તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.
વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ
વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.
જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.
અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.
અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:
- જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.
અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:
- અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
- સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
- અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
- જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત
અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.
અપવાદો:
- જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
- પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ
અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.
કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો
તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.
1 . જો a>b, તે b< a ; તેનાથી વિપરીત, જો એ< b , તે b > a.
ઉદાહરણ. જો 5x – 1 > 2x + 1, તે 2x +1< 5x — 1 .
2 . જો a>bઅને b > c, તે a > c. બસ એ જ એ< b અને b< с , તે a< с .
ઉદાહરણ. અસમાનતાઓમાંથી x > 2у, 2y > 10તે તેને અનુસરે છે x >10.
3
. જો a > b,તે a + c > b + cઅને a – c > b – c. જો એ< b
, તે a + c
ઉદાહરણ 1. અસમાનતા આપી x + 8>3. અસમાનતાની બંને બાજુઓમાંથી સંખ્યા 8 બાદ કરવાથી, આપણે શોધીએ છીએ x > - 5.
ઉદાહરણ 2. અસમાનતા આપી x – 6< — 2 . બંને બાજુઓ પર 6 ઉમેરીને, આપણે શોધીએ છીએ એક્સ< 4 .
4 . જો a>bઅને c > ડી,તે a + c >b + d; બરાબર એ જ જો એ< b અને સાથે< d , તે a + c< b + d , એટલે કે, સમાન અર્થની બે અસમાનતાઓ) શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરી શકાય છે. આ કોઈપણ અસમાનતા માટે સાચું છે, ઉદાહરણ તરીકે જો a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, તે a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.
ઉદાહરણ 1. અસમાનતાઓ — 8 > — 10 અને 5 > 2 સાચા છે. તેમને શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરવાથી, આપણે સાચી અસમાનતા શોધીએ છીએ — 3 > — 8 .
ઉદાહરણ 2. અસમાનતાની સિસ્ટમ આપેલ ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)y< 4 . તેમને ટર્મ દ્વારા ટર્મ ઉમેરવાથી, અમે શોધીએ છીએ x< 22 .
ટિપ્પણી. સમાન અર્થની બે અસમાનતાઓને શબ્દ દ્વારા એકબીજાના પદમાંથી બાદ કરી શકાતી નથી, કારણ કે પરિણામ સાચું હોઈ શકે છે, પરંતુ તે ખોટું પણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો અસમાનતામાંથી 10 > 8 2 > 1 , પછી આપણે સાચી અસમાનતા મેળવીએ છીએ 8 > 7 પરંતુ જો સમાન અસમાનતામાંથી 10 > 8 અસમાનતા શબ્દને શબ્દ દ્વારા બાદ કરો 6 > 1 , પછી આપણને વાહિયાતતા મળે છે. આગળના મુદ્દાની સરખામણી કરો.
5 . જો a>bઅને c< d , તે a – c > b – d; જો એ< b અને c - ડી, તે a - c< b — d , એટલે કે, એક અસમાનતામાંથી વ્યક્તિ બાદબાકી કરી શકે છે, શબ્દ દ્વારા, વિરુદ્ધ અર્થની બીજી અસમાનતા), તે અસમાનતાની નિશાની છોડીને જેમાંથી બીજી બાદ કરવામાં આવી હતી.
ઉદાહરણ 1. અસમાનતાઓ 12 < 20 અને 15 > 7 સાચા છે. પ્રથમમાંથી પદ દ્વારા બીજા પદને બાદ કરીને અને પ્રથમની નિશાની છોડીને, આપણે સાચી અસમાનતા મેળવીએ છીએ — 3 < 13 . બીજા પદમાંથી પ્રથમને પદ દ્વારા બાદ કરીને અને બીજાની નિશાની છોડીને, આપણે સાચી અસમાનતા શોધીએ છીએ 3 > — 13 .
ઉદાહરણ 2. અસમાનતાની સિસ્ટમ આપી છે (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . પ્રથમ અસમાનતામાંથી બીજાને બાદ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ y< 10 .
6 . જો a > bઅને mપછી ધન સંખ્યા છે ma > mbઅને a/n > b/n, એટલે કે અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન હકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત અથવા ગુણાકાર કરી શકાય છે (જો અસમાનતાની નિશાની સમાન રહે છે). a>bઅને nપછી નકારાત્મક સંખ્યા છે na< nb અને a/n< b/n , એટલે કે, અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરી શકાય છે, પરંતુ અસમાનતાની નિશાની વિરુદ્ધમાં બદલવી આવશ્યક છે.
ઉદાહરણ 1. સાચી અસમાનતાની બંને બાજુઓનું વિભાજન 25 > 20 પર 5 , આપણે સાચી અસમાનતા મેળવીએ છીએ 5 > 4 . જો આપણે અસમાનતાની બંને બાજુઓનું વિભાજન કરીએ 25 > 20 પર — 5 , પછી તમારે સાઇન બદલવાની જરૂર છે > પર < , અને પછી આપણને સાચી અસમાનતા મળે છે — 5 < — 4 .
ઉદાહરણ 2. અસમાનતા થી 2x< 12 તે તેને અનુસરે છે એક્સ< 6 .
ઉદાહરણ 3. અસમાનતા થી -(1/3)х — (1/3)х > 4તે તેને અનુસરે છે x< — 12 .
ઉદાહરણ 4. અસમાનતા આપી x/k > y/l; તે તેના પરથી અનુસરે છે lx > ky, જો સંખ્યાના ચિહ્નો lઅને kસમાન છે, તેથી શું lx< ky , જો સંખ્યાના ચિહ્નો lઅને kવિરુદ્ધ
ગણિતમાં અસમાનતા મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે. શાળામાં આપણે મુખ્યત્વે વ્યવહાર કરીએ છીએ સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ, જેની વ્યાખ્યા સાથે આપણે આ લેખ શરૂ કરીશું. અને પછી અમે સૂચિબદ્ધ કરીશું અને ન્યાયી કરીશું સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો, જેના પર અસમાનતા સાથે કામ કરવાના તમામ સિદ્ધાંતો આધારિત છે.
ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ઘણા ગુણધર્મો સમાન છે. તેથી, અમે સમાન યોજના અનુસાર સામગ્રી રજૂ કરીશું: અમે એક મિલકત બનાવીએ છીએ, તેનું સમર્થન અને ઉદાહરણો આપીએ છીએ, જેના પછી અમે આગળની મિલકત પર જઈએ છીએ.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
સંખ્યાત્મક અસમાનતા: વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો
જ્યારે અમે અસમાનતાની વિભાવના રજૂ કરી, ત્યારે અમે નોંધ્યું કે અસમાનતાઓ ઘણીવાર લખવામાં આવે છે તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી અમે અસમાનતાને અર્થપૂર્ણ બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓ કહીએ છીએ જેમાં ≠, ઓછા સમાન નથી<, больше >, ≤ કરતાં ઓછું અથવા બરાબર અથવા ≥ કરતાં વધુ અથવા બરાબર. ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાના આધારે, સંખ્યાત્મક અસમાનતાની વ્યાખ્યા આપવાનું અનુકૂળ છે:
1 થી 9 સુધીની પ્રથમ કુદરતી સંખ્યાઓથી પરિચિત થયા પછી અને સરખામણીની ક્રિયાથી પરિચિત થયા પછી તરત જ, પ્રથમ ધોરણમાં ગણિતના પાઠોમાં સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ સાથેની મુલાકાત થાય છે. સાચું, ત્યાં તેમને "સંખ્યાત્મક" ની વ્યાખ્યાને બાદ કરતાં, અસમાનતા કહેવામાં આવે છે. સ્પષ્ટતા માટે, તેમના અભ્યાસના તે તબક્કામાંથી સૌથી સરળ સંખ્યાત્મક અસમાનતાના કેટલાક ઉદાહરણો આપવાથી નુકસાન થશે નહીં: 1<2 , 5+2>3 .
અને કુદરતી સંખ્યાઓથી આગળ, જ્ઞાન અન્ય પ્રકારની સંખ્યાઓ (પૂર્ણાંક, તર્કસંગત, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ) સુધી વિસ્તરે છે, તેમની સરખામણી માટેના નિયમોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને આ સંખ્યાત્મક અસમાનતાના વિવિધ પ્રકારોને નોંધપાત્ર રીતે વિસ્તૃત કરે છે: −5>−72, 3> −0.275 (7−5, 6), .
સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો
વ્યવહારમાં, અસમાનતાઓ સાથે કામ કરવાની મંજૂરી આપે છે સંખ્યાબંધ સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો. તેઓ અમે રજૂ કરેલ અસમાનતાના ખ્યાલને અનુસરે છે. સંખ્યાઓના સંબંધમાં, આ ખ્યાલ નીચેના નિવેદન દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેને સંખ્યાઓના સમૂહ પર "ઓછા કરતાં" અને "વધુ" સંબંધોની વ્યાખ્યા ગણી શકાય (તેને ઘણીવાર અસમાનતાની તફાવત વ્યાખ્યા કહેવામાં આવે છે):
વ્યાખ્યા.
- સંખ્યા a b કરતાં મોટો છે જો અને માત્ર જો તફાવત a−b હકારાત્મક સંખ્યા હોય;
- સંખ્યા a એ સંખ્યા b કરતા ઓછી છે જો અને માત્ર જો તફાવત a−b નકારાત્મક સંખ્યા હોય;
- સંખ્યા a એ સંખ્યા b ની બરાબર છે જો અને માત્ર જો તફાવત a−b શૂન્ય હોય.
આ વ્યાખ્યાને સંબંધોની વ્યાખ્યામાં "ઓછા કરતા ઓછા અથવા સમાન" અને "તેના કરતા વધારે અથવા સમાન" તરીકે ફરીથી કાર્ય કરી શકાય છે. અહીં તેના શબ્દો છે:
વ્યાખ્યા.
- સંખ્યા a b કરતાં મોટો અથવા બરાબર છે જો અને માત્ર જો a−b બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા હોય;
- a એ b કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે જો અને માત્ર જો a−b બિન-ધન સંખ્યા હોય.
સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોને સાબિત કરતી વખતે અમે આ વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીશું, જેની સમીક્ષા માટે અમે આગળ વધીએ છીએ.
મૂળભૂત ગુણધર્મો
અમે અસમાનતાના ત્રણ મુખ્ય ગુણધર્મો સાથે સમીક્ષા શરૂ કરીએ છીએ. શા માટે તેઓ મૂળભૂત છે? કારણ કે તે સૌથી સામાન્ય અર્થમાં અસમાનતાના ગુણધર્મોનું પ્રતિબિંબ છે, અને માત્ર સંખ્યાત્મક અસમાનતાના સંબંધમાં જ નહીં.
ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને લખાયેલ સંખ્યાત્મક અસમાનતા< и >, લાક્ષણિકતા:
નબળા અસમાનતા ચિહ્નો ≤ અને ≥ નો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવેલી સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ માટે, તેમની પાસે રીફ્લેક્સિવિટીનો ગુણધર્મ છે (અને પ્રતિબિંબ વિરોધી નહીં), કારણ કે અસમાનતા a≤a અને a≥a માં સમાનતા a=a નો સમાવેશ થાય છે. તેઓ વિરોધી સમપ્રમાણતા અને સંક્રમણ દ્વારા પણ વર્ગીકૃત થયેલ છે.
તેથી, ≤ અને ≥ ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને લખાયેલી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં નીચેના ગુણધર્મો છે:
- રીફ્લેક્સિવિટી a≥a અને a≤a સાચી અસમાનતા છે;
- વિરોધી સમપ્રમાણતા, જો a≤b, તો b≥a, અને જો a≥b, તો b≤a.
- સંક્રમણ, જો a≤b અને b≤c, તો a≤c, અને એ પણ, જો a≥b અને b≥c, તો a≥c.
તેમનો પુરાવો પહેલાથી આપવામાં આવેલા પુરાવા સાથે ખૂબ સમાન છે, તેથી અમે તેમના પર ધ્યાન આપીશું નહીં, પરંતુ સંખ્યાત્મક અસમાનતાના અન્ય મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો પર આગળ વધીશું.
સંખ્યાત્મક અસમાનતાના અન્ય મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો
ચાલો આપણે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના મૂળભૂત ગુણધર્મોને પરિણામોની શ્રેણી સાથે પૂરક બનાવીએ જે ખૂબ જ વ્યવહારુ મહત્વ ધરાવે છે. અભિવ્યક્તિના મૂલ્યોનો અંદાજ કાઢવાની પદ્ધતિઓ તેમના પર આધારિત છે; અસમાનતાના ઉકેલોવગેરે તેથી, તેમને સારી રીતે સમજવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.
આ વિભાગમાં, અમે માત્ર કડક અસમાનતાના એક સંકેત માટે અસમાનતાના ગુણધર્મો ઘડીશું, પરંતુ તે ધ્યાનમાં રાખવું યોગ્ય છે કે સમાન ગુણધર્મો વિરુદ્ધ ચિન્હ માટે તેમજ બિન-કડક અસમાનતાના ચિહ્નો માટે માન્ય રહેશે. આ વાતને એક ઉદાહરણથી સમજાવીએ. નીચે અમે અસમાનતાની નીચેની મિલકતો ઘડીએ છીએ અને સાબિત કરીએ છીએ: જો a
સગવડ માટે, અમે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોને સૂચિના સ્વરૂપમાં રજૂ કરીશું, જ્યારે અમે અનુરૂપ નિવેદન આપીશું, તેને અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને ઔપચારિક રીતે લખીશું, સાબિતી આપીશું અને પછી ઉપયોગના ઉદાહરણો બતાવીશું. અને લેખના અંતે આપણે કોષ્ટકમાં સંખ્યાત્મક અસમાનતાના તમામ ગુણધર્મોનો સારાંશ આપીશું. ચાલો જઈએ!
પરિણામ. ફોર્મની સમાન સાચી અસમાનતાનો શબ્દવાર ગુણાકાર a
સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતાની બંને બાજુએ કોઈપણ સંખ્યા ઉમેરવા (અથવા બાદબાકી) સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા પેદા કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો સંખ્યાઓ a અને b એવી હોય કે a
તેને સાબિત કરવા માટે, ચાલો છેલ્લી સંખ્યાત્મક અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓ વચ્ચેનો તફાવત બનાવીએ અને બતાવીએ કે તે શરત હેઠળ નકારાત્મક છે. (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. શરતથી એ
અમે સંખ્યા c ને બાદ કરવા માટે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના આ ગુણધર્મના પુરાવા પર ધ્યાન આપતા નથી, કારણ કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર બાદબાકીને −c ઉમેરીને બદલી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા 7>3 ની બંને બાજુએ 15 નંબર ઉમેરો છો, તો તમને સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા 7+15>3+15 મળશે, જે સમાન વસ્તુ છે, 22>18.
જો માન્ય સંખ્યાત્મક અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન હકારાત્મક સંખ્યા c વડે ગુણાકાર (અથવા ભાગાકાર) કરવામાં આવે, તો તમને માન્ય સંખ્યાત્મક અસમાનતા મળે છે. જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને ઋણ સંખ્યા c વડે ગુણાકાર (અથવા ભાગાકાર) કરવામાં આવે અને અસમાનતાની નિશાની ઉલટાવી દેવામાં આવે, તો અસમાનતા સાચી હશે. શાબ્દિક સ્વરૂપમાં: જો સંખ્યાઓ a અને b અસમાનતાને સંતોષે છે a b·c
પુરાવો. ચાલો કેસ સાથે શરૂ કરીએ જ્યારે c>0. ચાલો સાબિત થઈ રહેલી સંખ્યાત્મક અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુ વચ્ચેનો તફાવત બનાવીએ: a·c−b·c=(a−b)·c. શરતથી એ 0 , પછી ગુણાંક (a−b)·c એ ઋણ સંખ્યા a−b અને સકારાત્મક સંખ્યા c (જે માંથી અનુસરે છે) ના ગુણાંક તરીકે નકારાત્મક સંખ્યા હશે. તેથી, a·c−b·c<0
, откуда a·c અમે સાચા આંકડાકીય અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા c વડે વિભાજીત કરવા માટે ગણવામાં આવેલ મિલકતના પુરાવા પર ધ્યાન આપતા નથી, કારણ કે ભાગાકારને હંમેશા 1/c વડે ગુણાકાર દ્વારા બદલી શકાય છે. ચાલો ચોક્કસ સંખ્યાઓ પર વિશ્લેષણ કરેલ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવાનું ઉદાહરણ બતાવીએ. ઉદાહરણ તરીકે, તમારી પાસે સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા 4 ની બંને બાજુઓ હોઈ શકે છે<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. સંખ્યાત્મક સમાનતાની બંને બાજુઓને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની હમણાં જ ચર્ચા કરેલી મિલકતમાંથી, બે વ્યવહારિક રીતે મૂલ્યવાન પરિણામો અનુસરે છે. તેથી અમે તેમને પરિણામોના સ્વરૂપમાં ઘડીએ છીએ. આ ફકરામાં ઉપરોક્ત તમામ ગુણધર્મો એ હકીકત દ્વારા એકીકૃત છે કે પ્રથમ એક સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા આપવામાં આવે છે, અને તેમાંથી, અસમાનતા અને ચિહ્નના ભાગો સાથે કેટલાક મેનિપ્યુલેશન દ્વારા, બીજી સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે. હવે અમે પ્રોપર્ટીઝનો એક બ્લોક રજૂ કરીશું જેમાં એક નહીં, પરંતુ ઘણી સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ શરૂઆતમાં આપવામાં આવે છે, અને તેમના ભાગો ઉમેરીને અથવા ગુણાકાર કર્યા પછી તેમના સંયુક્ત ઉપયોગથી એક નવું પરિણામ પ્રાપ્ત થાય છે. જો સંખ્યાઓ a, b, c અને d અસમાનતાઓને સંતોષે છે a
ચાલો સાબિત કરીએ કે (a+c)-(b+d) એ નકારાત્મક સંખ્યા છે, આ સાબિત કરશે કે a+c ઇન્ડક્શન દ્વારા, આ ગુણધર્મ ત્રણ, ચાર, અને સામાન્ય રીતે, સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યામાં ટર્મ-બાય-ટર્મ ઉમેરા સુધી વિસ્તરે છે. તેથી, જો સંખ્યાઓ માટે a 1, a 2, …, a n અને b 1, b 2, …, b n નીચેની અસમાનતાઓ સાચી છે: a 1 a 1 +a 2 +…+a n . ઉદાહરણ તરીકે, અમને સમાન ચિહ્ન −5 ની ત્રણ સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ આપવામાં આવી છે<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. તમે સમાન સાઇન ટર્મની સંખ્યાત્મક અસમાનતાને ટર્મ દ્વારા ગુણાકાર કરી શકો છો, જેની બંને બાજુઓ હકારાત્મક સંખ્યાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, બે અસમાનતાઓ માટે એ
તેને સાબિત કરવા માટે, તમે અસમાનતાની બંને બાજુઓને ગુણાકાર કરી શકો છો a
આ ગુણધર્મ સકારાત્મક ભાગો સાથે સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યાના ગુણાકાર માટે પણ સાચું છે. એટલે કે, જો a 1, a 2, ..., a n અને b 1, b 2, ..., b n હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, અને a 1 a 1 a 2…a n . અલગથી, એ નોંધવું યોગ્ય છે કે જો સંખ્યાત્મક અસમાનતા માટેના સંકેતમાં બિન-ધન સંખ્યાઓ શામેલ હોય, તો પછી તેમના શબ્દ-દર-ગાળાના ગુણાકારથી ખોટી સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
લેખના અંતે, વચન મુજબ, અમે તમામ અભ્યાસ કરેલ ગુણધર્મો એકત્રિત કરીશું સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોનું કોષ્ટક:
સંદર્ભો.
- મોરો M.I.. ગણિત. પાઠ્યપુસ્તક 1 વર્ગ માટે. શરૂઆત શાળા 2 ભાગોમાં. (વર્ષનો પ્રથમ અર્ધ) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6ઠ્ઠી આવૃત્તિ. - એમ.: એજ્યુકેશન, 2006. - 112 પૃ.: બીમાર.+ઉમેરો. (2 અલગ એલ. બીમાર). - ISBN 5-09-014951-8.
- ગણિત: પાઠ્યપુસ્તક 5મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2007. - 280 પૃષ્ઠ.: બીમાર. ISBN 5-346-00699-0.
- બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 8 મી ગ્રેડ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ. - 11મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2009. - 215 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01155-2.
અસમાનતાએ એક એવો રેકોર્ડ છે જેમાં સંખ્યાઓ, ચલો અથવા સમીકરણો નિશાની દ્વારા જોડાયેલા હોય છે<, >, અથવા એટલે કે અસમાનતાને સંખ્યાઓ, ચલો અથવા અભિવ્યક્તિઓની સરખામણી કહી શકાય. ચિહ્નો < , > , ⩽ અને ⩾ કહેવાય છે અસમાનતા ચિહ્નો.
અસમાનતાના પ્રકારો અને તે કેવી રીતે વાંચવામાં આવે છે:
ઉદાહરણોમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, બધી અસમાનતાઓમાં બે ભાગોનો સમાવેશ થાય છે: ડાબે અને જમણે, અસમાનતાના ચિહ્નોમાંથી એક દ્વારા જોડાયેલા. અસમાનતાના ભાગોને જોડતા ચિહ્નના આધારે, તેઓ કડક અને બિન-કડકમાં વિભાજિત થાય છે.
સખત અસમાનતાઓ- અસમાનતા જેના ભાગો નિશાની દ્વારા જોડાયેલા છે< или >. બિન-કડક અસમાનતાઓ- અસમાનતા જેમાં ભાગો ચિહ્ન દ્વારા જોડાયેલા હોય છે અથવા.
ચાલો બીજગણિતમાં સરખામણીના મૂળભૂત નિયમોને ધ્યાનમાં લઈએ:
- શૂન્ય કરતાં મોટી કોઈપણ ધન સંખ્યા.
- કોઈપણ નકારાત્મક સંખ્યા શૂન્ય કરતા ઓછી હોય છે.
- બે નકારાત્મક સંખ્યાઓમાંથી, જેની સંપૂર્ણ કિંમત નાની છે તે મોટી છે. ઉદાહરણ તરીકે, -1 > -7.
- aઅને bહકારાત્મક:
a - b > 0,
તે aવધુ b (a > b).
- જો બે અસમાન સંખ્યાઓનો તફાવત aઅને bનકારાત્મક:
a - b < 0,
તે aઓછું b (a < b).
- જો સંખ્યા શૂન્ય કરતાં મોટી હોય, તો તે હકારાત્મક છે:
a> 0, જેનો અર્થ થાય છે a- હકારાત્મક સંખ્યા.
- જો સંખ્યા શૂન્ય કરતાં ઓછી હોય, તો તે નકારાત્મક છે:
a < 0, значит a- નકારાત્મક સંખ્યા.
સમાન અસમાનતાઓ- અસમાનતા જે અન્ય અસમાનતાઓનું પરિણામ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો aઓછું b, તે bવધુ a:
a < bઅને b > a- સમાન અસમાનતાઓ
અસમાનતાના ગુણધર્મ
- જો તમે અસમાનતાની બંને બાજુએ સમાન સંખ્યા ઉમેરો છો અથવા બંને બાજુઓમાંથી સમાન સંખ્યા બાદ કરો છો, તો તમને સમકક્ષ અસમાનતા મળશે, એટલે કે,
જો a > b, તે a + c > b + c અને a - c > b - c
તે આનાથી અનુસરે છે કે વિપરીત ચિહ્ન સાથે અસમાનતાની શરતોને એક ભાગથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવી શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતાની બંને બાજુઓ ઉમેરવી a - b > c - ડી દ્વારા ડી, અમને મળે છે:
a - b > c - ડી
a - b + ડી > c - ડી + ડી
a - b + ડી > c
- જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન સકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે, તો સમકક્ષ અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, એટલે કે,
- જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન ઋણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે, તો આપેલની વિરુદ્ધની અસમાનતા પ્રાપ્ત થશે, એટલે કે, જ્યારે અસમાનતાના બંને ભાગોને નકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે તેની નિશાની અસમાનતાને વિરુદ્ધમાં બદલવી જોઈએ.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ અસમાનતાની તમામ શરતોના ચિહ્નોને બદલવા માટે બંને બાજુઓને -1 વડે ગુણાકાર કરીને અને અસમાનતાના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલીને કરી શકાય છે:
-a + b > -c
(-a + b) · -1< (-c) · -1
a - b < c
અસમાનતા -a + b > -c અસમાનતા સમાન a - b < c
