર 1", 11 મા ધોરણ, શહેર. સોવેત્સ્કી સોવેત્સ્કી જિલ્લો

ગુન્કો લ્યુડમિલા દિમિત્રીવના, મ્યુનિસિપલ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા "સોવેત્સ્કાયા માધ્યમિક શાળા નંબર 1" ના શિક્ષક

સોવેત્સ્કી જિલ્લો

કાર્યનો હેતુ:લોગરીધમ વિશે રસપ્રદ તથ્યો ઓળખવા, બિન-માનક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણક અસમાનતા C3 ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિનો અભ્યાસ.

સંશોધનનો વિષય:

3) બિન-માનક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વિશિષ્ટ લઘુગણક અસમાનતા C3 ઉકેલવાનું શીખો.

પરિણામો:

સામગ્રી

પરિચય………………………………………………………………………………….4

પ્રકરણ 1. મુદ્દાનો ઈતિહાસ……………………………………………………….5

પ્રકરણ 2. લઘુગણક અસમાનતાઓનો સંગ્રહ ……………………… 7

2.1. સમકક્ષ સંક્રમણો અને અંતરાલોની સામાન્યકૃત પદ્ધતિ……………

2.2. તર્કસંગત પદ્ધતિ……………………………………………………………… 15

2.3. બિન-માનક અવેજી……………………………………………… ............ ..... 22

2.4. ફાંસો સાથેના કાર્યો………………………………………………27

નિષ્કર્ષ……………………………………………………………………………… 30

સાહિત્ય ………………………………………………………………. 31

પરિચય

હું 11મા ધોરણમાં છું અને એવી યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશવાની યોજના કરું છું જ્યાં મુખ્ય વિષય ગણિત હોય. તેથી જ હું ભાગ C માં સમસ્યાઓ સાથે ઘણું કામ કરું છું. કાર્ય C3 માં, મારે બિન-માનક અસમાનતા અથવા અસમાનતાઓની સિસ્ટમને હલ કરવાની જરૂર છે, સામાન્ય રીતે લઘુગણકથી સંબંધિત. પરીક્ષાની તૈયારી કરતી વખતે, C3 માં ઓફર કરાયેલ પરીક્ષા લઘુગણક અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ અને તકનીકોની અછતની સમસ્યાનો મને સામનો કરવો પડ્યો. આ વિષય પર શાળાના અભ્યાસક્રમમાં જે પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તે C3 કાર્યોને ઉકેલવા માટેનો આધાર પૂરો પાડતી નથી. ગણિત શિક્ષકે સૂચવ્યું કે હું તેમના માર્ગદર્શન હેઠળ C3 સોંપણીઓ પર સ્વતંત્ર રીતે કામ કરું. વધુમાં, મને પ્રશ્નમાં રસ હતો: શું આપણે આપણા જીવનમાં લઘુગણકનો સામનો કરીએ છીએ?

આને ધ્યાનમાં રાખીને, વિષય પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો:

"યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં લઘુગણક અસમાનતા"

કાર્યનો હેતુ:બિન-માનક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને C3 સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિનો અભ્યાસ, લઘુગણક વિશે રસપ્રદ તથ્યો ઓળખવા.

સંશોધનનો વિષય:

1) લઘુગણક અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે બિન-માનક પદ્ધતિઓ વિશે જરૂરી માહિતી મેળવો.

2) લઘુગણક વિશે વધારાની માહિતી મેળવો.

3) બિન-માનક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વિશિષ્ટ C3 સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખો.

પરિણામો:

વ્યવહારુ મહત્વ C3 સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેના ઉપકરણના વિસ્તરણમાં રહેલું છે. આ સામગ્રીનો ઉપયોગ કેટલાક પાઠોમાં, ક્લબ માટે અને ગણિતના વૈકલ્પિક વર્ગોમાં થઈ શકે છે.

પ્રોજેક્ટ ઉત્પાદન "સોલ્યુશન્સ સાથે C3 લોગરીધમિક અસમાનતા" સંગ્રહ હશે.

પ્રકરણ 1. પૃષ્ઠભૂમિ

સમગ્ર 16મી સદી દરમિયાન, અંદાજિત ગણતરીઓની સંખ્યામાં ઝડપથી વધારો થયો, મુખ્યત્વે ખગોળશાસ્ત્રમાં. સાધનોમાં સુધારો કરવો, ગ્રહોની ગતિવિધિઓનો અભ્યાસ કરવો અને અન્ય કાર્ય પ્રચંડ, કેટલીકવાર ઘણા વર્ષો, ગણતરીઓ જરૂરી છે. ખગોળશાસ્ત્ર અધૂરી ગણતરીઓમાં ડૂબી જવાના વાસ્તવિક જોખમમાં હતું. અન્ય ક્ષેત્રોમાં મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ, ઉદાહરણ તરીકે, વીમા વ્યવસાયમાં, વિવિધ વ્યાજ દરો માટે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ કોષ્ટકોની જરૂર હતી. મુખ્ય મુશ્કેલી બહુ-અંકની સંખ્યાઓના ગુણાકાર અને ભાગાકારની હતી, ખાસ કરીને ત્રિકોણમિતિની માત્રા.

લઘુગણકની શોધ એ પ્રગતિના ગુણધર્મો પર આધારિત હતી જે 16મી સદીના અંત સુધીમાં જાણીતી હતી. આર્કિમિડીસે ગીતશાસ્ત્રમાં ભૌમિતિક પ્રગતિ q, q2, q3, ... અને તેમના ઘાતાંક 1, 2, 3,...ની અંકગણિત પ્રગતિ વચ્ચેના જોડાણ વિશે વાત કરી હતી. બીજી પૂર્વશરત એ ડિગ્રીની વિભાવનાને નકારાત્મક અને અપૂર્ણાંક ઘાતાંકમાં વિસ્તરણ કરવાની હતી. ઘણા લેખકોએ ધ્યાન દોર્યું છે કે ભૌમિતિક પ્રગતિમાં ગુણાકાર, ભાગાકાર, ઘાત અને મૂળ નિષ્કર્ષણ અંકગણિતમાં અનુરૂપ છે - સમાન ક્રમમાં - સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર.

અહીં ઘાતાંક તરીકે લઘુગણકનો વિચાર હતો.

લઘુગણકના સિદ્ધાંતના વિકાસના ઇતિહાસમાં, ઘણા તબક્કાઓ પસાર થયા છે.

સ્ટેજ 1

સ્કોટિશ બેરોન નેપિયર (1550-1617) અને દસ વર્ષ પછી સ્વિસ મિકેનિક બર્ગી (1552-1632) દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે 1594 પછી લઘુગણકની શોધ કરવામાં આવી હતી. બંને અંકગણિત ગણતરીના નવા, અનુકૂળ માધ્યમ પ્રદાન કરવા માંગતા હતા, જો કે તેઓએ આ સમસ્યાનો અલગ અલગ રીતે સંપર્ક કર્યો હતો. નેપિયરે ગતિશીલ રીતે લઘુગણક કાર્યને વ્યક્ત કર્યું અને ત્યાંથી કાર્ય સિદ્ધાંતના નવા ક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કર્યો. બર્ગી સ્વતંત્ર પ્રગતિને ધ્યાનમાં લેવાના આધારે રહ્યા. જો કે, બંને માટે લઘુગણકની વ્યાખ્યા આધુનિક સમાન નથી. શબ્દ "લોગરીધમ" (લોગરીધમસ) નેપિયરનો છે. તે ગ્રીક શબ્દોના સંયોજનમાંથી ઉદ્ભવ્યું છે: લોગો - "સંબંધ" અને અરિકમો - "સંખ્યા", જેનો અર્થ "સંબંધોની સંખ્યા" થાય છે. શરૂઆતમાં, નેપિયરે એક અલગ શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો: ન્યુમેરી આર્ટિફિશિયલ - "કૃત્રિમ નંબરો", ન્યુમેરી નેચરલ - "નેચરલ નંબર્સ" ની વિરુદ્ધ.

1615માં, લંડનની ગ્રેશ કોલેજમાં ગણિતના પ્રોફેસર હેનરી બ્રિગ્સ (1561-1631) સાથેની વાતચીતમાં, નેપિયરે શૂન્યને એકના લઘુગણક તરીકે અને 100ને દસના લઘુગણક તરીકે લેવાનું સૂચન કર્યું હતું, અથવા, કેટલી રકમ સમાન છે. વસ્તુ, માત્ર 1. આ રીતે દશાંશ લઘુગણક અને પ્રથમ લઘુગણક કોષ્ટકો છાપવામાં આવ્યા હતા. પાછળથી, ડચ પુસ્તક વિક્રેતા અને ગણિતના ઉત્સાહી એડ્રિયન ફ્લેકસ (1600-1667) દ્વારા બ્રિગ્સના કોષ્ટકોને પૂરક બનાવવામાં આવ્યા હતા. નેપિયર અને બ્રિગ્સ, જો કે તેઓ બીજા બધા કરતા વહેલા લઘુગણક પર આવ્યા હતા, તેમ છતાં તેઓ તેમના કોષ્ટકો અન્ય કરતા પાછળથી પ્રકાશિત કર્યા - 1620 માં. ચિહ્નો લોગ અને લોગ 1624 માં આઇ. કેપ્લર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. "કુદરતી લઘુગણક" શબ્દ 1659માં મેંગોલી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને ત્યારબાદ 1668માં એન. મર્કેટર દ્વારા અને લંડનના શિક્ષક જોન સ્પીડેલે "ન્યૂ લોગરીધમ્સ" નામ હેઠળ 1 થી 1000 સુધીની સંખ્યાઓના કુદરતી લઘુગણકના કોષ્ટકો પ્રકાશિત કર્યા હતા.

પ્રથમ લઘુગણક કોષ્ટકો 1703 માં રશિયનમાં પ્રકાશિત થયા હતા. પરંતુ તમામ લઘુગણક કોષ્ટકોમાં ગણતરીની ભૂલો હતી. જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કે. બ્રેમીકર (1804-1877) દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ પ્રથમ ભૂલ-મુક્ત કોષ્ટકો 1857 માં બર્લિનમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી.

સ્ટેજ 2

લઘુગણકના સિદ્ધાંતનો વધુ વિકાસ વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ અને અનંત કેલ્ક્યુલસના વ્યાપક ઉપયોગ સાથે સંકળાયેલ છે. તે સમય સુધીમાં, સમબાજુ હાઇપરબોલાના ચતુષ્કોણ અને કુદરતી લઘુગણક વચ્ચેનું જોડાણ સ્થાપિત થઈ ગયું હતું. આ સમયગાળાના લઘુગણકનો સિદ્ધાંત સંખ્યાબંધ ગણિતશાસ્ત્રીઓના નામ સાથે સંકળાયેલો છે.

જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી, ખગોળશાસ્ત્રી અને એન્જિનિયર નિકોલોસ મર્કેટર તેમના નિબંધમાં

"લોગરીથમોટેકનિક્સ" (1668) ln(x+1) નું વિસ્તરણ આપતી શ્રેણી આપે છે

x ની શક્તિઓ:

આ અભિવ્યક્તિ તેના વિચારના માર્ગને બરાબર અનુરૂપ છે, જોકે તેણે, અલબત્ત, ચિહ્નો ડી, ..., પરંતુ વધુ બોજારૂપ પ્રતીકવાદનો ઉપયોગ કર્યો નથી. લઘુગણક શ્રેણીની શોધ સાથે, લઘુગણકની ગણતરી કરવાની તકનીક બદલાઈ ગઈ: તેઓ અનંત શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારિત થવા લાગ્યા. 1907-1908માં આપવામાં આવેલા તેમના પ્રવચનો "એલીમેન્ટરી મેથેમેટિક્સ ફ્રોમ એ હાયર પોઈન્ટ ઓફ વ્યુ" માં, એફ. ક્લેઈને લઘુગણકના સિદ્ધાંતના નિર્માણ માટે પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની દરખાસ્ત કરી.

સ્ટેજ 3

વ્યસ્ત કાર્ય તરીકે લઘુગણક કાર્યની વ્યાખ્યા

ઘાતાંકીય, આપેલ આધારના ઘાતાંક તરીકે લઘુગણક

તરત જ ઘડવામાં આવ્યું ન હતું. લિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા નિબંધ (1707-1783)

"ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ ધ એનાલિસિસ ઓફ ઇન્ફિનિટેસિમલ્સ" (1748) એ આગળ કામ કર્યું

લઘુગણક કાર્યોના સિદ્ધાંતનો વિકાસ. આમ,

લોગરીધમ પહેલીવાર રજૂ થયાને 134 વર્ષ વીતી ગયા છે

(1614 થી ગણતરી), ગણિતશાસ્ત્રીઓ વ્યાખ્યામાં આવ્યા તે પહેલાં

લઘુગણકનો ખ્યાલ, જે હવે શાળા અભ્યાસક્રમનો આધાર છે.

પ્રકરણ 2. લઘુગણક અસમાનતાઓનો સંગ્રહ

2.1. સમકક્ષ સંક્રમણો અને અંતરાલોની સામાન્યકૃત પદ્ધતિ.

સમકક્ષ સંક્રમણો

, જો a > 1

, જો 0 < а < 1

સામાન્ય અંતરાલ પદ્ધતિ

લગભગ કોઈપણ પ્રકારની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે આ પદ્ધતિ સૌથી વધુ સાર્વત્રિક છે. સોલ્યુશન ડાયાગ્રામ આના જેવો દેખાય છે:

1. અસમાનતાને એવા સ્વરૂપમાં લાવો જ્યાં ડાબી બાજુનું કાર્ય છે
, અને જમણી બાજુએ 0.

2. ફંક્શનનું ડોમેન શોધો
.

3. ફંક્શનના શૂન્ય શોધો
, એટલે કે સમીકરણ ઉકેલો
(અને સમીકરણ ઉકેલવું એ અસમાનતાને ઉકેલવા કરતાં સામાન્ય રીતે સરળ છે).

4. સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાનું ડોમેન અને કાર્યના શૂન્ય દોરો.

5. કાર્યના સંકેતો નક્કી કરો
પ્રાપ્ત અંતરાલો પર.

6. અંતરાલ પસંદ કરો જ્યાં ફંક્શન જરૂરી મૂલ્યો લે છે અને જવાબ લખો.

ઉદાહરણ 1.

ઉકેલ:

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરીએ

જ્યાં

આ મૂલ્યો માટે, લઘુગણક ચિહ્નો હેઠળના તમામ અભિવ્યક્તિઓ હકારાત્મક છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ 2.

ઉકેલ:

1લી માર્ગ . ADL અસમાનતા દ્વારા નક્કી થાય છે x> 3. આવા માટે લઘુગણક લેવું xબેઝ 10 પર, આપણને મળે છે

છેલ્લી અસમાનતા વિસ્તરણ નિયમો લાગુ કરીને ઉકેલી શકાય છે, એટલે કે. પરિબળોને શૂન્ય સાથે સરખાવી. જો કે, માં આ કિસ્સામાંફંક્શનના સતત સંકેતના અંતરાલો નક્કી કરવા માટે સરળ

તેથી, અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરી શકાય છે.

કાર્ય f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ પર સતત છે x> 3 અને પોઈન્ટ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. આમ, આપણે ફંક્શનના સતત ચિહ્નના અંતરાલો નક્કી કરીએ છીએ f(x):

જવાબ:

2જી પદ્ધતિ . ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિના વિચારોને મૂળ અસમાનતા પર સીધો લાગુ કરીએ.

આ કરવા માટે, યાદ રાખો કે અભિવ્યક્તિઓ a b- a c અને ( a - 1)(b- 1) એક ચિહ્ન છે. પછી અમારી અસમાનતા પર x> 3 અસમાનતાની સમકક્ષ છે

અથવા

છેલ્લી અસમાનતા અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે

જવાબ:

ઉદાહરણ 3.

ઉકેલ:

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરીએ

જવાબ:

ઉદાહરણ 4.

ઉકેલ:

2 થી x 2 - 3xબધા વાસ્તવિક માટે + 3 > 0 x, તે

બીજી અસમાનતાને ઉકેલવા માટે આપણે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

પ્રથમ અસમાનતામાં આપણે રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ

પછી આપણે અસમાનતા 2y 2 પર આવીએ છીએ - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, જે અસમાનતાને સંતોષે છે -0.5< y < 1.

ક્યાંથી, કારણ કે

અમને અસમાનતા મળે છે

જે જ્યારે હાથ ધરવામાં આવે છે x, જેના માટે 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

હવે, સિસ્ટમની બીજી અસમાનતાના ઉકેલને ધ્યાનમાં લેતા, અમે આખરે મેળવીએ છીએ

જવાબ:

ઉદાહરણ 5.

ઉકેલ:

અસમાનતા એ સિસ્ટમના સંગ્રહની સમકક્ષ છે

અથવા

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ અથવા

જવાબ આપો:

ઉદાહરણ 6.

ઉકેલ:

અસમાનતા સમાન સિસ્ટમ

દો

પછી y > 0,

અને પ્રથમ અસમાનતા

સિસ્ટમ સ્વરૂપ લે છે

અથવા, પ્રગટ થવું

ચતુર્ભુજ ત્રિપદી પરિબળ,

છેલ્લી અસમાનતા પર અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરવી,

આપણે જોઈએ છીએ કે તેના ઉકેલો સ્થિતિને સંતોષે છે y> 0 બધા હશે y > 4.

આમ, મૂળ અસમાનતા સિસ્ટમની સમકક્ષ છે:

તેથી, અસમાનતાના ઉકેલો બધા છે

2.2. તર્કસંગત પદ્ધતિ.

અગાઉ, અસમાનતા તર્કસંગત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવી ન હતી તે જાણીતું ન હતું. આ "ઘાતાંકીય અને લઘુગણક અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની નવી આધુનિક અસરકારક પદ્ધતિ છે" (એસ.આઈ. કોલેસ્નિકોવા દ્વારા પુસ્તકમાંથી અવતરણ)
અને જો શિક્ષક તેને જાણતો હોય, તો પણ એક ડર હતો - શું યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા નિષ્ણાત તેને ઓળખે છે, અને તેઓ તેને શાળામાં કેમ આપતા નથી? એવી પરિસ્થિતિઓ હતી જ્યારે શિક્ષકે વિદ્યાર્થીને કહ્યું: "તમને તે ક્યાંથી બેસો - 2."
હવે દરેક જગ્યાએ પદ્ધતિનો પ્રચાર કરવામાં આવી રહ્યો છે. અને નિષ્ણાતો માટે આ પદ્ધતિ સાથે સંકળાયેલ માર્ગદર્શિકાઓ છે, અને સોલ્યુશન C3 માં "મોસ્ટ કમ્પ્લીટ એડિશન ઓફ સ્ટાન્ડર્ડ ઓપ્શન્સ..." માં આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.
અદ્ભુત પદ્ધતિ!

"મેજિક ટેબલ"

અન્ય સ્ત્રોતોમાં

જો a >1 અને b >1, પછી લોગ કરો a b >0 અને (a -1)(b -1)>0;

જો a >1 અને 0

જો 0<a<1 и b >1, પછી લોગ a b<0 и (a -1)(b -1)<0;