તાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ અને પદ્ધતિઓ. ગણિતમાં તાર્કિક સમીકરણો ઉકેલવા

તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવાની વિવિધ રીતો છે. આ એક સમીકરણમાં ઘટાડો, સત્ય કોષ્ટકનું નિર્માણ અને વિઘટન છે.

કાર્ય:તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ચાલો વિચાર કરીએ એક સમીકરણમાં ઘટાડો કરવાની પદ્ધતિ . આ પદ્ધતિમાં તાર્કિક સમીકરણોને રૂપાંતરિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે જેથી તેમની જમણી બાજુઓ સત્ય મૂલ્ય (એટલે ​​​​કે, 1) જેટલી હોય. આ કરવા માટે, લોજિકલ નેગેશન ઓપરેશનનો ઉપયોગ કરો. પછી, જો સમીકરણોમાં જટિલ તાર્કિક ક્રિયાઓ હોય, તો અમે તેમને મૂળભૂત સાથે બદલીએ છીએ: “AND”, “OR”, “NOT”. આગળનું પગલું એ લોજિકલ ઓપરેશન “AND” નો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમની સમકક્ષ સમીકરણોને એકમાં જોડવાનું છે. આ પછી, તમારે તાર્કિક બીજગણિતના નિયમોના આધારે પરિણામી સમીકરણનું રૂપાંતર કરવું જોઈએ અને સિસ્ટમ માટે ચોક્કસ ઉકેલ મેળવવો જોઈએ.

ઉકેલ 1:પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુઓ પર વ્યુત્ક્રમ લાગુ કરો:

ચાલો મૂળભૂત કામગીરી "OR" અને "NOT" દ્વારા સૂચિતાર્થની કલ્પના કરીએ:

સમીકરણોની ડાબી બાજુઓ 1 ની બરાબર હોવાથી, અમે તેમને "AND" ઓપરેશનનો ઉપયોગ કરીને એક સમીકરણમાં જોડી શકીએ છીએ જે મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે:

અમે ડી મોર્ગનના કાયદા અનુસાર પ્રથમ કૌંસ ખોલીએ છીએ અને પ્રાપ્ત પરિણામને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:

પરિણામી સમીકરણનો એક ઉકેલ છે: A =0, B=0 અને C=1.

આગળની પદ્ધતિ છે સત્ય કોષ્ટકોનું નિર્માણ . તાર્કિક જથ્થામાં માત્ર બે મૂલ્યો હોવાથી, તમે ફક્ત બધા વિકલ્પોમાંથી પસાર થઈ શકો છો અને તેમાંથી તે શોધી શકો છો કે જેના માટે આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ સંતુષ્ટ છે. એટલે કે, અમે સિસ્ટમના તમામ સમીકરણો માટે એક સામાન્ય સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ છીએ અને જરૂરી મૂલ્યો સાથે એક રેખા શોધીએ છીએ.

ઉકેલ 2:ચાલો સિસ્ટમ માટે સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ:

લાઇન કે જેના માટે કાર્યની શરતો પૂરી થાય છે તે બોલ્ડમાં પ્રકાશિત થાય છે. તો A=0, B=0 અને C=1.

વે વિઘટન . વિચાર એ છે કે ચલોમાંના એકનું મૂલ્ય નક્કી કરવું (તેને 0 અથવા 1 ની બરાબર સેટ કરો) અને ત્યાંથી સમીકરણોને સરળ બનાવવું. પછી તમે બીજા વેરીએબલની કિંમતને ઠીક કરી શકો છો, વગેરે.

ઉકેલ 3: A = 0 દો, પછી:

પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણને B = 0 મળે છે, અને બીજામાંથી - C = 1. સિસ્ટમનો ઉકેલ: A = 0, B = 0 અને C = 1.

કોમ્પ્યુટર સાયન્સમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં, તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરવી ઘણી વાર જરૂરી છે, આ માટે કેટલીક પદ્ધતિઓ પણ છે. તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની મુખ્ય રીત છેચલોને બદલી રહ્યા છે. પ્રથમ, તમારે લોજિકલ બીજગણિતના નિયમોના આધારે દરેક સમીકરણોને શક્ય તેટલું સરળ બનાવવાની જરૂર છે, અને પછી સમીકરણોના જટિલ ભાગોને નવા ચલો સાથે બદલો અને નવી સિસ્ટમમાં ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરો. આગળ, રિપ્લેસમેન્ટ પર પાછા ફરો અને તેના માટે ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરો.

કાર્ય:સમીકરણ (A →B) + (C →D) = 1 પાસે કેટલા ઉકેલો છે? જ્યાં A, B, C, D લોજિકલ ચલ છે.

ઉકેલ:ચાલો નવા ચલો રજૂ કરીએ: X = A →B અને Y = C →D. નવા ચલોને ધ્યાનમાં લેતા, સમીકરણ આ રીતે લખવામાં આવશે: X + Y = 1.

વિભાજન ત્રણ કેસોમાં સાચું છે: (0;1), (1;0) અને (1;1), જ્યારે X અને Y સૂચિતાર્થ છે, એટલે કે, તે ત્રણ કેસમાં સાચું છે અને એકમાં ખોટું છે. તેથી, કેસ (0;1) પરિમાણોના ત્રણ સંભવિત સંયોજનોને અનુરૂપ હશે. કેસ (1;1) - મૂળ સમીકરણના પરિમાણોના નવ સંભવિત સંયોજનોને અનુરૂપ હશે. આનો અર્થ એ છે કે આ સમીકરણના કુલ સંભવિત ઉકેલો 3+9=15 છે.

તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરવાની આગલી રીત છે દ્વિસંગી વૃક્ષ. ચાલો એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિ જોઈએ.

કાર્ય:તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કેટલા જુદા જુદા ઉકેલો છે:

આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ સમીકરણની સમકક્ષ છે:

(x 1 → x 2 )*(x 2 → x 3 )*…*(x મી -1 → x મી) = 1.

ચાલો માની લઈએ કે x 1 - સાચું છે, તો પછી પ્રથમ સમીકરણથી આપણે તે મેળવીએ છીએ x 2 પણ સાચું, બીજાથી - x 3 =1, અને ત્યાં સુધી x મી= 1. આનો અર્થ એ છે કે m એકમોનો સમૂહ (1; 1; …; 1) એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. ચાલો હવે x 1 =0, પછી આપણી પાસે પ્રથમ સમીકરણ છે x 2 =0 અથવા x 2 =1.

જ્યારે x 2 સાચું, આપણે મેળવીએ છીએ કે બાકીના ચલો પણ સાચા છે, એટલે કે સેટ (0; 1; ...; 1) એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. મુ x 2 =0 આપણને તે મળે છે x 3 =0 અથવા x 3 =, અને તેથી વધુ. છેલ્લા ચલ સુધી ચાલુ રાખીને, અમે શોધીએ છીએ કે સમીકરણના ઉકેલો ચલોના નીચેના સેટ છે (m +1 સોલ્યુશન, દરેક સોલ્યુશનમાં ચલોના m મૂલ્યો હોય છે):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

આ અભિગમ દ્વિસંગી વૃક્ષના નિર્માણ દ્વારા સારી રીતે દર્શાવવામાં આવ્યો છે. શક્ય ઉકેલોની સંખ્યા એ બાંધેલા વૃક્ષની વિવિધ શાખાઓની સંખ્યા છે. તે m +1 બરાબર છે તે જોવાનું સરળ છે.

તર્કમાં મુશ્કેલીઓના કિસ્સામાં સંશોધન અને બાંધકામતમે જેની સાથે ઉકેલ શોધી શકો છોમદદથી સત્ય કોષ્ટકો, એક કે બે સમીકરણો માટે.

ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ ફરીથી લખીએ:

અને ચાલો એક સમીકરણ માટે અલગથી સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ:

ચાલો બે સમીકરણો માટે સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ:

મ્યુનિસિપલ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા

"માધ્યમિક શાળા નંબર 18"

બશ્કોર્ટોસ્તાન પ્રજાસત્તાકના સલાવત શહેરનો શહેરી જિલ્લો

તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમો

કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમસ્યાઓમાં

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોમાં "તર્કના બીજગણિતના ફંડામેન્ટલ્સ" વિભાગને ઉકેલવા માટે સૌથી મુશ્કેલ અને મુશ્કેલ ગણવામાં આવે છે. આ વિષય પર પૂર્ણ થયેલા કાર્યોની સરેરાશ ટકાવારી સૌથી ઓછી છે અને 43.2 છે.

2018 KIM સ્પષ્ટીકરણના આધારે, આ બ્લોકમાં વિવિધ મુશ્કેલી સ્તરના ચાર કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે.

કાર્ય 23 મુશ્કેલી સ્તરમાં ઊંચું છે, તેથી તે પૂર્ણ થવાની ટકાવારી સૌથી ઓછી છે. તૈયાર સ્નાતકોમાં (81-100 પોઈન્ટ્સ) 49.8% એ કાર્ય પૂર્ણ કર્યું, સાધારણ રીતે તૈયાર (61-80 પોઈન્ટ્સ) એ 13.7% પૂર્ણ કર્યું, વિદ્યાર્થીઓના બાકીના જૂથે આ કાર્ય પૂર્ણ કર્યું નથી.

તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવાની સફળતા તર્કશાસ્ત્રના નિયમોના જ્ઞાન અને સિસ્ટમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓના ચોક્કસ ઉપયોગ પર આધારિત છે.

ચાલો મેપિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવાનું વિચારીએ.

(23.154 પોલિઆકોવ કે.યુ.) સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કેટલા અલગ અલગ ઉકેલો હોય છે?

(x1  y1 )  (x2  y2 ))  (x1  x2 )  (વાય1  y2 ) =1

(x2  y2 )  (x3  y3 ))  (x2  x3 )  (વાય2  y3 ) =1

((x7  y7 )  (x8  y8 ))  (x7  x8 )  (y7  y8 ) =1

જ્યાં x1 , x2 ,…, x8, ખાતે1 ,વાય2 ,…,વાય8 - લોજિકલ ચલો? જવાબમાં ચલ મૂલ્યોના તમામ વિવિધ સેટની યાદી કરવાની જરૂર નથી કે જેના માટે આ સમાનતા ધરાવે છે. જવાબ તરીકે, તમારે આવા સેટની સંખ્યા સૂચવવાની જરૂર છે.

ઉકેલ. સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ તમામ સમીકરણો સમાન પ્રકારના હોય છે, અને દરેક સમીકરણમાં ચાર ચલોનો સમાવેશ થાય છે. x1 અને y1 ને જાણીને, આપણે x2 અને y2 ના તમામ સંભવિત મૂલ્યો શોધી શકીએ છીએ જે પ્રથમ સમીકરણને સંતોષે છે. એવી જ રીતે તર્ક કરીએ તો, જાણીતા x2 અને y2 પરથી આપણે બીજા સમીકરણને સંતોષતા x3, y3 શોધી શકીએ છીએ. એટલે કે, જોડી (x1, y1) ને જાણીને અને જોડી (x2, y2) ની કિંમત નક્કી કરીને, આપણે જોડી (x3, y3) શોધીશું, જે બદલામાં, જોડી (x4, y4) તરફ દોરી જશે. અને તેથી વધુ.

ચાલો પ્રથમ સમીકરણના તમામ ઉકેલો શોધીએ. આ બે રીતે કરી શકાય છે: સત્ય કોષ્ટકનું નિર્માણ, તર્ક દ્વારા અને તર્કશાસ્ત્રના નિયમો લાગુ કરીને.

સત્ય કોષ્ટક:

સત્ય કોષ્ટક બનાવવું એ શ્રમ-સઘન અને સમય-અયોગ્ય છે, તેથી અમે બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ - તાર્કિક તર્ક. જો દરેક અવયવ 1 ની બરાબર હોય તો જ ઉત્પાદન 1 ની બરાબર છે.

(x1  y1 )  (x2  y2 ))=1

(x1  x2 ) =1

(y1  y2 ) =1

ચાલો પ્રથમ સમીકરણ જોઈએ. પરિણામ 1 ની બરાબર છે જ્યારે 0 0, 0 1, 1 1, જેનો અર્થ થાય છે (x1 y1)=0 for (01), (10), તો જોડી (x2  y2 ) કોઈપણ હોઈ શકે છે (00), (01), (10), (11), અને જ્યારે (x1 y1) = 1, એટલે કે, (00) અને (11) જોડી (x2 y2) = 1 લે છે સમાન મૂલ્યો (00) અને (11). ચાલો આ સોલ્યુશનમાંથી તે જોડીને બાકાત કરીએ કે જેના માટે બીજા અને ત્રીજા સમીકરણો ખોટા છે, એટલે કે, x1=1, x2=0, y1=1, y2=0.

જોડીની કુલ સંખ્યા 1+1+1+22= 25

2) (23.160 પોલિઆકોવ કે.યુ.) તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કેટલા અલગ અલગ ઉકેલો હોય છે?

(x 1  (x 2  y 2 ))  (વાય 1  y 2 ) = 1

(x 2  (x 3  y 3 ))  (વાય 2  y 3 ) = 1

...

( x 6  ( x 7  y 7 ))  ( y 6  y 7 ) = 1

x 7  y 7 = 1

ઉકેલ. 1) સમીકરણો એક જ પ્રકારના હોય છે, તેથી તર્કનો ઉપયોગ કરીને આપણે પ્રથમ સમીકરણની તમામ સંભવિત જોડીઓ (x1,y1), (x2,y2) શોધીશું.

(x1  (x2  y2 ))=1

(y1  y2 ) = 1

બીજા સમીકરણનો ઉકેલ એ જોડીઓ (00), (01), (11) છે.

ચાલો પ્રથમ સમીકરણના ઉકેલો શોધીએ. જો x1=0, તો x2, y2 - કોઈપણ, જો x1=1, તો x2, y2 મૂલ્ય (11) લે છે.

ચાલો જોડી (x1, y1) અને (x2, y2) વચ્ચે જોડાણો બનાવીએ.

ચાલો દરેક તબક્કે જોડીની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે એક કોષ્ટક બનાવીએ.

છેલ્લા સમીકરણના ઉકેલોને ધ્યાનમાં લેતા x 7  y 7 = 1, ચાલો જોડીને બાકાત રાખીએ (10). ઉકેલોની કુલ સંખ્યા 1+7+0+34=42 શોધો

3)(23.180) તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કેટલા જુદા જુદા ઉકેલો હોય છે?

(x1  x2 )  (x3  x4 ) = 1

(x3  x4 )  (x5  x6 ) = 1

(x5  x6 )  (x7  x8 ) = 1

(x7  x8 )  (x9  x10 ) = 1

x1  x3  x5  x7  x9 = 1

ઉકેલ. 1) સમીકરણો એક જ પ્રકારના હોય છે, તેથી તર્કનો ઉપયોગ કરીને આપણે પ્રથમ સમીકરણના તમામ સંભવિત જોડીઓ (x1,x2), (x3,x4) શોધીશું.

(x1  x2 )  (x3  x4 ) = 1

ચાલો સોલ્યુશનમાંથી જોડીને બાકાત કરીએ જે અનુક્રમમાં 0 (1 0) આપે છે, આ જોડી છે (01, 00, 11) અને (10).

ચાલો જોડી વચ્ચે જોડાણ કરીએ (x1,x2), (x3,x4)

પાઠ વિષય: તર્ક સમીકરણો ઉકેલવા

વિકાસલક્ષી - વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનાત્મક રસના વિકાસ માટે શરતો બનાવો, મેમરી, ધ્યાન અને તાર્કિક વિચારસરણીના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો;

શૈક્ષણિક : અન્યના મંતવ્યો સાંભળવાની ક્ષમતાને પ્રોત્સાહન આપો,અંતિમ પરિણામો હાંસલ કરવા માટે ઇચ્છા અને ખંતને પોષવું.

પાઠનો પ્રકાર: સંયુક્ત પાઠ

સાધન: કમ્પ્યુટર, મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર, પ્રસ્તુતિ 6.

પાઠ પ્રગતિ

મૂળભૂત જ્ઞાનનું પુનરાવર્તન અને અપડેટ. હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે (10 મિનિટ)

અગાઉના પાઠોમાં, અમે તાર્કિક બીજગણિતના મૂળભૂત નિયમોથી પરિચિત થયા અને તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવા માટે આ નિયમોનો ઉપયોગ કરવાનું શીખ્યા.

ચાલો લોજિકલ અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવા પર અમારું હોમવર્ક તપાસીએ:

1. નીચેનામાંથી કયો શબ્દ તાર્કિક સ્થિતિને સંતોષે છે:

(પ્રથમ અક્ષર વ્યંજન → બીજા અક્ષર વ્યંજન)٨ (છેલ્લો અક્ષર સ્વર → ઉપાંત્ય અક્ષર સ્વર)? જો આવા ઘણા શબ્દો છે, તો તેમાંથી સૌથી નાનો સૂચવો.

1) અન્ના 2) મારિયા 3) ઓલેગ 4) સ્ટેપન

ચાલો નીચે આપેલ સૂચન રજૂ કરીએ:

A - પ્રથમ અક્ષર વ્યંજન

B - બીજા અક્ષર વ્યંજન

S - છેલ્લા અક્ષરનો સ્વર

ડી - ઉપાંત્ય સ્વર અક્ષર

ચાલો એક અભિવ્યક્તિ કરીએ:

ચાલો એક ટેબલ બનાવીએ:

2. સૂચવે છે કે કઈ તાર્કિક અભિવ્યક્તિ અભિવ્યક્તિની સમકક્ષ છે

ચાલો મૂળ અભિવ્યક્તિ અને સૂચિત વિકલ્પોના રેકોર્ડિંગને સરળ બનાવીએ:

3. અભિવ્યક્તિ F ના સત્ય કોષ્ટકનો ટુકડો આપેલ છે:

ચાલો દલીલોના ઉલ્લેખિત મૂલ્યો માટે આ અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યો નક્કી કરીએ:

પાઠના વિષયનો પરિચય, નવી સામગ્રીની રજૂઆત (30 મિનિટ)

અમે તર્કની મૂળભૂત બાબતોનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ અને અમારા આજના પાઠનો વિષય છે “તાર્કિક સમીકરણોનું નિરાકરણ”. આ વિષયનો અભ્યાસ કર્યા પછી, તમે તાર્કિક સમીકરણોને ઉકેલવાની મૂળભૂત રીતો શીખી શકશો, તાર્કિક બીજગણિતની ભાષાનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણોને ઉકેલવાની કુશળતા અને સત્ય કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને તાર્કિક અભિવ્યક્તિ કંપોઝ કરવાની ક્ષમતા મેળવશો.

1. તર્ક સમીકરણ ઉકેલો

(¬K M) → (¬L એમ N) =0

તમારો જવાબ ચાર અક્ષરોની સ્ટ્રીંગ તરીકે લખો: K, L, M અને N ચલોની કિંમતો (તે ક્રમમાં). તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, રેખા 1101 એ હકીકતને અનુરૂપ છે કે K=1, L=1, M=0, N=1.

ઉકેલ:

ચાલો અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરીએ(¬K  M) → (¬L  એમ  એન)

જ્યારે બંને શબ્દો ખોટા હોય ત્યારે અભિવ્યક્તિ ખોટી હોય છે. બીજું પદ 0 બરાબર છે જો M =0, N =0, L =1. પ્રથમ શબ્દ K = 0 માં, M = 0 થી, અને
.

જવાબ: 0100

2. સમીકરણમાં કેટલા ઉકેલો છે (તમારા જવાબમાં માત્ર સંખ્યા સૂચવો)?

ઉકેલ: અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરો

(A +B )*(C +D )=1

A +B =1 અને C +D =1

પદ્ધતિ 2: સત્ય કોષ્ટક દોરો

ચાલો મૂળ અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ, જોડાણોના વિભાજન મેળવવા માટે કૌંસ ખોલીએ:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

ચાલો સંયોજકોને પૂર્ણ સંયોજનો (તમામ દલીલોનું ઉત્પાદન) માટે પૂરક બનાવીએ, કૌંસ ખોલો:

ચાલો સમાન જોડાણોને ધ્યાનમાં લઈએ:

પરિણામે, અમે 9 જોડાણો ધરાવતું SDNF મેળવીએ છીએ. તેથી, આ ફંક્શન માટે સત્ય કોષ્ટકમાં ચલ મૂલ્યોના 2 4 =16 સેટની 9 પંક્તિઓમાં 1 મૂલ્ય છે.

3. સમીકરણમાં કેટલા ઉકેલો છે (તમારા જવાબમાં માત્ર સંખ્યા સૂચવો)?

ચાલો અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ:

,

3 માર્ગ: SDNF નું બાંધકામ

ચાલો સમાન જોડાણોને ધ્યાનમાં લઈએ:

પરિણામે, અમે 5 જોડાણો ધરાવતો SDNF મેળવીએ છીએ. તેથી, આ ફંક્શન માટે સત્ય કોષ્ટકમાં ચલ મૂલ્યોના 2 4 =16 સેટની 5 પંક્તિઓ પર મૂલ્ય 1 છે.

સત્ય કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને તાર્કિક અભિવ્યક્તિ બનાવવી:

1 ધરાવતા સત્ય કોષ્ટકની દરેક પંક્તિ માટે, અમે દલીલોનું ઉત્પાદન કંપોઝ કરીએ છીએ, અને 0 ના સમાન ચલો નકાર સાથે ઉત્પાદનમાં સમાવવામાં આવે છે, અને 1 ના સમાન ચલો નકાર વિના સમાવવામાં આવે છે. ઇચ્છિત અભિવ્યક્તિ F પરિણામી ઉત્પાદનોના સરવાળાથી બનેલી હશે. પછી, જો શક્ય હોય તો, આ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવી જોઈએ.

ઉદાહરણ: અભિવ્યક્તિનું સત્ય કોષ્ટક આપવામાં આવ્યું છે. તાર્કિક અભિવ્યક્તિ બનાવો.

3. હોમવર્ક (5 મિનિટ)

સમીકરણ ઉકેલો:

સમીકરણમાં કેટલા ઉકેલો છે (તમારા જવાબમાં માત્ર સંખ્યા સૂચવો)?

આપેલ સત્ય કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, તાર્કિક અભિવ્યક્તિ બનાવો અને

તેને સરળ બનાવો.

તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

તમે તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, સત્ય કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને (જો ચલોની સંખ્યા ખૂબ મોટી ન હોય તો) અથવા નિર્ણયના વૃક્ષનો ઉપયોગ કરીને, દરેક સમીકરણને પ્રથમ સરળ બનાવીને.

1. વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ.

નવા ચલોનો પરિચય તમને સમીકરણોની સિસ્ટમને સરળ બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે, અજાણ્યાઓની સંખ્યા ઘટાડે છે.નવા ચલો એકબીજાથી સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ. સરળ સિસ્ટમ ઉકેલ્યા પછી, આપણે મૂળ ચલો પર પાછા ફરવું જોઈએ.

ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

ઉકેલ:

ચાલો નવા ચલો રજૂ કરીએ: A=(X1≡ X2); B=(X3 ≡ X4); С=(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); E=(X9 ≡ X10).

(ધ્યાન આપો! તેમના દરેક ચલ x1, x2, ..., x10 એ નવા ચલ A, B, C, D, E, એટલે કે નવા ચલો એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે તેમાંથી માત્ર એકમાં જ સમાવિષ્ટ હોવા જોઈએ).

પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ આના જેવી દેખાશે:

(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0

(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0

(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

ચાલો પરિણામી સિસ્ટમ માટે નિર્ણય વૃક્ષ બનાવીએ:

સમીકરણ A=0 ને ધ્યાનમાં લો, એટલે કે. (X1≡ X2)=0. તેના 2 મૂળ છે:

તે જ કોષ્ટકમાંથી જોઈ શકાય છે કે સમીકરણ A=1 માં પણ 2 મૂળ છે. ચાલો નિર્ણય વૃક્ષ પર મૂળની સંખ્યા ગોઠવીએ:

એક શાખાના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે, તમારે દરેક સ્તરે ઉકેલોની સંખ્યાને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. ડાબી શાખામાં 2 છે⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 ઉકેલો; જમણી શાખામાં પણ 32 ઉકેલો છે. તે. સમગ્ર સિસ્ટમમાં 32+32=64 ઉકેલો છે.

જવાબ: 64.

2. તર્કની પદ્ધતિ.

તાર્કિક સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવાની મુશ્કેલી સંપૂર્ણ નિર્ણય વૃક્ષની બોજારૂપતામાં રહેલી છે. તર્ક પદ્ધતિ તમને આખું વૃક્ષ બનાવવાની મંજૂરી આપતી નથી, પરંતુ તેની કેટલી શાખાઓ હશે તે સમજવા માટે. ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિ જોઈએ.

ઉદાહરણ 1. લોજિકલ ચલ x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 ના મૂલ્યોના કેટલા અલગ અલગ સેટ નીચે સૂચિબદ્ધ બધી શરતોને સંતોષે છે?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

જવાબમાં x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 ચલોના મૂલ્યોના તમામ જુદા જુદા સેટની યાદી કરવાની જરૂર નથી કે જેના માટે સમાનતાની આ સિસ્ટમ સંતુષ્ટ છે. જવાબ તરીકે, તમારે આવા સેટની સંખ્યા સૂચવવાની જરૂર છે.

ઉકેલ:

પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોમાં સ્વતંત્ર ચલો છે જે ત્રીજી સ્થિતિથી સંબંધિત છે. ચાલો પ્રથમ અને બીજા સમીકરણો માટે સોલ્યુશન ટ્રી બનાવીએ.

પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે સોલ્યુશન ટ્રીનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે, પ્રથમ વૃક્ષની દરેક શાખાને ચલ માટે વૃક્ષ સાથે ચાલુ રાખવી આવશ્યક છે.ખાતે . આ રીતે બનેલા વૃક્ષમાં 36 શાખાઓ હશે. આમાંની કેટલીક શાખાઓ સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણને સંતોષતી નથી. ચાલો પ્રથમ વૃક્ષ પર વૃક્ષની શાખાઓની સંખ્યાને ચિહ્નિત કરીએ"વાય" , જે ત્રીજા સમીકરણને સંતોષે છે:

ચાલો સમજાવીએ: ત્રીજી શરત સંતોષવા માટે, જ્યારે x1=0 ત્યાં y1=1, એટલે કે વૃક્ષની બધી શાખાઓ હોવી જોઈએ."X" , જ્યાં x1=0 ને ઝાડમાંથી માત્ર એક શાખા સાથે ચાલુ રાખી શકાય છે"વાય" . અને માત્ર વૃક્ષની એક શાખા માટે"X" (જમણે) વૃક્ષની બધી શાખાઓ ફિટ"y". આમ, સમગ્ર સિસ્ટમના સંપૂર્ણ વૃક્ષમાં 11 શાખાઓ છે. દરેક શાખા સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમનો એક ઉકેલ રજૂ કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે સમગ્ર સિસ્ટમમાં 11 ઉકેલો છે.

જવાબ: 11.

ઉદાહરણ 2. સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કેટલા જુદા જુદા ઉકેલો છે?

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10) = 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10)= 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10) = 1

(X1 ≡ X10) = 0

x1, x2, …, x10 ક્યાં લોજિકલ વેરીએબલ છે? જવાબમાં ચલ મૂલ્યોના તમામ વિવિધ સેટની યાદી કરવાની જરૂર નથી કે જેના માટે આ સમાનતા ધરાવે છે. જવાબ તરીકે, તમારે આવા સેટની સંખ્યા સૂચવવાની જરૂર છે.

ઉકેલ: ચાલો સિસ્ટમને સરળ બનાવીએ. ચાલો પ્રથમ સમીકરણના ભાગ માટે સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ:

છેલ્લા કૉલમ પર ધ્યાન આપો, તે ક્રિયાના પરિણામ સાથે મેળ ખાય છે X1 ≡ X10.

સરળીકરણ પછી આપણને મળે છે:

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1

(X1 ≡ X10) = 0

છેલ્લા સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:(X1 ≡ X10) = 0, એટલે કે. x1 x10 સાથે સુસંગત ન હોવો જોઈએ. પ્રથમ સમીકરણ 1 ની બરાબર હોવા માટે, સમાનતા સાચી હોવી આવશ્યક છે(X1 ≡ X2)=1, એટલે કે. x1 x2 સાથે મેળ ખાતો હોવો જોઈએ.

ચાલો પ્રથમ સમીકરણ માટે સોલ્યુશન ટ્રી બનાવીએ:

બીજા સમીકરણને ધ્યાનમાં લો: x10=1 માટે અને x2=0 માટે કૌંસ1 ની બરાબર હોવી જોઈએ (એટલે ​​​​કે x2 x3 સાથે એકરુપ છે); x10=0 માટે અને x2=1 કૌંસ માટે(X2 ≡ X10)=0, જેનો અર્થ થાય છે કૌંસ (X2 ≡ X3) 1 ની બરાબર હોવી જોઈએ (એટલે ​​​​કે x2 x3 સાથે એકરુપ છે):

આ રીતે તર્ક કરીને, અમે તમામ સમીકરણો માટે નિર્ણય વૃક્ષ બનાવીએ છીએ:

આમ, સમીકરણોની સિસ્ટમમાં માત્ર 2 ઉકેલો છે.

જવાબ: 2.

ઉદાહરણ 3.

લોજિકલ ચલો x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 એવા કેટલા અલગ અલગ મૂલ્યોના સેટ છે જે નીચે સૂચિબદ્ધ બધી શરતોને સંતોષે છે?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

ઉકેલ:

ચાલો 1લા સમીકરણ માટે સોલ્યુશન ટ્રી બનાવીએ:

બીજા સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

• જ્યારે x1=0 : બીજા અને ત્રીજા કૌંસ 0 ની બરાબર હશે; પ્રથમ કૌંસ માટે 1, y1=1, z1=1 (એટલે ​​​​કે આ કિસ્સામાં - 1 ઉકેલ)
• જ્યારે x1=1 : પ્રથમ કૌંસ 0 ની બરાબર હશે; બીજુંઅથવા ત્રીજો કૌંસ 1 ની બરાબર હોવો જોઈએ; બીજો કૌંસ 1 ની બરાબર હશે જ્યારે y1=0 અને z1=1; ત્રીજો કૌંસ 1 ની બરાબર હશે જ્યારે y1=1 અને z1=0 (એટલે ​​​​કે આ કિસ્સામાં - 2 ઉકેલો).

એ જ રીતે બાકીના સમીકરણો માટે. ચાલો દરેક ટ્રી નોડ માટે ઉકેલોની પરિણામી સંખ્યા નોંધીએ:

દરેક શાખા માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે, પરિણામી સંખ્યાઓને દરેક શાખા માટે અલગથી ગુણાકાર કરો (ડાબેથી જમણે).

1 શાખા: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 ઉકેલ

શાખા 2: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 =2 ઉકેલો

3જી શાખા: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 =4 ઉકેલો

4થી શાખા: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8 ઉકેલો

5મી શાખા: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 ઉકેલો

ચાલો પરિણામી સંખ્યાઓ ઉમેરીએ: કુલ 31 ઉકેલો છે.

જવાબ: 31.

3. મૂળની સંખ્યામાં કુદરતી વધારો

કેટલીક સિસ્ટમોમાં, આગલા સમીકરણના મૂળની સંખ્યા અગાઉના સમીકરણના મૂળની સંખ્યા પર આધારિત છે.

ઉદાહરણ 1. લોજિકલ ચલો x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 ના મૂલ્યોના કેટલા અલગ અલગ સેટ છે જે નીચે સૂચિબદ્ધ બધી શરતોને સંતોષે છે?

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

ચાલો સરળ કરીએ પ્રથમ સમીકરણ:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). પછી સિસ્ટમ ફોર્મ લેશે:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

વગેરે.

દરેક આગલા સમીકરણમાં પાછલા સમીકરણ કરતાં 2 વધુ મૂળ હોય છે.

4 સમીકરણમાં 12 મૂળ છે;

સમીકરણ 5 માં 14 મૂળ છે

સમીકરણ 8 માં 20 મૂળ છે.

જવાબ: 20 મૂળ.

કેટલીકવાર મૂળની સંખ્યા ફિબોનાકી કાયદા અનુસાર વધે છે.

તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે સર્જનાત્મક અભિગમની જરૂર છે.

તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

કિર્ગીઝોવા ઈ.વી., નેમકોવા એ.ઈ.

લેસોસિબિર્સ્ક શિક્ષણશાસ્ત્ર સંસ્થા -

સાઇબેરીયન ફેડરલ યુનિવર્સિટી, રશિયાની શાખા

સતત વિચારવાની, ખાતરીપૂર્વક તર્ક કરવાની, પૂર્વધારણાઓ બાંધવાની અને નકારાત્મક તારણોનું ખંડન કરવાની ક્ષમતા આ કૌશલ્ય તર્કશાસ્ત્રના વિજ્ઞાન દ્વારા વિકસાવવામાં આવી છે. તર્કશાસ્ત્ર એ એક વિજ્ઞાન છે જે અન્ય નિવેદનોની સત્યતા અથવા અસત્યતાના આધારે કેટલાક નિવેદનોની સત્યતા અથવા ખોટીતાને સ્થાપિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરે છે.

તાર્કિક સમસ્યાઓ હલ કર્યા વિના આ વિજ્ઞાનની મૂળભૂત બાબતોમાં નિપુણતા મેળવવી અશક્ય છે. નવી પરિસ્થિતિમાં પોતાના જ્ઞાનને લાગુ કરવા માટે કૌશલ્યના વિકાસનું પરીક્ષણ પાસિંગ દ્વારા કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, આ તાર્કિક સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશનમાં ટાસ્ક B15 એ વધતી જટીલતાના કાર્યો છે, કારણ કે તેમાં તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમ્સ હોય છે. તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવાની વિવિધ રીતો છે. આ એક સમીકરણમાં ઘટાડો, સત્ય કોષ્ટકનું નિર્માણ, વિઘટન, સમીકરણોના અનુક્રમિક ઉકેલ વગેરે છે.

કાર્ય:તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ચાલો વિચાર કરીએ એક સમીકરણમાં ઘટાડો કરવાની પદ્ધતિ . આ પદ્ધતિમાં તાર્કિક સમીકરણોને રૂપાંતરિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે જેથી તેમની જમણી બાજુઓ સત્ય મૂલ્ય (એટલે ​​​​કે, 1) જેટલી હોય. આ કરવા માટે, લોજિકલ નેગેશન ઓપરેશનનો ઉપયોગ કરો. પછી, જો સમીકરણોમાં જટિલ તાર્કિક ક્રિયાઓ હોય, તો અમે તેમને મૂળભૂત સાથે બદલીએ છીએ: “AND”, “OR”, “NOT”. આગળનું પગલું એ લોજિકલ ઓપરેશન “AND” નો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમની સમકક્ષ સમીકરણોને એકમાં જોડવાનું છે. આ પછી, તમારે તાર્કિક બીજગણિતના નિયમોના આધારે પરિણામી સમીકરણનું રૂપાંતર કરવું જોઈએ અને સિસ્ટમ માટે ચોક્કસ ઉકેલ મેળવવો જોઈએ.

ઉકેલ 1:પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુઓ પર વ્યુત્ક્રમ લાગુ કરો:

ચાલો મૂળભૂત કામગીરી "OR" અને "NOT" દ્વારા સૂચિતાર્થની કલ્પના કરીએ:

સમીકરણોની ડાબી બાજુઓ 1 ની બરાબર હોવાથી, અમે તેમને "AND" ઓપરેશનનો ઉપયોગ કરીને એક સમીકરણમાં જોડી શકીએ છીએ જે મૂળ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે:

અમે ડી મોર્ગનના કાયદા અનુસાર પ્રથમ કૌંસ ખોલીએ છીએ અને પ્રાપ્ત પરિણામને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:

પરિણામી સમીકરણનો એક ઉકેલ છે: A= 0, B =0 અને C =1.

આગળની પદ્ધતિ છે સત્ય કોષ્ટકોનું નિર્માણ . તાર્કિક જથ્થામાં માત્ર બે મૂલ્યો હોવાથી, તમે ફક્ત બધા વિકલ્પોમાંથી પસાર થઈ શકો છો અને તેમાંથી તે શોધી શકો છો કે જેના માટે આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ સંતુષ્ટ છે. એટલે કે, અમે સિસ્ટમના તમામ સમીકરણો માટે એક સામાન્ય સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ છીએ અને જરૂરી મૂલ્યો સાથે એક રેખા શોધીએ છીએ.

ઉકેલ 2:ચાલો સિસ્ટમ માટે સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ:

લાઇન કે જેના માટે કાર્યની શરતો પૂરી થાય છે તે બોલ્ડમાં પ્રકાશિત થાય છે. તેથી A =0, B =0 અને C =1.

વે વિઘટન . વિચાર એ છે કે ચલોમાંના એકનું મૂલ્ય નક્કી કરવું (તેને 0 અથવા 1 ની બરાબર સેટ કરો) અને ત્યાંથી સમીકરણોને સરળ બનાવવું. પછી તમે બીજા વેરીએબલની કિંમતને ઠીક કરી શકો છો, વગેરે.

ઉકેલ 3:દો A = 0, પછી:

પ્રથમ સમીકરણથી આપણે મેળવીએ છીએબી =0, અને બીજાથી - C=1. સિસ્ટમનો ઉકેલ: A = 0, B = 0 અને C = 1.

તમે પદ્ધતિનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો સમીકરણોનો ક્રમિક ઉકેલ , દરેક પગલા પર વિચારણા હેઠળના સમૂહમાં એક ચલ ઉમેરીને. આ કરવા માટે, સમીકરણોનું રૂપાંતર કરવું જરૂરી છે જેથી ચલો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં દાખલ થાય. આગળ, અમે એક નિર્ણય વૃક્ષ બનાવીએ છીએ, ક્રમશઃ તેમાં ચલો ઉમેરીએ છીએ.

સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ ફક્ત A અને B પર અને બીજું સમીકરણ A અને C પર આધારિત છે. ચલ A 2 મૂલ્યો 0 અને 1 લઈ શકે છે:

પ્રથમ સમીકરણથી તે તેને અનુસરે છે , તેથી જ્યારે A = 0 અને આપણને B = 0 મળે છે, અને A = 1 માટે આપણી પાસે B = 1 છે. તેથી, પ્રથમ સમીકરણ A અને B ચલોના સંદર્ભમાં બે ઉકેલો ધરાવે છે.

ચાલો બીજા સમીકરણનું નિરૂપણ કરીએ, જેમાંથી આપણે દરેક વિકલ્પ માટે C ના મૂલ્યો નક્કી કરીએ. જ્યારે A =1 હોય, ત્યારે સૂચિતાર્થ ખોટો ન હોઈ શકે, એટલે કે, વૃક્ષની બીજી શાખા પાસે કોઈ ઉકેલ નથી. મુ A= 0 અમને એકમાત્ર ઉપાય મળે છે C= 1 :

આમ, અમે સિસ્ટમનો ઉકેલ મેળવ્યો: A = 0, B = 0 અને C = 1.

કોમ્પ્યુટર સાયન્સમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં, તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરવી ઘણી વાર જરૂરી છે, આ માટે કેટલીક પદ્ધતિઓ પણ છે. તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની મુખ્ય રીત છે ચલોને બદલી રહ્યા છે. પ્રથમ, તમારે લોજિકલ બીજગણિતના નિયમોના આધારે દરેક સમીકરણોને શક્ય તેટલું સરળ બનાવવાની જરૂર છે, અને પછી સમીકરણોના જટિલ ભાગોને નવા ચલો સાથે બદલો અને નવી સિસ્ટમમાં ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરો. આગળ, રિપ્લેસમેન્ટ પર પાછા ફરો અને તેના માટે ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરો.

કાર્ય:સમીકરણમાં કેટલા ઉકેલો છે ( A → B ) + (C → D ) = 1? જ્યાં A, B, C, D એ તાર્કિક ચલો છે.

ઉકેલ:ચાલો નવા ચલો રજૂ કરીએ: X = A → B અને Y = C → D . નવા ચલોને ધ્યાનમાં લેતા, સમીકરણ આ રીતે લખવામાં આવશે: X + Y = 1.

વિભાજન ત્રણ કિસ્સાઓમાં સાચું છે: (0;1), (1;0) અને (1;1), જ્યારેએક્સ અને વાય એક સૂચિતાર્થ છે, એટલે કે, તે ત્રણ કિસ્સામાં સાચું છે અને એકમાં ખોટું છે. તેથી, કેસ (0;1) પરિમાણોના ત્રણ સંભવિત સંયોજનોને અનુરૂપ હશે. કેસ (1;1) - મૂળ સમીકરણના પરિમાણોના નવ સંભવિત સંયોજનોને અનુરૂપ હશે. આનો અર્થ એ છે કે આ સમીકરણના કુલ સંભવિત ઉકેલો 3+9=15 છે.

તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરવાની આગલી રીત છે દ્વિસંગી વૃક્ષ. ચાલો એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પદ્ધતિ જોઈએ.

કાર્ય:તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કેટલા જુદા જુદા ઉકેલો છે:

આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ સમીકરણની સમકક્ષ છે:

( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( x મી -1 → x મી) = 1.

ચાલો માની લઈએ કેx 1 - સાચું છે, તો પછી પ્રથમ સમીકરણથી આપણે તે મેળવીએ છીએx 2 પણ સાચું, બીજાથી -x 3 =1, અને ત્યાં સુધી x મી= 1. તેથી સમૂહ (1; 1; …; 1) નો m એકમો એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. ચાલો હવેx 1 =0, પછી આપણી પાસે પ્રથમ સમીકરણ છેx 2 =0 અથવા x 2 =1.

જ્યારે x 2 સાચું, આપણે મેળવીએ છીએ કે બાકીના ચલો પણ સાચા છે, એટલે કે સેટ (0; 1; ...; 1) એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. મુx 2 =0 આપણને તે મળે છે x 3 =0 અથવા x 3 =, અને તેથી વધુ. છેલ્લા ચલ સુધી ચાલુ રાખીને, આપણે શોધીએ છીએ કે સમીકરણના ઉકેલો ચલોના નીચેના સેટ છે ( m +1 સોલ્યુશન, દરેક સોલ્યુશનમાં m ચલ મૂલ્યો):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

આ અભિગમ દ્વિસંગી વૃક્ષના નિર્માણ દ્વારા સારી રીતે દર્શાવવામાં આવ્યો છે. શક્ય ઉકેલોની સંખ્યા એ બાંધેલા વૃક્ષની વિવિધ શાખાઓની સંખ્યા છે. તે સમાન છે તે જોવાનું સરળ છે m +1.

તર્ક અને નિર્ણય વૃક્ષ બનાવવામાં મુશ્કેલીઓના કિસ્સામાં, તમે તેનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ શોધી શકો છો સત્ય કોષ્ટકો, એક કે બે સમીકરણો માટે.

ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ ફરીથી લખીએ:

અને ચાલો એક સમીકરણ માટે અલગથી સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ:

ચાલો બે સમીકરણો માટે સત્ય કોષ્ટક બનાવીએ:

આગળ, તમે જોઈ શકો છો કે નીચેના ત્રણ કેસોમાં એક સમીકરણ સાચું છે: (0; 0), (0; 1), (1; 1). બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ચાર કિસ્સાઓમાં સાચી છે (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). આ કિસ્સામાં, તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે ત્યાં એક ઉકેલ છે જેમાં ફક્ત શૂન્ય અને વધુનો સમાવેશ થાય છે mઉકેલો જેમાં એક સમયે એક એકમ ઉમેરવામાં આવે છે, છેલ્લી સ્થિતિથી શરૂ કરીને જ્યાં સુધી તમામ સંભવિત સ્થાનો ભરાઈ ન જાય. એવું માની શકાય છે કે સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ સમાન હશે, પરંતુ આવા અભિગમને ઉકેલ બનવા માટે, સાબિતી જરૂરી છે કે ધારણા સાચી છે.

ઉપરોક્ત તમામનો સારાંશ આપવા માટે, હું તમારું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરવા માંગુ છું કે ચર્ચા કરવામાં આવેલી બધી પદ્ધતિઓ સાર્વત્રિક નથી. લોજિકલ સમીકરણોની દરેક સિસ્ટમને હલ કરતી વખતે, વ્યક્તિએ તેની સુવિધાઓ ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ, જેના આધારે ઉકેલની પદ્ધતિ પસંદ કરવી જોઈએ.

સાહિત્ય:

1. તાર્કિક સમસ્યાઓ / O.B. બોગોમોલોવ - 2જી આવૃત્તિ. - એમ.: બીનોમ. લેબોરેટરી ઓફ નોલેજ, 2006. – 271 પૃષ્ઠ: ઇલ.

2. પોલિઆકોવ કે.યુ. તાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમ્સ / કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન શિક્ષકો માટે શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરના અખબાર: ઇન્ફોર્મેટિક્સ નંબર 14, 2011.